GuiGuiaEstudio_CE_semana1

Circuitos elctricos IIGuas de estudio

Norman Csar Mercado Cruz

Jess Francisco Vargas Bonilla

Rector de la Universidad de AntioquiaAlberto Uribe Correa

Vicerrector de Docenciascar Sierra Rodrguez

Decano de la Facultad de IngenieraCarlos Alberto Palacio Tobn

Vicedecano de la Facultad de IngenieraJulio Csar Saldarriaga Molina

Coordinador del Programa de Educacin Ude@Guillermo Len Ospina Gmez

Asesor metodolgico del Programa de Educacin Ude@Guillermo Len Ospina Gmez

AutorNorman Csar Mercado CruzJess Francisco Vargas Bonilla

Jefe del Departamento de Recursos de Apoyo e Informtica (DRAI) Juan Diego Vlez Serna

Jefe de Seccin de Ayudas Tcnicas y PedaggicasLyda Yaneth Contreras Olivares

Asesor pedaggicoCarlos Alberto Hurtado Garca

Corrector de estilo Daniel Aldana Estrada

Diagramacin y diseoJuan Felipe Vargas Martnez

ImpresinImprenta Universidad de Antioquia

Primera edicin, junio de 2014

Esta publicacin es un producto del Programa de Educacin Virtual Ude@. Reservados todos los derechos. No se permite la re-produccin, archivo o transmisin total o parcial de este texto mediante ningn medio, ya sea electrnico, mecnico, ptico, de fotorreproduccin, memoria o cualquier otro tipo, sin permiso de los editores Ude@.

Universidad de AntioquiaISBN: 978-958-8748-78-8

Impreso en Medelln (Colombia)

La presente gua est dirigida a los estudiantes de Circuitos elctricos II que cursen la materia de ma-nera presencial, semipresencial o virtual. Debe entenderse como una herramienta ms para adquirir los conocimientos y las destrezas en el manejo de los circuitos en el dominio de la frecuencia. Cada gua viene acompaada de un material bsico de circuitos con un cronograma preestablecido y posteriormen-te se incorporarn videos que faciliten el proceso de autoaprendizaje. El material est compuesto por 16 mdulos, cada uno correspondiente a una semana con una dedicacin mnima de 9 horas.

Para iniciar el abordaje de la temtica, el estudiante debe tener unos conocimientos mnimos de ecua-ciones diferenciales lineales, anlisis de circuitos en el dominio del tiempo, Matlab y Spice. Tales conoci-mientos lo habilitarn para comprender el anlisis de los sistemas lineales invariantes.

A continuacin se relacionan los conocimientos mnimos requeridos.

En ecuaciones diferenciales:Ecuaciones diferenciales lineales. Teora generalSolucin complementariaSolucin particular por el mtodo del operador inverso

En anlisis de circuitos en el dominio del tiempo:Circuitos RCCircuitos RLCircuitos RLCCircuitos con fuentes controladas

En Matlab:Creacin de archivos .mRepresentacin grfica de funcionesManejo de simblicos

En Spice:Manejo de esquemticosSimulaciones

Introduccin

Circuitos elctricos II - Universidad de Antioquia - Programa de Educacin Virtual Ude@

Semana 1

7Mdulo 1: Sistemas lineales invariantes y estabilidad

Temas1. Respuesta al escaln unitario y respuesta al impulso unitario2. Respuesta ante cualquier excitacin. La integral de convolucin3. La transformada de Laplace y la funcin de transferencia de un sistema lineal invariante4. Estabilidad de los sistemas lineales invariantes5. Polinomios de Hurwitz6. Criterio de Routh-Hurwitz

El material bsico corresponde a la seccin 1.1 del curso Circuitos elctricos II, relacionado en la bibliografa del final de esta gua. Para estudiar el tema el alumno debe conocer el fundamento de los sistemas lineales invariantes y de las ecuaciones diferenciales de coefi-cientes constantes. Un sistema lineal invariante, en su forma ms elemental, se representa usualmente mediante un bloque en el que se muestran tanto la excitacin como la respuesta, tal como lo ilustra la figura 1.1.

