Graph theory

เอกสารประกอบการเรยนร รายวชาคณตศาสตรเสรม ค32202

เรอง ทฤษฎกราฟเบองตน ชนมธยมศกษาปท 5

โดย ครนรนทรโชต บณยนนทสร

คร คศ.1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

โรงเรยนหนองแวงวทยาคม ต.ผกไหม อ.ศขรภม จ.สรนทร

ส านกงานเขตพนทการศกษาสรนทร เขต 1 ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน

1

กราฟเบองตน

กราฟเปนตวแบบเชงคณตศาสตรชนดหนง ซงใชส าหรบจ าลองปญหาบางอยางดวยแผนภาพทประกอบดวยจด และเสนทเชอมระหวาง 2 จด ตวอยางเชน แผนภาพทแสดงเสนทางของรถไฟฟา BTS แผนภาพทแสดงถนนทเชอมเมองตาง ๆ แผนภาพแสดงโครงสรางทางเคมของสารประกอบไฮโดรคารบอน วงจรไฟฟา เปนตน วชาทศกษาเกยวกบคณสมบตตาง ๆ ของกราฟ เรยกวา ทฤษฎกราฟ (Graph Theory) ปจจบนทฤษฎกราฟมการประยกตอยางกวางขวางในศาสตรแขนงตาง ๆ เชน วทยาศาสตร สงคมศาสตร เศรษฐศาสตร เปนตน หนงสอคมอการจดการเรยนรกลมสาระการเรยนรคณตศาสตรของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดก าหนดตวอยางสาระและผลการเรยนรทคาดหวง เรอง กราฟเบองตน ดงน

สาระการเรยนร ผลการเรยนรทคาดหวง

1. กราฟ 2. กราฟออยเลอร 3. การประยกตของกราฟ

1. เขยนกราฟเมอก าหนดจด (vertex) และเสน (edge) ไดและระบไดวากราฟทก าหนดใหเปนกราฟออยเลอรหรอไม

2. น าความรเรองกราฟไปใชแกปญหาบางประการได

2 กราฟ (Graph) ทฤษฎกราฟเปนคณตศาสตรแขนงหนงทสามารถน าความรในเรองนไปใชแกปญหาตาง ๆ เชน ปญหาทเกยวกบการวางผงเมอง การวางสายโทรศพท หรอปญหาอน ๆ ในชวตประจ าวน กอนทจะศกษาบทนยามและทฤษฎของกราฟ พจารณาตวอยางของถนนเชอมระหวางหมบานทอยในต าบลตาง ๆ ดงน ตวอยาง ในอ าเภอหนงมต าบลอย 6 ต าบล ไดแก ต าบล A, B, C, D, E และ F ระหวางต าบลตาง ๆ จะมถนนเชอมระหวางต าบล ซงแสดงดวยแผนภาพดงน

ในรปจะแทนต าบลตาง ๆ ดวยจด และแทนถนนทเชอมระหวางต าบลดวยเสนทเชอมระหวางจด จากแผนภาพจะเหนวา ทกต าบลจะมถนนเชอมตดตอถงกนจากต าบล A จะมถนนเชอมตรงไปยงต าบล B, E และ F แตถาจะเดนทางจากต าบล A ไปยง ต าบล D ซงไมมถนนเชอมโดยตรง จะตองเดนทางไปใหถงต าบล C หรอ E กอน เพอหาถนนทเชอมตอไปยงต าบล D เชน ใชถนนทเชอมระหวางต าบล A และ E และ ถนนทเชอมระหวางต าบล E และ D

A

C

B F D

E

แผนภาพและแผนผงในตวอยางทกลาวมาขางตนเปนตวอยางหนงของ กราฟ ในกราฟแตละรปจะประกอบดวย จด (vertex) และเสน (edge) ทเชอมระหวางจด

3 ตวอยาง ใหกราฟ G ประกอบดวย V(G) = { A, B, C } และ E(G0 = { {A,B} , {B,C} } เขยนภาพแทนกราฟ G ไดดงน นอกจากการก าหนดเซตของเสนเชอมในตวอยางทกลาวมาแลวยงมวธการก าหนดแบบอนอก เชน ตวอยาง ก าหนดกราฟ G ดงรป V(G) = { A, B, C, D, E }

