Matemática Básica Unidade 11 Unidade 1 Números na turais Metas Esta unidade apresenta a noção matemática que traduz o processo de contagem, a saber, a noção dada pelo conjunto dos números naturais. Objetivos Ao final desta unidade você deve: conhecer os números naturais, assim como a sua representação em notação decimal; saber resolver problemas práticos por meio de contagem; saber aplicar métodos alternativos de contagens; conhecer uma representação geométrica dos números naturais; conhecer as duas operações básicas entre números naturais; entender como se pode aplicar as operações na resolução de problemas práticos.
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Os objetos da matemática não pertencem ao mundo real, são resultados de
idealizações. Todos os seus conceitos e definições são abstratos. Contudo, boa partedeste conhecimento abstrato nasceu da necessidade de uma resposta a situações e
problemas práticos, e está subordinada a algum contexto natural, social ou cultural.
Uma boa forma de relacionar objetos e ideias do nosso universo físico com o
universo abstrato da Matemática se dá por meio de uma associação ou representação de
grandezas e objetos do mundo físico com conceitos matemáticos.
De particular importância é a associação de grandezas a números, conhecida
como processo de quantificação de uma grandeza (ou simplesmente, quantificação de
uma grandeza, ou também, graduação de uma grandeza). Neste contexto, entenda que
o termo grandeza é usado para fazer referência a tudo o que pode aumentar ou diminuir.
A noção de grandeza apresentada aqui pode parecer um pouco vaga. Na verdade,
precisar esta ideia é um problema que inclusive mereceria uma boa discussão, mas
vamos simplesmente dar um pequeno exemplo a fim de ilustrá-la.
Exemplo: Temperatura é uma grandeza física que indica o grau de aquecimento de uma
certa porção de matéria. De modo vulgar, a temperatura é usada para informar o quanto
uma porção de matéria está fria ou quente.
A princípio, toda referência feita a uma grandeza é de natureza
qualitativa. Se fosse perguntado sobre a temperatura de um forno, não graduado, por
exemplo, a resposta só poderia ser algo parecido com quente, frio, muito quente, muito
frio, ou qualquer outra qualificação não muito precisa. Contudo, existe uma forma
bastante eficiente de lidar com grandezas. Isto acontece através de um processo de
quantificação.
Exemplo: (ainda sobre temperatura) Uma forma de quantificar a temperatura é criar um
termômetro de mercúrio. Neste caso, o processo de quantificação da temperatura se dá
atribuindo o valor 0 à temperatura de solidificação da água e 100 à temperatura de
ebulição da água. Com a devida marcação do termômetro a partir desta convenção, cria-
se um processo de quantificação da temperatura. Agora, de posse deste instrumento,
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Aliás, você reparou no último exemplo de grandeza quantificada, a pressão
arterial? Só como exercício, procure prestar atenção nas diversas grandezas objetos de
atenção da Medicina. Veja como elas são tratadas de forma quantificada. Veja, por
exemplo, como que um simples exame de sangue já apresenta uma série de grandezas e
que os resultados do exame são todos quantificados. Você sabia que a pressão alta é
uma doença silenciosa? Você já ouviu esta expressão? Uma pessoa que sofre de pressão
alta não costuma apresentar sintomas, só quando esta atinge níveis bastante altos,quando muitas vezes a pessoa já sofreu algum dano, por exemplo, teve um rim
danificado. Você sabia que o aparelho que permite medir pressão é importantíssimo em
Saúde? Você já prestou atenção nas campanhas que pedem para medirmos nossa
pressão? Este aparelhinho que é capaz de medir nossa pressão, isto é, que quantifica a
nossa pressão arterial, é só mais um exemplo de como a entrada da Matemática nas
nossas vidas é necessária.
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visualizemos os números naturais de outro modo, o que pode ser uma habilidade muito
útil.
Atividade 6: (construindo uma régua com números naturais – a reta graduada)
a) Consiga uma folha de papel quadriculado e uma régua. Com o auxílio da régua,
usando uma caneta de cor diferente da dos quadriculados da folha, destaque uma reta da
folha e fixe uma unidade de medida. Tente obter uma figura parecida com a seguinte.
