Curso de Nivelacin
Ciclo de Nivelacin 2012
La fsica es una de las ciencia que estudia las propiedades de la
materia y de la energa, considerando tan solo los atributos capaces
de ser medidos. Es una ciencia emprica. Todo lo que sabemos del
mundo fsico y de los principios que rigen su comportamiento ha sido
aprendido a travs de la observacin de los fenmenos de la
naturaleza, convalidado con el mtodo cientfico.
La prueba definitiva de cualquier teora fsica es su concordancia
con las observaciones y mediciones de los fenmenos fsicos (mtodo
experimental).
MEDICIONES
Para la fsica y la qumica, en su calidad de ciencias
experimentales, la medida constituye una operacin fundamental. Sus
descripciones del mundo fsico se refieren a magnitudes o
propiedades medibles. Las unidades, como cantidades de referencia a
efectos de comparacin, forman parte de los resultados de las
medidas. Cada dato experimental se acompaa de su error o, al menos,
se escriben sus cifras de tal modo que reflejen la precisin de la
correspondiente medida.
El gran fsico ingls Lord Kelvin consideraba que solamente puede
aceptarse como satisfactorio nuestro conocimiento de algo, si somos
capaces de expresarlo mediante nmeros. Aun cuando la afirmacin de
Kelvin tomada al pie de la letra supone la descalificacin de
valiosas formas de conocimiento, destaca la importancia del
conocimiento cuantitativo. La operacin que permite expresar una
propiedad o atributo fsico en forma numrica es precisamente la
medida.
MAGNITUDES, CANTIDADES Y UNIDADESLa nocin de magnitud est
inevitablemente relacionada con la de medida. Se denominan
magnitudes a ciertas propiedades o aspectos observables de un
sistema fsico que pueden ser expresados en forma numrica. En otros
trminos, las magnitudes son propiedades o atributos medibles.
La longitud, la masa, el volumen, la fuerza, la velocidad, la
cantidad de sustancia son ejemplos de magnitudes fsicas. La
belleza, sin embargo, no es una magnitud, entre otras razones
porque no es posible elaborar una escala y mucho menos un aparato
que permita determinar cuntas veces una persona o un objeto es ms
bello que otro. La sinceridad o la amabilidad tampoco lo son. Se
trata de aspectos cualitativos porque indican cualidad y no
cantidad.
Una cantidad de referencia se denomina unidad y el sistema fsico
que encarna la cantidad considerada como una unidad se denomina
patrn.
LA MEDIDA COMO COMPARACION
La medida de una magnitud fsica supone, en ltimo extremo, la
comparacin del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la
misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el
patrn.
La medida de longitudes se efectuaba en la antigedad empleando
una vara como patrn, es decir, determinando cuntas veces la
longitud del objeto a medir contena a la de patrn. La vara, como
predecesora del metro de sastre, ha pasado a la historia como una
unidad de medida equivalente a 835,9 mm. Este tipo de comparacin
inmediata de objetos corresponde a las llamadas medidas
directas.
Con frecuencia, la comparacin se efecta entre atributos que, aun
cuando estn relacionados con lo que se desea medir, son de
diferente naturaleza. Tal es el caso de las medidas trmicas, en las
que comparando longitudes sobre la escala graduada de un termmetro
se determinan temperaturas. Esta otra clase de medidas se denominan
indirectas.
TIPOS DE MAGNITUDES
Entre las distintas propiedades medibles puede establecerse una
clasificacin bsica. Un grupo importante de ellas quedan
perfectamente determinadas cuando se expresa su cantidad mediante
un nmero seguido de la unidad correspondiente. Este tipo de
magnitudes reciben el nombre de magnitudes escalares. La longitud,
el volumen, la masa, la temperatura, son slo algunos ejemplos. Sin
embargo, existen otras que precisan para su total definicin que se
especifique, adems de los elementos anteriores, una direccin o una
recta de accin y un sentido: son las llamadas magnitudes
vectoriales. La fuerza es un ejemplo claro de magnitud vectorial,
pues sus efectos al actuar sobre un cuerpo dependern no slo de su
cantidad, sino tambin de la lnea a lo largo de la cual se ejerza su
accin.
Al igual que los nmeros reales son utilizados para representar
cantidades escalares, las cantidades vectoriales requieren el
empleo de otros elementos matemticos diferentes de los nmeros, con
mayor capacidad de descripcin. Estos elementos matemticos que
pueden representar intensidad, direccin y sentido se denominan
vectores. Las magnitudes que se manejan en la vida diaria son, por
lo general, escalares.
SISTEMAS DE UNIDADES
En las ciencias fsicas tanto las leyes como las definiciones
relacionan matemticamente entre s grupos, por lo general amplios,
de magnitudes. Por ello es posible seleccionar un conjunto reducido
pero completo de ellas de tal modo que cualquier otra magnitud
pueda ser expresada en funcin de dicho conjunto. Esas pocas
magnitudes relacionadas se denominan magnitudes fundamentales,
mientras que el resto que pueden expresarse en funcin de las
fundamentales reciben el nombre de magnitudes derivadas.
Cuando se ha elegido ese conjunto reducido y completo de
magnitudes fundamentales y se han definido correctamente sus
unidades correspondientes, se dispone entonces de un sistema de
unidades. La definicin de unidades dentro de un sistema se atiene a
diferentes criterios. As la unidad ha de ser constante como
corresponde a su funcin de cantidad de referencia equivalente para
las diferentes mediciones, pero tambin ha de ser reproducible con
relativa facilidad en un laboratorio.
As, por ejemplo, la definicin de amperio como unidad de
intensidad de corriente ha evolucionado sobre la base de este
criterio. Debido a que las fuerzas se saben medir con bastante
precisin y facilidad, en la actualidad se define el amperio a
partir de un fenmeno electromagntico en el que aparecen fuerzas
entre conductores cuya magnitud depende de la intensidad de
corriente.
EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI)
Las condiciones de definicin de un sistema de unidades permitira
el establecimiento de una considerable variedad de ellos. As, es
posible elegir conjuntos de magnitudes fundamentales diferentes o
incluso, aun aceptando el mismo conjunto, elegir y definir unidades
distintas de un sistema a otro. Desde un punto de vista formal,
cada cientfico o cada pas podra operar con su propio sistema de
unidades, sin embargo, y aunque en el pasado tal situacin se ha
dado con cierta frecuencia (recurdense los pases anglosajones con
sus millas, pies, libras, grados Fahrenheit, etc.), existe una
tendencia generalizada a adoptar un mismo sistema de unidades con
el fin de facilitar la cooperacin y comunicacin en el terreno
cientfico y tcnico.
Otros sistemas son el cegesimal - centmetro, gramo, segundo -,
el terrestre o tcnico -metro-kilogramo-fuerza, segundo-, el Giorgi
o MKS - metro, kilogramo, segundo- y el sistema mtrico decimal, muy
extendido en ciencia, industria y comercio, y que constituy la base
de elaboracin del Sistema Internacional.
El SI es el sistema prctico de unidades de medidas adoptado por
la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en octubre
de 1960 en Pars. Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales
(longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente elctrica,
temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia)
de las que se determinan sus correspondientes unidades
fundamentales (metro, kilogramo, segundo, Ampere, Kelvin, candela y
mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (Coulomb,
Joule, Newton, Pascal, Volt, Ohm, etc.), adems de otras
suplementarias de estas ltimas.
Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son:
MAGNITUD BASENOMBRESIMBOLO
longitudmasatiempocorriente elctricatemperatura
termodinmicacantidad de sustanciaintensidad
luminosametrokilogramosegundoAmpereKelvinmolcandelamkgsAKmolcd
UNIDADES DERIVADAS
Ciertas unidades derivadas han recibido unos nombres y smbolos
especiales. Estas unidades pueden as mismo ser utilizadas en
combinacin con otras unidades base o derivadas para expresar
unidades de otras cantidades. Estos nombres y smbolos especiales
son una forma de expresar unidades de uso frecuente.
Coulomb (C): Cantidad de electricidad transportada en un segundo
por una corriente de un amperio.
Joule (J): Trabajo producido por una fuerza de un newton cuando
su punto de aplicacin se desplaza la distancia de un metro en la
direccin de la fuerza.
Newton (N): Es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una
masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleracin de 1 metro por
segundo, cada segundo.
Pascal (Pa): Unidad de presin. Es la presin uniforme que,
actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce
perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1
newton.
Volt (V): Unidad de tensin elctrica, potencial elctrico, fuerza
electromotriz. Es la diferencia de potencial elctrico que existe
entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente
de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada
entre esos puntos es igual a 1 watt.
Watt (W): Potencia que da lugar a una produccin de energa igual
a 1 joule por segundo.
Ohm (): Unidad de resistencia elctrica. Es la resistencia
elctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una
diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos
dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad
1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.
Weber (Wb): Unidad de flujo magntico, flujo de induccin
magntica. Es el flujo magntico que, al atravesar un circuito de una
sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 Volt
si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento
uniforme.
MAGNITUD DERIVADANOMBRESIMBOLOEXPRESADAS EN TERMINOS DE OTRAS
UNIDADES DEL SIEXPRESADAS EN TERMINOS DE LAS UNIDADES BASE DEL
SI
ngulo planoradinradm.m-1=1
ngulo slidoestereorradinsrm .m-2=1
frecuenciahertzHzs-1
fuerzanewtonNm.kg.s-2
presinpascalPaN/m m-1.kg.s-2
energa, trabajo, calorjouleJN.mm .kg.s-2
potencia, flujo de energawattWJ/sm .kg.s-
temperatura CelsiusCelsiusCK
Longitud1 ao luz = 9,460 73x1015 m
1 milla (mi) = 1 760 yd = 5 280 ft = 63 360 in = 1 609,344 m
1 ngstrom () = 1x10-10 m
1 pie (ft) = 12 in = 0,304 8 m
1 pulgada (in) = 0,025 4 m
1 micrn () = 1x10-6 m
1 prsec (pe) = 3,085 678x1016 m
1 yarda (yd) = 3 ft = 36 in = 0,914 4 m
1 milla, nutica = 1,852 km = 1 852 mMasa1 grano = 6,479 891x10-5
kg
1 slug (slug) = 14,593 9 kg
1 libra (lb) = 16 oz = 0,453 592 4 kg
1 onza (oz) = 2,834 952x10-2 kg
1 ton, mtrica (t) = 1 000 kg
Tiempo1 ao = 365 d = 8 760 h = 525 600 min = 31 536 000 s1 ao
[sideral] = 3,155 815x107 s
1 ao [tropical] = 3,155 693x107 s
1 da (d) = 24 h = 1 440 min = 86 400 s
1 da [sideral] = 8 616,409 s
1 hora (h) = 60 min = 3 600 s
1 minuto (min) = 60 s
1 minuto [sideral] = 59,836 17 s
ESTATICA
Es la parte de la mecnica que estudia las leyes del
equilibrio.
Vectores: Son modelos matemticos. Las magnitudes que los
representan se indicarn, en este material, en negrita.
Sea el vector V, representa una cantidad fsica y, se compone
de:
1. Mdulo: (magnitud) valor numrico y absoluto del mismo, expresa
la cantidad que representa el mismo y se le asigna una unidad.
2. Direccin: recta de accin, que segn el sistema de referencia
posee una inclinacin .
3. Sentido: segn el sistema de referencia, tendr signo positivo
o negativo.
4. Origen: punto de aplicacin. Muchos de lo vectores en la fsica
son deslizables lo que significa que pueden carecer de punto de
aplicacin, movindose por su recta de accin o direccin.
CONCEPTOS PRELIMINARES: OPERACIONES CON VECTORESEn esta parte de
la fsica nos es muy conveniente la definicin de Fuerza, que es el
ente fsico capaz de modificar el estado de movimiento de un cuerpo,
tambin deformndolo (aunque en este curso estudiaremos slo cuerpos
rgidos, indeformables). Es una magnitud vectorial y su unidad en el
Sistema Internacional es el Newton (N= kilogramo . metro / seg2).
