1 OBJETIVO: Describe e identifica el movimiento de un cuerpo que posee movimiento armónico simple (M.A.S) y su periodicidad producida por una fuerza recuperadora. Aplica la ley de conservación de la energía mecánica y resuelve problemas. INTRODUCCION En décimo grado se inició el estudio de los movimientos de la naturaleza analizando el más sencillo de estos, el movimiento a lo largo de una trayectoria rectilínea. Consideramos sus dos clases más elementales, el movimiento uniforme con velocidad constante, que se obtiene de acuerdo a la primera ley de Newton cuando la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es nula; luego el movimiento uniformemente acelerado, con aceleración constante, que es producido por una fuerza resultante constante, tal como lo sugiere la segunda ley de Newton; como aplicación de este movimiento, se estudio, la caída de los cuerpos cerca de la superficie de la terrestre. Luego estudiamos el movimiento en al plano; primero se combinan dos movimientos con velocidad constante que actúan en diferentes direcciones, luego uno con velocidad constante y el otro con aceleración constante, que es el que sigue un cuerpo que se lanza formando cierto ángulo respecto a la horizontal y finalmente se estudio el movimiento circular uniforme que es producido por una fuerza constante en magnitud, pero variable en dirección, que está dirigida siempre hacia el centro de la trayectoria y recibe el nombre fuerza centrípeta. En esta unidad vamos a estudiar el movimiento de un cuerpo cuando la fuerza resultante que actúa sobre él es variable en magnitud y dirección y en nuestro caso corresponde a la fuerza que ejerce un cuerpo elástico cuando sufre una INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR Código: FR- 17-GA Versión : 002 Emisión: 12/09/2008 GUIA DE FISICA MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) UNDECIMO Actualización : 02/12/2010
28
Embed
GUIA DE FISICA MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) …
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
OBJETIVO: Describe e identifica el movimiento de un cuerpo que posee movimiento
armónico simple (M.A.S) y su periodicidad producida por una fuerza recuperadora. Aplica
la ley de conservación de la energía mecánica y resuelve problemas.
INTRODUCCION
En décimo grado se inició el estudio de los movimientos de la naturaleza analizando el
más sencillo de estos, el movimiento a lo largo de una trayectoria rectilínea.
Consideramos sus dos clases más elementales, el movimiento uniforme con velocidad
constante, que se obtiene de acuerdo a la primera ley de Newton cuando la fuerza
resultante que actúa sobre el cuerpo es nula; luego el movimiento uniformemente
acelerado, con aceleración constante, que es producido por una fuerza resultante
constante, tal como lo sugiere la segunda ley de Newton; como aplicación de este
movimiento, se estudio, la caída de los cuerpos cerca de la superficie de la terrestre.
Luego estudiamos el movimiento en al plano; primero se combinan dos movimientos con
velocidad constante que actúan en diferentes direcciones, luego uno con velocidad
constante y el otro con aceleración constante, que es el que sigue un cuerpo que se lanza
formando cierto ángulo respecto a la horizontal y finalmente se estudio el movimiento
circular uniforme que es producido por una fuerza constante en magnitud, pero variable
en dirección, que está dirigida siempre hacia el centro de la trayectoria y recibe el
nombre fuerza centrípeta. En esta unidad vamos a estudiar el movimiento de un cuerpo
cuando la fuerza resultante que actúa sobre él es variable en magnitud y dirección y en
nuestro caso corresponde a la fuerza que ejerce un cuerpo elástico cuando sufre una
INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DEL PALMAR
Código: FR-
17-GA
Versión : 002
Emisión: 12/09/2008
GUIA DE FISICA
MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S)
UNDECIMO
Actualización :
02/12/2010
2
deformación y luego se deja libre de tal forma que vibre alrededor de su punto de
equilibrio.
CONCEPTO DE MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Vamos a estudiar un movimiento llamado MAS, Movimiento Armónico Simple. Para ello,
empezaremos viendo una serie de definiciones sencillas:
Movimiento periódico: un movimiento se dice periódico cuando a intervalos iguales de
tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.), toman el mismo
valor.
