Guía de Prácticas de Ordenador. Noviembre 2012v2

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALESDEPARTAMENTO DE CONSTRUCCIONES

ARQUITECTÓNICAS, INGENIERÍA DEL TERRENOY MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS Y TEORÍA

DE ESTRUCTURAS

UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

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GUÍA DEPRÁCTICAS DEORDENADORRESISTENCIA DE MATERIALESGrado en Ingeniería de Organización Industrial

Grado en Ingeniería EléctricaGrado en Ingeniería en Electrónica Industrial y Automática

Grado en Ingeniería en Tecnologías IndustrialesGrado en Ingeniería MecánicaGrado en Ingeniería Química

VERSIÓN: 21/11/2012

ESCUELA DE INGENIERÍAS INDUSTRIALESDpto. Construcciones Arquitectónicas, Ingeniería del Terreno y Mecánica de

Medios Continuos y Teoría de Estructuras.



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ÍNDICE

1 OBJETIVOS GENERALES ........................................................................................................32 PRÁCTICA Nº 1: COMPORTAMIENTO DE UNA ESTRUCTURA DE BARRAS ...............3

2.1 Objetivos específicos.............................................................................................................32.2 Introducción...........................................................................................................................32.3 Descripción del programa a utilizar ......................................................................................42.4 Descripción de la estructura a analizar..................................................................................92.5 Descripción del método a seguir .........................................................................................10

3 PRÁCTICAS Nº 2 y Nº 3: COMPORTAMIENTO DE UNA VIGA EN FLEXIÓN ...............103.1 Objetivos específicos...........................................................................................................103.2 Introducción.........................................................................................................................103.3 Descripción del programa a utilizar ....................................................................................10

3.3.1 Fichero Vigas.wms. Cálculo de esfuerzos internos ......................................................123.3.2 Fichero Secciones.wms. Cálculo de tensiones .............................................................16

3.4 Descripción de las vigas a analizar......................................................................................183.5 Descripción del método a seguir .........................................................................................19

4 MEMORIAS DE LAS PRÁCTICAS ........................................................................................19



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1 OBJETIVOSGENERALES

El alumno que realice las prácticas de la asignatura adquirirá las siguientes capacidades y conocimientos:

1. Aplicación en programas informáticos de los conocimientos de las magnitudes básicas que intervienen en elcomportamiento del material resistente: tensión, deformación y características del material.

2. Aplicación en programas informáticos de los conocimiento de los modelos básicos que describen elcomportamiento del elemento estructural con forma de barra, en cuanto a resistencia y rigidez

2 PRÁCTICANº1: COMPORTAMIENTO DE UNA ESTRUCTURA DE BARRAS

2.1 Objetivos específicos

1. Capacitar al alumno para el manejo de un programa de ordenador sencillo para el cálculo de estructuras de barras.

2. Capacitar al alumno para obtener esfuerzos internos en una estructura de barras.

3. Capacitar al alumno para obtener desplazamientos en una estructura de barras.

4. Capacitar al alumno para obtener la rigidez de una estructura de barras.

5. Capacitar al alumno para emitir juicios de valor sobre los resultados obtenidos en estructuras de barras.

2.2 Introducción

Durante el proceso de elaboración de cualquier proyecto de estructuras, una vez que se definen todas lasdirectrices formales y constructivas, se han de concretar y definir, con una adecuada precisión, los diferentes elementosque la componen (sistemas constructivos, condiciones de borde, cargas,). En este sentido, muchas de las decisiones setoman a partir de razonamientos lógicos o intuitivamente, pero existen otras que pueden adoptarse en base a resultadosobtenidos por medio de procedimientos de cálculo numérico, apoyándose de las ventajas que ofrece la informática yque permiten obtener resultados cada vez más exactos del problema abordado.

Los programas de ordenador dedicados al cálculo de estructuras tienen como función realizar estos procesos deanálisis numérico de forma ágil y rápida, proporcionando datos que facilitan el conocimiento del comportamientoestructural más aproximado de la estructura. De esta forma, facilitan la definición de algunos de los elementos delproyecto, especialmente los que componen el soporte de esta.

En general, se puede considerar que estos programas actúan con dos estrategias diferentes:

1. Predimensionado de los elementos estructurales en función de las características definidas por el usuario.

2. Estimación del comportamiento de los elementos estructurales proyectados sometidos a determinadascondiciones previstas.

Cuando se utilizan programas de cálculo, se han de diferenciar claramente los resultados que proporciona elordenador y el comportamiento que tendrá en la realidad el modelo analizado. Para poder estar totalmente seguros deque los resultados que proporciona el ordenador coinciden con el verdadero comportamiento de la estructura, esnecesario tener una idea clara de lo que significa calcular estructuras por medio de un ordenador.

Cuando los programas de cálculo proporcionan los resultados, no quiere decir que en la realidad la estructura seva a comportar tal y como lo determinan estos. Lo que se obtiene son unos resultados numéricos producto de unosdeterminados algoritmos de cálculo (Modelo Matemático) sobre unos datos previamente proporcionados por el usuariodel programa que, supone, describen numéricamente la situación del problema a resolver.

Existen diversos modelos matemáticos para el cálculo de estructuras que responden a determinados parámetros ycondiciones.



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1. Tipologías de problemas: Los modelos matemáticos están pensados para problemas concretos. Por tanto, cadauno de ellos tiene un ámbito de aplicación definida. Es por consiguiente importante conocer dicho ámbito parapoder garantizar la veracidad de los resultados.

2. Grado de complejidad del método de cálculo: Frecuentemente es posible escoger entre diversos modelosmatemáticos para solucionar el mismo problema. El escoger uno u otro depende de la complejidad del problema,así como de la economía del proceso de cálculo.

En general, se pueden obtener resultados más exactos utilizando programas basados en métodos de cálculo máscomplejos, como puede ser el Método de los Elementos finitos asumiendo leyes de comportamiento del material todo locomplicadas que se desee. Pero normalmente esto es a costa de emplear más tiempo en ello, ya que los datos requeridosy el tiempo para su ejecución son mayores, aunque estos se van reduciendo cada vez más gracias a la informática.

El cálculo de estructuras por medios de programas informáticos es una tarea que se realiza en tres niveles, de loscuales, los dos primeros definen el preprocesado de datos y el tercero el postprocesado de resultados:

1. Modelización: Hay que seleccionar un programa que utilice el modelo matemático más adecuado al problema aabordar, en sus tres aspectos básicos: Idealización de la estructura (Vigas, placas, láminas, elasticidad bi ytridimensional, sólidos y láminas de revolución), Modelado del material (Material Elástico lineal o no lineal,modelos de daño, etc) y Ecuaciones matemáticas del problema. Además, debe permitir una adecuada y lógicadiscretización de la estructura.

2. Aplicación: Utilización del programa, introduciendo los datos necesarios para describir los elementos a calcular ydando las órdenes para realizar el análisis correspondiente y obtener resultados deseados.

3. Interpretación: Recepción, comprensión y evaluación de los datos obtenidos, primeramente para verificar sufiabilidad y después para poder utilizarlos en la definición de los elementos de proyecto.

Para poder realizar estas operaciones con garantía de que los resultados sean correctos es imprescindible que elusuario tenga los conocimientos necesarios sobre el comportamiento y el cálculo de estructuras, ya que si no es así estosprogramas pueden convertirse en herramientas muy peligrosas en manos inconscientes. La facilidad cada vez mayor deutilización de éstos aumenta el riesgo de que su uso sea incorrecto, ya que el saber introducir los datos no significa quese podrá asegurar la fiabilidad de los resultados.

Existe una gran variedad de programas de cálculo de estructuras, como por ejemplo: WinEva, Sap90, Sap2000,Pòrtics, Plastic, Calsef, Ansys, Cosmos, etc. Es posible utilizar diferentes criterios para analizar la base matemática y elámbito de aplicación de ellos. También es importante evaluar el grado de facilidad en la comunicación entre el usuarioy el ordenador y las ventajas que este da al facilitar las tareas y optimizar los procesos.

2.3 Descripción del programa a utilizar

El programa de ordenador que se utilizará para el análisis de estructuras en la presente práctica es Cálculo deEstructuras (Figura 1) en su versión 2.6 del año 2008, aplicación realizada por los hermanos Antonio M., José Luis yFrancisco Estévez Lorenzo en su época de estudiantes de Ingeniería Industrial, Ingeniería de Caminos, Canales yPuertos e Ingeniería Informática, respectivamente, en la Universidad de Granada.

Cálculo de Estructuras es un programa cuyo ámbito de aplicación es el Análisis de cualquier estructura planaformada por barras rectas de sección constante, sometida a cualquier serie de acciones exteriores contenidas en el planoque la define, bien sea de nudos rígidos o de nudos articulados. Por tanto, no es de aplicación para la resolución deestructuras espaciales, emparrillados (similares a las estructuras reticuladas planas en los que las acciones son normalesal plano que definen) o estructuras con barras curvas o de sección variable.

El programa se ha desarrollado a partir del Método Matricial Elástico de Cálculo de Estructuras y, por tanto, losresultados que proporciona serán correctos siempre que se pueda suponer un comportamiento elástico del material queconstituye la estructura analizada.

La aplicación funciona en ordenadores con sistemas operativos Windows XP®. NO FUNCIONA NI ENWINDOWS VISTA® NI EN WINDOWS 7®. Desde el punto de vista de Windows, este programa es una aplicaciónMDI (Multiple Document Interface) con soporte de servidor OLE (Object Linking and Embedding). Esto quiere decir



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que se pueden tener definidas en distintas ventanas tantas estructuras como desee (o la memoria del sistema permita) yque los gráficos que contienen esas ventanas pueden ser insertados en los documentos de otras aplicaciones con laposibilidad de ser modificados posteriormente.

Figura 1. Programa Cálculo de Estructuras, versión 2.6

Cada estructura está formada por barras conectadas entre sí mediante nudos de distintos tipos. Una barra puedeestar unida al nudo mediante un empotramiento o una articulación. A ambos elementos se les puede aplicar cualquierconjunto de acciones formado por cargas puntuales, cargas uniformes y/o momentos.

Una vez calculada la estructura, sobre su gráfico se dibujará una serie de curvas que representan los momentosflectores, los esfuerzos cortantes y los esfuerzos axiles. Para decidir cuáles de esas curvas se dibujarán puedeseleccionar Preferencias (Figura 3) en el menú Opciones. El convenio de signos empleado para el trazado de las curvases el mostrado en la Figura 2. En las gráficas, los valores positivos se dibujan en color rojo, mientras que los negativosse dibujan en color azul.

Figura 2. Convenio de signos de los esfuerzos internos

Para comenzar a crear una estructura, se selecciona la opción Nuevo en el menú Archivo. Haciéndolo, dentro dela ventana principal aparecerá la ventana de edición donde se va a dibujar el esquema de la estructura. Antes deproceder a la definición de la estructura, hay que prestar especial atención al sistema de unidades que se vaya a utilizary ser coherente con él. Los giros se pueden introducir en radianes, dando simplemente el valor, o en grados, dando elvalor seguido del carácter ‘º’ (círculo en superíndice).

En la zona inferior de ventana principal se puede ver una barra de estado en la que aparecen las coordenadas X eY correspondientes al punto sobre el que está situado el cursor del ratón dentro de la ventana de edición. Además, si seestá añadiendo una barra a la estructura, aparecen el ángulo y la longitud de la misma y, por último, los mensajes que elprograma le irá mostrando en cada momento.

En una estructura, la mayoría de las barras que la componen tienen unas características similares y, por ello, esrecomendable que, antes de comenzar a crear la estructura, seleccionar la opción Configuración por defecto (Figura 4)en el menú Opciones para definir las características comunes que posean la mayoría de las barras y, así, no habrá queasignárselas después a cada barra una por una.



