DINAMICA DE LA ROTACION Un sólido rígido es aquel en que las distancias entre las partículas que lo componen no varia, si se considera que el sólido que se trabaja en rígido entonces se podrá considerar que la velocidad angular es la misma en todos sus puntos. El movimiento general de un sólido rígido, es la composición de un movimiento de traslación del centro de masa y de un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masa. En el movimiento de rodar sin deslizar, la rueda se traslada a la vez que gira. • En el movimiento de traslación, todos los puntos del sólido se mueven en trayectorias paralelas. La velocidad de un punto del sólido es la misma que la velocidad del centro de masas. • En el movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas, la velocidad de un punto del sólido es proporcional la radio de la ci rcunferenc ia que descri be, y su dir ecci ón es tangente a di cha circunferencia. En el movimiento de rodar sin deslizar, existe una relación entre el movimiento de rotación y traslación. El punto de la rueda que está en contacto en un instante dado con el suelo tiene velocidad nula. Por tanto, se debe de cumplirque RVω = , es decir, la velocidad de traslación Ves igual a la velocidad de rotación ω por el radio de la rueda R
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1.- Una varilla de 500 g y 75 cm de longitud lleva soldada en un extremouna esfera de 10 cm de radio y 250 g de masa. Calcular el momento de inerciacuando gira alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por elextremo libre.
El momento de inercia será la suma del momento de inercia de una varilla másel de la esfera. Como el eje de simetría de la esfera no coincide con el eje derotación aplicamos el Teorema de los ejes paralelos, de manera que:
( )2
ev eev v ev
KgmI
R LmR mLmI I I
27.0
5
2
12
1 222
=
+++=+=
2.- Un cilindro de 50 Kg y 20 cm de radio gira respecto de un eje verticalque coincide con su eje de simetría debido a una fuerza constante, la cual seaplica sobre su periferia y que después de 40 seg de iniciado el movimientoalcanza 200 rpm. Calcular:
a. El valor de la fuerzab. El momento de la fuerza aplicada (Torque)
t
f
mR I
I
o f
f
ω ω
α
π ω
α τ
−=
=
=
⋅=
60
2
2
1 2
Nm52 .0 =τ
θ
τ θ τ senR
F senR F ⋅
=⇒⋅⋅=
N 62 .2 F =
3.- Una polea homogénea de 0.3 m de radio, 20 Kg y momento de inerciaigual a 18 Kgm2 gira alrededor de su eje de simetría debido a la acción de dosmasas: M (15 Kg) y m (10 Kg), determine:
a. Las tensiones de las cuerdas
b. La aceleración angular de la polea
Eje de simetríaEje de rotación
200 rpm es el valor de la frecuencia (f) y se transforma a
rad/s para obtener el valor de la velocidad final (ω f )
Supongamos que el sistema acelera hacia el lado de la masa mayor M
R
aI tR TR I tR TR I I
mamg t
MaT Mg
t T total =−⇒=−⇒=−⇒=
=−=−
α α τ τ α τ
Por lo tanto se tiene un sistema de tres ecuaciones:
R
aI tR TR
mamg t
MaT Mg
=−
=−=−
Resolviendo:2
sm22 .0 a =
2 srad 73.0 =α
N 100.2 t
N 2 .143T
=
=
4.- Un cilindro macizo homogéneo de 20 Kg y 40 cm de radio baja rodando,sin deslizar, por un plano inclinado 30º sobre la horizontal, partiendo del reposodesciende una altura vertical de 2 m, calcular:
a. Energía cinética de rotación y traslación adquiridas en el tiempo duranteel que desciende verticalmente esos dos m.
b. El momento de inercia del cilindro suponiendo que gira respecto de unageneratriz
2 c
2 c
mV 2
1E
I
2
1E
traslación
rotación
=
= ω
Como no se pueden resolver estas expresiones se realiza un balance deenergía desde la parte superior del plano hasta la inferior para obtener lavelocidad del cilindro, teniendo en cuenta que como baja sin deslizar R V ω =
Para determinar el momento de inercia respecto a una generatriz se aplica elteorema de los ejes paralelos:
2 2
2
cm
mR mR 2
1I
md I I
+=+=
2 Kgm8 .4I =
5.- La figura representa un cilindro macizo y homogéneo de 20 cm de radioy 20 Kg de masa, a su periferia va arrollado un hilo ideal de cuyo extremo libre
cuelga una masa de 8 Kg; por una hendidura muy fina se le enrolla otro hiloideal a una distancia horizontal de 10 cm a cuyo extremo libre se le aplica unafuerza constante F= 200N. Calcule:
a. Aceleración con que sube la masa m b. Aceleración angular del cilindroc. Tensión del hilo que sostiene la masad. Momento de inercia del cilindro respecto
a un eje que coincida con una generatriz
∑∑
⋅=
⋅=
giran)que(objetos
)trasladanseque(objetos
α τ I
am F
=−⇒=−⇒=−⇒=
=−
R
aMRTR Fr I TR Fr I I
mamg T
R F TOTAL
2
2
1α α τ τ α τ
Por lo tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:
=−
=−
R
aMRTR Fr
mamg T
2
2
1
Resolviendo:
2
m1.2a
N88
s
T
=
=
Como R a α = entonces 26 srad =α
Para determinar el momento de inercia respecto a una generatriz se aplica elteorema de los ejes paralelos:
Como la velocidad de la pesa cuando ha descendido 4 m en 4 seg es:
sV at V V f of m2=⇒+= , entonces:
⇒−=2
2mV mghE
ROTACION c J6.297=
ROTACION c E
7.- Una polea doble, de momento de inercia 0.6 kg.m2
está formada por dos poleas de radios 4 cm y 8 cmsolidarias. En cada una de ellas hay una cuerda sin masa
enrollada de la que cuelgan masas de 40 y 60 kg. Calcular la aceleración angular del sistema y las tensiones de lascuerdas.
El momento que produce la masa de 40 kg es mayor que elproducido por la masa de 60 kg, por lo que el sistema, degirar, girará a la izquierda:
Nm2 .3R g m 111 =⋅=τ Nm4.2 R g m 2 2 2 =⋅=τ
Las tensiones en las cuerdas son:
11111111 R mT g mamT g m α =−⇒=−
2 2 2 2 2 2 2 2 R mg mT amg mT α =−⇒=−
α I R T R T 2 2 11 =−
Resolviendo:
N 76 .607 T
N 65 .365 T
srad 235 .8
2
1
2
===α
8.- Un disco homogéneo A gira alrededor del eje Y bajo la acción de lamasa C unida a una cuerda que pasa por una polea sin peso ni rozamientoenrollada alrededor de un tambor cilíndrico macizo B, solidaria del disco A. Aéste esta unida una masa puntual D, como indica la figura. Las masas A, B, C yD son respectivamente 65, 15, 8 y 4 Kg, se supone que la cuerda permanecesiempre horizontal. Calcular:
acción de una pesa de 0.2 Kg que cuelga del extremo de una cuerda enrolladaal cilindro. Calcular:
a. Aceleración angular del cilindro b. Aceleración lineal de la pesac. Torque durante el movimiento
d. Si en lugar de accionar el cilindropor la pesa se ejerce una tracciónde la cuerda hacia debajo de 0.2Nw ¿Cuál será el valor de laaceleración angular?
