Graf pohon

Graf pohon

Graf pohon• Graf Pohon adalah graph terhubung yang tidak memiliki sikel.

• Contoh• Hierarki administrasi organisasi OSIS suatu SMA “Selalu Sukses”

2

Contoh Pada Tahun 1857, Arthur Cayley mempelajari hidrokarbon, ikatan kimia yang terbentuk dari atom hidrogen dan karbon. Dia mengetahui bahwa atom hidrogen terikat (secara kimia) dengan satu atom yang lainnya, dan setiap atom karbon terikat dengan empat atom lainnya.

4

Manakah yang merupakan Graf Pohon ?

• Teorema 1 Jika T suatu graf pohon, maka untuk setiap dua titik u dan v yang berbeda di T terdapat tepat satu lintasan (path) yang menghubungkan kedua titik tersebut.

5

Gambar graph yang bukan pohon sedemikian hingga banyak titiknya lebih satu dari banyak sisinya!

Teorema 2 Banyaknya titik dari sebuah graf pohon T

sama dengan banyaknya sisi ditambah satu atau Jika T pohon, maka

|V (T)| = |E (T)| +1

Teorema 3 a. Bila suatu sisi dihapus dari pohon (dan titiknya tetap), maka diperoleh graph yang tidak terhubung, dan karenanya graph itu bukan pohon.

b. Bila sebuah sisi ditambahkan pada pohon (tanpa menambah titik baru), diperoleh graph yang memiliki sikel, dan karena itu graph tersebut bukan pohon.

Teorema 4 Pernyataan berikut ini ekuivalen untuk pohon T. a. T adalah pohon. b. T terhubung dan banyak titiknya lebih satu dari banyak sisinya. c. T tidak memiliki sikel dan banyak titiknya lebih satu dari banyak sisinya. d. Ada tepat satu lintasan (path) sederhana antara setiap dua titik di T. e. T terhubung dan penghapusan sembarang sisi pada T menghasilkan graph yang tidak terhubung. f. T tidak memiliki sikel dan penambahan sembarang sisi menghasilkan sikel pada graph itu.

Teorema 5 Jika P = (v0, v1, v2, ..., vn) sebuah lintasan terpanjang di pohon T, maka d(v0) = d(vn) = 1.

DEFINISI Hutan adalah graph tanpa sikel.

Graf di atas merupakan suatu hutan yang terdiri atas 3 komponen.

Definisi Pohon berakar adalah graph berarah (digraph) T yang mempunyai dua syarat:

1. Bila arah sisi-sisi pada T diabaikan, hasilgraph tidak berarahnya merupakan

sebuah pohon2. Ada titik tunggal R sedemikian hingga derajat masuk R adalah 0 dan derajat masuk sembarang titik lainnya adalah 1. Titik R disebut akar dari pohon berakar itu.

Contoh

Diberikan graf berarah sebagai berikut;

Apabila arahnya diabaikan akan menjadi

Pohon berakar dengan akar A

Titik-titik D, H, E, dan B disebut titik terminal, yaitu titik dengan derajat keluar 0. Sedangkan titik-titik A, C, F, dan G disebut titik internal, yaitu titik yang memiliki derajat keluar yang tidak nol.

Latihan

Definisi Pohon berakar disebut pohon m-ary jika setiap titik internalnya mempunyai anak tidak lebih dari m.

Pohon disebut pohon full m-ary jika setiap titik internalnya mempunyai m anak.Untuk m = 2 disebut pohon biner.

(b)(a)

(c)

TeoremaBanyaknya titik pada pohon full m-ary dengan i buah titik internal adalah n = mi +1

TeoremaBanyaknya titik pada pohon full m-ary dengan i buah titik internal adalah n = mi +1

TeoremaPohon full m-ary dengan

1. n titik mempunyai i = (n - 1)/m buah titik internal dan l = [(m - 1)n + 1]/m buah daun

2. i buah titik internal mempunyai n = mi +1 titik dan l = (m - 1)i + 1 buah daun

3. l daun mempunyai n = (ml – 1)/(m - 1) titik dan i = (l – 1)/(m - 1) buah titik internal

Contoh • Berapa banyak titik dari graf pohon full 5-ary dengan 100 titik internal?

• Berapa banyak sisi dari graf pohon biner dengan 1000 titik internal?

Contoh Misalkan terdapat surat berantai, setiap orang yang menerima surat harus mengirimkan surat kembali ke-4 orang yang berbeda. Sebagian orang yang menerima surat akan mengirimkan surat kembali dan ada sebagian orang yang mengabaikan surat tersebut. Berapa banyak orang yang membaca surat tersebut termasuk orang pertama yang membuat surat apabila ada 100 orang yang menerima surat tersebut tetapi tidak mengirimkan surat kembali? Berapa banyak orang yang mengirimkan kembali?

Definisi Pohon jumlah graph G adalah pohon (yang dibentuk dengan menggunakan sisi dan titik graph G) yang memuat semua titik graph G.

Salah satunya dengan menghapuskan sebuah sisi dari setiap sikel.

MatDis

Contoh

Misalkan G adalah sebuah graph. Sebuah pohon di G yang memuat semua titik G disebut pohon rentang (spanning tree) dari G.

Definisi

Gambarkan semua pohon rentang dari graf G !!

Teorema 6 Graph G terhubung jika dan hanya jika G memuat pohon rentang.

MatDis

Langkah-langkahnya sebagai berikut. 1. (mulai pada sebuah titik). Ambil titik

U dan berikan pada U label 0. Misalkan L = {U}, T = { } , dan k = 0.

2. (L memiliki n titik). Jika L memuat semua titik G, berhentilah; sisi-sisi di T dan titik-titik di L membentuk pohon jumlah untuk G.

Algoritma Pohon Jumlah Pencarian Pertama Lebar

MatDis

3. (L memiliki titik kurang dari n). Jika L tidak memuat semua titik G, tentukan titik yang tidak berada di L yang berdekatan dengan titik di L yang label terbesarnya k. Jika tidak ada titik seperti itu, G tidak memiliki pohon jumlah. Bila tidak demikian, berikan pada titik yang baru itu label k + 1, dan letakkan titik itu di L untuk setiap titik baru berlabel k + 1, letakkan di T satu sisi yang menghubungkan titik itu ke titik berlabel k. Jika ada lebih dari satu sisi seperti itu, pilihlah satu sisi sembarang. Kembalilah ke langkah 2.

MatDis

Contoh

Teorema Graph G adalah terhubung jika dan hanya jika G memiliki pohon jumlah.

Contoh

Algoritma Pohon Jumlah Pencarian Pertama Dalam

Daftar pustaka• Priatna, M., Pohon Rentang, Modul 4

• Rosen, K., (2003), Discrete Mathematics and Its Applications, Mc Graw Hill