UNIDAD 4: Estudiemos la Probabilidad Objetivo: Utilizar y explicar los algoritmos correspondientes a los principios probabilísticos para asignar, con certeza, el valor asociado a la probabilidad de ocurrencia de eventos aleatorios, para tomar decisiones sustentadas en principios matemáticos, sobre eventualidades que ocurren en la vida cotidiana. Tema I: Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso o evento Tiempo probable: 3 horas Objetivos: Que el alumno Construya un concepto adecuado de experimentos aleatorios y lo relacione a situaciones del entorno Comprenda el concepto de espacio muestral,y de suceso o evento. ACCION: Experimento: Es una acción que se realiza con el propósito de hacer algún tipo de observación y obtener una serie de datos a partir de su resultado Ejemplos de experimentos: Lanzar una moneda al aire Arrojar una piedra al vacio y medir su aceleración Tirar un dado sobre la mesa Introducir un termómetro en agua hirviendo y anotar su temperatura Hacer girar una ruleta Preguntar a los alumnos: ¿En cuáles de los siguientes experimentos consideras no se puede prever el resultado antes de efectuarlo? Experimento 1 Sin ver, seleccionar una carta de: Experimento 2 Sin ver, seleccionar una carta de: Experimento 3 Sin ver, seleccionar una carta de
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UNIDAD 4: Estudiemos la Probabilidad
Objetivo: Utilizar y explicar los algoritmos correspondientes a los principios probabilísticos para
asignar, con certeza, el valor asociado a la probabilidad de ocurrencia de eventos aleatorios,
para tomar decisiones sustentadas en principios matemáticos, sobre eventualidades que
ocurren en la vida cotidiana.
Tema I: Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso o evento
Tiempo probable: 3 horas
Objetivos:
Que el alumno
Construya un concepto adecuado de experimentos aleatorios y lo relacione a situaciones del
entorno
Comprenda el concepto de espacio muestral,y de suceso o evento.
ACCION:
Experimento: Es una acción que se realiza con el propósito de hacer algún tipo de observación y obtener una serie de datos a partir de su resultado
Ejemplos de experimentos:
Lanzar una moneda al aire
Arrojar una piedra al vacio y medir su aceleración
Tirar un dado sobre la mesa
Introducir un termómetro en agua hirviendo y anotar su temperatura
Hacer girar una ruleta
Preguntar a los alumnos:
¿En cuáles de los siguientes experimentos consideras no se puede prever el resultado antes
de efectuarlo?
Experimento 1 Sin ver, seleccionar una
carta de:
Experimento 2 Sin ver, seleccionar una
carta de:
Experimento 3 Sin ver, seleccionar una
carta de
Nota: Las cartas pueden ser reales
En el segundo experimento es claro que no podemos conocer el resultado, y en el tercer experimento
aunque es muy posible que seleccionemos una carta roja también puede suceder que seleccionemos
la carta negra.
FORMULACION:
Experimento aleatorio Es aquel que antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener
Un experimento aleatorio debe cumplir o verificar las siguientes condiciones:
Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones
Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado
El resultado que se obtiene pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados
posibles.
Preguntar:
¿Qué situaciones de la vida cotidiana podrías clasificar como experimentos aleatorios?
o Lanzar un dado
o Jugar a la lotería
o Lanzar una moneda
o Juegos de azar
VALIDACION:
¿Cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios?
a) En una caja hay cinco bolas amarillas, sacamos una bola y anotamos su color
b) Bajar a la planta baja de un ascensor
c) Lanzar una moneda al aire y anotar su resultado
d) En una caja hay cinco bolas, 2 blancas y tres amarillas, sacamos una bola y anotamos su color
e) Al lanzar un dado de seis puntos anotamos todos los resultados mayores que ocho
c y d constituyen experimentos aleatorios
INSTITUCIONALIZACION
Cuando realizamos experimentos aleatorios no sabemos cuál será el resultado. En caso contrario, es
decir si conocemos el resultado antes de realizar el experimento se dice: suceso determinista, por
ejemplo al sacar una bola de una caja que contiene cinco bolas amarillas sabemos anticipadamente que
será amarilla.
