1 - materiali - analisi strutturale - stati limite ultimi Pisa, 26 Gennaio 2007 Prof. ing. Piero Marro Dr. ing. Matteo Guiglia Dr. ing. Maurizio Taliano Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica Politecnico di Torino Guida all’uso dell’Eurocodice 2 nella progettazione strutturale
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1
- materiali- analisi strutturale- stati limite ultimi
Pisa, 26 Gennaio 2007
Prof. ing. Piero Marro Dr. ing. Matteo GuigliaDr. ing. Maurizio Taliano
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e GeotecnicaPolitecnico di Torino
Guida all’uso dell’Eurocodice 2 nella progettazione strutturale
P. Marro, M. Guiglia, M. TalianoDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino 2
Materiali (Sez. 3-EC2)
Calcestruzzo
fck = resistenza cilindrica a compressione caratteristica a 28 giorni.
ENV: da 12 a 50 N/mm2
EN: da 12 a 90 N/mm2 (14 classi)
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Caratteristiche meccaniche e fisiche correlate a fck(Prospetto 3.1-EC2 )
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fck 12 90 N/mm2 90/12 = 7,5
fctm 1,6 5,0 N/mm2 5,0/1,6 = 3,1
Ecm 27 44 kN/mm2 44/27 = 1,6
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Calcestruzzo ad alta resistenza
- elementi compressi
- travi precompresse
- meno conveniente per travi non precompresse in quanto:
• sfruttamento della resistenza solo in zona compressa
• elevate percentuali di armatura, difficoltà di collocazione
• limiti inflessione
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ENV:
con MRd,NRd fcd ⋅ 0,85
EN:
(αcc= 0,85)
Resistenza a compressione di progetto fcd
C
ckcd
ff
γ=
ccC
ckcd
ff α⋅γ
=
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ENV EN
Conseguenza della definizione di
- nuove tabelle e nuovi diagrammi dei manuali fck ≤ 50 N/mm2
alterati da 1 / 0,85
ccC
ckcd
ff α⋅γ
=
Nuove tabelle e diagrammi per fck > 50 N/mm2
ω=0,5
ω=0
μ
ν0.40 0.85 ν
ω=0,5
ω=0
μ
ν0.48 1.00 ν
0.20 0.23
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Diagramma σc-εc di progetto: parabola (esponenziale) - rettangolo
0
10
20
30
40
50
εc
σc
(N/mm2)
C30/37
C50/60
C70/85
C90/105
2,0‰ 3,5 ‰
2,4 ‰ 2,7 ‰
2,6 ‰
C60/75 2,9 ‰2,3 ‰
C80/95
1,0‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰
2,0% 3,5%
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Diagramma σc-εc di progetto: bilineare
0
10
20
30
40
50
εc
σc
(N/mm2)
C30/37
C50/60
C70/85
C90/105
1,75 ‰ 3,5 ‰
2,0 ‰ 2,7 ‰
2,6 ‰ 2,3‰
C60/75
C80/95
1,9 ‰ 2,9 ‰
2,2 ‰ 2,6 ‰
1,0 ‰ 2,0 ‰ 3,0 ‰
1,75% 3,5%
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Distribuzione rettangolare delle tensioni
A
d
fcd
Fs
x
εs
x
εcu3
Fc
s
λ < 1η ≤ 1
λ
η
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Acciaio per cemento armato ordinario
ENV:
alta duttilità εuk ≥ 50 ‰
εud = 0,9 εuk = 67,5 ‰
EN:
B450C εuk ≥ 75 ‰σs
εs
10 ‰
σs
∞
εs
∞
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Analisi strutturale (Sez. 5-EC2, da 5.1 a 5.7)
Imperfezioni geometriche
Valori riferiti alla Classe 1 (esecuzione normale) di ENV 13670 "Execution"
Inclinazione:
θi per S.L.U.
