HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng trong không gian. Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với a và b : Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau: - a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a b M . - a và b song song với nhau, ta kí hiệu a b . - a và b trùng nhau, ta kí hiệu a b . Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b , khi đó ta nói a và b là hai đường thẳng chéo nhau. 2. Các định lí và tính chất. Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một và chỉ một đường thẳng song song với a . Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
48
Embed
HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU - giasuthanhtai.com.vngiasuthanhtai.com.vn/uploads/document/ly-thuyt-va-bai-tp-vn-dng-hai... · HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƢỜNG
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
HAI ĐƢỜNG THẲNG CHÉO NHAU
VÀ HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Vị trí tƣơng đối của hai đƣờng thẳng trong không gian.
Cho hai đường thẳng a và b trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối
với a và b :
Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả a và b , khi đó theo kết quả tronh hình học
phẳng ta có ba khả năng sau:
- a và b cắt nhau tại điểm M , ta kí hiệu a b M .
- a và b song song với nhau, ta kí hiệu a b .
- a và b trùng nhau, ta kí hiệu a b .
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b , khi đó ta nói a và b là hai
đường thẳng chéo nhau.
2. Các định lí và tính chất.
Trong không gian, qua một điểm cho trước không nằm trên đường thẳng a có một
và chỉ một đường thẳng song song với a .
Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến
đó hoặc đồng qui hoặc đôi một song song.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó.
Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng
song song.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG
PHƢƠNG PHÁP GIẢI.
Phƣơng pháp:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng và có điểm chung M và lần lượt chứa
hai đường thẳng song song d và 'd thì giao tuyến của và là đường thẳng đi
qua M song song với d và 'd .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD
A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD
B. là đường thẳng đi qua S
C. là điểm S
D. là mặt phẳng (SAD)
Lời giải:
b
c
a
γ
β
α
b
c
a
γ
β
α
A
a
b
Δ
βα
Ta có
AB SAB
CD SCD
AB CD
S SAB SCD
,SAB SCD d AB CD S d .
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy là AB
và CD . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC và G là trọng tâm của
tam giác SAB .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và IJG .
A.là đường thẳng song song với AB
B.là đường thẳng song song vơi CD
C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD
D.Cả A, B, C đều đúng
b) Tìm điều kiện của AB và CD để thiết diện của IJG và hình chóp là một hình bình
hành.
A. 2
3AB CD B. AB CD C.
3
2AB CD D. 3AB CD
Lời giải:
d
B
D C
A
S
a) Ta có ABCD là hình thang và ,I J là
trung điểm của ,AD BC nên / /IJ AB .
Vậy
G SAB IJG
AB SAB
IJ IJG
AB IJ
SAB IJG MN IJ AB với
,M SA N SB .
b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác MNJI .
Do G là trọng tâm tam giác SAB và MN ABnên 2
3
MN SG
AB SE
(E là trung điểm của AB ).
2
3MN AB .
Lại có 1
2IJ AB CD . Vì MN IJ nên MNIJ là hình thang, do đó MNIJ là hình bình
hành khi MN IJ
2 1
33 2AB AB CD AB CD .
Vậy thết diện là hình bình hành khi 3AB CD .
Bài toán 01: CHỨNG MINH HAI ĐƢỜNG THẲNG SONG SONG.
Phƣơng pháp:
Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:
- Chứng minh chúng cùng thuộc một mặt phẳng rồi dùng các phương pháp chứng
minh hai đường thẳng song song trong mặt phẳng.
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song vơi đường thẳng thứ ba.
NM
E
JI
D C
A
S
B
G
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến
của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó.
- Sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB . Gọi
,M N lần lượt là trung điểm của SA và SB .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất
A. MN song song với CD .
B. MN chéo với CD .
C. MN cắt với CD .
D. MN trùng với CD .
b) Gọi P là giao điểm của SC và ADN , I là giao điểm của AN và DP . Khẳng định
nào sau đây là đúng?
A. SI song song với CD .
B. SI chéo với CD .
C. SI cắt với CD .
D. SI trùng với CD .
Lời giải:
a) Ta có MN là đường trung bình của tam
giác SAB nên MN AB .
Lại có ABCD là hình thang / /AB CD .
Vậy MN AB
MN CDCD AB
.
b) Trong ABCD gọi E AD BC , trong SCD gọi P SC EN .
Ta có E AD ADN EN AND P ADN .
Vậy P SC ADN .
Do
I SABI ANI AN DP SI SAB SCD
I DP I SCD
.
Ta có
AB SAB
CD SCDSI CD
AB CD
SAB SCD SI
.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và BC .