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Para añadir una nueva barra, hay que seleccionar la opción Añadir barras que aparece en el menú Edición o enel menú de control que aparece al pulsar el botón derecho del ratón, o pulsar la tecla [Insert]. El cursor del ratónadoptará la forma de una cruz. Hay que desplazarlo hasta la posición de un extremo de la barra y pulsar el botónizquierdo. A continuación, mover el cursor hasta la posición del otro extremo de la barra y hacer un doble click con elbotón izquierdo. Mientras se mueve el cursor, en la barra de estado se podrá ver, además de las coordenadas de laposición que ocupa el cursor, el ángulo que forma el eje X horizontal con la línea que une el primer extremo de la barray la posición actual del cursor, y la longitud de esa línea.

Figura 3. Preferencias Figura 4. Configuración por defecto

Si se desea, se puede introducir directamente la longitud de la barra y el ángulo que forma. Para ello, cuando elprograma le pida la posición del segundo extremo hay que pulsar el botón derecho del ratón y seleccionar la opciónAngulo / Longitud (Figura 5) en el menú que aparecerá en pantalla.

Figura 5. Posición de la barra Figura 6. Características del nudo

Si, al indicar la posición de cualquiera de los extremos de la nueva barra, dicha posición está próxima a unextremo de alguna barra ya existente, entonces ambas barras quedarán unidas por esos extremos mediante un nudo librerepresentado por un cuadrado (unión rígida) o por un círculo (unión articulada). Las características de cada nudo oextremo de barra pueden ser modificadas en el cuadro de diálogo Características del nudo (Figura 6) que se abre alhacer un doble clic sobre él. Asimismo, al hacer doble clic sobre una barra se abre el cuadro de diálogo Configuraciónde la barra (Figura 7), donde se pueden modificar las propiedades de la misma.

Para añadir una serie de barras unidas entre sí, se procede de igual modo que para añadir una barra, pero cuandoel programa pida la posición del segundo extremo hay que hacer un clic simple con el botón izquierdo del ratón, enlugar del doble clic. A continuación, el programa pedirá el segundo extremo de la siguiente barra. Para finalizar lasecuencia, hay que hacer un doble clic con el ratón sobre el punto del segundo extremo de la última barra o pulsar latecla [Esc].



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También es posible mostrar comentarios en la ventana de edición. Para ello, hay que seleccionar la opciónInsertar texto que aparece en el menú Texto. A continuación, hay que desplazar el cursor hasta el punto donde se deseaque aparezca y pulsar el botón izquierdo del ratón. En ese momento, se abrirá el cuadro de diálogo Texto (Figura 8),donde se deberá introducir el comentario que desea mostrar.

Para seleccionar una barra, un nudo una carga o una línea de texto que ya están definidos, hay que pulsar elbotón izquierdo del ratón con el cursor situado sobre ellos. Se notará que el cursor adopta la forma de una mano alsituarse sobre un elemento seleccionable, con el dedo índice apuntando sobre él. Para seleccionar múltiples elementos,hay que mantener pulsada las teclas [Ctrl] o [Shift] mientras se pulsa el botón izquierdo del ratón. Si se mantienepulsada una de esas teclas y se pulsa con el ratón sobre un elemento ya seleccionado, entonces éste dejará de estarlo. Sipulsa en una zona vacía, cualquier elemento que estuviera seleccionado dejará de estarlo. Por último, si hay algúnelemento seleccionado y pulsa la tecla [Tab], se seleccionará el siguiente elemento del mismo tipo. Si no hubiera nadaseleccionado, se seleccionará la primera barra de la estructura.

Figura 7. Configuración de la barra Figura 8. Introducción de texto

Para editar elementos de la estructura, una vez seleccionados, hay que pulsar el botón derecho del ratón yejecutar la opción Editar en el menú que aparecerá en pantalla o pulsar la tecla [F7]. Otra manera de hacerlo consiste enhacer un doble click sobre cualquiera de ellos. Todos los elementos seleccionados deben ser del mismo tipo. Las cargasaplicadas sobre las barras y sobre los nudos de la estructura se pueden introducir a través de la opción Acciones/Efectos(Figura 9) de dicho menú en el caso de barras o a través de la edición de nudos y barras. De la misma forma seintroducen los apoyos en los nudos. Los desplazamientos prescritos se introducen a través de la opción Imponermovimiento del mencionado menú.

Figura 9. Acciones aplicadas sobre la barra Figura 10. Movimiento impuesto al nudo

El dibujo de la estructura puede ser desplazado por la ventana de edición. Para ello, hay que mover el cursor auna zona vacía de la ventana y pulsar el botón izquierdo del ratón. A continuación y sin soltarlo, mover el cursor por la



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ventana hasta la nueva posición y, cuando ésta se haya alcanzado, soltar el botón del ratón. Al desplazar el dibujo, losnudos no se mueven físicamente (no cambian sus coordenadas), sino que se desplaza la posición del origen decoordenadas del sistema de referencia. La nueva posición se puede ver (y modificar) en el cuadro de diálogoPreferencias, del menú Opciones. Inicialmente, la posición del origen de coordenadas está en la esquina inferiorizquierda de la ventana.

Cualquier nudo de la estructura puede ser desplazado de su posición. Para ello, hay que pulsar el botón izquierdodel ratón con el cursor situado sobre el nudo y, sin soltarlo, llevar el nudo a su nueva posición. Cuando ésta seaalcanzada, se suelta el botón del ratón.

Si la opción Mover la Estructura está marcada, al desplazar un nudo a una nueva posición, el resto de nudostambién se desplazan solidariamente con él y, así, la estructura no cambiará (es equivalente a lo indicado antes paramover el dibujo de la estructura). En cambio, sólo se moverá el nudo seleccionado si está marcada la opción Mover sóloel Nudo. Entonces, las barras conectadas a él cambiarán sus longitudes y ángulos. Si las opciones Mover la Estructura yMover el texto están marcadas, entonces se desplazarán conjuntamente la estructura y el texto insertado. Para marcarcualquiera de esas opciones, asegurándose que no hay ningún elemento seleccionado, hay que pulsar el botón derechodel ratón sobre una zona en la que no haya nada dibujado y seleccionar la opción deseada en el menú que aparecerá enpantalla.

