guia de mate1

Lic. Jesús Flores Cruz Matemática I-A 1

MATEMÁTICA I-A

NUMEROS REALES, DESIGUALDADES, INTERVALOS E INECUACIONES

1. Si a, b, c, d R , Demostrar que: (ab + cd) 2 4abcd

2. Demostrar que si 2,4 2 3 7,11x entonces x

3. Si a > 0 y b < 0, Demostrar que: a

b 1 <

a

1

4. Resolver

2 21 2 0x x x x

5. Resolver

x

x

x

x 1

1<

1

2

x

x

6. Resolver

09

21

2 xx

xx

7. Resolver

2 3 2 1 49 (1 ) ( 9) 0

n nx x x , si n 1, n N

8. Resolver

16

412

3

33x

xx

> 2

2 13x

x

9. Resolver

I. Realizar las siguientes demostraciones:

1. 0,0, dbbd

bcad

d

c

b

a

2. IRcbacbabcacab ,,,222

3. Si abccbacba 2)(0,0,0 3

4. Si baabba 2,0,0

5. b

a

b

abIRba 0,,

6. axbbyxabxy

7. cbacba

21 1

2 03 3

x x

x x


8. bccaba

9. Si a

b

b

abababa

22

,0,0

10. Si )(3)(,, 2222 cbacbacbaIRcba

11. Sea 21

,1,0x

xxx

12. Sea x

xx

xxx11

,1,02

2

13. )(2)(,, 222 babaIRba

14. Si xyyxyx )(2

1,0,0

II. Hallar el menor de los números M, tal que IRx :

1. Mxx 22

2. Mxx 2413

3. Mxx 221219

III. Encontrar el menor valor de M tal que:

1. ]7,2[,1

xMx

2. 2,4,7

1xM

x

3. ]4

1,

4

3[,

3

3xM

x

x

4. 3,2,123 xMxx

IV. Resolver las ecuaciones siguientes

1. 3x – 4 = x – 5 2. (x + 5)(x +2) – 3(4x – 3) = (5-x)

3. 82

12

4

53

2

432 xxx

x

x

x 4. 11 – 4x = x + 5

5. 01

25

x

x 6. )(12)2()2( 233 xxxx

7. )(12)2()2( 222 xxxx 8. 0142 xx

9. 03242 234 xxxx 10. 0103 2 xx

11. 07232 234 xxxx 12. 0324413 23 xxx

13. 02082 xx 14. 012 2 xx


15. xx 2376 16. 726x

17. xx 119 18. 62

5

x

x

19. 0322 xx 20. 4342 xxx

21. 54

3

x

x 22. 1284 xxx

23. 4312513 xxx 24. xxx 8372

25. 2 1 1 0x x 26. 2 1 1x x

27. 2 11 2 7x x 28. 2 8 0x x

29. 3 1

4 33 5

xx

x 30. 2 22 1 3x x x

V. Hallar el conjunto solución de las inecuaciones siguientes:

1. ( 2)( 5) 0x x 2. 28

x

x

3. 2 9 20 0x x 4. 3(2 ) 4x x x

5. 2 3 2 10 2x x x 6. 2 3 2 0x x

7. 21 2 3 0x x 8. 3 1

12

xx

x

9. 2

2

4 90

4 5

x x

x x 10.

2

2

2 32

4 3

x x

x x

11. 2

2

3 20

2 6 3

x x

x x 12.

2

32 4

4 2 2

x

x x x

13. 2 2( 6)(4 4 ) 0x x x x 14. 2 2 15 1x x x

15. 2 3 2 0x x 16. 2 3 1x x

17. 2 6 4x x 18. 2 3 2 2x x x

19. 32 2

2

xx

x 20.

2 51

2

x

x

21. 3 2

2

8 120

5 14

x x x

x x 22.

2 3

2

8 120

7 6

x x x

x x

23. 3 2 4 5

2 2

19

(1 )(1 ) (1 2 )(1 )

x x x x x

x x x x x 24. 2 4 5 1x x x


25. 2

80

4

x x

x 26.

2

2

(1 ) ( 2)( 4)( 7)0

(1 3 )(2 )

x x x x

x x

VI. Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto y expresar el

conjunto solución en intervalos

1. 6 3x 2. 7 5x

3. 5 2 4x 4. 3 8x x

5. 3 2 5x x 6. 2 1 5x x

7. 3 2

41

x

x 8.

1

2 11

2

x

x

9. 5

12 3x

10. 4 7 5x x x

11. 2

3 2 3 24 0x x 12. 3 1 4 4 3x x x

13. 2 23 5 2 3 4 1x x x x 14.

2

2

4 2 40

4 12

x x

x x

15. 2 5 2 2 3x x x 16. 3 2 3 2x

17. 3 1 4 3

2 5

x x 18.

2

2

3 21

1

x x

x

19. 2

11

02 1

xx

x

x x 20.

22

4 2

44 4

x x

xx x

21.

2 22 48 ( 2 12 )0

2 6

x x x x x

x

VII. Resolver las siguientes ecuaciones con máximo entero:

1. 2 1 1x 2. 2 1x

3. 3 5x 4. 2 1 2 3x x x

5. 2 4 3x x 6. 22 1 1x


7. 2 1

43

x

x

8. 1

53

x

x

9. 1 3

42

x

10. 2 1

32

x

x

VIII. Resolver las siguientes inecuaciones con máximo entero:

1. 2 1 0x 2. 1x x x

3. 2 4 4 4 5x x 4.

2

6 30

3

x

x

5. 24 5 4 1x x 6. 4 1

44 2

x

x

7. 2 3

52

x

8. 2

6 42

x

x

9. 1

45

x

10. 2 1

12 1

x

x


LA RECTA, LA CIRCUNFERENCIA Y LA PARÁBOLA

SISTEMA DE COORDENADAS

1. Hallar la distancia dirigida del punto A(-3) al punto B(9) y de B(9) a A(-3).

2. La distancia entre los puntos es 12. si uno de los puntos es A(-4), hallar el

otro punto.

3. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento dirigido

cuyos extremos son los puntos P(-5) y Q(-21).

4. Un cuadrado, de lado igual a 4, tiene su centro en el origen y sus lados son

paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro

vértices.

5. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (-1,3), (5,3) y (5,-2).

Determinar las longitudes de los catetos y calcular el área del triángulo y la

longitud de la hipotenusa.

6. Demostrar que los puntos A(-2,4), B(-6,5) y C(-5,1) son los vértices de un

triángulo isósceles.

7. Uno de los puntos extremos de un segmento es el punto (-4,2) y el punto

medio es (3,-1). Hallar el otro extremo.

8. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos

extremos son los puntos A(-2,3) y B(6,-3).

9. Los extremos de un segmento son los puntos A(7,4) y B(-1,-4). Hallar la

razón AP/PB en que el punto P(1,-2) divide al segmento.

10. Hallar la distancia entre el baricentro del triángulo de vértices A(-10,-1), B(-

6,4), C(4,8) y el punto de trisección más cercano al punto Q del segmento

de extremos P(-10,-3) y Q(8,6).

11. Hallar la distancia entre el punto medio del segmento cuyos extremos son

los puntos A(3,5) y B(5,1) y el baricentro del triángulo de vértices , los

puntos C(1,0), D(3,4) y E(-1,-1).

12. Los vértices de un triángulo son A(a,b), B(c,9) y C(2,d). Si el punto medio de

BC es 1 2,5 2 y el baricentro del triángulo es (-1,1), hallar A(a,b).

13. Los puntos A(a,0), B(2,11), C(-1,7) y D(5,-5) determinan los segmentos AB

y CD. Si P(0,b) es el punto de intersección de estos dos segmentos, hallar

la abscisa de A y la ordenada de P.


14. Encontrar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por

los puntos A(2,-3) y B(-4,3).

15. Los vértices de un triángulo son los puntos A(2,-2), B(-1,4) y C(4,5).

Calcular la pendiente de cada uno de sus lados

LINEAL RECTA

1. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial tiene

pendiente 1/2, calcular la pendiente de la recta final.

2. Una recta L 1 pasa por los puntos A(3,2) y B(-4,-6), y la otra recta L 2 pasa

por los puntos C(-7,1) y D(a,-6). Hallar a sabiendo que L 1 es perpendicular

a L 2 .

3. Demostrar que los cuatro puntos A(2,4), B(7,3), C(6,-2) y D(1,-1) son

vértices de un Cuadrado y sus diagonales son perpendiculares y se

intersectan en su punto medio.

4. Hallar la ecuación de la recta L que satisface las condiciones dadas:

a) Pasa por (5,2) y su pendiente es -2.

b) Pasa por los puntos (2,4) y (-7,6).

c) Intersecta al eje X en el punto (-4,0) y al eje Y en (0,3).

d) Pasa por (4,2) y es paralela a la recta que pasa por (5,1) y (-1,7).

e) Pasa por (-1,2) y es perpendicular a la recta que pasa por (5,0) y (0,4).

5. Hallar el valor de K para que la recta L: 3x + 2y + K = 0, forme con los ejes

coordenados un triángulo de área 4u.

6. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas L 1 : x + 2y – 4 = 0 y L 2 : 3x – 2y = 8 y es perpendicular a la recta

L 3 : 5x – y + 11 = 0

7. Las ecuaciones de los lados de un cuadrilátero son 3x - 8y + 36 = 0, x + y –

10 = 0, 3x – 8y – 19 = 0 y x + y + 1 = 0. Demostrar que la figura es un

paralelogramo, y hallar las coordenadas de sus vértices.

8. Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la

recta L : 5x + 4y + 20 = 0.

9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,4) y es paralela a la recta L:

2x – 5y + 7 = 0.

10. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,-3) y es perpendicular a la

recta L: 2y – 3x = 4.


11. Dadas las rectas L 1 : x – y + 2 = 0 y L 2 : x + 3y – 10 = 0. Hallar la ecuación

de la recta L que pasa por el punto P(6,4) de tal manera que la parte de

esta recta comprendida entre las rectas L 1 y L 2 , queda dividida por el punto

P en dos segmentos iguales.

12. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,4) sabiendo que la

longitud del segmento comprendido entre las rectas x – 2y + 1 = 0 y x – 2y

– 1 = 0 es igual a 5.

13. Hallar la distancia del punto P(-3,-4) a la recta L que pasa por los puntos A(-

2,3) y B(4,-5).

14. Dados los puntos A(-2,-3), B(2,1) y C(4,-9) y M es punto medio de BC.

Hallar la distancia de M a la recta que pasa por A y C.

15. Hallar la distancia del punto P(2,-3) a la recta L : 4x -5y + 10 = 0.

16. Hallar la distancia entre las rectas paralelas

a) 5x – 8y + 9 = 0 y 5x – 8y – 4 = 0

b) 4x + 4y – 6 = 0 y 4x + 4y + 10 = 0

17. Hallar la tangente del mayor ángulo que forman las rectas L 1 : 6x – 11y + 18

= 0 y L 2 :17x – 5y – 9 = 0.

18. Hallar la tangente del ángulo agudo formado por las rectas L1 : 3x + 4y – 12

= 0 y L 2 :x – 2y – 4 = 0.

19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas L 1 : 3x + y – 9 = 0 y L 2 : 4x – 3y + 1 = 0 y cuya distancia al origen

es 2u. 20. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas L 1 : 3x + 4y – 5 = 0 y L 2 : 2x + 3y – 10 = 0 y que al cortar a los

ejes coordenados determina un triángulo de 225

2u de área.

21. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas 2x – 3y – 5 = 0 y x + 2y – 13 = 0 y el segmento que determina sobre el eje X es igual al doble de su pendiente. Hallar la ecuación de dicha recta.

22. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas L 1 : 3x + 2y + 8 =

0 y L 2 : 2x – 9y – 5 = 0. Hallar su ecuación sabiendo que es paralela a la

recta L 3 : 6x – 2y + 11 = 0.

23. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas L 1 : 7x – 2y = 0 y

L 2 : 4x – y – 1 = 0 y es perpendicular a la recta L 3 : 3x + 8y – 19 = 0. Hallar

su ecuación. 24. La distancia del origen a una recta es 3. La recta pasa por el punto

)3,53( . Hallar su ecuación.


25. Los lados de un triángulo están en las rectas x + 5y – 7 = 0, 3x – 2y – 4 = 0,

7x + y + 19 = 0. Calcular su área.

26. El área de un triángulo es 28u ; dos de sus vértices son los puntos A(1,-2),

B(2,3) y el tercer vértice C está en la recta 2x + y – 2 = 0. Determinar las

coordenadas del vértice C.

27. Dadas las ecuaciones de dos lados de un rectángulo x – 2y = 0, x -2y +

15=0. Y la ecuación de una de sus diagonales es 7x + y – 15 = 0, hallar los

vértices del rectángulo.

CIRCUNFERENCIA

1. Hallar la ecuación de la circunferencia en cada uno de los siguientes casos:

a) El centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas y su

radio es r = 3.

b) El centro de la circunferencia coincide con el punto C(2,-3) y su radio es

r = 7.

c) La circunferencia pasa por el punto A(2,6) y su centro coincide con el

punto C(-1,2).

d) La circunferencia pasa por el origen de coordenadas y su centro coincide

con el punto C(6,-8).

e) Los puntos A(3,2), B(-1,6) son extremos de uno de los diámetros de la

circunferencia.

f) El centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas y la

recta 3x – 4y + 20 = 0 es tangente a la circunferencia

g) El centro de la circunferencia coincide con el punto C(1,-1) y la recta 5x

– 12y + 9 = 0 es tangente a la circunferencia.

h) La circunferencia pasa por los puntos A(3,1) y B(-1,3) y su centro esta

situado en la recta 3x – y – 2 = 0.

i) La circunferencia pasa por tres puntos A(1,1), B(1,-1) y C(2,0).

j) La circunferencia pasa por tres puntos M(-1,5),N(-2,-2) y P(5,5).

k) Centro C(1,2) y pasa por el punto (3,-1).

2. Determinar la longitud de la cuerda de la circunferencia (x – 2) + (y – 4) =

10, que se divide por la mitad en el punto A(1,2).


3. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(1,-1) y por el

punto de intersección de las dos circunferencias 0232222 yxyx ,

03512622 yxyx .

4. Calcular la distancia del centro de la circunferencia xyx 222 a la recta

que pasa por el punto de intersección de las dos circunferencias

018522 yxyx ; 0257322 yxyx .

5. Determinar la longitud de la cuerda común a las dos circunferencias

0101022 yxyx ; 0402622 yxyx .

6. El centro de la circunferencia esta en la recta x + y = 0, hallar la ecuación

de esta circunferencia, si se sabe que pasa por el punto de intersección de

las dos circunferencias 50)5()1( 22 yx ; 10)1()1( 22 yx .

7. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia 25)3()2( 22 yx ,

en el punto A(-5,7).

8. Desde el punto P(-9,3) se trazan Las tangentes a la circunferencia

0784622 yxyx , calcular la distancia del centro de la circunferencia

a la cuerda que une los puntos de contacto.

9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia

0621022 yxyx , que son paralelas a la recta 2x + y – 7 = 0.

10. Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia

04222 yxyx , que son perpendiculares a la recta x – 2y + 9 = 0.

11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7,-5) y es

tangente a la recta T : x – y – 4 = 0 en el punto P(3,-1).

12. Hallar la ecuación de la circunferencia si su centro está en la recta 6x + 7y –

16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 5y + 7 = 0 y 3x – 4y –

18 = 0.

13. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(2,-4) y que es tangente

al eje Y.

14. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C(-3,-5) y que es tangente

a la recta T: 12x + 5y – 4 = 0.

15. Determinar si la gráfica de la ecuación dada es una circunferencia.

Encontrar el centro y radio en caso que lo sea.

a) 0710622 22 yxyx


b) 05382844 22 yxyx

c) 01778641616 22 yxyx

d) 01910222 yxyx

PARÁBOLA

I. En cada ecuación de la parábola, encontrar el vértice, el foco, una ecuación

de la directriz, del eje de simetría y la longitud del lado recto.

1. yx 42 2. xy 62

3. xy 82 4. yx 162

5. 02 yx 6. 092 2 xy 7. 08462 yxx

8. 02384 2 yxx 9. 0191062 yxy

II. Encontrar una ecuación de la parábola que cumpla las propiedades dadas.

1. F (5, 0), directriz 5x 2. F (0, 4), directriz 4y

3. F (2

5, 0), directriz 035 x 4. F (0, -2 ), directriz 2y

5. F (2

1, 0), directriz 012x 6. F ( 0,

3

2), directriz 3 02y

7. V ( 2,4 ), F (-3,4 ) 8. V ( 1,-3 ), directriz y = 1

8. F (-1,7 ), directriz 3y 9. F ( 3 ,4

4), directriz

4

5x

10. V (0,0), se habre hacia la izquierda, longitud del lado recto es 6.

11. V (3,-2), eje x = 3, longitud del lado recto es 6.

12. V ( 0,0), se abre hacia arriba, longitud del lado recto es 3.

13. Eje paralelo al eje X pasa por los puntos (1,2), (5,3) y (11,4).

14. V(-4,2), eje y = 2 pasa por el punto (0,6).

15. Directriz x = 4, eje y = 4 pasa por el punto (9,7).

III. Encontrar una ecuación de la parábola que cumpla las propiedades dadas.

1. Encontrar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen, el eje

Y es su eje y pasa por el punto (-2,-4)

2. Encontrar la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen, el eje

X es su eje y pasa por el punto (2,-4)

3. Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es x = -3, si la suma de las

coordenadas de su vértice y foco es 6 y un extremo del lado recto es el

punto (1,-1).


4. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje Y, su foco es

(9,12) y su recta directriz es y = -4.

5. Partiendo del punto P(2,8), una hormiga camina describiendo una

trayectoria parabólica, pasa por V(-6,0) y llega a Q(-3,q). Hallar el valor de

q si V es el vértice de la parábola.

6. Hallar la ecuación de una circunferencia cuyo centro es el foco de la

parábola 036122 xy y pasa por el vértice de esta.

7. Un arco parabólico tiene una altura de 20 pies y un ancho de 36 pies en la

base, si el vértice de la parábola está en la parte superior del arco. ¿A qué

altura sobre la base tiene un ancho de 18 pies?

8. Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la parábola xy 82 y es

paralela a la recta 2x + 2y = 3.

9. Un punto se aleja del eje OY proporcionalmente al tiempo y del eje OX

proporcionalmente al cuadrado del tiempo. Este punto sale del origen.

Hallar la ecuación de su trayectoria.

10. Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la parábola yx 162 y es

perpendicular a la recta 2x + 4y + 7 = 0.

11. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola xy 82perpendicular a

la recta x + 2y - 5 = 0.

12. Desde el foco de la parábola xy 122 se ha dirigido un rayo de luz hacia el

eje OX, formando con él un ángulo agudo , se sabe que 3 4tg . Al

llegar parábola se ha reflejado el rayo de ella. Hallar la ecuación de la

recta en la que está el rayo reflejado.

13. El agua que fluye de un caño horizontal que está a 25 pies del piso describe

una curva parabólica con vértice en el caño. Si a 21 pies del piso, el flujo del

agua se ha alejado 10 pies de la recta vertical que pasa por el caño. ¿A

qué distancia de esta Recta vertical tocará el agua al suelo?

14. El cable de un puente colgante cuelga en forma de parábola cuando el peso

está uniformemente distribuido horizontalmente. La distancia entre dos

torres es 1500 pies, los puntos de soporte del cable en la torre están a 220

pies sobre la carretera, y el punto mas bajo del cable está a 70 pies sobre


la carretera. Encontrar la distancia vertical entre el cable y un punto en la

carretera situado a 150 pies del una torre.

15. Una parábola tiene como vértice el centro de la circunferencia

014422 yxyx , y directriz 01: xl . Hallar su ecuación.


FUNCIONES

1. Hallar los valores de m y n para que cada uno de los siguientes conjuntos

sea una función, determine el dominio y rango en cada caso:

a) ),(),,(),,1(),,1(),3,2(),8,1( 2222 nmnmnmnmnmf

b) ),(),,(),,5(),,4(),3,5(),3,4( 2222 nnmmnmnmnmf

c) )2,2(),,2(),3,2(),2,1(),3,2(),8,1( mmnnnmmnmf

2. Determine, cuáles de los siguientes conjuntos definen funciones:

a) 8/),( yxIRIRyxf b) xxyIRIRyxf )1(/),( 2

c) 2/),( yxIRIRyxf d) 9/),( 22 yxIRIRyxf

e) 23/),( yxIRIRyxf f) 1/),( 22 xyIRIRyxf

3. Determine para cada )(xf , lo que se pide en cada caso:

a) 45)( 2 xxxf , hallar )(/1,/))()((),/1(),3(),2( xfaxfaxfxfff

b) 3)( xxf , hallar )(/1,/))()((),3/1(),64(),8( xfhxfhxfxfff

c) )(/)( xxxxf , hallar )/1(),(),(),2(),1( 2 xfxfxfff

4. Hallar el dominio y rango de cada una de las siguientes funciones:

a) 1)( xxf b) 1

2)(

2x

xxf c)

x

xxf

4)(

d) 241)( xxf e) 1

2)(

xxf f)

xx

xxxf

3

12)(

2

2

g) 1121)( 2xxxxf h) x

xf1

)(

5. Graficar las siguientes funciones:

a) 2)( xxf b) 1)( xxf c) xxf )(

d) )4sgn()( 2xxf e) 2

1)(

xxf f) xxf 2)(

g) 2)( xxf h) 6

6)(

x

xxf i) 52)( 2 xxxf

j) )21(sgn)( xxf k) 32)( xxxf l) 5)( 3xxf

m) )24(sgn)( 2xxf n) 2

)(x

xxf ñ) xxf )(

6. Hallar el dominio, rango y construir la gráfica de las siguientes funciones:

a)

86,102

62,2)(

xx

xxxf b)

3,12

3,4)(

2

xx

xxxf


c) 4,

14,1)(

xx

xxxf d)

1,12

1,1)(

2 xxx

xxxf

e)

57,6

41,

15,22

)(

x

xx

xx

xf f)

]9,8,2

8,4,

4,1[,2

)(

2

xx

xx

xxx

xf

7. Sea la función cuadrática cbxaxxQ 2)( , ba, y c números reales.

Haga un estudio de )(xQ para diferentes valores de ba, y c , bosqueje

los gráficos que se obtienen en cada caso.

8. Para las funciones dadas, determine las funciones gfgfgfgfgf 72,/,.,, y )23/()54( gf .

a) )3,5(),2,7(),9,3(),4,0(),2,2/1(f y

)0,2/1(),1,5(),4,7(),5,3(),6,0(g

b) 1/)1

2,( IRx

x

xxf 2/)

2

4,( IRxx

xxg

c) xxf )( , 2

1)(

xxg d) xxxf )( , 4)( xxg

9. Determine gf cuando gyf son dados a continuación, halle el dominio

de gf .

a) )9,2(),1,8(),5,0(f )0,5(),2,6(),8,4(),8,3(),0,2(g

b) )6,4(),5,3(),4,5(),7,1(f )1,4(),5,3(),3,0(g

c) xxf )( , 21)( xxg d) xxxf 3)( 2 , 3/)3()( xxg

e) xxf log)( , 1

1)(

2xxg f) xxf )( , xxg 4)(

10. Sean las funciones reales; hallar gf y fg . Si:

a) 1,1

1,2)(

xx

xxxf

0,1

0,)(

2

xx

xxxg

b) 2,2

2,52)(

xx

xxxf

1,

1,2)(

2

xe

xxxxg

x

11. Determine si las siguientes funciones son inyectivas.

a) 2)3(1)( xxf b)

2

1)(

x

xxg

c) 54,)3(9

41,12)(

2 xx

xxxf d)

3,2

30,12)(

2 xxx

xxxf

12. Determine si las funciones son sobreyectivas. a) 23)(,: xxfIRIRf


b) xxff 32)(,4,135,2:

c) xxfIRf 2)(,]2,:

d) 1

2)(,]0,]2,1:

x

xxff

13. Dadas las siguientes funciones:

a) 16)(,4,0: 2 xxxfBf

b) xxxfBf 215)(,4,2: 2

c) 1)(,9,0: xxfBf

En cada caso: i) Determine B de tal manera que f sea sobreyectiva.

ii) ¿ f es inyectiva ? Justifique su respuesta.

14. Dadas las funciones:

a) 1

1)(,]0,1[]0,1[:

x

xxff

b) 32)(,,1[,2[: xxff

c) 68)(,]6,10[]5,0[: 2 xxxff

Determine si f es biyectiva en cada caso.

15. Grafique las siguientes funciones en: inyectivas, sobreyectivas biyectivas y acotadas.

a) 21)( xxf b) 1

2)(

2x

xxf c) 24)( xxf

d) 1,/1

1,)(

3

xx

xxxf e)

0,1

0,1)(

2 xx

xxxf f)

9,

9,1)(

2

xx

xxxf

g) 84,286

2,4)(

2

2

xxx

xxxf h) senxxf )(

16. En los casos en que es posible, determine la función inversa.

a) 52,23)( xxxf b) 12)( xxf c) xxf 5)(

d) 84,3

2)( x

x

xxf e) 7

4)(

xxf f) 24)( xxf

g) 21,)( xxxf h) 3

)(x

xxf i)

5

5)(

x

xxf

j) 10,1)( 2 xxxf k) 12)( 2 xxxf

17. Determinar, cuales de las siguientes funciones son pares y cuales son impares.


a) xxf )( b) 2

1)(

xxf c) xxxf )( d) 3)( xxf

e) senxxf )( f) xxf )( g) 24)( xxxf h) xxxf 3)(

Definición: Una función es par )()( xfxf , para todo IRx .

Definición: Una función es impar )()( xfxf , para todo IRx .


LÍMITES

I. Usando la definición de límite, demostrar que:

1. 11)27(lim2

xx

2. 1)5(lim 2

3xx

x 3.

2

5

26

6lim

2

3 x

xx

x

4. 9

8

5

23lim

2

1 x

x

x

5. 42

4lim

3 xx 6.

4

1

4

2lim

4 x

x

x

7. 13

1lim

364 x

x

x 8.

2

1

1lim

21 x

x

x 9. 16lim

5x

x

II. Calcular los siguientes límites:

1. )34(lim 2

2xx

x 2.

4

2lim

23 x

x

x 3.

32

1lim

21 xx

x

x

4. 1

1lim

3

1 x

x

x 5.

2

1

2

11lim

0 xxx 6.

633

842lim

2

23

2 xx

xxx

x

7. 34

6262lim

2

22

3 xx

xxxx

x 8.

741

63lim

2 x

x

x

9. 12

21

1

1lim

2

3 23

3

4

1 xx

xx

x

x

x 10.

13

26lim

2

2

2 xx

xx

x

11. 44

6lim

23

2

2 xx

xx

x 12.

12

3472lim

2

2

1 xx

xx

x

13. 4

11lim

2

43

2 x

xx

x 14.

xx

xx

x 2

253lim

2

2

15. 1

11492lim

23

234

1 xxx

xxxx

x 16.

4

4

2

1lim

22 xxx

17. 23

32lim

3

324

1 xx

xxxx

x 18.

64

2lim

3

64 x

xx

x

19. 8

22

2

8lim

3

38 x

x

x

x

x 20.

4

8lim

364 x

x

x

III. Calcular los siguientes límites, en caso que existan (usar límites laterales).

1. 43lim

3

5xx

x

2. 1

33lim

23

1 x

xxx

x

3. ]23[

22]1[2lim

2

2 x

xx

x 4.

)]11sgn(3[lim 2

0

xxx


5. 3

2

0

)sgn(1lim

x

xx

x

6. 65

65lim

2

2

1 xx

xx

x

7. x

xx

x 3

][lim

3 8.

222

1lim

3

1 x

x

x

IV.

1. Bosqueje la gráfica de:

1,2

10,1

0,)1(

)(2 xsixx

xsix

xsix

xf

Y calcule, si es que existen, los siguientes límites: )(lim0

xfx

y )(lim1

xfx

2. Dada la función:

4,2

2

42,4

2,3

2

)(2

2

xsix

xx

xsibx

xsix

ax

xf

Hallar los valores de a y b , si )(lim2

xfx

y )(lim4

xfx

, existen.

3. Dada la función: 1;113

1;1)(

xa

xaxxf

Hallar el valor de a , si )(lim1

xfx

existe.

V. Determinar el límite (si existe) de la función trigonométrica.

1. x

senx

x 5lim

0 2.

x

x

x

)cos1(3lim

0 3.

xx

x

x sec

1seclim

0

4. x

tgxx

x

coslim

0 5.

x

xsen

x

2

0lim 6.

hh

2

0

cosh)1(lim

7. xsenx

tgx

x cos

1lim

4

8. 2

2

0lim

t

tsen

t 9.

x

xsen

x 3

2lim

0

10. hh

2

0

cosh)1(lim 11. tgxx

x

seclim

2

12.

)3

(

cos21lim

3 xsen

x

h

VI. Calcular, si existen, los siguientes límites

1. 4

2lim

22 x

x

x 2.

3

9lim

2

3 x

x

x

3. 4

16lim

2

4 x

x

x

4. 6

673lim

22 xx

xx

x 5.

4

3

2

1lim

22 xxx 6.

xx

x

x 80020

15lim

3

3

20


7. 3

23

82

524lim

xx

xx

x 8.

3

32lim

xx

x

x 9. xxx

x65lim 2

10. 3

3lim

x

xxx

x 11.

x

xx

x 3

24lim

2

12. 1

1lim

2

2

xx

x

x

13. xxxx

3lim 2 14. 1

143lim

22

3

xxx

xx

x 15.

1lim

x

x

x

VII. Calcular, si existen, los siguientes límites

1. 34

6262lim

2

22

xx

xxxx

x 2.

8

3

441

32lim

xx

xx

x

3. 12

133lim

2 xx

xxx

x 4.

3 3

22

1

)11(3lim

xx

xxx

x

VIII. 1. Hallar a y b (constantes reales), sabiendo que:

0)(1

2lim

2

baxx

xx

x

2. Si ,1lim2

x

xxax

x calcular el valor de a ( a > 0).

IX. 1. La población (en miles) de una colonia de hormigas, t minutos después de

la aplicación de un insecticida, esta dada por la función

6;805

60;14)(

2

tt

tttp

a) En cuanto tiempo morirá toda la colonia de hormigas.

b) Hallar )(lim6

tpt

y )(lim5

tpt

e interpretar los resultados.

2. Una barra de 16 cm. de longitud esta fabricada de 3 materiales diferentes;

los 4 primeros cm. que corresponden al primer material pesan 7 gramos;

los siguientes 5cm. que corresponden al segundo material pesan 12

gramos, y los 7cm. restantes que corresponden al tercer material pesan 13

gramos.

a) Hallar una función P(x) que represente el peso de la barra en función de

la longitud “x” recorrida a partir del punto inicial.

b) Hallar )(lim2

xPx

, )(lim4

xPx

y )(lim16

xPx



3. El ministerio de la presidencia ha encargado a la compañía GRENDO la

construcción de las casas, oficinas, tiendas, mercados, escuelas e iglesias

en un área de 50 hectáreas en la comunidad rural de Acarí. Como resultado

de este proyecto, los encargados del ministerio han estimado que dentro de

t años, a partir de este instante, la población de Acarí estará dada (en miles

de habitantes) por el modelo:

486

24015030)(

2

2

tt

ttP

a) ¿Cuál es la población actual de Acarí ?

b) ¿Cuál será su población aproximada dentro de 10 años ?

c) ¿Cuál será su población a largo plazo ?

4. El peso de un niño t años después de su nacimiento, se presenta por:

108

4030)(

2

2

tt

ttP

a) ¿Cuántos kilos tenía el niño al momento de nacer?

b) Después de 10 años aproximadamente, ¿Cuánto pesa

aproximadamente el niño?

c) Determinar )(lim tPt

, es caso exista, y explicarlo.

5. La cadena de televisión a cable tv5 tiene 5000 suscriptores con una cuota

fija mensual de S/. 16,50 por cada suscriptor. Por cada descuento de S/.

0,50 en la cuota mensual, puede obtener 200 suscriptores más. Si x es el

número de veces que tv5 aplica el descuento,

a) Exprese el ingreso mensual I de tv5 en función de x.

b) Hallar el dominio de I(x)

c) Calcular )(lim0

xIx

e interpretar el resultado.

6. Los ingenieros de control de calidad a menudo estudian el numero de

artículos defectuosos de determinado producto durante la producción en

masa. Sea t el tiempo promedio (en minutos) originado por trabajador para

efectuar su trabajo en la línea de montaje. Supóngase que el número de

casos pendientes de defectos se expresa en

t

ttN

73)(


Hallar )(lim0

tNx

y )(lim tNx



CONTINUIDAD

1. Establezca si las funciones dadas son o no continuas en el punto x = 2. Justifique su respuesta.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

ll.

2. En los ejercicios siguientes establezca la continuidad o no de las siguientes funciones en los puntos dados. Si la discontinuidad es removible, remueva la discontinuidad. Dibuje las gráficas.

a. a = 2

b. a= 3

c. a = 4

d. a =3

e. a = 0 ; a = 1; a =2

3. Sea Determine el valor de k, para que

exista.

4. Sea Encuentre los valores de a y b para

que y existan. 5. Dada la función:


Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.

6. Sea

Determine los valores de las constantes a y b para que f sea continua en todo su dominio.

7. Si y y si g es continua en x = 3, encuentre el valor de:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

8. Bosqueje la gráfica de una función f que satisfaga todas las condiciones siguientes:

a. Su dominio es [-2, 2] b. f (-2) = f (-1) = f (1) = f (2)= 1 c. f es discontinua en -1 y 1 d. f es continua por la derecha en -1 y continua porla izquierda en 1.

9. Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga todas las siguientes condiciones:

a. Su dominio es [0, 6] b. f (0) = f (2) = f (4) = f c. (6) = 2 d. f es continua, excepto para x = 2

e. y


DERIVADAS

1. Use la definición de la derivada para calcular la derivada de las siguientes funciones:

a.

b.

c. y evaluarla en

d. t(x)=

2. Sea Hallar las derivadas laterales de f(x) en

x= 2 y determinar si existe.

3. Sea Determine los valores de las constantes a y b

para que exista.

4. Si , probar que y . Calcular:

y

5. Sea f la función definida por: Probar que

si existe, entonces, f es continua en a.

6. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal

que: , para todo a y b. Además, y existe.

Probar que existe para todo x y además se cumple

que: . 7. Usando las reglas de derivación, calcular la derivada de las siguientes

funciones:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.


i.

j.

k.

l.

ll.

m.

n.

o.

p.

q.

r.

rr.

8. Suponiendo que cada una de las siguientes ecuaciones define una función

de x derivable, encuentre y’ o usando derivación implícita.

a.

b.

c. x3 - 3x

2y + 19xy = 0

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

9. Sea una función derivable de x tal que: . Supóngase

que . hallar siguiendo estos pasos:

a. Probar que .

b. Usando la parte a. hallar . c. Derivar la ecuación en a. para demostrar

que: .

d. Usando la ecuación en c. hallar [Ayuda: Se conocen y ].

