guia Ecuaciones ETS

Prof. Rocío Ramírez Villanueva. Academia de matemáticas ICE

REACTIVOS PARA LA MATERIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD I. INTRODUCCIÓN

Determine el orden, el grado y la linealidad de las siguientes expresiones:

1. y”’- 5xy’= ex + 1

2. s2+ d2td s2 +st

dtds

=s

3. t y+t 2 y−sen (t ) √ y=t 2−t+1

4. 5( db4

dp4 )5

+7 ( dbdp )10

+b7−b5=p

5. (1− y ) y '+2 y=ex

6.d2 yd x2 +seny=0

7. x ' '−(1− x (3 )

3 )x+x=0

8.du2

d r2 + dudr

+u=cos (r+u)

9. t 5 y(4)−t3 y ' '+6 y=0

10. xd3 yd x3 −¿+y=0

Compruebe que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Suponga un intervalo I de definición adecuado para cada solución.

1. 2 y '+ y=0

2.dydx

+20 y=24

3. y ´ ´−6 y '+13 y=0

4. y ' '+ y=tan ( x )

GUIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARA ETS AÑO 2011


5. y '+2 y=0

6. y '=3 x2



7. x2 y ' '+ x y '− y=lnx

8. y '= y+2e− x

9. y ' '+4y’+4y=0

10. y ' '+ y=3 cos (2 x )

Determinar si “ y “ es solución de la ecuación diferencial dada, en caso afirmativo, utilizando las condiciones iniciales, determine la solución particular.

1. y y '6 x=0 ; y2=−6 x2+c ;c .i . y (0 )=4

2. y2 y '−4 x=0; y3=6 x2+c ;c .i . y (12 )=0

3. y '= y2+1 ; y= tan (x+c ) ;c .i . y ( π4 )=1

4. yy '=e2x+1 ; y2=e2x+2x+c ;c .i . y (0 )=12

5. 2 y ' '+ y '− y=0 ; y=c1 ex2+c2 e

− x ;c .i . y (0 )=0 , y ' (0 )=1

6. y '=12 x ; y=6 x2+c ;c .i . y (√2 )=−1

7. x y'=7 ; y=7 ln ( x )+c c . i . y (1 )=7

8. y ' '=2x+1 ; y=13x3+ 1

2x2+c1 x+c2;c .i . y (0 )=1 , y ' (1 )=−1

Si y=C1 ex+C2 e

−x es una familia de soluciones de la ecuación diferencial y ' '− y=0, determine la solución particular con las condiciones iníciales (c.i) dadas.

9. c.i. y(0) = 1, y’(0)= 2

10. c.i. y(1) = 0, y’(1)= e



UNIDAD II. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Resuelva la ecuación diferencial dada, utilizando el método de separación de variables.

1.dydx

=sen (5 x)

2. dx+e3x dy=0

3. xdydx

=4 y

4.dydx

=e3x+2 y

5. ylnxdxdy

=( y+1x

)2

6. csc ( y )dx+sec 2 ( x )dy=0

7. (e y+1)2e− y dx+(ex+1)3 e−x dy=0

8.d ydx

= xy+3 x− y−3xy−2 x+4 y−8

9.dxdt

=4 (x2+1 ) ;c .i . x ( π4 )=1

10. x2 dydx

= y−xy ;c .i . y (−1 )=−1

11. √1− y2dx−√1−x2dy=0 ; y (0 )=√32

12. y '=4−9 x2−6 x5 ;c .i . y (1 )=2

13. y '=e4 x−5 sen (x ) ;c .i . y (0 )=5

14.drdt

=12

cos (12t);c . i . r (π )=0

15. y'= x

y;c .i . y (1 )=0



Resolver la ecuación diferencial Lineal dada:

1.dydx

−0.01 y=0

2. y '+3 x2 y=0

3. y '−3 x4 y=0

4. y '+ 2xy=0

5. y '− 2

x2y=0

6.dydx

=5 y

7.dydx

+ y=e3x

8. y '+3 x2 y=x2

9. x2 y '+xy=1

10. xdydx

− y=x2 sen (x )

11. xdydx

+4 y=x3−x

12. x2 y '+x (x+2 ) y=ex

13. ydx−4 (x+ y6 )dy=0

14. cos (x ) dydx

+( senx ) y=1

15. ( x+1 ) dydx

+( x+2 ) y=2x e−x

16. x y'+ y=ex ; c . i . y (1 )=2

17. Ldidt

+Ri=E; c . i . i (0 )=i0 ,donde i0 ,L, R y E sonconstantes

18. ( x+1 ) dydx

+ y=ln ( x ) , c . i . y (1 )=10



Determinar si la ecuación dada es exacta, en caso afirmativo resolverla, en caso contrario calcule un factor de integración para convertirla en exacta y resuélvala.