Resultante: es la suma vectorial de un sistema de vectores de algn
tipo (eventualmente a las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo). Una
resultante importante de analizar es el Peso de los cuerpos.El
sistema puede tener vectores con direcciones COLINEALES o
CONCURRENTES. Tambien pueden ser PARALELAS, caso que veremos ms
adelante
Si dos personas hacen fuerzas en la misma direccin y sentido,
sus fuerzas se suman. Los vectores que representan sus fuerzas
tambin se suman y el resultado de esa suma es la Resultante,
Res.
En este caso, la resultante tiene la misma direccin y sentido
que las fuerzas originales y su mdulo es igual a la suma de
ellos.
Res =F1 + F2 F = F1 + F2 Por ejemplo, si el grande empuja con
una fuerza de 15 kgf y el chico con una fuerza de 8 kgf, la cosa
funciona como si hubiese una sola persona empujando con una fuerza
de 23 kgf . (23 = 15 + 8)
Si dos personas hacen fuerzas en la misma direccin pero con
sentidos opuestos la resultante tendr la misma direccin de ambas,
el sentido de la ms grande (mdulo mayor) y su mdulo ser igual a la
resta entre los mdulos
F = Res =F1 F2La operacin sigue llamndose suma. Y la resultante
se sigue llamando sumatoria. Por ejemplo, si el grande empuja con
una fuerza de 15 kgf y el chico resiste con una fuerza de 8 kgf, la
cosa funciona como si hubiese una sola persona empujando con una
fuerza de 7 kgf . (7 = 15 8).
Si dos personas tiran de una caja con sogas con fuerzas de
distinta intensidad, y tambin, con distintas direcciones, la caja
reacciona como si una sola soga estuviera tirando de ella, es la
fuerza resultante, que tendr una direccin intermedia y un mdulo que
se puede obtener grfica o analticamente. Hay que destacar que la
suma de vectores, salvo en los casos unidireccionales citados ms
arriba, no ocurre como si de nmeros se tratara. Por ejemplo en
nuestro caso la fuerza de F1 = 15 kgf , el otro una de F2 = 8 kgf ,
y la resultante, o sea, la suma de ambas puede valer, digamos, 19
kgf , dependiendo del ngulo que forman F1 con F2.COMPOSICION DE
VECTORES CONCURRENTES
Para sumar grficamente dos vectores, cuyas direcciones concurren
a un mismo punto, hay dos mtodos grficos. El primero se llama mtodo
del paralelogramo. Consiste en colocar los dos vectores que se
desean sumar en un mismo origen, luego construir un paralelogramo
(un cuadriltero que posee sus lados no consecutivos paralelos)
tomando como lados los dos vectores. El vector suma es aquel que
tiene origen en el mismo origen de los vectores que se suman y
extremo en el vrtice opuesto del paralelogramo. Coincide as, con
una de las diagonales del paralelogramo.
A + B = S La otra diagonal se corresponde con la resta de los
vectores. La resta de nmeros no es conmutativa, la de vectores
tampoco:
B A = R1 A B = R2El segundo mtodo de sumar vectores se llama
mtodo de la poligonal y consiste en dibujar un vector a continuacin
de otro: La ventaja de este mtodo sobre el anterior es que se puede
iterar repetidas veces sin mucha dificultad para sumar un nmero
grande de vectores, aunque se pierde exactitud.
DESCOMPOSICIN DE VECTORES
Para poder operar analticamente con vectores es apropiado
previamente hacer una descomposicin, en componentes paralelas a los
ejes de un sistema de referencia (SR).
Supongamos que tenemos el A, que podra representar cualquier
magnitud vectorial: una fuerza, una velocidad, una aceleracin, para
descomponerlo necesitamos primero un sistema de referencia,
x-y.
Por el extremo del A trazo rectas paralelas a los ejes. En el
ejemplo, el mdulo de A resulta valer 7,28.
Cuando esas rectas cortan los ejes queda definido un punto
(llamado coordenada) que es el extremo de los vectores componentes
de A.
Entonces quedan definidas las componentes del A, tambin llamadas
proyecciones del A sobre los ejes del SR, que se calculan usando
los conceptos de la trigonometra En el ejemplo, el mdulo de Ax vale
7 y el mdulo de Ay vale 2.
Entre el vector original y sus componentes hay establecidas
ciertas relaciones matemticas, por ejemplo la relacin
pitagrica:
Ax + Ay = A (OJO!!! Son mdulos!!!)
MULTIPLICACION POR UN NMERO
Los vectores pueden multiplicarse por un nmero (real)
cualquiera. Por ejemplo, si tenemos un vector V y lo multiplicamos
por 3, el resultado es un nuevo vector que tiene la misma direccin
y el mismo sentido que V, y un mdulo 3 veces mayor.
De modo que multiplicar por un nmero es una operacin que slo
afecta al mdulo de los vectores.
En muchos libros de texto a esta operacin se la llama producto
por un escalar (pero no lo confundas con producto escalar, que es
otra cosa).La operacin la escribiramos as (usando smbolos correctos
para los vectores, es decir, con flechita arriba):
V . 3 = 3 V = UEl nmero por el que se multiplica no
necesariamente debe ser entero. Por ejemplo:
V . 3,54 = 3,54 VEl nmero por el que se multiplica un vector
puede ser negativo. En ese caso adems de alterar el
mdulo, invierte el sentido.
El signo menos del escalar cambia el sentido original del vector
de partida de la operacin. Simblicamente:
V . (-3) = -3 V = WEsta operacin permite expresar cualquier
vector en funcin de otro.
Primera Condicin de Equilibrio (Equilibrio Traslacional).
La suma algebraica de las fuerzas aplicadas a un cuerpo en una
direccin cualquiera es igual a cero. Complementaremos esta condicin
ms adelante con los conceptos de la Dinmica. Es importante destacar
que la sumatoria debe realizarse EN UNA DIRECCIN
DETERMINADA.PREGUNTAS CONCEPTUALES
1) Si se tira de los extremos de una cuerda en equilibrio con
dos fuerzas iguales y de direccin opuesta, por qu la tensin total
en la cuerda es cero?
2) Un caballo est enganchado a un carro. Como el carro tira del
caballo hacia atrs con la misma fuerza que ste tira del carro, por
qu no permanece el carro en equilibrio, independientemente de lo
que tire el caballo?
3) Cmo se puede empujar hacia abajo el pedal de una bicicleta y
lograr que la bicicleta se mueva hacia adelante?
EJERCICIOS
1) Calcular para la fuerza de la figura y tomando 1 cm = 5
N:
a) Hallar grficamente las componentes horizontal y vertical.
b) Verificar analticamente.
Respuesta: a) 25,7 N y 30,6 N
2) Un bloque se arrastra hacia arriba por un plano inclinado 20
sobre la horizontal con una fuerza F que forma un ngulo de 30 con
el plano. Determinar:
a) El valor de F para que su componente Fx paralela al plano sea
de 16 N.
b) El valor de la componente Fy perpendicular al plano.
Respuesta: a) 18,5 N b) 9,2 N
3) Utilizando el mtodo de descomposicin vectorial, hallar la
resultante y el ngulo que forma el siguiente sistema de
fuerzas:
F1= 200 N en el eje x dirigida hacia la derecha
F2 = 300 N, 60 por encima del eje x, hacia la derecha
F3 = 100 N, 45 sobre el eje x, hacia la derecha
F4 = 200 N en la direccin negativa del eje y
Respuesta: 308 N y 25
4) Dos fuerzas F1 y F2 actan sobre un punto, F1es de 8 N y su
direccin forma un ngulo de 60 por encima del eje x en el primer
cuadrante, F2 es de 5 N y su direccin forma un ngulo de 53 por
debajo del eje x en el cuarto cuadrante, determinar:
a) Las componentes de la resultante.
b) La magnitud de la resultante.
c) La magnitud de la diferencia F1 - F2.
Respuesta: a) 7,01 N y 2,93 N, b) 7,6 N, c) 11 N
5) Dos hombres y un muchacho quieren empujar un bloque en la
direccin x de la figura, los hombres empujan con las fuerzas F1 y
F2.
a) qu fuerza mnima deber emplear el muchacho para lograr el
cometido?
b) qu direccin tendr dicha fuerza?
Respuesta: a) 46,6 N, b) perpendicular a x
6) Dos pesos de 10 N estn suspendidos en los extremos de una
cuerda que pasa por una polea ligera sin rozamiento. La polea est
sujeta a una cadena que cuelga del techo. Determinar:
a) La tensin de la cuerda.
b) La tensin de la cadena.
Respuesta: a) 10 N, b) 20 N
7) Puede estar un cuerpo en equilibrio cuando sobre l acta una
fuerza?. Dibuja un ejemplo.
8) Un globo se mantiene en el aire sin ascender ni descender.
Est en equilibrio?, qu fuerzas actan sobre l?
9) Segn el caso de la figura determinar el peso del cuerpo
suspendido si la tensin de la cuerda diagonal es de 20 N.
Respuesta: 14,1 N
10) El bloque A de la figura pesa 100 N, el coeficiente de
rozamiento entre el bloque y la superficie es de 0,30. El bloque B
pesa 20 N y el sistema est en equilibrio. Determinar:
a) El valor de la fuerza de rozamiento ejercida sobre el bloque
A.
b) El peso mximo que puede tener el bloque B para que el sistema
permanezca en equilibrio.
Respuesta: a) 20 N, b) 30 N
11) Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad
constante por una fuerza de 10 N que acta formando un ngulo de 30
sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y
le superficie es de 0,50. Cul es el peso del bloque?.
Respuesta: 22,3 N
12) Hay que bajar una caja fuerte de 2000 N a velocidad
constante por una de 4 m de longitud, desde un camin de 2 m de
altura. El coeficiente de rozamiento entre la caja fuerte y la
rampa es de 0,30. Determinar:
a) Hay que empujar o frenar la caja?
b) Qu fuerza paralela a la rampa es necesaria?Respuesta: a)
Frenar, b) 480 N
13) Se levanta un cuerpo de 200 kgf mediante un plano inclinado
de 2,8 m de largo y 1,5 m de altura. El extremo de la cuerda que
sube el cuerpo, se adapta a un torno, cuya manivela es de 0,8 m y
el radio del torno es de 0,2 m. Cul es la potencia aplicada al
torno, para mantener el sistema en equilibrio?
Respuesta: 26,75 kgf
CINEMATICA
GLOSARIO
Cinemtica. Parte de la fsica que se dedica a estudiar el
movimiento en s mismo, prescindiendo de la naturaleza del mvil y de
quien lo produce.Posicin, x: Lugar que un mvil ocupa en el espacio.
Los mviles tpicos de la cinemtica son mviles puntuales, no tienen
volumen, ocupan nada, son un punto. Las posiciones se indican en
cualquier unidad de longitud, referenciados a un punto fijo
(sistema de referencia).Desplazamiento, (X2 X1) , X12: Diferencia
entre dos posiciones (la posicin posterior menos la posicin
anterior). Habitualmente se dice "final menos inicial"; no est mal
del todo pero induce a error, porque la gente tiende a pensar que
se trata del inicio y del final del movimiento, y puede no ser as.
Lo importante es restar la posicin que el mvil ocupa despus, menos
la que ocupa antes.Instante de tiempo, t: Momento nico e
irrepetible en el transcurso del tiempo. El instante no dura nada:
ni un segundo, ni un microsegundo, ni un nanosegundo.
Intervalo de tiempo, (t2 t1) , t12: Tambin llamado lapso,
tardanza, duracin, etc. Se trata del tiempo que transcurre entre
dos instantes. Se obtiene restando el instante posterior menos el
instante anterior. Hay gente que dice "tiempo final menos tiempo
inicial". No est del todo mal pero induce a error, porque da a
pensar que se trata del final del movimiento y del principio del
movimiento, puede no serlo.