Planteando la segunda ley de Newtonpara la masa: maT mg =−
Y para el cilindro:
α α τ
=⇒= 2
2
1MR TR I TOTAL
Por tanto se tiene un sistema de dos ecuaciones:
α
α
=
=−
2
2
1
MR TR
R mT mg
Resolviendo 2srad 63.3=α
⇒= Rα a 2sm 726.0=a
mN 363.0 ⋅=τ
⇒=⇒=I
FR I FR α α
2rad 4.0 s=α
11.- Una bala de 100 g y velocidad horizontal de 100 m/s chocainelasticamente con el borde de un volante anular de 1 Kg y 25 cm de radio.Calcular la velocidad angular del sistema
Al ser un choque inelástico consideraremos la conservación de la cantidad de
movimiento
( )
( )
⇒=⇒=
=+
+
=
+=+
R
V R V
smmm
u mu m
V
V mmu mu m
ω ω
09.921
2211
12
12212211
srad 36.36=ω
12.- Un cilindro homogéneo de 40 cm de radio y 10 Kg tienelibertad para girar en torno a su eje de simetría sobre cojinetescarentes de fricción. Supongamos que súbitamente se aplica
una fuerza de 10 Nw que se mantiene constante y tangencial a la superficielateral. Calcular:
a. Energía cinética a los 2 seg de haber aplicado la fuerzab. Trabajo realizado por dicha fuerza en ese tiempo
22
22
2
Kgm 8.02
1
srad 10
srad 52
1
21
=⇒
=
=⇒+=
=⇒
=⇒=
=
I MR I
t
MR FR I
I E
f of
c ROTACION
ω α ω ω
α α α τ
ω
J 40=ROTACION c E
⇒•= R F ω J 40=ω
13.- Un disco de 2 Kg y 20 cm de radio gira alrededor de su eje horizontal a600 rpm. Apoyado sobre la periferia del disco descansa una lámina metálica demasa m que actúa por su peso frenando el movimiento con un coeficiente defricción de 0.2. El disco se detiene a los 2 min de actuar el freno. Hallar:
a. Valor de la masa m b. Energía cinética del disco al minuto de actuar el freno
La fuerza que detiene al disco es la fuerza de roce yequivale a mg N Fr µ µ ==La cual ejerce un torque de mgR R Fr µ τ =⋅= , lo que
conduce ag
R M mR M mgR disco
disco µ
α α µ
22
1 2 =⇒
=
( )t
f
t f of π ω ω ω
α 2−
=−
=
Kg 05340 m .=Para calcular la Energía cinética de rotación, se procede:
( ) ⇒+⋅
== 2
o2
disco2
c t R M 2 1
2 1I
2 1E
ROTACION α ω ω
J 7419E ROTACION c .=
14.- Sobre un plano inclinado 30º y que ofrece una resistencia aldeslizamiento de coeficiente µ=0.2, desliza un bloque de 3 kg de masa unido auna cuerda que se enrolla en la periferia de una polea formada por dos discosacoplados de 1 kg y 0.5 kg y de radios 0.3 m y 0.1 m respectivamente. De la
cuerda enrollada al disco pequeño pende un bloque de 10 kg de peso.Calcular:
c. Las tensiones de las cuerdasd. La aceleración de cada cuerpo
∑∑
⋅=
⋅=
giran)que(objetos
)trasladanseque(objetos
α τ I
am F
α ⋅=⋅−⋅⋅=−
⋅=−−
I RT RT
amT P
am x P Fr T
101033
10101010
3333
α 475.03
108.9
38.19
103
1010
33
=−=−=−
T T
aT
aT
Sabiendo que:r a ⋅= α
ernodiscoexternodisco I I I int +=
Se resuelve el sistema de ecuaciones
N 6 .0 T
N 11.28 T
s / m92 .0 a
s / m77 .2 a
s / rad 25 .9
10
3
10
3
2
=
=
=
=
=α
15.- Una masa de 20 Kg se halla sobre un plano inclinado 30° respecto a lahorizontal, con el que tiene un rozamiento cuyo coeficiente de fricción vale 0.3,unida a una cuerda sin masa e inextensible que pasa por una polea de 160 Kgcuyo radio geométrico es de 20 cm y radio de giro 15 cm. De otra cuerda pendeuna masa de 40 Kg que es abandonada libremente. Calcular: