U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #26A Sexto grado Máximo común divisor FVR (21/09/2011) 1 GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía # 26A. Tema: Máximo común divisor. Fecha: ____________ Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno:___________________________________________ Sección del alumno:____________________________________________ CONDICIONES: Trabajo individual. Sin libros, ni cuadernos, ni notas. Sin celulares. Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para resolver cada problema. No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo. No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni calculadoras prestadas. Marco Teórico: El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números es el mayor número de dos números que los divide exactamente. Ejemplo #1: Dados los números 18 y 24, ¿cuál es el m.c.d.? Solución: 2, 3 y 6 dividen a ambos números y el mayor de los tres es 6, por tanto, 6 es el m.c.d. de los dos números dados. Ejemplo #2: Dados los números 60, 100 y 120, ¿cuál es el m.c.d. ?. Solución: Estos números son divisibles por 2, 4 5, 10 y 20. No hay ningún número mayor que 20, por tanto, 20 es el m.c.d. de los tres números dados. M.C.D. por inspección: Cuando los números son pequeños, puede hallarse el m.c.d. por simple inspección. Como el m.c.d. de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, se procederá así: Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás, será el m.c.d. Si no los divide, buscamos cual es el mayor de los divisores del menor que divide a todos los números y éste será el m.c.d.
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GUIA DE TRABAJOa 26A M.C.D...máximo divisor de 20 y es, además, divisor de 70 y 90; por tanto, 10 es el m.c.d. de los tres números dados. Ejemplo #5 ...
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U.E. Colegio Los Arcos Matemáticas Guía #26A Sexto grado Máximo común
divisor
FVR (21/09/2011) 1
GUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas Guía # 26A.
Tema: Máximo común divisor.
Fecha: ____________
Profesor: Fernando Viso
Nombre del alumno:___________________________________________
Sección del alumno:____________________________________________
CONDICIONES: Trabajo individual.
Sin libros, ni cuadernos, ni notas.
Sin celulares.
Es obligatorio mostrar explícitamente, el procedimiento empleado para
resolver cada problema.
No se contestarán preguntas ni consultas de ningún tipo.
No pueden moverse de su asiento. ni pedir borras, ni lápices, ni
calculadoras prestadas.
Marco Teórico:
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos números es el mayor número de dos números
que los divide exactamente.
Ejemplo #1: Dados los números 18 y 24, ¿cuál es el m.c.d.?
Solución: 2, 3 y 6 dividen a ambos números y el mayor de los tres es 6, por tanto, 6 es
el m.c.d. de los dos números dados.
Ejemplo #2: Dados los números 60, 100 y 120, ¿cuál es el m.c.d. ?.
Solución: Estos números son divisibles por 2, 4 5, 10 y 20. No hay ningún número
mayor que 20, por tanto, 20 es el m.c.d. de los tres números dados.
M.C.D. por inspección:
Cuando los números son pequeños, puede hallarse el m.c.d. por simple inspección.
Como el m.c.d. de varios números tiene que ser divisor del menor de ellos, se procederá
así:
Nos fijamos en el número menor de los dados. Si éste divide a todos los demás, será el
m.c.d. Si no los divide, buscamos cual es el mayor de los divisores del menor que divide
a todos los números y éste será el m.c.d.
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Ejemplo #3: Halla r el m.c.d. de 6, 12 y 18.
Solución:
El número 6 es el menor de los tres y divide exactamente a los otros dos, por, tanto, 6 es
el m.c.d de los tres números dados.
Ejemplo #4: Hallar el m.c.d. de 20, 90 y 70.
Solución: En este caso 20 no es divisor de 70 y 90. Si tomamos ahora 10, éste es el
máximo divisor de 20 y es, además, divisor de 70 y 90; por tanto, 10 es el m.c.d. de los
tres números dados.
Ejemplo #5: Hallar el m.c.d. de 48, 72 y 84.
Solución: 48 no divide a los demás. El número 12 es el máximo divisor de 48 que
adicionalmente es divisor de 72 y de 84.
METODOS PARA HALLAR EL M.C.D.
Cuando no es fácil hallar el m.c.d. por inspección, se utilizan dos métodos:
(a) Por divisiones sucesivas.
(b) Por descomposición en factores primos.
M.C.D. de dos números por divisiones sucesivas.
La regla para encontrar el m.c.d. en este caso, se funda en el siguiente teorema:
Se divide el mayor de los números dados por el menor. Si la división es inexacta, se
divide el divisor por el primer residuo; el primer residuo por el segundo residuo; éste por
el tercero y así sucesivamente hasta obtener una división exacta. El último divisor será el
m.c.d.
Ejemplo #6: Hallar el m.c.d. de 150 y 25.
Solución: En este caso 150 es divisible por 25, por tanto, 25 es el m.c.d. de ambos
números.
Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 2227 y 2125.
1 20 1 5
2227 2125 102 85 17
102 85 17 00
Entonces, el m.c.d. de 2227 y 2125 es 17.
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Nota: Si en el proceso de hallar el m.c.d. encontramos un resido que sea primo y la
división siguiente no se exacta, no es necesario continuar la operación y podemos afirmar
que el m.c.d. es 1 y que por tanto los números dados son primos entre si.
Ejemplo #7: Hallar el m.c.d. de 1471 y 462.
Solución:
3 5 2
1471 462 85 37
85 37 11
En este caso la solución es 1. Se ha encontrado el residuo primo 37 y la división siguiente
no es exacta.
M.C.D. de más de dos números por divisiones sucesivas:
Para hallar el m.c.d. de más de dos números por divisiones sucesivas se halla primero el
m.c.d. de dos números, después se toma otro número y el m.c.d. encontrado y se
encuentra el m.c.d. de ellos dos; después se toma otro número y el segundo m.c.d.
encontrado y se encue3ntra el m.c.d. entre ellos dos y así sucesivamente hasta el último
número. El último m.c.d. es el m.c.d. de todos los números dados.
Ejemplo #8: Hallar el m.c.d. de 4940, 4420, 2418 1092.
Primero se halla el m.c.d. de 2418 y 1092:
2 4 1 2
2418 1092 234 156 78
234 156 78 00
El 1
. . . 78mc d
Luego se halla el m.c.d. de 4420 y 78:
56 1 1
4420 78 52 26
52 26 0
El 2
. . 26mc d
Y por último se halla el m.c.d. entre 4940 y 26:
190
4940 26
00
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Luego, el m.c.d. de todos los números es 26.
Regla práctica para encontrar el m.c.d. de varios números por
descomposición de factores primos:
Se descomponen los números dados en sus factores primos. El m.c.d. se forma con el
producto de los factores primos comunes con su menor exponente.
Ejemplo #9: Hallar el m.c.d. de 1800, 420, 1260 y 108.
Solución:
Se empieza por desglosar al número 1800:
1800 2
900 2
450 2
225 3
75 3
25 5
5 5
1
Se sigue con el número 320:
420 2
210 2
105 3
35 5
7 7
1
Se continua con el número 1260:
1260 2
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
Por último, se desglosa el número 108:
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108 2
54 2
27 3
9 3
3 3
1
Resumiendo:
3 2 2
2
2 2
2 3
2
1800 2 3 5
420 2 3 5 7
1260 2 3 5 7
108 2 3
. . . 2 3 4 3 12m c d
Ejemplo # 10: Hallar el m.c.d. de 170, 2890, 204 y 5100.
Solución:
Como 2890 es múltiplo de 170 porque 2890 170 17 y como 5100 es múltiplo de 204
ya que 5100 204 25, prescindimos de 2890 y 5100 y hallamos el m.c.d. de 170 y
204:
170 2 204 2
85 5 102 2
17 17 51 3
1 17 17
1
El m.c.d. = 2 17 34
Método abreviado para cálculo del m.c.d.:
El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse
rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor
común, los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta que
los cocientes sean primos entre si. El m.c.d. es el producto de los factores comunes.
Ejemplo # 11: Hallar el m.c.d. de 208, 910 y 1690 por el método abreviado:
Factor común
208 910 1690 2
104 455 845 13
8 35 65
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El m.c.d.= 2 13 26
Ejemplo #12: Hallar el m.c.d. de 3430, 2450, 980 y 4410.
Factor común
3430 2450 980 4410 10
343 245 98 441 7
49 35 14 63 7
7 5 2 9
El m.c.d.= 10 7 7 490
Método abreviado.
El m.c.d. de varios números por descomposición en factores primos puede hallarse
rápidamente dividiendo al mismo tiempo todos los números dados por un factor
común., los cocientes nuevamente por un factor común y así sucesivamente hasta
que los cocientes sean primos entre si. El m.c.d. es el producto de todos los factores
comunes.
Ejemplo #12: Hallar el m.c.d. de 208, 910 y 1690.
F.C.
208 910 1690 2
104 455 845 13
8 35 65
El m.c.d. es igual al producto de los factores comunes: 2 13 26
PREGUNTAS:
Hallar el m.c.d. por simple inspección:
1.- 15 y 30:
El m.c.d.= 15.
2.- 8 y 12:
El m.c.d. = 4.
3.- 9 y 18 =
El m.c.d. = 9.
4.- 20 y 16 =
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El m.c.d. = 4.
5.- 18 y 24 =
El m.c.d. = 6.
6.- 21 y 28 =
El m.c.d.= 7.
7.- 24 y 32 =
El m.c.d. = 8.
8.- 3, 6 y 9 =
El m.c.d.= 3.
9.- 7, 14 y 21 =
El m.c.d.= 7
10.- 18, 27 y 36.
El m.c.d.= 9
11.- 24, 36 y 72 =
El m.c.d. = 12
12.- 30, 42 y 54 =
El m.c.d.= 6.
13.- 16, 24 y 40 =
El m.c.d.= 8.
14.- 22, 33 y 44 =
El m.c.d. =11.
15.- 20, 28, 36 y 40 =
El m.c.d. = 4.
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FVR (21/09/2011) 8
16.- 15, 20, 30 y 60 =
El m.c.d. = 5.
17.- 28, 42, 56 y 70 =
El m.c.d. =14.
18.- 32, 48, 64 y 80 =
El m.c.d. = 16.
Hallar por divisiones sucesivas el m.c.d. de:
1.- 137 y 2603:
19
2603 137
0
El m.c.d.= 137.
2.- 1189 y 123656 =
104
123656 1189
0
El m.c.d. = 1189.
3.- 144 y 520 =
3 1 1 1 1 3
520 144 88 56 32 24 8
88 56 32 24 8 0
.
El m.c.d. = 8
4.- 51 y 187 =
3 1 2
187 51 34 17
34 17 0
El m.c.d. = 17.
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FVR (21/09/2011) 9
5.- 76 y 1710 =
22 2
1710 76 38
38 0
El m.c.d. = 38.
6.- 93 y 2387 =
25 1 2
2387 93 62 31
62 31 0
El m.c.d. = 31.
7.- 111 y 518 =
4 1 2
518 111 74 37
74 37 0
El m.c.d. = 37
8.- 212 y 1431 =
6 1 3
1431 212 159 53
159 53 0
El m.c.d. = 53.
9.- 948 y 1975 =
2 12
1975 948 79
79 0
El m.c.d. = 79
10.- 1164 y 3686 =
3 6
3686 1164 194
194 0
El m.c.d. = 194.
11.- 303 y 1313 =
4 3
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