Goniometrie
Goniometrie
Goniometrie
Stránka 863
Obsah
5. Goniometrie .................................................................................................................... 864
5.1. Základní hodnoty goniometrických funkcí ..................................................................... 864
5.2. Goniometrické vzorce ..................................................................................................... 867
5.3. Goniometrické funkce ..................................................................................................... 873
5.4. Goniometrické rovnice .................................................................................................... 882
5.5. Sinova a kosinova věta .................................................................................................... 894
Goniometrie
Stránka 864
5. Goniometrie
5.1. Základní hodnoty goniometrických funkcí
1. Určete hodnoty goniometrických funkcí:
a) 25
sin6
b) 25
tg6
c) 33
cos4
d) 35
cotg4
e) 19
cos3
f) 37
cotg6
g) 19
sin4
h) 19
tg4
Řešení:
a) 25 1
sin sin6 6 2
b) 25 3
tg6 2
c) 33 2
cos4 2
d) 35
cotg 14
e) 19 1
cos3 2
f) 37
cotg 36
g) 19 2
sin4 2
h) 19
tg 14
2. Určete hodnotu výrazu:
a)
11
2 2
1
1 3 9tg315 0,4 sin 210
1 3 16
b)
1
2 19 2cos 225 0,1 sin 450 tg225
2 3
c)
12
21 289 1 11,7 : cos240 sin90
25 9 3
Goniometrie
Stránka 865
Řešení:
a)
11 1
2 2
1 1
1 3 9 1 3 4 100 1tg315 0,4 sin 210 tg315
1 3 16 1 3 3 16 2
2
50 1 50 973 14 3 2 3 6
3
b)
1
2 19 2 2 2 2cos 225 0,1 sin 450 tg225 10 1
2 3 2 3 3
2 410 9
6 6
c)
12
21 289 1 1 10 17 1 11,7 : cos240 sin90 : 9 1 1 1 0
25 9 3 17 5 2 9
3. Vypočtěte:
a) 7cos0 3sin 8tg2
b) 2
4 2 5 7sin cos cot
3 3 4 4g
c) 2tg0 cos sin cotg2 2
d) 3
6tg4 4cos 2sin2 2
e)
2tg cotg
3 3
2tg cotg
3 3
f) tg cotg sin tg6 6 6 3
g)
3 3tg cotg
4 4
sin cos 62
h) 3
sin cos tg cotg4 4 4 4
Řešení:
a) 7cos0 3sin 8tg 7 3 0 42
b) 2
4 2 5 7 3 1 5sin cos cot 1
3 3 4 4 4 2 4g
c) 2tg0 cos sin cotg 2 0 1 1 0 22 2
d) 3
6tg4 4cos 2sin 6 0 4 0 2 1 22 2
e)
2 3 2 3tg cotg 33 3 3 3 1
2 2 33tg cotg 33 3 33
Goniometrie
Stránka 866
f) 3 1 3 2 3
tg cotg sin tg 3 3 16 6 6 3 3 2 2 2
g)
3 3tg cotg
1 14 41
1 1sin cos 6
2
h) 3 2 2
sin cos tg cotg 1 1 14 4 4 4 2 2
4. Rozhodněte, zda následující tvrzení je pravdivé:
a) 23 3
sin6 2
b) 7 3
sin3 2
c) 19 2
cos4 2
d) 5 1
cos3 2
Řešení:
a) 23 1
sin6 2 . Tvrzení není pravdivé.
b) 7 3
sin3 2
. Tvrzení je pravdivé.
c) 19 2
cos4 2 . Tvrzení není pravdivé.
d) 5 1
cos3 2
. Tvrzení není pravdivé.
5. Z grafu funkce nebo jednotkové kružnice zjistěte, zda následující tvrzení je pravdivé.
a) sin 20 sin140
b) sin35 cos65
c) cos20 cos140
d) cos35 cos65
e) cos50 cos320
f) cos230 sin190
Řešení:
a) Tvrzení je pravdivé.
b) Tvrzení je pravdivé.
c) Tvrzení není pravdivé.
d) Tvrzení je pravdivé.
e) Tvrzení není pravdivé.
f) Tvrzení je pravdivé.
Goniometrie
Stránka 867
5.2. Goniometrické vzorce
1. Vypočtěte bez použití kalkulačky:
a) sin13 cos17 sin17 cos13
b) cos20 cos25 sin20 sin25
c) 2 2 3cos cos
8 8
d) sin15 sin75 cos75 cos15
Řešení:
a) Využijeme vzorec sin( ) sin cos sin cosx y x y y x
1sin13 cos17 sin17 cos13 sin(13 17 ) sin30
2
b) Využijeme vzorec cos( ) cos cos sin sinx y x y y y
2cos 20 cos 25 sin 20 sin 25 cos(20 25 ) cos 45
2
c) Využijeme vzorec 3
cos sin cos sin2 8 8
x x
a vzorce
2 2cos2 cos sinx x x
2 2 3 2cos cos cos 2 cos
8 8 8 4 2
d) 2 2 3sin15 sin75 cos75 cos15 cos 75 sin 75 cos150
2
2. Upravte výraz sin35 cos5 cos35 sin5
cos25 cos5 sin 25 sin5
.
Řešení: Využijeme vzorce sin sin cos cos sinx y x y x y a
cos cos cos sin sinx y x y x y
sin 35 5sin35 cos5 cos35 sin5 sin30 3tg30
cos 25 cos5 sin 25 sin5 cos 25 5 cos30 3
3. Určete tg x , jestliže:
a) 4
cos a ;5 2
x x
b) 1 3
sin a ;22 2
x x
c) 3
sin 0,6 a ;2
x x
Goniometrie
Stránka 868
Řešení:
a) 2 2
2
2
sin cos 1
16sin 1
25
9sin
25
3sin
5
3; sin
2 5
3
35tg 4 4
5
x x
x
x
x
x x
x
b) 2 2
2
2
sin cos 1
1cos 1
4
3cos
4
3cos
2
3 3 3;2 cos tg
2 2 3
x x
x
x
x
x x x
c) 2 2
2
2
sin cos 1
0,36 cos 1
cos 0,64
cos 0,8
cos 0,8
0,6 3tg
0,8 4
3tg
4
x x
x
x
x
x
x
x
4. Určete sin x , jestliže:
a) 8 3
tg a ;15 2
x x
b) 1 3
tg a ;2 2
x x
c) cotg 3 a ;2
x x
Goniometrie
Stránka 869
Řešení:
a) 2 2
2 2
2 2
sin sin 8 15tg cos sin 225
sin sin 1cos cos 15 864
sin cos 1
289 64 8sin 1 sin sin
64 289 17
3 8; sin2 17
x xx x x
x xx x
x x
x x x
x x
b)
2 2
2
sin 1
cos 2
1sin cos
2
1cos cos 1
4
4cos
5
3 4; cos2 5
4cos
5
x
x
x x
x x
x
x x
x
c)
2 2
2
2
cos3
sin
cos 3sin
sin 9sin 1
10sin 1
1sin
10
1sin
10
1; sin
2 10
x
x
x x
x x
x
x
x
x x
Goniometrie
Stránka 870
5. Určete cos x , jestliže 15 3
sin a ;217 2
x x
.