Aunque en un experimento aleatorio no sepamos lo que ocurrirá, si conocemos de antemano todos sus
posibles resultados.
EJ: Si lanzamos al aire una moneda dos veces. ¿Cuáles son todos los posibles resultados?
Solución:
Primera tirada Segunda tirada
Si solo necesitáramos la cantidad de posibles resultados, solamente aplicamos el principio de la
multiplicación:
1 tirada 2 tirada
= 4 posibles resultados
En este caso nos interesa conocer cuáles son todos los posibles resultados al realizar el experimento:
Lanzar al aire una moneda dos veces, ya encontramos que los posibles resultados son:
Posibles resultados: {CC, CK, KC, KK}
El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento constituyen el Espacio Muestral
(E o S)
En el ejemplo anterior:
S= {CC, CK, KC, KK}
Llamaremos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. El mismo espacio muestral es
un suceso llamado suceso seguro y el conjunto vacio (Ø) es el suceso imposible
Cada uno de los posibles resultados se llama: suceso simple o suceso elemental.
La unión de varios sucesos simples forman un suceso compuesto
Hacer énfasis en que un experimento es distinto de un suceso
Del experimento: Lanzar al aire una moneda dos veces, definiremos algunos sucesos:
a) Los sucesos elementales o simples:
{CC}, {CK}, {KC}, {KK}
b) El suceso A: Obtener al menos una cara:
Al menos una cara: Una cara o dos
A= {CK, KC, CC}
c) El suceso B: Obtener 3 coronas
B= Ø
d) El suceso C= Obtener a lo sumo una corona
A lo sumo una corona: Una corona o ninguna. C= {CK, KC, CC}
2 2
Cara (C)
C
K
K
Corona (K) C
Nota: hacer énfasis en que los sucesos A y C son sucesos compuestos y la diferencia entre suceso y
experimento.
Ejemplo 2:
Determinar el espacio muestral del experimento aleatorio:
“Lanzar simultáneamente una moneda y un dado”
Para facilitarnos el procedimiento podemos construir una tabla de doble entrada.
Dado
Moneda 1 2 3 4 5 6
Cara (C ) C1 C2 C3 C4 C5 C6
Corona ( K ) K1 K2 K3 K4 K5 K6
Pedir a los alumnos completen la tabla y encuentren los sucesos A y B
A: “Obtener corona y número par”
B:”Cara y número primo”
Solución:
A: “Obtener corona y número par”
A= {K2, K4, K6}
B: “Cara y número primo”
B= {C1, C2, C3, C5}
Ejemplo 3:
Sobre una mesa se encuentran cinco cartones numerados del 1 al 5 y vueltos hacia abajo. Una persona
selecciona dos cartones al azar y observa su suma. Escribe
a) Espacio muestral correspondiente a este experimento
b) El suceso A: “la suma es número primo”
c) El suceso B: “la suma e número impar”
Pedir a los estudiantes que desarrollen el ejercicio y luego resolverlo juntos en la pizarra
Solución:
S= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A= {3, 5, 7}
B= {3, 5, 7, 9}
Ejemplo 4
Una caja contiene 6 focos defectuosos y 7 buenos. Si se selecciona al azar una muestra de 8 focos
a) Cuantos elementos tiene el espacio muestral asociado a esta experiencia
b) En cuantas muestras cabe esperar al menos 3 focos defectuosos
c) En cuantas cabe esperar a lo sumo 5 buenos
Solución:
¿Qué se nos pide? Observa que en este caso no se nos pide que escribamos los sucesos sino que
encontremos la cantidad de elementos.