Excitacinx (t) y (t)

SLITRespuesta

Figura 1.1

El objetivo es determinar la respuesta y(t) ante una excitacin determinada x(t).

1. Respuesta al escaln unitario y respuesta al impulso unitarioCuando la excitacin es el escaln unitario, la ecuacin diferencial es la siguiente:

( ... ) ( ) ( ),D a D a D a D a y t Ku tn n n n n1 1 2 2 1 0+ + + + + =- - - -

donde K es una constante real: K = 1/an.

De acuerdo con lo estudiado en el curso de ecuaciones diferenciales, la solucin general de la ecuacin diferencial es:

( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) / .y t C y t C y t C y t C y t K agen n n1 1 2 2 3 3 0= + + + +

En la expresin anterior, el ltimo trmino es la solucin particular o respuesta forzada del sistema. Las constantes de integracin de la solucin general se encuentran con base en las

Semana 1


Guas de estudio

8

condiciones iniciales. Despus de hallar las constantes arbitrarias se escribe la respuesta al escaln unitario: ye(t).

La respuesta al impulso unitario o respuesta natural del sistema se determina mediante la derivada con respecto al tiempo de la respuesta al escaln unitario, as: h(t) = ye(t).

A continuacin se presentan cuatro ejemplos relacionados con el tema Respuesta al esca-ln unitario y respuesta al impulso unitario.

Ejemplo 1.1

Un sistema lineal invariante de segundo orden, inicialmente en reposo, est regido por el problema de valor inicial:

( 4 3) ( ) ( ); (0) 0, ' (0) 0.D D y t x t y y2+ + = = = a. Determine la respuesta al escaln unitario.b. Determine la respuesta al impulso unitario.c. Usando Matlab, determine la respuesta al escaln unitario.d. Represente en la misma figura la respuesta al escaln unitario y la respuesta natural del

sistema.

Solucin

a. Puesto que el escaln unitario es la unidad para t > 0, el problema a resolver es:

( 4 3) ( ) 1; (0) 0, ' (0) 0.D D y t y y2+ + = = =

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homognea asociada a partir del polinomio caracterstico ( ) 4 3L 2m m m= + + .

Las races del polinomio son 1, 31 2m m=- =- y en consecuencia el conjunto funda-mental de soluciones de la homognea asociada es { , }e et t3- - .

A continuacin se determina la respuesta de estado estacionario por el mtodo del ope-rador inverso, as:

4 3

1 1 .y D D 31

2ss D 0$=

+ +=

=

Ahora se escribe la solucin general: ( ) 1/3.y t C e C et t1 2 3= + +- -

La primera derivada de la solucin general es ' ( ) 3 .y t C e C et t1 2 3=- -- -

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:


Semana 1

9

0 1/3,

.C C

C C0 31 2

1 2

= + +

=- -

Al resolver el sistema y sustituir en la solucin general, resulta la respuesta al escaln unitario, as:

( ) ( ) .y t e e u t2

161

31

et t3= - + +- -d n

b. La respuesta al impulso unitario, conocida como respuesta natural del sistema, se deter-mina como la derivada de la respuesta al escaln y se representa como:

( ) ( ) .h t e e u t21

21t t3= -- -d n

c. Usando dsolve de Matlab, se tiene:

>> y=dsolve(D2y=1-3*y-4*Dy,y(0)=0,Dy(0)=0)y =1/(6*exp(3*t)) - 1/(2*exp(t)) + 1/3pretty (y) exp(-3 t) exp(-t) --------- - ------- + 1/3 6 2

d. Para la representacin grfica se usa Matlab, as (figura 1.2):

>> t=0:0.001:5;>> ye=(1/6).*exp(-3*t)-(1/2).*exp(-t)+1/3;>> h=(1/2).*exp(-t)-(1/2).*exp(-3*t);>> plot(t,ye)>> grid on>> hold on>> plot(t,h)>>


Guas de estudio

10

0.35

0.3

0.25

0.15

0.05

0

-0.050 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.2

0.1

Figura 1.2

Ejemplo 1.2

Un sistema lineal invariante de segundo orden, inicialmente en reposo, est regido por el problema de valor inicial:

( 4 ) ( ) ( ); (0) 0, ' (0) 0.D D y t x t y y42+ + = = = a. Determine la respuesta al escaln unitario.b. Determine la respuesta al impulso unitario.c. Usando Matlab, determine la respuesta al escaln unitario.d. Represente en la misma figura la respuesta al escaln unitario y la respuesta natural del

sistema.