กราฟ (Graph) G ประกอบดวย 1. เซตจ ากดทไมเปนเซตวางของจด แทนดวยสญลกษณ V(G) 2. เซตจ ากดของเสนทเชอมระหวางจด แทนดวยสญลกษณ E(G)

A B

C

G:

A B

C D

E

e1

e2 e3

e4 e5

G:

E(G) = { e1 , e2, e3, e4, e5 }

4 ดกรของจด ตวอยางของเสนทเกดกบจดในกราฟ จากรป เสนทเกดกบจด A คอ AB และ AD เสนทเกดกบจด B คอ BA และ AB ไมมเสนทเกดกบจด C เสนทเกดกบจด D คอ AD หรอ DA

เสน e ของกราฟ G จะเรยกวา เกดกบ (incident) จด U ถา จด U เปนจดปลายจดหนงของเสน e

B A

D

C

5 ใชสญลกษณ deg V แทนดกรของจด V จากรป จะได deg A = 2 , deg C = 0 , deg B = 1 , deg D = 1 หมายเหต

A

เสนทเกดกบจด A ดงรป ใหถอวาเปน 2 เสน และเรยกเสนดงกลาววา

วงวน (loop) ตวอยาง จงหาดกรของกราฟตอไปน ตวอยางจดคและจดคในกราฟ

ดกร (degree) ของจด V ในกราฟ คอ จ านวนเสนทงหมดทเกดกบจด V

B A

D

C

Deg A = ……………………… Deg B = ……………………… Deg C = ……………………… Deg D = ………………………

A B D

C

จดทมดกร เปนจ านวนค เรยกวา จดค (even vertex)

จดทมดกร เปนจ านวนค เรยกวา จดค (odd vertex)

6

จากรป deg A = 2 ดงนน A เปนจดค deg B = 3 ดงนน B เปนจดค deg C = 2 ดงนน C เปนจดค deg D = 3 ดงนน D เปนจดค หมายเหต จดทไมมเสนเชอมถอวาดกรของจดเปนศนย และจดดงกลาวเปนจดค กราฟสามารถน ามาประยกตเพอใชแกปญหาหลาย ๆ ปญหาทเกยวกบ การเคลอนทจากจด ๆ หนงไปยงจดอน ๆ ในกราฟ เชน ปญหาทางคมนาคม ปญหาทางสาธารณปโภค กอนทจะใชกราฟแกปญหาดงกลาว เราตองทราบควาหมายของค าตาง ๆ ดงน

A

B

D

C

1. แนวเดน U – V (U – V walk) คอล าดบจ ากดของจดและเสนสลบกนโดยเรมตนดวยจด U และสนสดดวยจด V และแตละเสนในล าดบจะเกดกบจดทอยหนาและหลงของเสนนน ความยาวของ U – V คอจ านวนเสนในแนวเดน U – V เชน A, e1, B, e2, C, e3, D เปนแนวเดน A – D หรออาจเขยนเปน A, B, C, D

2. รอยเดน U – V (U – V train) คอแนวเดน U – V ทเสนทงหมดแตกตางกน

3. วถ U – V (U – V path) คอแนวเดน U – V ทจดทงหมดแตกตางกน

A B

C D

e1 e2 e3

7 ตวอยาง พจารณากราฟตอไปน

1. A, B, C, B, C เปนรอยเดนหรอไม 2. A, B, E, D เปนวถหรอไม

ตวอยาง พจารณากราฟตอไปน 1. A, B, C, E, D, C, A เปนวงจรหรอไม 2. A, B, C, E, D, C, A เปนวฎจกรหรอไม

A

B

C

E D

4. วงจร (Circuit) คอ รอยเดนทมจดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกน 5. วฎจกร (cycle) คอ วงจรทไมมจดซ ากนยกเวนจดเรมตนและจดสนสด

A

B

D

E

C

8 ตวอยางของกราฟเชอมโยง (connected graph)

