Piotr S. Dębicki Akademia Morska w Gdyni GRANICE TECHNIKI MIKROFALOWEJ – OSCYLACJE MOCY BIERNEJ W ENERGETYCE I FALE W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO Praca jest próbą spojrzenia, z punktu widzenia techniki mikrofalowej, na zagadnienia do techniki mikrofalowej nienależące: na zjawiska dotyczące mocy w sieciach energetycznych oraz na obwody prądu stałego. W pierwszym przypadku motywacją do takiego podejścia jest tocząca się wśród elektryków dyskusja dotycząca interpretacji zjawisk fizycznych, związanych z oscylacjami mocy biernej. Wychodząc z założenia, że równania Maxwella wyjaśniają wszystkie makroskopowe zjawiska elektromagnetyczne, zastosowano technikę mikrofalową do obwodów 50-hertzowych, ilustrując rozwiązania przykładami. W technice mikrofalowej do wyjaśniania zjawisk związanych z mocą używa się opisu za pomocą jedynie dwóch fal przenoszących moce czynne; nie używa się w niej pojęcia mocy biernej do opisu do zjawisk energetycznych (choć tu go użyto w celach porównawczych). Rozważania ograniczono do jednofazowych przebiegów sinusoidalnych. Podejście to pozwoliło na odkrycie zjawiska zmiany wartości współczynnika mocy (cos φ) wzdłuż jednorodnej bezstratnej linii przesyłowej. Na zakończenie pokazano, że w obwodach prądu stałego fale również istnieją, chociaż nie można ich zmierzyć. Podstawą takiego stwierdzenia jest przekonanie, że zjawiska fizyczne nie zmieniają się „nagle”; tzn., że pochodne po czasie muszą być skończone. Słowa kluczowe: moc bierna, moc czynna, moc zespolona, moc pozorna, technika mikrofalowa, oscylacje mocy, fala odbita, fale stojące, współczynnik odbicia, moc dysponowana, obciążenie rzeczywiste, obciążenie zespolone, współczynnik mocy (cos φ), prąd stały. WSTĘP Równania Maxwella, teoria pola i teoria obwodów – czy zjawiska fizyczne zmieniają się nagle? W tym roku mijają 152 lata od sformułowania przez Maxwella jego słynnych równań elektrodynamiki klasycznej. Dołączyły one do wielu innych równań różniczkowych fizyki, mocno już umocowanych w teorii fizyki XIX-wiecznej. Wszystkie niekwantowe zjawiska elektryczne występujące w przyro- dzie, a dokładniej zjawiska makroskopowe, których opis dotyczy nie mniej niż około 10 6 cząsteczek/atomów/fotonów, z ogromną dokładnością dają się opisać równa- niami Maxwella. W równaniach Maxwella, tak jak w wielu innych równaniach fizyki, występują pochodne po czasie. Żeby zjawiska tam opisywane miały sens fizyczny, pochodne te muszą być skończone. W przeciwnym wypadku pojawiłyby się nieskończone natężenia pól, nieskończone moce itp. W wielu sytuacjach w elektromagnetyzmie, przy analizie niektórych zjawisk wprowadza się opisy, w których pochodne po
20
Embed
GRANICE TECHNIKI MIKROFALOWEJ OSCYLACJE MOCY …zeszyty.umg.edu.pl/sites/default/files/ZN444.pdf · prądu oraz napięcia. Zakłada się, że stosunek wymiarów analizowanej struktury
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Piotr S. Dębicki Akademia Morska w Gdyni
GRANICE TECHNIKI MIKROFALOWEJ – OSCYLACJE MOCY BIERNEJ W ENERGETYCE
I FALE W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO
Praca jest próbą spojrzenia, z punktu widzenia techniki mikrofalowej, na zagadnienia do techniki
mikrofalowej nienależące: na zjawiska dotyczące mocy w sieciach energetycznych oraz na obwody
prądu stałego. W pierwszym przypadku motywacją do takiego podejścia jest tocząca się wśród
elektryków dyskusja dotycząca interpretacji zjawisk fizycznych, związanych z oscylacjami mocy biernej.
Wychodząc z założenia, że równania Maxwella wyjaśniają wszystkie makroskopowe zjawiska
elektromagnetyczne, zastosowano technikę mikrofalową do obwodów 50-hertzowych, ilustrując
rozwiązania przykładami. W technice mikrofalowej do wyjaśniania zjawisk związanych z mocą używa
się opisu za pomocą jedynie dwóch fal przenoszących moce czynne; nie używa się w niej pojęcia mocy
biernej do opisu do zjawisk energetycznych (choć tu go użyto w celach porównawczych). Rozważania
ograniczono do jednofazowych przebiegów sinusoidalnych. Podejście to pozwoliło na odkrycie
zjawiska zmiany wartości współczynnika mocy (cos φ) wzdłuż jednorodnej bezstratnej linii przesyłowej.