Solucin


( 4 3) ( ) 1; (0) 0, ' (0) 0.D D y t y y2+ + = = =

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homognea asociada a partir del polinomio caracterstico ( ) 4L 42m m m= + + .

Las races del polinomio son ,2 21 2m m=- =- y en consecuencia el conjunto funda-mental de soluciones de la homognea asociada es { , }e et t2 2- - .


.y D D4 41 1 4

1ss D2 0

$=+ +

==


Semana 1

11

Ahora se escribe la solucin general: ( ) 1/4.y t C e C tet t1 2 2 2= + +- -

La primera derivada de la solucin general es ' ( ) 2 2 .y t C e C e C tet t t1 2 2 2 2 2=- + -- - - Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:

/ ,.

CC C

0 1 40 2 2

1

1 2

= +

=- +


( ) ( ) .y t e te u t4

121

41

et t2 2= - - +- -d n


( ) ( ) ( ) .h t te u tt2= - c. Usando dsolve de Matlab, se tiene:

>> y=dsolve(D2y=1-4*y-4*Dy,y(0)=0,Dy(0)=0)y =1/4 - t/(2*exp(2*t)) - 1/(4*exp(2*t))>> pretty(y) t exp(-2 t) exp(-2 t) 1/4 - ----------- - --------- 2 4


>> t=0:0.001:5;ye=1/4 - t./(2*exp(2*t)) - 1./(4*exp(2*t));h=t./exp(2*t);plot(t,ye)grid onhold onplot(t,h)>>


Guas de estudio

12

0.25

0.2

0.15

0.05

0.1

00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Figura 1.3

Ejemplo 1.3

Un sistema lineal invariante de segundo orden, inicialmente en reposo, est regido por el problema de valor inicial: ( 4 ) ( ) ( ); (0) 0, ' (0) 0.D D y t x t y y52+ + = = =

a. Determine la respuesta al escaln unitario.b. Determine la respuesta al impulso unitario.c. Usando Matlab, determine la respuesta al escaln unitario.d. Represente en la misma figura la respuesta al escaln unitario y la respuesta natural del

sistema.

Solucin

a. Puesto que el escaln unitario es la unidad para t > 0, el problema a resolver es: ( 4 ) ( ) 1; (0) 0, ' (0) 0.D D y t y y52+ + = = =

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homognea asociada a partir del polinomio caracterstico ( )L 2 52m m m= + + .

Las races del polinomio son ,j j1 2 1 21 2m m=- + =- - y en consecuencia el conjun-to fundamental de soluciones de la homognea asociada es { (2 ), (2 )}cos sene t e tt t- - .


.y D D2 5

1 1 51

ss D2 0$=

+ +=

=


Semana 1

13

Ahora se escribe la solucin general: ( ) ( (2 ) (2 )) 1/5.cos seny t e C t C tt 1 2= + +-

La primera derivada de la solucin general es:

'( ) ( 2 ) (2 ) (2 ) (2 ) .sen cosy t e C C t C C tt 1 2 2 1= +- - -- 6 @ Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:

/ ,.

CC C

0 1 50 2

1

2 1

= +

= -


( ) (2 ) (2 ) ( ) .cos seny t e t t u t5

1101

51

et= - - +-d n< F

b. La respuesta al impulso unitario, conocida como respuesta natural del sistema, se deter-

mina como la derivada de la respuesta al escaln y se representa como:

( ) (2 ) ( ) .senh t e t u t21 t= -d n

c. Usando dsolve de Matlab, se tiene:

>> y=dsolve(D2y=1-5*y-2*Dy,y(0)=0,Dy(0)=0)y =1/5 - sin(2*t)/(10*exp(t)) - cos(2*t)/(5*exp(t))>> pretty(y) sin(2 t) exp(-t) cos(2 t) exp(-t) 1/5 - ---------------- - ---------------- 10 5


