GOUTTES ET MÉANDRES SUR UN PLAN INCLINÉ Nolwenn Le Grand-Piteira Thèse de doctorat de l’université LABORATOIRE DE PHYSIQUE ET MÉCANIQUE DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES Ruissellement avec effets de mouillage :
GOUTTES ET MÉANDRES SUR UN
PLAN INCLINÉ
GOUTTES ET MÉANDRES SUR UN
PLAN INCLINÉ
Nolwenn Le Grand-Piteira
Thèse de doctorat de l’université
LABORATOIRE DE PHYSIQUE ET MÉCANIQUE
DES MILIEUX HÉTÉROGÈNES
Ruissellement avec effets de mouillage :
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Ruissellement et mouillage
Introduction
Ruissellement de liquides sur solides formes complexes mal comprises
Combinaison d’hydrodynamique avec mouillage problème délicat
Liquide (L) sur solide (S), en présence de gaz (G) = « mouillage »
goutte
Mouillage total Mouillage partiel
film
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Mouillage partiel: cas statique - Rappels
cosθs =
γSG −γSL
γ
rFh =γ cosθr,s−cosθa,s( )
rux
Angle de contact statique θs donné par loi d’Young
Force d’accrochage sur substrat (par unité longueur)
Introduction
En réalité, θr,s < θs < θa,s
(cf. méandres)
Hystérésis de mouillage: H= θa,s -θr,s
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Mouillage dynamique - Rappels
Stokes+ approximation de lubrification (θ petit)
hxx( )
x=±3
Ca
h2
Introduction
viscositéGradient pression
Ca=
ηUγ
=visqueuxcapillaire
U
Divergences
Raccordements
• θ=θs en h=a~nm, échelle microscopique
• macroscopique à l’échelle b~mm
Pas de théorie avec hystérésis
θs=θa,s ou θr,s θ3 −θs
3 =±9lnba
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟Ca
Cox-Voïnovθ=hx
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Plan
Structure et stabilité de la singularité ?
Pourquoi le filet méandre-t-il ?Morphologie ?
Introduction
I Singularité de gouttes sur un plan incliné
> pb actuel de formation de pointes > aspect mouillage en plus
Podgorski (2001) Cohen & Nagel (2002)Courrech du Pont & Eggers (2006)
II Méandres
1. Mouillage partiel (avec hystérésis) 2. Mouillage total (sans hystérésis)
Lorenceau et al. (2003)
Singularité à l’arrière de
gouttes glissant sur un plan
incliné
PREMIÈRE PARTIE
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Montage expérimental Huile silicone sur FC 725 θa,s~50° et θr,s~45°
Viscosités: η=10,0cP 104 cP 1040 cP
V=6µL
Ca varié avec
Ca
Ovale Coin Cusp Perlage
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
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Transition ovale/coin: état de l’art
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
Inclinaison évite transition de mouillage
vitesse à LC
maintenue à Uc alors que U>Uc
Rio et al. (2005)
θr3 −θr,s
3 =−9ln(b/ a)Ca
Idée de Podgorski: analogie avec plaques tirées hors d’un bain
Photographie: G. Delon
Podgorski (2000), (2001);Blake & Ruschak (1979)
sinϕ =
θr,s3
9ln(b/ a)1Ca
θr=0
θr=0?
Mesures θr et θa
test de Cox-Voïnov
valeurs de θr,s et 9ln(b/a)
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Transition ovale/coin (II)
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
θr=θc≠0 à la transition en coin
η=1040cP
θc~20°- 25°
θ3 −θs
3 =±9ln(b/ a)Ca
Cox-Voïnov s’ajuste bien et avec mêmes préfacteurs en avancée et reculée (130, 100, 80)
Mesures macroscopiques des angles:
η=10,0cP
sinϕ =
θr,s3 −θc
3
9ln(b/ a)1Ca
η=104cP
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Structure de l’interface en régime de coin
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
Modèles du coin: selle ou cône? Ben Amar et al. (2003); Limat & Stone (2004)
Selle suppose θc=0 et cône θc≠0
Solutions autosimilaires de l’équation de Stokes + lubrification
r∇ h3
r∇(Δh)⎡⎣ ⎤⎦=3Cahx
h(x,y)=xH(y/ x)
tan3Ω=
3516
Catan2 ϕ
Ω testé par mesures de θr et Ω continus
structure autosimilaire
η=10,0cP
11/37Régularisation de la pointe: un « coin rond » (I)
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
η=10,0cP η=104cP η=1040cP
Courbure à la pointe du coin à une échelle de plus en plus petite
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Coin rond (II)
Pb: U>Ucrit à la pointe, pourtant pas de transition de mouillage
hxx +hyy( )
x y=0=−3
Ca
h2
hyy ; −
hxR
interface parabolique
Courbure retarde transition de mouillage
(Avec J. Snoeijer)
80% de θr,s
θr,s
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
13/37Prospections au-delà du coin: cusp et perlage
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
Angles d’ouverture aux transition: =45° pour cusps et =30° pour perlage
Collaborations avec J.Eggers, J. Snoeijer et H.A. Stone: seuil de perlage
