GRY KOOPERACYJNE WPROWADZENIE DO TEMATYKImiekisz/malawski.pdf · Deﬁnicja (Rdzeń gry) Rdzeńgry kooperacyjnej (N,v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie

Pojęcia Rozwiązania Gry ”operacyjne” Wariacje nt. wartości Gry ze strukturami Gry proste I więcej

GRY KOOPERACYJNE– WPROWADZENIE DO TEMATYKI

Marcin Malawski

Akademia Leona Koźmińskiegoi

Instytut Podstaw Informatyki PANWarszawa

6 Forum Matematyków Polskich, Warszawa, wrzesień 2015


1 Pojęcia

2 Rozwiązania

3 Gry ”operacyjne”

4 Wariacje nt. wartości

5 Gry ze strukturami

6 Gry proste

7 I więcej


Gra kooperacyjna

Definicja (Gra kooperacyjna (z wypłatami ubocznymi))

to para (N, v) , gdzie

N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,

N = 2N – zbiór wszystkich koalicji, tj. podzbiorów zbioru graczy,

v – funkcja charakterystyczna gry, v : N → Rspełniająca v(∅) = 0.

Gn – przestrzeń wszystkich n-osobowych gier kooperacyjnych.

Interpretacja

Dla dowolnej koalicji S :v(S) – wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja Sprzez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S .

(I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie – wypłatyuboczne).


Gra kooperacyjna



N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,




Interpretacja




Gra kooperacyjna



N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,




Interpretacja




Gra kooperacyjna



N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,




Interpretacja




Gra kooperacyjna



N = {1, 2, . . . , n} – zbiór graczy,




Interpretacja

Dla dowolnej koalicji S :v(S) – wypłata jaką może łącznie zapewnić sobie koalicja Sprzez wspólne działanie, ale bez potrzeby współudziału graczy spoza S .(I następnie może dowolnie rozdysponować ją między siebie – wypłatyuboczne).


Gry kooperacyjne a niekooperacyjne

Uwaga (Powstawanie z gier niekooperacyjnych)

Zgodnie z interpretacją powyżej, każda gra niekooperacyjna w postacinormalnej G = (N,S1, . . . ,Sn, u1, . . . , un) wyznacza grę kooperacyjną(N, v) poprzez równania:

v(T ) = maxσT∈S∗T

minσ−T∈S∗−T

∑j∈T

uj(σT , σ−T )

dla dowolnej koalicji T ⊆ N, gdzie S∗T , S∗−T są zbiorami mieszanychstrategii łącznych odpowiednio koalicji T i N \ T .

Uwaga

I odwrotnie:każda superaddytywna gra kooperacyjna powstaje w ten sposób z pewnejniekooperacyjnej gry w postaci normalnej.







∑j∈T

uj(σT , σ−T )


Przykład (Konformiści (gra 3-osobowa))

Trzej gracze równocześnie podnoszą ręce i jeśli jeden podniesie inną niżpozostali dwaj, płaci każdemu z nich po złotówce. Wówczas:v(i) = −1 , v(ij) = 0 ∀i , j ; v(123) = 0.

Uwaga








∑j∈T

uj(σT , σ−T )


Uwaga



Gra kooperacyjna – prosty przykład

Przykład

Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki – A i B po 300 łubianek, aC 250 – i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicydobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilośćtruskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawkijedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę.Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jakojedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawettysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę.Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł.

Powstająca gra kooperacyjna: N = {A,B,C} ,

v({A}) = 3·300 = 900 , v({B}) = 600 , v({C}) = 4·250−200 = 800 ,

v({A,B}) = 3 · (300 + 300) = 1800 ,

v({A,C}) = 4 · (300 + 250)− 200 = 2000 , v({B,C}) = 2000 ,

v({A,B,C}) = 4 · (300 + 300 + 250)− 200 = 3200.


