GUÍA MATEMATICAS Estudiante _____________________________________________ CLEI III A Fecha ______________ Logros Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación. Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y dominios numéricos. Indicadores de desempeño Identifico y aplico las propiedades de la potenciación en la resolución de problemas de la cotidianidad Realizo conversiones entre números naturales y potencias Resuelvo ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de potencias teniendo en cuentas las leyes de la potenciación. Relaciono correctamente la potenciación, radicación y logaritmación. Tema: Potenciación La potencia representa el producto que tiene n veces el número a. El número a se llama base y el número n se llama exponente. 3 0 =1 3 1 =3 3 2 = 3 3 = 9 3 3 = 3 3 3 = 27 3 4 = 3 3 3 3 = 81 3 5 = 3 3 3 3 3 = 240 Para convertir un número entero a potencia se debe descomponer el número, la base es el número que se repite y el exponente corresponde a las veces que se repita. Ejemplos:
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GUÍA MATEMATICAS Estudiante CLEI III A Fecha Resuelvo y ...federicosierra.edu.co/images/TALLERVIRTUALMATEMATICASCLE...5. Resuelve las siguientes operaciones aplicando las propiedades
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GUÍA MATEMATICAS
Estudiante _____________________________________________ CLEI III A Fecha ______________
Logros
Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.
Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes contextos y
dominios numéricos.
Indicadores de desempeño
Identifico y aplico las propiedades de la potenciación en la resolución de problemas de la cotidianidad
Realizo conversiones entre números naturales y potencias
Resuelvo ejercicios de suma, resta, multiplicación y división de potencias teniendo en cuentas las leyes
de la potenciación.
Relaciono correctamente la potenciación, radicación y logaritmación.
Tema: Potenciación
La potencia 𝒂𝒏 representa el producto que tiene n veces el número a. El número a se llama base y el número n se llama exponente.
Si la base es diez (10), el exponente expresa la cantidad de ceros que se le deben agregar al uno (1)
𝟏𝟎𝒏 = 𝟏 + 𝒏𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐
102 = 100 104 = 10000
Si la base es negativa el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar, si el exponente es para dará positivo, pero si es impar dará negativo
(−𝒂)𝒏 = {𝒂𝒏 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓
−(𝒂)𝒏 𝒔𝒊 𝒏 𝒆𝒔 𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓
(−𝒂)#𝒑𝒂𝒓 = 𝒃
(−𝒂)#𝒊𝒎𝒑𝒂𝒓 = −𝒃
(−2)4 = 16
(−2)3 = −8
La potencia de un numero diferente de cero elevada a (-1) es igual a su inverso
𝒂−𝟏 =𝟏
𝒂
𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎
𝟒−𝟏 =𝟏
𝟒
La potencia de un numero diferente de cero elevada a (-n) es igual al inverso del número elevado a la (n) (Si el exponente es negativo la base cambia de lugar en una fracción pero con exponente positivo)
𝒂−𝒏 =𝟏
𝒂𝒏
𝟏
𝒂−𝒏= 𝒂𝒏
𝒔𝒊 𝒂 ≠ 𝟎
𝟑−𝟐 =𝟏
𝟑𝟐
𝟏
𝟐−𝟓= 𝟐𝟓
Operaciones con potencias
1. Suma y resta
2. Multiplicación
El producto de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la suma de los exponentes (En la multiplicación de potencias con la misma base se debe colocar la misma base y se suman los exponentes).
𝒂𝒎. 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏
𝟐𝟐𝒙 𝟐𝟑 = 𝟐𝟐+𝟑 = 𝟐𝟓
= 𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐= 𝟑𝟐
𝟓𝟒𝒙 𝟓𝟑𝒙𝟓𝒙𝟓−𝟔
= 𝟓𝟒+𝟑+𝟏−𝟔 = 𝟓𝟐 = 𝟓𝒙𝟓 = 𝟐𝟓
Cuando son bases diferentes pero con el mismo exponente, se multiplican la bases y queda el mismo exponente. La potencia de un producto de factores es igual al producto de las potencias de los factores
𝒂𝒏𝒙 𝒃𝒏 = (𝒂. 𝒃)𝒏
(𝒂. 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏𝒙 𝒃𝒏
𝟑𝟐𝒙𝟐𝟐 = (𝟑𝒙𝟐)𝟐
= 𝟔𝟐 = 𝟔𝒙𝟔= 𝟑𝟔
En la potencia de una potencia se coloca la misma base y se multiplican los exponentes
(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎𝒏
(𝟐𝟐)𝟑 = 𝟐𝟐𝒙𝟑 = 𝟐𝟔
= 𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐𝒙𝟐= 𝟔𝟒
En el producto de monomios y polinomios recordar que se multiplica el monomio por cada término del polinomio
𝒂(𝒃𝒏 ± 𝒄) = 𝒂𝒃𝒏 ± 𝒂𝒄
𝟒(𝟑𝟐 + 𝟐) = 𝟒𝒙𝟑𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 = 𝟒𝒙𝟑𝒙𝟑 + 𝟖 = 𝟑𝟔 + 𝟖 = 𝟒𝟒
3. División o cociente
El cociente de dos potencias con la misma base es la potencia de dicha base y cuyo exponente es la resta de los exponentes (se coloca la misma base y se restan los exponentes, el numerador menos el denominador).