>> t=0:0.001:5;>> ye=1/5 - sin(2*t)./(10*exp(t)) - cos(2*t)./(5*exp(t));>> h=(1/2)*sin(2*t).*exp(-t);>> plot(t,ye)>> grid on>> hold on>> plot(t,h)


Guas de estudio

14

0.3

0.25

0.2

0.1

0

-0.05

-0.10 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.15

0.05

Figura 1.4

Ejemplo 1.4

Un sistema lineal invariante de tercer orden, inicialmente en reposo, est regido por la ecua-cin diferencial:

( 3 4 2) ( ) ( ).D D D y t x t3 2+ + + = a. Determine la respuesta al escaln unitario.b. Determine la respuesta al impulso unitario.c. Usando Matlab, determine la respuesta al escaln unitario.d. Represente en la misma figura la respuesta al escaln unitario y la respuesta natural del

sistema.

Solucin


( 3 4 2) ( ) 1; (0) 0, ' (0) 0, '' (0) 0.D D D y t y y y3 2+ + + = = = =

Primero que todo se determina un conjunto fundamental de soluciones de la homognea asociada a partir del polinomio caracterstico ( ) 3 4 2L 3 2m m m m= + + + .

Las races del polinomio son 1 1, 1 1, 1j j1 2 3m m m=- + =- - =- y en con-secuencia el conjunto fundamental de soluciones de la homognea asociada es { ( ), ( ), }cos sene t e t et t t- - - .


.y D D D3 4 2

1 1 21

ss D3 2 0$=

+ + +=

=


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15

Ahora se escribe la solucin general: ( ) ( ( ) ( )) 1/ .cos seny t e C t C t C e 2t t1 2 3= + + +- -

La primera derivada de la solucin general es:

' ( ) [( ) ( ) ( ) (2 )] .cosseny t e C C t C C t C et t1 2 2 1 3= - - + - -- - La segunda derivada de la solucin general es:

'' ( ) [( 2 ) ( ) (2 ) (2 )] .cosseny t e C t C t C et t2 1 3= - + +- -

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales, resulta el sistema de ecuaciones:

/ ,

0 ,.

C CC C CC C

0 1 2

0 2

1 3

2 1 3

1 3

= + +

= - -

= +


( ) ( ) ( ) ( ) .cos seny t e t t e u t21

21

21

et t= - - +- -d n< F


( ) [ ( )] ( ) .cosh t e t u t1t= --_ i c. Usando dsolve de Matlab, se tiene:

>> y=dsolve(D3y=1-2*y-4*Dy-3*D2y,y(0)=0,Dy(0)=0,D2y(0)=0)y = cos(t)/(2*exp(t)) - 1/exp(t) - sin(t)/(2*exp(t)) + 1/2 >> pretty(y) exp(-t) cos(t) exp(-t) sin(t) -------------- - exp(-t) - -------------- + 1/2 2 2


>> t=0:0.001:5;


Guas de estudio

16

0.5

0.4

0.45

0.35

0.25

0.1

0.15

0.05

00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.3

0.2

Figura 1.5

2. Respuesta ante cualquier excitacin. La integral de convolucinDe acuerdo con lo estudiado previamente en el curso Circuitos I, la respuesta ante la excita-cin x(t) es la integral de convolucin:

( ) ( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .y t h t x t h x t d h t x dt t

0 0= = =x x x x x x- -# #

A continuacin se presentan dos ejemplos relacionados con el tema Respuesta ante cual-quier excitacin. La integral de convolucin.

Ejemplo 1.5

La respuesta natural de un sistema lineal invariante est dada por:

( ) (1 ) ( ) .h t e u tt= - -

a. Determine la respuesta al escaln unitario.b. Determine la respuesta a la excitacin ( ) ( )x t e u tt= - .c. Determine la respuesta a la excitacin ( ) ( ) ( )cosx t t u t= .

Solucin

a. Puesto que la respuesta al escaln unitario es la integral de la respuesta natural, se tiene:

( ) (1 ) ( )

( ).

y t e dt u t

t e u t1e

tt

t

0=

= +

-

-

-

-

> y=int(f,0,t)y =1 - t/exp(t) - 1/exp(t) >> pretty(y) 1 - t exp(-t) - exp(-t)

c. Se aplica la integral de convolucin, as:

( ) ( )* ( ) (1 ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

cos

sen cos

y t h t x t e t z dz u t

e t t u t21

zt

t

0= =

= +

- -

-

-

-

> y=int(f,0,t)y =1/(2*exp(t)) - cos(t)/2 + sin(t)/2 >> pretty(y) exp(-t) cos(t) sin(t) ------- - ------ + ------ 2 2 2

Puesto que la convolucin es conmutativa, puede procederse de la siguiente manera:

>> f=(1-exp(-t+x))*cos(x)f =(1-exp(-t+x))*cos(x)>> y=int(f,0,t)


Guas de estudio

18

y = 1/(2*exp(t)) - cos(t)/2 + sin(t)/2>> pretty(y) exp(-t) cos(t) sin(t) ------- - ------ + ------ 2 2 2

Ejemplo 1.6

La respuesta natural de un sistema lineal invariante est dada por:

( ) ( ) ( ) .senh t t u t=

a. Determine la respuesta al escaln unitario.b. Determine la respuesta a la excitacin ( ) ( )x t e u tt= - .c. Determine la respuesta a la excitacin ( ) ( ) ( )cosx t t u t= .

Solucin

a. Puesto que la respuesta al escaln unitario es la integral de la respuesta natural, se tiene:

( ) ( ) ( )

( ) ( ).

sen

cos

y t x dx u t

t u t1e

t

0=

= -

> y=int(f,0,t) y = 1/(2*exp(t)) - cos(t)/2 + sin(t)/2 >> pretty(y)

exp(-t) cos(t) sin(t) ------- - ------ + ------ 2 2 2


Semana 1

19

c. Se aplica la integral de convolucin, as:

( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) .cosseny t h t x t x t x dx u tt

0= = -< F#

Es conveniente usar Matlab para hacer la integral, as:

>> f=cos(t-x)*sin(x)f =cos(t-x)*sin(x)>> y=int(f,0,t)y = (t*sin(t))/2 >> pretty(y) t sin(t) -------- 2

3. La transformada de Laplace y la funcin de transferencia de un sistema lineal invarianteEn el curso Ecuaciones diferenciales se estudi la transformada de Laplace para pasar una funcin del dominio de tiempo al dominio de la frecuencia compleja s con la siguiente defi-nicin: { ( )} ( ) ,L f t e f t dtst

0=

3-#

siendo s un nmero complejo que tiene parte real y parte imaginaria, as: s jv ~= + y tiene unidades de radianes/segundos. Se conviene en que las funciones en el dominio de la frecuencia se denotan por maysculas. Para las funciones ms comunes de ingeniera, conocidas como funciones respetables, siempre es posible pasar del dominio del tiempo al de la frecuencia y viceversa.

En el dominio del tiempo, la relacin entre la entrada y la salida para un sistema lineal inva-riante es la ecuacin diferencial:

( ... ) ( ) ( ... ) ( )a D a D a D a y t b D b D b D b x tn n n n m m m m1 1 1 0 1 1 1 0+ + + + = + + + +- - - - .

Si aplicamos la transformada de Laplace, teniendo en cuenta que las condiciones iniciales son iguales a cero, se obtiene:

( ... ) ( ) ( ... ) ( )a s a s a s a Y s b s b s b s b X sn n n n m m m m1 1 1 0 1 1 1 0+ + + + = + + + +- - - - .