กราฟ G เปนกราฟเชอมโยง เพราะทกจด 2 จด ใด ๆ ในกราฟ จะมเสนเชอม เชน จด A และจด B ม a เปนเสนเชอม จด A และจด C ม c เปนเสนเชอม จด A และจด D ม c และ d เปนเสนเชอม ม a, b และ d เปนเสนเชอม จด B และจด C ม b เปนเสนเชอม จด B และจด D ม b และ d เปนเสนเชอม จด C และจด D ม d เปนเสนเชอม ตวอยางของกราฟไมเชอมโยง (disconnected graph) กราฟ G เปนกราฟไมเชอมโยง เพราะไมมเสนเชอมระหวาง จด A และจด D , E , F จด B และจด D , E , F จด C และจด D , E , F

A

B

C D d

c

b a G:

A

D

B C

E F

G:

9

การแกปญหาสถานการณตาง ๆ โดยใชกราฟเปนแบบจ าลองนน บางครงจ าเปนตองก าหนดแบบจ าลองทมความชดเจนเพอทจะชวยในการแกปญหาไดงายขน เชน ปญหาเกยวกบการเดนทางทเกยวของกบระยะทาง คาใชจาย บางครงเราอาจก าหนดเงอนไขตาง ๆ ลงในแบบจ าลองซงท าไดโดยก าหนดจ านวนทแทนสงเหลานนลงในเสนกราฟ เชนกราฟตอไปน

จด A , B , C แทนต าแหนงของเมอง 3 เมอง ซงระยะทางระหวางเมอง A และ B เทากบ 5 กม. B และ C เทากบ 4 กม. C และ A เทากบ 6 กม. กราฟลกษณะดงกลาว เรยกวา กราฟมน าหนก ซงมความหมาย ดงน ตวอยาง ก าหนดกราฟตอไปน จงหาวถทสนทสดจากจด A ถงจด E ในกราฟมน าหนก

B

A C

5 4

6

G:

1. กราฟ G เปน กราฟมน าหนก (weighted graph) เมอ เสนแตละเสน (e) ก าหนดวยจ านวนจรงทไมเปลบ และเรยกจ านวนจรงดงกลาววา น าหนกของเสน แทนดวย w(e)

2. วถทสนทสดจากจด U ถงจด V ในกราฟมน าหนก คอ วถ U – V ทมผลรวมของคาน าหนกของเสนทกเสนในวถ U – V มคานอยทสด

A

B

C E

2 7

6

4

10 วถ A – E ทเปนไปไดทงหมด มล าดบ ดงน A , B , E มความยาว 2 + 7 = 9 A , C , E มความยาว 4 + 6 = 10 ดงนน วถ A – E ทสนทสดคอ A , B , E ตวอยาง แผนผงแสดงเมอง 6 เมอง คอ A, B, C, D, E, F และระหวางเมองตาง ๆ มถนนเชอมระหวางเมองดงรปและมน าหนกแสดงระยะทางระหวางเมอง 2 เมอง ตองการหาระยะทางทสนทสดจากเมอง A ไปเมอง F ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… กราฟออยเลอร (Euler graphs) ในป ค.ศ. 1736 มปญหาชอวาสะพาน “Konigsberg Bridge Problem” ซงปญหานไดกลาวถงสะพานในเมอง Konigsberg ซงมอย 7 แหง สะพานเหลานใชขามแมน า Pregel และใชเชอมเกาะสองเกาะ มค าถามวเปนไปไดหรอไมทวา ถาเรมตนจากทใดทหนงของเมองแลวขามสะพาดแตละแหงเพยงครงเดยว แลวจะสามารถกลบมายงจดเรมตนได นกคณตศาสตรหลายคนไดพยายามแกปญหาน โดยการทดลองจนไดค าตอบวาเปนไปไมได แตไมมใครสามารถแสดงขอพสจนได จนกระทงมนกคณตศาสตรชาวสวส ชอ Leonhard

A

B D

C E

F

2

1

2 5 3

4

1

4

2

Euler (ป ค.ศ. 1707 – 1783) ไดแปลงปยหาดงกลาวเปนกราฟโดยใหพนดนแทนจด และสะพานแทนดวยเสนดงรป