Gra kooperacyjna – prosty przykład

Przykład

Trzej drobni plantatorzy (A, B i C) zebrali truskawki – A i B po 300 łubianek, aC 250 – i teraz muszą je sprzedać. Na terenie plantatora A jest jedyny w okolicydobry punkt przy ruchliwej drodze, gdzie można sprzedać dowolną ilośćtruskawek po 3 zł za łubiankę. B może na własną rękę sprzedawać truskawkijedynie przy bocznej drodze, gdzie da się uzyskać cenć 2 zł za łubiankę.Plantator C na miejscu też może tylko ustawić się przy bocznej drodze, ale jakojedyny z trzech ma samochód dostawczy, którym może zawieźć do miasta nawettysiąc łubianek i tam sprzedać po 4 zł za łubiankę.Koszty kursu do miasta wraz z opłatą placową na targu wynoszą 200 zł.Powstająca gra kooperacyjna: N = {A,B,C} ,

v({A}) = 3·300 = 900 , v({B}) = 600 , v({C}) = 4·250−200 = 800 ,

v({A,B}) = 3 · (300 + 300) = 1800 ,

v({A,C}) = 4 · (300 + 250)− 200 = 2000 , v({B,C}) = 2000 ,

v({A,B,C}) = 4 · (300 + 300 + 250)− 200 = 3200.


Gry kooperacyjne – podstawowe własności

Definicja

Gra kooperacyjna (N, v) jest

superaddytywna gdy

U ∩ T = ∅ ⇒ v(U ∪ T ) v(U) + v(T )

(”łączenie się koalicji jest opłacalne”);

monotoniczna gdy U ⊃ T ⇒ v(U) v(T )(”większe koalicje mogą więcej”);

wypukła jeśli dla każdych koalicji T ,U ⊂ N

v(T ∪ U) + v(T ∩ U) v(T ) + v(U)

Równoważnie: gra jest wypukła, gdy ma następującą własnośćrosnących wkładów: ∀T ,U, i

(T ⊂ U, i ∈ T ∩ U) ⇒ v(T )− v(T \ i) ¬ v(U)− v(U \ i)



Definicja


superaddytywna gdy

U ∩ T = ∅ ⇒ v(U ∪ T ) v(U) + v(T )




v(T ∪ U) + v(T ∩ U) v(T ) + v(U)





Definicja


superaddytywna gdy

U ∩ T = ∅ ⇒ v(U ∪ T ) v(U) + v(T )




v(T ∪ U) + v(T ∩ U) v(T ) + v(U)




Gry kooperacyjne: podziały, rozwiązania i wartości

Definicja (Podział w grze kooperacyjnej)

Podział w grze (N, v) to dowolny wektor (x1, x2, . . . xn) taki żen∑

i=1

xi = v(N).

Definicja (Rozwiązanie)

Rozwiązanie dla gier kooperacyjnych to dowolna multifunkcja Ψprzypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) pewien podzbiór Ψ(v)zbioru podziałów w tej grze.

Definicja (Wartość)

Wartość to dowolne rozwiązanie jednoelementowe –funkcja ψ przypisująca każdej grze kooperacyjnej (N, v) podział w tejgrze, ψ(v) = (ψ1(v), ψ2(v), . . . ψn(v));ψj(v) – wartość gracza j w grze v .





i=1

xi = v(N).









i=1

xi = v(N).






Najważniejsze rozwiązania: rdzeń

Definicja (Racjonalność podziału)

Podział x w grze (N, v) jest

indywidualnie racjonalny jeżeli dla każdego gracza j xj v(j),

koalicyjnie racjonalny jeżeli dla każdej koalicji TxT (=

∑j∈T xj) v(T ).

Definicja (Rdzeń gry)

Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów koalicyjnie racjonalnych w tej grze.

Uwaga

Rdzeń dowolnej gry n-osobowej

jest wypukłym podzbiorem Rn

(zbiorem rozwiązań układu nierówności liniowych),

może być pusty.







∑j∈T xj) v(T ).


Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnychw tej grze.

Uwaga




może być pusty.







∑j∈T xj) v(T ).


Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie i) koalicyjnie racjonalnychw tej grze.

Uwaga




może być pusty.







∑j∈T xj) v(T ).


Rdzeń gry kooperacyjnej (N, v) , oznaczany przez C(v),to zbiór wszystkich podziałów koalicyjnie racjonalnych w tej grze.

Uwaga




może być pusty.


Najważniejsze rozwiązania: wartość Shapleya

Oznaczenie

Dla dowolnej gry (N, v), dowolnej permutacji π zbioru graczy N idowolnego gracza j ∈ N oznaczamy:

Hπ,j = π−1({1, 2, . . . , π(j)})

mj ,π(v) = v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ j) – krańcowy wkład gracza j dokoalicji jego poprzedników (przy permutacji π).

Definicja (Wartość Shapleya)

Wartość Shapleya , oznaczana przez φ , to funkcja przypisująca każdejgrze kooperacyjnej (N, v) następujący podział w tej grze:

φj(v) =1n!

