Guía de Estudios Nº 17 Envolventes de esfuerzos DIEGO LÓPEZ-GARCÍA, PH.D Profesor Asistente Departamento de Ingenieria Estructural y Geotécnica Escuela de Ingeniería Pontificia Universidad Católica de Chile PROBLEMA: Estudiar la magnitud de las reacciones de vínculo y los esfuerzos internos en la siguiente estructura (E, I constantes), la cual está sometida a una fuerza concentrada P que puede actuar en cualquier punto de las barras 2-3 y 3-4. a) Determinar analíticamente las líneas de influencia de todas las reacciones de vínculo. b) Determinar analíticamente la línea de influencia del esfuerzo de corte para todas las secciones de las barras 2-3 y 3-4. c) Determinar analíticamente las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte en las barras 2-3 y 3-4. d) Para x P = 1.5 L (i.e., para P actuando en la barra 3-4, en el punto cuya coordenada local es x = 0.5 L), expresar analíticamente los esfuerzos de corte en las barras 2-3 y 3-4 en función de sistemas de coordenadas locales. e) Trazar en un mismo gráfico: (a) las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte en las barras 2-3 y 3-4; y (b) el diagrama de los esfuerzos de corte determinados en el ítem (d). SOLUCIÓN: Existen varias maneras de determinar la magnitud de las reacciones de vínculo en función de la posición x P de la fuerza P. Todas son igualmente válidas, pero en este caso particular el método más práctico es probablemente Distribución de Momento: 1.5 L 0.5 L 1 1 3 3 2 2 4 4 L P x P x
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Guía de Estudios Nº 17
Envolventes de esfuerzos
DIEGO LÓPEZ-GARCÍA, PH.D Profesor Asistente
Departamento de Ingenieria Estructural y Geotécnica Escuela de Ingeniería
Pontificia Universidad Católica de Chile
PROBLEMA:
Estudiar la magnitud de las reacciones de vínculo y los esfuerzos internos en la siguiente
estructura (E, I constantes), la cual está sometida a una fuerza concentrada P que puede actuar en
cualquier punto de las barras 2-3 y 3-4.
a) Determinar analíticamente las líneas de influencia de todas las reacciones de vínculo.
b) Determinar analíticamente la línea de influencia del esfuerzo de corte para todas las
secciones de las barras 2-3 y 3-4.
c) Determinar analíticamente las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte en las
barras 2-3 y 3-4.
d) Para xP = 1.5 L (i.e., para P actuando en la barra 3-4, en el punto cuya coordenada local es
x = 0.5 L), expresar analíticamente los esfuerzos de corte en las barras 2-3 y 3-4 en función
de sistemas de coordenadas locales.
e) Trazar en un mismo gráfico: (a) las envolventes positiva y negativa del esfuerzo de corte en
las barras 2-3 y 3-4; y (b) el diagrama de los esfuerzos de corte determinados en el ítem (d).