in particolare con effetti del secondo ordine
mhoi ααθθ ⋅⋅=
166,0 2≤≤= hh L
αα
)77,0 5m (es. )11(5,0 m =⇒=+⋅= ααmm
200/1=oθ
N
iθ
L
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Analisi strutturale
Nell'evoluzione della risposta della struttura alle azioni compaiono:
- fessure
- plasticizzazione dell’acciaio
- plasticizzazione del calcestruzzo
Nelle strutture isostatiche aumento inflessione
Nelle strutture iperstatiche
reazioni vincolari, sollecitazioni M,V(risposta non lineare)
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• Le rotazioni anelastiche prendono il posto di deformazioni elastiche:localmente M diminuisce
• L'effetto locale di rotazioni anelastiche ha segno opposto a quello della causa che le ha determinate
q L /8
L L2
+
M(q)
M1
+
X X
1
Trave continua. Fessurazione all’appoggio centrale
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In EC2 quattro metodi prendono in conto questi fenomeni in modo diverso
Analisi lineare elastica (ALE)
Analisi lineare elastica con ridistribuzionelimitata (LR)
Analisi plastica (P)
Analisi non lineare (ANL)
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ALE (analisi lineare elastica)
Vale per S.L.E. e S.L.U.
In presenza di carichi
• elasticità, sezioni interamente reagenti fino a S.L.U.
• vantaggio: principio sovrapposizione effetti
• sarebbe necessaria una limitazione di x/d (che EC2 non impone); altrimenti incertezza di modello, rischio rottura fragile
Come:
In presenza di deformazioni impresse (effetti termici, cedimenti vincolari):
• analisi S.L.U. con sezioni fessurate e senza tension-stiffening
• analisi S.L.E. con graduale evoluzione della fessurazione
ENV
x/d = 0,45 (fck ≤ 35 N/mm2)
x/d = 0,35 (35 < fck ≤ 50 N/mm2)
DIN 1045:2001
x/d = 0,45 (fck ≤ 50 N/mm2)
x/d = 0,35 (50 < fck ≤ 100 N/mm2)
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LR (analisi lineare elastica con ridistribuzione limitata)
Metodo progettuale per S.L.U.
Dove compare una cerniera plastica, M viene ridotto rinviando lasollecitazione verso altre parti :
si può di ridurre localmente l’armatura tesa, As, in funzione della ridistribuzione δ
i valori di ridistribuzione δ (max 30%) dipendono da:
• classe dell’acciaio (in Italia, classe C)
• fck e εcu
• x/d
se la ridistribuzione δ è troppo spinta, anche se ammissibile per lo S.L.U., σc e σs possono risultare eccessive allo S.L.E.
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P (analisi plastica)
Applicazione della teoria della plasticità. Vale solo per S.L.U.
Metodo Statico (lower bound method):
- struttura resa isostatica
- rispetto delle condizioni di equilibrio e di plasticità
- Qu,vero ≥ Qlim (calcolato)
Metodo Cinematico (upper bound method)
- struttura trasformata in un meccanismo
- posizione arbitraria delle cerniere con possibilità diaffinamento
- Qu,vero ≤ Qlim (calcolato)
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P (analisi plastica)
In EC2:
Applicazioni del metodo statico
- schema puntoni-tiranti
- metodo strisce per le piastre
- metodo θ variabile per le travi
Applicazioni del metodo cinematico
- travi e piastre (linee di rottura)
- richiesti: acciai di classe B o C
- duttilità diffusa senza verifica capacità rotazione se
x/d ≤ 0,25 per fck ≤ 50 N/mm2
x/d ≤ 0,15 per fck > 50 N/mm2
altrimenti si richiede la verifica di θpl
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ANL (analisi non lineare)
- Tiene conto di tutti i fenomeni
- Costituisce un procedimento evolutivo al passo
- Rispetta le condizioni di equilibrio e di compatibilità
- Richiede modellazione σ-ε acciaio e calcestruzzo, nonché valori θpl
- Richiede l’uso di elaboratore
EC2 non fornisce regole specifiche
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Confronto fra i metodi di analisi
Travi duttili, progetto base ALE senza ridondanze di As:
portanza ANL = portanza ALE
Travi duttili, progetto base ALE con ridondanze di As:
portanza ANL > portanza ALE
Travi duttili progettate con LR:
ANL conferma SLU, ma evidenzia eventuali insufficienze a SLE
Portanza Pcinematico > Portanza ANL
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S.L.U. per flessione semplice e composta (Sez. 6.1-EC2)
- 1 pagina EC2 30 pagine Guida