11

ออยเลอร ไดตอบปญหานวา เปนไปไมไดทจะหาเสนทางดงกลาวได และไดเสนอ

แนวคดไวในการ ตอบค าถามปญหาประเภทเดยวกน นอกจากนทานยงแนะน ากราฟทรจกกนในปจจบนคอ

กราฟออยเลอรเรยน การตรวจสอบวากราฟใดเปนกราฟออยเลอรเรยนนน สามารถตรวจสอบโดยใชขอตกลง

ดงน

หมายเหต กราฟทรเวยล คอ กราฟทไมมเสนและมเพยง 1 จด

ให G เปนกราฟเชอมโยงทไมใชกราฟทรเวยล G เปนกราฟออยเลอรเรยน กตอเมอ ทกจดใน G เปนจดค

12 ตวอยาง การพจารณาวากราฟ G1, G2 และ G3 เปนกราฟออยเลอรหรอไม กราฟ G1 เปนกราฟออยเลอร เพราะ ทกจดของ G1 มดกรเปนจ านวนค กราฟ G2 ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะ มจด V2 มดกรเทากบ 3 ซงเปนจ านวนค กราฟ G3 ไมเปนกราฟออยเลอร เพราะ G3 ไมเหนกราฟเชอมโยง

V2 V4

V3

V1

V5 G1 :

V4

V1

V3

V5 V2 G2 :

V1

V3

V5 V6

V4 V2

G3

13

แบบฝกหด

1. จงหา V(G) และE(G) ของกราฟ G ทก าหนดใหตอไปน 1)

V(G) = V1,V2,V3,V4,V5,V6,V7,V8 E(G) = e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8 2)

V(G) = A,B,D,C,E,F E(G) = e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8

14

3)

V(G) = V1,V2,V3,V4,V5,V6 E(G) = e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7 4)

V(G) = V1,V2,V3,V4,V5 E(G) = e1,e2,e3,e4,e5,e6

15

5) ก าหนดกราฟดงรป

จงพจารณาวาขอความตอไปน ถกหรอผด 1) จดยอด u และจดยอด z เปนจดยอดประชด ถก 2) จดยอด v และจดยอด z เปนจดยอดประชด ผด 3) เสนเชอม d เกดจากจดยอด v ถก 4) เสนเชอม c เกดจากจดยอด u ผด 5) เสนเชอม f เกดจากจดยอด v ถก

16

2. จงหาดกรของจดยอดแตละจดของกราฟตอไปน

1.

จดยอด ดกร

a 3 b 3 c 3 d 3 e 2

2

จดยอด ดกร

a 2 b 3

c 2 d 5

17 3. จงหาผลรวมของดกรของจดยอดทกจดในกราฟและจ านวนของกราฟตอไปน 1.

จดยอด ดกร

a 3 b 2 c 1 d 4 e 4

ผลรวมของดกร = 3+2+1+4+4 = 14 เสนเชอม = 14 = 7 เสน 2

18 2.

จดยอด ดกร

a 5 b 3 c 4 d 4 e 4 f 4

ผลรวมของดกร = 5+3+4+4+4+4 = 24 เสนเชอม = 24 = 12 เสน 2

19 3.

จดยอด ดกร

a 5 b 2 c 4 d 2 e 3 f 2 h 2 g 5

ผลรวมของดกร = 5+2+4+2+3+2+2+5 = 26 เสนเชอม 26 = 13

20 4. จงพจารณาวากราฟทก าหนดตอไปนเปนกราฟออยเลอรหรอไม ถาเปนกราฟออยเลอร ใหหาวงจร ออยเลอร 1)

ไมเปนกราฟออยเลอรเพราะวาจดยอด U ม g เปนจ านวนค 2)

ไมเปนกราฟออยเลอรเพราะวาจดยอด A,G ม g เปนจ านวนค

21 3)

เปนกราฟออยเลอร วงจรกราฟออยเลอร = H,K,J,M,H,N,M,L,N,K,L,H,J 4)

เปนกราฟออยเลอร วงจรกราฟออยเลอร = A,J,K,B,L,K,C,LM,R,D,S,M,D,C,B,A 5)

เปนกราฟออยเลอร วงจรกราฟออยเลอร = F,C,A,D,H,I,E,B,D,G,C,D,E,H,G,F

22 6)

ไมเปนกราฟออยเลอรเพราะวาไมใชกราฟเชอมโยง

23 5.จงหาวถ a – z ทสนทสดของกราฟถวงน าหนกตอไปน 1.

