GRUPO1 - R2 Y R3

FACULTAD DE INGENERÍA METALÚRGICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERÚ

Ing. Raúl w. Carrión cornejointegrantes: PEREZ POMA, ALEJANDRO CURICHAHUA HUAMANTICA, JESUS COTERA MAYTA, FABIAN JUSTINO ALFARO TASAYCO, YORK CRISTIAN

MATEMÁTICA BÁSICA II

VECTORES EN: R2 Y R3

Cualquier magnitud matemática o física que se pueda representar solamente por un número real. Ejemplos: longitud, área, volumen, temperatura, etc.

Son aquellas entidades en las que además del número que las determina, se requiere conocer la dirección. Ejemplos: desplazamiento, fuerza, aceleración, etc. El ente matemático que representa a estas magnitudes se llama vector .

INTRODUCCION

MAGNITUD ESCALAR

MAGNITUD VECTORIAL

Definamos el vector como un segmento de recta dirigido.Sean P y Q dos puntos del espacio. El segmento de recta dirigido PQ, es el segmento de recta que va del punto inicial P al punto final Q.

Definición 1: (Definición Geométrica de un vector)

VECTORES

V

V

P

Q

A

B

R = A+B

Método del triángulo

OPERACIONES CON VECTORES

Adición de vectores

x

z

y

Método del paralelogramo.

BR = A+B

A

Definición 2: (Definición algebraica de un vector)Un vector v en el plano XY es un par ordenado de números reales (a;b), donde a y b se llaman componentes del vector.

v= (a,b) se llama vector de posición, cuyo punto inicial es el origen (0,0)

VECTORES EN EL PLANO (R2)

(a,b)

y

x

v

Dirección del vector (a,b): ángulo medido en radianes, que forma el vector con el semi-eje positivo de las x (abscisas).

22 bav

0a ,abtan

MODULO DE UN VECTOR: Se denota por ¨v¨

20

v= (a,b)con:

Suma

Producto punto

Operación con vectores

A= (a1; a2)B= (b1; b2) A.B = (a1b1 + a2b2 )

A= (A1; A2) B= (B1; B2;) A+B = (A1+B1; A2 +B2 )

EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL R3

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio numérico tridimensional.

x y

z

plano xz

plano yzplano xy

orígen

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

VECTOR EN R3

23

22

21 aaaa

p(a1,a2,a3)

z

x

y

a

a1

a2

a3

módulo de a :vector a = (a1,a2,a3) de R3

COSENOS DIRECTORES

/R

Ry

Rz

R

α

R x

y/R /R

cos2a + cos2 + cos2 = 1

Igualdad: Dos vectores u y v son iguales u=v si tienen la misma magnitud y dirección

);;();;( 321321 vvvuuu

11 vu 22 vu 33 vu

Si y solo si

SUMA

Producto por un escalar

),,(),,( 321321 cacacaaaacuc

),,(),,(),,(),,(),,(

212121222111

222111

ccbbaacbacbavucbav cbau

c

Producto aspa

Producto punto

AXB =

A= (a1; a2; a3)B= (b1; b2; b3) A.B = (a1b1 + a2b2 + a3b3)

)1;0;0()0;1;0(,)0;0;1( :R 3 kyjiEn

Vectores unitarios:Son aquellos cuyo modulo es igual a la unidad.

Nota: En R2 y en R3 existen vectores que nos permiten representar cualquier otro vector en términos de ellos. Se les llaman vectores unitarios canónicos y se representan por

aaaa

aaua ),,( 3211

u

ii

)1;0(j , )0;1( :R 2

iEn

vectores unitarios canónicos i, j , k

x

z

y

i

jk

Los vectores i, j y k son unitarios y están dirigidos en la dirección de los ejes X, Y y Z respectivamente.

PARALELISMO DE VECTORESDos vectores son paralelos entre sí, si todas sus componentes son proporcionales. Ejemplo:

Definición

),,( 321 aaau ),,( 321 bbbv Dado:

vu // kba

ba

ba

3

3

2

2

1

1

vku

GRACIAS

QUE RICOO MANO!

!!!