Si recuerdas el principio de la multiplicación, dice:
Si una primera operación puede realizarse de n maneras y a continuación
una segunda puede hacerse de m maneras. Entonces las dos operaciones,
una después de la otra pueden realizarse de m×n maneras
En este caso haremos extracciones de 8 focos, y pueden salir tanto buenos como defectuosos sin embargo no interesa el orden en que salgan, por lo que estamos hablando de combinaciones.
a) En la caja hay 13 focos en total y se harán combinaciones de 8 focos por lo que la cantidad de elementos del espacio muestral corresponde a:
𝟏𝟑𝟖 = 1287 elementos
b) ¿Qué significa que obtengamos al menos tres focos defectuosos? Que obtengamos 3 o 4 o 5 o 6 focos defectuosos. En el primer caso tenemos la extracción de tres focos defectuosos, lo que significa que extraemos también 5 focos buenos. Sin embargo como tenemos 6 focos defectuosos y siete buenos, lo que buscamos es:
𝟔𝟑 ×
𝟕𝟓 = 420
𝟔𝟒 ×
𝟕𝟒 = 525
𝟔𝟓 ×
𝟕𝟑 = 210
𝟔𝟔 ×
𝟕𝟐 = 21
________________
TOTAL= 1, 176 elementos del suceso “Obtener al menos tres focos defectuosos”
c) ¿Qué significa obtener a lo sumo 5 focos buenos? Significa obtener 5 o menos focos buenos.
𝟕𝟓 ×
𝟔𝟑 = 420
𝟕𝟒 ×
𝟔𝟒 = 525
𝟕𝟑 ×
𝟔𝟓 = 210
𝟕𝟐 ×
𝟔𝟔 = 21
_________________
TOTAL = 1, 176 elementos del suceso “Obtener a lo sumo cinco focos buenos”
Observa que en este caso ya no consideramos el caso de 1 foco bueno porque solamente
extraíamos 8 focos y en ese caso tendríamos que extraer 7 focos defectuosos y solo tenemos
seis, sin embargo si el problema fuera diferente, se debe considerar también el caso de extraer
uno bueno y de que ninguno sea bueno.
Ejercicios:
1. Lanzamos al aire un dado de seis caras, numeradas con 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y observamos la puntuación
obtenida.
a) Escribir el espacio muestral= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Escribe los siguientes sucesos
A= “Obtener un número par”= {2, 4, 6}
B= “Obtener más de tres”= {4, 5, 6}
C= “Obtener menos de tres”= {1, 2}
D=”Obtener más de ocho”= {Ø}
E= “Obtener menos de ocho”= S
c) ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso imposible? D
d) ¿Cuál de los sucesos anteriores es un suceso seguro? E
2. La mesa directiva (presidente, secretario y tesorero) del Club Juvenil “Juventud Sana” va a elegirse
de entre cinco candidatos identificados como A, B, C, D y E. Si cualquiera de ellos es apto para
ocupar cualquier puesto menciona cuentos elementos tiene:
a) El espacio muestral asociado a la experiencia de elección de la mesa directiva. S está formado
por 10 elementos
b) El suceso F: “El candidato A es miembro de la mesa directiva”. F está formado por 6 elementos
c) El suceso G: “los candidatos A y B son miembros de la mesa directiva” G está formado por 3
elementos
Tema II: Operaciones con sucesos Tiempo probable: 4 horas
Objetivos:
Grafique operaciones con sucesos utilizando diagramas de Venn
Aplique las operaciones con sucesos para determinar subconjuntos de un espacio muestral
ACCION:
Partiremos del siguiente experimento:
De una caja que contiene 3 bolitas blancas y 3 negras se extraen tres, una después de la otra.
Definimos los sucesos siguientes:
A: “Salen más bolitas blancas que negras”
B: “Sale un número impar de bolitas blancas”
Pedir a los alumnos encontrar el espacio muestral, los sucesos A y B.