Velocidad media, Vm: Es el cociente entre el vector
desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente. Se mide en
cualquier unidad de longitud dividida cualquier unidad de tiempo,
por ejemplo m/s. Se trata de un concepto bastante parecido al
concepto natural e intuitivo que tenemos de velocidad, cuando
hablamos de velocidad con un amigo. Pero no es exactamente lo
mismo. Slo es lo mismo si nos estamos refiriendo a un MRU (VER
DEFINICION DE RAPIDEZ).
Velocidad, o velocidad real, o velocidad instantnea, V : Es el
cociente entre un desplazamiento y el intervalo de tiempo
correspondiente siempre y cuando el intervalo considerado sea muy,
muy pequeito. Pero la idea es bien simple: es la velocidad comn y
silvestre que todos conocemos. La que indica el velocmetro de los
automviles, por ejemplo. Ojo: solamente coincide con la velocidad
media en el MRU! (VER DEFINICION DE RAPIDEZ).
Aceleracin media, am: Es el cociente entre un incremento o un
decremento de velocidad y el intervalo de tiempo en el que esa
variacin transcurre. Se mide en cualquier unidad de velocidad
dividida cualquier unidad de tiempo. Por ejemplo m/s.
Trayectoria: Sucesin de posiciones por las que va pasando un
mvil.
Ecuacin horaria, x = f (t): Cualquier funcin matemtica entre el
conjunto de las posiciones, x, y el conjunto de los instantes de
tiempo, t. Tal relacin bien puede estar representando un
movimiento. Los movimientos tpicos tienen ecuaciones horarias
tpicas. Debido a la versatilidad y a la precisin de la matemtica, y
por su capacidad de almacenaje, la ecuacin horaria es la
herramienta ms importante para hacer cinemtica.
Esquema: Herramienta cinemtica utilsima, que consiste en dibujar
la trayectoria y consignar sobre ella la informacin cinemtica de la
que se disponga, en la proximidad (lo ms junto posible) de la
posicin correspondiente. Es la ms sencilla de las herramientas
cinemticas. Tiene la capacidad de organizar espacial y
temporalmente toda la informacin de la que se dispone, incluso de
los datos que se buscan. Tiene la virtud de ordenar y nombrar todo
lo que interviene en un problema, ya sea dato o incgnita. Lo que
est en el esquema no se pierde. Un esquema bien hecho y completo es
garanta casi absoluta de que el ejercicio estar bien resuelto.
Movimiento rectilneo uniforme, MRUSe trata del tipo de
movimiento ms sencillo que se pueda imaginar. Su nombre lo
caracteriza: la palabra rectilneo indica que la trayectoria
coincide con una recta; y la palabra uniforme que la velocidad, V,
del mvil es constante.
Segn el esquema
Un mvil animado con un MRU avanza distancias iguales en tiempos
iguales.
Un grfico posicin en funcin del tiempo, de un MRU es el
siguiente:
Cualquier recta oblicua bien puede representar un MRU. Si la
funcin es creciente y decimos que se trata de un movimiento de
avance. Si la recta se inclina hacia abajo, representa un
movimiento de retroceso.
Si la recta fuese horizontal representara un mvil que no cambia
la posicin, est detenido o en reposo. Tambin lo incluimos dentro de
los MRU. La orientacin prohibida es la vertical: indicara que el
mvil se encuentra en infinitas posiciones en un mismo instante...
imposible.La recta no necesariamente debe pasar por la posicin X =
0 en el instante t = 0. Inventemos un ejemplo, cuyos datos voy a
volcar es esta Tabla de Valores:
x (m) t (s)
09
-1215
180
123
24-3
Lo ms importante del MRU, es que si tomamos cualquier
desplazamiento y lo dividimos por el intervalo de tiempo
correspondiente a ese desplazamiento, siempre nos va a dar el mismo
nmero; ese cociente es constante (independiente de los pares que
elijas para considerar el desplazamiento y el intervalo)... ese
cociente es la velocidad media, Vm, (que en el MRU -y slo en el
MRU- concuerda con la RAPIDEZ).
De la tabla de valores elijamos al azar un dos pares
cualesquiera y armemos el cociente. Por ejemplo el segundo y el
tercer rengln de la tabla. Lo importante es que respetes la
correspondencia entre cada posicin y su instante. En el MRU -y slo
en l- no hace falta recordar que se trata de la velocidad media y
lo vamos a llamar directamente velocidad, V.
La herramienta cinemtica que describe con mayor precisin y
generosidad los movimientos es la ecuacin horaria. En los MRU tiene
siempre esta forma (recordar conceptos de funciones de
matemtica:
x = xo + v ( t to ) x y t son las variables. Si no aparecen, no
hay ecuacin horaria. El resto: xo , V y to , son constantes, o sea
nmeros. Pero no son variables, son constantes!.
En nuestro ejemplo de ms arriba la velocidad era V = 2 m/s, y
podramos tomar como xo y to los que figuran en el cuarto rengln de
la tabla ya que el nico requisito que deben tener xo y to son:
corresponderse entre s y ser pertener al movimiento. Nuestra
ecuacin quedara as:
x = 12 m 2 m/s ( t 3 s )
eso es una ecuacin horaria, no cabe duda, porque contiene x y
contiene t. Adems te puedo asegurar que xo = 12 m, V = 2 m/s y to =
3 s. Tambin podramos haberla armado eligiendo el quinto rengln de
la tabla:
x = 24 m 2 m/s ( t + 3 s )x (m) t (s)
09
-1215
180
123
24-3
Si a cualquiera de las dos ecuaciones (que en realidad son la
misma) le hacemos la misma pregunta, nos darn la misma respuesta.
Por ejemplo; dnde se hallara el mvil en el instante t6 = 5 s... En
cualquiera de las dos, donde dice t escribimos 5 s, luego hacemos
la cuentita, y del otro lado del igual aparece x6 = 8 m.
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Una ecuacin horaria es una expresin capaz de decirte en qu
posicin se encuentra un mvil en cualquier instante de tiempo. Es un
almacn de informacin cinemtica, guarda infinitos pares de
informacin posicin-tiempo. Si de un movimiento cualquiera, conocs
la ecuacin horaria, ya est, ese movimiento no tiene ms secretos
para vos (record que la magnitud ms importante es la aceleracin, es
la que te da ms info sobre el movimiento).IMPORTANTE
La velocidad propiamente dicha, llamada velocidad instantalea,
no es un concepto sencillo de definir matemticamente, hay que hacer
uso de herramientas matemticas sofisticadas como el lmite, o la
derivada. Por suerte en el MRU no hace falta, porque coincide
plenamente con el concepto de velocidad media, que matemticamente
es muy sencillo.
Por qu el modelo de ecuacin horaria del MRU tiene la forma que
tiene? Sencillamente, si la grfica de un MRU es una recta oblicua,
entonces la funcin matemtica que describe ese movimiento no puede
ser otra que la funcin de una recta... y eso es justamente lo que
es.
La inclinacin de la recta (a los matemticos les gusta llamarla
pendiente) nos informa sobre la rapidez del movimiento: cuanto ms
inclinada ms rpido es el movimiento; cuanto menos inclinada ms
lento es.
MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTE VARIADO, MRUV Se trata de un
tipo de movimiento muy caracterstico, que adems de sencillo,
aparece bastante seguido en la naturaleza. Su nombre lo
caracteriza: la palabra rectilneo indica que la trayectoria
coincide con una recta; y la palabra variado alude a la velocidad,
que ya no es constante... pero que vara uniformemente .
La velocidad -ahora variable- ya no se puede igualar a la
velocidad media. En el esquema observamos: en tiempos iguales,
aumentos iguales de velocidad. Los desplazamientos ya no son
iguales, dado que a mayor velocidad, tendremos mayores
desplazamientos.
La flecha de abajo del ciclista representa la velocidad. Un
grfico velocidad-tiempo tpico de un MRUV podra ser el
siguiente:
Una recta oblicua bien puede representar un MRUV. Si la
inclinacin es como sta la llamamos ascendente o creciente y decimos
que se trata de un movimiento de aumento de velocidad; y a la
inversa: descendente o decreciente, que se corresponde con
disminuciones de la velocidad. Pero la inclinacin nada nos informa
sobre si el mvil avanza o retrocede. Para saber si el mvil avanza o
retrocede hay que prestar atencin al signo de la velocidad (o sea,
grficamente: si est arriba o abajo del eje de los tiempos).
Si la recta fuese horizontal representara un mvil que no cambia
la velocidad, y en ese caso se tratara de un MRU. Aunque parezca
ridculo tambin lo incluimos dentro de los MRUV. La orientacin
prohibida es la vertical: indicara que el mvil posee infinitas
velocidades en un mismo instante.
La recta no necesariamente pasa por la posicin v = 0 en el
instante t = 0. Como ves, la velocidad se comporta en el MRUV como
la posicin en el MRU. Seguro que hay una ecuacin horaria (la
llamamos segunda ecuacin horaria) que describe cmo vara la
velocidad a travs del tiempo:
V = Vo + a ( t to )
V y t son las variables. Si no aparecen; no hay ecuacin horaria.
El resto: vo , a y to , son constantes, o sea nmeros. vo y to son
una velocidad cualquiera que el mvil tenga y el instante en que la
haya tenido (o sea, se corresponden entre s). Y a es la magnitud
que describe el cambio de velocidad y se llama aceleracin.
Justamente, la caracterstica fundamental del MRUV es a = cte.
Gracias a eso, podemos calcularla como una aceleracin media,
am.
Lgicamente, el plato fuerte del MRUV es su primera ecuacin
horaria, que describe cul es la posicin del mvil en cualquier
instante de tiempo. Es sta:x = xo + vo ( t to ) + a . ( t to )
x y t son las variables. El resto: xo , Vo , a y to , son
constantes, o sea nmeros (con unidades). Con suerte te dan el valor
de esas constantes. Si no te los dan, tal vez los puedas encontrar.
Pero no son variables, son constantes!.
Veamos un ejemplo. Supongamos un MRUV en el que
xo = 10 m , vo = 2 m/s , a = 2 m/s y to = 4 sSus ecuaciones
horarias seran las siguientes:
x = 10 m + 2 m/s . ( t 4 s ) 1 m/s . ( t 4 s )v = 2 m/s 2 m/s .
( t 4 s )
Le voy a ir dando valores a t y obteniendo las posiciones y
velocidades correspondientes a esos instantes. Y los voy volcando
en la tabla. Por ejemplo donde dice t escribo -2 s, y hago la
cuentita. La de posicin me da 38 m, (tuve que escribir -2 s dos
veces) y la de velocidad 14 m/s. Y as sucesivamente.
t (s) x (m) v (m/s)
-23814
01410
226
4102
6102
826
Tambin voy volcando los valores encontrados a sendos grficos
posicin-tiempo y velocidad-tiempo
Si la aceleracin es positiva la velocidad (no la rapidez)
aumentar siempre y en forma constante. La grfica de posicin ser una
parbola de concavidad positiva.
Rapidez es el mdulo de la velocidad (la cantidad sola, sin el
signo
Si la aceleracin es negativa (como en nuestro ejemplo) la
velocidad (no la rapidez) disminuir siempre y en forma constante.
La grfica de posicin ser una parbola de concavidad negativa.LOS
GRAFICOS Son una herramienta cinemtica utilsima; nunca dejes de
hacerlos con cada ejercicio que resuelvas. Son herramientas tan
claras y didcticas que hoy todo el mundo explica sus cosas con
grficos.
En cinemtica SE DEBEN HACER SIEMPRE DE ESTA FORMA!!!!: de a
tres, posicin en funcin del tiempo, velocidad en funcin del tiempo
y aceleracin en funcin del tiempo. En el orden en que los escrib,
encolumnados, y con la misma escala de tiempo. Te lo muestro con
este ejemplo
Otro ejemplo ms!!!! 1ro.- posicin tiempo
2do.- velocidad tiempo
3ro.- aceleracin - tiempo
Este orden no es arbitrario, tiene su lgica (fundamentado en el
hecho que cada funcin es la derivada de la anterior).