A partir destas convenções, temos uma reta graduada. Na reta graduada, o número que
é representado por 1 também pode ser representado pelo segmento unidade, OU . Na reta
graduada, o número que é representado por 2 também pode ser representado pelo
segmento que coincide com a justaposição do segmento OU com o segmento côngruo a
este. Assim, no desenho a seguir, que representa uma reta graduada, o segmento OA é
uma representação alternativa para 2.
Considerando justaposições sucessivas do segmento unidade, obtemos os
números naturais representados por segmentos de uma reta graduada. Veja alguns
números com as duas representações correspondentes.
É sempre interessante fazer a correspondência entre a representação decimal deum número e sua representação na reta graduada, conforme o desenho acima. Contudo,
1
2
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g) Encontre a representação geométrica de 14 no desenho a seguir?
h) Na figura a seguir, quanto mede o segmento AB?
Desafio: Leitor, você consegue construir uma reta graduada a partir de uma unidade de
medida arbitrária, escolhida por você mesmo, em uma folha sem nenhuma pauta? Dica:Utilize uma régua para a construção da reta e um compasso para a construção dos
múltiplos da unidade (não utilize as unidades da régua).
Contagem na previsão de eventos
Até agora vimos alguns exemplos onde os números naturais foram úteis na
comparação de grandezas. Podemos aplicar o conhecimento dos números naturais emoutro tipo de problema bem interessante, a saber, o problema de previsão.
Exemplo: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um
minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja
tinha diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a
temperatura tinha diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este
comportamento se mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura
ambiente de 20ºC?
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Assim, contando o tempo decorrido, em minutos, e a mudança sucessiva de
temperatura, podemos antecipar que o forno vai alcançar a temperatura ambiente depois
de 15 minutos.
Leitor, veja como a contagem realizada nesta questão é interessante, não
precisamos esperar passar os 15 minutos para ficar sabendo que o forno alcançou a
temperatura ambiente. Contudo, é bom ficar claro que isto é uma previsão. Estamos
supondo que é isto que vai acontecer (sem precisar esperar os 15 minutos passarem). É
evidente que podem aparecer outros fatores capazes de alterar esta previsão. Mas, a
princípio, baseado nos dados fornecidos, o tempo de espera de 15 minutos parece ser
uma boa estimativa.
Por exemplo, se você utilizou um forno em condições semelhantes e possui uma
criança pequena em casa, já pode prever que a criança só poderá entrar na cozinha emsegurança depois de 15 minutos do forno ter sido desligado.
Atividade 7:
a) Existe uma forma bem simples de montar uma tabela como a do exemplo anterior.
As planilhas eletrônicas (por exemplo, o Excel ou BrOffice – este último é um
programa livre e você pode pedir ajuda ao seu tutor de Informática sobre mais
informações) oferecem ótimos recursos matemáticos e um destes é ajudar a montarfacilmente tabelas como a anterior. Tente realizar as etapas descritas a seguir.
1º) Em uma planilha, preencha as três primeiras células da primeira linha com os
valores 1, 2 e 3, respectivamente.
2º) Selecione as três células preenchidas, você encontrará as três células cercadas
por um retângulo com um pequeno quadrado do lado, chamado alça de
preenchimento, com o seguinte aspecto: .
3º) Clique em cima do pequeno quadrado e arraste a alça ao longo da linha, vocêverá as células sendo preenchidas automaticamente.
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Se você começar a preencher as células com sequências variadas, o programa irá
preencher as células seguintes de acordo com a sequência definida. Experimente criar
automaticamente a sequência dos números pares, ou a sequência dos números múltiplos
de 9, por exemplo. Tente recriar a tabela do exemplo anterior.
Se você preencher uma planilha eletrônica conforme a figura acima
e selecionar as 3 células preenchidas, basta arrastar o quadradinho para direita
para obter a sequência de valores do exemplo anterior.
b) Uma forma interessante de realizar contagens se dá através da representação
geométrica dos números naturais. Consiga uma trena com 2 m de comprimento, pelo
menos. Consiga também um pedaço de linha de 12 centímetros. Vamos representar atemperatura do forno através dos centímetros da trena. Assim, a marca 200 cm da trena
representa a temperatura inicial do forno. Ande com o pedaço de linha a partir da marca
de 200 cm, diminuindo de 12 cm em 12 cm. Conte cada diminuição de marca, até
chegar à temperatura ambiente, isto é, até chegar à marca de 20 cm.