Řešení: 2 2
2
2
sin cos 1
225cos 1
289
64cos
289
8cos
17
3 8;2 cos
2 17
x x
x
x
x
x x
6. Určete cotg x , jestliže:
a) 5 3
cos a ;23 2
x x
b) 3
cos a ;2 2
x x
Řešení:
a) 2 2
2
2
sin cos 1
25sin 1
169
144sin
169
12sin
13
3 12;2 sin
2 13
x x
x
x
x
x x
b) 2 2
2
2
sin cos 1
3sin 1
4
1sin
4
1sin
2
1; sin
2 2
x x
x
x
x
x x
Goniometrie
Stránka 871
7. Rozložte na součin:
a) cos2 2cos 1x x
b) sin cos2 1x x
c) 2cos sin 2 tg x x x
d) sin tg x x
Řešení:
a)
2 2 2 2
2 2
cos 2 2cos 1 cos sin 2cos 1 cos 1 cos 2cos 1
2cos 1 2cos 1 2cos 2cos 2cos cos 1
x x x x x x x x
x x x x x x
b)
2 2 2 2
2
sin cos 2 1 sin cos sin 1 sin 1 sin sin 1
sin 1 2sin 1 sin 2sin 1
x x x x x x x x
x x x x
c) 2 2
2 2 2 2
sin2cos sin 2 tg 2 cos sin 2sin cos
cos
2cos 2sin 2sin 2cos
xx x x x x x x
x
x x x x
d)
sin cos 1sin sin cos sin
sin tg sin tg cos 1cos cos cos
x xx x x xx x x x x
x x x
8. Určete, za jakých podmínek má daný výraz smysl:
a) sin 2
cos
x
x
b) 2cos
sin 2
x
x
c) sin 3
1 sin 2
x
x
d) 1 cos
2 sin
x
x
e) 1
tg 1sin
xx
f) cos
2sin
sin 24
xx
x
g) 2 cos
1 cos
x
x
h) 2
1 tg
1 cotg
x
x
i) sin x
j) 1
sin x
k) 2 sin x
l) 2 cos x
m) tg x
n) cotg x
Řešení:
a) cos 0 , 2
x x k k Z
b) sin 2 0 2 0 0 , 2
x x k x k k Z
c) 1 sin 2 0 sin 2 1 2 2 , 2 4
x x x k x k k Z
d) 2 sin 0 sin 2x x x R
e) sin 0 cos 0 0 , 2
x x x k k Z
f) 3 3
sin 2 0 2 2 2 2 , 4 4 2 4 8
x x k x k x k k Z
g) 1 cos 0 cos 1 2 , x x x k k Z
h) cos 0 sin 0 , 2
x x x k k Z
Goniometrie
Stránka 872
i) sin 0 2 , 2k Z
x k k
j) sin 0 2 ,2k Z
x k k
k) 2 sin 0 sin 2x x x R
l) 2 cos 0 cos 2x x x R
m) tg 0 ,2k Z
x k k
n) cotg 0 ,2k Z
x k k
Goniometrie
Stránka 873
5.3. Goniometrické funkce
1. Je dána funkce 2sin2y x . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D f R
c) 2;2H f
d) p
2. Je dána funkce 3sin3
xy . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D f R
c) 3;3H f
d) 6p
Goniometrie
Stránka 874
3. Je dána/ funkce 1
sin 32
y x . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D f R
c) 1 1
;2 2
H f
d) 2
3p
4. Je dána funkce 2sin6
y x
. Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D f R
c) 2;2H f
d) 2p
Goniometrie
Stránka 875
5. Je dána funkce sin 23
y x
. Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a) sin 26
y x
b) D f R
c) 1;1H f
d) p
6. Je dána funkce 1
cos 32
y x . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a) 1
cos32 3
y x
b) D f R
Goniometrie
Stránka 876
c) 1 1
;2 2
H f
d) 2
3p
7. Je dána funkce 2cosx 1y . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D f R
c) 3;1H f
d) 2p
8. Je dána funkce cos 22
xy . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) D f R
Goniometrie
Stránka 877
c) 1;3H f
d) 4p
9. Kolik průsečíků mají v intervalech 0;100 funkce cosy x a sin2y x ?
Řešení: Grafy v intervalu 0;2
1 2 3 4
cos sin 2
cos 2sin cos
cos 2sin 1 0
cos 0
2sin 1 0
3 5; ; ;
2 2 6 6
4 kořeny v intervalu 0;2
x x
x x x
x x
x
x
x x x x
V intervalu 0;100 mají funkce 200 průsečíků.
10. Načrtněte graf funkce siny x . Určete periodu funkce.
Řešení:
p
11. Načrtněte graf funkce siny x . Určete periodu funkce.
Řešení:
Funkce není periodická.
Goniometrie
Stránka 878
12. Načrtněte graf funkce cosy x . Určete periodu funkce.
Řešení:
p
13. Načrtněte graf funkce cosy x . Určete periodu funkce.
Řešení:
2p
14. Je dána funkce 6
y tg x
. Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
Goniometrie
Stránka 879
b) 2 2
;3 6k Z
D f k k
c) H f R
d) p
15. Je dána funkce cot4
y g x
. Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Řešení:
a)
b) 5
;4 4k Z
D f
c) H f R
d) p
16. Je dána funkce 1 cotg y x . Určete:
a) Graf funkce
b) Definiční obor
c) Obor hodnot
d) Periodu funkce
Goniometrie
Stránka 880
Řešení:
a)
b) 0 k ; kk Z
D f
c) H f R
d) p
17. Určete periodu a obor hodnot následujících funkcí:
a) sin3y x
b) 2sin 2y x
c) sin 2 1y x
d) sin(2 1)y x
e) 1 1
cos 12 2
y x
f) 1
2cos3
y x
g) 2tg y x
h) 1 1
tg2 2
y x
i) 3cotg 2y x
j) sin 2y x
k) cos4y x
Řešení:
a) 2
, 1,13
p H f
b) , 2,2p H f
c) , 0,2p H f
d) , 1,1p H f
e) 1 1
4 , ,2 2
p H f
f) 6 , 2,2p H f
g) , p H f R
h) 2 , p H f R
Goniometrie
Stránka 881
i) , 2
p H f R
j) , 0,1p H f
k) , 1,02
p H f
Goniometrie
Stránka 882
5.4. Goniometrické rovnice
1. Řešte rovnice s neznámou x R :
a) sin 0x
b) cos 1 0x
c) cotg 0x
d) tgx 1
e) 1
sin2
x
f) 3
cos2
x
Řešení:
a) sin 0 ;x x k k Z
b) cos 1 0 cos 1 2 ;x x x k k Z
c) cotg 0 cos 0 ;2
x x x k k Z
d) 3
tg 1 ;4
x x k k Z
e) 1 2
1 5sin 2 ; 2 ;
2 6 6x x k k Z x k k Z
f) 1 2
3 5 7cos 2 ; 2 ;
2 6 6x x k k Z x k k Z
2. Řešte rovnice s neznámou x R :
a) 1
sin 62
x
b) 2
cos32
x
c) tg 12
x
d) cotg 4 0x
Řešení:
a)
1 1
2 2
1sin 6
2
6 2 ;6 36 3
5 56 2 ;
6 36 3
x
x k x k k Z
x k x k k Z
b)
1 1
2 2
2cos3
2
3 23 2 ;
4 4 3
5 5 23 2 ;
4 12 3
x
x k x k k Z
x k x k k Z
c) tg 12
2 ;2 4 2
x
xk x k k Z
Goniometrie
Stránka 883
d) cotg 4 0
4 ;2 8 4
x
x k x k k Z
3. Řešte rovnice s neznámou x R :
a) cos 2 13