Na zakończenie pokazano, że w obwodach prądu stałego fale również istnieją, chociaż nie można ich
zmierzyć. Podstawą takiego stwierdzenia jest przekonanie, że zjawiska fizyczne nie zmieniają się
„nagle”; tzn., że pochodne po czasie muszą być skończone.
Słowa kluczowe: moc bierna, moc czynna, moc zespolona, moc pozorna, technika mikrofalowa,
oscylacje mocy, fala odbita, fale stojące, współczynnik odbicia, moc dysponowana, obciążenie
rzeczywiste, obciążenie zespolone, współczynnik mocy (cos φ), prąd stały.
WSTĘP
Równania Maxwella, teoria pola i teoria obwodów – czy zjawiska fizyczne
zmieniają się nagle? W tym roku mijają 152 lata od sformułowania przez Maxwella
jego słynnych równań elektrodynamiki klasycznej. Dołączyły one do wielu
innych równań różniczkowych fizyki, mocno już umocowanych w teorii fizyki
XIX-wiecznej. Wszystkie niekwantowe zjawiska elektryczne występujące w przyro-
dzie, a dokładniej zjawiska makroskopowe, których opis dotyczy nie mniej niż około
106 cząsteczek/atomów/fotonów, z ogromną dokładnością dają się opisać równa-
niami Maxwella.
W równaniach Maxwella, tak jak w wielu innych równaniach fizyki, występują
pochodne po czasie. Żeby zjawiska tam opisywane miały sens fizyczny, pochodne
te muszą być skończone. W przeciwnym wypadku pojawiłyby się nieskończone
natężenia pól, nieskończone moce itp. W wielu sytuacjach w elektromagnetyzmie,
przy analizie niektórych zjawisk wprowadza się opisy, w których pochodne po
P.S. Dębicki, Granice techniki mikrofalowej – oscylacje mocy biernej w energetyce i fale… 35
czasie stają się nieskończone, np. delta Diraca, czy pobudzenie uskokiem
jednostkowym. Jest to często niezbędne do opisania istoty pewnych zjawisk bez
skomplikowanego balastu matematycznego, jednak w rzeczywistości w fizyce nic
nie dzieje się nagle. Wiele procesów występujących w fizyce jest niezwykle
szybkich, niektóre nazywa się wybuchami, ale zawsze jest to w skończonym czasie.
Uwaga powyższa, że zjawiska fizyczne nie zmieniają się nagle, przyda się do
analizy tego, co się dzieje przy przechodzeniu w zjawiskach elektromagnetycznych
od częstotliwości bardzo wysokich, gdy długości fal są porównywalne z wymiarami
elementów, do 50 Hz, a nawet do częstotliwości 0. Wtedy zmienia się gwałtownie
sposób opisu zjawiska, co jest zrozumiałe, ale czy zjawiska występujące też
zmieniają się nagle? Równania Maxwella opisują tak szerokie spektrum częstotliwości, że nie
stosuje się pełnego, skomplikowanego opisu do wszystkich sytuacji. Poza nie-
którymi mniejszymi odgałęzieniami, z teorii Maxwella (używa się też pojęcia
„teoria pola“) wynikają dwie wielkie teorie pochodne: teoria obwodów i optyka
geometryczna1, które są jej szczególnymi przypadkami. Pierwsza z nich opisuje
sytuacje, gdy wymiary elementów są małe w stosunku do długości fali, a druga –
gdy długość fali jest mała w stosunku do elementu. W sytuacji gdy wymiary elemen-
tów/struktur są porównywalne z długością fali, używa się pełnego opisu równaniami
Maxwella – to jest przypadek techniki mikrofalowej. Chociaż więc termin
„mikrofale” odnosi się do określonego przedziału częstotliwości2, to, np. do zapro-
jektowania byłego już masztu-anteny nadajnika Warszawy I w Konstantynowie,
pracującego na częstotliwości zaledwie 225 kHz, należało użyć techniki
mikrofalowej, gdyż jego wysokość 645,4 m była prawie połową długości fali.
Oczywiste jest, że nie ma ostrej granicy pomiędzy teorią pola a optyką i teorią
obwodów, i w wielu sytuacjach przenikają się one i uzupełniają. Trzeba jednak
pamiętać, że opis za pomocą tych teorii pochodnych jest, w pewnym sensie,
upośledzony ze względu na założenia upraszczające leżące u ich podstaw. Brak
odpowiedniej uwagi w ich stosowaniu może prowadzić do mylnych interpretacji.
