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Escuela de Ingeniería Electrónica

_____________________________________________________________________________Control Avanzado 2015- I Ing. Luis Vargas Díaz

GUIA DE LABORATORIO

LABORATORIO 01

TEMA: SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO CONTINUO

OBJETIVOS

- Recordar la estructura de los sistemas de control en tiempo continuo y los métodos desintonización de los controladores por los métodos experimentales Zieggler and nichols.

MATERIAL Y EQUIPOS

Computadora con Software Matlab

INTRODUCCION

Los métodos de sintonización para lazos de control PID propuestos por Ziegler and Nichols sonmétodos experimentales y aproximados para obtener de manera rápida un conjunto de valorespara los factores Kp, Ti y Td de un controlador PID.

Existen dos métodos Ziegler and Nichols, uno es el método de oscilación, y el otro es el de larespuesta al escalón. Cada uno de ellos se aplica en dependencia del tipo de planta que

intentemos sintonizar en lazo de control.

En esta guía desarrollaremos una sintonización experimental simulada en el matlab de unsistema de control para una planta por el método de oscilación y el método de la curva dereacción.

MÉTODO DE OSCILACIÓN

Para hallar los parámetros sugeridos para los factores Kp, Ti y Td por el método de oscilación se siguen los siguientes pasos.

En primer lugar se coloca la planta en lazo cerrado solamente con controlador proporcional y seincrementa la ganancia hasta llegar al punto de oscilación.

En segundo lugar se halla los factores de referencia para este método que son la ganancia críticaKc (es decir la ganancia Kp que ha llevado el sistema a la oscilación) y Pc que es el periodocrítico (es decir el tiempo de duración de cada oscilación del sistema).

En tercer lugar se busca los factores Kp, Ti y Td sugeridos en la tabla de sintonización y con ellosse establece el controlador P, PI o PID según sea el caso.

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MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN

Según este método para hallar los parámetros sugeridos de los factores Kp, Ti y Td se siguenlos siguientes pasos.

En primer lugar se toma la planta en lazo abierto, es decir solamente la planta sin ningúnelemento adicional, y se le aplica un nivel de estímulo inicial en su entrada llamado U0, y seespera a que la salida de la planta alcance un valor estable al cual llamaremos Y0.

En segundo lugar, en un momento que llamaremos t0 se cambia la entrada de U0 a otro valorque llamaremos U1. Este cambio debe estar en alrededor del 10% del rango de entrada de laplanta. En respuesta a este cambio en la entrada, la salida cambiará desde el valor Y0 hastaestabilizarse en un nuevo valor que llamaremos Y1. Esta curva de respuesta de la señal de salidanos servirá para obtener algunos valores de referencia de acuerdo a la siguiente figura.

Fig. Curva de reacción de la planta a lazo abierto ante un estímulo de tipo escalón

En este gráfico trazamos una línea recta con la tendencia de incremento en la curva y luegoestimamos los siguientes parámetros.

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En tercer lugar se busca los factores Kp, Ti y Td sugeridos en la tabla de sintonización y con ellosse establece el controlador P, PI o PID según sea el caso.

Como cuarto paso se puede hacer una prueba experimental e intuitiva de modificar ligeramenteestos valores sugeridos tratando de mejorar la respuesta del sistema ante una entrada de de tipoescalón unitario en el setpoint. (Es decir reducir el tiempo de establecimiento, reducir el sobrepicoy reducir el error de estado estacionario en la salida).

PROCEDIMIENTO

1. Se tiene una planta definida por la siguiente función de transferencia:

Para obtener la ganancia crítica Kc y periodo crítico Pc, debemos cerrar en lazo decontrol con ganancia proporcional Kp la cual debemos incrementar progresivamentehasta llegar a la oscilación.

Entonces recurriremos al gráfico del lugar geométrico de las raíces en este sistemapara hallar de modo gráfico el punto de cruce por el eje imaginario que correspondea la ganancia en la cual el sistema se hace oscilatorio.

>>num=[1];>>den=[1 6 11 6];>>rlocus(num,den)

1(S²+5S+6)(S+1)

1

(S²+5S+6)(S+1)Kp

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En el gráfico que obtenemos identificamos que la ganancia crítica es Kc=60 (aprox)y que la frecuencia es 3.32 rad/s por lo cual el periodo crítico Pc=1/f y f=3.32/(2*pi)entonces Pc=1.89seg.