El análisis de la estructura, después de definirla completamente con sus apoyos y cargas, se realiza a través de laopción Calcular del menú principal o de los menús contextuales que aparecen al pulsar el botón derecha del ratón. Unavez calculada la estructura, en pantalla se dibujarán los diagramas de esfuerzos que se haya indicado en la opciónPreferencias, del comando Opciones del menú principal. En el mismo cuadro de diálogo de Preferencias, se puedenelegir las escalas con las que se dibujarán tanto la estructura como los referidos diagramas.

Figura 11. Movimiento del nudo Figura 12. Resultados de la barra seleccionada

Cuando ya se ha realizado el análisis de la estructura, los desplazamientos y giros de cualquier nudo (Figura 11)pueden ser visualizados eligiendo la opción Resultados en el menú que aparece al pulsar el botón derecho después dehaber seleccionado dicho nudo. De la misma forma, si se ha seleccionado una barra, lo que aparece en una nuevaventana al seleccionar dicha opción son los diagramas de esfuerzos en la barra seleccionada (Figura 12). El programa nodibuja deformadas.

Cualquier otra información sobre el manejo del programa puede ser obtenida consultando la ayuda de quedispone el programa, a la que se accede a través del menú Ayuda.



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2.4 Descripción de la estructura a analizar

Las estructuras que se van a analizar en esta práctica son del mismo tipo que las que se han considerado en laPRÁCTICA Nº 4: ENSAYO SOBRE ESTRUCTURAS DE BARRAS realizada en el laboratorio (la práctica serárealizada dentro de poco tiempo, si aún no se ha hecho).

3 m

4

3 m 8

5 7

13

6 2

4 t

3 m 3 m

Figura 13. Estructura hiperestática

3 m

4

3 m 85 1

3

6 2

4 t

3 m 3 m

Figura 14. Estructura isostática

En la Figura 13 se muestra la primera de ellas. Se trata de una estructura hiperestática formada por barras desección tubular circular de 5 0 x4 mm, hechas de acero con módulo de elasticidad de valor 2.1x107 t/m2. La únicacarga que actúa es de valor P=4 t y se pretende obtener el desplazamiento δ del nudo donde se aplica dicha carga y enla dirección de la misma, así como los valores máximos de los esfuerzos internos en las barras, suponiendo en primerlugar que todos sus nudos son articulados y, en segundo lugar, que todos sus nudos son rígidos, a fin de compararresultados.



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La segunda estructura a analizar se ha dibujado en la Figura 14. Se ha obtenido de la estructura anterior poreliminación de una diagonal (la barra 7), por lo que es isostática. Se pretende realizar los mismos tipos de análisis queantes. Es decir, en primer lugar suponiendo que todos sus nudos son articulados y, en segundo lugar, que todos ellos sonrígidos, a fin de comparar resultados entre sí y con los obtenidos en la estructura anterior.

2.5 Descripción del método a seguir

1. Arrancar el programa Cálculo de estructuras.

2. Analizar la estructura hiperestática mostrada en la Figura 13, suponiendo que todos sus nudos son articulados.

3. Rellenar la parte de la Memoria de Prácticas correspondiente a la estructura que acaba de analizar.

4. Analizar la estructura hiperestática mostrada en la Figura 13, suponiendo que todos sus nudos son rígidos.


6. Analizar la estructura isostática mostrada en la Figura 14, suponiendo que todos sus nudos son articulados.


8. Analizar la estructura isostática mostrada en la Figura 14, suponiendo que todos sus nudos son rígidos.


10. Cerrar el programa Cálculo de estructuras.

11. Acabar de rellenar la Memoria de Prácticas y entregársela al profesor.

3 PRÁCTICAS Nº 2 y Nº 3: COMPORTAMIENTO DE UNA VIGA EN FLEXIÓN

3.1 Objetivos específicos

1. Capacitar al alumno para el manejo de un manipulador simbólico matemático para el análisis de vigassometidas a flexión.

2. Capacitar al alumno para obtener los diagramas de esfuerzos cortantes, momentos flectores, giros y deformadaen vigas sometidas a flexión.

3. Capacitar al alumno para obtener los diagramas de tensiones normales, tangenciales y equivalentes ensecciones de pared delgada pertenecientes a vigas sometidas a flexión.

4. Capacitar al alumno para emitir juicios de valor sobre los resultados obtenidos en vigas solicitadas por distintosestados de carga.

3.2 Introducción

Ver Apartado 2.2.

3.3 Descripción del programa a utilizar

El programa de ordenador que se utilizará para el análisis de vigas y secciones es el sistema de cálculo simbólico(SCS) Maple en su versión 8.00 (Figura 15). Se entiende como SCS un conjunto de herramientas informáticas quepermiten desarrollar distintos procesos matemáticos ahorrando gran cantidad de tiempo y esfuerzo.



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Figura 15. Maple 8

Maple® 8.00 es un entorno matemático de resolución de problemas desarrollado en 1980 y comercializadodesde 1983 por el Grupo de Cálculo Simbólico de la Universidad de Waterloo (Ontario, Canadá). Su nombre provienede "Matemáticas Agradables" (en inglés MAthemátical PLEasure). El programa contiene una amplia variedad deprocesos matemáticos como análisis numérico, álgebra simbólica y gráficos con más de 3.000 comandos. Ofrecetambién una visualización matemática interactiva con interface de usuario, utilidades de procesador de gráficos y unlenguaje de programación potente que le permite ser utilizado en campos tan dispares como la educación, lainvestigación o la industria.

Por tanto, al contrario que en la práctica anterior donde se utilizó una aplicación específica para el cálculo deestructuras, ahora se utilizará un programa genérico en el que se han definido una serie de funciones específicas para elanálisis de vigas sometidas a flexión. En efecto, Maple® 8.00 es una aplicación genérica que sirve para resolver todotipo de problemas matemáticos, no sólo los relativos al análisis de vigas.