Exemplo: Imagine que você comece a brincar com palitos, formando quadrados, como
na figura a seguir. Quantos palitos são necessários para se montar uma sequência de 17quadrados?
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Na primeira linha, temos a contagem do número de peças. Na segunda linha,
temos o custo correspondente à quantidade de peças. Para uma peça, temos a tarifa de
100 reais pela entrega, mais 15 reais pelo custo da peça. Para duas peças, temos 115
mais o custo da segunda peça. Daí por diante, continuamos a aumentar o custo em 15
reais para cada nova peça, fazendo, assim, a contagem de 15 em 15.
Na terceira linha, temos a receita correspondente ao número de peças vendidas.
Com uma peça vendida, o comerciante recebe 30 reais. Com duas peças vendidas, ele
recebe mais 30, somando 60, então. O preenchimento da terceira linha prossegue com a
contagem de 30 em 30.
De acordo com os números obtidos, o comerciante tem que encomendar pelo
menos 7 peças, para obter algum lucro (é quando temos a receita maior do que o custo –
lembre que: lucro = receita custo).
Observação: Novamente, leitor, veja como o processo de contagem ajuda a prever
situações e com uma série de economias. Neste último exemplo, o comerciante não
precisou comprar as peças, nem vendê-las, para só então constatar qual é a melhor
maneira de montar o seu estoque. Ele simplesmente previu isto através do processo de
contagem.
Atividade 8: Uma piscina de 1000 litros, vazia, recebe água a uma vazão constante.
Como podemos estimar quando a piscina ficará cheia?
a) Imagine que você tenha um balde de 6 litros e que marcou o tempo que levava para
encher o balde, 2 minutos. Baseado nestas informações, faça a previsão de quando a
piscina ficará cheia. (Utilize os recursos de contagem que você aprendeu aqui.)
b) Suponha que a piscina, de novo vazia, esteja agora com um pequeno vazamento e
que esteja perdendo um litro de água a cada 10 minutos. Refaça a previsão de quando a
piscina ficará cheia.
O processo de contagem, em seu estado mais evoluído, é muito mais do que
associar quantidades, ou representar quantidades. O processo matemático de contagem
pode significar também a possibilidade de trabalhar com objetos, mesmo sem tê-los à
frente, ou de trabalhar com quantidades inimagináveis. Assim, podemos fazer
referências a manadas de elefantes, sem precisar juntá-los em um mesmo lugar.Podemos contar planetas, mesmo que não possamos vê-los. Podemos até falar sobre
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base e da altura do retângulo. Para encontrar o total de objetos, só é preciso fazer o
produto dos dois valores encontrados.
Veja a figura a seguir.
Olhando os objetos da forma desordenada que estão, a única maneira de contar estes
objetos é passando por cada um deles, de um em um. Agora, olhe a figura a seguir,
formada com os mesmos objetos, mas organizados numa forma retangular.
Ainda podemos contar objeto por objeto. Mas, vamos apenas contar os objetos
da base e da altura. Na base, temos 12 objetos. Na altura, temos 11. Assim, o total de
objetos pode ser calculado por: total de objetos = 12×11 = 131.
Observação: (Sobre a inclusão do número 0) Com a utilização das operações, o símbolo0 passou a ter maior importância. Por exemplo, é interessante ter um símbolo para
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Neste caso, quando for necessário fazer referência aos naturais diferentes de zero, usa-se
a notação *. Ou seja, temos
* = {1, 2, 3, 4, ...}.
Já vimos como a representação geométrica dos números naturais pode ser útil no
processo de contagem. Será que esta interpretação geométrica dos números também
pode ser utilizada na realização das operações? Veja, leitor, o que acha das calculadoras
dadas a seguir.
(Calculadora analógica de somas) Trabalhando com duas réguas, como na figura
abaixo, você obtém uma calculadora de soma bastante interessante. Por exemplo, para
efetuar a soma, 4 + 7, posicione a origem da segunda superior sobre o número 4 da reta
da base. Verifique que o número 7 da reta superior coincide com o valor da soma, 11.
Se você trabalhar com réguas maiores, poderá efetuar somas maiores. Esta calculadora
pode ser útil para perceber certas propriedades operacionais, como: a + b = b + a; a + 0
= a; a a = 0; a + x = b x = b a (desde que b > a). Experimente brincar com esta
calculadora!