Biết ,AD a BC b . Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD và SBC . Mặt
phẳng ADJ cắt ,SB SC lần lượt tại ,M N . Mặt phẳng BCI cắt ,SA SD tại ,P Q .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. MN song sonng với PQ .
B. MN chéo với PQ .
C. MN cắt với PQ .
I
P
E
N
M
D
A
S
B
C
D. MN trùng với PQ .
b) Giải sử AM cắt BP tại E ; CQ cắt DN tại F . Chứng minh EF song song với MN
và PQ . Tính EF theo ,a b .
A. 1
2EF a b B.
3
5EF a b C.
2
3EF a b D.
2
5EF a b
Lời giải:
a) Ta có I SAD I SAD IBC .
Vậy
AD SAD
BC IBC
AD BC
SAD IBC PQ
1PQ AD BC
Tương tự J SBC J SBC ADJ
Vậy
AD ADJ
BC SBC
AD BC
SBC ADJ MN
2MN AD BC
Từ 1 và 2 suy ra MN PQ .
b) Ta có
E AMNDE AM BP
E PBCQ
;
F AMNDF DN CQ
F PBCQ
Do đó EF AMND PBCQ . Mà AD BC
EF AD BC MN PQMN PQ
.
K
FE
QP
NM
BC
A
S
J
I
D
Tính EF : Gọi K CP EF EF EK KF
Ta có 1EK PE
EK BCBC PB
, PE PM
PM ABEB AB
Mà 2 2
3 3
PM SP PE
AB SA EB .
Từ 1 suy ra 1 2 2 2
5 5 51
EK PE PEEK BC b
EBBC PB PE EB
PE
Tương tự 2
5KF a . Vậy
2
5EF EK KF a b .
Bài toán 03: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƢỜNG THẲNG
ĐỒNG QUI
Phƣơng pháp:
Để chứng minh bốn điểm , , ,A B C D đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng ,a b lần lượt đi
qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh ,a b song song hoặc cắt nhau, khi đó
, , ,A B C D thuôc ,mp a b .
Để chứng minh ba đường thẳng , ,a b cđồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể
chứng minh , ,a b c lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng , , trong
đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta
được , ,a b c đồng qui.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi , , ,M N E F lần
lượt là trung điểm của các cạnh bên , ,SA SB SC và SD .
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. , ,ME NF SO đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD ).
B. , ,ME NF SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD ).
C. , ,ME NF SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ).
D. , ,ME NF SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD ).
b) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
B. Bốn điểm , , ,M N E F không đồng phẳng.
C. MN, EF chéo nhau
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
a) Trong SAC gọi I ME SO , dễ thấy
I là trung điểm của SO , suy ra FI là
đường trung bình của tam giác SOD .
Vậy / /FI OD .
Tương tự ta có NI OB nên , ,N I F thẳng
hàng hay I NF .
Vậy minh , ,ME NF SO đồng qui .
b) Do ME NF I nên ME và NF xác
định một mặt phẳng. Suy ra , , ,M N E F
đồng phẳng.
Ví dụ 2. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi , , ,M N E F lần
lượt là trọng tâm các tam giác , ,SAB SBC SCD và SDA . Chứng minh:
a) Bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
b) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
B. Bốn điểm , , ,M N E F không đồng phẳng.
C. MN, EF chéo nhau
I
F
EN
M
O
A
B C
D
S
D. Cả A, B, C đều sai
b) Ba đường thẳng , ,ME NF SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ).
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. , ,ME NF SO đôi một song song (O là giao điểm của AC và BD ).
B. , ,ME NF SO không đồng quy (O là giao điểm của AC và BD ).
C. , ,ME NF SO đồng qui (O là giao điểm của AC và BD ).
D. , ,ME NF SO đôi một chéo nhau (O là giao điểm của AC và BD ).
Lời giải:
a) Gọi ', ', ', 'M N E F lần lượt là trung điểm
các cạnh , ,AB BC CD và DA .
Ta có 2 2
,' 3 ' 3 ' '
SM SN SM SN
SM SN SM SN
' ' 1MN M N .
Tương tự ' ' 2' '
SE SFEF E F
SE SF
Lại có ' '
' ' ' ' 3' '
M N ACM N E F
E F AC
Từ 1 , 2 và 3 suy ra MN EF . Vậy
bốn điểm , , ,M N E F đồng phẳng.
b) Dễ thấy ' ' ' 'M N E F cũng là hình bình hành và ' ' ' 'O M E N F .
Xét ba mặt phẳng ' ' , ' 'M SE N SF và MNEF ta có :
I
F
E
N
E'
N'
F'
M'O
D
B C
A
S
M
' ' ' 'M SE N SF SO
' 'M SE MNEF ME
' 'N SF MNEF NF
ME NF I .
Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng , ,ME NF SO
đồng qui.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
19. Cho tứ diện ABCD . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng DMN và BCD .
20. Cho hình chóp .S ABC . Gọi 1 2,G G lần lượt là trọng tâm các tam giác SBC và SAB .
a) Chứng minh 1 2GG AC .
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 1 2BG G và ABC .
21. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và SCD .
b) Gọi M là một điểm trên cạnh SC . Xác định giao điểm N của SD với ABM . Tứ
giác ABMN là hình gì?
c) Giả sử I AN BM . Chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi M chạy
trên cạnh SC .
22. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi , , ,M N P Q lần lượt là
trung điểm của các cạnh , , ,SA SB SC SD .
a) Chứng minh MNPQ là một hình bình hành.
b) Gọi I là một điểm trên cạnh BC . Xác định thiết diện của hình chóp với IMN .
23. Cho tứ diện ABCD . Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của BC và BD , E là một điểm
thuộc cạnh AD ( E khác A và D ).
a) Xác định thiết diện của tứ diện với IJE .
b) Tìm vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện ABCD và vị trí của điểm E trên AD sao cho thiết diện là
hình thoi.
24. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của CD và AB .
a) Hãy xác định các điểm I AC và J DN sao cho IJ BM .
b) Tính IJ theo a .
25. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang.Một mặt phẳng cắt các
cạnh , ,SA SB SC và SD lần lượt tại các điểm , , ,M N P Q .
a) Giả sử MN PQ I , AB CD E . Chứng minh , ,I E S thẳng hàng.
b) Giả sử IBC IAD và .
Chứng minh MQ NP AB CD .
26. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thang với AD BC . M là một điểm di động
trong tứ giác ABCD . Qua M vẽ các đường thẳng song song với ,SA SB cắt các mặt
SBC và SAD lần lượt tại ,N P .
a) Nêu cách dựng các điểm ,N P .
b) Tìm tập hợp điểm M sao cho .MNMP lớn nhất.
27. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD a và BC b .
Gọi , ,M N P lần lượt là trung điểm các cạnh ,AB CD và SB .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ADP và SBC .
b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của ADP và SMN nằm bên trong hình chóp.
28. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi ,I J lần lượt là trọng
tâm các tam giác SAB và SAD , M là điểm trên cạnh SA sao cho 2MA MS . Xác định
thiết diện của hình chóp với mặt phẳng MIJ .
29. Cho hình chóp .S ABC , M là một điểm nằm trong tam giác .ABC Các đường thẳng
qua M và song song ,SA SB và SC cắt các mặt , ,SBC SCA SAB lần lượt tại các
điểm ', ', 'A B C .
a) Nêu cách dựng các điểm ', ', 'A B C .
b) Chứng minh ' ' 'MA MB MC
SA SB SC có giá trị không đổi khi O di động trong tam giác
ABC .
c) Xác định vị trí của điểm M để tích '. '. 'MA MB MC lớn nhất.
30. Cho tứ diện ABCD . Một mặt phẳng cắt bốn canh , , ,AB BC CD DA
Lần lượt tại các điểm , , ,M N P Q .
Chứng minh : . . .
. . .16
AB BCCD ADMANBPCQD . Khi đẳng thức xảy ra thì MNPQ là
hình gì?
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUẬN TỰ LUYỆN
19. Do ,M N lần lượt là trung điểm của
,AB AC nên MN BC .
Vậy
D DMN SBC
MN DMN
BC SBC
MN BC
,DMN SBC d MN BC D d .
N
M
A
BD
C
20. a) Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của
,AB BC .
Do 1 2,G G là trọng tâm các tam giác SBC
và SAB nên 1 22 2,
3 3
SG SG
SN SM
1 2SG SG
SN SM
1 2GG MN . Mặt khác
1 2MN AC GG AC .
b) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2
B BG G
G G BG G
AC ABCD
G G AC
1 2 1 2,BGG ABCD d AC GG
21. a) Ta có
S SAB SCD
AB CDSAB SCD
AB SAB
CD SCD
,d AB CD S d .
d
G1
N
M
S
AD
BC
G2
d
I
N
A
BC
D
S
M
b) Ta có
M SCD ABM
AB CD
AB ABM
CD SCD
'ABM SCD d AB 'M d .
Trong SCD gọi 'N d SD N SD ABM Do MN AB nên tứ giác ABMN là
hình thang.
c) Gọi SAD SBC thì cố định.
Vì
I AN SADI AN BM I SAD SBC
I BM SBC
I .
Vậy I cố định.
22.
a) Ta có 1
2MN AB và
1
2PQ CD
mà AB CD nên MN PQ .