SOLUCIÓN:
Existen varias maneras de determinar la magnitud de las reacciones de vínculo en función de la
posición xP de la fuerza P. Todas son igualmente válidas, pero en este caso particular el método
más práctico es probablemente Distribución de Momento:
1.5 L
0.5 L
11
3322 44
L
PxP
x
Rigidez de giro del nodo 3:
L
IE8
L
IE4K
13
31 (1)
L
IE3
L
IE3K
32
32 (2)
L
IE2
L
IE3K
34
34 (3)
L
IE13KKKK 3432313 (4)
Caso (a): 0 ≤ xP ≤ L (i.e., la carga P está aplicada en algún punto de la barra 2-3)
En este caso, el momento a distribuir es el momento de empotramiento perfecto (cambiado de
signo) en el nodo 3 de la barra 2-3. El Método de Flexibilidad indica que:
P2
3P
D xL
xP
2
1M (5)
Luego, los momentos nodales son los siguientes:
P2
3P
D
3
31
31 xL
xP
13
4M
K
KM (6)
P2
3P
32D
3
32
32 xL
xP
13
5MM
K
KM (7)
P2
3P
D
3
34
34 xL
xP
13
1M
K
KM (8)
y también (ecuación (A2) del “Apéndice II”):
P2
3P
3113 xL
xP
13
2'M
2
1M (9)
Fuerzas nodales Tij y Tji:
Barra 1-3:
L
x
L
xP
13
12
L
MMT P
3
3P
13
311313 (10)
L
x
L
xP
13
12TT P
3
3P
1331 (11)
Barra 2-3:
13
L
x18
L
x5P
13
1
L
xLP
L
MT P
3
3P
23
P23
23
3223 (12)
L
x18
L
x5P
13
1TPT P
3
3P
2332 (13)
Barra 3-4:
L
x
L
xP
39
2
L
MT P
3
3P
34
3434 (14)
L
x
L
xP
39
2TT P
3
3P
3443 (15)
Fuerzas nodales Nij y Nji:
Barra 1-3:
L
x56
L
x17P
39
1TTN P
3
3P
343231 (16)
L
x56
L
x17P
39
1NN P
3
3P
3113 (17)
Barra 3-4:
0N43 (el apoyo en el nodo 4 es móvil, no fijo) (18)
0NN 4334 (19)
Barra 2-3:
L
x
L
xP
13
12TN P
3
3P
3132 (20)
L
x
L
xP
13
12NN P
3
3P
3223 (21)
Caso (b): L ≤ xP ≤ 5/2 L (i.e., la carga P está aplicada en algún punto de la barra 3-4)
En este caso, el momento a distribuir es el momento de empotramiento perfecto (cambiado de
signo) en el nodo 3 de la barra 3-4, el cual, recordando que el origen de la coordenada xP es el
nodo 2, está dado por:
L20x33
L
x15
L
x2P
9
1M P
2P
2
3P
D (22)
Luego, los momentos nodales son los siguientes:
L20x33
L
x15
L
x2P
117
8M
K
KM P
2P
2
3P
D
3
31
31 (23)
L20x33
L
x15
L
x2P
39
1M
K
KM P
2P
2
3P
D
3
32
32 (24)
L20x33
L
x15
L
x2P
117
11MM
K
KM P
2P
2
3P
34D
3
34
34 (25)
y también (ecuación (A2) del “Apéndice II”):
L20x33
L
x15
L
x2P
117
4'M
2
1M P
2P
2
3P
3113 (26)
Fuerzas nodales Tij, Tji
Barra 1-3:
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8
L
MMT P
2
2P
3
3P
13
311313 (27)
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8TT P
2
2P
3
3P
1331 (28)
Barra 2-3:
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
1
L
MT P
2
2P
3
3P
23
3223 (29)
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
1TT P
2
2P
3
3P
2332 (30)
Barra 3-4:
145L
x492
L
x330
L
x44P
351
1
L
xL2
5
PL
MT P
2
2P
3
3P
34
P
34
3434 (31)
206
L
x492
L
x330
L
x44P
351
1TPT P
2
2P
3
3P
3443 (32)
Fuerzas nodales Nij, Nji:
Barra 1-3:
35
L
x789
L
x465
L
x62P
351
1TTN P
2
2P
3
3P
343231 (33)
35
L
x789
L
x465
L
x62P
351
1NN P
2
2P
3
3P
3113 (34)
Barra 3-4:
0N43 (el apoyo en el nodo 4 es móvil, no fijo) (35)
0NN 4334 (36)
Barra 2-3:
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8TN P
2
2P
3
3P
3132 (37)
20
L
x33
L
x15
L
x2P
39
8NN P
2
2P
3
3P
3223 (38)
Dado que (equilibrio de nodo):
R1x = T13 R1y = N13 M1 = M13
R2x = N23 R2y = T23
R4y = T43
las líneas de influencia de las reacciones de vínculo son entonces las siguientes: