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Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:les rayons piégés
B: Équations de MaxwellIndice optiqueRéfractionSusceptibilité linéaire
C: Modes de propagationsTransverses électriquesTransverses magnétiquesAnalogie quantiqueInterprétation géométriqueDispersion modale
C: Confinement optiqueapplication aux lasers
D: Théorie des modes couplésfonction enveloppe
E: Guides de Braggaccord de phaseguide de Bragg
F: Technologies des guides d’ondesFibres optiquesGap photoniques
Emmanuel Rosencher MNO 2 8/02/2005
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1n
2n
2n
Approche géométrique
'cθcθ 1
2nn
c'sin =θ
Angle critique de guidage
maxθ
21
22
n
n1c1max 1nsinnsinON −=== θθ
Ouverture numérique
22
21 nnON −=
Interaction onde-matière faible
c1ext n θθ sinsin =
2W0
20z #λπ λ ≈=
0W
Espace libre:Propagation sur de petites distances
Interaction onde-matière forte
Guide optique:Propagation sur de longues distances
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Approche géométriqueDéphasage de Fresnel
Quantification desdirections de propagation
Effet Goos-Hanschen
Pénétration tunnel des photons
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Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:les rayons piégés
B: Équations de MaxwellIndice optiqueRéfractionSusceptibilité linéaire
C: Modes de propagationsTransverses électriquesTransverses magnétiquesAnalogie quantiqueInterprétation géométriqueDispersion modale
C: Confinement optiqueapplication aux lasers
D: Théorie des modes couplésfonction enveloppe
E: Guides de Braggaccord de phaseguide de Bragg
F: Technologies des guides d’ondesFibres optiquesGap photoniques
L’indice neff est fonction de 1/λ soit encore de ω
Le guide est dispersif !
L’indice effectif dépend de λ: en effet
Exemple: n1 = 1.8, n2 = 1.2 ON21
sm0d =λ
341ON .≈370
sm0d .≈λ
effn
λ/d0 0.5 1 1.5 2
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
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Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:les rayons piégés
B: Équations de MaxwellIndice optiqueRéfractionSusceptibilité linéaire
C: Modes de propagationsTransverses électriquesTransverses magnétiquesAnalogie quantiqueInterprétation géométriqueDispersion modale
C: Confinement optiqueapplication aux lasers
D: Théorie des modes couplésfonction enveloppe
E: Guides de Braggaccord de phaseguide de Bragg
F: Technologies des guides d’ondesFibres optiquesGap photoniques
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CONFINEMENT
( )
( )ℜ+
∫
∫== ∞ 1
1
dxxE2
dxxE2
0
2
2/d
0
2
Γ
( )
( )∫
∫∞
=ℜ2/d
0
2
2/d
2
dxxE
dxxE
avec
Dans un guide symétrique:
( ) d2
2Cx2
2/d
2
2/d
2 edxeCdxxE κκ
κ −−∞∞=∫=∫
( ) ( ) ( ) dx2d
0x212
2Adxx22d
0
2A2d
0dxx2E ∫ +=∫=∫
/coscos
//αα ( )dsind 1
42A α
α+=
totaleénergieguideledansénergie=Γ
Facteur de confinement
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
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( ) ( )guideledansénergieguideduhorsénergie
dd
2d2dd
e2AC2
mmm
1m
2
m1
d===ℜ
++
−
αα
κακαα
κ
sin
/cos
sin
0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
4
6
8
10
T
m
mmmm 2dtgT ακα // ==
( )2
mT11
m2 2d
+=/cos α
2m
mT1
T2md
+=αsin
avecet
et2
mT1
ONkm
+=α
( ) 2mm
2m T1TONdkT
1m
++=ℜ
∞→ℜm quand ∞→m0→Γet
Les modes de plus bas indices sont les plus confinés
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Application à une structure laser GaAs/AlGaAs
0.9 1.1 1.2 1.3λHµmL3.25
3.3
3.35
3.4
3.45
3.5
3.55
3.6n Alx Ga1-xAs
.1.2
.3.4
Variation de l’indice dans AlGaAs
0 0.5 1 1.5 2
3.28
3.3
3.32
3.34
3.36
3.38
Modes guidés dans GaAs/AlGaAs
ΓGaAs = 0.02
x1= 0.2
nAlGaAs1= 3. 274
nAlGaAs2= 3. 393
x2= 0.4
ON= 0.89
dmax = λ/2ON = 0.5 µm
apuits= 10 nm
GaAs
AlGaAs1AlGaAs2
-1 -0.5 0.5 1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
!!!