x
b) 3
sin 36 2
x
c) 2
cos3 3 2
x
d) 1 8
tg 34 88
x
e) cotg 32 6
x
Řešení:
a) cos 2 13
22 2 2 2
3 3 3
3k Z
x
x k x k x k
K k
b)
1 1 1
2 2 2
3sin 3
6 2
23 2 3 2
6 3 3 6 6 3
2 5 5 23 2 3 2
6 3 6 18 3
2 5 2;
6 3 18 3k Z
x
x k x k x k
x k x k x k
K k k
c)
1 11
1 1
2 22
2 2
2cos
3 3 2
3 9 4 132 2 6
3 3 4 3 12 4
53 6 6 ;
4 4
5 15 4 192 2 6
3 3 4 3 12 4
3 34 6 6 ;
4 4
5 36 ; 6
4 4k Z
x
x xk k x k
x k x k k Z
x xk k x k
x k x k k Z
K k k
Goniometrie
Stránka 884
d) 1 8
tg 34 88
tg 3 14
33
4 4 3 3 3
3k Z
x
x
x k x k x k
K k
e)
1 11
cotg 32 6
22 6 6 2
2k Z
x
x xk k x k
K k
4. Řešte rovnice s neznámou x R :
a) 22cos cos 0x x
b) 22sin 3sin 1 0x x
c) 23cotg 2cotg 3 0x x
d) sin 2sin 1 1x x
e) 3tg tg x x
f) 2 2sin cos sin 0x x x
g) 22cos 2cos 3cos 3x x x
h) 24cos 2 1 3cos 3 0x x
i) 2tg 3cotg 1x x
Řešení:
a)
2
1 1
2 2 21 22
2cos cos 0
cos 2cos 1 0
cos 02
1 52cos 1 0 cos 2 2
2 3 3
5; 2 ; 2
2 3 3k Z
x x
x x
x x k
x x x k x k
K k k k
b) 2
2
2
12
1 1 11 12
2 2 21
2sin 3sin 1 0
sub.: sin
2 3 1 0
3 3 4 2 1 3 9 8 3 1
2 2 4 4
3 1 1 1 7 11sin 2 2
4 2 2 6 6
3 1 31 sin 1 2
4 2
7 11 32 ; 2 ; 2
6 6 2k Z
x x
y x
y y
y
y x x k x k
y x x k
K k k k
Goniometrie
Stránka 885
c) 2
1,2
1 1
2 2
3cotg 2cotg 3 0
2 4 4 3 2 4cotg
2 3 2 3
3cotg
3 6
3 5cotg 3
63
5;
6 6k Z
x x
x
x x k
x x k
K k k
d)
2
2
2
12
1 1 1
2 2 21 22
sin 2sin 1 1
2sin sin 1 0
sub.: sin
2 1 0
1 1 4 2 1 1 1 8 1 3
2 2 4 4
1 31 sin 1 2
4 2
1 3 1 1 7 11sin 2 2
4 2 2 6 6
7 112 ; 2 ; 2
2 6 6k Z
x x
x x
y x
y y
y
y x x k
y x x k x k
K k k k
e)
3
2
1 1
2 2
2,3
3 3
tg tg
tg tg 1 0
tg 0 0
tg 14
tg 13
tg 14
;4 2k Z
x x
x x
x x k
x x k
x
x x k
K k k
Goniometrie
Stránka 886
f)
2 2
2 2
2
2
2
12
1 1 1
2 2 21 22
sin cos sin 0
sin 1 sin sin 0
2sin sin 1 0
sub.: sin
2 1 0
1 1 4 2 1 1 1 8 1 3
2 2 4 4
1 3 31 sin 1 2
4 2
1 3 1 1 5sin 2 2
4 2 2 6 6
3 52 ; 2 ;
2 6 6
x x x
x x x
x x
y x
y y
y
y x x k
y x x k x k
K k k
2k Z
k
g)
2
2
1 1
23 23 2 3
2cos 2cos 3 cos 3
2cos 2cos 3 cos 1
2cos cos 1 3 cos 1 0
cos 1 2cos 3 0
cos 1 2
3 112cos 3 0 cos 2 2
2 6 6
112 ; 2 ; 2
6 6k Z
x x x
x x x
x x x
x x
x x k
x x x k x k
K k k k
h)
2
2
12 1 2
34 3 4
4cos 2 1 3 cos 3 0
4cos 2cos 2 3 cos 3 0
2cos 2cos 1 3 1 2cos 0
2cos 1 2cos 3 0
1 5cos 2 ; 2
2 3 3
3 7cos 2 ; 2
2 6 6
5 72 ; 2 ; 2 ; 2
6 3 3 6k Z
x x
x x x
x x x
x x
x x k x k
x x k x k
K k k k k
Goniometrie
Stránka 887
i)
2
2
2
12
1 1 1
2 2 2
2tg 3cotg 1
12tg 3 1
tg
2tg tg 3 0
sub.: tg
2 3 0
1 1 4 2 3 1 1 24 1 5
2 2 4 4
1 5 3 3tg 56 18 180
4 2 2
1 51 tg 1 45 180
4
56 18 180 ;45 180k Z
x x
xx
x x
y x
y y
y
y x x k
y x x k
K k k
5. Řešte rovnice s neznámou x R :
a) 1 1
3 2tg tg 6
xx
b) 2
2sin 1cos tg
tg 2
xx x
x
c) 2sin 3sin cos 0x x x
d) sin 2 sinx x
e) 22tg 7tg 6 0x x
f) 2 29sin 11cos 7sin2 3x x x
g) 2 26sin 7sin2 8cos 0x x x
Řešení:
a)
2
2
2
2
12
1 1 1
2 2 2
1 13 2tg
tg 6
6 tg 18tg 12tg
12tg 17tg 6 0
sub.: tg
12 17 6 0
17 17 4 12 6 17 289 288 17 1
2 12 24 24
17 1 3 3tg 36 52 180
24 4 4
17 1 2 2tg 69 26 180
24 3 3
36
xx
x x x
x x
y x
y y
y
y x x k
y x x k
K
52 180 ;69 26 180k Z
k k
Goniometrie
Stránka 888
b) 22
22
1 1
2 2
sin 1cos tg
tg 2
sin sin 1cos
sin cos 2
cos
1sin cos sin cos
2
12sin cos
2
1sin 2
2
2 26 12
5 52 2
6 12
5;
12 12k Z
xx x
x
x xx
x x
x
x x x x
x x
x
x k x k
x k x k
K k k
c)
2
1
2
sin 3 sin cos 0
sin sin 3 cos 0
sin 0 0
sin 3 cos 0 sin 3 cos tg 3 23
0 ; 23k Z
x x x
x x x
x x k
x x x x x x k
K k k
d)
1
2 3
sin 2 sin
2sin cos sin
sin 2cos 1 0
sin 0 0
1 5cos 2 2
2 3 3
50 ; 2 ; 2
3 3k Z
x x
x x x
x x
x x k
x x k x k
K k k k
Goniometrie
Stránka 889
e)
2
2
2
12
1 1 1
2 2 2
2tg 7tg 6 0
sub.: tg
2 7 6 0
7 7 4 2 6 7 49 48 7 1
2 2 4 4
7 12 tg 2 63 26 180
4
7 1 3 3tg 56 18 180
4 2 2
63 26 180 ;56 18 180k Z
x x
y x
y y
y
y x x k
y x x k
K k k
f)
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
12
1 1 1
9sin 11cos 7sin 2 3
9sin 11cos 7sin 2 3 sin cos
6sin 14sin cos 8cos 0
6tg 14tg 8 0
sub.: tg
6 14 8 0
14 14 4 6 8 14 196 192 14 2
2 6 12 12
14 2 4 4tg 53 7 180
12 3 3
x x x
x x x x x
x x x x
x x
y x
y y
y
y x x k
2 2 2
14 21 tg 1 45 180
12
53 7 180 ;45 180k Z
y x x k
K k k
g)
2 2
2 2
2
2
2
12
1 1 1
2 2 2
6sin 7sin 2 8cos 0
6sin 14sin cos 8cos 0
6tg 14tg 8 0
sub.: tg
6 14 8 0
14 14 4 6 8 14 196 192 14 2
2 6 12 12
14 2 4 4tg 53 7 180
12 3 3
14 21 tg 1 45 180
12
x x x
x x x x
x x
y x
y y
y
y x x k
y x x k
K
53 7 180 ;45 180k Z
k k
Goniometrie
Stránka 890
6. Řešte rovnice s neznámou x R :
a) 7sin 4cos 8x x
b) 5 2
4sin 3cos2
x x
c) sin sin2 sin3 sin4 0x x x x
d) sin 2 cos2 tg 1x x x
Řešení:
a)
2 2
22
2 2
2
2
2
12
7sin 4cos 8
8 4cossin
7
pomocí rovnice sin cos 1
64 64cos 16coscos 1
49
64 64cos 16cos 49cos 49
65cos 64cos 15 0
sub.: cos
65 64 15 0
64 64 4 65 15 64 4096 3900
2 65 130
64 14
1
x x
xx
x x
x xx
x x x
x x
y x
y y
y
1 1 1
2 2 2
30
64 14 3 3cos 53 8 180
130 5 5
64 14 5 5cos 67 23 180
130 13 13
53 8 180 ;67 23 180k Z
y x x k
y x x k
K k k
b)
2 2
22
2 2
2
2
