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La logique des diagrammes : La logique des diagrammes : médiatrice entre geste et formule?médiatrice entre geste et formule?

• L‘idée de l‘adjonctionL‘idée de l‘adjonctionmusique - mathématiquemusique - mathématique

• Carquois de Gabriel et gestesCarquois de Gabriel et gestes

• Spectroides et formulesSpectroides et formules

• Esquisse de l‘adjonctionEsquisse de l‘adjonction

• LogiqueLogique





• LogiqueLogique

gestegestegestegesteformuleformuleformuleformule

harmonieharmoniede gestesde gestes

~

compositioncompositionde formulesde formules

~musiquemusique

mathématique

mathématique





• LogiqueLogique

vv

xx

ww

yy

gg

ff

hh

kk

Catégorie Catégorie CarquoisCarquois des carquois des carquois(= graphes orientés, schémas de diagrammes, etc.) (= graphes orientés, schémas de diagrammes, etc.)

DD = F V = F Vhh

tt

x = t(f) x = t(f)

y = h(f)y = h(f)

ff

EE = G W = G Wh‘h‘

t‘t‘

u q

DD

CarquoisCarquois((DD,, E E))

: : TopTop CarquoisCarquois: X ~> : X ~> XX

XX : : TopTop((II,, X X) ) X: X: ~> ~> (0), (0), (1)(1)

——00

11

II

positionposition

touchetouche

tempstemps

XX

XX = carquois spatial de X

TopTop((XX,,YY) ) CarquoisCarquois(( ,, ): f~> ): f~> XX

YY

ff

„„morphisme continu“morphisme continu“

Un Un morphisem de gestesmorphisem de gestes est un couple de morphismes est un couple de morphismes(u, ), dont le second est continu qui définit un(u, ), dont le second est continu qui définit undiagramme commutatif: diagramme commutatif:

ff

ff

DD

EE

XX

YY

gg

hh

uu

positionposition

touchetouche

tempstemps

XX

gg

GestesGestes((gg, , hh))catégorie des gestescatégorie des gestes

Un Un gestegeste = = morphisme g: morphisme g: D D de carquoisde carquoisà valeurs dans un carquois spatialà valeurs dans un carquois spatial

XX

Existence de Existence de gestes naturels?gestes naturels?

f(u)f(u)

DD

EE X(X(EE))

g(g(DD))

g(g(EE))

uu

X(X(DD))

Idée: position générale des vertexes, morphismes affinesIdée: position générale des vertexes, morphismes affinesdans dans ——nn





• LogiqueLogique

Spectroides: passage du gestuel aux formulesSpectroides: passage du gestuel aux formules(P. Gabriel, théorie des représentations d‘algèbres, Springer: Enc. of Math. Sci.)(P. Gabriel, théorie des représentations d‘algèbres, Springer: Enc. of Math. Sci.)

k = corps commutatif (pour nous ici k = k = corps commutatif (pour nous ici k = ——) ) k-k-spectroidespectroide SS = catégorie, = catégorie, • k-linéaire: k-linéaire: SS(x,y) = k-vectoriel (x,y) = k-vectoriel

composition de morphismes = k-bilinéairecomposition de morphismes = k-bilinéaire• objets deux-à-deux non-isomorphesobjets deux-à-deux non-isomorphes• k-algèbres A des endomorphismes toutes k-algèbres A des endomorphismes toutes

locales, i.e., non-inversibles = idéal = Rad(A)locales, i.e., non-inversibles = idéal = Rad(A)• conditions de finitude: (dimconditions de finitude: (dimkkSS(x,y) fini)(x,y) fini)

dimdimkkRad(Rad(SS)/Rad)/Rad22((SS) fini) fini

Catégorie des k-spectroides: k-Catégorie des k-spectroides: k-SpSp

ExampleExample typique: B = k-algèbre. typique: B = k-algèbre.

ModModBB : B-modules de k-dimension finie, : B-modules de k-dimension finie,

SpSp(Mod(ModBB) )

Sous-catégorie pleine de ModSous-catégorie pleine de ModBB,,

ObjetsObjets = modules indecomposables injectifs, = modules indecomposables injectifs,unun pour chacque classe d‘isomorphism. pour chacque classe d‘isomorphism.

PropositionProposition (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“) (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“)

Si tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSi tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSpSp(Mod(ModBB) est en bijection avec le ) est en bijection avec le spectre despectre de B B

SpecSpec(B) = {idéaux bilatères premiers}(B) = {idéaux bilatères premiers}(a.I.b (a.I.b I implique a ou b I implique a ou b I)I)

PropositionProposition (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“) (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“)

Si tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSi tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSpSp(Mod(ModBB) est en bijection avec le ) est en bijection avec le spectre despectre de B B

SpecSpec(B) = {idéaux bilatères premiers}(B) = {idéaux bilatères premiers}(a.I.b (a.I.b I implique a ou b I implique a ou b I)I)





• LogiqueLogique

AdjonctionAdjonction

k-k-SpSp CarquoisCarquoisk?k?