Movimiento oscilatorio: Son los movimientos periódicos en los que la distancia del móvil al
centro, pasa alternativamente por un valor máximo y un mínimo.
Movimiento vibratorio: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto
medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas amplitudes, son iguales.
Si un movimiento se repite a intervalos iguales de tiempo, el movimiento se llama
periódico. Algunos ejemplos de este tipo de movimientos son la rotación de la tierra, la
traslación de la luna, el movimiento del péndulo de un reloj, el movimiento de una masa
que oscila suspendida de un resorte, el movimiento de una partícula colocada sobre el
disco que está girando, etc.
Consideremos una masa que está atada a un resorte, despreciemos el rozamiento que
actúa entre la masa y superficie horizontal o la del aire en el caso vertical para
simplificar su estudio.
Si ejercemos sobre la masa m una fuerza F que la separe de su posición de equilibrio,
observamos que el resorte ejerce una fuerza en sentido contrario que tiende a llevar la
masa a su posición de equilibrio, esta última fuerza recibe el nombre de fuerza
recuperadora.
3
Un resorte cuando lo separamos de su posición de equilibrio, estirándolo o
comprimiéndolo, adquiere un movimiento vibratorio armónico simple, pues la fuerza
recuperadora de ese resorte es la que genera una aceleración, la cual le confiere ese
movimiento de vaivén. De esta forma el movimiento continúa en forma periódica.
Observa la secuencia del movimiento de la masa atada al resorte. ¿Si seguimos la
trayectoria a través del tiempo notamos que esta es muy parecida a qué relación
trigonométrica?_______________________
De donde concluimos que el movimiento a una ley representada por una función
______________ Ya que la distancia x que se desvía del cuerpo de su posición de
equilibrio responde a esta relación.
Decimos que una partícula posee M.A.S si su posición x, en función del tiempo,
corresponde a una función de la forma x= AcosƟ, donde A es la amplitud del
movimiento.
Taller 1
Fuerzas recuperadoras
Para definir el M.A.S, necesitamos hablar de las fuerzas recuperadoras, esta
actividad te permitirá comprender cuál es el fundamento de dichas fuerzas.
Si tomamos un resorte cualquiera y de él suspendemos una masa m, observamos que el
resorte se deforma adquiriendo una longitud mayor.
4
1. ¿De qué variables depende dicha deformación? ¿De la masa suspendida? ¿De la
calidad del resorte?
Si suspendemos la misma masa de dos resortes diferentes, ¿será la idéntica la
deformación en los dos casos?
En la siguiente tabla se registra la deformación que sufre un resorte, cuando de él
suspendemos diferentes masas.
L ( m) 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5
m (masa
en Kg) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
2. Haz una representación en un dibujo de la anterior tabla.
3. Luego realiza una grafica de F contra x. Debes tener en cuenta que x no
representa la longitud del resorte, sino su deformación que es igual a la longitud
que adquiere, menos la longitud inicial.
X= L – Lo
La grafica que acabas de hacer te indica que las dos magnitudes son directamente
proporcionales, porque se representación es una línea _____ y esta pasa por el
_______ Recuerda que dos magnitudes __________ proporcionales están ligadas
por el cociente constante.
= K de donde F = Kx
Donde K representa la constante de elasticidad del resorte y se mide en N/m. Sin
embargo, la fuerza que produce un M.A.S no es la fuerza F considerada, porque ésta
es la ejercida por el resorte que es su reacción.
Si utilizamos la tercera ley de Newton encontramos que la fuerza recuperadora F
ejercida por un resorte, es directamente proporcional al tamaño de la deformación.
F = - Kx
4. ¿Por qué se ha introducido un signo menos en la ecuación?. Utiliza la tercera ley de
Newton para tu respuesta.
Observa que la fuerza F y la deformación x tienen carácter vectorial por lo tanto
debemos considerar su sentido al analizar el movimiento. ¿Puede la constante K tener
un valor negativo?
5. Indica un procedimiento que permita medir la constante de elasticidad de un
resorte.
6. Resuelve y analiza los siguientes problemas:
a. ¿Cuál es la constante de elasticidad de un resorte si al ejercer sobre él una
fuerza de 12 N se deforma 20 cm? Rta: 60N/m
5
b. ¿Qué fuerza se debe hacer sobre un resorte, para deformarlo 20 cm, si
sabemos que al suspender de él una masa de 2 Kg, sufre una deformación de 45
cm? Rta. 8.71 N
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
Para deducir las ecuaciones del M.A.S, utilizaremos un modelo geométrico que consiste en
proyectar en uno de los ejes el movimiento que sigue una partícula Q, que posee un
movimiento circular uniforme. En el tiempo , la partícula Q coincide en la posición A
con la partícula P que es su proyección. Cuando ha recorrido un cuarto de circunferencia P
se encuentra en el punto de equilibrio. Nuevamente P y Q coinciden cuando esta última ha
recorrido media circunferencia y se encuentra en el punto B,. Cuando Q recorre ¾
circunferencia, P se encuentra nuevamente en el punto de equilibrio. Finalmente se
completa la trayectoria cuando q y P vuelven a su posición inicial.
Algunos términos empleados en el movimiento armónico simple cuyos significados se
deben conocer son los siguientes:
Oscilación: es el movimiento efectuado por la partícula hasta volver a su posición inicial
recorriendo todos los puntos hasta volver a su posición inicial recorriendo todos los
puntos de su trayectoria. En nuestro ejemplo oscilación es el movimiento efectuado por la
partícula P que parte de A, llega a B y regresa nuevamente a A.
Periodo (T): Es el tiempo que tarda la partícula en hacer una oscilación. Se mide en
segundos.
Frecuencia (f): es el número de oscilaciones que realiza la partícula en la unidad de
tiempo. Se expresa en oscilaciones por segundo pero operacionalmente se emplea
únicamente .
Es evidente que frecuencia y periodo son inversos:
;
O T
6
Punto de equilibrio: es el punto de la trayectoria en el cual, la fuerza recuperadora es
nula. En nuestro ejemplo el punto 0.
Punto de retorno: son los dos puntos extremos de la trayectoria en los cuales el
movimiento cambia de sentido.
Elongación (x): Es el desplazamiento de la partícula en un instante dado, referido al
punto de equilibrio.
Se mide en metros y centímetros.
Amplitud (A): es la máxima elongación que puede tener una partícula; también se puede
medir en metros o centímetros. La distancia entre dos puntos de retorno es 2ª.
Ecuación de la Elongación
Consideremos que en un tiempo t, la partícula Q se encuentra en la posición indicada y su
proyección P sobre el eje horizontal en el punto dado.
El Angulo barrido por el radio R es Ɵ. Al aplicar la relación
y despejar x, se
obtiene .
Al considerar el eje horizontal vemos que R es la máxima elongación. Luego .
Recordemos que en un movimiento circular uniforme, la velocidad angular indica el Angulo
barrido en la unidad de tiempo
, luego .
Se concluye que .
7
Ecuación de la velocidad
La partícula Q que posee movimiento circular uniforme lleva una velocidad tangencial
constante en magnitud, pero variable en dirección.
Desconocemos la v en las direcciones horizontal y vertical donde
Observamos que tiene sentido negativo en esta posición, por lo tanto .
El signo negativo lo introducimos para indicar el sentido de la velocidad.
Como y , nos queda que , o sea
.
Ecuación de la aceleración: la aceleración que experimenta la partícula Q va
siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria y por esta razón se llama
aceleración centrípeta; es la encargada de variar la dirección de la velocidad
tangencial.
La descomponemos en sus dos ejes vertical y horizontal y aplicamos la relación
trigonométrica coseno.
.
La aceleración en el eje horizontal tiene sentido contrario a la elongación que
consideramos positiva, por lo tanto .