∑π∈ΠN

mj ,π(v)

gdzie ΠN jest zbiorem wszystkich permutacji zbioru graczy.



Oznaczenie


Hπ,j = π−1({1, 2, . . . , π(j)})mj ,π(v) = v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ j) – krańcowy wkład gracza j dokoalicji jego poprzedników (przy permutacji π).



φj(v) =1n!

∑π∈ΠN

mj ,π(v)




Oznaczenie


Hπ,j = π−1({1, 2, . . . , π(j)})mj ,π(v) = v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ j) – krańcowy wkład gracza j dokoalicji jego poprzedników (przy permutacji π).



φj(v) =1n!

∑π∈ΠN

mj ,π(v)



Najważniejsze rozwiązania: nukleolus i prenukleolus

Definicja

Dla każdej koalicji T ⊆ N i każdego podziału x w grze (N, v):Niezadowolenie koalicji T z podziału x : e(x ,T ) = v(T )−

∑i∈T

xi ;

Nukleolus gry v – taki podział indywidualnie racjonalny ν(v) w tej grzektóry minimalizuje leksykograficznie wektor niezadowoleń wszystkichkoalicji o współrzędnych ustawionych w kolejności malejącej.

Uwaga

Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnychto minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.

Uwaga

(Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym

Jeżeli C(v) 6= ∅ , to ν(v) ∈ C(v).



Definicja


∑i∈T

xi ;


Uwaga


Uwaga





Definicja


∑i∈T

xi ;


Uwaga

Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych– co zdarza się gdy v(N) <

∑i∈N v(i) –

to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.

Uwaga





Definicja


∑i∈T

xi ;


Uwaga

Jeśli w grze nie podziałów indywidualnie racjonalnych– co zdarza się gdy v(N) <

∑i∈N v(i) –

to minimalizuje się po wszystkich podziałach, a otrzymany podziałnazywa prenukleolusem gry.

Uwaga

(Pre)nukleolus gry jest zbiorem dokładnie jednoelementowym(a zatem ν jako funkcja gry jest wartością).




Definicja


∑i∈T

xi ;


Uwaga


Uwaga




Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów

N = {1, 2, 3} ,

v(1) = 900 , v(2) = 600 , v(3) = 800 ,

v(12) = 1800 , v(13) = v(23) = 2000 , v(123) = 3200

C(v) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 3200 ,

900 ¬ x1 ¬ 1200 , 600 ¬ x2 ¬ 1200 , 800 ¬ x3 ¬ 1400} ;

φ(v) = (1100, 950, 1150) ,

ν(v) = (1050, 975, 1175) .


Przykład: rozwiązania gry trzech plantatorów

N = {1, 2, 3} ,

v(1) = 900 , v(2) = 600 , v(3) = 800 ,

v(12) = 1800 , v(13) = v(23) = 2000 , v(123) = 3200

C(v) = {x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 + x3 = 3200 ,

900 ¬ x1 ¬ 1200 , 600 ¬ x2 ¬ 1200 , 800 ¬ x3 ¬ 1400} ;

φ(v) = (1100, 950, 1150) ,

ν(v) = (1050, 975, 1175) .


Gry ”operacyjne”: gry przypisania

Definicja (Gra przypisania)

N = NS ∪̇NK ; A – nieujemna macierz nS × nK ,aij – korzyść ze współpracy pary (i , j) (i ∈ NS , j ∈ NK )

v(T ) =

{0 T ∩ NS = ∅ lub T ∩ NK = ∅

max(ai1j1 + . . .+ aik jk ) T ∩ NS 6= ∅ ani T ∩ NK 6= ∅

i1, . . . ik ∈ T ∩ NS , j1, . . . jk ∈ T ∩ NK , k = min(#(T ∩ NS),#(T ∩ NK )

Twierdzenie (Rdzeń gier przypisania)

Jeżeli v jest grą przypisania o macierzy A , to

C(v) = {x 0 : ∀i∈NK∀j∈NS

xi + xj aij } 6= ∅ .





v(T ) =

{0 T ∩ NS = ∅ lub T ∩ NK = ∅



Np. NS – posiadacze pojedynczych obiektów,

NK – potencjalni kupujący (każdy może kupić ¬ 1 obiekt),

aij - zyski z transakcji w tej parze (i , j).



C(v) = {x 0 : ∀i∈NK∀j∈NS

xi + xj aij } 6= ∅ .





v(T ) =

{0 T ∩ NS = ∅ lub T ∩ NK = ∅





C(v) = {x 0 : ∀i∈NK∀j∈NS

xi + xj aij } 6= ∅ .


Gry operacyjne cd: gry utrzymania sieci

Odśnieżanie

(V ,E ) – graf niezorientowany – sieć dróg;v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek ; V \ v0 – graczeC : E → R+ – funkcja kosztu;

C (e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e .

Gra (kosztów) odśnieżania:

c(S) = minp∈P(S)

∑e∈p

C (e)

gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p ⊆ E zawierających ścieżkę odkażdego gracza v ∈ S do v0.Gra oszczędności:

s(S) =∑i∈S

c(i)− c(S).



Odśnieżanie


C (e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e .Gra (kosztów) odśnieżania:

c(S) = minp∈P(S)

∑e∈p

C (e)

gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p ⊆ E zawierających ścieżkę odkażdego gracza v ∈ S do v0.

Gra oszczędności:s(S) =

∑i∈S

c(i)− c(S).



Odśnieżanie


C (e) = wkład pracy konieczny do odśnieżenia drogi e .Gra (kosztów) odśnieżania:

c(S) = minp∈P(S)

∑e∈p

C (e)

gdzie P(S) to zbiór wszystkich sieci p ⊆ E zawierających ścieżkę odkażdego gracza v ∈ S do v0.Gra oszczędności:

s(S) =∑i∈S

c(i)− c(S).


Gry utrzymania sieci cd.

Gra odśnieżania – rozwiązania

Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:

1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie

odśnieżona

wyznacza gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.

Uwaga (Szczególny prosty przypadek)

Szeregowy podział kosztów – sytuacja w której graf jest ścieżką.




Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.

2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie

odśnieżona







Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.

3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie

odśnieżona







Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v0.

4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzieodśnieżona







Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od wierzchołka v0.4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie

odśnieżona








odśnieżona

wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grąodśnieżania.






Gdy (V ,E ) jest drzewem o korzeniu w v0 , następująca alokacja pracy:1 Wszyscy gracze odśnieżają z jednakową intensywnością.2 Każdy gracz odśnieża drogę od siebie do v0.3 Wszyscy zaczynają pracę jednocześnie, od swoich domów.4 Każdy pracuje do chwili, gdy cała droga od v0 do jego domu będzie

odśnieżona

wyznacza nukleolus gry oszczędności s związanej z grą odśnieżania.







odśnieżona

wyznacza wartość Shapleya gry oszczędności s związanej z grąodśnieżania.




Gry operacyjne cd: gry wyboru trasy

Gra CP (”chińskiego listonosza”)

Graczami są ”ulice” - krawędzie niezorientowanego grafu (V ,E )v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek (poczta)

h : E → R+ – funkcja kosztu;h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.

Gra CP (kosztów):

c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)

k∑j=1

h(ej)−∑i∈S

h(i)

gdzie D(S) = zbiór wszystkich ścieżek zawierających wszystkie łuki z S .

Twierdzenie (Granot i Hamers)

Gra oszczędności CP ma niepusty rdzeń ⇔ graf (V ,E ) jest słaboeulerowski(tzn. każda jego dwuspójna składowa jest eulerowska).




Graczami są ”ulice” - krawędzie niezorientowanego grafu (V ,E )v0 ∈ V – wyróżniony wierzchołek (poczta)h : E → R+ – funkcja kosztu;

h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu.

Gra CP (kosztów):

c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)

k∑j=1

h(ej)−∑i∈S

h(i)








h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.Listonosz musi dostarczyć pocztę na wszystkie ulice i powrócić do urzędu.Gra CP (kosztów):

c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)

k∑j=1

h(ej)−∑i∈S

h(i)








h(e) = koszt przejścia przez listonosza całej ulicy e.Gra CP (kosztów):

c(S) = min(v0,e1,...ek ,v0)∈D(S)

k∑j=1

h(ej)−∑i∈S

h(i)





Niektóre inne gry operacyjne

Gry tworzenia sieci: gracze = wierzchołki grafu,problem: znalezienie najtańszego sposobu połączenia każdego z nichz wyróżnionym wierzchołkiem v0 (= najtańszego drzewarozpinającego)i podział łącznych kosztów

Gry ustalania kolejki: gracze = klienci,problem: znalezienie takiej kolejności ich obsługiwania, którazminimalizuje ich łączne koszty czekania, i podział tych kosztów

....





....





....





....


Wartość Shapleya – dlaczego?

Definicja

Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).

Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).