Podemos hacer una comprobación de que estos valores de Kc y Pc son los correctoscerrando el lazo con control proporcional con ganancia Kp=60, y al obtener el gráficode la respuesta al escalón esta debe ser una respuesta oscilatoria.

>>Kp=60;>>num=[Kp];>>den= [1 6 11 6+Kp];>>step(num,den)Obtenemos el siguiente gráfico

1(S²+5S+6)(S+1)

60

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Comprobados los valores de Kc y Pc nos dirigimos ahora a la tabla de sintonizaciónde Ziegler and Nichols por el método de oscilación y hallamos los parámetrossugeridos para un controlador P, PI y PID.Obtenemos el gráfico de la respuesta al escalón unitario del sistema de control en

cada caso para ver la curva de respuesta del sistema.

Con controlador proporcional P

Kp=0.5 Kc, entonces Kp=30

>>Kp=30;>>num=[Kp];>>den= [1 6 11 6+Kp];>>step(num,den)

Obtenemos el siguiente gráfico

Vemos que el sobrepico es aprox 40% y que el tiempo de establecimiento Ts esaproximadamente 10seg, además el error de estado estacionario es de 0.17aproximadamente.

1(S²+5S+6)(S+1)

Kp

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Ahora veamos el comportamiento para un controlador PI

Con controlador proporcional PIKp=0.45 Kc, entonces Kp=27 y Ti=Pc/1.2, entonces Ti=1.575 luego Ki=Kp/Ti

>>Kp=27;>>Ti=1.575

>>Ki=Kp/Ti>>num=[Kp Ki];>>den= [1 6 11 (6+Kp) Ki];>>step(num,den)Obtenemos el siguiente gráfico

En este gráfico podemos ver como el error de estado estacionario ha desaparecido,pero el sobrepico se ha elevado a algo mas del 60% y el tiempo de establecimientoTs se encuentra por encima de los 20 seg.

1(S²+5S+6)(S+1)

Kp + Ki/S

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Con controlador proporcional PIDKp=0.6*Kc entonces Kp=36, Ti=Pc*0.5 entonces Ti=0.945 y Td=Tc/8 entoncesTd=0.236, además Ki=Kp/Ti y Kd=Kp*Td

>>Kp=36;>>Ti=0.945>>Ki=Kp/Ti>>Td=0.236;

>>Kd=Kp*Td;>>num=[Kd Kp Ki];>>den= [1 6 (11+kd) (6+Kp) Ki];>>step(num,den)Obtenemos el siguiente gráfico

En el grafico resultante vemos que no hay error de estado estacionario, el sobrepicose ha reducido a aproximadamente el 45% y que el tiempo e establecimiento es máso menos de 6 seg.

1(S²+5S+6)(S+1)

KdS + Kp + Ki/S

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Finalmente sobre los valores propuestos por la tabla de Ziegler and Nichols, sepuede hacer ligeras modificaciones tratando de mejorar el comportamiento de larespuesta según el objetivo.

Los valores sugeridos por la tabla para el controlador PID son:Kp=36Ki=38.1Kd=8.5Pero podemos modificar de manera intuitiva a los siguientes valoresKp=36Ki=30Kd=15

Y obtenemos la siguiente curva de respuesta.

Aquí podemos ver que el sobrepico se ha reducido a algo menos del 20% y el tiempode establecimiento a cerca de 3 segundos, además el error de estado estacionariosigue siendo nulo.

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2. Ahora haremos la sintonización de la misma planta del procedimiento 1 peroutilizando el MÉTODO DE LA CURVA DE REACCIÓN

Estimulamos esta planta para obtener su curva de reacción . Para ello utilizamos lafunción STEP.

>>num=[1];

>>den=[1 6 11 6];>>step(num,den)

El gráfico se puede ver en la siguiente figura.

Luego vamos al menú Insert y seleccionamos line

1(S²+5S+6)(S+1)

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Ubicamos unas líneas que nos permitan calcular los parámetros de la curva dereacción, tal como se ve en la siguiente figura.

Ahora procedemos a calcular los parámetros de referencia:K0 = Y1 – Y0 K0 = 0.166 – 0 K0 = 0.166

U1 – U0 1 – 0

T0 = t1 – t0 T0 = 0.4 – 0 T0 = 0.4

V0 = t2 – t1 V0 = 2.75 – 0.4 V0 = 2.35

Luego nos dirigimos a la tabla de sintonización de Ziegler and Nichols por el métodode curva de reacción y hallamos los parámetros sugeridos para un controlador P, PIy PID.