CC??

k-k-SpSp(k(kDD, , SS)) CarquoisCarquois((DD, , CCSS))

formulesformules diagrammesdiagrammes

Le foncteur Le foncteur k? k? k-catégorie d‘un carquoisk-catégorie d‘un carquois

DD = F V = F Vhh

tt

Catégorie Ch(Catégorie Ch(DD) des ) des cheminschemins de de DD. .

xx

vv

yy

ww

La La catégorie du carquoiscatégorie du carquois k kDD a les mêmes objets que a les mêmes objets que Ch(Ch(DD), i.e., les vertexes dans V. Elle a comme morphismes ), i.e., les vertexes dans V. Elle a comme morphismes kkDD(x,y)(x,y) les combinaisons k-linéaires de chemins de x à y. les combinaisons k-linéaires de chemins de x à y.

Un morphisme de carquoisUn morphisme de carquois f: f: D D E E définit foncteurdéfinit foncteurCh(f): Ch(f): Ch(Ch(DD)) Ch(Ch(EE),), d‘où d‘où

kf: kf: kkD D kkEE

La La catégorie du carquoiscatégorie du carquois k kDD donne en fait aussi lieu à une k- donne en fait aussi lieu à une k-algèbrealgèbre du carquoisdu carquois, dont l‘espace sous-jacent est, dont l‘espace sous-jacent est

x,yx,y k kDD(x,y)(x,y)

tandis que l‘unité est la somme des identités des objetstandis que l‘unité est la somme des identités des objets

1 = 1 = xx e exx

kkDD//J J définit une catégorie/algèbre quotient, oùdéfinit une catégorie/algèbre quotient, oùJJ est un idéal engendré par des est un idéal engendré par des relations = formules =relations = formules = diagrammes de chemins commutatifsdiagrammes de chemins commutatifs généralisés généralisés, , e.g., Xe.g., X22 = 3 Y = 3 Y33 + 2 X + 2 X

Example: Example: DD ==

kkD D = k= kX,YX,Y = polynômes à coéfficients dans k et les = polynômes à coéfficients dans k et les indéterminées non-commutantes X, Yindéterminées non-commutantes X, Y

XX

YY

Le foncteur Le foncteur CC?? Carquois d‘un spectroideCarquois d‘un spectroide

spectroide spectroide SS

CCSSvv

xx

yy

ww

Objets de Objets de SS

dimdimkk(Rad(x,y)/Rad(Rad(x,y)/Rad22(x,y))(x,y))

Le foncteur „display“ de Gabriel (adjonction)Le foncteur „display“ de Gabriel (adjonction)

k-k-SpSp(k(kDD, , SS) ) CarquoisCarquois((DD, , CCSS))

k-k-SpSp(k(kCCSS, , SS)) CarquoisCarquois((CCSS, ,

CCSS))Id:Id: C CSS CCSSSS:: kkCCSS SS

kkDD k kCCS S SSkfkf SS f:f: DD CCSS

Foncteur displayFoncteur display

Adjonction au niveau des gestes?Adjonction au niveau des gestes?

k-k-SpSp(k(kDD, , SS) ) CarquoisCarquois((DD, , CCSS))

formulesformules

gestesgestes

gg

GestesGestes((g(g(DD)), , g(g(CCSS))))

GG

ForGesForGes(G( k(G( kD)D), , G(G(S)S)))





• LogiqueLogique

La catégorie La catégorie CarquoisCarquois est un topos est un topos

DD = F V = F Vhh

tt= foncteur = foncteur DD:: SetSet

CarquoisCarquois = = @ @ (= ^)(= ^)

D D E E

D D ++ E E

1 1 = =

0 0 = Ø = Ø

CarquoisCarquois(( ,, D DEE)) CarquoisCarquois(( ,, D DEE)) DDEE

= = CarquoisCarquois(V(VEE,, D D))

= = CarquoisCarquois((E E ,, D D))

=

TT

vv

xx

ww

yy

En particulier:Un recouvrementd‘un carquoisest un fait CarquoisCarquois-logique

K-nets,RNA,réseaux globauxsont des constructionsCarquoisCarquois-logique

En particulier:Un recouvrementd‘un carquoisest un fait CarquoisCarquois-logique

K-nets,RNA,réseaux globauxsont des constructionsCarquoisCarquois-logique

classifieur de sous-objetsclassifieur de sous-objets

Sous-carquois et formulesSous-carquois et formules

k-k-SpSp(k(kDD, , ) ) CarquoisCarquois((DD, , ))

SubSub((DD))

= k= k2

CC Les valeurs de vérité diagrammatique Les valeurs de vérité diagrammatique correspondent aux formules définiescorrespondent aux formules définiespar les noyeaux des flèches de spectroides associéspar les noyeaux des flèches de spectroides associés

Les valeurs de vérité diagrammatique Les valeurs de vérité diagrammatique correspondent aux formules définiescorrespondent aux formules définiespar les noyeaux des flèches de spectroides associéspar les noyeaux des flèches de spectroides associés

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