Twierdzenie (Shapley 1953)

Jedyną wartością ψ spełniającą

1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),

2 warunek gracza zerowego: jeżeli i jest graczem zerowym w v , toψi (v) = 0,

3 addytywność: dla gry z = v + w ψ(z) = ψ(v) + ψ(w)

jest wartość Shapleya.

Twierdzenie (Young 1985)

Jedyną wartością ψ spełniającą równoprawność, warunek graczazerowego oraz monotoniczność:[ dla dowolnego gracza j oraz każdej pary gier n-osobowych v ,wspełniającej ∀T⊆N,T3j v(T )− v(T \ j) w(T )− w(T \ j)(czyli j wnosi do każdej koalicji w grze v nie mniej niż w grze w)zachodzi ψj(v) ψj(w) ] jest wartość Shapleya.



Definicja

Gracz i jest graczem zerowym w grze v , jeżeli dla każdej koalicji Tzachodzi v(T ∪ i) = v(T ). (Tzn.: i nic nie wnosi do żadnej koalicji).Gracze j , k są wymienni w grze v , jeżeli dla każdej koalicji T takiej, żej 6∈ T i k 6∈ T zachodzi v(T ∪ j) = v(T ∪ k).(Tzn. : j i k odgrywają taką samą rolę w każdej koalicji).











Definicja












Definicja



Jedyną wartością ψ spełniającą1 równoprawność: jeżeli gracze i , j są wymienni w grze v , toψi (v) = ψj(v),








Definicja











Definicja



















Wariacja: Egalitarne wartości Shapleya

Definicja (Wartość egalitarna)

e – powstaje przez równy podział v(N) pomiędzy graczy:

∀k ek(v) =v(N)

n.

Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” )

εj(v) =εv(N)

n+ (1− ε)φj(v)

(ε ∈ [0 , 1] dowolny ale ustalony)

Twierdzenie

Jedyną addytywną wartością ψ spełniającą równoprawność iwarunek gracza zerującego ((∀T3j v(T ) = 0) ⇒ ψj(v) = 0) jestwartość egalitarna e. (van den Brink 2007)

Jedyne addytywne wartości spełniające– lokalną monotoniczność: jeśli v(S ∪ i) v(S ∪ j) dla każdejkoalicji S nie zawierającej i ani j , to ψi (v) ψj(v)– ”własność gracza zerowego w produktywnym otoczeniu”: jeśli jjest graczem zerowym w v i v(N) 0 , to ψj(v) 0to egalitarne wartości Shapleya. (Casajus i Huettner 2013)





∀k ek(v) =v(N)

n.

Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” (Joosten 1996; van den Brink i in.2013))

εj(v) =εv(N)

n+ (1− ε)φj(v)


Twierdzenie







∀k ek(v) =v(N)

n.

Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” (Joosten 1996; van den Brink i in.2013))

εj(v) =εv(N)

n+ (1− ε)φj(v)


Twierdzenie





Definicja (”Egalitarne wartości Shapleya” )

εj(v) =εv(N)

n+ (1− ε)φj(v)


Twierdzenie




Wariacja: Wartość solidarnościowa

Definicja (Wartość solidarnościowa (Nowak i Radzik 1994) )

σj(v) =1n!

∑π∈ΠN

∑k∈Hπ,j

v(Hπ,j)− v(Hπ,j \ k)

π(j)

– przy danej permutacji gracz zamiast własnego wkładu do koalicjipoprzedników otrzymuje średnią z krańcowych wkładów wszystkichczłonków koalicji poprzedników do tej koalicji.Równoprawność – tak, własność gracza zerowego – nie.


Szersza klasa: wartości ”proceduralne”

Scenariusz: Dzielenie się wkładami krańcowymi1 Gracze zbierają się w losowej kolejności π; wszystkie kolejności

(permutacje zbioru N) są jednakowo prawdopodobne.2 Każdy nowo przybywający gracz k wnosi swój krańcowy wkład

mk,π(v) w koalicję swoich poprzedników – graczy już obecnych.

3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w Hπ,k wedługpewnej ustalonej procedury.

4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostajerozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.

5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkachtworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).

Definicja (Procedura)

Procedura s na Gn to rodzina nieujemnych współczynników

((sk,j)kj=1)

nk=1 takich że (∀k)

k∑j=1

sk,j = 1.





mk,π(v) w koalicję swoich poprzedników – graczy już obecnych.3 Te krańcowe wkłady są dzielone pomiędzy graczy w Hπ,k według

pewnej ustalonej procedury.

4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostajerozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.