Solución:
S= {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN}
A= {BBB, BBN, BNB, NBB}
B= {BBB, BNN, NBN, NNB}
Los sucesos A y B constituyen sucesos compuestos con los cuales podemos efectuar algunas operaciones
1 extracción 2 extracción 3 extracción
B N
Blanca (B)
B
B
N
N
B Negra (N)
B
N
B
N
N
FORMULACION
Traduce al lenguaje común utilizando los sucesos A y B las siguientes operaciones:
AUB= “Salgan mas bolitas blancas que negras o salga un número impar de bolitas blancas”
A∩B= “Salen más bolitas blancas que negras y sale un número impar de bolitas blancas”
AC = “No salen más bolitas blancas que negras” o “Salen más bolitas negras que blancas”
Las operaciones que podemos realizar con los sucesos A y B son las siguientes:
AUB = Esta constituido por todos los elementos que pertenecen a A, a B o ambos y ocurre siempre
que ocurre al menos uno de los dos
A∩B = Esta constituido por los elementos comunes a ambos sucesos y ocurre solamente cuando
ocurren los dos
A - B = Esta constituido por todos los elementos de A que no pertenecen a B
AC = Se llama suceso contrario de A y está constituido por todos los elementos del espacio
muestral que no pertenecen a A
VALIDACION:
Encuentra los siguientes sucesos:
AUB, A∩B, A – B, AC
AUB: {BBB, BBN, BNB, NBB, BNN, NBN, NNB}
A∩B: {BBB}
A – B: {BBN, BNB, NBB}
AC: {BNN, NBN, NNB, NNN}
INSTITUCIONALIZACION:
Conociendo el significado de las operaciones con sucesos, podemos utilizar los diagramas de Venn
para ilustrar de manera gráfica estas operaciones.
Para ello consideraremos el espacio muestral S como nuestro conjunto universal y denotemos con
las letras A y B algunos subconjuntos de S.
A B
AUB
S S
AUB AUB
S constituye el espacio muestral resultante de realizar un experimento aleatorio, A y B representan
dos subconjuntos del espacio muestral.
AUB representa todos los elementos que cumplen A o B o ambas.
Tenemos dos casos: eventos que tienen elementos en común y eventos que no tienen elementos
comunes, en el primer caso como existen elementos comunes, al realizar AUB esos elementos
comunes se toman una sola vez, como en el ejemplo anterior el elemento BBB pertenece a A y B
pero solo lo consideramos una vez.
A∩B
S La operación intersección representa los elementos
comunes de los sucesos A y B.
Si los sucesos no tienen elementos comunes, entonces
A∩B = Ø
A∩B
A – B AC
A B A B
A
A B
Ac
A
Ejemplo:
Sobre una mesa se encuentran cinco cartones numerados del 1 al 5 y vueltos hacia abajo. Una persona
selecciona dos cartones al azar y observa su suma. Para los sucesos
P = “La suma es número primo”
I = “la suma es número impar”
Encontrar los sucesos PC, IC, (P U IC), (PC ∩ I)
Solución:
En la clase anterior encontramos es espacio muestral y los sucesos
S= {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
P= {3, 5, 7}
I = {3, 5, 7, 9}
En primer lugar debemos tener claro el significado de las operaciones que se nos piden.
¿Qué significa PC? Significa la suma no es número primo. Luego PC= {4, 6, 8, 9}
¿Qué significa IC? Significa la suma no es un número impar” o “La suma es número impar”.
Luego IC= {4, 6, 8}
¿Qué significa (P U IC)? Significa “la suma es número primo o par o ambos” (P U IC)= {3, 4, 5, 6, 7, 8}
¿Qué significa (PC ∩ I)? Significa “la suma no es número primo y es número impar Luego (PC ∩ I)= {9}”
Ejercicios
1. Al comprar una pizza el cliente puede escoger dos de los siguientes ingredientes: jamón, salami,
hongos y camarones. Si se compra una pizza, describir el espacio muestral que corresponde a los
ingredientes que incluye
Solución:
Cantidad de elementos: 12
Salami jamón
Jamón hongos Salami hongos
Camarones camarones
Salami jamón
Hongos jamón Camarones hongos
Camarones salami
2. Al elegir una persona entre los estudiantes de una clase , consideremos los sucesos siguientes:
A: la persona elegida es mujer
B: la persona elegida es hombre
C: la persona elegida sabe computación y
D: la persona elegida sabe inglés
Describe con tus propias palabras cada uno de los siguientes sucesos:
a) AUB
b) A ∩B
c) AC
d) C∩D
e) AC ∩ C
3. En una urna hay 15 bolas numeradas del 1 al 15, se extrae una de ellas. Escribe los sucesos:
OBJETIVO: Que el alumno distinga los tipos de sucesos según su posibilidad de ocurrencia
en situaciones concretas.