𝒂𝒎
𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒏
𝟒𝟓
𝟒𝟑 = 𝟒𝟓−𝟑
= 𝟒𝟐 = 𝟒𝒙𝟒
= 𝟏𝟔
𝟐𝟐
𝟐𝟑 = 𝟐𝟐−𝟑
= 𝟐−𝟏 =𝟏
𝟐
La potencia de un cociente de números (𝒂
𝒃)
𝒏 es igual al cociente de las
potencias de los números 𝒂𝒏
𝒃𝒏 pero b debe ser diferente de cero.
Si b = 0 el resultado es una indeterminación.
(𝒂
𝒃)
𝒏
=𝒂𝒏
𝒃𝒏
𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒃 ≠ 𝟎
(𝟐
𝟑)
𝟑
=𝟐𝟑
𝟑𝟑
=𝟐 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐
𝟑 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑=
𝟖
𝟐𝟕
(𝟓
𝟐)
𝟐
=𝟓𝟐
𝟐𝟐
=𝟓 𝒙 𝟓
𝟐 𝒙 𝟐=
𝟐𝟓
𝟒
Cuando el exponente es negativo (𝒂
𝒃)
−𝒏, la potencia será la fracción
inversa con exponente positivo (𝒃
𝒂)
𝒏 (el numerador intercambia con el
denominador). Pero a debe ser diferente de cero. Si a = 0 el resultado es una indeterminación.
Si en la fracción el numerador es cero, el resultado será cero:
𝑺𝒊 𝒂 = 𝟎, 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒄𝒆𝒓𝒐; (𝒂
𝒃)
𝒏
= (𝟎
𝒃)
𝒏
= 𝟎
(𝟎
𝟓)
𝟑
= 𝟎
Si en la fracción el denominador es uno la base es un entero que corresponde al numerador:
𝑺𝒊 𝒃 = 𝟏, 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒂; (𝒂
𝒃)
𝒏
= (𝒂
𝟏)
𝒏
= 𝒂𝒏
(𝟓
𝟏)
𝟑
= 𝟓𝟑 = 𝟓 𝒙 𝟓 𝒙 𝟓
4. Conversión de potenciación a radicación o logaritmación
Cuando el exponente es una fracción, la operación se convierte en una radicación. La base se mantiene, pero en la fracción del exponente el denominador se convierte en el índice de la raíz y el numerador queda como exponente de la base.
𝑎𝑚/𝑛 = √𝑎𝑚𝑛
91/2 = √92
54/3 = √543
Para convertir una potencia en logaritmo se debe tener en cuenta que:
Base de la potencia = base del logaritmo
El exponente = logaritmo
La potencia = argumento
𝑎𝑏 = 𝑐 log𝑎 𝑐 = 𝑏
Si la base del logaritmo es 10
no se coloca
53 = 125
log5 125 = 3
103 = 1000
log 1000 = 3
5. Aplicabilidad de la potenciación
La potenciación se relaciona con el perímetro, área y volúmenes de cuerpos de cuadrados y cubos con base en
la medida de uno de los lados (l) de un cuadrado o un cubo.
o El perímetro es la suma de los cuatro lados del cuadrado, como la medida de los cuatro lados son iguales
nos queda que 𝑃 = 𝑙 + 𝑙 + 𝑙 + 𝑙, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑝 = 4𝑙.
o El área de un cuadrado es el producto de dos de sus cuatro lados y como todos sus lados son iguales
entonces nos queda que 𝐴 = 𝑙 × 𝑙, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐴 = 𝑙2
o Cuando se trata de cubos podemos encontrar el volumen utilizando la medida de alguno de sus lados al
que llaman arista (a) y la fórmula:
𝑉 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑉 = 𝑎3
o Conociendo la cantidad de cuadriculas de la base de un cuadrado y de un cubo se puede determinar
cuántos cuadros o cubos se forman en total, en un cuadrado se aplica la fórmula del área y en el cubo la
fórmula del volumen:
En la base hay 4 cuadros Por lo cual nos queda 42 = 4 × 4 = 16 Podemos deducir que hay 16 cuadros sin contarlos
En la base hay 3 cuadros Por lo cual nos queda 33 = 3 × 3 × 3 = 27 Podemos deducir que hay 27 cubos sin contarlos
o Cuando hay artículos dentro de paquetes de cantidades iguales, es muy útil la potenciación:
Ej. Un comerciante posee 5 bolsas y en cada bolsa hay 5 regalos ¿Cuántos regalos hay?
𝟓𝟐 = 𝟓 × 𝟓 = 𝟐𝟓 𝒓𝒆𝒈𝒂𝒍𝒐𝒔
En resumen podemos expresar:
TALLER POTENCIACIÓN
Resuelve en el cuaderno mostrando el procedimiento de los ejercicios, tomar fotos y montar el trabajo al