1. (2 x−5 y+2 )dx+ (1−6 y−5 x )dy=0

2. (2 x y3−4 y+4 x−3 )dx+(3 x2 y2−4 x )dy=0

3. (16 xy−3x2 )dx+(8 x2+2 y )dy=0

4. (−20 x y2+6x )dx+(3 y2−20 x2 y )d y=0

5. ( y− y

x2 eyx )dx+(x+ 1

xe

yx )dy=0

6. ex cos ( y )dx−ex sen ( y )dy=0 ;c .i . y (0 )=π

7. [cos ( x+ y )−1 ]dx+cos ( x+ y )dy=0 ;c . i . y (0 )= π2

8. ex sen ( y )dx+(excos ( y )+e y) dy=0 ;c .i . y (0 )=0

9. (2 xsen ( y )+ y exy )dx+(x2 cos ( y )+x exy )dy=0; c . i . y (0 )=π

10. (√ y+1 )dx+[ x2√ y

+1]dy=0 ;c .i . y (1 )=4

11. x−2 y−5dx+x−3 y−4dy=0

12. (x2 sen ( x )dx+xydy=0 )

13. ( y+x+2 )dx+dy=0

14. (e x+ y2 )dx+( xy− ex

y−2 y2)dy=0

15. xy+ y+ y2 ¿dx+ ( x+2 y )dy=0

16. (2 sen ( y )−sen ( x )+ 1x

cos (x ))dx+[ 1y

cos ( x )+xcos ( y )+ xysen( y )]dy=0

17. (xy+1+2x

e xy¿ dx+x2dy=0 ;c .i . y (−3 )=0

18. ( 4 y2−5 xy )dx+(6 xy−5 x2 )dy=0 ;c . i . y (1 )=2



19. ( y e2 y+x+1 )dx+( y e2 y+e2 y−x )dy=0 ;c . i . y (1 )=0

20. [ – y−cot (x+ y)] dx− ydy=0 ;c . i . y (π )=π

Determinar si la ecuación diferencial dada es homogénea, resuélvala utilizando las sustituciones adecuadas.

1.dydx

= xy+ yx

2. x (x+ y )dy=( x2+ y2 )dy

3. x y'− y=x2e x

4. x y'=x2 sen (x )+ y

5. ( y+x ) y '=x− y

6. y '= y−xx

7. y '= x2+2 y2

xy

8. y '= x2+ y2

2xy

9. y '= y

x+√xy

10. y '= x4+3 x2 y2+ y4

x3 y

Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli:

11. xdydx

+ y= 1

y2

12.dydx

= y (x y3−1)

13. t2 dydt

+ y2=ty



14.dydx

+xy=x y−2

15. y'=1

xy=2

3x4 y4



Determinar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada:

1. x2− y2=c2

2. y=cex

3. x2− y2=cx

4. y2=4cx

5. x2+ y2=c2

6. y=c x2

7. y= 47x+c

8. y=(x2+c)2

9. y2−x2=c

10. y3−6 x2=c



Resolver las siguientes aplicaciones a circuitos.

1. Un circuito RC tiene una fuerza electromotriz de 100 volts, una resistencia de 5 ohms, una capacitancia de 0.02 farads y una carga inicial sobre el capacitor de 5 coulombs. Encuentre una expresión para la carga sobre el capacitor en cualquier tiempo t.

2. Un circuito RC tiene un voltaje de 10sen(t) , una resistencia de 100 ohms, una capacitancia de 0.005 farads y ninguna carga inicial sobre el capacitor. Encuentre la carga del capacitor en cualquier tiempo t.

3. Un circuito RL tiene una fuerza electromotriz de 5 volts, una resistencia de 50 ohms, una inductancia de 1 henry y ninguna corriente inicial. Determinar la corriente en el circuito en cualquier tiempo t.

4. Un circuito RL tiene una resistencia de 10 0hms, una inductancia de 1.5 henrys, una un voltaje = 9 volts y una corriente inicial de 6 amperes. Encuentre la corriente en el circuito en cualquier tiempo t.

5. Un circuito RC tiene una fuerza electromotriz en voltios dada por V=400Cos(2t), una resistencia de 100 ohmios y una capacitancia de 10−2 faradios. Inicialmente no hay carga en el capacitor. Encuentre la corriente en el circuito en cualquier tiempo t.



