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GRAFOS HAMILTONIANOSubttulo
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INTRODUCCIN Los caminos y ciclos hamiltonianos se llaman ashonor de William Rowan Hamilton, inventor de uque consista en encontrar un ciclo hamiltonianoaristas de un grafo de un dodecaedro.
http://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamiltonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dodecaedrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Dodecaedrohttp://es.wikipedia.org/wiki/William_Rowan_Hamilton7/25/2019 GRAFOS HAMILTONIANOs
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Grafos HamiltonianosSea G=(V,E) un grafo no dirigido
Se llama camino hamiltoniano de G a todo caminque contenga a todos los vrtices del grafo (
Se llama ciclo hamiltoniano de G a todo ciclo C contenga todos los vrtices de G
Se dice que un grafo es hamiltoniano si conticiclo hamiltoniano.
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Ejemplo: Observe es siguiente grafo G y diga si camino o ciclo hamiltoniano?
Es un grafo hamiltoniano
Si G es hamiltoniano tiene camino
hamiltoniano
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Ejemplo: Observe el siguiente grafo G y tiene camino o ciclo hamiltoniano
Camino hamiltoniano
No hay camino hamiltoniano
Ciclo hamiltoniano
No hay ciclo hamiltonia
No es grafo hamiltonian
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Ejercicio. Observe los grafos no dirigidos sig
analice si tienen camino hamiltoniano
hamiltoniano
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Hay alguna forma sencilla de determinar si grafo contiene o no un camino o ciclohamiltoniano?
Sorprendemente no.
No se conocen condiciones necesarias y suficientsencillas para la existencia de ciclos hamiltoniano
Pero por suerte hay teoremas que dan condicionesuficientes para la existencia de circuitos hamilton
tambin hay propiedades que se pueden utilizar pdemostrar que un grafo no contiene circuito ham
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Condiciones necesarias
Sea G= V,E) grafo no dirigido
G es hamiltoniano entonces ,
Si existe un vrtice con < entonces Ghamiltoniano
~
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Cundo y cmo hallar ciclos hamilton
Teorema de Dirac
Sea G= V,E) un grafo no dirigido, simple y con al men
vrtices, |V| = n 3.
Si cada vrtice tiene grado mayor o igual que n/2,
es Hamiltoniano.(Tiene ciclo hamiltoniano)
Veamos:Este grafo tiene 3 vrtices y vemos que
hamiltoniano y se puede verificar que
hiptesis del Teorema de Dirac
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Los siguientes ejemplos muestran como la est
es bastante precisa
1)
n=6 3
=
=3
gr A)=gr B)=gr C)=gr U)=gr V)=gr
=
=3
El teorema de Dirac nos ayuda a
que se trata de un grafo hamilton
un ciclo hamiltoniano)
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2) El grafo tiene 5 vrtices, n=5
2=
5
2= 2.5
gr(A)=gr(B)=3
gr(C)=gr(D)=gr(E)=2 < 2.5
No se puede concluir que se
encontrar un ciclo Hamiltoni
Pero al analizar el grafo se ve no se puede acabar en el ladoque se empieza por tanto no
hamiltoniano.
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La condicin es suficiente pero no nec
como muestra el siguiente ejemplo:
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Teorema de Ore
Sea G=(V,E) un grafo no dirigido con al menos 3 v
|V| = n 3.Si para cada pareja de vrtices no adyacentes x, yque
gr(x) + gr(y) n,
entonces el grafo es Hamiltoniano.
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Ejemplo:En este grafo de n= las parejas de vrticesadyacentes son:
A,E
gr(A) +gr(E)=3+2 5
C,E
gr(C) +gr(E)=3+2 5
Vemos que la condicinecesaria se cumple ppodemos asegurar que
de un ciclo hamiltonia
B,D
gr(B) +gr(D)=3+3 5 =
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Ejemplos En este grafo de n= 5 vrticparejas de vrtices no adyac
son: C,D); D,E); C,E); A,B)
C,D
gr C) +gr D)=2+2=4