Vậy MNPQ là hình bình hành.
b) Ta có
I IMN ABCD
AB ABCD
MN IMN
AB MN
IMN ABCD IJ AB MN với J AD . Thiết
J
Q
P
M
N
A
B C
D
S
I
diện của hình chớp với IMN là hình thang MNIJ .
23. a) Ta có
,
F IJF ACD
IJ IJF CD ACD IJF ACD FE CD IJ
IJ CD
.
Thiết diện là tứ giác IJEF .
b) Để thiết diện IJEF là hình bình hành thì IJ EF mà 1
2IJ CD nên
1
2EF CD , hay
EF là đường trung bình trong tam giác ACDứng với cạnh CD do đó E là trung điểm
của AD .
c) Để thiết diện IJEF là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình hành, khi đó E là
trung điểm của AD . Mặt khác IJEF là hình thoi thì IJ IF , mà
1 1,
2 2IJ CD IF AB AB CD .
Vậy điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện ABCD có AB CD và E là trung
điểm của AD .
F
J
I
A
B D
C
E
24. a) Trong BCD , từ D kẻ đường thẳng
song song với BM cắt BC tại K . Nối K
và N cắt AC tại I . Trong IKD , từ I kẻ
đường thẳng song song với DK cắt DN
tại J .
Khi đó IJ BM .
b) Do BM là đường trung bình của tam giác CKD nên 3
2 2. 32
aKD BM a .
Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó 3
3NK KH HC
HN ACNI HC HC
3 3NK NI KD IJ
1 3
3 3
aIJ KD .
25. a) Ta có SE SAB SCD
I MN SABI MN PQ
I PQ SCD
I SAB SCD , hay I SE .
b) Do
/ /
I IAD IBC
AD BC
AD IAD
BC IBC
H
J
K
M
N
A
B D
C
I
I
N P
Q
E
B C
A
S
D
M
,IAD IBC AB DC I Mặt khác theo giả thiết nên
BC SBCNP BC
BC
SBC NP
Tương tự ta cũng có MQ AD .
Vậy MQ NP BC AD .
26. a) Gọi ,E AM BC F BM AD . Từ
M kẻ các đường thẳng song song với
,SA SB lần lượt cắt ,SE SF tại ,N P .Thì
,N P là các điểm cần dựng.
b) Ta có MN EM
SA EA ,
MP FM AM
SB FB AE nên
1MN MP EM AM
SA SB EA EA .
Theo BĐT CauChy ta có
2
. . . .
. .
4 4
MN MPMN MP SASB
SA SB
SASB MN MP SASB
SA SB
Vậy .
ax .4
SASBm MN MP khi
1
2
MN MP
SA SB hay M là trung điểm của AE và BF ,
do đó tập hợp điểm M là đường trung bình của hình thang ABCD .
P
N
EB C
D
S
M
AF
27.
a) Ta có
,
P ADP SBC
AD BCADP SBC PQ AD BC Q SC
AD ADP
BC SBC
b) Gọi ,I AP SM J DQ SN thì
IJ ADP SMN .
Dễ thấy ,I J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB
và SCD . Gọi K IJ PD ,ta có IJ IK KJ .
Ta có 1
3
IK PI
AD PA
1 1
3 3IK AD a .
Tương tự 2
3
JK DI
PQ DQ
2 2 1 1.
3 3 2 3JK PQ BC b .
Vậy 1
3IJ IK KJ a b .
28. (HS tự giải)
KI J
QP
NM
B C
A
S
D
29.
a) Gọi E AM BC , trong SAE vẽ
đường thẳng đi qua M và song song với
SA cắt SE tại 'A thì 'A là điểm cần dựng.
Các điểm ', 'B C được dựng tương tự.
b) Ta có 'MA SA nên
'
1MBC
ABC
SMA EM
SA AE S
Tương tự '
2MAC
ABC
SMB IM
SB IB S
'
3MAB
ABC
SMC FM
SC FC S
Cộng các đẳng thức 1 , 2 , 3 ta được
' ' '1
MA MB MC
SA SB SC
b) Ta có ' ' '
'. '. ' . . . . .MA MB MC
MA MB MC SASBSCSA SB SC
3' ' '
. .. .
3 27
MA MB MCSASBSCSA SB SCSASBSC
Đẳng thức xảy ra khi ' ' ' 1
3
MA MB MC EM IM FM
SA SB SC EA IB FC M là trọng tâm của
tam giác ABC .
Vậy . .
max '. '. '27
SASBSCMA MB MC .
B'
C'
A'
I
S
A C
B
ME
F
30. Trước tiên do , , ,M N E F đồng phẳng nên theo