El hecho de que estn encolumnados y con la misma escala de
tiempo te ofrece informacin simultnea en un solo golpe de vista, y
te permite pensar cosas interesantes. Por ejemplo la curva de
posicin, la de arriba: el nico momento en que la curva no tiene
inclinacin es en el instante inicial; justo ah el segundo grfico te
dice que la velocidad es cero.
A veces sombreamos algunas reas. Los grficos suelen albergar
mucha ms informacin que la que muestran en primera instancia.
Nuevamente de a tres, en el mismo orden, encolumnados, y con la
misma escala de tiempo.
Siempre empez con el de aceleracin, que es el ms fcil, luego el
de velocidad y por ltimo el de posicin. Vas a ver cmo, hacerlos en
ese orden te ayuda a no cometer errores. Siempre el de abajo (que
es el ms fcil) ayuda a predecir el de arriba (que es ms
difcil).
Con la prctica vas a ver que los grficos tienen una
potencialidad insospechada. Hay mucha ms informacin de la que te
dan aparentemente. .
CURIOSIDADES GEOMTRICAS EN CINEMTICAEs comn en cinemtica
estudiar el movimiento de dos cuerpos que se mueven
independientemente para encontrar el punto en que sus trayectorias
coinciden.
Los dos problemas siguientes requieren para su solucin de un
conocimiento elemental de la cinemtica en una dimensin y su
resultado no deja de llamar la atencin.
Problema 1
En el momento en que se encienda la luz verde de un semforo de
transito arranca desde el reposo un automvil con una aceleracin
constante aA0-2. En el mismo instante, un camin que se mueve con
una velocidad constante Vc0 alcanza y rebasa el automvil. Un cierto
tiempo despus el automvil alcanza al camin. A qu velocidad ir el
automvil en ese instante?
GRFICA DE TRAYECTORIA
Cuando el automvil alcanza al camin su velocidad es del doble de
la del camin
Qu Curioso no?Se puede visualizar en la grfica de V vs t que
para que las dos reas sean iguales la velocidad media del automvil
debe ser igual a la velocidad media del camin.
Problema 2:En el momento en que se encienda la luz verde de un
semforo de transito arranca desde el reposo un automvil con una
aceleracin constante aA0-F. En el mismo instante, un camin que se
mueve con una velocidad constante Vc0 se encuentra a una distancia
X atrs del automvil; el camin alcanza al automvil en un punto P,
para un instante despus de ser dejado atrs por el automvil. A qu
distancia del punto de partida del automvil, es ste ltimo alcanzado
por el camin?
GRFICA DE TRAYECTORIA
Cuando el camin alcanza al automvil, ste ha recorrido una
distancia igual a la distancia a la que se encontraba el camin por
detrs del auto
Qu Curioso no?Es fcil visualizar en la grfica V vs t que el
desplazamiento del camin es el doble del auto
TIRO VERTICAL DE CUERPOS
Entiendo que ya sabs que el libre desplazamiento vertical de
cuerpos en el vaco, subiendo o cayendo por la atraccin
gravitacional es un MRUV. Una de las consecuencias ms resistidas
sobre los movimientos libres es la cuestin del signo de g. Es
comprensible, porque todo el mundo piensa que si un cuerpo sube
libremente debe tener una aceleracin distinta de cuando baja
libremente. Sin embargo el signo de g depende exclusivamente del
SR, y para nada de lo que haga el mvil. El signo de g depende
exclusivamente del sistema de referencia (SR) y NO de si el mvil
sube o baja.
Si elegimos un SR positivo hacia arriba...g = 10 m/sSi elegimos
un SR positivo hacia abajo... g = + 10 m/s
El motivo es bien sencillo: la aceleracin de los cuerpos libres,
g, siempre apunta hacia abajo... haga lo que haga el cuerpo. Luego
en un SR que apunte hacia arriba g debe ser negativo, y en un SR
que apunte hacia abajo g debe ser positivo.
Pens en un cuerpo que arrojs hacia arriba con toda tu fuerza y
el cuerpo regresa a tu mano despus de un rato. Una experiencia
sencilla. Te consta que al salir de tu mano lo hace muuuy rpido,
despus se va deteniendo, llega un momento en que se detiene por
completo (justo ah deja de subir y empieza a bajar) y luego
emprende el camino de regreso... primero lentamente despus cada vez
ms rpido. Hasta aqu vamos bien? Bueno, para ms datos: llega a tu
mano con la misma rapidez que la que parti.
Bueno, ahora vamos a asignarle velocidades (estimadas,
inventadas) para 7 momentos diferentes (los puntos rojos): apenas
sale, ya alcanz 1 m de altura, ya est a 2 m de altura, alcanz la
altura mxima, vuelve a pasar por los 2 m , ahora esta de vuelta a 1
m y por ltimo llega de nuevo a tu mano.Si las velocidades las
asigno con un SR que apunta hacia arriba, podran ser (no te olvides
que son velocidades estimadas)... 10, 6, 2, 0, -2, -6, -10... (en
las unidades correspondientes).
A igual altura igual rapidez (mdulo de la velocidad). Y lo ms
importante: Con un SR que apunta hacia arriba las velocidades de
bajada (en naranja) son negativas (movimiento de retroceso).Y ac
viene la conclusin: la VELOCIDAD (no la rapidez) siempre disminuye
(-10 es ms chico que -6). Luego la aceleracin debe ser negativa
durante TODO el viaje, tanto a la subida como a la bajada.
Ahora volvemos a inventar velocidades pero evaluadas desde un SR
que apunta hacia abajo. Ac la aceleracin de la gravedad debe ser
positiva, de modo que debemos encontrar que la velocidad siempre
aumenta. Veamos.
Las velocidades iniciales, de subida, deben ser negativas ya que
representan un retroceso para ese SR. Y las velocidades de bajada
deben ser positivas (avance segn nuestro SR). Podran ser: -10, -6,
-2, 0, 2, 6, 10 (con las unidades correspondientes). Y ahora,
fijate: la VELOCIDAD (no la rapidez) SIEMPRE aumenta, tanto durante
la subida como durante la bajada... luego la aceleracin debe ser
siempre positiva. No importa si el cuerpo sube o baja... la
velocidad aumenta en todo momento.En cuanto a las ecuaciones
propias del movimiento, no son nuevas, sino tuneadas, del MRUV
(aceleracin por gravedad y distancia por atura altura h).
a = gVo 0
Vf = yo + Vo.t - .g.t (Ecuacin de posicin)
Vf = Vo - g.t (Ecuacin de velocidad)
Vf = Vo - 2.a.yCaractersticas: muy importantes de tener en
cuenta a la hora de resolucin de problemas.
Tiempo de subida = Tiempo de bajada
Rapidez con la que es lanzado = Rapidez con la que llega al
piso
Rapidez de subida = Rapidez de bajada (a la misma altura)
Por ltimo, cmo tendramos que graficar EL MISMO MOVIMIENTO de
nuestro ejemplo (un tiro vertical) con dos SR diferentes: apuntando
hacia arriba (izquierda) y apuntando hacia abajo (derecha).
CAIDA LIBRE DE CUERPOS
Un objeto pesado que cae libremente (sin influencia de la
friccin del aire) cerca de la superficie de la Tierra experimenta
una aceleracin constante. Al final del primer segundo, el cuerpo
habra cado 4,9 m y tendra una velocidad de 9,8 m/s. Al final del
siguiente segundo, el mismo cuerpo habra cado 19,6 m y tendra una
velocidad de 19,6 m/s.
Llamamos Cada Libre de un cuerpo al movimiento acelerado donde
la aceleracin es la de la gravedad y carece de velocidad inicial.
En cuanto a las ecuaciones propias del movimiento, no son nuevas,
sino tuneadas, del MRUV (aceleracin por gravedad, distancia por
atura altura h y teniendo en cuenta que la Vo es 0).
a = gVo = 0
Vf = .g.t (Ecuacin de posicin)
Vf = g.t (Ecuacin de velocidad)
Vf = 2.g.y
Si la cada del cuerpo se realiza con una Vo, es decir se lo
empuja inicialmente hacia abajo, ya no se la denomina Cada Libre,
sino simplemente Cada del cuerpo. Tampoco tendremos nuevas
ecuaciones. Sabs de donde las sacamos? SIII!!!!! Tuneando las del
MRUV (aceleracin por gravedad y distancia por atura altura h,
teniendo en cuenta que la Vo ya no es 0).
a = gVo 0
Vf = yo + Vo.t + .g.t (Ecuacin de posicin)
Vf = Vo + g.t (Ecuacin de velocidad)
Vf = Vo + 2.a.yFijate que parecidas son a las del Tiro
Vertical.TIRO PARABLICO Otro tipo de movimiento sencillo que se
observa frecuentemente es el de un cuerpo que se lanza al aire
formando un ngulo con la horizontal. Debido a la gravedad, el mvil
experimenta una aceleracin constante dirigida hacia abajo que
primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tena al
principio (hasta la altura mxima) y despus aumenta su velocidad
hacia abajo mientras cae hacia el suelo.Por otro lado, la
componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante
(si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la
pelota se desplace a velocidad constante en direccin horizontal
hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal
del movimiento son independientes, y se pueden analizar por
separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parbola, cuya
ecuacin es:
Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los
ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras
que en el eje x como M.R.U.
En eje x:
Vx = constante
a = 0
ECUACIONES En eje y:
a = gVo 0
TIEMPO DE VUELO ALCANCE MXIMO ALTURA MXIMA
Ejemplo: Tiro oblicuo
Un jugador de ftbol efecta un saque de arco. La pelota pica en
la cancha 60 m ms adelante y 4 segundos despus de haber partido.
Hallar la velocidad de la pelota en el punto ms alto y con qu
velocidad llega a tierra.
Cuntas ecuaciones horarias describen este problema? Tres, como
todo T.O. Para hallarlas basta con reemplazar las constantes (to ,
xo , yo , Vx , Voy , y g) de las ecuaciones generales de los tiros
oblicuos:
x = xo + Vx ( t to )y = yo + Voy ( t to ) + g ( t to )Vy = Voy+
g ( t to )
En el esquema, en el globito que habla del punto 0, estn todas
las constantes que necesitamos para armar las ecuaciones que
describen el movimiento del cuerpo.
x = Vx. ty = Voy. t 5 m/s . t
Vy = Voy 10 m/s . t
x1 = Vx . t1y1 = Voy . t1 5 m/s . t10 m/s = Voy 10 m/s . t160 m
= Vx . 4 s0 m = Voy. 4 s 5 m/s . 16 s V2y = Voy 10 m/s . 4 sMODELOS
DE ECUACIONES HORARIAS(DE TODOS LOS TIPOS DE MOVIMIENTOS QUE
APARECEN EN EL CURSO)Modelo de ecuacin horaria del MRU
x = xo + V ( t to )Modelos de ecuaciones horarias del MRUV
x = xo + Vo ( t to ) + a ( t to )2
V = Vo + a ( t to )Modelos de ecuaciones horarias de los
movimientos libres verticales (MLV)
y = yo + Vo ( t to ) + g ( t to )2
V = Vo + g ( t to )
Modelos de ecuaciones horarias del TIRO OBLICUO (T.O.)
x = xo + Vx ( t to )
y = yo + Voy ( t to ) + g ( t to )
Vy = Voy+ g ( t to )
Si mirs todas las variables de cada ecuacin, vas a ver que se
trata de una sola ecuacin, la del MRUV. La del MRU es la misma pero
con la aceleracin igual a cero.
PREGUNTAS CONCEPTUALES
1)Cul de los dos movimientos representados tiene mayor
velocidad?, por qu?
Respuesta:
El movimiento 1 es el ms rpido (teniendo en cuenta que se
comparan en la misma grfica).
Porque V = x/t
Para el caso 1: V 1 = x1/t1Para el caso 2: V 2 = x2/t2Para
compara hacemos t = t1 = t2.