10. Hallar y si , y, .

11. Hallar , si y además,

Ejercicios Sobre La Interpretación Geométrica de La Derivada

1. En los ejercicios siguientes, encontrar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva dada y en el punto de abscisa dado.

a. ; x = 1 b. ; x = 0

c. ; x = 3 d. ; x = 4


e. ; x = 1

2. Encuentre la ecuación de la normal a la curva: en el punto (3, 1)

3. Demuestre que las hipérbolas , y, se intersectan en ángulo recto.

4. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva que es

paralela a la recta .

5. Encontrar una recta que pase por (2, – 3) y sea tangente a la

curva . 6. En los ejercicios siguientes una partícula se mueve sobre un eje horizontal,

según la ecuación de movimiento dada. Hallar la velocidad instantánea para los valores particulares de t indicados. Determine además, los instantes en los cuales la partícula se encuentra en reposo.

a. ; t = 2 b. ; t = 1/5

c. ; t = 3 d. ; t = 4 7. Se lanza un objeto con una velocidad inicial de 20 m/seg. en dirección

vertical hacia arriba. Encuentre: a. La velocidad instantánea cuando t = 5 seg. b. La altura máxima a la que llega el objeto c. La rapidez en el instante t = 2 seg. d. El tiempo que tarda en regresar al punto de partida.

(Nota: Use la fórmula ) 8. Un objeto arrojado directamente hacia arriba alcanza una

altura pies después de t segundos. a. ¿Cuál es su velocidad inicial? b. ¿Cuándo alcanza su altura máxima? c. ¿Cuál es su altura máxima? d. ¿Cuándo alcanza el piso? e. ¿Con qué velocidad llega al piso?

Ejercicios Propuestos Sobre Trazado De Curvas

1. Para las funciones dadas a continuación, encontrar los máximos y mínimos relativos, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la curva.

a.

b.

c.


d.

e.

f.

g.

h.

2. Determine el valor de las constantes a y b para que la función definida

por , tenga un extremo relativo en (2, 3). 3. Para cada una de las funciones dadas a continuación, determine los

extremos absolutos de f en el intervalo dado.

a. en

b. en

c. en

d. en

e. en

f. en

4. Para las funciones dadas a continuación verifique las condiciones del Teorema de Rolle y encuentre el punto C que satisface la conclusión del teorema.

a. en

b. en

c. en

d. en


5. Para las funciones dadas a continuación verifique las condiciones del Teorema del Valor Medio (T.V.M.) y encuentre el punto C que satisface la conclusión.

a. en

b. en

c. en

d. en

e. en

f. en

6. Sea . Demostrar que no existe ningún punto C en (1; 2) que satisfaga la conclusión del T.V.M. Dibuje la gráfica de la función y señale la parte de la hipótesis que falla en este caso.

7. Sea . Demuestre usando el Teorema de Rolle, que

la ecuación: tiene al menos una raíz real en el intervalo (0; 1).

8. Sea una función continua en [ a, b ] y tal que para todo x

en .

Probar que: para todo x en [ a, b ].

9. Juan viajó 125 Km. en 2 horas y aseguró que en su recorrido nunca excedió el límite de 60 Km. por hora. Use el Teorema del Valor Medio para

demostrar que mintió (ayuda: Sea la distancia recorrida en el tiempo t.)

10. Sean y dos funciones que satisfacen la siguiente

condición: para todo x de . Demostrar que existe una

constante C tal que: para todo x de

11. Demostrar que si para todo x de , entonces, existe una

constante C tal que para todo x de . (Ayuda: Sea y aplique el ejercicio 10).

12. Supóngase que lo único que se sabe a cerca de las funciones y

es lo siguiente: , , y


Demostrar que:

(Ayuda: Sea y use el problema 11). 13. Trazar las gráficas de cada una de las siguientes funciones, indicando: Dominio, interceptos, asíntotas,

crecimiento, decrecimiento, máx.-mín., intervalos de concavidad, posibles puntos de inflexión.

a.

b.

c.

d.

e.

f. 14. Dibuje la gráfica de una posible función f que satisfaga las siguientes

condiciones:

a. f es continua en todo el eje real.

b. ,

c. para

d. para

15. Dibuje la gráfica de una posible función g que cumple las siguientes propiedades:

a. g es continua en todo el eje real.

b. ,

c. para

d. para ; para para x > 3

16. Sea f una función continua en todo el eje real y derivable en todo . La

figura adjunta es el gráfico de la función derivada (no de ).

Gráfica en Construcción

Responda las siguientes preguntas acerca de (no de ):


a. ¿Dónde es creciente? ¿y decreciente?.

¿Dónde es cóncava hacia arriba? ¿y hacia abajo?

¿Cuáles son sus puntos críticos? ¿Dónde ocurren los extremos relativos?

b. En el supuesto que , dibujar una función que verifique las condiciones expuestas.

Ejercicios Sobre Aplicaciones de Máximos y Mínimos. Variables Relacionadas. 1. Se dispone de una cartulina cuadrada de 50 cm. de lado y se quiere

hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?.

2. Tres cuadrados grandes de metal, cada uno de 100 cm. de lado, tienen recortados de sus esquinas cuatro pequeños cuadrados. Los doce pequeños cuadrados resultantes deben ser del mismo tamaño. Las tres piezas grandes en forma de cruz se doblan y se soldan para formar cajas sin tapa, y los doce cuadrados pequeños se usan para formar dos cubos pequeños. ¿De qué lado deben cortarse los cuadrados pequeños para maximizar el volumen total de las 5 cajas?.

3. Un alambre de 100 cm. de longitud se corta en dos partes. Una parte se dobla para formar un círculo y la otra para un triángulo equilátero. ¿Dónde debe hacerse el corte para maximizar la suma de las áreas del triángulo y del círculo? ¿Dónde debe hacerse el corte para minimizar la suma de las áreas?.