El conjunto de funciones a utilizar ha sido desarrollado por profesores de la Escuela de Ingenierías Industrialesde Valladolid. Se han almacenado en dos ficheros. El primero de ellos, llamado Vigas.wms, permite obtener lasdistribuciones de esfuerzos cortantes, momentos flectores, giros y flechas que se producen en las secciones de una vigasometida a un determinado sistema de cargas, indicando sus valores específicos en la sección que se desee. La vigapuede estar sustentada tanto isostática como hiperestáticamente y las cargas pueden ser puntuales o distribuidas de tipouniforme o lineal. Además, contempla la posibilidad de que la sección sea variable a retallos (por tramos), que existanrótulas y que los apoyos sufran desplazamientos y/o giros predeterminados (asientos prescritos). No se contempla laposibilidad de que la viga trabaje a tracción/compresión.

El segundo fichero, llamado Secciones.wms, permite determinar las características geométricas de cualquiersección, así como las distribuciones de tensiones normales, tangenciales y equivalentes en la misma cuando estásolicitada por un conjunto determinado de esfuerzos, indicando los valores específicos para una fibra determinada.

Por tanto, para el estudio de cualquier viga será preciso ejecutar en primer lugar los comandos del ficheroSecciones.wms tantas veces como secciones diferentes se utilicen, a fin de calcular sus características geométricas quesean necesarias para el análisis. A continuación, se ejecutarán los comandos del fichero Vigas.wms para determinar lasleyes de desplazamientos/giros y de esfuerzos en la viga y, con los valores de estos últimos particularizados para lassecciones que se quiera, se vuelve a correr el fichero Secciones.wms para determinar las leyes de tensiones en lasmismas.

No obstante, en el desarrollo de estas prácticas se supondrán inicialmente conocidas las característicasgeométricas de las secciones a utilizar, por lo que inicialmente se utilizará el programa Vigas.wms y después elSecciones.wms, que ya habrá sido preparado para calcular las distribuciones de tensiones que se soliciten y en el quesólo habrá que introducir los valores de los esfuerzos internos.

Antes de pasar a la descripción propiamente dicha del manejo del paquete de funciones que se va a utilizar,conviene comentar el código de colores utilizado por el SCS Maple® 8. En este sentido, hay que recordar que lasexpresiones escritas en color rojo corresponden a entradas de datos, mientras que las que aparecen en azul son salidasde resultados. En lo que se refiere a la salida de errores, el texto de color rojo corresponde a errores graves, siendo el decolor morado el correspondiente a errores leves (warning).

En ambos casos, tanto si se utiliza Secciones.wms como si se utiliza Vigas.wms, el proceso se comienza con laentrada de datos. Para ello, habrá que modificar adecuadamente una serie de líneas de código en cada fichero. Esteproceso es delicado y para su desarrollo hay que poner especial atención, ya que la herramienta utilizada está abierta a



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todo tipo de modificaciones de programación y cualquier modificación (voluntaria o no) de las funciones de cálculo(y/o de los comandos que las componen) producirá inevitablemente que el proceso no se desarrolle con normalidaddebido a la aparición de errores o, en el peor de los casos y sin que éstos se produzcan, que los resultados que seobtengan no sean los correctos.

Terminada la entrada de datos, el programa irá realizando los cálculos y facilitando los resultados sucesivamentea medida que se va pulsando la tecla [Enter]. Cada vez que se pulse dicha tecla, el programa ejecutará el comando en elque se encuentre el cursor, generando las figuras o visualizando los resultados programados, y posicionará el cursor deforma automática en la siguiente línea de comando.

3.3.1 Fichero Vigas.wms. Cálculo de esfuerzos internos

3.3.1.1 Introducción de los datos de la viga

A fin de aclarar la introducción de datos, se considerará la viga representada en la Figura 16. Se trata de una vigacontinua de inercia variable a retallos, de valores I y 2I (que no aparecen en la figura), vinculada con un empotramientoen su extremo izquierdo y un apoyo articulado. La flecha máxima en la sección que dista 2 m del es de 2 mm. La vigaestá cargada con un momento puntual, tres fuerzas puntuales y dos cargas repartidas, una uniforme y otra variable.Además, se ha introducido una rótula a 4 m del empotramiento. El módulo de elasticidad del material con que estáhecha la viga tiene un valor de 210 MPa.

En lo sucesivo, se considerará un sistema de referencia con origen en el extremo izquierdo de la viga y en el queel eje Ox recorre la línea media de la viga de izquierda a derecha. Por tanto, la sección se encuentra situada en el planoyOz. Además, el sistema de unidades a utilizar no está definido, pero siempre se ha de ser coherente con las unidadesutilizadas. En este sentido, lo mejor es utilizar siempre el Sistema Internacional de Unidades (metros y newtons).

El aporte de datos de la viga comienza con la introducción de su longitud “L” y del módulo de elasticidad delmaterial utilizado “E” (la viga es de un único material).

0,5 kN/m 4 m kN

2 kN 1 kN

0,5 kN/m

0,6 kN

2 mm 2 m B xA

2 m 2 m 2 m 2 m 4 m

y

I inicial (m4) I final (m4) x inicial (m) x final (m)0,00003334 0,00003334 0 50,00006668 0,00006668 5 70,00003334 0,00003334 7 12

Figura 16. Ejemplo de todas las posibilidades del fichero Vigas.



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Los comandos a introducir son

> L:=12; E:=210*10^9;

Los apoyos de la viga se introducen en el vector “dv”, cuyos elementos son vectores en los que la primeracomponente es la coordenada x de la sección, la segunda es el desplazamiento vertical (flecha) prescrito (positivo haciaarriba) y la tercera es el giro prescrito (positivo en sentido antihorario). Los vínculos siempre se considerarán comorígidos (indeformables).

Cuando el desplazamiento y/o el giro correspondiente a cualquier vínculo sean desconocidos, se introducirá laletra x en vez de introducir valor numérico alguno en la posición correspondiente. El programa lo considerará como unaincógnita más y calculará su valor.

Si la viga tiene rótulas, éstas se considerarán como un apoyo adicional en el que el giro es desconocido. Nóteseque las rótulas permiten la existencia de giros distintos a derecha e izquierda de las mismas, aunque sólo es necesariointroducir un término x en la posición correspondiente al giro prefijado. En lo referente a los desplazamientos, lasrótulas se tratan como cualquier otro apoyo.