Entonces para un mismo lapso de tiempo notamos que x1 >
x2.
2) Es cierto que si en un movimiento rectilneo uniforme la
velocidad es el doble que en otro, la grfica x = f(t), trazada en
un mismo par de ejes, tiene el doble de pendiente que en el primer
caso?, por qu?
Respuesta:
Si, ya que: V = x / t
Si V1 = x1 / t1.
Si V2 = x2 / t2.
Por ejemplo para V1 sea el doble que V 2 significa que:
V1 = 2.V2Para compara hacemos t1 = t2.
Reemplazamos:
V1 = x1 / t1 (pendiente del movimiento 1).
V2 = x2 / t1 (pendiente del movimiento 2).
Aplicamos la igualdad:
V1 = 2. V 2x1 / t1 = 2.x2 / t1x1 = 2.x2Nos dice que recorre el
doble de espacio en el mismo lapso de tiempo.
3) En un grfico x vs t: Qu relacin existe entre su pendiente y
la tangente trigonomtrica?
Respuesta
La pendiente es la razn entre el desplazamiento en el eje "x" y
el perodo de tiempo en el eje "t" entre dos punto de la grfica de
velocidad.
Esta grfica tiene una inclinacin determinada por un ngulo (), la
tangente de es la velocidad.
tg = x / t = V.PREGUNTAS: PARA PENSAR MAS!!!
Un cuerpo apoyado sobre una mesa... est sometido a la aceleracin
de la gravedad?
Se podr demostrar que las dos ecuaciones que escrib en este
apunte son la misma? Entonces... ser que cada movimiento tiene una
y solo una ecuacin horaria que lo describe... pero esa ecuacin
horaria se puede escribir de infinitas formas diferentes?
Qu movimientos de la naturaleza conocs, que sean MRU?
Puede un cuerpo arrancar desde el reposo e ir cada vez ms rpido
con una aceleracin negativa? (Ojo, que la respuesta es SI). Qu tipo
de movimiento es la cada de los cuerpos? Cuando un cuerpo cae
libremente, cmo varia su velocidad? Cuando un cuerpo cae
libremente, cmo varia su aceleracin? Cmo se produce la cada de los
cuerpos en el vacio?EJERCICIOS
1) A cuntos m/s equivale la velocidad de un mvil que se desplaza
a 72 km/h?Datos:
V = 72 km/h
2) Un mvil viaja en lnea recta con una velocidad media de 1.200
cm/s durante 9 s, y luego con velocidad media de 480 cm/s durante 7
s, siendo ambas velocidades del mismo sentido:
a) cul es el desplazamiento total en el viaje de 16 s?.
b) cul es la velocidad media del viaje completo?.
Datos:
v1 = 1.200 cm/s
t1 = 9 s
v2 = 480 cm/s
t2 = 7 s
a) El desplazamiento es:
x = V . t
Para cada lapso de tiempo:
x1 = (1200 cm/s).9 sx1 = 10800 cm
x2 = (480 cm/s).7 sx2 = 3360 cm
El desplazamiento total es:
Xt = X1 + x2 Xt = 10800 cm + 3360 cm
Xt = 14160 cm = 141,6 m
b) Como el tiempo total es:
tt = t1 + t2 = 9 s + 7 s = 16 s
Con el desplazamiento total recin calculado aplicamos:
V = xt / tt = 141,6 m/16 s v = 8,85 m/s3) Resolver el problema
anterior, suponiendo que las velocidades son de distinto
sentido.
a) Si son de distinto sentido:
Xt = X1 - x2Xt = 10800 cm - 3360 cmXt = 7440 cm = 74,4 m
b)
v = xt/ttv = 74,4 m/16 s v = 4,65 m/s4) En el grfico, se
representa un movimiento rectilneo uniforme, averige grfica y
analticamente la distancia recorrida en los primeros 4 s.
Datos:
v = 4 m/s
t = 4 s
v = x / tx = v . tx = 4 m/s . 4 s
x = 16 m
5) Un mvil recorre una recta con velocidad constante. En los
instantes t1 = 0 s y t2 = 4 s, sus posiciones son x1 = 9,5 cm y x2
= 25,5 cm. Determinar:
a) Velocidad del mvil.
b) Su posicin en t3 = 1 s.
c) Las ecuaciones de movimiento.
d) Su abscisa en el instante t4 = 2,5 s.
e) Los grficos x = f(t) y v = f(t) del mvil.
Datos:
t1 = 0 s
x1 = 9,5 cm
t2 = 4 s
x2 = 25,5 cm
a) Como:
v = x / tv = (x2 - x1) / (t2 - t1)
v = (25,5 cm - 9,5 cm) / (4 s - 0 s)v = 16 cm / 4 s
v = 4 cm/sb) Para t3 = 1 s:
v = x / tx = v.t
x = (4 cm/s).1 sx = 4 cmSumado a la posicin inicial:
x3 = x1 + xx3 = 9,5 cm + 4 cmx3 = 13,5 cmc) x = 4 (cm/s).t + 9,5
cm
d) Con la ecuacin anterior para t4 = 2,5 s:
x4 = (4 cm/s).t4 + 9,5 cmx4 = (4 cm/s).2,5 s + 9,5 cmx4 = 19,5
cm
6) Una partcula se mueve en la direccin del eje x y en sentido
de los x > 0. Sabiendo que la velocidad es 2 m/s, y su posicin
es x0 = -4 m, trazar las grficas x = f(t) y V = f(t).
Datos:
v = 2 m/s
x0 = -4 m
7) Un auto parte del reposo, a los 5 s posee una velocidad de 90
km/h, si su aceleracin es constante, calcular:
a) Cunto vale la aceleracin?
b) Qu espacio recorri en esos 5 s?
c) Qu velocidad tendr los 11 s?
Datos:
v0 = 0 km/h = 0 m/s
vf = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m / 1 km).(1 h / 3600 s) = 25
m/s
t = 5 s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + a.t
(2) x = v0.t + a.t / 2
a) De la ecuacin (1):
vf = a.tt =vf/a
a = (25 m/s)/(5 s)a = 5 m/s
b) De la ecuacin (2):
x = v0.t + a.t /2 = a.t /2 = (5 m/s ).(5 s) / 2x = 62,5 mc) para
t = 11 s aplicamos la ecuacin (1):
vf = (5 m/ ).(11 s)vf = 55 m/s8) Un motociclista parte del
reposo y tarda 10 s en recorrer 20 m. Qu tiempo necesitar para
alcanzar 40 km/h?.
Datos:
V0 = 0 m/s
t = 10 s
x = 20 m
Vf2 = 40 km/h = (40 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 11,11
m/s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + a.t
(2) x = v0.t + a.t /2
De la ecuacin (1):
vf = a.tt =Vf/a (3)
Reemplazando (3) en (2):
x = (vf / t).t / 2= vf.t / 2 = 2.x / t = 2.(20 m)/(10 s)vf = 4
m/s
Con ste dato aplicamos nuevamente la ecuacin (1):
a = (4 m/s) / (10 s)a = 0,4 m/s
Finalmente con la aceleracin y la velocidad final dada:
Vf2 = v0 + a.t = a.tt = Vf2/a = (11,11 m/s)/(0,4 m/s )t = 27,77
s9) Un mvil se desplaza con MUV partiendo del reposo con una
aceleracin de 51840 km/h , calcular:
a) Qu velocidad tendr los 10 s?
b) Qu distancia habr recorrido a los 32 s de la partida?.
c) Representar grficamente la velocidad en funcin del
tiempo.
Datos:
V0 = 0 km/h = 0 m/s
a = 51840 km/h = (51840 km/h ).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s).(1
h/3600 s) = 4 m/s
t1 = 10 s
t2 = 32 s
Ecuaciones:
(1) Vf = V0 + a.t
(2) x = V0.t + a.t / 2
a) De la ecuacin (1):
Vf = (4 m/s ).(10 s)Vf = 40 m/sb) De la ecuacin (2):
x = (4 m/s ).(32 s) / 2x = 2048 mc)
10) Un automvil parte del reposo con una aceleracin constante de
30 m/s , transcurridos 2 minutos deja de acelerar y sigue con
velocidad constante, determinar:
a) Cuntos km recorri en los 2 primeros minutos?b) Qu distancia
habr recorrido a las 2 horas de la partida?Datos:
v0 = 0 m/s
a = 30 m/s
t1 = 2 min = 120 s
t2 = 2 h = 7200 s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + a.t
(2) x = v0.t + a.t /2
a)
De la ecuacin (2):
x1 = (30 m/s ).(120 s) /2 = 216000 m x1 = 216 kmb)
De la ecuacin (1) hallamos la velocidad a los 2 min:
vf = (30 m/s ).(120 s)vf = 3600 m/s
A partir de ahora la velocidad es constante, por lo tanto:
v = 3600 m/s
pero vf = v0 para la segunda parte y para un tiempo de:
t = t2 - t1t = 7200 s - 120 st = 7080 s
Primero calculamos la distancia recorrida con una velocidad
constante:
x2 = v.tx2 = (3600 m/s).(7080 s) = 25488000 mx2 = 25488 km
Ahora calculamos la distancia recorrida durante los 7200 s
sumando ambas distancias:
x = x1 + x2 = 216000 m + 25488000 m = 25704000 m x = 25704 km11)
Un mvil que se desplaza con velocidad constante, aplica los frenos
durante 25 s, y recorre una distancia de 400 m hasta detenerse.
Determinar:
a) Qu velocidad tena el mvil antes de aplicar los frenos?.
b) Qu desaceleracin produjeron los frenos?.
Datos:
t = 25 s
x = 400 m
vf = 0 m/s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + a.t
(2) x = v0.t + a.t /2
a) De la ecuacin (1):
vf = v0 + a.t0 = v0 + a.ta = -v0/t (3)
Reemplazando (3) en (2):
x = v0.t + a.t /2 = v0.t + (-v0/t).t /2 = v0.t - v0.t/2 =
v0.t/2v0 = 2.x/t
vf = 2.(400 m)/(25 s)vf = 32 m/s
b) Con ste dato aplicamos nuevamente la ecuacin (1):
a = (-32 m/s)/(25 s)a = -1,28 m/s 12) Un auto marcha a una
velocidad de 90 km/h. El conductor aplica los frenos en el instante
en que ve el pozo y reduce la velocidad hasta 1/5 de la inicial en
los 4 s que tarda en llegar al pozo. Determinar a qu distancia del
obstculo el conductor aplico los frenos, suponiendo que la
aceleracin fue constante.
Datos:
v0 = 90 km/h = (90 km/h).(1000 m/1 km).(1 h/3600 s) = 25 m/s
vf = 0,2.25 m/s = 5 m/s
t = 4 s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + a.t
(2) x = v0.t + a.t /2
De la ecuacin (1):
vf = v0 + a.ta = (vf - v0)/t
a = (25 m/s - 5 m/s)/(4 s)a = 5 m/s
Con la aceleracin y la ecuacin (2):
x = (25 m/s).(4 s) + (5 m/s ).(4 s) /2x = 60 m13) Un automvil
parte del reposo con una aceleracin constante de 3 m/s ,
determinar:
a) Qu velocidad tendr a los 8 s de haber iniciado el
movimiento?.
b) Qu distancia habr recorrido en ese lapso?.
Datos:
a = 3 m/s
t = 8 s
v0 = 0 m/s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + a.t
(2) x = v0.t + a.t /2
a) De la ecuacin (1):
vf = (3 m/s ).(8 s)vf = 24 m/s
b) De la ecuacin (2):
x = (3 m/s ).(8 s) /2x = 96 m14) Grafique, en el movimiento de
frenado de un auto, V = f(t). Suponga a = -1 m/s y V0 = 10 m/s. Del
grfico calcule el tiempo que demora en detenerse.