Controlador proporcional (P) KP=35.4Controlador Proporcional Integral (PI) KP=31.9 Ti=1.2Controlador Proporcional Integral Derivativo (PID) KP=42.5 Ti=0.8 Td=0.2

Ahora que tenemos los valores de sintonización de los controladores. Podemosprobar el comportamiento en lazo cerrado de control. Esto lo desarrollamos acontinuación.

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Con controlador proporcional P

Kp=35.4

>>Kp=35.4;>>num=[Kp];>>den= [1 6 11 6+Kp];>>step(num,den)

Obtenemos el siguiente gráfico

Vemos que el sobrepico llega casi al 40% y que el tiempo de establecimiento Ts esaproximadamente 16seg, además el error de estado estacionario es de 0.17aproximadamente. No es una muy buena curva de respuesta.

1(S²+5S+6)(S+1)

Kp

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Ahora veamos el comportamiento para un controlador PI

Con controlador proporcional PIKp=31.9 Ti=1.2 luego Ki=Kp/Ti = 31.9 / 1.2 entonces Ki=26.6

>>Kp=31.9;

>>Ti=1.2>>Ki=Kp/Ti>>num=[Kp Ki];>>den= [1 6 11 (6+Kp) Ki];>>step(num,den)Obtenemos el siguiente gráfico

En este gráfico podemos ver como el error de estado estacionario ha desaparecido,pero el sobrepico se ha elevado a algo mas del 80% y el tiempo de establecimiento

Ts se encuentra por encima de los 100 seg. Esta tampoco es una respuesta muybuena.

1(S²+5S+6)(S+1)

Kp + Ki/S

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Con controlador proporcional PIDKp=42.5 Ti=0.8 y Td=0.2 entonces Ki=Kp/Ti=53.1 y Kd=Kp*Td=8.5

>>Kp=42.5;>>Ti=0.8;>>Ki=Kp/Ti;>>Td=0.2;>>Kd=Kp*Td;

>>num=[Kd Kp Ki];>>den= [1 6 (11+kd) (6+Kp) Ki];>>step(num,den)Obtenemos el siguiente gráfico

En el grafico resultante vemos que no hay error de estado estacionario, el sobrepicotiene un valor de aproximadamente el 60% y que el tiempo e establecimiento es máso menos de 10 seg. Esta respuesta no es tan buena, sobretodo por el sobrepico quees de casi 60%

1(S²+5S+6)(S+1)KdS + Kp + Ki/S

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Finalmente sobre los valores propuestos por la tabla de Ziegler and Nichols, sepuede hacer modificaciones tratando de mejorar el comportamiento de la respuestasegún el objetivo.

Los valores sugeridos por la tabla para el controlador PID son:

Kp=42.5Ki=52.1Kd=8.5

Pero podemos modificar de manera intuitiva a los siguientes valores

Kp=36

Ki=30Kd=15

Y obtenemos la siguiente curva de respuesta.

Aquí podemos ver que el sobrepico se ha reducido a cerca del 10% y el tiempo deestablecimiento a cerca de 2.5 segundos, además el error de estado estacionariosigue siendo nulo.

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3. Ahora diseñaremos un sistema de control para la siguiente planta, tomando encuenta que la variable manipulada será la fuerza y que la variable controlada será

la posición X1 correspondiente a la masa 1 es decir G(s) = X1(s) / F(s)

Tomaremos los siguientes valores:M1=20KgB=4Kg/s

K1=5Kg/s^2M2=5KgK2=2Kg/s^2

Realice el diseño de un sistema de control utilizando los métodos de OSCILACIONy el método de la CURVA DE REACCIÓN para los controladores de tipo P, PI y PID

CUESTIONARIO

- ¿En qué tipo de plantas se puede aplicar la sintonización por el método de oscilación?¿En qué casos no se puede aplicar?

- ¿En qué tipo de plantas se puede aplicar la sintonización por el método de curva dereacción? ¿En qué casos no se puede aplicar?

- Cuando hace la modificación intuitiva de los valores de Kp, Ki y Kd, ¿se puede seguiralguna pauta? Es decir, por ejemplo si lo que se busca es reducir el tiempo deestablecimiento, ¿sobre cuál parámetro deberíamos proponer un cambio?, y para elsobrepico, etc.

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