4. Un faro se encuentra en un punto A situado a una distancia de 4 Km. del punto B mas cercano de la línea de la costa que es recta. En la costa y a 4 Km. de B se halla una tienda. Si el guardafaros puede remar a 4 Km/h y caminar a 5 Km/h, ¿qué camino debe seguir para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?.

5. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de 300 cm3 de volumen y que demande la menor cantidad posible de material.

6. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

7. Determine las dimensiones del cono circular recto de volumen máximo que se puede inscribir en una esfera de radio a.

8. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse de ecuación:

9. Un excursionista se encuentra en un bosque a 2 Km. de una larga carretera recta. Desea caminar a su cabaña que se encuentra a 10 Km. de distancia por el bosque y también a 2 Km. de la carretera. (Ver figura). Puede caminar a 8 Km/h por la carretera y a 3 Km/h por el bosque. Así, decide


caminar primero por el bosque hacia la carretera, luego por la carretera y finalmente por bosque hacia la cabaña.

Gráfica en Construcción

a. ¿Qué ángulo α minimizaría el tiempo total necesario para que el excursionista llegue a su cabaña?.

b. ¿Cuánto tiempo se ahorra en comparación con la ruta directa por el bosque?

10. Un granjero quiere cercar un terreno rectangular con una área de 2.400 pies2

. También quiere utilizar algo de cerca para construir una división interna paralela a dos de las secciones del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

11. Otro granjero desea cercar un terreno rectangular con un área de 1.800 pies2

. También desea utilizar algo de cerca para construir dos cercas internas de división, ambas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que requiere para este proyecto? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

12. Un tercer grajero desea cercar un terreno rectangular de A pies2 de área.

También desea usar una cerca adicional para construir n (entero fijo positivo) cercas internas de división, todas ellas paralelas a las mismas secciones exteriores del borde. ¿Cuál es la longitud mínima total de cerca que se requiere para dicho propósito? Verifique que su respuesta es el mínimo absoluto.

13. Se necesita construir un recipiente cilíndrico, sin tapa, con un volumen de 1 pie3

. La parte cilíndrica del recipiente se fabrica con aluminio y el fondo en cobre. El cobre es cinco veces mas caro que el aluminio. ¿Qué dimensiones minimizan el costo total del recipiente?.

14. Una escalera de 2 m. de longitud se apoya sobre una pared vertical. Si el pie de la escalera esta resbalando a razón de 0.3 m/seg. ¿A qué velocidad está resbalando el extremo que se apoya en la pared en el instante en el cual la distancia de la escalera a la pared es de 1.5 m.?

15. La base de un rectángulo aumenta a razón de 4 cm/seg., mientras que su altura decrece a razón de 3 m/seg.

a. ¿Con qué razón cambia su área cuando la base mide 20 cm? ¿y la altura 12 cm.?

b. ¿Con qué razón cambia su diagonal en ese mismo instante?

16. Un abrevadero que esta lleno de agua tiene 2 m. de largo y sus extremos tienen la forma de triángulos equiláteros invertidos de 60 cm. de lado (ejercicio 4, sección 7.6). Si el agua se escapa por un orificio del fondo del abrevadero a razón de 24 cm3/seg., ¿con qué velocidad esta bajando el nivel del agua en el momento en que dicho nivel tiene una altura de 12 cm.?

17. Un tanque tiene la forma de un cono circular recto invertido de 3 pies de radio y 5 pies de altura. El tanque está lleno de agua, pero en el instante t = 0 (seg.) se abre un pequeño orificio en el vértice y el agua comienza a salir. Cuando la altura del agua en el tanque ha descendido 3 pies, el agua fluye a 2 pies3/seg.

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/7.6.html#ejer4


a. ¿Con qué velocidad decrece el nivel del agua en ese momento?.

b. ¿Con qué velocidad decrece el radio de la base en ese momento?.

18. Un automóvil que avanza por una carretera a razón de 1000 m/min. se acerca a un cruce con otra carretera. Cuando el automóvil está a 100 m. del cruce, pasa por este un camión que va a 600 m/min. Si las dos carreteras se cruzan en ángulo recto, ¿con qué velocidad se están separando el auto y el camión, medio minuto después de que el camión pasó por el cruce?

19. Una persona camina hacia el norte a razón de 4 pies/seg. desde un punto P. 5 minutos mas tarde, una mujer comienza a caminar hacia el sur a 5 pies/seg. desde un punto a 500 pies al este de P. ¿Con qué razón se separan el hombre y la mujer 15 minutos después de que la mujer comienza a caminar?.

20. El ángulo en el vértice opuesto a la base de un triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 100 cm., aumenta a razón de 0.1 Rad/min. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando el ángulo del vértice mide ¶ /6

rad ? (Ayuda: ). 21. Una escalera de 18 pies de longitud descansa sobre una pared vertical de

12 pies de altura, de tal manera que su extremo superior rebasa la pared. El extremo inferior de la escalera se jala sobre el piso alejándolo de la pared a razón de 2 pies/seg.

a. Encuentre la velocidad vertical del extremo superior cuando la escalera hace un ángulo de 600

con el piso.

b. Encuentre la aceleración vertical en el mismo instante.

Ejercicios propuestos Sobre Diferenciales 1. La altura de un cono circular recto es el doble del radio de la base. Al

medirla se encontró que la altura es de 1 m. con un error de 0.005 m. Encontrar el error aproximado en el volumen del cono.

2. Si al medir la arista de un cubo se comete un posible error de 0.01 cm. Encontrar el error aproximado en el volumen y en la superficie total del cubo si la arista medida es de 5 m.

3. Encontrar el volumen aproximado de una concha esférica cuyo radio interior es de 50 cm. y cuyo espesor sea 1/10 cm.

4. Usando diferenciales, calcule el valor aproximado de las siguientes cantidades:

a. ;

b. ;

c. ;

d.


5. Si , y Hallar en y

6. Hallar si

7. En los ejercicios siguientes hallar: y

a. ;

b. ;

c. ;

guia de mate1

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resolver x

resolverx x

x3 x 224x22x2

b c x y b

demostrar que si x

b c3a b

tringulo y

hallar los puntos