INDICACIONES:
Conformar equipos de 5 integrantes
Resolver siguiendo el orden de la guía y comunicar a la maestra cuando finalicen
cada parte
Cada integrante del grupo debe copiar en su cuaderno esta guía resuelta
PARTE I: Lee con atención la situación que se te presenta y luego completa las oraciones
En una caja echamos veinte calcetines blancos. Si extraemos dos calcetines, naturalmente
serán blancos.
Si además de los veinte calcetines blancos, echamos dos negros y luego extraemos dos
calcetines;
Es muy probable que: ___________________________________________________
Es poco probable que: ___________________________________________________
Es muy poco probable que: _______________________________________________
PARTE II: Lee con atención cada experimento y clasifica cada suceso según su posibilidad
de ocurrencia como seguro, posible imposible, muy probable y poco probable.
Experimento 1: En una urna hay 5 bolas, cuatro rojas y una azul, sacamos una bola y
anotamos su color.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar bola roja o azul
Sacar bola azul
Sacar bola verde
Sacar bola roja
Experimento 2: Al lanzar un dado, anotamos la puntuación obtenida.
PARTE III: Lee el experimento que se te presenta y completa la tabla con ejemplos de
distintos sucesos
Experimento 3: En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10, sacamos una bola y
anotamos el número.
TIPO DE SUCESO SUCESO
Seguro Sacar una puntuación inferior a siete
Sacar un cinco
Sacar un siete
Sacar menos de cinco
Sacar más de cuatro
TIPO DE SUCESO SUCESO
Suceso seguro
Suceso posible
Suceso imposible
Suceso muy probable
Suceso poco probable
Cara y corona
Toma un centavo, ponlo en el cero y lanza, sucesivamente, una moneda al aire. Cuando salga cara, mueve la ficha una unidad hacia arriba y, cuando salga cruz una unidad hacia abajo. Lleva la cuenta del número de tiradas hasta llegar a una de las metas. No hace falta que vayas contando el número de caras y de cruces. Observa que, por ejemplo, si llega a la META SUR en 57 tiradas, habrás conseguido 7 cruces más que caras. En este caso las caras serán 25 y las cruces 32.
Proporción de caras: 𝒏° 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔
𝒏° 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 =𝟐𝟓
𝟓𝟕= 0.439
Proporción de cruces: 𝒏° 𝒅𝒆 𝒄𝒓𝒖𝒄𝒆𝒔
𝒏° 𝒅𝒆 𝒕𝒊𝒓𝒂𝒅𝒂𝒔 =𝟑𝟐
𝟓𝟕= 0.561
Cuando hayas llegado a una de las metas calcula tu proporción de caras y de cruces y compara los resultados con los de tus compañeros
Resuelve ahora los siguientes casos:
META Número
de tiradas
Número de caras
Número de
cruces
Proporción de caras
Proporción de cruces
Norte
Sur
Norte
Sur
23
49
105
97
Observa que, cuanto más se tarda en alcanzar una de las metas, mas se aproximan a 0.5 las proporciones
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
META NORTE
META SUR
Tema III: Enfoques de la probabilidad
Tiempo probable: 11 horas Objetivos: Que el alumno
Relacione los términos que se emplean en la vida cotidiana para la asignación de
probabilidades a sucesos aleatorios
Describa las características principales de los enfoques de la probabilidad
Aplique las leyes del azar en el análisis de sucesos aleatorios
Comprenda los axiomas de probabilidad y los utilice para asignar la probabilidad de sucesos de
la vida diaria
Introducción:
Origen de la Probabilidad (Breve historia):
La probabilidad está muy relacionada con los juegos de azar, antes de la existencia de un estudio formal
de la probabilidad, esta ya estaba presente en los juegos de azar.
En algunos países como España, Francia y Grecia, los niños aun conservan la costumbre de practicar
juegos de azar usando el hueso denominado astrágalo. El astrágalo no es más que un huesecillo de las
patas de las ovejas, corderos y carneros, que consta de cuatro caras a las cuales se les asignaba un
nombre.