Oscylacje mocy biernej. W artykule zakłada się, że wszystkie obwody są liniowe,
a napięcia i prądy są sinusoidalne (z wyjątkiem końcowej części punktu o prądzie
stałym), co pozwala na zastosowanie amplitud zespolonych3.
Opisywanie drgań elektromagnetycznych za pomocą teorii obwodów4
przypomina sytuację człowieka, który poszedł na nadmorskie molo obserwować
ruch fal, ale patrząc tylko w dół w szparę pomiędzy deskami. Widzi on jedynie ruch
pionowy wody w funkcji czasu i nic nie wie o zjawiskach w przestrzeni. W ogromnej
większości przypadków uwzględnienie jedynie zależności od czasu jest w teorii
1 Właściwie obie te teorie istniały w głównym zarysie jeszcze przed sformułowaniem teorii Maxwella.
Nie było tylko wiadomo, że obie wywodzą się z tego samego źródła. 2 300 MHz – 1000 GHz. 3 Amplitudy zespolone, stosowane w technice mikrofalowej, opisują amplitudę i fazę sygnału
w miejscu o współrzędnej przestrzennej równej zeru i w czasie t = 0. 4 Z wyłączeniem teorii linii długich, która należy do techniki mikrofalowej.
36 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, listopad 2016
obwodów wystarczające, a analiza jest istotnie prostsza. Jednak w sytuacji, gdy
interpretacje fizyczne stają się niejasne, gdy różne autorytety mają różne opinie na
temat tego samego zjawiska, gdy przekształca się równania trygonometryczne do
różnych postaci i próbuje się nadawać nowym składnikom dziwne interpretacje
fizyczne, jest czas, by podnieść głowę i zamiast obserwować szparę między deskami,
rozejrzeć się dookoła – czyli zastosować podejście polowe. Nie po to, żeby
przekreślić to, co robiło się do tej pory od dawna i z wieloma sukcesami, ale aby
lepiej zrozumieć. Opisana sytuacja dotyczy dyskusji na temat oscylacji mocy
biernej w energetyce [1–8, 10–15].
W dziedzinie wysokich częstotliwości/mikrofal często ma się do czynienia
z przesyłaniem dużych mocy. Nadajniki radiolokacyjne, np. do kontroli przestrzeni
powietrznej na większych obszarach (np. obszar Polski), wysyłają do anteny impuls
o mocy ok. 2 MW. Przy projektowaniu takich systemów zwraca się szczególną uwa-
gę, aby prawie cała moc została wypromieniowana. Nawet 5% mocy powracającej,
czyli 100 kW, może uszkodzić nadajnik. W analizie tego typu układów nie używa
się pojęcia mocy biernej, ani oscylacji mocy biernej. Opis tego, co się dzieje
w torze transmisyjnym, wymaga rozwiązania równań Helmholtza, wynikających
bezpośrednio z równań Maxwella w sytuacji rozpatrywania liniowego i jednorod-
nego obszaru bez źródeł, tzn. w pewnej odległości od generatora. Jako rozwiązanie
uzyskuje się równania opisujące ruch dwóch fal przenoszących moce czynne –
jednej poruszającej się od generatora do obciążenia i drugiej fali powracającej.
Te dwie fale wyczerpują możliwe sytuacje, jakie mogą wystąpić w torze5. To jest
odpowiedź fizyki: są dwie fale – i to jest wszystko.
Wspomniane dwie fale interferują ze sobą, wytwarzając tzw. falę stojącą
(zazwyczaj tylko częściowo stojącą), której obraz wypadkowy zależy od tego, w jaki
sposób fala powracająca powstała, czyli od charakteru impedancji obciążającej,
która wpływa na jej amplitudę i przesunięcie fazowe.
Przekształcając odpowiednio otrzymane rozwiązanie, można wyliczyć moc
czynną dostarczaną do obciążenia, moc bierną, moc pozorną, moc zespoloną itd.,
wszystkie wielkości rozpatrywane w energetyce. Różnica jest taka, że w energetyce
nie analizuje się żadnej fali stojącej. Długość fali wynosi tam 6000 km, ale ta fala
istnieje. Teoretycznie można przeprowadzić eksperyment, polegający na zmierzeniu
pojemności, np. 10 km rozwartego kabla współosiowego. Pojemność zmierzona dla
50 Hz będzie nieco różna od pojemności statycznej, świadcząc o istnieniu fali
stojącej6.
5 Tor jest liniowy, jednorodny, jednorodzajowy i bez nieciągłości. Takie założenia można bezpośrednio
przenieść na sytuację energetycznych linii przesyłowych prowadzących tzw. falę TEM. 6 Dla kabla z izolacją teflonową (r = 2,05) o długości L = 10 km i o impedancji Z0 = 50 pojemność
statyczna wynosi 0cZ
LC r
S
= 953,333 nF, (c – prędkość światła w próżni), a pojemność dla f = 50 Hz,
obliczona jak dla linii długiej wyniesie: 050 π2
π2tg fZ
c
fLC r = 953,409 nF, co daje różnicę 76 pF przy
dokładności pomiaru 29 pF (wg Francuskiego Instytutu Metrologii).
P.S. Dębicki, Granice techniki mikrofalowej – oscylacje mocy biernej w energetyce i fale… 37
Innym efektem, wyjaśnionym dalej, jest zmiana współczynnika mocy (cos φ)
z odległością, ale możliwość obserwacji tego zjawiska wymaga dalszych analiz.
W przypadku energetyki obserwator znajduje się tuż przy obciążeniu7 i nie wie, czy
fala wypadkowa, w miarę oddalania się od obciążenia, maleje, czy rośnie, czy
pozostaje niezmieniona. Może on jedynie zmierzyć wypadkową amplitudę i fazę
prądu oraz napięcia. Zakłada się, że stosunek wymiarów analizowanej struktury
w stosunku do długości fali wynosi zero, choć w rzeczywistości jest bardzo mały,
ale jednak jest on skończony.
W dalszej analizie wspomniane dwie fale zostaną opisane za pomocą napięć
i prądów. W przypadku energetyki rozchodzące się fale są falami typu TEM i ich
opis napięciami oraz prądami jest całkowicie wystarczający. Zakłada się również
pobudzenie jedną częstotliwością harmoniczną sinusoidalną.
Sprawa wygląda podobnie z punktu widzenia fizyki zjawisk, gdyby analizować
sieć trójfazową (w układzie trzy fazy i zero). Różnica polega na tym, że w takiej
sytuacji będą trzy napięcia i trzy prądy fali padającej i tak samo dla fali odbitej.
Wynika to z rozwiązań równania Laplace’a. W poniższym artykule analizowano
tylko układ dwuprzewodowy.
1. METODA MIKROFALOWA – PODSTAWY TEORETYCZNE
Wymienione powyżej dwie fale poruszające się w przeciwnych kierunkach
i interferujące ze sobą najczęściej zapisuje się w postaci amplitud zespolonych8.
Analizując rozkład przestrzenny, pomija się dla uproszczenia mnożnik e jt,
pamiętając, że on istnieje9. Dla fali padającej, poruszającej się (w prowadnicy,
w linii) w kierunku +x, mamy:
xjj
pad0
xj
pad0pad UUxU eeeˆˆ 0pad (1)
i dla fali poruszającej się w kierunku –x, tzw. fali odbitej, zapisuje się:
xjj
odb0
xj
odb0odb UUxU eeeˆˆ 0odb , (2)
gdzie: Upad0 i Uodb0 – amplitudy rzeczywiste napięcia, odpowiednio, fali padającej i odbitej,
β = 2π/λ – stała fazowa,
x – zmienna przestrzenna wzdłuż linii,
φpad0 i φodb0 – fazy amplitud zespolonych napięcia, odpowiednio, fali padającej i odbitej
w punkcie x = 0.
7 „Tuż przy obciążeniu” w technice mikrofalowej oznacza, że odległość od obciążenia jest niezmiernie
mała w stosunku do długości fali. 8 Liczby zespolone oznacza się znakiem ^ nad literą. 9 Zostanie on przywrócony w punkcie 3.1.
38 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, listopad 2016
Fale zapisane równaniami (1) i (2) wygodnie jest traktować jako dwa wektory
wirujące w przeciwnych kierunkach na płaszczyźnie zespolonej z prędkością kątową
x10. Wypadkowa fala w linii jest sumą wyrażeń (1) i (2). Dodając te wyrażenia,
można wypadkowe zespolone napięcie w linii xU zapisać w postaci:
xj
odb0pad0
xj UUxU 2eˆˆeˆ . (3)
Do zbadania zachowania się wypadkowej amplitudy napięcia w linii wystarczy
przeanalizować wyrażenie w nawiasie. Ilustrację graficzną tego wyrażenia na płasz-
czyźnie zespolonej pokazano na rysunku 1. Analizując rysunek, należy pamiętać,
że długość wektora Uodb może się zmieniać od 0 do Upad.
Przykładowe zmiany amplitudy U(x) w funkcji położenia x pokazano na
rysunku 2.