Datos:
a = -1 m/s
v0 = 10 m/s
Como la aceleracin es la pendiente de la recta:
t = 10 s15) Un mvil se desplaza sobre el eje "x" con movimiento
uniformemente variado. La posicin en el instante t0 = 0 s es x0 =
10 m; su velocidad inicial es v0 = 8 m/s y su aceleracin a = -4 m/s
. Escribir las ecuaciones horarias del movimiento; graficar la
posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo; y calcular
(a) la posicin, (b) velocidad y (c) aceleracin para tf = 2 s.
Datos:
t0 = 0 s
x0 = 10 m
v0 = 8 m/s
a = -4 m/s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + a.t
(2) x = v0.t + a.t / 2
Las ecuaciones horarias son:
vf = 8 m/s + (-4 m/s ).t
x = 10 m + (8 m/s).t+ (-4 m/s ).t / 2
a) x = 18 m
b) vf = 0 m/s
c) 0 m/s
Empleando las ecuaciones horarias para t = 2 s:
16) Analizar los movimientos rectilneos a y b representados en
las siguientes grficas:
Si la posicin en t = 0 es 5 m para el movimiento a y 50 km para
el b, expresar analticamente las ecuaciones del movimiento a partir
de los datos incluidos en las grficas.
Datos:
x0a = 5 m
x0b = 50 km
Es un movimiento uniformemente desacelerado.
La aceleracin se obtiene de la pendiente de cada recta.
Las ecuaciones para (a) son:
vf = 20 m/s + (-2,67 m/s ).t
x = 5 m + (20 m/s).t + (-2,67 m/s ).t /2
Las ecuaciones para (b) son:
vf = 200 km/h + (-20 km/h ).t
x = 50 km + (200 km/h).t + (-20 km/h ).t /2
17) Grafique x = f(t) para un mvil que parte de x = 6 m con v0 =
2 m/s y a = -0,2 m/s .
Datos:
x = 6 m
v0 = 2 m/s
a = -0,2 m/s
Las ecuaciones horarias son:
vf = 2 m/s + (-0,2 m/s ).t
x = 6 m + (2 m/s).t + (-0,2 m/s ).t /2x = 6 m + (2 m/s).t - (0,1
m/s ).t
t (s)x (m)
06
17,9
29,6
311,1
412,4
18) Determinar grficamente la aceleracin en los siguientes
grficos:
En los tres primeros grficos es nula. El grfico inferior derecho
no es funcin.
19) De estos dos grficos, cul representa el movimiento ms veloz?
y por qu?
Para analizar o comparar grficos siempre se debe tener en cuenta
lo que se representa en cada eje, as como la escala y las unidades
en cada eje.
Son grficos de posicin en funcin del tiempo y se representan
rectas, por lo tanto se trata de dos movimientos con velocidad
constante, en ste caso la pendiente de la recta es la velocidad,
para el caso:
v = x / t
v1 = x1 / t1v1 = 10 m / 4 sv1 = 2,5 m/s
v2 = x2 / t2v2 = 10 m / 2 sv2 = 5 m/s
El grfico (2) representa un movimiento ms veloz.
20) Cul de los dos movimientos representado, el (1) o el (2),
tiene mayor velocidad?, por qu?
Para analizar o comparar grficos siempre se debe tener en cuenta
lo que se representa en cada eje, as como la escala y las unidades
en cada eje.
Como no tiene los ejes graduados no se puede emitir un
resultado.
21) Hallar las pendientes de las tres rectas, expresndolas en
las unidades correspondientes, luego analice si es correcto
graficar a la izquierda del eje vertical.
v1 = x1 / t1v1 = (x1f - x10) / (t1f - t10)v1 = (40 km - 0 km) /
(1 h - 0 h)v1 = 40 km/hv2 = x2/t2v2 = (x2f - x20) / (t2f - t20)v2 =
(10 km - 2 km) / ( 4 s - 0 s)v2 = 2 km/sv3 = x3 / t3v3 = (x3f -
x30) / (t3f - t30)v3 = (0 m - 12 m) / ( 8 s - 0 s)v3 = -1,5 m/sNo
se puede graficar a la izquierda del eje vertical, no existe el
tiempo negativo.
22) Un piloto, volando horizontalmente a 500 m de altura y 1080
km/h, lanza una bomba. Calcular:
a) Cunto tarda en or la explosin?.
b) A qu distancia se encontraba el objetivo?.
Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento
en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es
uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre).
Donde no se indica se emplea g = 10 m/s .
Datos:
vx = 1080 km/h = 300 m/s g = 10 m/s .
v0y = 0 m/s
h = 500 m
Ecuaciones:
(1) v fy = v0y + g.t
(2) h = v0y.t + g.t /2
(3) vx = x/t
El grfico es:
El tiempo que tarda en caer la bomba lo calculamos de la ecuacin
(2):
t = 10 s
La distancia recorrida por la bomba a lo largo del eje "x"
ser:
vx = x/tx = vx.tx = (300 m/s).(10 s)x = 3000 mEs la respuesta al
punto (b).
En el mismo instante que la bomba toca el suelo el avin pasa
sobre ella, es decir 500 m sobre la explosin.
Si la velocidad del sonido es 330 m/s:
vx = x/tt = x/vxt = (500 m)/(330 m/s)t = 1,52 s
La respuesta al punto (a) es:
t = 10s + 1,52 st = 11,52 s23) Un avin que vuela a 2000 m de
altura con una velocidad de 800 km/h suelta una bomba cuando se
encuentra a 5000 m del objetivo. Determinar:
a) A qu distancia del objetivo cae la bomba?.
b) Cunto tarda la bomba en llegar al suelo?.
c) Dnde esta el avin al explotar la bomba?.
Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento
en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es
uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre).
Donde no se indica se emplea g = 10 m/s .
Datos:
vx = 800 km/h = 222,22 m/s
v0y = 0 m/s
h = 2000 m
d = 5000 m
Ecuaciones:
(1) v fy = v0y + g.t
(2) h = v0y.t + g.t /2
(3) vx = x/t
El grfico es:
a) Primero calculamos el tiempo que demora en caer, de la
ecuacin (2):
h = g.t /2t = 2.h/g
t = 20 s
Luego con la ecuacin (3) obtenemos el punto de impacto:
vx = x/tx = vx.tx = (222,22 m/s).(20 s)x = 444,44 m
Por lo tanto el proyectil cae a:
d = 5000 m - 444,44 md = 555,55 mb) Es el tiempo hallado
anteriormente:
t = 20 sc) Sobre la bomba, ambos mantienen la misma velocidad en
el eje "x".
24) Un proyectil es disparado desde un acantilado de 20 m de
altura en direccin paralela al ro, ste hace impacto en el agua a
2000 m del lugar del disparo. Determinar:
a) Qu velocidad inicial tena el proyectil?.
b) Cunto tard en tocar el agua?.
Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento
en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es
uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre).
Donde no se indica se emplea g = 10 m/s .
Datos:
v0y = 0 m/s
h = 20 m
d = 2000 m
Ecuaciones:
(1) v fy = v0y + g.t
(2) h = v0y.t + g.t /2
(3) vx = x/t
El grfico es:
a) De la ecuacin (3) despejamos el tiempo:
t = x/vx (4)
y reemplazamos la (4) en la (2):
vx = 1000 m/sb) De la ecuacin (4):
t = x/vxt = (2000 m)/(1000 m/s)t = 2 s25) Una pelota esta
rodando con velocidad constante sobre una mesa de 2 m de altura, a
los 0,5 s de haberse cado de la mesa esta a 0,2 m de ella.
Calcular:
a) Qu velocidad traa?.
b) A qu distancia de la mesa estar al llegar al suelo?.
c) Cul era su distancia al suelo a los 0,5 s?.
Se recuerda que en tiro parablico y tiro oblicuo el movimiento
en el eje "x" es rectilneo uniforme, mientras en el eje "y" es
uniformemente variado (asociar con tiro vertical y cada libre).
Datos:
v0y = 0 m/s
h = 2 m
t = 0,5 s
d = 0,2 m
Ecuaciones:
(1) v fy = v0y + g.t
(2) h = v0y.t + g.t /2
(3) vx = x/t
El grfico es:
a) De la ecuacin (3):
vx = (0,2 m)/(0,5 s)vx = 0,4 m/sb) De la ecuacin (2) hallamos el
tiempo que tarda en caer:
h = g.t /2t = 2.h/gReemplazamos en la ecuacin (3):
x = 0,253 mc) Aplicando la ecuacin (2) obtenemos la distancia
recorrida:
h = g.t /2h = (10 m/s ).(0,5 s) /2
h = 1,25 m
Por lo tanto estar a 0,75 m del suelo.
26) Se dispara un perdign con un rifle de aire comprimido, desde
lo alto de una colina. El proyectil parte con una velocidad de 50
m/s, en una direccin que forma un ngulo de 37 con la horizontal,
despreciando el rozamiento, determinar:
a) La posicin del perdign a los 2 s, 5 s y 8 s despus de haber
partido, respectivamente y representar en un diagrama X-Y.
b) Las componentes de los vectores velocidad en los instantes
anteriores, representar dichos vectores, en el diagrama anterior,
en las cuatro posiciones conocidas.
c) Instante, posicin y velocidad en el momento en que se
encuentra al mismo nivel que el de partida.
d) Sin hacer cuentas, justifique entre que instantes de los
especificados cree Ud. que el proyectil alcanzar la mxima altura,
qu velocidad tendr all?, calclelo ahora y verifique su
hiptesis.
e) Con toda la informacin anterior, dibujar la trayectoria del
proyectil y escribir la ecuacin de la misma.
Respuesta: a) (80 m;40,4 m), (200 m;27,5 m) y (320 m;-73,6 m) b)
(40 m/s;10,4 m/s), (40 m/s;-19 m/s) y (40 m/s;-48,4 m/s) c) 6,12 s;
(244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s) d) 3,06 s y 0 m/s e) 0,75.x -
0,003.x/m
27) Desarrollar el problema anterior para un ngulo de partida de
53.
Respuesta: a) (60 m;60,4 m), (150 m;77,5 m) y (240 m;6,4 m) b)
(30 m/s;20,4 m/s), (30 m/s;-9 m/s) y (30 m/s;-38,4 m/s) c) 8,16 s;
(244,8 m;0 m) y (40 m/s;-60 m/s) d) 4,08 s y 0 m/s e) 1,33.x -
0,005.x/m
28) Un gato maulla con ganas, instalado sobre un muro de 2 m de
altura, Pedro est en su jardn, frente a l y a 18 m del muro, y
pretende ahuyentarlo arrojndole un zapato. El proyectil parte con
una velocidad de 15 m/s, formando un ngulo de 53 con la horizontal,
desde una altura de 1,25 m, determinar:
a) A qu distancia por encima de donde estaba el gato pas el
zapato?
b) A qu distancia al otro lado del muro lleg el zapato?
Respuesta: a) 3,65 m b) 4,95 m
29) Un jugador de ftbol efecta un saque de arco, la pelota pica
en la cancha 60 m ms adelante y 4 s despus de haber partido. Hallar
la velocidad de la pelota en el punto ms alto y con que velocidad
llega a tierra.
Respuesta: a) 15 m/s b) (15 m/s;-19,6 ms)
30) Susana arroja horizontalmente su llavero desde la ventana de
su departamento, y Gerardo lo recibe a 1,2 m de altura sobre el
piso, 0,8 s despus. Sabiendo que Gerardo se encuentra a 4,8 m del
frente de la casa de Susana, hallar:
a) A qu altura del piso parti el llavero?b) Con qu velocidad
lleg a las manos de Gerardo?Respuesta: a) 4,34 m b) (6; -7,84)
m/s
31) Un esquiador que se desliza por una rampa inclinada 30 llega
al borde con cierta velocidad. Luego de un segundo de vuelo libre,
retoma la pista, ms abajo, 4,33 m delante del borde de la rampa.
Determinar:
a) Qu velocidad tena en el borde de la rampa?b) Con qu velocidad
lleg a la pista?.
c) Qu desnivel haba entre el borde de la rampa y la pista?.