Este dato es muy curioso si se tiene en cuenta que existen datos fidedignos como pinturas y escritos de
que este hueso era utilizado por varias civilizaciones antiguas (Egipto, Grecia, Roma) en juegos similares.
Incluso se ha hallado en excavaciones de hace 40, 000 años, lo que permite pensar que desde esa fecha
el hombre practicaba juegos de azar.
El dado cúbico más antiguo que se conoce fue encontrado en el norte de Iraq, construido en cerámica y
está fechado al comienzo del tercer milenio antes de Cristo.
Aunque los instrumentos de los juegos de azar existían desde hace varios miles de años, la teoría de la
probabilidad surgió hasta el siglo XVI.
La principal causa de esta dificultad ha sido que desde el principio, los juegos de azar han sido utilizados
en ceremonias religiosas, y para la adivinación, además que se han caracterizado por ser acompañados
de vicios, siendo estas algunas de las razones por las que surgieron leyes que prohibían la práctica de
estos juegos.
Retroalimentación sobre la guía de trabajo en el aula:
Al desarrollar la guía de trabajo, nos hemos dado cuenta que podemos medir el grado de posibilidad de
ocurrencia de un suceso, y esto lo hacemos constantemente en la vida cotidiana.
Probabilidad: La probabilidad de un suceso A, indica el grado de posibilidad de que ocurra dicho suceso.
Enfoques de la probabilidad: Subjetivo, empírico y clásico
Enfoque subjetivo:
Mencionar: El enfoque subjetivo es aquel en el cual se carece de evidencia que fundamenten
científicamente la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia de un suceso; por lo que todo depende de
la evaluación personal o subjetiva de quien emite un juicio. Por ejemplo cuando un medico antes de
una operación quirúrgica dice que la probabilidad de que la operación sea exitosa es del 90%. Este valor,
dado por el médico, es simplemente una probabilidad subjetiva.
Enfoque Empírico:
Desarrollo del juego “Cara y corona”
Mencionar: Originalmente la probabilidad fue eminentemente experimental. Si se deseaba conocer la
probabilidad de un suceso A, se repetía muchas veces el experimento y se observaba en cuantas de las
repeticiones ocurría A.
Luego se dividía el número de veces que había ocurrido A entre el número de veces que se repitió el
experimento, a este cociente se le conoce como frecuencia relativa.
Se observo que entre mayor era el número de veces que se repetía el experimento, la frecuencia relativa
se acercaba cada vez más a un valor fijo.
A este valor fijo se le conoce como la probabilidad del suceso A.
P(A)=𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑜 𝐴
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Cuando desarrollamos el juego “cara y corona” la frecuencia relativa del número de caras estaba
representada por la proporción de caras.
¿A qué valor fijo se acercaba la proporción de caras, si aumentaba el número de lanzamientos? A 0.5
¿Qué indica P(A)=0.5? Que el suceso A ocurrirá aproximadamente el 50% de las veces
Que un suceso A tenga probabilidad de 0.5 es igual a que la probabilidad del suceso A es del 50%, es
decir que de cada 100 veces que se realice el experimento 50 veces ocurrirá A.
P(A)=0.5= 50
100
Si de cada 100 veces, el suceso A ocurre cincuenta. ¿Podrías decir cuántas veces ocurrirá A si repetimos
400 veces el experimento? Ocurrirá aproximadamente 200 veces.
NOTA: Puede que el suceso A no ocurra exactamente 200 veces pero la cantidad de veces que
ocurra será muy cercana a 200.
Este resultado se conoce como la ley de los grandes números
Analicemos la siguiente situación:
Unos tahúres comentan algunas jugadas de sus partidas:
--…Tuve una tarde de suerte. Tiré el dado 180 veces y salió el 6 en 84 ocasiones---dice uno
----Pues yo tengo contabilizado que, en los tres últimos meses, el número de veces que ha salido
el 6 supera al número de veces que ha salido el 1 en 230--- dice otro
----En mis partidas sale tantas veces el 6 como el 1 como las demás caras del dado. Y puesto que
lo llevo bien contado, cada vez que apuesto, lo hago por el número que menos veces ha
salido. De esa forma gano casi siempre—dice el tercero
Analiza el comentario de cada uno, y di si están equivocados o hacen trampa, argumenta tu respuesta.