En el ejemplo propuesto (Figura 16) habría que introducir el siguiente comando

> dv:=Matrix([[0,0,0],[4,x,x],[8,0,x]]):

dado que en la sección x=0 m hay un empotramiento que anula el giro y la flecha, en la sección x=4 m hay una rótula enla que se desconoce la flecha y en la sección x=8 m hay un apoyo que anula el desplazamiento y permite el giro.

Tras los vínculos se introducen los momentos de inercia en el vector “In”, cuyos elementos son a su vezvectores que contienen, para cada tramo o retallo, los momentos de inercia de las secciones inicial y final y suscoordenadas x. Los valores de estos momentos de inercia han de estar referidos a la base principal de inercia asociada albaricentro de la sección y podrían haber sido previamente calculados con el fichero Secciones.wms, aunque en lasprácticas propuestas dichos valores serán los que el programa tiene por defecto, es decir LOS VALORES DE LAMATRIZ “In” NO SE MODIFICARÁN. En el ejemplo que se está siguiendo (Figura 16), considerando los perfilesutilizados

> In:=Matrix([[0.00003334,0.00003334,0,5],[0.00006668,0.00006668,5,7],[0.00003334,0.00003334,7,12]]):

ya que la sección de la viga presenta una inercia de 0.00003334 m4 entre las secciones x=0 m y x=5 m, de 0.00006668m4 entre las secciones x=5 m y x=7 m y de 0.00003334 m4 entre las secciones x=7 m y x=12 m.

Definidas las inercias, se pasa a definir el estado de carga. Inicialmente se introduce el número de cargas decada tipo, según su clasificación en fuerzas concentradas (variable “puntuales”), momentos concentrados (variable“momentos”) y fuerzas distribuidas (variable “repartidas”). En el ejemplo que se está siguiendo (Figura 16), el númerode cargas según la tipología es

> momentos:=1; puntuales:=3; repartidas:=2;

porque la viga soporta un momento concentrado, tres cargas concentradas y dos distribuidas.

Los momentos se caracterizan por su magnitud y su cota de actuación. Se considerará que los momentos sonpositivos en sentido antihorario. Estos valores se introducen a través del vector “m”, cuyos elementos son vectores quepara cada momento contienen su magnitud y la cota de la sección de aplicación.

Al igual que los momentos, las cargas puntuales quedan unívocamente definidas por su módulo y su cota deactuación. Se introducen mediante el vector “p”, cuyos elementos son vectores que para cada carga concentradacontienen su módulo y la coordenada x de la sección donde están aplicadas. Se considera que dichas cargas sonpositivas cuando van dirigidas hacia abajo.

Por último, las cargas distribuidas se dan mediante el vector “r”, cuyos elementos son vectores que para cadacarga contienen el valor inicial, el valor final y las cotas de las secciones entre las que se aplica la carga. Al igual quelas concentradas, las cargas distribuidas son positivas cuando se aplican hacia abajo.



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Figura 17. Gráficos de esfuerzos cortantes y momentos flectores

Figura 18. Gráficos de giros y deformada.

Para el caso que nos ocupa (Figura 16), los comandos a introducir son

> m:=[[4000,6]]:p:=[[2000,6],[1000,8],[600,12]]:r:=[[500,0,0,6],[500,500,8,12]]:

ya que actúa un momento concentrado de valor 4000 N aplicado en la sección x=6 m, tres cargas concentradas devalores 2000, 1000 y 600 N aplicadas en las secciones x=6, 8 y 12 m, respectivamente, y dos cargas distribuidas, unatriangular que vale 500 N en la sección x= 0 m y 0 N en x= 6 m y otra constante cuyo valor es de 500 N entre lassecciones x=8 m y x=12 m.

Terminado esto, se da por concluida la entrada de datos en el fichero Vigas.wms. A continuación, no hay másque situar el ratón encima del primer comando (> restart:with(plottools):) e ir pulsando sucesivamente [Enter] para quese ejecuten los sucesivos comandos del fichero. Recuérdese que cada vez que se pulsa [Enter], el programa procesa loscomandos ubicados en la línea donde está situado el cursor y coloca el cursor de forma automática en la siguiente línea.

No obstante, si no se desea ir paso a paso, una forma más rápida de realizar todos los procesos de cálculoconsiste en pulsar el botón que aparece en la barra de comandos de la aplicación situada en la parte superior de lapantalla.



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3.3.1.2 Resultados del análisis de la viga

A medida que se van ejecutando los sucesivos comandos que componen el núcleo de cálculo, van apareciendoen pantalla los gráficos de esfuerzos cortantes, momentos flectores, giros y flechas (deformada), variables quecomponen el conjunto de resultados que se obtienen en el análisis de cualquier viga sometida a flexión. Para el ejemploque se viene desarrollando (Figura 16), las gráficas obtenidas son las mostradas en las Figuras 17 y 18.

Conviene hacer notar que la gráfica de deformaciones se ha obtenido multiplicando los valores reales por unfactor de escala para facilitar su visibilidad. Esa escala puede ser modificada por el usuario, aunque no se recomiendahacerlo. Para ello se, varía el término que multiplica a la función “y_x” en el comando siguiente:

> plot(y_x*1000,x=0..L, color=violet, title="Gráfica de flechas.", scaling=CONSTRAINED,labels=[x, Deformada]);

3.3.1.3 Determinación de los resultados en una sección determinada

El programa también permite la obtención de la magnitud del esfuerzo cortante, momento flector, giro y flechaen una sección determinada. Para ello se utiliza la hoja de cálculo correspondiente que aparece al final del fichero.

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Se sitúa el cursor del ratón en la casilla inmediatamente debajo de aquélla donde aparece “Cota (metros)” y sepulsa el botón izquierdo del ratón.

2. Al pulsar, se abrirá un cuadro de diálogo en la parte superior de la pantalla en el que el programa espera que seintroduzca el valor de la cota en la que se quiere realizar el cálculo. Se introduce ahora la magnitud de dichacota.