((sk,j)kj=1)


k∑j=1

sk,j = 1.






pewnej ustalonej procedury.4 W ten sposób dla każdej permutacji π cała wypłata v(N) zostaje

rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.




((sk,j)kj=1)


k∑j=1

sk,j = 1.







rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach

tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).



((sk,j)kj=1)


k∑j=1

sk,j = 1.







rozdzielona pomiędzy wszystkich graczy.5 Wartość proceduralna gracza to średnia (po wszystkich porządkach

tworzenia wielkiej koalicji) przypadającej na niego części v(N).



((sk,j)kj=1)


k∑j=1

sk,j = 1.


Procedury i wartości proceduralne cd



((sk,j)kj=1)


k∑j=1

sk,j = 1.

sk,j to udział gracza będącego na miejscu j w kolejności przybywania (tj.gracza π−1(j)) we wkładzie krańcowym gracza π−1(k).

Definicja (Wartość proceduralna (MM 2012))

Wartość proceduralna ψs wyznaczona przez procedurę s na Gn jestokreślona wzorem

ψsj (v) = Eπ

∑k∈Nπ,j

sπ(k),π(j) mk,π(v) =∑π∈Π

∑k∈Nπ,j

sπ(k),π(j)mk,π(v)

n!.

(Nπ,j to zbiór następników gracza j w uporządkowaniu π , wraz z j).





((sk,j)kj=1)


k∑j=1

sk,j = 1.




ψsj (v) = Eπ

∑k∈Nπ,j


∑k∈Nπ,j


n!.






((sk,j)kj=1)


k∑j=1

sk,j = 1.




ψsj (v) = Eπ

∑k∈Nπ,j


∑k∈Nπ,j


n!.



Wartości proceduralne: równoważne reprezentacje

Twierdzenie (Równoważne reprezentacje)

Jeśli s = ((sk,j)kj=1)

nk=1 oraz t = ((tk,j)

kj=1)

nk=1 są dwiema procedurami

takimi, że dla każdego k sk,k = tk,k , to ψs = ψt .

Wniosek

1 Układ współczynników s = (s1, s2, . . . , sn) reprezentuje dowolnąprocedurę ((sk,j)

kj=1)

nk=1 na Gn , dla której sj ,j = sj dla

j = 1, 2, . . . , n

2 ψsi (v) =

∑π∈Π

sπ(i)mi ,π(v)

n!+∑

π:π(i)=1

∑j 6=i

(1− sπ(j))mj ,π(v)

n!.

Twierdzenie (odwrotne)

Jeżeli s = (s1, s2, . . . , sn) i t = (t1, t2, . . . , tn) są dwiema różnymiprocedurami na Gn, to ψs 6= ψt .






kj=1)



Wniosek1 Układ współczynników s = (s1, s2, . . . , sn) reprezentuje dowolną

procedurę ((sk,j)kj=1)


j = 1, 2, . . . , n

2 ψsi (v) =

∑π∈Π

sπ(i)mi ,π(v)

n!+∑

π:π(i)=1

∑j 6=i

(1− sπ(j))mj ,π(v)

n!.








kj=1)






j = 1, 2, . . . , n

2 ψsi (v) =

∑π∈Π

sπ(i)mi ,π(v)

n!+∑

π:π(i)=1

∑j 6=i

(1− sπ(j))mj ,π(v)

n!.








kj=1)






j = 1, 2, . . . , n

2 ψsi (v) =

∑π∈Π

sπ(i)mi ,π(v)

n!+∑

π:π(i)=1

∑j 6=i

(1− sπ(j))mj ,π(v)

n!.




Wartości ”proceduralne” – dlaczego?

Twierdzenie (MM 2012)

Wartość na Gn jest:

liniowa i równoprawna,

słabo monotoniczna (jeśli v monotoniczna, to ψ(v) 0)koalicyjnie monotoniczna: tzn. dla każdej koalicji T i każdej parygier v ,w ∈ Gn takiej że (v(T ) > w(T ) oraz v(S) = w(S) ∀S 6=T )zachodzi ψi (v) ψi (w) dla każdego i ∈ T

wtedy i tylko wtedy, gdy jest proceduralna.


Wartość na Gn jest:• liniowa, • słabo monotoniczna • i lokalnie monotoniczna

































Gry ze strukturami: komunikacja

Definicja (Gra ze strukturą komunikacji)

(N, v ,E ) ,gdzie (N, v) – gra kooperacyjna, (N,E ) – graf niezorientowany(E – zbiór połączeń pomiędzy parami graczy).