Jedną z miar fali stojącej, wytworzonej przez fale padającą i odbitą, jest
Jedną z miar fali stojącej, wytworzonej przez fale padającą i odbitą, jest
zespolony współczynnik odbicia , zdefiniowany jako stosunek amplitud zespolo-
nych fali odbitej do fali padającej:
10 Iloczyn βx jest nazywany długością elektryczną, często oznaczany jako lub . Jest to zwykła
długość fizyczna (x) odniesiona do długości fali λ i mierzona w radianach: = 2x/λ = x. Jest ona
równa 0, gdy x = 0 oraz gdy λ = . Ponieważ λ = c/f, można zapisać: =x = xf∙2/c. Zmienność więc
od długości elektrycznej może być traktowana, w zależności od sytuacji, jako zmienność od położenia
lub od częstotliwości.
Rys. 1. Ilustracja na płaszczyźnie zespolonej relacji pomiędzy wektorami
reprezentującymi napięcia padające, odbite i wypadkowe w linii długiej. Dla ustalonego momentu czasu, różnica fazy pomiędzy napięciem fali padającej
i odbitej przy przesuwaniu się wzdłuż linii zmienia się jak 2βx, czyli 2 razy szybciej niż faza pojedynczej fali. Tak samo zmienia się faza współczynnika odbicia
zdefiniowanego wzorem (4)
Fig. 1. Relations between the voltage vectors (in a transmission line) of the incident, reflected and the resulting waves in a complex plane is presented. The phase
difference between the voltages of the incident and the reflected waves, for fixed time, is changing along the line as 2βx, i.e. 2 times faster than a phase of the single wave.
The phase of the reflection coefficient, defined by (4), is changing in the same manner
P.S. Dębicki, Granice techniki mikrofalowej – oscylacje mocy biernej w energetyce i fale… 39
xjj
pad
odb
xU
xU 2
0 ee)(ˆ
)(ˆˆ 0
, (4)
gdzie φ0 = φodb0 + φpad0 jest fazą współczynnika odbicia w miejscu x = 0, więc przy
braku odbicia (Uodb0 = 0) otrzymamy = 0, a przy pełnym odbiciu Uodb0 = Upad0
i wtedy | | = 1. Miejscem geometrycznym współczynnika odbicia11 na płaszczyźnie
zespolonej jest wnętrze koła jednostkowego12.
Ponieważ współczynnik odbicia jest zdefiniowany napięciowo, używa się też
współczynnika odbicia mocy Γp, który jest kwadratem modułu współczynnika
odbicia 2
ΓΓ p .
Rys. 2. Zmiany amplitudy U(x) w funkcji położenia x. Przyjęto Upad0 = 1 oraz Uodb0 = 0,2.
Współczynnik fali stojącej (WFS = r) definiowany jako Umax/Umin wynosi 1,5, a moduł współczynnika odbicia |Γ | = (r –1)/(r +1) = 0,2. Moc odbita Γp = 4%. Przy takiej niewielkiej
mocy odbitej pofalowania U(x) wynoszą aż ±20%. Stosunek napięcia do prądu,
czyli impedancja, zmienia się wraz z x. Występują więc obszary, w których przeważa
charakter indukcyjny impedancji lub pojemnościowy – nawet dla obciążeń rzeczywistych. W miejscach, gdzie występują ekstrema amplitudy U(x), impedancja jest rzeczywista
Fig. 2. Changes of the U(x) amplitude vs. a x position. It was assumed that Upad0 = 1 and Uodb0 = 0.2. A voltage standing wave ratio (VSWR = r), defined as Umax /Umin, is equal 1.5 and a reflection coefficient absolute value |Γ | = (r –1)/(r +1) = 0.2. The reflected power
Γp = 4%. Despite so small reflected power, U(x) ripples achieved high rate ±20%.
As it results from fig. 4, the voltage/current ratio, i.e., impedance, is changing along x. As it is shown, there exists an area with an inductive or capacitive character of impedance,
even for resistive load. In the places where the extreme values of U(x) occurs, the impedance is always real
11 Dla układów pasywnych. 12 Jeśli znormalizuje się Upad0 = 1, to konstrukcja pokazana na rys. 1 jest fragmentem tego koła, a środek
okręgu kropkowanego jest środkiem koła jednostkowego.
,
40 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, listopad 2016
Inny sposób obliczenia współczynnika odbicia, który będzie wykorzystany,
zostanie podany bez wyprowadzania13, a dotyczy on sytuacji, gdy w jakimś punkcie
linii (np. x0) znana jest impedancja widziana z tego punktu w kierunku obciążenia
(np. ZL) oraz impedancja charakterystyczna linii lub (przypadek energetyki)
impedancja źródła (np. ZW = Z0, por. rys. 3):
j
WL
WL
ZZ
ZZx eˆˆ
0. (5)
2. PRZYPADKI SZCZEGÓLNE
2.1. Rzeczywiste obciążenie linii
W pierwszym przypadku szczególnym rozpatrzono prostą sytuację odcinka linii
o rzeczywistej impedancji charakterystycznej Z0, obciążonej obciążeniem rzeczy-
wistym RL (w płaszczyźnie odniesienia 2-2’)14, pobudzonej generatorem (w płasz-
Jeżeli teraz zastosuje się wzór (5) do położenia 2-2’ na rysunku 3, to otrzyma
się wartość rzeczywistą:
1
1
'22
W
L
W
L
WL
WL
R
R
R
R
RR
RR . (6)
Ważne szczególne przypadki tego wzoru są następujące:
a) dopasowanie, gdy RL = RW – wtedy Γ2-2’ = 0,
b) zwarcie, gdy RL = 0 – wtedy Γ2-2’ = –1,
c) rozwarcie, gdy RL = ∞ – wtedy Γ2-2’ = +1.