เสนทางท1 a ,V1 ,V2 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 1+5+2 = 8 เสนทางท2 a ,V1 ,V2 ,V3 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 1+5+4 = 11 เสนทางท3 a ,V3 ,V2 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 3+1+2 = 6 เสนทางท4 a ,V3 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 3+4 = 7 เสนทางท5 a ,V4 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 2+5 = 7 จะเหนไดวา เสนท 3 คอ a ,V3 ,V2 ,z มผลรวมระยะทางจาก เมอง a ไปยงเมอง z เทากบ 6 กโลเมตร เปนระยะทางทสนทสด

24 2.

เสนทางท1 a ,V1 ,V2 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 3+4+4 = 11 เสนทางท2 a ,V1 ,V2 ,V4 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 3+4+1+2 = 10 เสนทางท3 a ,V1 ,V2 , V3 , V4 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 3+4+7+9+2 = 25 เสนทางท4 a ,V1 ,V2 , V3 , V4 , V2 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 3+4+7+9+1+4 = 28 เสนทางท5 a ,V3 ,V2 ,V4 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 1+7+4 = 12 เสนทางท6 a ,V2 , V3 , z ระยะทางจาก a – z คอ 1+7+4 = 12 เสนทางท7 a ,V3 ,V4 ,V2 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 1+9+1+4 = 15 จะเหนไดวา เสนท 2 คอ a ,V1 ,V2 , V4 ,z มผลรวมระยะทางจาก เมอง a ไปยงเมอง z เทากบ 10 กโลเมตร เปนระยะทางทสนทสด

25 3.

เสนทางท1 a ,V3 ,V4 , V6 , V5 , V7 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 2+3+3+2+2+4 = 19 เสนทางท2 a ,V3 ,V4 , V6 , V5 , V1 , V2 , V7 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 2+3+3+2+2+2+3+4 = 21 เสนทางท3 a ,V1 ,V5 , V7 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 1+2+2+4 = 9 เสนทางท4 a ,V3 ,V5 , V7 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 2+2+2+4 = 10 เสนทางท5 a ,V3 ,V5 , V6 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 2+2+2+2 = 8 เสนทางท6 a ,V1 ,V2 , V7 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 1+2+3+4 = 10 เสนทางท7 a ,V1 ,V5 , V6 ,z ระยะทางจาก a – z คอ 1+2+2+2 = 7 จะเหนไดวา เสนท 6 คอ a ,V1 ,V5 , V6 ,z มผลรวมระยะทางจาก เมอง a ไปยงเมอง z เทากบ 7 กโลเมตร เปนระยะทางทสนทสด

26 6.จงหาตนไมแผทวทนอยทสดของกราฟถวงน าหนกตอไปน 1.

วธท า หากราฟแผทวของกราฟทก าหนดใหทงหมด ดงน

ผลรวมของคาน าหนกเสนเชอมทงหมดของ H1 คอ 3+8 = 11

ผลรวมของคาน าหนกเสนเชอมทงหมดของ H2 คอ 2+5 = 7

ผลรวมของคาน าหนกเสนเชอมทงหมดของ H3 คอ 3+7+5 = 15

27

ผลรวมของคาน าหนกเสนเชอมทงหมดของ H4 คอ 2+7+8 = 17

ผลรวมของคาน าหนกเสนเชอมทงหมดของ H2 คอ 2+5 = 7 ดงนน กราฟ H2 เปนตนไมแผทวทนอยทสด

28

เอกสารอางอง

ประสาท สอานวงศและคณะ . หนงสอเรยน คณตศาสตร เลม 2 มธยมศกษาปท 5. โรงพมพครสภา. กรงเทพฯ :2544

http://ecurriculum.mv.ac.th/nuke/ หองสมดอเลกทรอนกส http://utcc2.utcc.ac.th/www/divisions/1tsd/Mat/Sg002_5.doc. http://www.thai-mathpaper.net/