Ayuda: la probabilidad de sacar seis al lanzar un dado una vez es 1/6
Ley de los grandes números
Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio crece mucho, la
frecuencia relativa del suceso asociado se va acercando más y más a hacia un cierto
valor.
Solución:
El primer tahúr hace trampa o miente, ya que la probabilidad de obtener un seis al lanzar un dado es de 𝟏
𝟔= 𝟎.𝟏𝟔𝟕, al lanzar el dado muchas veces se esperaría que el valor obtenido sea cercano a 0.167, sin
embargo 84
180= 0.467 La diferencia es muy grande.
Analizando el comentario del segundo tahúr, podríamos seguir la siguiente idea, como el ha
contabilizado que en los últimos tres meses el 6 ha salido 230 veces más que el uno, podríamos
establecer un promedio diario de cuantas veces más puedo salir el seis que el uno. Es decir 230/90 días
que da como resultado 2.56 veces, es decir que el seis a salido aproximadamente 3 veces más que el
uno por día, este resultado es bastante aceptable por lo que el segundo tahúr no miente.
El tercer tahúr esta en lo correcto al decir que todas las caras tienen la misma posibilidad de salir. Sin
embargo el hecho de que un número haya salido pocas veces no significa que saldrá en los próximos
lanzamientos, así que el tercer tahúr está equivocado.
CENTRO ESCOLAR JAPON
Tarea 2: Leyes del azar
Asignatura: Matemática Prof. Liseth Steffany Martínez
INDICACIONES:
Resuelve ordenadamente cada uno de los siguientes ejercicios, y preséntalos en tu cuaderno la
próxima clase.
1. Nuestros amigos José y Miguel van a la feria de su pueblo donde esperan encontrar distintas
atracciones. Particularmente les gusta participar en tómbolas, tiros al blanco, y demás juegos en
los que interviene el azar. Este año se han encontrado una caseta con las siguientes distracciones:
Ruleta 1 Ruleta 2 Tiro al blanco al azar
El precio de cada tirada es de $0. 25, se consigue $1. 00 si:
La ruleta se para en la zona A. Se supone que la ruleta no tiene ninguna <<trampa>>
El dardo cae en la zona A. El blanco es bastante pequeño y como es la primera vez que se
dispara, el impacto puede producirse en cualquier punto con igual posibilidad
Si tú fueras el dueño de la atracción ¿Cuál quitarías? ¿Por qué?
2. Supón que jugamos 60 veces en la ruleta 1. ¿Qué resultado piensas que será más fácil obtener?
- 30 veces A
- 10 veces A
- 50 veces A
3. Si se gira 100 veces la ruleta 2, ¿Cuántas veces esperas que la aguja se pare en A? ¿y en B?
A B
C D
A B C
D
D
B A E
C F
Axiomas de probabilidad
Ya estudiamos que la probabilidad del suceso A es igual a la frecuencia relativa de A.
Analicemos ahora que puede suceder con la probabilidad de un suceso:
P(A)=𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑜 𝐴
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑖𝑡𝑖𝑜 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
De acuerdo con lo dicho anteriormente lo menos que puede pasar es que A no ocurriera ni una sola vez,
en este caso P(A)= 0.
Lo más que podría pasar es que A ocurriera todas las veces que se repitiese el experimento, en este
caso P(A)= 1.
Por lo tanto la probabilidad de un suceso nunca puede ser menor que cero ni mayor que uno. Esta
afirmación constituye un axioma de la probabilidad.
O sea que la probabilidad de un suceso A cualquiera siempre está comprendido entre cero y uno.
Si un suceso no ocurre nunca entonces se dice que es un suceso imposible. La probabilidad de un suceso
imposible es cero.
Si un suceso ocurre siempre entonces se dice que es un suceso seguro. La probabilidad de un suceso
seguro es uno.