(Calculadora analógica de produtos) Para entender melhor a calculadora de produtos,
acompanhe esta historinha, leitor. As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos domundo antigo. O filósofo grego Tales (nascido por volta de 585 a.C.), em uma de suas
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O processo descrito pode ser aplicado para qualquer par de números naturais. Se
você souber trabalhar com régua e esquadro, é bem simples montar a sua própria
calculadora e brincar com ela. Se você quiser se aventurar neste projeto, utilize papelquadriculado. Novamente, você pode usar sua calculadora geométrica para perceber
algumas propriedades operacionais, como: a.0 = 0; a.1 = a; nem sempre a equação ax =
b tem solução.
Comentários finais
A resolução abreviada de problemas através de expressões matemáticas ilustra
bem como as operações podem ser importantes na manipulação dos números. Em
particular, mostra como o domínio de técnicas matemáticas pode ajudar a resolver os
problemas mais variados, tanto os da própria Matemática, quanto os de fora desta.
Caro leitor, ao longo deste curso, você deve rever algumas das técnicas
matemáticas estudadas no ensino básico, principalmente no ensino médio. O domínio
destas técnicas pode ajudar na resolução de problemas, como ilustrado aqui, mas
também pode ajudar você a adquirir novos conhecimentos matemáticos, aqueles que
serão motivo de estudo nas disciplinas do seu curso.
Você está convidado a entrar nesta viagem de conhecimentos que pode te levar a
horizontes infinitos. O conjunto dos números naturais é apenas o primeiro passo desta
jornada.
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6) Refaça o exercício 6 utilizando a representação numérica decimal e a operação
produto. (Dica: A idéia aqui é usar o produto para diminuir a repetição de somas e
tornar o processo de descobrir o quociente e o resto mais rápido.)
7) João vai ter que tomar um remédio por 130 dias. Ele começou a tomar o remédio no
dia 20 de junho. Em que dia do ano ele tomará o último comprimido. E se João
começar a tomar o remédio no dia 20 de novembro? Quantas semanas ele levará
tomando o remédio? (Você pode utilizar qualquer recurso de contagem.)
Respostas das atividades
Atividade 2:a) São 8 números: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22. Por exemplo, o número cujarepresentação decimal é 3, tem como representação na base 3 o símbolo 10.
b) Os dias das semanas são contados na base 7, os dias dos meses são contados, emmédia, na base 30, os dias dos anos são contados na base 365, os ângulos são contados,em graus, na base 360.
Atividade 3: O conjunto pedido é {1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45}.Atividade 5: As duas regiões têm área igual a 24. Na primeira, o perímetro é 26,enquanto o perímetro da segunda é 20. Assim, se fosse a planta de uma casa, a segundaplanta representaria um projeto mais econômico, pois o gasto com paredes (tijolo,massa, tinta, etc) seria menor.
Atividade 6:b) 11c)
d) 3e) 10f) 20g)
h) Uma boa maneira de se resolver este problema é fazendo uso de um compasso.Colocando a ponta seca no ponto A e a outra ponta do compasso sobre o ponto B, gira-se o compasso até encontrar o eixo paralelo à reta graduada. Pela graduação da figura,podemos concluir que o segmento mede 5 unidades.
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Pode-se resolver esta questão por meio de teoria matemática, a saber, o teorema dePitágoras para triângulo retângulo. Basta verificar no desenho que o segmento dado é ahipotenusa de um triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4.
Atividade 8: Esta atividade é interessante. Vejamos o item (a). Você sabe que o volumede água da piscina aumenta em 6 litros a cada 2 minutos. Você tem noção de quantotempo levará para a piscina encher? Bom, em vez de esperar a piscina encher, pode-seprever este tempo fazendo a contagem. Experimente fazer esta contagem diretamente,ou através da representação geométrica. Você verá que isto dá trabalho.
Uma boa forma de realizar a contagem no item (a) é usar uma planilhaeletrônica. Construa uma linha para o volume de água e use o recurso de arrastar atépassar do valor 1000. Construa uma segunda linha para representar o tempo. A planilhacomeçará assim:
Assim, o volume da piscina atingirá 1000 litros antes de 334 minutos. Ou seja, antes de5 horas e 34 minutos (334 = 5.60min + 34min = 5h + 34min).