UNIDAD III. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LINELALES DE N-ÉSIMO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

En los siguientes ejercicios, determinar mediante el wronskiano, si las funciones dadas son linealmente independientes o linealmente dependientes.

1. f ( x )=x+2 , g (x )=x2+2 x

2. f ( x )=x+2 , g (x )=x ,h ( x )=1

3. f ( x )=e3 x , g ( x )=ex

4. f ( x )=3 ex , g ( x )=ex

5. f ( x )=e−x , g ( x )=xe− x

6. f ( x )=ex senx ( x2), g ( x )=ex cos

x2

7. f ( x )=ex , g ( x )=e−2x , h (x )=e2x

8. f ( x )=ln (x ) , g ( x )=xln(x)

9. f ( x )=x , g (x )=x2 , h ( x )=4 x−3x2

10. f ( x )=5 , g ( x )=cos2 ( x ) , h (x )=sen2(x)

Resolver las ecuaciones diferenciales de orden 2 homogéneas.

1. y ' '−52y '+ y=0

2. y ' '−12y '+ 1

16y=0

3. y ' '+2 y '+3 y=0

4. y ' '+10 y '+25 y=0

5. 5 y ' '+24 y'−5 y=0

6. y ' '− y '=0 ;c .i . y (0 )=0 , y ' (0 )=−8

7. y ' '+25 y=0 ;c . i . y (0 )=0 , y '( π5 )=1

8. y ' '+2 y '+8 y=0 ;c . i . y (0 )=−2 , y ´ (0 )=1





9. y ' '−2√2 y '+2 y=0 ;c . i . y (0 )=√2 , y ' (0 )=0

10. 25 y ' '−30 y '+9 y=0 ;c . i . y (0 )=53, y ' (0 )=0

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes.

1. y '''−2 y ''− y '+2 y=0

2. y(4)+2 y ''+ y=0

3. y(4)+2 y(3)−2 y '− y=0

4.y(6 )−5 y(4 )+16 y(3 )+36 y ''−16 y '−32 y=0

5.

d3 ydt 3

−5d2xdt 2

+25dxdt

−125 x=0

6.

d5rdφ5

+5d 4rdφ4

+10d3 rdφ3

+10d2rdφ2

+5drdt

+r=0

7.y ''+16 y=0 c .i . y (0 )=2 , y ' (0 )=−2

8.

d2 ydt 2

−4dydt

−5 y=0 c .i . y (1 )=0 , y ' (1)=0

9.y ''+ y '+2 y=0 c .i . y (0 )= y ' (1 )=0

10. y '''+12 y ''+36 y '=0 c .i . y (0 )=0 , y ' (0 )=1 , y ''(0)=−7



Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes indeterminados.

1. y ''−2 y '+ y=x2−1

2. y ''−2 y '+ y=4 cos x

3. y ''−2 y '+ y=xe x

4. y '− y=xe2 x+1

5. y '− y=sen( x )+cos(2x )

6. y ''+4 y=−2 c .i . y ( π

8)=1

2, y ' ( π

8)=2

7. 5 y ''+ y '=−6 x c .i . y (0 )=0 , y ' (0 )=−10

8. y ''+4 y '+5 y=35e−4 x c .i . y (0 )=−3 , y '(0 )=1

9.

d2 xdt2

+w2 x=Fo sen(wt ) c .i .x (0 )=0 , x ' (0)=0

10.y '''−2 y ''+ y '=2−24 ex+40e5 x

c .i . y (0 )=12, y '(0 )=5

2, y ''(0 )=−9

2



Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de variación de parámetros.

1. y ' '+4 y=4 cos (2x ) ;c . i . y (0 ) 1 , y ( π2 )=0

2. y ' '−4 y'+4 y=2e2 x

x;c . i . y (1 )=0 , y ' (1 )=1

3. y ' '−3 y '=12e4 x ( x+1 ) ;c . i . y (0 )=0 , y ' (0 )=4

4. y ' '−4 y'=4 x2 e2 x ;c .i . y (0 )=0 , y ' (0 )=0

5. y ' '+ y'−6 y=10ex senx ;c .i . y (0 )= 217

, y ' (0 )=0

6. y ' '+ y=cos2 x

7. y ' '+3 y '+2 y= 1

1+ex

8. y ' '+3 y '+2 y=sen(ex)

9. y ' '+2 y '+ y=e−t ln (t )

10. 3 y ' '−6 y '+6 y=ex sec (x)

La función y1(x) es una solución de la ecuación diferencial dada. Use la reducción de orden para encontrar una segunda solución.