Respuesta: a) 5 m/s b) 7,4 m c) (4,33; -12,3) m/s
32) Un ejecutivo aburrido se entretiene arrojando
horizontalmente bollos de papel, desde una altura de 1,2 m, hacia
el cesto que tiene 2 m frente a l al otro lado del escritorio, para
esto debe superar la esquina del escritorio que se encuentre a 75
cm sobre el piso y a 1 m delante de l, teniendo en cuenta que el
cesto tiene 40 cm de alto por 40 cm de dimetro, determinar entre qu
valores debe encontrarse la velocidad de partida de un bollo para
que ingrese en el cesto.
Respuesta: (5,5 0,5) m/s
33) Un malabarista muestra su destreza, manteniendo
continuamente en el aire cuatro platos, los recibe con su mano
izquierda, a 80 cm del piso, y los lanza con su mano derecha, desde
la misma altura y a 1,2 m de donde los recibi. Los platos alcanzan
una altura mxima de 4 m sobre el nivel del piso, hallar:
a) Con qu velocidad los arroja?.
b) Con qu velocidad pasan por el punto ms alto?.
c) Si tarda 0,2 s en pasarlos de una mano a otra, estimar cada
cunto tiempo recibe un plato.
Respuesta: a) (0,74; 7,92) m/s b) (0,74; 0) m/s c) 0,46
34) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una
velocidad inicial de 7 m/s.
a) Cul ser su velocidad luego de haber descendido 3 s?.
b) Qu distancia habr descendido en esos 3 s?.
c) Cul ser su velocidad despus de haber descendido 14 m?.
d) Si el cuerpo se lanz desde una altura de 200 m, en cunto
tiempo alcanzar el suelo?.
e) Con qu velocidad lo har?.
Datos:
v0 = 7 m/s
t = 3 s
y = 200 m
h = 14 m
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + g.t
(2) y = v0.t + g.t /2
(3) vf - v0 = 2.g.h
a) De la ecuacin (1):
vf = (7 m/s) + (10 m/s ).(3 s)vf = 37 m/sb) De la ecuacin
(2):
h = (7 m/s).(3 s) + (10 m/s ).(3 s) /2 h = 66 mc) De la ecuacin
(3):
vf = 18,14 m/sd) De la ecuacin (2):
0 = v0.t + g.t /2 - y
Aplicamos la ecuacin cuadrtica que dar dos resultados:
t1 = 5,66 st2 = -7,06 s (NO ES SOLUCION)
e) De la ecuacin (3):
vf = 63,63 m/s35) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba
con una velocidad inicial de 100 m/s, luego de 4 s de efectuado el
lanzamiento su velocidad es de 60 m/s.
a) Cul es la altura mxima alcanzada?.
b) En qu tiempo recorre el mvil esa distancia?.
c) Cunto tarda en volver al punto de partida desde que se lo
lanzo?.
d) Cunto tarda en alcanzar alturas de 300 m y 600 m?.
Datos:
v0 = 100 m/s
vf = 60 m/s
t = 4 s
y1 = 300 m
y2 = 600 m
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + g.t
(2) y = v0.t + g.t /2
(3) vf - v0 = 2.g.h
a) Para la altura mxima vf = 0, de la ecuacin (3):
-v0 = 2.g.hh mx = -vf /(2.g) h mx = -(100 m/s) /[2.(-10 m/s
)]
h mx = 500 mb) De la ecuacin (1) y para vf = 0:
t = v0/g
t = (-100 m/s)/(-10 m/s )
t = 10 sc) Recordemos que en tiro vertical, cuando un objeto es
lanzado hacia arriba y luego cae, cuando vuelve a pasar por el
punto de partida posee la misma velocidad que en el momento del
lanzamiento pero con sentido contrario (vf = -v0).
Podemos asegurar que el resultado pedido es el doble del tiempo
que requiri para alcanzar la altura mxima.
t = 20 se) No puede alcanzar una altura de 600 m porque la mxima
es de 500 m. Para h = 300 m empleamos la ecuacin (2):
0 = v0.t + g.t /2 - y
Aplicamos la ecuacin cuadrtica que dar dos resultados:
t1 = 3,68 st2 = 16,32 s (NO ES SOLUCION)
36) Un auto choca a 60 km/h contra una pared slida, desde qu
altura habra que dejarlo caer para producir el mismo efecto?.
Usar g = 10 m/s .
Datos:
vf = 60 km/hvf = 16,67 m/s
v0 = 0 m/s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + g.t
(2) y = v0.t + g.t /2
(3) vf - v0 = 2.g.h
De la ecuacin (3):
vf /2.g = hh = (16,67 m/s) /[2.(-10 m/s )]h = 13,9 m37) Se lanza
una pelota de tenis hacia abajo desde una torre con una velocidad
de 5 m/s.
a) Qu velocidad tendr la pelota al cabo de 7 s?.
b) Qu espacio habr recorrido en ese tiempo?.
Datos:
v0 = 5 m/s
t = 7 s
Ecuaciones:
(1) vf = v0 + g.t
(2) y = v0.t + g.t /2
(3) vf - v0 = 2.g.h
a) De la ecuacin (1):
vf = 5 m/s + (10 m/s ).(7 s)vf = 75 m/sb) De la ecuacin (2):
y = (5 m/s).(7 s) + (1/2).(10 m/s ).(7 s) y = 280 m
38) Desde el balcn de un edificio se deja caer una manzana y
llega a la planta baja en 5 s.
a) Desde qu piso se dejo caer, si cada piso mide 2,88 m?.
b) Con qu velocidad llega a la planta baja?.
Respuesta: a) 43 b) 50 m/s
39) Se deja caer una piedra en un pozo y al cabo de 10 s se oye
el choque contra el fondo, si la velocidad del sonido es de 330
m/s, cul es la profundidad del pozo?.
(1) vf = g.t
(2) h = g.t /2
El tiempo es el tiempo total, es decir el que tarda la piedra en
caer mas el que tarda el sonido en llegar hasta el punto de partida
de la piedra:
t = tp + ts = 10 s ts = 10 s - tp (3)
La distancia que recorre el sonido es igual a la distancia que
recorre la piedra:
hT = hs = hp (4) Para el sonido:
vs = hs/tshs = vs.ts (5)
Para la piedra
hp = g.tp /2 (6)
Igualando (5) y (6):
vs.ts = g.tp /2 (7)
Reemplazando (3) en (7):
Reemplazando por los datos:
Resolvemos la ecuacin cuadrtica:
tp2 lo descartamos porque el tiempo negativo no existe. En la
ecuacin (6) reemplazamos con tp1 y resolvemos:
hp = 383,3 m
Respuesta: 383,3 m40) A un cuerpo que cae libremente se le mide
la velocidad al pasar por los puntos A y B, siendo estas de 29,42
m/s y 49,02 m/s respectivamente. Determinar:
a) Cunto demor en recorrer la distancia entre A y B ?.
b) Cul es la distancia entre A y B ?.
Respuesta: a) 2 s b) 78,44 m/s
41) Un cuerpo cae libremente desde un avin que viaja a 1,96 km
de altura, cunto demora en llegar al suelo?Respuesta: 19,8 s
42) A un cuerpo que cae libremente se le mide la velocidad al
pasar por los puntos A y B, siendo estas de 25 m/s y 40 m/s
respectivamente. Determinar:
a) Cunto demor en recorrer la distancia entre A y B ?.
b) Cul es la distancia entre A y B ?.
c) Cul ser su velocidad 6 s despus de pasar por B ?.
Respuesta: a) 1,5 s b) 48,75 m c) 100 m/s43) Si se deja caer una
piedra desde la terraza de un edificio y se observa que tarda 6 s
en llegar al suelo. Calcular:
a) A qu altura estara esa terraza.
b) Con qu velocidad llegara la piedra al piso.
Respuesta: a) 180 m b) 60 m/s
44) De qu altura cae un cuerpo que tarda 4 s en llegar al
suelo?.
Respuesta: 80 m
45) Desde qu altura debe caer el agua de una presa para golpear
la rueda de una turbina con velocidad de 30 m/s?.
Respuesta: 45 m
ALCANCE Y ENCUENTRO
1) En una esquina, una persona ve como un muchacho pasa en su
auto a una velocidad de 20 m/s. Diez segundos despus, una patrulla
de la polica pasa por la misma esquina persiguindolo a 30 m/s.
Considerando que ambos mantienen su velocidad constante, resolver
grfica y analticamente:
a) A qu distancia de la esquina, la polica alcanzar al
muchacho?
b) En qu instante se produce el encuentro?
Respuesta: a) 600 m b) 30 s
2) En un instante pasa por A un cuerpo con movimiento rectilneo
uniforme de 20 m/s. Cinco segundos despus, pasa en su persecucin,
por el mismo punto A,otro cuerpo animado de movimiento rectilneo
uniforme, de velocidad 30 m/s. Cundo y dnde lo alcanzar?, resolver
grfica y analticamente.
Respuesta: a) 200 m b) 15 s
3) Un mvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de
80 km/h, en el mismo instante sale de la localidad B hacia A otro a
60 km/h, A y B se encuentran a 600 km. Calcular:
a) A qu distancia de A se encontraran?.
b) En qu instante se encontraran?.
Respuesta: a) 342,8 m b) 4,285 h
4) Un mvil sale de una localidad A hacia B con una velocidad de
80 km/h, 90 minutos despus sale desde el mismo lugar y en su
persecucin otro mvil a 27,78 m/s. Calcular:
a) A qu distancia de A lo alcanzar?.
b) En qu instante lo alcanzar?.
Respuesta: a) 600 km b) 7,5 h
5) Dos mviles pasan simultneamente, con M.R.U., por dos
posiciones A y B distantes entre si 3 km, con velocidades va = 54
km/h y vb = 36 km/h, paralelas al segmento AB y del mismo sentido.
Hallar analticamente y grficamente:
a) La posicin del encuentro.
b) El instante del encuentro.
Respuesta: a) 9 km b) 10 min
6) Dos mviles pasan simultneamente, con M.R.U., por dos
posiciones A y B distantes entre si 6 km, con velocidades va = 36
km/h y vb = 72 km/h, paralelas al segmento AB y del sentido
opuesto. Hallar analticamente y grficamente:
a) La posicin del encuentro.
b) El instante del encuentro.
Respuesta: a) 2 km b) 200 s
7) Dos puntos A y B estn separados por una distancia de 180 m.
En un mismo momento pasan dos mviles, uno desde A hacia B y el otro
desde B hacia A, con velocidades de 10 m/s y 20 m/s
respectivamente. Hallar analticamente y grficamente:
a) A qu distancia de A se encontraran?b) El instante del
encuentro.
Respuesta: a) 6 s b) 60 m
8) En una obra en construccin se tira verticalmente hacia arriba
desde los 15 m de altura un martillo con velocidad inicial de 40
m/s, en el mismo momento, a 8 m de altura, sube un montacarga con
velocidad constante de 2 m/s, si el martillo no pudo ser atajado,
cunto tiempo despus y a que altura chocar con el
montacarga?Respuesta: a) 7,93 s b) 23,86 m
9) Se largan dos ciclistas, uno con velocidad constante de 40
km/h, el otro partiendo del reposo con una aceleracin de 1000 km/h
, calcular:
a) Cundo el primer ciclista ser alcanzado por el segundo?.
b) A qu distancia de la salida?.
c) Qu velocidad tendr el segundo ciclista en el momento del
encuentro?.
Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h
10) Un automovilista pasa por un puesto caminero a 120 km/h
superando la velocidad permitida, a los 4 s un polica sale a
perseguirlo acelerando constantemente, si lo alcanza a los 6000 m,
calcular:
a) Cunto dura la persecucin?.
b) Qu aceleracin llevaba el polica?.
c) Qu velocidad tena el polica en el momento del
encuentro?Respuesta: a) 4 min 48 s b) 3,2 km c) 80 km/h
11) Un motociclista detenido en una esquina arranca con
aceleracin de 0,003 m/s. En el mismo momento un automvil lo pasa y
sigue con una velocidad constante de 70 km/h, calcular:
a) Cunto tarda el motociclista en alcanzar al automvil?
b) A qu distancia de la esquina ocurre esto?