5 24sin 3cos
2
5 23cos
5 2 6cos2sin4 8
pomocí rovnice sin cos 1
50 60 2 cos 36coscos 1
64
50 60 2 cos 36cos 64cos 64
100cos 60 2 cos 14 0
50cos 30 2 cos 7 0
x x
xx
x
x x
x xx
x x x
x x
x x
Goniometrie
Stránka 891
2
2
12
1 1
1
2 2
2
sub.: cos
50 30 2 7 0
30 2 30 2 4 50 7
2 50
30 2 1800 1400 30 2 40 2
100 100
30 2 40 2 7 2 7 2cos
130 10 10
351 52 360
30 2 40 2 2 2cos
130 10 10
261 52 360
261 52 360 ;351 5
y x
y y
y
y x
x k
y x
x k
K k
2 360k Z
k
c)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
sin sin 2 sin 3 sin 4 0
sin sin cos cos sin
sin 2 sin 2 cos cos 2 sin
2sin cos cos sin sin
sin 2cos cos sin
sin 3cos sin sin 3 4sin
sin 4 2sin 2 cos 2 4sin cos cos sin
x x x x
x y x y x y
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x x x
24sin cos 1 2sinx x x
2 2
2 2
1 1
2
2
2 3
2
sin 2sin cos sin 3 4sin 4sin cos 1 2sin 0
sin 1 cos 3 4sin 4cos 8sin cos 0
sin 0
4 6cos sin 4 8cos 0
4 6cos 1 cos 4 8cos 0
4 6cos 4 4cos 8cos 8cos 0
4 6cos 4 4cos 8cos 8c
x x x x x x x x
x x x x x x
x x k
x x x
x x x
x x x x
x x x
3
3 2
2
2 2
os 0
8cos 4cos 7cos 0
cos 8cos 4cos 7 0
cos 02
x
x x x
x x x
x x k
Goniometrie
Stránka 892
2
2
2
34
3 3 3
4 4 4
8cos 4cos 7 0
sub.: cos
8 4 7 0
4 4 4 8 7 4 16 224 4 4 15 1 5
2 8 16 16 4
1 5 1 5cos 72 360
4 4
1 5 1 5cos 288 360
4 4
90 ; 72k Z
x x
y x
y y
y
y x x k
y x x k
K k k
d)
2 2
2 2
3
2
sin 2 cos 2 tg 1
sin2sin cos cos sin 1
cos
2sin cos cos 2sin cos sin cos
2sin cos cos sin cos sin cos 0
cos sin 2sin cos 1 cos
2sin cos cos sin cos cos 1 sin 0
2sin cos cos s
x x x
xx x x x
x
x x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x
x x x
2
1 1
in sin cos sin 0
2sin cos cos sin sin sin cos 1 0
sin 2cos cos sin sin cos sin 0
sin 0 0 180
x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x k
2 2
2
2
2 2
2 2
sin2sin cos cos 1 sin 0
cos
sin2sin cos 2sin 0
cos
1sin 2cos 2sin 0
cos
12cos 2sin 0
cos
2cos 2sin cos 1 0
cos cos 1 2sin cos 0
cos sin 2sin cos 0
cos 2 sin 2 0
cos 2 sin 2
xx x x x
x
xx x x
x
x x xx
x xx
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
Goniometrie
Stránka 893
2
2
2 45 380
22,5 90
cos 0
2
22,5 90 ; 180k Z
x k
x k
x
x k
K k k
Goniometrie
Stránka 894
5.5. Sinova a kosinova věta
1. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 104 cm a úhly 43 , 77 . Určete velikosti
zbývajících stran a úhlu .
Řešení:
a) a) Vypočteme úhel
180
180 43 77 60
b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
sin sin
104
sin 43 sin 77
104sin 77 148,58 cm
sin 43
a c
c
c
c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
sin sin
104
sin 43 sin 60
104sin 60 132,1 cm
sin 43
a b
b
b
2. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 86 cm, b = 43 cm a úhel 56 42́ . Určete
velikost strany c a úhlů , .
Řešení:
a) a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel
sin sin
86 43
sin 56 42́ sin
43 sin 56 42́sin 0,42
86
24 42́
a b
b) b) Vypočítáme velikost úhlu
180
180 56 42́ 24 42́ 98 36́
Goniometrie
Stránka 895
c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
sin sin
86
sin 56 42́ sin 98 36́
86sin 98 36́ 101,74 cm
sin 56 42́
a c
c
c
3. V trojúhelníku ABC známe stranu b = 12,6 cm, c = 18,4 cm a úhel 76 23́ . Určete
velikost úhlů , a strany a.
Řešení:
a) a) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
sin sin
12,6 18,4
sin sin 76 23́
12,6 sin 76 23́sin 0,37
18,4
41 43́
b c
b) b) Vypočítáme velikost úhlu
180
180 41 43́ 75 23́ 62 54́
c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a
sin sin
12,6
sin 62 54́ sin 41 43́
12,6 sin 62 54́16,86 cm
sin 41 43́
a b
a
a
4. V trojúhelníku ABC známe stranu b = 18,9 cm, c = 32,6 cm a úhel 56 14́ . Určete
velikost úhlů , a strany a.
Řešení:
a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel
sin sin
18,9 32,6
sin 56 14́ sin
32,6 sin 56 14́sin 1,43
18,9
b c
Protože sin 1 , takový trojúhelník neexistuje. Tato úloha nemá řešení.
Goniometrie
Stránka 896
5. V trojúhelníku ABC známe stranu a = 15,6 cm, c = 26,4 cm a úhel 63 19́ . Určete
velikost úhlů , a strany b.
Řešení:
a) a) Pomocí sinové věty vypočteme úhel
sin sin
15,6 26,4
sin sin 63 19́
15,6 sin 63 19́sin 0,53
26,4
31 52́
a c
b) b) Vypočítáme velikost úhlu
180
180 31 52́ 63 19́ 84 49́
c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
sin sin
26,4
sin84 49́ sin 63 19́
26,4 sin84 49́29,43 cm
sin 63 19́
b c
b
b
6. V trojúhelníku ABC je dáno c = 105 cm, 68 43́ , 43 51́ . Určete velikost úhlu
a stran a, b.
Řešení:
a) a) Vypočítáme velikost úhlu
180
180 68 43́ 43 51́ 67 26́
b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
sin sin
105
sin 43 51́ sin 67 26́
105 sin 43 51́78,77 cm
sin 67 26́
b c
b
b
Goniometrie
Stránka 897
c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a
sin sin
78,77
sin 68 43́ sin 43 51́
78,77 sin 68 43́105,95 cm
sin 43 51́
a b
a
a
7. V trojúhelníku ABC je dáno a = 36,8 cm, 23 46́ , 92 12́ . Určete velikost úhlu
a stran b, c.
Řešení:
a) a) Vypočítáme velikost úhlu
180
180 23 46́ 92 12́ 64 2́
b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu b
sin sin
36,8
sin 23 46́ sin 92 12́
36,8 sin 92 12́91,24 cm
sin 23 46́
a b
b
b
c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
sin sin
36,8
sin 23 46́ sin 64 2́
36,8 sin 64 2́82,1 cm
sin 23 46́
a c
c
c
8. Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno b =156 cm, 62 20́ a 48 26́ .
Řešení:
a) a) Vypočítáme velikost úhlu
180
180 62 20́ 48 26́ 69 14́
b) b) Pomocí sinové věty vypočteme stranu a
sin sin
156
sin 69 14́ sin 62 20́
156 sin 69 14́164,7 cm
sin 62 20́
a b
a
a
Goniometrie
Stránka 898
c) c) Pomocí sinové věty vypočteme stranu c
sin sin
156
sin 62 20́ sin 48 26́
156 sin 48 26́
sin 62 20́
131,78 cm
b c
c
c
c
9. Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno c = 56 cm, 32 14́ , 50 40́ .
Řešení:
a) a) Vypočítáme velikost úhlu
180
180 32 14́ 50 40́ 97 6́
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme velikost strany a
sin sin
56
sin 32 14́ sin 50 40́
56 sin 32 14́38,62 cm
sin 50 40́
a c
a
a
c) c) Pomocí sinové věty vypočítáme velikost strany b
sin sin
56
sin 97 6́ sin 50 40́
56 sin 97 6́71,85 cm
sin 50 40́
b c
b
b
10. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 26 cm, b = 12 cm,
42 .
Řešení:
a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu c 2 2 2
2 2 2
2 cos
26 12 2 26 12 cos 42 356,28
18,88 cm
c a b ab
c
c
Goniometrie
Stránka 899
b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
12 18,88
sin sin 42
12 sin 42sin 0,425
18,88
25 9́
b c
c) Dopočítáme úhel
180
180 ( )
180 25 9́ 42 112 51́
11. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 15,2 cm, c = 10,9 cm
a 58 .
Řešení:
a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu b 2 2 2
2 2 2
2 cos
15,2 10,9 2 15,2 10,9 cos58 174,26
13,2 cm
b a c ac
b
b
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
13,2 10,9
sin 58 sin
10,9 sin 58sin 0,7
13,2
44 26́
b c
c) c) Dopočítáme úhel
180
180
180 58 44 26́ 77 34́
Goniometrie
Stránka 900
12. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno b = 64 cm, c = 80 cm
a 99 25́ .
Řešení:
a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu a 2 2 2
2 2 2
2 cos
64 80 2 64 80 cos99 25́ 12171,4
110,32 cm
a b c bc
a
a
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
110,32 80
sin 99 25́ sin
80 sin 99 25́sin 0,72
110,32
45 40́
a c
c) c) Dopočítáme úhel
180
180
180 99 25́ 45 40́ 34 55́
13. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 8,4 cm, b = 7,4 cm,
c = 11,3 cm.
Řešení:
a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
cos2
7,4 11,3 8,4cos 0,67
2 7,4 11,3
48
a b c bc
bc b c a
b c a
bc
Goniometrie
Stránka 901
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
8,4 7,4
sin 48 sin
7,4 sin 48sin 0,66
8,4
40 53́
a b
c) c) Dopočítáme úhel
180
180
180 48 40 53́ 91 7´
14. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 10,4 cm, b = 12,8 cm,
c = 32,6 cm.
Řešení:
a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
cos2
12,8 32,6 10,4cos 1,34
2 12,8 32,6
cos 1
a b c bc
bc b c a
b c a
bc
Tato úloha nemá řešení, tento trojúhelník nelze sestrojit, což jsme mohli zjistit i použitím
trojúhelníkové nerovnosti ( a b c )
15. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 39,9 cm, b = 28,2 cm,
c = 32,1 cm.
Řešení:
a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
cos2
28,2 32,1 39,9cos 0,13
2 28,2 32,1
82 36́
a b c bc
bc b c a
b c a
bc
Goniometrie
Stránka 902
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
39.9 28,2
sin82 36́ sin
28,2 sin82 36́sin 0,7
39,9
44 29́
a b
c) c) Dopočítáme úhel
180
180
180 82 36́ 44 29́ 52 55́
16. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 30,6, cm, b = 35,7 cm,
102 .
Řešení:
a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu c 2 2 2
2 2 2
2 cos
30,6 35,7 2 30,6 35,7 cos102 2665,1
51,62 cm
c a b ab
c
c
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
35,7 51,62
sin sin102
35,7 sin102sin 0,68
51,6
42 35́
b c
c) c) Dopočítáme úhel
180
180
180 42 35́ 102 35 25́
Goniometrie
Stránka 903
17. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 19,6 cm, c = 22,3 cm
a 93 .
Řešení:
a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme stranu b 2 2 2
2 2 2
2 cos
19,6 22,3 2 19,6 22,3 cos93 927,2
30,45 cm
b a c ac
b
b
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
30,45 22,3
sin 93 sin
22,3 sin 93sin 0,73
30,45
47
b c
c) c) Dopočítáme úhel
180
180
180 93 47 40
18. Vypočtěte ostatní prvky v trojúhelníku ABC, ve kterém je dáno a = 21,9 cm, b = 38,4 cm,
c = 26,6 cm.
Řešení:
a) a) Pomocí kosinové věty vypočítáme úhel 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
cos2
38,4 26,6 21,9cos 0,83
2 38,4 26,6
33 33́
a b c bc
bc b c a
b c a
bc
b) b) Pomocí sinové věty vypočítáme úhel
sin sin
21,9 38,4
sin 33 33́ sin
38,4 sin 33 33́sin 0,97
21,9
75 43́
a b
Goniometrie
Stránka 904
c) c) Dopočítáme úhel
180
180
180 33 33́ 75 43́ 70 44́
19. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku a poměr délek stran trojúhelníku, jestliže
: 2 :3a b , : 1: 2 .
Řešení:
sin 2
sin 3
12
2 2
sin 2
sin 2 3
sin 2 3cos 41 25'; 82 50 '; 180 55 45'
2sin cos 3 4
: : c sin : sin : sin sin 41 25' : sin82 50 ' : sin 55 45'
a
b
a b
20. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelníku a poměr délek stran trojúhelníku, jestliže
: : 3: 5:10 .
Řešení:
: : 3 :5 :10
3 5 10 180
18 180
10
30 ; 50 ; 100
: : sin 30 : sin 50 : sin100
d d d
d
d
a b c
21. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
62,3 mma , 41,8mmc , 130 42' .
Řešení: Využijeme kosinovu větu 2 2 2 2 cos 95 mm
sinsin sin 29 48'
sin
180 19 30 '
b a c ac b
a a
b b
Goniometrie
Stránka 905
22. Určete velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku, jestliže 18,3 cma , 27,6 cmb ,
30,8 cmc .
Řešení: Využijeme kosinovu větu 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos cos 362
cos 62 25'2
180 81 35'
b c aa b c bc
bc
a c b
ac
23. Vypočítejte velikost největšího vnitřního úhlu trojúhelníku, jehož strany mají délky 2a ,
3
2a , 3a .
Řešení: Proti 3a leží úhel
2
2 2
2 2 2 2
3 33 2 2 2 cos
2 2
99 4 6 cos
4
11cos
24
117 16 '46 ''
a a a a a
a a a a
24. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
8 cmb , 5 cmc , 28 35' .
Řešení: Úloha má dvě řešení.
1
1
1
sin
sin
sin sin
50
101 25'
10, 2
b
c
b
c
a cm
2
2
2
sin
sin
sin
sin
130
21 25'
3,81
a
b
a b
a cm
25. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
6 cmb , 9 cmc , 75
Řešení:
sin
sin
sin sin 75 1,45
c
b
c
b
Úloha nemá řešení.
Goniometrie
Stránka 906
26. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
2cma , 3cmb , 7 cmc .
Řešení: Úloha má jedno řešení.
2 2 22 2 2 2 cos cos 28 57 '18''
2
sinsin sin 46 34 '2 ''
sin
180 104 28'40 ''
b c aa b c bc
bc
b b
a a
27. Určete délky všech stran a velikosti všech vnitřních úhlů trojúhelníku ABC, jestliže
3cma , 8cmb 4 cmc .
Řešení: Úloha nemá řešení. Není splněna trojúhelníková nerovnost ( 3 4 8 ).
28. Určete délky všech stran trojúhelníku, jestliže 6 cmat , 9 cmbt 8 cmc .
Řešení:
2 2
22 2
2
22 2
22
2
2
2 2; ;
3 3
2 2
2 2 2 16 64 36 113 32 cos cos
43 3 3 64 16
3
112
2 16
1136 64 2 6 8 136 11,7 cm
4 16
2 2
3 3cos
a b
a b
b a a
a
a a
b
ABT t t c
t c t
t t c t c
t c
at c t c
aa a
t c t
2
22 2
36 64 16 728 57 '
2 2 6 8 82
3
72 8 cm
2 8
a
b
a a
t c
bt c t c b
Goniometrie
Stránka 907
30. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 6 cma , 5 cmbt 45 .
Řešení:
1
1
2221
1
2 2 2
1 1 1 1
2
2
2
2 2 2
2 2 2 2
sinsin sin 58 3'6 ''
sin
180 76 56 '53''
2 cos 13,8 cm2
2 cos 10,5 cm
121 56 '54 ''
13 3'6 ''
3, 2
2 cos 4,4 cm
b b
b b
a a
t t
ba t at b
c a b ab c
b cm
c a b ab c
31. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 6 cmc , 5 cmat , 8 cma .
Řešení: 2
2 22
2 2
2 2 2 2
922 cos cos cos
2 2 16
92 cos 64 36 2 6 8 6,8 cm
16
a
a
ac t
a at c c
ca
b a c ac b b
32. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, je-li dáno 6 cma , 9 cmat 4 cmbt .
Řešení:
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 1 83 3
43 2 3 3cos cos cos
2 8 92 3 2 3
3 3
42 cos 16 36 2 4 6 11,1 cm
2 2 9
1 23 3
3 2 3cos
12
3 2
CB
b a
b
b a
a b
a
S TB
at t
t
b bt a t a b
at t
at
2
2 2
64
499
2 3 3 81
2 cos 7,6 cm2 2
a a
a ac t t c
Goniometrie
Stránka 908
34. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 10 cma , 8 cmat , 6 cmbv .
Řešení:
1 1
2 2
222
2 2 2
6sin 36 52 '11''
10
22 1'27 '' 121 6 '32 ''sin 5 6 32 sin157 58'33'' nemá řešenísin 8 10 8
2 cos 11,4 cm2 2
2 cos 6,9 cm
b
a
a a
v
a
a
t
a ab t t b
c b a ab c
35. Určete délky všech stran trojúhelníku ABC, jestliže 6 cmat , 4cmbt , 8 cmct .
Řešení: 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 22 cos 2 cos
3 3 3 3 3
1cos 104 28'39 ''
2 4
1 2 1 2 8 82 cos 2 2 2
2 3 3 3 3 2 3
c a b a b c a b a b
a b c
a b
a b a b
t t t t t t t t t t
t t t
t t
a at t t t
2 2 2 2
2
2
2
2 2
2 2 2
1
3 4
7,4 cm
1 2 1 2 16 1 2 12 cos 16 2 4 6
2 3 3 3 3 2 9 3 3 4
16 816 9 cm
2 9 3
2 cos2 2
2 cos 4,3 cm
b a b a
a
a
b bt t t t
bb
a at b b
c a b bc c
36. Vypočítejte délky úhlů v trojúhelníku ABC, jestliže 15 cmc , 21cmb a poměr
velikosti úhlů : 2 :1 .
Řešení:
sin 21 7
sin 15 5 sin 2 7 2sin cos 7 7cos
2 sin 5 sin 5 102
1
45 34 '2 ''; 91 8'45''; 43 16 '53''
b
c
Goniometrie
Stránka 909
37. V trojúhelníku ABC je dán poměr délek stran : : 2 : 4:5a b c . Vypočítejte velikosti
vnitřních úhlů v trojúhelníku ABC.
Řešení:
2 2 2
2 2 2
2 ; 4 ; 5
5 2 4 2 2 4 cos
4 16 25 525 4 16 16cos cos 108 12 '
16 16
4 2 5 2 2 5 cos
1316 4 25 20cos cos 49 28'
20
22 20 '
a d b d c d
d d d d d
d d d d d
38. V rovnoběžníku ABCD je dáno: 6,2 cm, 5,4 cm, 4,8 cmAB BC AC . Určete:
a) Délky všech stran rovnoběžníku.
b) Velikosti všech vnitřních úhlů.
c) Délky úhlopříček.
d) Délky výšek v rovnoběžníku.
Řešení:
a) 6,2 cm
5,4 cm
CD AB
AD BC
b) 2 2 2
cos2
48 16 '53''
131 43'7 ''
AB BC AC
AB BC
c) 2 2 22 cos
10,6 cm
BD AB AD AB AD
BD
d) sin sin 4 cma
a
vv AD
AD
39. V rovnoběžníku ABCD je dáno: 10,8 cm, 5,4 cm, 27 11'aAD v . Určete:
a) Délky všech stran rovnoběžníku
b) Velikosti všech vnitřních úhlů
c) Délky úhlopříček
d) Délky výšek v rovnoběžníku
Řešení:
a) sin 9,2 cm
sin
a av vAD
AD
b) 152 49'
Goniometrie
Stránka 910
c) 2 2 2
2 2 2
2 cos
5 cm
2 cos
19,4 cm
BD AB AD AB AD
BD
AC AB AD AB AD
AC
d) sin sin 10,8 cmb
b
vv AB
AB
40. V lichoběžníku ABCD jsou dány délky stran 8 cma AB , 5 cmb BC ,
3 cmc CD , 4 cmd AD . Určete velikosti vnitřních úhlů.
Řešení:
22 2
2 2 2 2 2 2
22 2
2 cos
5 4 5 4cos
2 2 5 4 10
66 25'18''
25 25 16 17cos
2 2 5 5 25
47 9 '22 ''
180 132 50 '38''
180 113 34 '42 ''
b a c d a c d
a c d b
a c d
b a c d
b a c
41. Na jednom břehu řeky je úsečka KL, 40 mKL . Na druhém břehu řeky je bod S,
75 13', 45 20'LKS KLS . Určete šířku řeky.
Řešení:
tg1 1 tg tgtg tg tg
tg tg tg tgtg
tg
tg tg 37,6 cm
tg tg
a b KL
KL KLx x x xa KL x
a
x xb
b
KL
Goniometrie
Stránka 911
43. V rovnoběžníku ABCD je dáno: 8 cmAB , 2 cmAD , 30DAB Vypočítejte
obsah rovnoběžníku ABCD a poloměr kružnice opsané trojúhelníku ABC.
Řešení: 2
2 2 2
sin 30 8 cm
2sin
2 cos
9,8 cm
S AB AD
ACr
AC AB BC AB BC
r
44. V trojúhelníku ABC je 8,1 cmb , 132 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané
trojúhelníku ABC.
Řešení:
5,45 cm2sin
br
45. V trojúhelníku ABC je 6,3 cmc , 48 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané
trojúhelníku ABC.
Řešení:
4,24 cm2sin
cr
46. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 5 cm, 6 cm, sin 0,78a b .
Řešení:
21sin 11,7 cm
2S ab
47. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 4 cm, 7 cm, 35b c .
Řešení:
21sin 8,03 cm
2S bc
48. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 9 cm, 3 cm, 63a c .
Řešení:
21sin 12,03 cm
2S ac
Goniometrie
Stránka 912
49. V trojúhelníku ABC je 3,7 cma , 56 . Vypočítejte poloměr kružnice opsané
trojúhelníku ABC.
Řešení:
2,23 cm2sin
ar
50. V trojúhelníku ABC je 33 , 15 a poloměr kružnice opsané je 8cm. Vypočítejte
délky stran trojúhelníku ABC.
Řešení:
2 sin 4,14 cm2sin
2 sin 8,71 cm2sin
180 15 33 132
2 sin 11,89 cm2sin
ar a r a
br b r b
cr c r c
51. V trojúhelníku ABC je 62 , 45 a poloměr kružnice opsané je 10 cm. Vypočítejte
délky stran trojúhelníku ABC.
Řešení:
2 sin 17,66 cm2sin
2 sin 14,14 cm2sin
180 45 62 73
2sin
2 sin 19,13 cm2sin
br b r b
cr c r c
ar
ar a r a
52. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 6 cmb , c 5 cm , 42 32́ .
Řešení:
21sin 10,14 cm
2S bc
53. Vypočítejte obsah trojúhelníku ABC, jestliže 11 cma , 8 cmc , 57 28́ .
Řešení:
21sin 37,1 cm
2S ac
Goniometrie
Stránka 913
54. V jakém zorném úhlu se jeví předmět dlouhý 100 m pozorovatelovi, který je od jednoho
jeho konce vzdálen 80 m a od druhého 110 m?
Řešení:
K výpočtu použijeme kosinovou větu. 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
cos2
80 110 100cos 0,48
2 80 110
61 7´
a b c bc
b c a
bc
Pozorovatel sleduje předmět pod úhlem 61 7́ .
55. Jak dlouhý předmět sleduje pozorovatel pod zorným úhlem 78 , je-li od jednoho jeho
konce vzdálen 130 m a od druhého konce 98 m?
Řešení:
K výpočtu použijeme kosinovou větu.
2 2 2
2 2 2
2 cos
98 130 2 98 130 cos78 21206,42
145,62 m
a b c bc
p
p
Pozorovatel sleduje předmět dlouhý 145,62 m.
56. Jak daleko je vzdálen pozorovatel od kraje předmětu dlouhého 156 m, který vidí pod
zorným úhlem 64 , je-li od druhého kraje vzdálen 92 m?
Řešení:
156 92
sin 64 sin
92 sin 64sin 0,53
156
32
180 64 32 84
156
sin84 sin 64
156 sin84172,62 m
sin 64
a
a
Pozorovatel je od kraje předmětu vzdálen 172,62 m.
Goniometrie
Stránka 914
57. Vypočítejte obvod rovnoběžníku, je-li strana a = 114 cm, úhlopříčka u = 132 cm a úhel
proti úhlopříčce je 56 .
Řešení:
132 114
sin 56 sin
114 sin 56sin 0,72
132
45 43́
180 56 45 43́ 78 17´
132
sin 78 17´ sin 56
132 sin 78 17´155,9 m
sin 56
2
2 114 155,9 539,8 m
b
b
o a b
o
Obvod rovnoběžníku je 539,8 m.
58. Vypočítejte obvod rovnoběžníku, je-li strana a = 38 cm, úhlopříčka u = 56 cm a úhel,
který svírají je 28 .
Řešení:
2 2 238 56 2 38 56 cos 28 822,18
28,67
2
2 38 28,67 133,34 cm
b
b
o a b
o
Obvod rovnoběžníku je 133,34 cm.
59. Vypočítejte obsah rovnoběžníku, je-li strana a = 31 cm, úhlopříčka u = 48 cm a úhel proti
úhlopříčce je 102 .
Řešení:
49 31
sin102 sin
31 sin102sin 0,62
49
38 19́
180 102 38 19́ 39 41́
49
sin 39 41́ sin102
49 sin 39 41́31,99 cm
sin102
b
b
Goniometrie
Stránka 915
2
180 102 78
sin sin
31,99 sin 78 31,29
31 31,29 969,99 cm
S a v
vv b
b
v
S
Obsah rovnoběžníku je 969,99 cm2.
60. Na kopci stojí rozhledna vysoká 28 m. Patu i vrchol vidíme z údolí pod výškovými úhly
o velikosti 27 , 32 . Jak vysoko je vrchol kopce nad rovinou údolí?
Řešení:
V trojúhelníku si dopočítáme všechny zbylé úhly:
28
sin 5 sin 58
28 sin 58272,45 m
sin 5
sin 27
272,45 sin 27 123,69 m
a
a
v
a
v
Kopec je vysoký 123,69 m.
61. Sílu F = 320 N rozložte na dvě složky F1 a F2 tak, aby první složka svírala se silou F úhel
o velikosti 42 26́ a druhá složka úhel o velikosti 24 32́ . Určete velikosti sil F1 a F2.
Řešení:
1
1
2
2
180 42 26́ 24 32́ 113 2́
180 42 26́ 113 2́ 24 32́
320
sin 24 32́ sin113 2́
320 sin 24 32́144,56 N
sin113 2́
320
sin 42 26́ sin113 2́
320 sin 42 26́234,62 N
sin113 2́
F
F
F
F
Síla F1 = 144,56 N, síla F2 = 234,62 N.
Goniometrie
Stránka 916
62. Síly F1 = 63 N a F2 svírají úhel 62 . Výslednice sil F = 112 N. Určete sílu F2.
Řešení:
2
2
180 62 118
63 112
sin sin118
63 sin118sin 0,49
112
29 47´
180 29 47´ 118 32 43́
112
sin 32 43́ sin118
112 sin 32 43́68,56 N
sin118
F
F
Síla F2 = 68,56 N.
63. Síla F = 80 N je rozložena na složky F1 = 44 N a F2 = 52 N. Vypočítej úhel složky F1 se
sílou F.
Řešení: 2 2 2
2 2 2
52 44 80 2 44 80 cos
44 80 52cos 0,8
2 44 80
36 52́
Odchylka výslednice sil F a síly F1 je 36 52́ .
64. Síla F = 120 N je rozložena na složky F1 = 68 N a F2 = 104 N. Vypočítej úhel složky F2
se sílou F.
Řešení: 2 2 2
2 2 2
68 104 120 2 104 120 cos
104 120 68cos 0,825
2 104 120
34 25́
Odchylka výslednice sil F a síly F2 je 34 25́ .
65. Určete výslednici sil F1 = 256 N a F2 = 108 N, které spolu svírají úhel 82 .
Řešení:
2 2 2
180 82 98
256 108 2 256 108 cos98 84895,72
291,37 N
F
F
Výslednice je 291,37 N.
Goniometrie
Stránka 917
66. Trojúhelník má stranu a = 68 cm. Pro jeho úhly platí : : 2 :3: 4 . Vypočítejte jeho
obsah.
Řešení:
: : 2 :3: 4
2
3 180 2 3 4 180 9 180 20
4
40 ; 60 ; 80
x
x x x x x x
x
sin sin
68 68 sin 6091,62 cm
sin 40 sin 60 sin 40
sin sin
68 68 sin80104,18 cm
sin 40 sin80 sin 40
a b
bb
a c
cc
2
131,9(131,9 68)(131,9 91,62)(131,9 104,18)( )( )( )
3067,71 cm
68 91,62 104,182 131,9 cm2
SS s s a s b s c
os
s
Obsah trojúhelníku je 3067,71 cm2.
67. Z vyhlídkové věže vysoké 25 m a vzdálené 45 m od řeky se jeví šířka řeky v zorném úhlu
17°. Jak je řeka široká?
Řešení:
2 245 25 51, 48 m
25tg ´
45
´ 29 3́
180 29 3́ 150 27´
180 17 150 27´ 12 33́
51,48
sin17 sin12 33́
51,48 sin1769,26 m
sin12 33́
b
c
c
Řeka je široká 69,23 metrů.
Goniometrie
Stránka 918
68. Z okna domu je vidět střecha protějšího domu ve výškovém úhlu 34 a jeho pata
v hloubkovém úhlu 21 . Dům je vysoký 124 m. Jak vysoko nad rovinou terénu je okno
pozorovatele?
Řešení:
Dopočítáme potřebné úhly:
´ 21
90 ´
90 21 69
90 44 46
44 21 65
124
sin sin
124
sin 46 sin 65
124 sin 4698,42 m
sin 65
sin ´
sin ´
98,42 sin 21 35,12 m
c
c
c
v
c
v c
v
Okno pozorovatele je ve výšce 35,12 metrů.
69. Pilot letadla letícího vodorovně rychlostí 240 m/s vidí dům na zemi v hloubkovém úhlu
18 . Za dvě sekundy se úhel zvětšil na 43 . Urči výšku letadla.
Řešení:
Dopočítáme úhly
180 43 137
180 18 137 25
Vypočítáme dráhu letadla za 2 sekundy
2 240 480 md
Letadlo uletělo 480 m
Letadlo letí ve výšce 239,36 metrů.
sin18 sin
480 480 sin18350,97 m
sin18 sin 25 sin 25
sin 43 sin 43 350,97 sin 43 239,36 m
l d
ll
vv l
l
Goniometrie
Stránka 919
70. Z vyhlídkové věže 80 m nad hladinou moře je vidět letadlo ve výškovém úhlu 43 . Jeho
obraz ve vodě vidíme v hloubkovém úhlu 39 . Jak vysoko je letadlo nad hladinou moře?
Řešení:
Dopočítáme úhly
´ 39
90 39 51
180 51 43 39 47
Vypočítáme stranu c
80 80sin39 127,12 m
sin39c
c
Pomocí sinové věty vypočítáme výšku v
127,12
sin 43 39 sin 47
127,12 sin82172,12 m
sin 47
v
v
Letadlo letí ve výšce 172,12 metrů.
71. Těsně na břehu řeky stojí budova. Ze dvou oken nad sebou ve výškovém rozdílu 18 m je
vidět protější břeh řeky v hloubkových úhlech 4 a 12 . Jak široká je řeka?
Řešení:
Dopočítáme úhly.
12 4 8
90 12 78
Pomocí sinové věty vypočítáme stranu c.
18
sin 78 sin8
18 sin 78126,51 m
sin8
cos 4 126,51 cos 4 126,2 m126,51
c
c
xx
Řeka je široká 126,2 metry.
Goniometrie
Stránka 920
72. Na vrcholku hory stojí rozhledna vysoká 25 m. Most v údolí vidíme z vrcholu věže
v hloubkovém úhlu 28 . Stejný most vidíme od paty věže v hloubkovém úhlu 25 . Jak
vysoká je hora?
Řešení:
Dopočítáme úhly.
28 25 3
90 28 62
Pomocí sinové věty vypočítáme stranu c.
25
sin 62 sin 3
25 sin 62421,77 m
sin 3
sin 25421,77
421,77 sin 25 178,25 m
c
c
x
x
Hora je vysoká 178,25 metrů.
73. Střechu domu vidíme z určitého místa ve výškovém úhlu 38 26́ . Popojdeme-li
o 56 metrů blíže k domu, vidíme její střechu ve výškovém úhlu 56 43́ . Jak je dům
vysoký?
Řešení:
180 56 43́ 123 17´
180 38 26́ 123 17´ 18 17´
56
sin 38 26́ sin18 17´
56 sin 38 26́110,96 m
sin18 17´
sin 56 43́110,96
110,96 sin 56 43́ 92,76 m
c
c
v
v
Dům je vysoký 92,76 metrů.
Goniometrie
Stránka 921
74. V rovnoběžníku o stranách a = 21,4 cm a b = 38,6 cm, které svírají úhel 68 ,
vypočítejte délky úhlopříček.
Řešení: 2 2 2
1
1
2 2 2
2
2
38,6 24,1 2 38,6 24,1 cos68 1373,81
37,06 cm
180 68 112
38,6 24,1 2 38,6 24,1 cos112 2767,73
52,61 cm
u
u
u
u
Rovnoběžník má úhlopříčky o délkách 37,06 cm a 52,61 cm.
75. Vypočítejte strany rovnoběžníku, má-li úhlopříčky o délkách 68 cm a 108 cm. Úhlopříčky
svírají úhel o velikosti 56 .
Řešení: Úhlopříčky se navzájem půlí, budeme pracovat s jejich polovinami.
1
2
2 2 2
2 2 2
34 cm2
52 cm2
180 56 124
34 52 2 34 52 cos124 5837,31
76,4 cm
34 52 2 34 52 cos56 1882,69
43,69 cm
u
u
a
a
b
b
Rovnoběžník má strany o délkách 76,4 cm a 43,69 cm.
76. Dvě trasy metra vycházející z téhož místa svírají úhel 110 . Jejich cílové stanice se od
společného bodu nacházejí ve vzdálenostech 1 200 metrů a 850 m. Jak dlouhá je třetí trasa
metra, která cílové stanice spojuje?
Řešení: 2 2 2850 1200 2 850 1200 cos110 2860221,1
1691,22 m
a
a
Třetí trasa má délku 1691,22 metrů.
Goniometrie
Stránka 922
77. Ze stanice vyjely dva vlaky současně na tratích pod úhlem 132 . První vlak jel rychlostí
14,6 m/s a druhý 18,4 m/s. Jak daleko byly vlaky od sebe po 8 minutách jízdy?
Řešení: Vypočítáme dráhu, kterou jednotlivé vlaky ujely.
1
2
2 2 2
8min
8 60 480
14,6 480 7008 m
18,4 480 8832 m
7008 8832 2 7008 8832 cos132 209947505,4
26644,84 m 26,6 km
t
t s
s
s
v
v
Vlaky byly od sebe vzdáleny 26,6 km.
78. Těleso, které má hmotnost 782 kg je zavěšeno na vodorovném trámu na dvou lanech
různé délky. Lana svírají s trámem úhly o velikostech 46 , 58 . Vypočítej
namáhání lan v tahu.
Řešení:
1
1
2
2
90 46 44
90 58 32
180 44 32 104
728
sin 32 sin104
728 sin 32397,59 N
sin104
728
sin 44 sin104
728 sin 44521,19 N
sin104
F
F
F
F
Lana jsou namáhány silami F1 = 397,59 N a F2 = 521,19 N.
79. Na hmotný bod působí dvě síly 1 230 ; 75 F N F N , které svírají úhel 63 20' .
Určete velikost výslednice sil F a úhel, který svírá výslednice se silou 1F .
Řešení:
2 2 2
1 2 1 2
2 2 2
1 2
1
2 cos 180
92,4
cos2
46 33'
F F F F F
F N
F F F
F F
Goniometrie
Stránka 923
80. Na hmotný bod působí dvě síly 1 220 ; 30 F N F N , které svírají úhel 135 . Určete
velikost výslednice sil F a úhel, který svírá výslednice se silou 1F .
Řešení:
2 2 2
1 2 1 2
2 2 2
1 2
1
2 cos 180
21,2
cos2
93 25'
F F F F F
F N
F F F
F F
81. Sílu 65 F N rozložíme na dvě složky 1 230 , 40 F N F N . Jaký úhel svírají tyto síly?
Řešení: 2 2 2
1 2
1 2
cos2
cos 135 57 '
180 44 3'
F F F
F F
82. Síla F o velikosti 100N je rozložena do dvou složek. Síla 1F svírá se silou F úhel 55
a síla 2F svírá se silou F úhel 80 . Určete jednotlivé složky.
Řešení:
22
11
sin 55 sin 55391
sin 45 sin 45
sin80 sin80368
sin 45 sin 45
FF F N
F
FF F N
F