Seuil de perlageSeuil coin/cusp
C=
635+182
~25°
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Perspectives: largeur du filet en perlage
Ca
Collaborations avec J.Eggers, J. Snoeijer et H.A. Stone: seuil de perlage
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
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Conclusion sur les gouttes
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
4 régimes: ovale, coin, cusp, perlant
Travaux en cours sur le cusp et le perlage
Coin:
θc≠0 à transition ovale/coin (~20°) -> cône
Forme autosilmilaire
Régularisation de singularité (courbure de LC)
Transition de mouillage retardée en inclinant ligne de contact ()
ou en se courbant fortement
θa et θr bien décrits par Cox-Voïnov tronquée à θr= θc
Instabilité de méandrage d’un filet
liquide
SECONDE PARTIE
1. Méandres sur une plaque, avec hystérésis2. Méandres sans hystérésis, en mouillage total dans une cellule de
Hele-Shaw
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Intérêts variés pour les méandres
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Géophysique Ingénierie
Drenckhan et al. (2004); Anand & Bejan (1986)
érosion et dépôtsédiments
rivières
Rivière Maiandros
méandres àsurface libresans érosion
méandres de surfactantsdans cellule
de Hele-Shaw
Physique des mousses
Mime ondulations bords Plateau
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Motivations pour les méandres sans érosion
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Origine de l’instabilité ?
Seuil des méandres ?
Morphologie ?
Culkin (1982); Nakagawa & Scott (1984); Schmuki & Laso (1990)
Bruinsma (1990)
Davis (1980)
Études expérimentales qualitatives
Peu d’études théoriques
• Instabilité variqueuse d’un filet droit
-> Pas de modélisation satisfaisante des méandres
• Très peu de choses sur le seuil
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Montage expérimental
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Paramètres de contrôle : Q et
Eau distillée sur Mylar (PET)
-> hystérésis: 35° (θr,s=35° et θa,s=70°)
Plaque longue pour voir effets distance à l’injection
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Régimes d’écoulement: débit croissant
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Q ( fixé)
(=32° Q=2,65mL/s)
Droit Méandres stationnaires Instable RestabilisationQc1 Qc2Gouttes
Stationnaires
Forme f(Q, )
Stables
(=32° Q=1,19mL/s)
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Seuil de méandrage
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Bilan forces selon la normale
Condition de méandrage: Fi ≥Fγ +Fh
• Inertie d’entraînement Fi Déstabilisante
• Tension de ligne Fγ Stabilisante
• Accrochage sur substrat Fh Réactive
Variations de Qc avec
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Forces en jeu au seuil
Fi ∝
1rc
Fh( )
max=γ cosθr,s −cosθa,s( ) =cte
Fγ ∝
1rc
Apparition de méandres: rc petit ~mm
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Au seuil Fh << (Fi, Fγ) Fi =Fγ
Qc1 ∝
γρ
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
4/ 5νg
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
3/ 5
sin−3/ 5
Conservation débit
+ demi-Poiseuille
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Morphologie des méandres: stationnarité
Fi =Fh
Hystérésis retient méandres forme stationnaire
Qd méandres développés, limite inverse: Rc grand (~qq cm)
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Fi ∝
1Rc
Fh( )
max=γ cosθr,s −cosθa,s( ) =cte
Fγ ∝
1Rc
Fγ << (Fi, Fh)
Demi-Poiseuille + conservation du débit
Rc ∝Q3/ 2 sin
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Rayon de courbure moyen <Rc>
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Rc ∝Q3/ 2 sin = loi proposée par modèle où Fi=Fh
25/37Longueur d’onde moyenne <>
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
< > ∝Q3/ 2 sin
=4Rc
Méandres comme suite de demi-cercles
Même loi d’échelle pour Rc et ?
26/37Amplitude moyenne <A> - Loi d’échelle universelle
< A > ∝Q3/ 2 sin
< Rc >,< >,< A >( ) ∝Q3/ 2 sin
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Loi d’échelle universelle
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Forme globale des méandres
Arcs de cercles + pentes
Si ϕ petit: < >=4 < Rc > +2 < A > −2 < Rc >( )
demi-cercles correction
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Loi universelle -> grandeurs liées entre elles
=17°
=17°±2°Expérimentalement:
Préfacteurs des lois d’échelle de A, et Rc
donnent aussi
Pourquoi 17° ?
Qu’est-ce qui détermine longueur parcours obliques ?