Introducido el valor, hay que actualizar el resto de campos de la tabla, por lo que se pulsa el botón queaparece en la parte superior al tener el ratón en algún dominio de la tabla. De esta forma, se obtienen los resultados de lacota especificada. En este caso, éstos son

A B C D E

Cota (metros) Cortante (N) Momento (mN) Giro (radianes) Flecha (milímetros)

2 1038,89 1522,23 0,0008 -0,9384

Es posible que, debido al proceso de cálculo seguido, algunos valores no aparezcan (esto suele ocurrir cuando sepiden valores en una cota en la que existe discontinuidad). En el caso en el que esto ocurra, se debe introducir un valorpróximo al de la cota de estudio, correspondiente a la sección situada a la izquierda o derecha de dicha cota (para la cotaque se está analizando sería 1,9999 o 2,0001, respectivamente).

3.3.1.4 Secciones críticas

Una vez obtenidos los gráficos de esfuerzos cortantes y momentos flectores, se procede a la obtención las cotasde las posibles secciones críticas por análisis de dichos gráficos. Se denomina sección crítica o peligrosa a aquélla máscargada desde el punto de vista tensional. Su interés radica en que el primer punto de la viga que entre encomportamiento plástico está siempre situado en alguna de ellas. Por tanto, si ningún punto de ellas plastifica, la vigaresiste las cargas que tiene aplicadas.

Dado que las tensiones en los puntos de cualquier sección son directamente proporcionales a los valores de losesfuerzos internos que actúan en la misma y considerando que, normalmente, las tensiones normales son de un orden demagnitud superior a las tensiones tangenciales, las secciones críticas en cada tramo serán aquéllas en las que el valorabsoluto del momento flector es máximo, dado que no se considera la existencia de esfuerzo axil.



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Para el ejemplo que se está siguiendo (Figura 16) se aprecia que la sección peligrosa es única y corresponde a lacota z=8 m (Figura 18). Esta sección pertenece a un tramo en el que la inercia es la más pequeña y en ella se dansimultáneamente los valores máximos de esfuerzo cortante (a su derecha) y momento flector, por lo que se pedirán losvalores en una cota de magnitud z=8,0001 m. Los resultados obtenidos en la tabla son los siguientes:

A B C D E1 Cota( metros ) Cortante(N ) Momento( Nm ) Giro( radianes ) Flecha( milimetros )

2 8.0001 2600 6400 0.0002 0.000

Con los valores de los esfuerzos internos (esfuerzo cortante y momento flector) así obtenidos se abrirá el ficheroSecciones.wms, donde se determinarán las tensiones normales, tangenciales y equivalentes sobre los puntos de lasección correspondiente.

Evidentemente, si la viga está cargada en dos direcciones principales simultáneamente, habrá que resolver laviga dos veces, una con cada estado de cargas en la dirección principal correspondiente. En este caso, la determinaciónde las secciones críticas no será un proceso tan sencillo como en el caso en que la flexión es plana.

3.3.2 Fichero Secciones.wms. Cálculo de tensiones

3.3.2.1 Estudio de tensiones en la sección

Para comenzar el cálculo de las distribuciones de tensiones en la sección con el fichero Secciones.wms es precisointroducir los datos geométricos de la sección objeto de estudio y los valores de los esfuerzos internos obtenidos comose indicó anteriormente.

En las dos prácticas que se van a desarrollar, LOS VALORES QUE DESCRIBEN LA GEOMETRÍA DE LASECCIÓN COINCIDEN CON LOS VALORES QUE POR DEFECTO USA EL PROGRAMA, POR LO QUE NOSERÁ NECESARIO DESCRIBIR CÓMO SE INTRODUCEN.

Además de definir la geometría de la sección a analizar, hay que introducir los valores de los esfuerzos que sehan obtenido previamente. Esto se hace a través de las variables “Nx”, “Vy”, “Vz”, “My” y “Mz”, las cuales recogenrespectivamente los valores del esfuerzo axil, esfuerzos cortantes en las dos direcciones principales de inercia de lasección y momentos flectores alrededor de dichas direcciones.

Para el ejemplo que se viene resolviendo (Figura 16), como las cargas están en el plano xOy,

> Nx:=0; Vy:=2600; Vz:=0; My:=0; Mz:=6400;

donde los valores son los que aparecen en la tabla del Apartado 3.3.1.4.

A partir de ese instante hay que procesar nuevamente los datos, por lo que se pulsa el botón que aparece en laparte superior de la pantalla. En el caso en que no aparezca, situar el ratón sobre un comando del programa, pulsar elbotón izquierdo del ratón y el botón aparecerá en la parte superior.

Según se van ejecutando los diversos comandos, van apareciendo en pantalla las representaciones de lastensiones tangenciales asociadas a las direcciones principales e1 y e2, las tensiones normales y las equivalentes dadaspor la hipótesis de Von Mises. Para el ejemplo que nos ocupa, se obtienen las representaciones mostradas en la Figura19.

Para el cálculo de las tensiones tangenciales se ha considerado la ley parabólica de Colignon. Se aprecia que ladistribución de tensiones tangenciales sobre el perfil tiene valores despreciables respecto de los de las tensionesnormales.



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Figura 19. Gráficos de tensiones tangenciales, normales y equivalentes (Von Mises).



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3.3.2.2 Cálculo de tensiones en punto concreto de la sección

Al igual que el caso del fichero Vigas.wms se podían determinar los valores de los esfuerzos, de la flecha y delgiro en una sección concreta, siguiendo el mismo procedimiento que entonces se puede ahora determinar los valores delas tensiones en cualquier punto específico de la sección.

En este caso, el punto se define por los valores del tramo y por la posición del punto dentro del tramo (definidamediante la posición del arco correspondiente desde el nodo inicial, Figura 20). Estos valores se introducen en la tablaque está al final del fichero, siguiendo los mismos procedimientos indicados en el estudio de cortante y momento parael análisis del programa Vigas.wms.

Nodo Inicial Ramal 1

Nodo final

Figura 20. Numeración de ramal y nodos.