Recuerda:
En matemática se llama axioma a toda verdad que no necesita ser
demostrada, ya que es evidente por sí misma.
0≤ P(A) ≤1
Aceptando como verdadero este sistema de axiomas, podemos demostrar de manera formal, muchas
otras propiedades o leyes de la probabilidad. Sin embargo, solo haremos una ilustración geométrica.
Para ello consideremos que el espacio muestral S es un rectángulo de área 1 y que cualquier suceso A
estará representado por una superficie de área igual a su probabilidad P(A)
S S
P(A)= Área de A
Tomando en cuenta estas condiciones podemos establecer las siguientes propiedades:
Como las probabilidades de los sucesos A y B tienen en común
P(A∩B) , si sumamos P(A) + P(B) estamos considerando dos
veces P(A∩B) por lo que le restamos una vez la probabilidad
de la intersección.
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Si los sucesos A y B no tienen elementos en común, P(A∩B)= 0 por lo que:
P(AUB) = P(A) + P(B)
P(A) = 1 – P(AC) o P(A) + P(AC) = 1
Esta es una propiedad muy útil ya que en ocasiones es más fácil obtener la probabilidad
contraria de A
Área= 1
A
A B
A B
P (Ac)
P(A)
Ejemplo 1:
Si la probabilidad de comprar un televisor es 0.5 y la probabilidad de comprar un refrigerador es 0.7:
mientras que la probabilidad de comprar ambos es 0.3
a. ¿Cuál es la probabilidad de no comprar el refrigerador?
b. ¿Cuál es la probabilidad de comprar el televisor o el refrigerador?
Solución:
Sean los sucesos:
A: “Se compra el televisor”
B: “Se compra el refrigerador”
Entonces:
a. La probabilidad de no comprar el refrigerador es igual a P(BC) y lo que tenemos es:
P(A)=0.5 P(B) =0.7 P(A y B)= 0.3
Por lo tanto haremos uso de la propiedad P(B) + P(BC) = 1
Sustituyendo el valor de P(B):
P(B) + P(BC) = 1
0.7 + P(BC) = 1
Despejando P(BC) = 1 – 0.7
P(BC) = 0.3
b. La probabilidad de comprar el televisor o el refrigerador equivale a P(AUB)
Utilizando la propiedad: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Sustituyendo los valores conocidos:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(AUB) = 0.5 + 0.7 - 0.3
P(AUB) = 0.9 = 90%
Nota: La probabilidad de un suceso representa un porcentaje.
Ejemplo 2:
Por experiencia se sabe que un inversor comprará acciones de la banca con una probabilidad de 0.6,
que invertirá en la construcción con una probabilidad de 0.3 y que invertirá en ambos con una
probabilidad de o. 15, ¿Cuál es la probabilidad de que el inversor invierta:
a) En la banca o en la construcción
b) Que no invierta ni en la banca ni en la construcción
a)
Definamos los sucesos:
A: “Invertir en la banca”
B: “Invertir en la construcción”
P(A)= 0.6
P(B) = 0.3
P(A∩B)= 0.15
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)= 0.6 + 0.3 – 0.15
= 0. 75
b) ¿Qué significa que no invierta ni en la banca ni en la construcción? Significa que no invierta en
ninguno de las dos sectores, es decir que nos estamos refiriendo al suceso contrario de que
invierta en al menos uno de los dos.
P(No invierta en la banca ni en la construcción)= 1 – P(AUB)= 1 – 0.75 = 0.25
Ejercicios:
1. En una competencia de natación intervienen dos jóvenes que llamaremos A y B. Si se sabe que la
probabilidad que A gane, es el doble de la de B. Calcular:
a) P(A y B)
b) P(A), P(B)
c) P(A o B)
d) La probabilidad que A no gane
2. Un estudiante universitario se inscribe en un curso de estadística y otro de mercadeo. La
probabilidad de que apruebe el curso de estadística es de 0.6, y de que apruebe el curso de
mercadeo es de 0.8: la probabilidad de que apruebe los dos cursos es de 0.5. Calcular:
a) La probabilidad de que apruebe al menos uno de los dos cursos