Twierdzenie (Myerson 1981)

Jedyną wartością ψ na grach ze strukturami komunikacji mającąnastępującą własność jednakowych korzyści: ∀(N, v ,E )∀i , j ∈ N

ψi (v ,E ∪ (ij))− ψi (v ,E ) = ψj(v ,E ∪ (ij))− ψj(v ,E )

jest wartość Myersona zdefiniowana następująco: m(v ,E ) = φ(v |E )gdzie v |E (S) =

∑T∈CE(S)

v(T ) ,

CE (S) – zbiór spójnych (w E ) składowych koalicji S .









∑T∈CE(S)

v(T ) ,










∑T∈CE(S)

v(T ) ,



Gry ze strukturami – inne

Gry z hierarchią graczy: (N, v , L)(N, v) – gra kooperacyjna,(N, L) – hierarchia – drzewo zorientowane;gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii(niekoniecznie bezpośrednio),koalicja S może zrealizować wypłatę v(S) tylko wtedy gdy zawierawszystkich przełożonych każdego gracza z S(albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S)

Gry z prekoalicjami: ((N1, . . . ,Nm), v(N, v) – gra,(N1, . . . ,Nm) – struktura prekoalicji – rozbicie zbioru graczy;dopuszczalne permutacje przy wyliczaniu wartości – tylko te przyktórych obrazami prekoalicji są przedziały (bez przerw)


Gry ze strukturami – inne

Gry z hierarchią graczy: (N, v , L)(N, v) – gra kooperacyjna,(N, L) – hierarchia – drzewo zorientowane;gracz j jest przełożonym gracza k jeżeli poprzedza go w hierarchii(niekoniecznie bezpośrednio),koalicja S może zrealizować wypłatę v(S) tylko wtedy gdy zawierawszystkich przełożonych każdego gracza z S(albo: co najmniej jednego z przełożonych każdego gracza z S)

Gry z prekoalicjami: ((N1, . . . ,Nm), v(N, v) – gra,(N1, . . . ,Nm) – struktura prekoalicji – rozbicie zbioru graczy;dopuszczalne permutacje przy wyliczaniu wartości – tylko te przyktórych obrazami prekoalicji są przedziały (bez przerw)


Szczególna klasa: gry proste

Definicja (Gra prosta)

to gra (N, v) spełniająca

∀T v(T ) ∈ {0, 1} , U ⊃ T ⇒ v(U) v(T ) , v(N) = 1 .

W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(S) = 1 , aprzegrywająca jeżeli v(S) = 0 .

Uwaga (Rdzeń gry prostej)

Jeżeli (N, v) jest n-osobową grą prostą, a V (v) ⊆ N zbiorem graczy zprawem weta w tej grze, to

C(v) = {(x1, x2, . . . xn) : x1, . . . xn 0,n∑

i=1

xi = 1 oraz

∀j 6∈V (v) xj = 0} jeżeli V (v) 6= ∅ ,

C(v) = ∅ jeżeli V (v) = ∅ .


Szczególna klasa: gry proste

Definicja (Gra prosta)

to gra (N, v) spełniająca

∀T v(T ) ∈ {0, 1} , U ⊃ T ⇒ v(U) v(T ) , v(N) = 1 .

W takich grach koalicja S jest wygrywająca jeżeli v(S) = 1 , aprzegrywająca jeżeli v(S) = 0 .

Uwaga (Rdzeń gry prostej)

Jeżeli (N, v) jest n-osobową grą prostą, a V (v) ⊆ N zbiorem graczy zprawem weta w tej grze, to

C(v) = {(x1, x2, . . . xn) : x1, . . . xn 0,n∑

i=1

xi = 1 oraz

∀j 6∈V (v) xj = 0} jeżeli V (v) 6= ∅ ,

C(v) = ∅ jeżeli V (v) = ∅ .


Gry proste: ważona większość i indeksy siły

Definicja (Gra ważonej większości)

w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =

{1 gdy

∑i∈S λi µ ,

0 gdy∑

i∈S λi < µ .

(λ1 , λ2 , . . . , λn – wagi graczy, µ – próg większości).

Uwaga (Gry proste w naukach politycznych)

Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,

gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.




w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =

{1 gdy

∑i∈S λi µ ,

0 gdy∑

i∈S λi < µ .


Uwaga

Istnieją gry proste ( 5−osobowe) nie będące grami ważonejwiększości.

Ale każda gra prosta jest przecięciem (iloczynem) takich gier.