1. y ´ ´−3 y '+2 y=5e3x ; y1=ex

2. x y' '+ y '=0 ; y1=ln (x)

3. y ' '−4 y=2 ; y1=e−2x

4. x2 y ' '−x y'+2 y=0 ; y1=xsen (lnx )

5. y ' '−4 y'+4 y=0 ; y1=e2 x

6. y ' '+16 y=0 ; y1=cos (4 x)

7. y ' '− y=0 ; y1=cosh (x)

8. 9 y ' '−12 y '+4 y=0 ; y1=e2 x3



9. x2 y ' '−7 x y'+16 y=0 ; y1=x4

10. (1−2x−x2 ) y ' '+2 (1+x ) y '−2 y=0; y1=x+1

UNIDAD IV. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES CON COEFICIENTES VARIABLES.

Verificar si las siguientes ecuaciones tienen la forma de Euller Cauchy, en caso afirmativo resolverlas por este método

1.x2 y ''−3 xy '+5 y=0

2. x2 y ''+8xy '+10 y=0

3. x2 y ''+5 xy '−5 y=0

4. x2 y ''+5 xy '+4 y=0

5. x2 y ''+2xy '−12 y=0

6. x2 y ''−xy '+ y=2 x

7. x2 y ''+xy '− y=ln x

8. x2 y ''+3xy '=0 ; c .i . y (1 )=0 , y ' (1)=4

9. x2 y ''+xy '+ y=0 c .i . y (1 )=1 , y ' (1 )=2

10. 4 x2 y ''+8 xy '+ y=0

Encontrar los puntos ordinarios, singulares regulares o singulares irregulares de las siguientes ecuaciones:

1. x y' '+( x−1 ) y ´+ x2 y=0

2. x2 ( x−1 ) y ' '+x y '=0

3. (x+1)2 y ´´+xy´+x2 y=0



4. x2 y ' '+ x3 y '+ (senx ) y=0

5. (x−3)3 y ' '+ y=0

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando series de potencias al rededor de un punto ordinario Xo=0.

1. xy '= y+1

2. ( x−1) y '+(2x+1) y=0

3. y '+ y=0

4. (1+x ) y '=1

5. y ''−xy '− y=0

6. (1−x ) y ''+ y=0

7. y ''+x2 y '−xy=0

8. y ''+2x2 y=0

9. y ''(1+ x2) y=0

10. ( x2+x ) y '+(2 x+1) y=0

En los siguientes ejercicios encuentre: a) La ecuación de recurrencia, b) La solución general de la ecuación dada por el método de series alrededor del punto xo dado.

1. y ' '+xy=0 ; xo=0

2. y ' '+x2 y '+2 xy=0; xo=0

3. y ' '+2 x2 y=0 ; xo=0

4. y ' '−xy=0 ; xo=0

5. y ' '−xy=0 ; xo=1



UNIDAD V. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERNECIALES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES.

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales.

1.dxdt

=2x− y ;dydt

=x

2.dxdt

=− y+t ; dydt

=x−t

3. (D2+5¿ x−2 y=0 ;−2x+(D2+2 ) y=0

4.d2 xd t 2 =4 y+ex ;

d2 yd t 2 =4 x−et

5. Dx+D2 y=e3 t ; (D+1 ) x+ (D−1 ) y=4 e3 t

6. (D2−1 )x− y=0 ; (D−1 ) x+Dy=0

7. 2dxdt

−5 x+ dydt

=e t ;dxdt

−x+ dydt

=5et

8. (D−1 ) x+(D2+1 ) y=1 ;(D¿¿2−1) x+ (D+1 ) y=2¿

9.dxdt

=6 y ;dydt

=x+z ; dzdt

=x+ y

10.dxdt

=−5 x− y ;dydt

=4 x− y ;c . i . x (1 )=0 , y (1 )=1

BIBLIOGRAFÍA:

Introducción a las Ecuaciones diferenciales con valores en la fronteraStephen L CampbellRichard HabermanEdit. Mc Graw Hill

Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de ModeladoDennis G. Zill,Edit. Cengage Learning.Novena Edición

Ecuaciones Diferencieales



Richard Bronson, Gabriel Acosta, Edit. Mc Graw HillTercera edición

RECOPILACIÓN DE ETS ANTERIORES DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales

dxdt

=−5 x− y+tX(1) = 0

dydt

=4 x− yy(1) = 1

2. Determinar los primeros cuatro términos de la serie de potencias

1

1− x2

2+ x4

3− x6

4+. .. . .. .. .