- metodi noti, novità su materiali:
- calcestruzzo 50 90 N/mm2
- acciaio εud 67,5 ‰
- S.L.U.: σc (εc) funzione esponenziale:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛εε
−−=n
2c
ccd 11f
fck(N/mm2)
n
≤50 2,060 1,670 1,4580 1,490 1,4
x
εcu2
εc2
fcd
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Tabelle di β1 β2 per ogni fck, anche per x > h
Fc = b β1 x fcd
M = Fc (d - β2 x)
σc
Fc β2 xx
εcu2
εc2
fcd
d
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Problemi svolti:
Dati: geometria, meccanica della sezione e retta deformazione, determinare NRd e MRd
Dati: geometria, meccanica della sezione e NEd, determinare MRd
Dati: geometria, NEd e MEd , determinare As e A's
Applicazioni a sezioni rettangolari e a T
Trattazione in terminidimensionali non trattandosi di un manuale
Esempio: diagramma di interazione NRd – MRd
0
200
400
600
800
1000
1200
-8000-6000-4000-200002000
Sforzo normale NRd (kN)
Dati:
fck = 30 N/mm2
fyk = 450 N/mm2
γc = 1,5
γs = 1,15 As = 3600 mm2
As = 2400 mm2
As = 1200 mm2
As = 050‰‰5,3sc −=εε
25‰‰5,3sc −=εε
10‰‰5,3sc −=εε
sydsc ‰5,3 ε−=εε
0‰5,3sc −=εε
0‰5,3inf,cc −=εε
‰0,2c −=ε
d'=5
0
h=60
0
b=400
As
d'=5
0
As
Mom
ento
M
Rd
(k
Nm
)
MRd=NRd h/30
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S.L.U. per taglio (Sez. 6.2-EC2)
Elementi privi di armature trasversali
Sono le nervature dei solai e le piastre. Non le travi perché queste devono avere almeno l'armatura minima (Sez. 9-EC2).
fck=90
50
3020
50
40
30
20
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
0,5 1,0 1,5 2,0ρ =
l
VRd,c
bw d(N/mm2)
ENENV
Asl
b dw
d=200 mm
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Travi con armature trasversaliUn solo metodo di verifica: θ variabile (in ENV anche metodo "standard“).
Campo di θ più ristretto rispetto a ENV : 1 ≤ cot θ ≤ 2,5 (anziché 0,4 - 2,5)
(45° ≤θ≤ 21,8° anziché 68,2°-21,8°)
Formule derivanti dall'applicazione del metodo statico della plasticità. Pur essendo un metodo lower bound, è necessario adottare σc = ν fcd (con ν < 1, funzione di fck)
Effetto del taglio: correnti superiore e inferiore tesi, anima compressa, in funzione di α e di θ
θ
s
d
A
V (cot θ − cotα)
V
N M α ½ z
½ zVz = 0,9d
Fcd
Ftd
B
C D
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Taglio resistente delle bielle compresse e delle armature
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5cotθ
VRd
VRd,max
0,50
VRd,s
0,34
minimasw
sA
ν fcd bw z
α= 90°A
B
C
P. Marro, M. Guiglia, M. TalianoDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino 28
Taglio resistente delle bielle compresse
α= 45° 1,00
0,79
0,50 0,480,420,34
α= 60°
α= 90°
VRd
ν fcd bw z
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5cotθ
A
B
P. Marro, M. Guiglia, M. TalianoDipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino 29
Armature necessarie
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,0 1,5 2,0 2,5 cot θ
Asw/ s0,28
ΔA sl
minimasws
A
α= 90°
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S.L.U. per torsione (Sez. 6.3-EC2)
- torsione di compatibilità armature minime (Sez.9-EC2)
- torsione di equilibrio verifica statica
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Per torsione di equilibrio: sezione resistente tubolare ideale con flusso di τ calcolato alla Bredt
A - linea media
B - perimetro esterno della sezione effettiva
B TEd
t ef
A
tef /2
zi
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Ogni tratto zi della sezione tubolare si comporta come una sezione rettangolare soggetta a taglio. Risultano:
bielle compresse di inclinazione θ variabile:
- inclinazione θ come per il taglio
- σc ≤ ν fcd con ν < 1 come per il taglio
armature trasversali tese: staffe α = 90°
armature longitudinali tese (analogia correnti trave a taglio)
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Combinazioni taglio-torsione
sollecitazioni limitate (assenza fessure)
⇒ diagramma di interazione lineare fra VRd,c e TRd,c , sollecitazioni resistenti per sezioni non armate. Si dispone solo l'armatura minima.
sollecitazioni importanti
⇒ diagramma di interazione lineare fra VRd,max e TRd,max ,sollecitazioni resistenti corrispondenti alla resistenza delle bielle compresse. Si dispone l'armatura necessaria.