Ilu co najmniej ?







w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =

{1 gdy

∑i∈S λi µ ,

0 gdy∑

i∈S λi < µ .


Uwaga



Ilu co najmniej ?







w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =

{1 gdy

∑i∈S λi µ ,

0 gdy∑

i∈S λi < µ .


Uwaga



Ilu co najmniej ?







w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =

{1 gdy

∑i∈S λi µ ,

0 gdy∑

i∈S λi < µ .








w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =

{1 gdy

∑i∈S λi µ ,

0 gdy∑

i∈S λi < µ .



Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,

a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.




w = [λ1 , λ2 , . . . , λn ;µ] ; w(S) =

{1 gdy

∑i∈S λi µ ,

0 gdy∑

i∈S λi < µ .



Gdy gracze są uczestnikami gremium mającego wspólnie podjąć decyzję,gra prosta opisuje reguły jej podejmowania – które koalicje mogą zgodniezadecydować bez względu na zdanie innych graczy,a wartość tej gry, np. wartość Shapleya, jest indeksem siły – miarą siłygraczy w zgromadzeniu decyzyjnym.


Spójność wartości – podział masy upadłościowej

Przykład (Bankructwo i problem podziału masy upadłościowej)

N – zbiór wierzycieli, di – wierzytelność gracza i ,E – masa upadłościowa, E < D :=

∑i∈N di .

To wyznacza dwie gry: v(T ) = (E −∑

j 6∈T dj)+

– to co zostałoby koalicji T po spłaceniu reszty graczy,w(T ) = min(E ,

∑j∈T dj)

– to ile T może wyrwać dla siebie w systemie ”kto pierwszy ten lepszy”.Metody podziału masu upadłościowej:

1 proporcjonalna : xi =diD· E

2 ”constrained equal award” (CEA) : xi = min(di , c)gdzie c - jedyna taka liczba że

∑j∈N

min(dj , c) = E

3 ”talmudyczna” – nukleolus gry v

4 wartość Shapleya: φ(v) = φ(w).





∑i∈N di .


j 6∈T dj)+


∑j∈T dj)

– to ile T może wyrwać dla siebie w systemie ”kto pierwszy ten lepszy”.

Metody podziału masu upadłościowej:



∑j∈N

min(dj , c) = E







∑i∈N di .


j 6∈T dj)+


∑j∈T dj)




∑j∈N

min(dj , c) = E







∑i∈N di .


j 6∈T dj)+


∑j∈T dj)




∑j∈N

min(dj , c) = E







∑i∈N di .


j 6∈T dj)+


∑j∈T dj)




∑j∈N

min(dj , c) = E




Spójność wartości cd.

Twierdzenie (Aumann i Maschler 1985)

Dla problemów bankructwa metoda talmudyczna t jest jedyną równąrozwiązaniu standardowemu dla problemów dwuosobowych oraz spójną wnastępującym sensie:

∀j ,k∈N tj(d ,E ) = tj(d−k ,E − tk(d ,E )) .

Uwaga

Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodzeracjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).

Definicja (Spójność wartości – ogólna)

Wartość ψ jest spójna ze wzgledu na redukcję gry R jeżeli dla dowolnejgry (N, v), koalicji S i gracza j ∈ S zachodzi równośćψj(R|S(v , ψ)) = ψj(v).






Uwaga

(Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA)









Uwaga

(Spójne są także metoda proporcjonalna oraz CEA)Rozwiązania spójne w tym sensie to te, które dają się uzyskać na drodzeracjonowania hydraulicznego (Kamiński 2000).








Uwaga





I dalej...

Inne wartości gier, własności i związki między nimi

Rozwiązania – multifunkcje alternatywne wobec rdzenia

Właściwości wartości gry ze względu na usuwanie / dodawaniegraczy

Właściwości wartości gry ze względu na łączenie graczy lub inneporozumienia między nimi

Implementacja: wartość gry jako wektor wypłat w równowadzepewnej gry niekooperacyjnej

Gry bez wypłat ubocznych

. . .


I dalej...







. . .


I dalej...







. . .


I dalej...







. . .


I dalej...







. . .


I dalej...







. . .


I dalej...







. . .

GRY KOOPERACYJNE WPROWADZENIE DO TEMATYKImiekisz/malawski.pdf · Deﬁnicja (Rdzeń gry) Rdzeńgry kooperacyjnej (N,v), oznaczany przez C(v), to zbiór wszystkich podziałów (indywidualnie

Documents