3. Encuentre el radio de convergencia de la serie de potencias:

∑n=0

∞

n!2n xn

4.- Encuentre la serie de Taylor alrededor de Xo = Π de f(x) = Cos (2x) y el radio de convergencia.

5.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando series de potencias alrededor de punto ordinario Xo = 0

y” + x2

y’ + xy = 0

6.- Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales por eliminación

dxdt

=−5 x− y



dydt

=4 x− y



7.- Hallar los primeros términos de la serie de Maclaurin de la función: ex

Sen (x)

8.- Hallar la serie de Taylor de la siguiente función alrededor de Xo = 1 y determinar el radio de convergencia si:

f(x) =

1x

9.- Determine los puntos singulares de la ecuación diferencial. Clasifique cada punto singular como regular o irregular, NO resuelva la ecuación diferencial.

( x3−2x2+3 x )2

y” + x (x – 3)2

y’ – (x+1)y = 0

10.- Use el método de series de potencias para resolver la ecuación diferencial respecto al punto ordinario Xo = 0.

(x-1) y “ + y’ = 0

11.- Determina un factor integrante y resuelve la Ecuación Diferencial:

(x3− y )dx+xdy=0

12.- Determine la familia de curvas ortogonales a cada una de la familia dada por:

y2=2CX

13.- Determine la solución general de la Ecuación Diferencial: y(4)−2 y(3)+ y=2x} {¿

14.- Por series de potencias para Xo= 0, obtener la solución de la Ecuación Diferencial:

y '+x3 y=0

15.- Determina la solución de la Ecuación de Euler-Cauchy: x2 y+10 ital xy '+8y= ln x} {¿

16.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

x '+ y+2 x=0y '+3 x=0 x(0)=1, y(0)=2

17.- Verifica que y1=x−2es solución de la siguiente Ecuación Diferencial:

x2 y+2 ital xy ' - 2y=0;} {¿para x>0

Determina: a) La 2ª solución L. I. aplicando el método de reducción de orden b) La solución general.



18.- Determine la solución general de la siguiente Ecuación Diferencial, indicando: a) Tipo o forma de solución, b) La ecuación característica, c) Clasificación de las raíces, d) Son soluciones L. I. (son linealmente independientes)?, e) La solución complementaria, f) La solución particular.

3 y +2y' - y=2+3e rSup { size 8{ - x} } } {¿

19.- Determine la solución general de la siguiente Ecuación Diferencial, indicando: a) Tipo o forma de solución, b) La ecuación característica, c) Clasificación de las raíces, d) Son soluciones L. I. (son linealmente independientes)?, e) La solución complementaria, f) La solución particular e indicar que método aplicó.

y +y=2 tan x} {¿

20.- Determina la solución de la Ecuación de Euler- Cauchy:

x2 y+3 ital xy '+5y=3x rSup { size 8{ - 1} } } {¿; x > 0

21.- Halle el valor de K de modo que la ecuación sea exacta y resuélvala.

( y3+kxy4−2x )dx+(3 xy 2+20 x2 y3 )dy=0

22.- Obtenga la solución general de la ecuación:

(3 x2−2 xy+3 y2 )dx=4 xydy

23.-Resuelva la ecuación de Bernoulli

( y4−2 xy )dx+3 x2dy=0 , y(2)= 1

24.- Encontrar un factor integrante y resolver:

(2 yx2−2 y2+2 yx )dx+(x2−2 y )dy=0

25.- Encontrar las trayectorias ortogonales, y =ce−2 x

26.- Hallar la solución general de la ecuación:

xdydx

+(3 x+1) y=e−3 x

27.- Obtener la solución general de la ecuación diferencial: (2x+y)2 dx = xydy

28.- Obtener la solución general de la siguiente ecuación de Bernoulli:

2 xyy '= y2−2 x3

29.- Encontrar un factor integrante y resolver la ecuación diferencial:

( x2+ y2+1)dx+( x2−2xy )dy=0



30.- Encontrar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas y2=cx 3

31.- Encontrar una segunda solución reduciendo el orden.

y1 = 1

32.- Resolver la ecuación diferencial por coeficientes indeterminados

y” – 16y = 2e4x

33.- Resolver la ecuación diferencial por variación de parámetros

y” + y = tan(x)

34.- Resolver la ecuación de Cauchy-Euler

x2 y” +3xy’ – 4y = 0

35.- Resolver la ecuación diferencial

Y”’ – 2y”- y’ + 2y = 0


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