28/37Préfacteur de <Rc>: retour sur le rayon de courbure
<Rc >=65
ργ cosθr,s −cosθa,s( )
gsin3ν
f(θmoy)⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
1/ 2
.Q3/ 2 sin
Retrouvé expérimentalement
sans paramètre ajustable
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Modélisation donne préfacteur de <Rc>:
Fi=Fh
Portion de cylindre, angle de contact θmoy=(θa,s+θr,s)/2
Demi-Poiseuille dans tranches du cylindre
> gravité g.sin.sinϕ
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Vitesse moyenne dans les filets
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Vitesse constante le long filet
Vitesse tangentielle mesurée par avancée de colorant
Méandre produit pas nouveaux méandres
sur lui-même -> structure stable
Forte chute de vitesse au seuil
Modèle de demi-Poiseuille en tranches dans cylindre bien vérifié avec
θ=θa,s pour le filet droit
θ=θmoy=(θa,s+θr,s)/2 pour méandres et gravité en g.sin.sinϕ
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Hystérésis en débit: décroissance de Q
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Forces d’accrochage Fh réactives
-> empêchent méandre de redevenir droit
-> équilibrent Fγ même si Fi → 0
Régime droit disparaît
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Bilan
Méandres en mouillage partiel sur un plan incliné
Forme stationnaire: compétition inertie/accrochage
Hystérésis en débit dû à l’accrochage (force réactive)
Forme conservée à la décroissance en débit
Pas de régime droit
< Rc >,< >,< A >( ) ∝Q3/ 2 sin
¿ Méandres possibles sans hystérésis ?
Qc ∝ sin−3/ 5 compétition inertie/tension de ligne Seuil
3 forces en jeu:
inertie (Fi), tension de ligne (Fγ), accrochage (Fh) (hystérésis)
SECONDE PARTIE (II)
1. Méandres sur une plaque, avec hystérésis
2. Méandres sans hystérésis, en mouillage
total dans une cellule de Hele-Shaw
Instabilité de méandrage d’un filet
liquide
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Montage sans hystérésis de mouillage
Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw
Méandres de surfactants dans cellule de H-S déjà observésAnand & Bejan (1986); Drenckhan et al. (2004)
Mouillage total pour supprimer hystérésis
étalement en film plus possible sur un plan
cellule de Hele-Shaw
Huile silicone pour s’affranchir de variations de γ
• Cellule verticale
• η=2cP
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Méandres d’huiles silicones η=2cP
Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw
Surfactants non-nécessaires pour obtention de méandres
Pas d’hystérésis de mouillage (accrochage)
pas d’hystérésis en débit
Qseuil=6,5mL/min
Q=10mL/min
méandres mouvants vitesse de phase
Expériences à plus haut débit seuil supérieur de méandrage?
saturation de vphase?
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Seuil de méandrage
Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw
Écoulement de Poiseuille
(vérifié par mesures de la largeur du filet)
Seuil théorique à 7,5mL/min
(contre 6,5 expérimentalement)
Équilibre inertie/capillarité
• Prendre vphase en compte:
• si vfluide=vphase alors Fi=0
-> un jet tombant ne méandre pas
• introduit correction ~7% sur vfluide
ρS
(vfluide−vphase)2
R=2γ
dR
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Bilan - Perspectives
eausur Mylar
eau/glycérol η=7cPsur Mylar
Étude en viscosité 2cP < η < 10cP dans le cas avec et sans hystérésis
Hystérésis nécessaire pour stationnarité des méandres et détermine
leur forme
Méandres gouvernés par simple équilibre de forces
-> inertie, capillarité et éventuellement hystérésis
Conclusion
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Perspectives
Jet en chute libre méandre pas: doit être confiné dans parcours courbe
-> tuyau joue rôle d’accrochage sur substrat
Gouttes et méandres
Conclusion
QuickTime™ et undécompresseur Animation JPEG OpenDMLsont requis pour visionner cette image.
Photographie: E. de Langre
Eau sur RainX
MERCI DE VOTRE ATTENTION
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Seuil gouttes
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
Ca; Bo−Boc
Dussan V. (1985) Études sur seuil de mise en mouvement et vitesse au-delà du seuil
Au-delà seuil
Bilan des forces:
> Poids équilibré par frottements visqueux
> Décalage provenant de l’hystérésis
Ca=
ηUγ
=visqueuxcapillaire
Vitesse réduite
Bo=V2/ 3 ρgsin
γ=
gravitécapillaire
V
Seuil
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Perlage
Singularités de gouttes glissant sur un plan incliné
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Sans pompe
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Gravité
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Poiseuille entre deux plaques
Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw
Comme pour méandres avec hystérésis: viscosité repousse seuil Augmente largeur des filets
44/37Amplitude, longueur d’onde, et vitesse de phase
Méandres en mouillage total dans une cellule de Hele-Shaw
Vitesse de phase beaucoup plus importante que pour les surfactants