© 2006 Prof. Calogero Contrino GONIOMETRIA introduzione : concetti di geometria euclidea Corso multimediale di matematica
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GONIOMETRIA
introduzione : concetti di geometria euclidea
Corso multimediale di matematica
04/03/2014
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Figura 1
Richiami di geometria euclidea:
Partizione del piano: semipiani
Considerata una retta di un piano, essa divide l’insieme dei punti del piano che non le
appartengono in due sottoinsiemi (regioni ) che godono delle seguenti proprieta’:
postulato
Con riferimento alla figura 1 si consideri il seguente
due punti qualsiasi , appartenenti allo stesso sottoinsieme, sono estremi di un
segmento che non interseca la retta;
due punti qualsiasi , appartenenti a sottoinsiemi diversi , sono estremi di un
segmento che interseca la retta .
B A
B A B A B A A B A B
B A
B
A
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dicesi semipiano (chiuso) ciascuna delle due parti di piano
individuate dalla retta inclusa la retta medesima
Ogni retta divide il piano in due semipiani ;
Figura 2
Richiami di geometria euclidea:
Partizione del piano: semipiani
assegnata una retta di un piano,
Definizione 1
Con riferimento alla figura 2 si può dare ora la seguente
”
’
Con riferimento alla figura 2 si può dare ora la seguente Con riferimento alla figura 2 si può dare ora la seguente
Considerazioni
Ogni retta appartiene a ciascuno dei semipiani che essa individua e ne costituisce la
frontiera detta anche origine del semipiano;
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Figura 3
Richiami di geometria euclidea:
Partizione del piano: angoli
Definizione 2
due punti qualsiasi , appartenenti allo stesso
sottoinsieme ,sono estremi di un segmento che e’
costituito solo da punti dello stesso sottoinsieme ;
Anche due semirette giacenti sul piano ed aventi la stessa origine (fig .3) suddividono
l’insieme dei punti del piano che non appartengono ad esse in due sottoinsiemi ognuno dei
quali gode di una sola delle seguenti proprieta’ :
dicesi angolo (proprio) ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette aventi la
stessa origine, incluse le due semirette.
esiste almeno una coppia di punti appartenenti allo
stesso sottoinsieme che sono estremi di un segmento
costituito da punti non tutti appartenenti allo stesso
sottoinsieme.
Si può pertanto dare la seguente
Il punto origine delle due semirette prende il nome di vertice ;
le due semirette prendono il nome di lati .
V
r
s
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Richiami di geometria euclidea:
angoli convessi e concavi
Definizione 3 :
angolo convesso : un angolo si dice convesso se
due qualsiasi suoi punti sono estremi di un segmento
costituito soltanto da punti appartenenti all’angolo .
Si hanno inoltre le seguenti definizioni
angolo concavo : un angolo si dice concavo se
esiste almeno una coppia di suoi punti che sono estremi
di un segmento non tutto costituito da punti ad esso
appartenenti .
Definizione 4 :
angolo convesso
angolo concavo
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un angolo risulta concavo se i
prolungamenti dei suoi lati dalla parte opposta al vertice
appartengono all’angolo.
un angolo risulta convesso se i
prolungamenti dei suoi lati dalla parte opposta al vertice
non appartengono all’angolo.
Richiami di geometria euclidea:
Criteri per individuare angoli convessi e concavi
angolo convesso :
Si hanno i seguenti criteri per individuare la concavità o
convessità di un angolo
angolo concavo :
angolo convesso
angolo concavo
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Richiami di geometria euclidea:
angolo piatto e angolo giro
Definizione 5 :
angolo piatto : un angolo si dice piatto se i suoi lati
sono semirette opposte.
Si hanno ancora le seguenti definizioni
angolo giro : un angolo si dice giro se i lati sono
semirette coincidenti e ad esso appartengono tutti i punti
del piano.
Definizione 6 :
angolo piatto
angolo giro
P Indicheremo l’angolo piatto con il simbolo
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Richiami di geometria euclidea:
angolo nullo
Definizione 7 :
angolo nullo : un angolo si dice nullo se i suoi lati
sono semirette coincidenti e ad esso appartengono
soltanto i punti delle semirette .
angolo nullo
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Figura 3
Richiami di geometria euclidea:
angoli : altre definizioni e convenzioni
Per indicare un angolo generico che ha per vertice il
punto V e lati le semirette a e b si usa la seguente
scrittura : aVb
Per indicare un angolo generico che ha per vertice il
punto V ed i cui lati passano per i punti A e B , si usa
la seguente scrittura : AVB
V
b
a
B
A
Angoli orientati
Anche gli angoli come i segmenti possono essere
orientati .
Se per i segmenti si puo’ stabilire un verso di
percorrenza da un estremo all’altro cui corrisponde un
ordinamento dei suoi punti interni ,
per gli angoli si puo’ stabilire un verso di rotazione per
le semirette che avendo origine nel vertice ruotino
intorno ad esso da un lato all’altro , fissando così un
ordinamento per le semirette che ricadono all’interno
dell’angolo .
Figura 4
V
b
a
B
A
(gli orientamenti possibili sono ovviamente due)
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Angoli consecutivi
Richiami di geometria euclidea:
angoli : alcune definizioni e convenzioni
Non volendo indicare vertici e lati, un angolo generico
verrà indicato con le lettere minuscole dell’alfabeto
greco (come i piani ed i semipiani).
b
a A
Due angoli si dicono consecutivi se hanno in comune
il vertice ed un lato ed hanno i lati non comuni da parti
opposte rispetto a quello in comune (vedi figura )
Definizione 8 :
Definizione 9 :
Due angoli si dicono adiacenti se sono consecutivi e
hanno i lati non comuni appartenenti alla stessa retta
(vedi figura )
V
B
Angoli adiacenti
b
a A
V
B
C
c
C c
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Richiami di geometria euclidea:
Postulato del trasporto degli angoli
Si ha il seguente
Assegnati un angolo ed un semipiano, sulla cui origine (retta di frontiera) sia fissata una
semiretta, esiste ed è unico l’angolo del semipiano congruente all’angolo assegnato che ha
un lato sulla semiretta ed il vertice nella sua origine .
Postulato del trasporto
Postulato
’
’ ≅
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Richiami di geometria euclidea:
Confronto di angoli
Dal postulato del trasporto consegue il seguente criterio per il confronto di angoli che hanno
un orientamento fissato .
Assegnati due angoli per effettuare il loro confronto si agirà come segue (vedi figura):
Criterio per il confronto di angoli
Criterio per il confronto di angoli
Si trasportano gli angoli in modo tale da sovrapporre un lato (primo lato) di ciascun angolo
Il secondo lato di ciascun angolo deve ricadere dalla stessa parte rispetto al lato comune :
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Richiami di geometria euclidea:
Confronto di angoli
Assegnati due angoli e , dal confronto effettuato
con le modalità precedenti possono emergere tre
situazioni .
Se il secondo lato di risulta interno ad allora si dirà
che è maggiore di ( > )
A : >
Se anche i secondi lati si sovrappongono allora si dirà
che i due angoli sono congruenti ( ≅ )
Confronto di angoli
B : <
C : ≅
Se il secondo lato di risulta esterno ad ad allora si
dirà che è minore di ( < )
>
<
≅
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essendo rispettivamente a,b,c il primo lato di , il
lato comune ad e , il secondo lato di ,
Richiami di geometria euclidea:
addizione di angoli consecutivi
Assegnati due angoli consecutivi e ,
Addizione di angoli consecutivi
= +
Si ha la seguente definizione
a
b c
V
In simboli si scriverà : = + o aVc aVb = + bVc o AVC AVB = + BVC
Avendo indicato con V il vertice e con A,B,C tre generici punti rispettivamente sui lati a,b,c .
si definisce angolo somma degli angoli e
l’angolo che ha lo stesso vertice dei precedenti e come lati i lati non comuni (a,c) ad e .
a
c
V
C B
A
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si definisce angolo somma degli angoli e
l’angolo somma di due angoli consecutivi rispettivamente congruenti agli angoli assegnati.
Richiami di geometria euclidea:
addizione di angoli
Assegnati due angoli non consecutivi e ,
Addizione di angoli non consecutivi
’
= + = ’ + ’
In generale se i due angoli non sono consecutivi il postulato del trasporto ne rende ancora
possibile il calcolo della somma essendo assicurato un movimento rigido che li rende
consecutivi . Si ha pertanto la seguente
definizione
’
a
c
V
Per la scrittura in simboli si utilizzeranno ancora le convenzioni viste in precedenza .
C B
A
b
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’
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si definisce angolo differenza degli
angoli e l’angolo che sommato a (il secondo) da come risultato (il primo)
Richiami di geometria euclidea:
sottrazione di angoli
Assegnati due angoli non consecutivi e , con > ,
Sottrazione di angoli non consecutivi
= - = ’- ’
La sottrazione di angoli si riconduce all’operazione di addizione. A tal proposito si ha la
seguente definizione
a
In simboli, con le precedenti convenzioni, si scriverà :
V
= - = ’ - ’ o bVc aVc = − aVb o BVC AVC = − AVB
’
C B
A
c b
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si dice multiplo dell’angolo secondo
n l’angolo somma di n angoli congruenti ad .
Richiami di geometria euclidea:
multipli di angoli
Assegnati un angolo e un numero naturale n > 1,
Multiplo di un angolo = n
Si ha la seguente definizione
In simboli, con le precedenti convenzioni, si
scriverà : = n∙
definizione
Considerazione
La precedente definizione si può estendere ai casi in cui n valga 1 o 0 considerando come
multiplo di nel primo caso se stesso e nel secondo caso l’angolo nullo
= n∙
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= n∙
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esiste sempre un angolo multiplo del
minore che supera il maggiore.
Richiami di geometria euclidea:
postulato di Eudosso - Archimede
Assegnati due angoli , non congruenti o nulli,
Postulato di Eudosso - Archimede
= n >
Si ha il seguente postulato
In simboli (con < ) si scriverà :
= n >
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si dice sottumultiplo dell’angolo
secondo n l’angolo tale che l’angolo risulti la somma di n angoli congruenti ad .
Richiami di geometria euclidea:
sottomultipli di angoli
Assegnati un angolo e un numero naturale n > 1,
Sottomultiplo di un angolo
Dato un angolo multiplo di un angolo secondo n (= n ) , i termini della relazione
possono essere invertiti e si può dare la seguente
definizione
In simboli, si scriverà :
definizione
n =
n =
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dicesi angolo retto il sottomultiplo di un angolo piatto secondo il naturale n = 2 .
Richiami di geometria euclidea:
angolo retto
Angolo retto
definizione
Si ha la seguente
In simboli si scriverà : R P = 2
R P = 2
P R
R
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dicesi angolo acuto un angolo minore di un angolo retto.
Richiami di geometria euclidea:
angolo acuto ed ottuso
Angolo acuto ed angolo ottuso
definizioni
Si hanno le seguenti
R
dicesi angolo ottuso un angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto.
P
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R
R
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due angoli si dicono complementari se la loro somma è congruente ad un angolo retto.
Richiami di geometria euclidea:
angoli complementari ed anticomplementari
Angoli complementari ed anticomplementari
definizioni
Assegnati due angoli , si hanno le seguenti
due angoli si dicono anticomplementari se la loro differenza è congruente ad un angolo
retto .
≅ = + R
≅ = - R
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due angoli si dicono supplementari se la loro somma è congruente ad un angolo piatto.
Richiami di geometria euclidea:
angoli supplementari ed antisupplementari
Angoli supplementari ed antisupplementari
definizioni
Assegnati due angoli , si hanno le seguenti
due angoli si dicono antisupplementari se la loro differenza è congruente ad un angolo
piatto .
≅ = + P
≅ = - P
P
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due angoli si dicono esplementari se la loro somma è congruente ad un angolo giro.
Richiami di geometria euclidea:
angoli esplementari
Angoli esplementari
≅ = + G G
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se esiste una grandezza
omogenea a quelle assegnate che sia sottomultipla comune .
Richiami di geometria euclidea:
misura degli angoli : grandezze commensurabili
Due grandezze geometriche omogenee si dicono commensurabili
angoli commensurabili
Si richiamano a questo punto alcune definizioni fondamentali per pervenire al concetto di
misura di un angolo.
definizione
Applicando tale definizione ad angoli si avrà che l’angolo sottomultiplo comune sarà nella
seguente relazione con gli angoli assegnati e :
n =
m = ;
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Dati due angoli commensurabili e dicesi misura di rispetto ad il numero razionale
tale che
Richiami di geometria euclidea:
misura degli angoli : definizione per angoli commensurabili
angoli commensurabili
Da :
m =
n = ; Si ottiene : m =
n
m = n
m =
Assumendo l’angolo come unità di misura ( = ) si può dare la seguente
definizione
n
m = m n m m
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Richiami di geometria euclidea:
misura degli angoli : definizione generale
Se due angoli non ammettono sottomultiplo comune si dirà, come per qualsiasi altra
grandezza, che sono incommensurabili .
Unificando le due definizioni precedenti si può ora dare una più generale
In tal caso si potrà sempre assumere uno dei due angoli come unità di misura e si potrà
ancora parlare di misura di uno rispetto all’altro intendendo che ad essi risulti associato un
numero irrazionale secondo il solito legame : = ’ , con ’ numero irrazionale .
Dati due angoli e dicesi misura di rispetto ad il numero reale ’ tale che = ’
definizione
in accordo con il fatto che la misura
euclidea è una misura assoluta che non tiene conto dell’orientamento.
Si noti che, essendo m, n due naturali, n m m Q+