La relacin entre la salida y la entrada en el dominio de la frecuencia recibe el nombre de funcin de transferencia del sistema y se denota como H(s):


Guas de estudio

20

( ) ...... .H s a s a s a s b s b

b s b s b s b s bs

nn

nn

nm

mm

mm

m

11

22

1 0

11

22

1 0=+ + + + +

+ + + + +

--

--

--

--

Como puede verse, la funcin de transferencia es una funcin racional y se puede expresar en la forma: ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

( ) ( ) ( ) ... ( ) .H s s p s p s p s pK s z s z s z s z

n

m

1 2 3

1 2 3=- - - -

- - - -

Las races del numerador son los ceros de la funcin de transferencia: , , ..., .z z zm1 2

Las races del denominador son los polos de la funcin de transferencia: , , ..., .p p pn1 2

Segn se podr constatar posteriormente, un sistema lineal invariante tiene una funcin de transferencia tal que el nmero de polos es mayor o igual que el nmero de ceros. Puesto que los ceros y los polos son nmeros complejos, se puede hacer un diagrama en el plano complejo en el que se indique su ubicacin; dicho diagrama recibe el nombre de diagrama de polos y ceros de la funcin de transferencia. Puesto que la salida en el dominio de la frecuencia es el producto entre la funcin de transferencia y la entrada, podemos escribir:

( ) ( ) ( ) .Y s H s X s=

Cuando la excitacin es la funcin impulso, la salida es la respuesta natural, es decir, la transformada inversa de la funcin de transferencia. El procedimiento usual para hallar la inversa de una funcin F(s) es el de descomponer en fracciones parciales. Un caso de parti-cular inters es el correspondiente a aquel en que numerador y denominador sean del mismo grado, caso en el cual aparece la funcin impulso unitario.

A continuacin se presentan tres ejemplos relacionados con el tema La transformada de Laplace y la funcin de transferencia de un sistema lineal invariante.

Ejemplo 1.7

La funcin de transferencia de un sistema lineal invariante est dada por:

( ) .H s s ss3 2

2 32= + +

+

Determine:

a. La respuesta natural.b. La respuesta al escaln unitario.c. La respuesta a la excitacin: ( ) ( ) .x t e u tt= -


Semana 1

21

Solucin

a. La funcin de transferencia se puede expresar en la forma:

( ) .H s s s11

21

=+

++

En consecuencia, la respuesta natural est dada por:

( ) ( ) ( ) .h t e e u tt t2= +- -

b. En cuanto a la respuesta al escaln unitario, se puede proceder de tres maneras distin-tas, a saber:

(1). Mediante la integral de la respuesta natural:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) .

ye t h x dx e e dx u t

e e u t23

21

tx x

t

t t

0

2

0

2

= = +

= - -

- -

- -

dd

nn

# #

(2). Mediante la inversa de ( ) ( ) ( ) ( ) .Ye s s

H ss s s

s1 2

2 3= =

+ ++

Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:

( ) ( ) .Ye s s s s23

11

2 21

= -+

-+

En consecuencia, la respuesta al escaln unitario es:

( ) ( ) .ye t e e u t23

21t t2= - -- -< F

(3). Usando Matlab, as:

>> f=ilaplace((2*s+3)/(s*(s+1)*(s+2))) f = 3/2 - 1/(2*exp(2*t)) - 1/exp(t) >> pretty(f) exp(-2 t) 3/2 - --------- - exp(-t) 2


Guas de estudio

22

c. Para hallar la respuesta a la funcin ( )e u tt- partimos de la correspondiente transforma-da de Laplace, as:

( ) ( )( ) ( ) ( ) .Y s s s s

ss s

s1 3 2

2 31 22 3

2 2= + + ++ =

+ ++

Descomponiendo en fracciones parciales, se tiene:

( ) ( ) .Y s s s s11

11

21

2= ++

+-

+

Tomando la transformada inversa de Laplace, se encuentra que:

( ) ( ) .y t te e e u tt t1 2= + -- - -7 A Usando Matlab, se tiene:

>> f=ilaplace((2*s+3)/((s+1)^2*(s+2)))f =1/exp(t) - 1/exp(2*t) + t/exp(t)>> pretty(f) exp(-t) - exp(-2 t) + t exp(-t)

Ejemplo 1.8

Un sistema lineal invariante est regido por la ecuacin diferencial:

( 4 4) ( ) (2 1) ( ) .D D D y t D x t3 2+ + + = + Determine:

a. La funcin de transferencia del sistema.b. La respuesta al escaln unitario.c. La respuesta a la excitacin: ( ) ( ) ( ) .cosx t t u t=

Solucin

a. La funcin de transferencia est dada por:

( ) ( ) ( ) .H s s s ss

s ss

4 42 1

1 42 1

3 2 2= + + ++ =

+ ++

b. La respuesta natural se determina usando Matlab, as:


Semana 1

23

>> f=ilaplace((2*s+1)/((s+1)*(s^2+4)))f = cos(2*t)/5 - 1/(5*exp(t)) + (9*sin(2*t))/10 >> pretty(f) cos(2 t) exp(-t) 9 sin(2 t) -------- - ------- + ---------- 5 5 10

c. En este caso se tiene que ( )X s ss

12= + , con lo que:

( ) ( ) ( ) ( ) .Y s s s ss s

1 4 12

2 2

2=

+ + ++

La inversa se determina usando Matlab, as:

>> f=ilaplace((2*s^2+s)/((s+1)*(s^2+4)*(s^2+1)))f = 1/(10*exp(t)) - (3*cos(2*t))/5 + (2*sin(2*t))/15 + cos(t)/2 - sin(t)/6 >> pretty(f) exp(-t) 3 cos(2 t) 2 sin(2 t) cos(t) sin(t) ------- - ---------- + ---------- + ------ - ------ 10 5 15 2 6

Ejemplo 1.9

Un sistema lineal invariante de tercer orden tiene un cero en 2z =- , un polo real en el origen y dos polos complejos conjugados en , 1 2.p p j1 2 !=-

La funcin de transferencia del sistema presenta la forma:

( ) ( ) .H s K s s ss

2 52

2= + ++

a. Determine el valor de K de tal manera que H(1) = 6. b. Con el valor hallado determine la respuesta natural y represente grficamente.

Solucin

a. Con base en la condicin, se tiene:

6 16 ( ) ( ) .K K H s s s ss

83

2 516 322& &= = = + ++

b. Usando Matlab, se tiene:


Guas de estudio

24

>> f=ilaplace((16*s+32)/((s)*(s^2+2*s+5))) f =32/5 - (32*(cos(2*t) - (3*sin(2*t))/4))/(5*exp(t)) >> pretty(f) / 3 sin(2 t) \ 32 exp(-t) | cos(2 t) - ---------- | \ 4 / 32/5 - ------------------------------------ 5

La grfica se ilustra a continuacin (figura 1.6).

9

8

7

6

5

4

3

2

1

00 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Figura 1.6

4. Estabilidad de los sistemas lineales invariantesEl concepto de estabilidad es fundamental en el anlisis y diseo de los sistema lineales invariantes. A partir de la funcin de transferencia se puede establecer si un sistema es estable, inestable o marginalmente estable.

A continuacin se presentan tres ejemplos relacionados con el tema Estabilidad de los sis-temas lineales invariantes.

Ejemplo 1.10

Clasifique los siguientes sistemas de acuerdo con la estabilidad.

a. ( ) .H s s ss3 23

2= + +

b. ( ) .H s s s ss s

4 42 3

3 2

2=

+ + ++ +

c. ( ) .H s s ss

31

3 2= +-


Semana 1

25

d. ( ) .H s s s s

s4 6

2 33 2= + + +

+

Solucin

a. La funcin de transferencia se puede expresar en la forma:

( ) ( ) ( ) .H s s ss

1 23

=+ +

Puesto que los polos son 1, 2p p1 2=- =- , el sistema es estable.

b. La funcin de transferencia se puede expresar en la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .H s s s ss s

s ss s

1 4 12 3

4 12 3

2

2

2

2=

+ + ++ + =

+ ++ +

Puesto que los polos son , 2, 1p p j p1 2 3!= =- , el sistema es marginalmente estable.

c. La funcin de transferencia se puede expresar en la forma:

( ) ( )H s s ss

31

2= +- .

Puesto que los polos son 0, 3p p p1 2 3= = =- , el sistema es inestable.

d. En este caso es necesario hallar los polos usando Matlab, as:

>> p=[1 1 4 6]p = 1 1 4 6>> polos=roots(p)polos = 0.1722 + 2.1056i 0.1722 - 2.1056i -1.3444

Puesto que hay dos polos a la derecha del eje imaginario, el sistema es inestable.

5. Polinomios de HurwitzDe acuerdo con lo presentado en el material del curso, para que un polinomio sea de Hurwitz debe cumplir condiciones de necesidad y de suficiencia.

Dado el polinomio: ( ) ... ,P s a s a s a s a s an n n n n n1 1 2 2 1 0= + + + + +- - - -


Guas de estudio

26

para que sea de Hurwitz es necesario que todos los coeficientes sean positivos, salvo que el polinomio sea estrictamente par o estrictamente impar.

6. Criterio de Routh-HurwitzCuando todos los coeficientes del polinomio son positivos o el polinomio es estrictamente par o estrictamente impar, se elabora el arreglo de Routh y se analiza la primera columna. De acuerdo con lo presentado en el material del curso, si todos los elementos de la primera columna son positivos se concluye que el polinomio es de Hurwitz.

A continuacin se presentan dos ejemplos relacionados con los temas Polinomios de Hurwitz y Criterio de Routh-Hurwitz.

Ejemplo 1.11

Explique la razn por la cual los siguientes polinomios no son de Hurwitz:

a. ( ) 3 4 2.P s s s2= + - b. ( ) 3 4 2.P s s s3= + + c. ( ) 4 2 .P s s s s4 3 2= + +

Solucin

a. No es de Hurwitz porque uno de los coeficientes es negativo.b. No es de Hurwitz porque uno de los coeficientes es cero.c. No es de Hurwitz porque dos de los coeficientes son cero

Ejemplo 1.12

Cules de los siguientes polinomios son de Hurwitz:

a. ( ) 3 4 5 2.P s s s s3 2= + + + b. ( ) 3 3 4 2.P s s s s s4 3 2= + + + + c. ( ) 4 .P s s s 34 2= + + d. ( ) .P s s s s2 35 3= + +

Solucin

a. Elaboramos el arreglo, as:

/c

347 22

5200

=

R

T

SSSSS

V

X

WWWWW

.

El polinomio es de Hurwitz.


Semana 1

27

b. Elaboramos el arreglo, as:

//

.c

135 32 52

34200

20000

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW


c. Elaboramos el arreglo, as:

.c

14223

48300

30000

=

R

T

SSSSSS

V

X

WWWWWW


d. Elaboramos el arreglo, as:

/ //

/ .c

154 536 5

111 93

26

12 5300

330000

=-

R

T

SSSSSSSS

V

X

WWWWWWWW

El polinomio no es de Hurwitz. En efecto, al calcular las races, se tiene:

>> p=[1 0 2 0 3 0]p = 1 0 2 0 3 0>> roots(p)ans = 0 -0.6050 + 1.1688i -0.6050 - 1.1688i 0.6050 + 1.1688i 0.6050 - 1.1688i

Hay dos races a la derecha del eje imaginario.


Guas de estudio

28

BibliografaIrwin, J. D. Anlisis bsico de circuitos en ingeniera, 6. ed., pp. 497-517, Mxico. La trans-

formada de Laplace.Bobrow, L. S. Anlisis de circuitos elctricos, pp. 641-675, Mxico. La transformada de La-

place.Dorf/Svoboda. Circuitos elctricos. Introduccin al anlisis y diseo, 3. ed., pp. 711-770,

Mxico. La transformada de Laplace.Carlson, A. B. Circuitos, pp. 575-602, Mxico. Anlisis de circuitos mediante la transformada

de Laplace.Budak, Aram. Circuit theory. Fundamentals and aplications, pp. 180-193, New Jersey. Solving

Network by Laplace Transformation.Van Valkenburg, M. E. Anlisis de redes, 3. ed., pp. 201-236, Mxico. La transformada de

Laplace.Mercado/Vargas. Notas para un curso de Circuitos elctricos II, 3. ed., pp.1-13, Medelln.

Circuitos en el dominio de la frecuencia.

GuiGuiaEstudio_CE_semana1

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