Karlsruher Institut f¨ ur Technologie (KIT) Sommersemester 2013 Institut f¨ ur Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dr. Andreas Helfrich-Schkarbanenko H¨ohere Mathematik II (Analysis) f¨ ur die Fachrichtung Informatik L¨osungsvorschl¨agezum4. ¨ Ubungsblatt Abgabe bis Freitag, 17.5.2013, 12.30 Uhr Themen: Differenzierbarkeit, Kettenregel, Mittelwertsatz, Richtungsableitung Aufgabe 10 (K). Seien f 1 ,f 2 ,f 3 : R 2 → R gegeben durch f 1 (x, y)= |x| + |y|, f 2 (x, y)= √ |x| 2 + |y| 2 , f 3 (x, y) = max{|x|, |y|}. (a) Skizzieren Sie die Mengen {(x, y) ∈ R 2 : f i (x, y)= c} f¨ ur i =1, 2, 3 und c =0, 1, 2. (b) In welchen Punkten des R 2 ist f i : R 2 → R (i =1, 2, 3) differenzierbar? Berechnen Sie f 0 i wo immer die Ableitung existiert. L¨osung: Siehe Scan. Aufgabe 11 (K). (a) Sei g : R → R 3 ,g(t)=(e t , sin t, t 2 ) und f : R 3 → R,f (x, y, z )= xyz . Berechnen Sie f¨ ur h = f ◦ g : R → R die Ableitung h 0 einmal nach der Kettenregel und einmal, indem Sie die explizit die Verkettung f ◦ g berechnen und differenzieren. (b) Sei V := {(x, y, z ) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 =1, x,y,z ≥ 0}. Zeigen Sie: | log(x + y + z 2 )|≤ 4 √ 3 - 3z f¨ ur (x, y, z ) ∈ V. Hinweis: Mittelwertsatz mit a = (0, 0, 1),b =(x, y, z ), und Cauchy-Schwarz-Ungleichung. L¨osung: Siehe Scan. Aufgabe 12. Wird in der ¨ Ubung vorgerechnet (a) Sei M := {(x, y) ∈ R 2 : x = y} sowie f (x, y)= e x - 1 (x, y) ∈ M ; f (x, y)=0 (x, y) / ∈ M. Zeigen Sie, dass die Richtungsableitung ∂f ∂v (0, 0) f¨ ur jede Richtung v existiert. Ist f in (0, 0) differenzierbar? (b) Berechnen Sie f¨ ur f : R 2 → R, f (x, y)= y 3 - x 2 y x 2 + y 2 f¨ ur (x, y) 6= (0, 0) 0 f¨ ur (x, y) = (0, 0) die Richtungsableitung ∂f ∂v (0, 0) f¨ ur jede Richtung v, f¨ ur die das m¨oglich ist. F¨ ur welche v gilt ∂f ∂v (0, 0) = (grad f (0, 0)) · v?