Respuesta: a) 3 h 36 min b) 251,94 km
12) El maquinista de un tren que avanza con una velocidad v1
advierte delante de l, a una distancia d, la cola de un tren de
carga que se mueve en su mismo sentido, con un velocidad v2
constante, menor que la suya. Frena entonces, con aceleracin
constante, determinar el mnimo valor del mdulo de dicha aceleracin,
para evitar el choque.
Respuesta: (v1 - v2) /(2.d)
13) Un jugador de ftbol ejecuta un tiro libre, lanzando la
pelota con un ngulo de 30 con respecto a la horizontal y con una
velocidad de 20 m/s. Un segundo jugador corre para alcanzar la
pelota con una velocidad constante, partiendo al mismo tiempo que
ella desde 20 m ms delante de la posicin de disparo. Despreciando
el tiempo que necesita para arrancar, calcular con qu velocidad
debe correr para alcanzar la pelota cuando sta llegue al suelo.
Respuesta: 7,52 m/s
14) En el instante en que un semforo da luz verde, un automvil,
que haba estado detenido en el cruce, arranca recto con una
aceleracin constante de 2 m/s. Al mismo tiempo una camioneta, con
velocidad constante de 10 m/s, le da alcance y lo pasa.
Determinar:
a) A qu distancia de su punto de partida el automvil alcanzar a
la camioneta?b) A qu velocidad lo har?Respuesta: a) 100 m b) 20
m/s
DINAMICA
Estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las
fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una
definicin cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el
tiempo, la velocidad, la aceleracin, la masa y la fuerza.
Isaac Newton demostr que la velocidad de los objetos que caen
aumenta continuamente durante su cada. Esta aceleracin es la misma
para objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta
la resistencia del aire (rozamiento). Newton mejor este anlisis al
definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleracin.
Para los objetos que se desplazan a velocidades prximas a la
velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por
la teora de la relatividad de Albert Einstein. Para las partculas
atmicas y subatmicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por
la teora cuntica. Pero para los fenmenos de la vida diaria, las
tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular
de la dinmica (el estudio de las causas del cambio en el
movimiento).
LAS LEYES DEL MOVIMIENTO DE NEWTONPRIMERA LEY DE NEWTONPrincipio
de Inercia: Todo cuerpo continua en su estado de reposo o
movimiento uniforme y rectilneo a no ser que sea obligado a cambiar
su estado por fuerzas aplicadas sobre l. Este estado se conoce como
EQUILIBRIO.El que la fuerza ejercida sobre un objeto sea cero no
significa necesariamente que su velocidad sea cero. Si no est
sometido a ninguna fuerza, un objeto en movimiento seguir
desplazndose a velocidad constante.
En consecuencia, un cuerpo con movimiento rectilneo uniforme
implica que no existe ninguna fuerza externa neta o, dicho de otra
forma, un objeto en movimiento no se detiene de forma natural si no
se aplica una fuerza sobre l. En el caso de los cuerpos en reposo,
se entiende que su velocidad es cero, por lo que si esta cambia es
porque sobre ese cuerpo se ha ejercido una fuerza neta.
Para que haya equilibrio, las componentes horizontales de las
fuerzas que actan sobre un objeto deben cancelarse mutuamente, y lo
mismo debe ocurrir con las componentes verticales. Recordar: Para
calcular la fuerza total, hay que sumar las fuerzas como
vectores.Primera Condicin de Equilibrio en el plano: La sumatoria
de todas las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo, debe ser nula.
Fx = 0
Fy = 0
Luego enunciaremos la Segunda Condicin de Equilibrio, referida a
los momentos o giros que pueden producir un sistema de fuerzas,
sobre un cuerpo.
SEGUNDA LEY DE NEWTONPrincipio de Masa: el cambio de movimiento
es proporcional a la fuerza motriz aplicada y ocurre segn su recta
de accin.
Si sobre un cuerpo de masa m acta una fuerza F, esta se acelera
con una aceleracin a. Las tres magnitudes anteriores se relacionan
a travs de la ecuacin:
F = m . a
Una fuerza neta ejercida sobre un objeto lo acelerar, es decir,
cambiar su velocidad. La aceleracin ser proporcional a la magnitud
de la fuerza total y tendr la misma direccin y sentido que sta. La
constante de proporcionalidad es la masa m del objeto. La masa es
la medida de la inercia de un cuerpo y es una constante
universal.
Unidades: En el Sistema Internacional de unidades, la aceleracin
a se mide en m/s (metro por segundo cuadrado), la masa m se mide en
kg (kilogramo), y la fuerza F en N (newton).
Un newton se define como la fuerza necesaria para suministrar a
una masa de 1 kg una aceleracin de 1 metro por segundo cada
segundo.
Un objeto con ms masa requerir una fuerza mayor para una
aceleracin dada que uno con menos masa. La masa, mide la inercia de
un objeto (Inercia: su resistencia a cambiar la velocidad, tanto de
mdulo como de direccin)En particular para la fuerza peso:
P = m.g
DIFERENCIAS ENTRE PESO Y MASAEn algunos sistemas de medicin, la
idea de Peso y Masa, tienden a confundirse. Esto tambin se asevera
cuando vemos la definicin: una masa de 1 kg (masa, medido en SI)
tiene un peso de 1 kgf (fuerza, medido en sistema tcnico). Por eso
creo importante mostrarte el siguiente cuadro:MasaPeso
Magnitud EscalarMagnitud Vectorial
Propiedad de un CuerpoFuerza: Interaccin entre dos cuerpos
Invariable con respecto a su posicinVara con respecto a la
posicin relativa con otro cuerpo y el lugar de la Tierra en que se
encuentra (o del Universo)
TERCERA LEY DE NEWTONPrincipio de Accin y Reaccin: si sobre un
cuerpo se aplica una fuerza F, llamada accin, este devolver una
fuerza - F, igual y contraria, llamada reaccin.
Es importante destacar que accin y reaccin, llamadas Par de
Fuerzas, son fuerzas aplicadas sobre distintos cuerpos.
Por ejemplo, en una pista de patinaje sobre hielo, si un adulto
empuja suavemente a un nio, no slo existe la fuerza que el adulto
ejerce sobre el nio, sino que el nio ejerce una fuerza igual pero
de sentido opuesto sobre el adulto. Sin embargo, como la masa del
adulto es mayor, su aceleracin ser menor.
Las tres leyes de Newton nos permiten estudiar el movimiento de
los cuerpos a partir de las fuerzas que actan sobre ellos. Es
necesario que conozcamos cules son esas fuerzas y su descomposicin
segn los ejes en la direccin del movimiento y perpendicular a
l.
Las principales fuerzas que nos vamos a encontrar al estudiar el
movimiento de un cuerpo son: el peso, la Normal y la fuerza de
rozamiento (en este curso no la tendremos en cuenta). Veamos cada
una de ellas por separado.
EL PESO (m . g)
El peso es la fuerza de atraccin gravitatoria que ejerce la
Tierra sobre los cuerpos que hay sobre ella. En la mayora de los
casos se puede suponer que tiene un valor constante e igual al
producto de la masa, m, del cuerpo por la aceleracin de la
gravedad, g, cuyo valor esta considerado como 9.8 m/s2 (promedio de
los puntos de la Tierra)y est dirigida siempre hacia el suelo.
En la figura de la derecha aparecen algunos ejemplos que
muestran hacia donde est dirigido el peso en diferentes
situaciones: un cuerpo apoyado sobre el suelo y un cuerpo que se
mueve por un plano inclinado. El peso siempre tiene sentido hacia
el suelo hacia el suelo.
LA NORMAL (N)Cuando un cuerpo est apoyado sobre una superficie
ejerce una fuerza sobre ella cuya direccin es perpendicular a la de
la superficie. De acuerdo con la Tercera ley de Newton, la
superficie debe ejercer sobre el cuerpo una fuerza de la misma
magnitud y direccin, pero de sentido contrario. Esta fuerza es la
que denominamos Normal y la representamos con N.
En la figura de la izquierda se muestra hacia donde est dirigida
la fuerza normal en los dos ejemplos que aparecan en la figura
anterior para el peso. Como ya hemos dicho, siempre es
perpendicular a la superficie de contacto y est dirigida hacia
arriba, es decir, hacia fuera de la superficie de contacto.
Sobre un plano inclinado, la descomposicin vectorial del P del
cuerpo, genera Px y Py, segn las direcciones tangencial y normal
del plano.
Fuerza normal al plano e igual pero de sentido contrario a la
componente normal al plano, de la fuerza peso.
N = m . g . cos .
CENTRO DE GRAVEDADEn cuanto al tamao o peso del objeto en
movimiento, no se presentan problemas matemticos si el objeto es
muy pequeo en relacin con las distancias consideradas. Si el objeto
es grande, se emplea un punto llamado centro de masas, cuyo
movimiento puede considerarse caracterstico de todo el objeto. Si
el objeto gira, muchas veces conviene describir su rotacin en torno
a un eje que pasa por el centro de masas.
El centro de gravedad o baricentro o centro de masas, es un
punto donde puede suponerse encontrada todo el rea, peso o masa de
un cuerpo y tener ante un sistema externo de fuerzas un
comportamiento equivalente al cuerpo real.
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
A la hora de resolver un problema de Dinmica, lo primero que
hemos de hacer es ver cuales son las fuerzas que actan sobre cada
uno de los cuerpos que aparezcan en el problema. Una vez hecho
esto, representar el Diagrama de cuerpo libre para cada uno de los
cuerpos que haya no es ms que representar para cada cuerpo por
separado las fuerzas que actan sobre l. Veamos un ejemplo de como
hacer esto.
Consideremos el sistema que mostramos en el dibujo, formado por
dos cuerpos A y B apoyados sobre el suelo. Supongamos que sobre A
ejercemos una fuerza F tal como aparece en el dibujo. Suponiendo
que no existe rozamiento, vamos a tratar de calcular la aceleracin
con la que se mueve cada uno de los dos cuerpos.
En primer lugar, tal como hemos dicho antes, hay que ver cuales
son las fuerzas que actan sobre cada cuerpo. Estas fuerzas
sern:
Los pesos de cada uno de los cuerpos, cuyo valor es el producto
de la masa del cuerpo por la aceleracin de la gravedad y que estn
dirigidos hacia abajo.
Las normales sobre cada uno de los cuerpos que estn dirigidas
hacia arriba,
Sobre el cuerpo B la fuerza que A realice sobre l, FAB y sobre
el cuerpo A, debido a la Tercera ley de Newton, la fuerza que B
realizar sobre A como reaccin, FBA. Los sentidos de estas fuerzas
son los que se muestran en el dibujo y sobre el cuerpo A, la fuerza
F que le estamos aplicando nosotros.
Una vez hecho esto, representar los Diagramas de cuerpo libre es
bastante sencillo. Slo hay que ir dibujando para cada cuerpo por
separado, las fuerzas que actan sobre l, tal como se muestra en las
dos figuras siguientes:
El siguiente paso para resolver el problema consiste en hacer
uso de la Segunda ley de Newton para relacionar las fuerzas que
actan sobre cada cuerpo con las aceleraciones de cada uno de ellos.
Como las fuerzas son vectores, habr que aplicar la Segunda ley de
Newton para cada una de las componentes de la fuerza (generalmente
las componentes x e y). Para ello elegiremos un sistema de
referencia. Esto no es ms que decidir que direccin ser el eje x y
cal el eje y y cuales sern los sentidos positivo y negativo. Una
vez decididos cuales sern los ejes de coordenadas, slo tenemos que
escribir la ecuacin F = m.a para cada eje.
Comencemos con el cuerpo A. En primer lugar, vamos a elegir los
ejes de coordenadas. En este caso es fcil hacer la eleccin, el eje
x ser paralelo al suelo y el eje y perpen