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Guides d’onde et applications
A: Approche géométrique:les rayons piégés
B: Équations de MaxwellIndice optiqueRéfractionSusceptibilité linéaire
C: Modes de propagationsTransverses électriquesTransverses magnétiquesAnalogie quantiqueInterprétation géométriqueDispersion modale
C: Confinement optiqueapplication aux lasers
D: Théorie des modes couplésfonction enveloppe
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F: Technologies des guides d’ondesFibres optiquesGap photoniques
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Théorie des modes couplés
Par construction:
( ) ( )( ) ( ) 0xErnkxE m2
m22
m2dx
2d =−+ βr*
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Théorie des modes couplésAvertissements:
- calcul générique à de très nombreux domaines de la Physique:optique non linéaire, micro-ondes, acoustique, mécanique quantique…- archétype du calcul qui commence mal et termine bien- demande du sang froid
Rappel: fonction lentement variable dite « enveloppe »
AdA<<
k1dz /=
dzAd
dz
Adk2
2<<
Akdz
Ad<<
( ) ( ) ( ) )()( tzimm
tzim mm exEzAexE ωβωβ −− →
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Théorie des modes couplés
La base des modes est complète: ( ) ( ) ( ) ( ) ..,, ccexEzAtzxE ztim
mm m +∑= − βω
0AcstA 1m1 == >,par exemple:
On introduit une perturbation par exemple ( ) ( ) ( )trErtrP 0per ,, εε ∆=
( )rε∆perturbation
x
z
( ) ( )trPErnkE per2dt
2d0
222 ,µ=+∇rr
Équation fondamentale de l’optoélectronique
PEE 22
20
22
2 dtd
c
1
dtd
c
12 rrr
ε=−∇
( )per
10 PEP
rrr+= χε
Si Pper = 0, les modes sont stationnaires c.a.d cstAm = solution
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La présence de la perturbation Pper va coupler les modes(cf mécanique quantique)
( ) ( )trPErnkE per2dt
2d0
222dz
2d2dx
2d ,µ=+
+
rrr
( ) ( ) ( ) ( ) ..,, ccexEzAtzxE ztim
mm m +∑= − βω
modes propres
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑
+−
mm
22m
2mm2dx
2dm xErnkxExEzA rβ
( ) ( ) ( ) ( )per
dtd
0zti
mmdzd
mmdzd PccexEzAi2zA
22
m22
µβ βω =+
−+ − ..
fonction lentement variable
?
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On projette sur le mode q: ( ) ( ) qmqmmq dxxExEEE ,* δ=∫=
∞
∞−
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫=−∞
∞−
+−−+ dxxEtrPiezAezA qper2dt
2dq20zqti
qdzdzqti
qdzd *,rβ
µβωβω
( ) ( ) ( )per
dtd
0zti
mm
mdzd
m PccexEzAi2 22
m µβ βω =+
∑− − ..
Ce n’était pas si catastrophique que cela …
La perturbation nourrit les modes q
( ) E2 2m2h
−↔± βen n’oubliant par la dégénérescence
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( ) ( ) ( ) ( )∫−=−∞
∞−
+−−+ dxxErPiezAezA qper2
q20zqi
qdzdzqi
qdzd *ωβ
µββ
Théorie des modes couplés: résultats
( ) ( ) ( )∫−=∞
∞−
−dxxErPiezA qper
2q20zqi
qdzd *rωβ
µβ
Fondamental pour optique non linéaire, acoustique, électronique, guide de Bragg, …