We wszystkich powyższych przypadkach moc czynna padająca wysyłana przez
źródło (poprzez zaciski 1-1’) jest stała i wynosi:
Ppad = Wb RU 8/2 (7)
niezależnie od obciążenia. Jest ona równa mocy dysponowanej źródła, określonej na
zaciskach 2-2’ w stanie dopasowania (RL = RW).
13 Sposób wyprowadzenia jest wyjaśniony w punkcie 3.1. 14 Płaszczyzna odniesienia jest ważnym pojęciem w technice mikrofalowej, gdyż jeśli przesuniemy się
wzdłuż jednorodnej linii długiej do innego przekroju, czyli innej płaszczyzny odniesienia, impedancja
widziana ogólnie zmieni się, chyba że nie było fali odbitej.
P.S. Dębicki, Granice techniki mikrofalowej – oscylacje mocy biernej w energetyce i fale… 41
Moc odbita Podb w przypadku a) wynosi 0, a w przypadkach b) i c) jest równa
mocy padającej Ppad. Moc odbita dla dowolnej wartości RL wynosi
Podb = Ppad |Γ2-2’|2, (8)
a moc zaabsorbowana przez obciążenie:
PL = Ppad (1-|Γ2-2’|2). (9)
Podstawiając do wzorów (8) i (9) relacje (6), otrzyma się dobrze znane wzory
teorii obwodów.
Przykład liczbowy, typowy dla techniki mikrofalowej (zgodny z danymi na
rys. 2 i 3):
Obciążenie rzeczywiste RL = 60 Ω
Rezystancja wewnętrzna źródła RW = Z0 = 40 Ω
SEM źródła Ub = 2 V
Współczynnik odbicia w przekroju 2-2’ 0.2Γ 2'2 wg (6).
rzeczywisty
Współczynnik odbicia mocy 0.04ΓΓ2
p ˆ .
Moc padająca Ppad = 12,5 mW wg (7)
Moc wydzielona w obciążeniu PL = 96% Ppad = 12 mW
Moc odbita Podb = 0,5 mW
x 0
Rys. 3. Podłączenie obciążenia RL do generatora o oporności wewnętrznej RW równej impedancji linii zasilającej Z0. Napięcie Upad0 jest równe Ub/2. Uodb0 jest
zależne od stosunku RL do RW wg wzorów (4) i (6). Umax 2Ub, Umin 0. Przykładowo, dla Ub = 2 oraz RL = 60 Ω i RW = 40 Ω otrzymamy rozkład U(x),
pokazany na rysunku 2
Fig. 3. The resistive load RL is connected to the generator with internal resistivity RW, which is equal to a transmission line impedance of Z0. Voltage Upad0 is equal Ub/2.
Uodb0 depends on ratio RL to RW according to (4) and (6). E.g., for Ub = 2, RL = 60 Ω and RW = 40 Ω one can obtain U(x) distribution shown in the fig. 2
= 0,2 wg (6)
0,04
42 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, listopad 2016
Napięcie całkowite na obciążeniu UL = 1,2 V15
Napięcie fali padającej na obciążeniu Upad = 1,0 V
Napięcie fali odbitej na obciążeniu Uodb = 0,2 V
Maksymalna moc bierna16 Qmax = 5 mVar (wg (18))
Przykład energetyczny (dla obciążenia rzeczywistego):
Obciążenie rzeczywiste RL = 100 Ω, do którego przyłożono
Napięcie skuteczne UL = 230 V (50 Hz)
Prąd skuteczny IL = 2,3 A, płynie przez obciążenie
Moc czynna wydzielona PL = 529 W
Rezystancja wewnętrzna źródła RW = Z0 = 1 Ω (założenie)
Współczynnik odbicia w 2-2’ 0.98Γ 2'2 , jest rzeczywisty wg (6).