Así, para el punto medio del segundo tramo en el problema que nos ocupa, se obtiene

A B C D E F1 Ramal (Nº) Arco (cm) sigma x (MPa) tau Te2 (MPa) tau Te1 (MPa) Von Mises (MPa)

2 2 25 0. 0.7995 0.14 10-17 1.3501

3.4 Descripción de las vigas a analizar

En estas prácticas se van a analizar una viga sometida a dos estados de carga diferentes, a fin de compararresultados y poder extraer conclusiones sobre cómo afectan los tipos de cargas al comportamiento de las vigas enflexión.

En la Figura 21 se muestran las dos configuraciones a analizar. Todas ellas tienen en común que se trata de unaviga isostática de sección constante, hecha de acero con módulo de elasticidad de valor 2.1x105 MPa. En todas ellas sepide obtener los gráficos de esfuerzos cortantes y momentos flectores, así como los gráficos de giros y la deformada.También hay que determinar, para la sección crítica, los valores de las tensiones normales, tangenciales y equivalentesegún la hipótesis de Von Mises. Se solicita también la determinación del material necesario según el Código Técnicode la Edificación para que la viga resista las cargas

Los dos casos a considerar son:

1. La sección de la viga es de pared delgada, en cajón de forma cuadrada de 10 cm de lado y 0,5 cm de espesor.La única carga que actúa está concentrada en la sección central, vertical y hacia abajo, con un valor de 5kN.

2. La sección de la viga es de pared delgada, en cajón de forma cuadrada de 10 cm de lado y 0,5 cm de espesor.La única carga que actúa está distribuida sobre toda la viga, vertical y hacia abajo, con un valor de 1kN/m.



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5 kN

A B C D

2 m 2 m 2 m 3 m

y

10 cm

z

1 cm

10 cm

2 cm

2 cm

1 cm

y

A B C

2 m 2 m 2 m

y

1 kN/m

D

3 m

x

10 cm

z

1 cm

10 cm

2 cm

2 cm

1 cm

y

Figura 21. Vigas a analizar

3.5 Descripción del método a seguir

1. Para cada una de las vigas mostradas en la Figura 21, seguir las indicaciones dadas en el Apartado 3.3.Rellenar la Memoria de Prácticas en cada una de ellas.

2. Entregar la Memoria de Prácticas al profesor.

4 MEMORIAS DE LAS PRÁCTICAS

En las siguientes hojas se muestran las Memorias de Prácticas a realizar por parte del alumno y que deben serdebidamente cumplimentadas durante el transcurso de las mismas y entregadas al profesor al final de cada sesión deprácticas.



DE ESTRUCTURAS


1

Nudos RígidosF δ

Nudos RígidosBarra N M

1

2

3

4

5

6

7

8

MEMORIA DE PRÁCTICAS DE ORDENADOR

ASIGNATURA Resistencia de Materiales GRUPO FECHA

ALUMNO DNIALUMNO DNIALUMNO DNIALUMNO DNIALUMNO DNI

PRÁCTICA Nº 1 : COMPORTAMIENTO DE UNA ESTRUCTURA DE BARRASBarras de perfil tubular circular (perfil hueco) de 50 x 4 mm, P = 4 t y E = 2.1x107 t/m2

1. Estructura Hiperestática.

1.1. Valor de la fuerza aplicada (F, toneladas) y desplazamiento vertical del nudo extremo (δ, milímetros).

Nudos ArticuladosF δ

1.1. Rigidez de la estructura (K = F / δ, toneladas/milímetro).

Nudos Articulados Nudos Rígidos

1.2. Valores de esfuerzos axiles ( N ) y momentos flectores ( M ) en las barras de la estructura.

Nudos ArticuladosBarra N

1

2

3

4

5

6

7

8



DE ESTRUCTURAS


2

Nudos RígidosF δ

Nudos RígidosBarra N M

1

2

3

4

5

6

8

2. Estructura Isostática.

2.1. Valor de la fuerza aplicada (F, toneladas) y desplazamiento vertical del nudo extremo (δ, milímetros).

Nudos ArticuladosF δ

2.2. Rigidez de la estructura (K = F / δ, toneladas/milímetro).

Nudos Articulados Nudos Rígidos

2.3. Valores de esfuerzos axiles ( N ) y momentos flectores ( M) en las barras de la estructura.

Nudos ArticuladosBarra N

1

2

3

4

5

6

8

3. Observaciones (Adjuntar otra hoja en caso de ser necesario)



DE ESTRUCTURAS


3

2. Resultados2 1 Gráficos de esfuerzos cortantes y momentos flectores

0 10 2012 13 24 3




PRÁCTICANº2: VIGA A FLEXIÓN. CARGA PUNTUAL. PERFIL CERRADO DE PEQUEÑO ESPESOR

1. Definición del problema.z

5 kN10 cm

2 cm

10 cm

1 cm

2 cm

1 cm

y

A B C D

2 m 2 m 2 m 3 m

(E = 2.1x105 MPa) y

.



DE ESTRUCTURAS


4

2.2 Gráficos de giros y flechas

2.3. En la sección más peligrosa determinar el reparto de tensiones normales, tangenciales. Tensión equivalente máxima

considerando la hipótesis de Von Mises 22 3 eVM

2.4. Determinar el material necesario para que la tensión obtenida no supere el límite elástico.

Deformación máxima:

Tensión equivalente máxima:

Material:



DE ESTRUCTURAS


5

2. Resultados2 1 Gráficos de esfuerzos cortantes y momentos flectores

0 10 2012 13 24 3




PRÁCTICA Nº3: VIGA A FLEXIÓN. REPARTIDA. PERFIL CERRADO DE PEQUEÑO ESPESOR

1. Definición del problema.z

10 cm

1 cm

10 cm

2 cm

2 cm

1 cm A B C

2 m 2 m 2 m

1 kN/m

D x

3 m

y

(E = 2.1x105 MPa) y



DE ESTRUCTURAS


6

2.2 Gráficos de giros y flechas

2.3. En la sección más peligrosa determinar el reparto de tensiones normales, tangenciales. Tensión equivalente máxima

considerando la hipótesis de Von Mises 22 3 eVM

2.4. Determinar el material necesario para que la tensión obtenida no supere el límite elástico.

Deformación máxima:

Tensión equivalente máxima:

Material:



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Guía de Prácticas de Ordenador. Noviembre 2012v2

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