Desafio: Como que o homem faria para resolver este tipo de problema de contagem semos recursos tecnológicos atuais? Você conseguiria realizar esta contagem, até o final,
“na mão”, ou por representação geométrica? Ou melhor, você conseguiria fazer umacontagem assim de uma “forma inteligente”, sem ter tanto trabalho?
Para o item (b), a questão é que a piscina passa a encher 29 litros a cada 10minutos (se enche 6 litros em 2 minutos, enche 30 litros em 10 minutos, mas perde 1litro). Se você montar uma planilha de contagem para estas informações obterá que apiscina ficará cheia antes de 350 minutos. A sua tabela começará assim.
1) Basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de
múltiplos e a segunda linha representando o múltiplo. Observe que o primeiro múltiplode 4 maior do que 15 é 16, então temos a tabela
1 2 3 4 5 6 7 8
16 20 24 28 32 36 40 44
Portanto, são 8 múltiplos de 4.
Outra maneira de resolver é escrevendo que os números procurados são do tipo 4k ,
onde k é um inteiro, tal que 15 < 4k < 45, logo
e, portanto,
k = 4, 5, ..., 11, donde temos que o número n de múltiplos de 4 entre 15 e 45 é n = (11 – 4) + 1 = 8.
2) Numa planilha eletrônica, é fácil montar a tabela representada parcialmente a seguir.77 84 91 98 105
1 2 3 4 5
....
1981 1988 1995 2002
273 274 275 276
Assim, a contagem mostra que existem 275 múltiplos. Se você tem dificuldadesde manipular uma planilha eletrônica, pode se utilizar de uma trena de 2 metros e contar
de 7 em 7 centímetros, a partir de 77 cm. Se você não gosta de usar a contagem nestescasos de números grandes, pode usar o segundo método de solução do exercícioanterior.
3)a) Montando a tabela, com a primeira linha representando o tempo em minutos e asegunda linha representando a quantidade de água em litros, temosmin. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11litros 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44
Logo, jorrarão de água em 11minutos. Veja que a quantidade Q de água que jorraem t minutos é dada por Q=4t.
b) Primeiro, o tempo será convertido para minutos, então 2h 21min equivale a
. Assim, a quantidade de água que jorra em 141min é dada por
.c) Para determinar o tempo necessário para a torneira despejar de água devemosdeterminar , tal que , então dividindo 98 por 4, obtemos ,portanto levaremos 24min adicionado ao tempo necessário para jorrar de água , que émeio minuto (ou 30segundos). Portanto, serão necessários 24min30s.
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4) Utilize a representação geométrica dos números naturais para fazer divisões
euclidianas. Lembre que o algoritmo de Euclides da divisão determina, dados dois
números naturais a, b , o quociente q e o resto r tais que:
a = qb + r e 0
r < b.a) a = 25 e b = 3 q = 8 e r = 1. A figura a seguir mostra múltiplos 3. Com 8 múltiplos
de 3, chegamos a 24 e 1 é o resto para chegar a 25.
b) a = 25 e b = 7 q = 3 e r = 4.
c) a = 51 e b = 6 q = 8 e r = 3.
d) a = 94 e b = 3 q = 31 e r = 1.
Obs: Estas são as respostas, mas o exercício é realizar o procedimento geométrico paraobter estes valores.
5) A solução aqui é o procedimento. Pelo que foi pedido, o procedimento para (a) érealizar somas: 3, 3 + 3 = 6, 6 + 3 = 9, 9 + 3 = 12, 12 + 3 = 15, 15 + 3 = 18, 18 + 3 = 21,21 + 3 = 24. Como temos 8 somas sucessivas, temos q = 8. Temos que r = 25 24 = 1.
6) O procedimento pedido para esta questão é determinar múltiplos. Temos, no item (a),3 = 1.3, 6 = 2.3, 9 = 3.3, 12 = 4.3, 15 = 5.3, 18 = 6.3, 21 = 7.3, 24 = 8.3.
7) O objetivo da maioria destas questões é mostrar que quando não sabemos nenhumaestratégia matemática para resolver uma questão, podemos apelar para a simplescontagem. Esta questão é um bom exemplo. Para resolvê-la, basta pegar um calendárioe contar os dias.