Współczynnik odbicia mocy 0.961ΓΓ2
p ˆ . To oznacza, że
Moc wydzielona w obciążeniu, PL = 3,92% mocy padającej,
która wynosi Ppad = 13 491 W
Moc odbita Podb = 12 962 W
(cd. przykładu w p. 2.3)
Wniosek. W sytuacjach energetycznych mamy do czynienia z obwodami
bliskimi rozwarcia. To powoduje istnienie dużej fali padającej, wynikającej z dużej
mocy dysponowanej źródła i dużej fali odbitej, powodowanej przez współczynnik
odbicia o module bliskim 1. W przypadku obciążenia rzeczywistego maksimum fali
stojącej występuje przy obciążeniu. Napięcie na obciążeniu jest prawie podwojonym
napięciem źródła (dla fali padającej na zaciskach 1-1’), a prądy fali odbitej
i padającej są w przeciwfazie i prawie się znoszą, co powoduje, że pomiarowo można
wykryć tylko różnicę pomiędzy falą padającą i odbitą (patrz p. 2.3).
2.2. Relacja pomiędzy napięciem i prądem w obszarze między źródłem i obciążeniem
Dokładniejsze wyjaśnienie zjawisk fizycznych w linii wymaga przeanalizo-
wania relacji napięcia do prądu. Wyrażenia na prąd w obszarze pomiędzy źródłem
i obciążeniem są analogiczne do równań (1) i (2). Dla fali padającej mamy:
15
1
1222
W
L
W
L
b
WL
Lb
WL
WLbbb
odbpadL
R
R
R
R
URR
RU
RR
RRUUUUUU
16 Gdy (φΓ + 2βx) = (2n+1)π/2, n = 0, ±1, ±2, ±3,…, gdzie φΓ jest fazą współczynnika odbicia
wg wzoru (5).
= 0,961
= 0,98, jest rzeczywisty wg (6)
To oznacza, że
P.S. Dębicki, Granice techniki mikrofalowej – oscylacje mocy biernej w energetyce i fale… 43
xjjpad0xjj
pad0
xj
pad0padZ
UIIxI eeeeeˆˆ 0pad0pad
0
(10)
i dla fali poruszającej się w kierunku –x, zapisuje się:
xjjodb0xjj
odb0
xj
odb0odbZ
UIIxI eeeeeˆˆ 0pad0pad
0
(11)
gdzie Ipad0 i Iodb0 są amplitudami rzeczywistymi prądu, odpowiednio, fali padającej
i odbitej.
Korzystając z relacji (1), (2), (3), (4), (10) i (11), można wzory na wypadkowy
rozkład napięcia i prądu wzdłuż linii zapisać w postaci:
xjxj
pad0UxU 2eˆ1eˆˆ . (12)
xjxjpad0
Z
UxI 2
0
eˆ1eˆ
ˆ . (13)
Rys. 4. Ilustracja na płaszczyźnie zespolonej zmian kąta fazowego pomiędzy prądem
i napięciem w linii. Przyjęto Z0 = 1 oraz Upad0 = 1. Γ (x) = ∙exp(+2jx+). Stosunek prądu
do napięcia jest rzeczywisty tylko, gdy x + φΓ= nπ, (n= 0, 1, 2,…), gdzie φΓ jest fazą
współczynnika odbicia wg wzoru (5)
Fig. 4. An image of the phase angle between a voltage and a current, illustrated on the complex plane. It was assumed that Z0 = 1 and Upad0 = 1.
Γ (x) = ∙exp(+2jx+ φΓ). The current to voltage ratio is real only if x + φΓ = nπ,
(n= 0, 1, 2,…), where φΓ is reflection coefficient phase according to (5)
44 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, listopad 2016
Z relacji powyższych wynika, że nawet gdy wszystkie występujące impedancje
są rzeczywiste (jak w przykładzie w p. 2.1), to faza pomiędzy prądem i napięciem
zmienia się w funkcji x, co powoduje, że impedancja bieżąca w linii zdefiniowana
jako:
)(ˆ
)(ˆˆxI
xUxZ , (14)
będzie wielkością zespoloną.
Ilustrację graficzną zmiany kąta pomiędzy prądem i napięciem w funkcji
długości elektrycznej 2x pokazano na rysunku 4. Widać na nim, że impedancja
xZ jest wielkością rzeczywistą jedynie w przypadku, gdy 2x + φΓ = nπ (n – liczba
całkowita), co odpowiada wartościom maksymalnym lub minimalnym napięcia
w linii.
2.3. Moce czynne, bierne, zespolone i pozorne oraz przykład
Znając wyrażenie na prąd i napięcie, można teraz zapisać wyrażenie opisujące
zmiany mocy wzdłuż linii. Korzystając z (12) i (13), moc zespoloną *ˆˆ2
1ˆ IUP
można zapisać jako17:
*β2β2
0
2
0* eˆ1eˆ12
)(ˆ)(ˆ2
1ˆ xjxjpad
Z
UxIxUxP , (15)
skąd po przekształceniach otrzymamy:
)2sin(ˆ2ˆ12
ˆ2
0
2
0xj
Z
UxP
pad . (16)
Wartość średnia tego wyrażenia na moc zespoloną jest równa części
rzeczywistej i jest mocą czynną przenoszoną w linii, która jest wielkością niezależną
od położenia:
2
0
2
0 ˆ12Z
UP
pad
cz. (17)
17 Moc zespoloną oznacza się tu jako P .
P.S. Dębicki, Granice techniki mikrofalowej – oscylacje mocy biernej w energetyce i fale… 45
Jak widać, mamy dwa składniki odpowiedzialne za
moc padającą:
0
2
0
2Z
UP
pad
czPad i moc odbitą: 2
0
2
0 ˆ2
Z
UP
pad
czOdb.
Moc bierna, będącą częścią urojoną wyrażenia (16):
)2sin(
ˆ
0
2
0
xZ
UxQ
pad
, (18)
ma wartość średnią, w każdym przedziale o długości /2, równą zeru. Moc pozorna
jest modułem wyrażenia (16). Jej wartość minimalna jest równa wyrażeniu (17),
a wartość maksymalna w przypadku stanu bliskiego rozwarciu, jest zbliżona do
wartości mocy biernej według wzoru (18).
W przypadku energetyki wartość x jest praktycznie do pominięcia, gdyż dla
50 Hz wartość = 1,05x10-6. Dla obciążenia czysto rzeczywistego, jak w przykła-
dzie w punkcie 2.1, wartość fazy współczynnika odbicia φΓzgodnie ze wzorem (6),
wynosi przy obciążeniu 0, tak jak być powinno. Natomiast maksymalna wartość Q
(wzór (18)) wystąpi dla wartości φΓ x = (2n+1)π/2. Jeśli φΓ będzie to
w odległości /8 od rzeczywistego obciążenia.
Dzieląc moc czynną przez moc pozorną, otrzymuje się relację wiążącą
współczynnik mocy (cos φ) z położeniem w linii i wartością modułu współczynnika
odbicia:
22
22
ˆ1
)2(sinˆ41
1cos
x
. (19)
Ilustrację tej funkcji, dla przypadku obciążenia rzeczywistego (φΓpoka-
zano na wykresie na rysunku 5 dla przypadku energetycznego (f = 50 Hz). Prawa
część tego wykresu nie ma żadnego znaczenia w warunkach Polski, gdyż najdłuższa
linia energetyczna liczy 222 km. Koniec osi odciętych (750 km) odpowiada
maksymalnej wartości funkcji sinus we wzorze (19). Dalsza część wykresu jest
lustrzanym odbiciem względem linii pionowej 750 km, tak więc dla 1500 km
ponownie uzyskuje się wartość cos φ = 1 dla wszystkich wartości Γ.
46 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MORSKIEJ W GDYNI, nr 95, listopad 2016
Można również dokonać symetrycznego odbicia wykresu względem linii 0 km.
Nie jest to bezsensowne (wystąpią ujemne kilometry), gdyż przypadek obciążenia
zespolonego może być uwzględniany poprzez proste przesuwanie osi odciętych
w prawo lub lewo przy nieruchomym wykresie. Warto natomiast zwrócić uwagę na
krzywą |Γ | = 0,98, która odpowiada rozpatrzonemu w punkcie 2.1 przykładowi
energetycznemu z obciążeniem rzeczywistym. Jest to najniższa krzywa na wykresie,
która zmienia się gwałtownie na pierwszych kilkunastu kilometrach od obciążenia.
Zjawisko to wymaga zbadania, czy jest ono dostrzegalne w praktycznych sytuacjach.
Tu analizowano idealną linię bez strat. Prawdopodobnie własna indukcyjność
przewodów i ich rezystancja zmniejszą powyższy efekt.
Tu należy powrócić jeszcze raz do poprzedniego przykładu energetycznego,
aby przeanalizować dane liczbowe, uzupełnione teraz o napięcia, prądy i moce
bierne obliczone według wzorów z ostatnich dwóch punktów.
Przykład energetyczny cd.
Obciążenie rzeczywiste RL = 100 Ω Amplituda prądu fali padajacej Ipad = 164,26 A
Impedancja toru (źródła) RW = Z0 =1 Ω Amplituda prądu fali odbitej Iodb = -161,00 A
Napięcie skuteczne na obc. ULsk = 230 V Maks. napięcie w linii Umax = 325,27 V
Amplituda napięcia na obc. UL = 325,27 V dla x = nπ (n=0, 1, 2,…)
Napięcie skuteczne źródła Usk = 232,3 V Min. napięcie w linii Umin = 3,2527 V