8
En un movimiento circular uniforme
, de donde se concluye que
o sea: .
En resumen para un movimiento armónico simple tememos:
Elongación: Velocidad: Aceleración: a .
Taller 2
Se han deducido las formulas para la elongación, velocidad y aceleración en un M.A.S,
utilizando la proyección del M.C.U en el eje horizontal.
1. En la expresión , demuestra que si t=0, la elongación es máxima.
Analizar la elongación de una partícula que posee M.A.S, a través del tiempo y
obtener su grafica.
2. Realiza la grafica de v contra t, representa la forma como cambia la velocidad en
función del tiempo, en una partícula que posee M.A.S.
Describe como es la velocidad en cada uno de los puntos de retorno y de equilibrio,
¿Cuándo es máxima la velocidad? ¿Cuándo es nula?
3. Realiza la grafica de a contra t y describe como es la aceleración en cada uno de
los puntos de retorno y de equilibrio.
Energía en un movimiento armónico simple
Al considerar el ejemplo de la masa que se encuentra atada a un resorte, vemos que para
iniciar el movimiento es necesario realizar un trabajo sobre la masa m con el fin de
9
desplazarla de su posición de equilibrio. Este trabajo se convierte en un tipo de energía
potencial elástica y depende de la amplitud que le demos al movimiento.
Cuando se deja la masa libremente, esta comienza a adquirir velocidad o sea energía
cinética a costa de la energía potencial elástica inicial. Cuando la masa pasa por el punto
de equilibrio toda la energía inicial se ha convertido en cinética, ya que en este punto no
existe energía potencial.
Después la masa comienza a perder energía cinética porque la fuerza recuperadora está
dirigida en dirección contraria a la velocidad, produciendo una aceleración retardatriz
que frena el movimiento. De esta forma la energía potencial inicial se recupera cuando la
masa llega al punto de retorno.
Taller 3
Energía mecánica en un movimiento armónico simple
Encontremos la expresión matemática que representa la energía potencial elástica. El
siguiente grafico de F contra x que se obtuvo en el taller 1.
1. ¿Qué significado físico tiene la pendiente del grafico?
2. El área bajo la curva ¿qué significado físico posee?
En un grafico F contra x el trabajo realizado se obtiene calculando el área bajo la
curva.
10
3. ¿Recuerdas como se calcula el área de un triangulo? Escribe la formula. En nuestra
grafica, ¿la base por cual magnitud esta representada? ¿la altura por cual?
En este caso
donde el área A es el trabajo realizado y F es kx de acuerdo
con lo ya estudiado.
Es decir
,
,
.
Vemos como el trabajo realizado depende de la elongación a la cual deformamos el
resorte.
Inicialmente el resorte se deforma una longitud igual a la amplitud del movimiento
por lo que encontramos que el trabajo realizado y la energía potencial inicial del
sistema masa resorte es
.
De acuerdo a la ley de conservación de la energía mecánica, la ecuación energética
del sistema en cualquier instante de su trayectoria resulta ser:
Donde
es la energía mecánica del sistema.
Potencial
en una elongación x.
Es la energía cinética de la masa en el mismo instante.
Los siguientes gráficos ilustran las variaciones de la energía cinética y potencial en
función del tiempo y en función de la elongación.
11
NOTA
La parábola es la gráfica de la energía potencial del oscilador armónico en función de la
elongación (
). Se dice que representa un "pozo de potencial", ya que es cóncava
hacia arriba; indicando que el oscilador no es capaz de salirse de una región del espacio,
que en este caso tiene un ancho igual a dos veces la amplitud de oscilación. La recta
paralela al eje horizontal (eje de la elongación ), representa la energía mecánica
(energía total). La ordenada representa la energía potencial de la partícula en la posición
seleccionada; la resta entre la altura del pozo (energía mecánica) y la ordenada (energía
potencial) , representa la energía cinética.
Debido a la conservación de la energía mecánica, la energía cinética del oscilador
armónico se puede también escribir como,
( )
Para tener una mejor comprensión puedes consultar: