FORMULACIÓN DE LAGRANGE 1.Considérese un sistema con Ngrados de libertad descrito por el conjunto de coordenadas generalizadas {q i }(i=1,...,N), cuyas energías cinética y potencial, Ty V,vienen dadas por ( ) ( ) i Ni i i i Ni i q VVq q fT∑ ∑ = = = = 1 2 1 , & Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que los distintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema a cuadraturas. A partir de la lagrangiana,L= T−V, calculemos las derivadas 2 i i i fq q L & & = ∂ ∂ 2 d d 2 d d 2 i i i i i i fq q fq q L t& & & & + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ d d d d 2 i i i i i i q Vq q fq L − = & ∂ ∂ Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad q i es 0 = d d 2 d d 2 i i i i i i i q Vq fq q f+ + & & & que como vemos sólo depende del propio grado de libertad q i , de manera que los distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de libertad 2 i i i i Vq fE+ = & se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues d d d d 2 i i i i i i i q Vq q fq E+ = & ∂ ∂ 2 i i i i fq q E& & = ∂ ∂ resultando que = 2 + d d d d d d d d d d 3 i i i i i i i i i i i i i i i i i q q fq q Vq q ftq q Etq q EtEtE& & & & & & & + = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 0 = 2 + d d d d = 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + i i i i i i i i q fq Vq q fq & & & & 3
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1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto decoordenadas generalizadas qi (i=1,...,N ), cuyas energías cinética y potencial, T
y V , vienen dadas por
( ) ( )i
N
iiii
N
ii qV V qq f T ∑∑
==
==1
2
1
, &
Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que losdistintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema acuadraturas.
A partir de la lagrangiana, L = T − V , calculemos las derivadas
2 ii
i
f qq
L &&
=∂
∂
2d
d2
d
d 2
ii
i
ii
i
f qq
f q
q
L
t &&&
& +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
d
d
d
d 2
i
ii
i
i
i q
V q
q
f
q
L−= &
∂
∂
Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es
0=dd2
dd 2
i
iiii
i
i
qV q f q
q f ++ &&&
que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los
distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evoluciona
independientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de
libertad
2
iiii V q f E += &
se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues
Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega alresultado.
-------------------------------------------------
3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejes
cartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz . Transforme la lagrangiana de una partícula consideradalibre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifiqueen esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis ycentrífuga.
La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es:
t xt y y
t yt x x
ϖ ϖ sincos
sincos
′+′=
′−′=
La energía cinética de la partícula viene dada por:
)(~
2
1)(~)(
2
1)(
2
1 222222222 y xm y x y xm z y xm z y xmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ω ω &&&&&&&&
La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse
como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema decoordenadas. En nuestro caso:
iqT ∂∂ /
xm ym x
T
′+′=′∂∂ 2
~~ ω ω & ,
con una expresión similar para i yT ′∂∂ / (la correspondiente parcial con respecto a z ’es
nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las
componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La
otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término ⎟ ⎠ ⎞⎜
4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circularde radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, giraalrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω . Para una velocidadangular ω mayor que un cierto valor crítico ω
c, la cuenta tiene un punto de
equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ 0 respecto dela vertical. Se pide:
a) Encontrar ω c y θ 0 ;
b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededorde 0 y encontrar su periodo.
a) La energía cinética de la cuenta y el Lagrangiano son:
2222 )sen(21
21 θ ω θ ammaT += & .
θ θ ω θ cossin mgamama L −+= 22222
2
1
2
1&
donde θ es el ángulo que forma la posición de la masa con el eje vertical de giro,
correspondiendo 0θ = con la partícula en la posición más baja en el alambre.
La ecuación de Lagrange nos lleva a:
0sencossen 2 =−+ θ θ ω θ θ a g a &&
En el punto de equilibrio,
0=θ && , g = aω 2 cos θ , ó.: ω 2 = g/(a cos θ) .
Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que lavelocidad angular crítica es
a g
C =ω
y el ángulo de equilibrio es
⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛
= 20 cosarc ω θ a
g
b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ 0, podemos describir el
movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ 0. La ecuación del
Para pequeños valores de ε , 1cosysen ≈≈ ε ε ε . Teniendo en cuenta esto y el valor
obtenido de θ 0 , la ecuación anterior queda en
0142
22 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+ ε
ω ω ε
a
g &&
La frecuencia de oscilación será:
42
2
1ω
ω a
g −=Ω
---------------------------------------------
5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de laforma
221
21
2 )( dqqadqds +=
Se pide:
a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie
b) Demostrar que las curvas cte.2 =q son geodésicas
c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), lacoordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un puntosobre la superficie en ausencia de toda fuerza).
1q
a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1,
( )2
21
2
1 )(2
1qqaqT L && +==
La coordenada es cíclica; luego2q
21
2
)( qqaC q
T &
& ==
∂∂
(1)
donde C es una constante. Por otra parte, la energía total:
( )2
21
2
1 )(21 qqaq E && += (2)
es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una
ecuación diferencial entre las coordenadas y que es precisamente la ecuación de
las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene:1q 2q
b) Las curvas , recorridas con la ley horariacte.2 =q E t q E q 2,2 11 ==& , son
soluciones de las ecuaciones (1) y (2).
c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento
uniforme.
1q
-----------------------------------------------
6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme departículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerzagravitatoria total que sería
br r
k F r −−=
2
Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil)( 3r k b << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita
cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de laórbita circular).
La ecuación de movimiento es:
dr
r dV r m
ef )(−=&&
Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple:0r
02
0
3
0
2
0
)(br
r
k
mr
l
dr
r dV
r r
ef −−=−=
Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta
perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de ,0r
L+′′−+′−+= )()(2
1)()()()( 0
2
0000 r V r r r V r r r V r V ef ef ef ef
Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos:
),()(2
1
2
10
2
0
2 r V r r r m L ef ′′−−= &
donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de
un oscilador armónico, de frecuencia
m
r V ef )( 02′′
=ω
Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las
pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular,
7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varillarectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremoscomo centro de giro y con velocidad angular constante, ω . En presencia de uncampo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r , de la cuenta comofunción del tiempo, si las condiciones iniciales son: r R r ( ) ; &( ) .0 0 v= =
Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de
la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es:
( ) ( )222222
21
21 ω θ r r mr r mT +=+= &&&
y la lagrangiana
( ) t mgr r r m L ω ω sen2
1 222 −+= &
La ecuación del movimiento resulta:
t g r r ω ω sen2 −=−&& ,
siendo su solución
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+= tsen
2senh
2cosh
22 ω
ω ω
ω ω ω
g t
g vt Rr
---------------------------------------
8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campoelectromagnético es, en coordenadas cartesianas,
vA ⋅+−=c
eeT L φ
a) Evaluar cuál es la dependencia en φ y A de los campos eléctrico y magnético,para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campoelectromagnético.
b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo latransformación (conocida como gauge)
10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dospéndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud L y sonrígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud
tiene una masa .
L′
D bm
Posición de los puntos de la barra:
D xa y xa x ≤′≤−=′+= 0;cos;sin θ θ
θ θ θ θ &&&& sin;cos a ya x ==
Energía cinética barra 22
0
22
22
1θ θ ρ && a
ma xd
Db∫ =′=
T= )(2
1 2222 am LmmL b+′′+θ &
)(cos)coscoscos( LmmLam g LmmLam g V bb ′′++−=′′++−= θ θ θ θ
Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa µ tal que:
2222 am LmmL b+′′+=µ λ
am LmmL b+′′+=λ
Entonces:
am LmmL
am LmmL
b
b
+′′+
+′′+=
222
λ
222
2)(
am LmmL
am LmmL
b
b
+′′+
+′′+=µ
-------------------------------------
11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina deAtwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y . 0 2m
aceleración uniforme g . El anillo tiene radio , se encuentra en un planovertical y su espesor es despreciable.
R
Puesto que el cuerpo se mueve sobre una curva (unidimensional),el número de gradosde libertad del problema es la unidad (dos para una superficie, tres para un volumen).
Claramente, la posición del móvil la fija una sola variable, el ángulo θ , por ejemplo.
Habrá pues una única ecuación de Lagrange. Construyámosla.
La energía cinética T para una partícula de masa m que se mueve en el plano y x − es:
2 2( )2
mT x y= +& & ,
de modo que, escribiendo x e en función de y y R θ ,
,cos;sin θ θ R y R x −== (1)
y derivando respecto del tiempo, resulta para las energías cinética T y potencial V en
función de θ ,
2
22 θ &
mRT = (2)
.cosθ mgRmgyV −==
Así pues, la ecuación de Lagrange (solo una para un problema con un solo grado delibertad) correspondiente al Lagraniano L .
)cos2
(2
θ θ
+=−= g
RmgRV T L&
(3)
es:
.0sin =+ θ θ
g R
&& (4)
Nótese que, gracias a las ligaduras, un problema plano que en principio hubiera
requerido dos ecuaciones de segundo orden para x e , se ha despachado en términos
de una sola para
y
θ .Pero caben simplificaciones mayores aún, de resultas de las simetrías
(o invariancias) presentes. Obsérvese que el Lagrangiano ),( t L θ de hecho no depende
del tiempo t . Ello implica automáticamente que la energía T V + se conserva , y la
ecuación (4) puede reducirse a una de primer orden. Efectivamente, introduciendo la
El Lagrangiano resulta inmediatamente de su definición, 2121 V V T T L −−+= , y
análogamente resultarían las ecuaciones de Lagrange (el alumno deberá escribirlas
como ejercicio).
Nótese que L no depende ni del tiempo (se conserva la energía total), ni det x ( x es
coordenada cíclica , 0=∂∂− x L , y se conserva su cantidad de movimiento conjugada,
L p
∂∂
= ). El sistema de las ecuaciones de Lagrange de cuarto orden (dos de segundo
orden), pueden pues reducirse a una de segundo orden. Las dos integrales primeras
asociadas a las consideraciones anteriores son
Const Rmmm x x
L p =++=
∂∂
= θ θ cos)( 2211
1
&&&
(4)
.2121 Const V V T T E =+++= (5)
La ecuación (4) es fácil de interpretar como el hecho de la conservación de la cantidad
de movimiento en la dirección (como siempre, esta propiedad resulta de la
invariancia del problema ante traslaciones en la dirección ).
x
x
.2211 xm xm p && += (6)
Para mayor simplificación, esta última ecuación también admite otra integración exacta
(Problema para alumnos imaginativos: a ver quien es capaz de interpretar este hechomatemático como la invariancia de algún ente físico ante una transformación de alguna
clase), igual que en el movimiento de una partícula libre(la suma de fuerzas en la
dirección es nula). x
.sin)( 2121 Const Rm xmmtp =+++− θ (7)
Así pues, el problema queda reducido a uno de primer orden. Bastaría con resolver la
ecuación de la energía total en la que la única variable desconocida sería θ , ya que y
pueden expresarse en función de
1 x
1 x& θ y mediante las ecuaciones (6) y (7).θ &
El lector deberá terminar el problema en detalle. Para ello, hacemos notar que esta únicaecuación pendiente de resolución toma la forma más sencilla en el sistema de referencia
que se mueve en la dirección con la velocidad constante del centro de masa de las dos
partículas. Usando como coordenadas
x
)()(
21
2211
mm xm xmc
++= y θ ,
c (la coordenada horizontal del centro de gravedad) resulta ser también cíclica, y la
integral de la energía se reduce a:
22θ & R [ ]2
22 cos2sincosm
E gRa =−+ θ θ θ ,
donde).( 21
1
mm
ma
+=
El problema queda pues reducido a una cuadratura, como los anteriores,
14. Considérese el regulador ilustrado en la figura. ¿Cuántos grados de libertadhay? En función de los ángulos θ y φ , obténgase el Lagrangiano del sistema yescríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías, redúzcase elproblema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de lasecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas.
cantidad fija (por ejemplo girando el eje x a un ángulo dado φ ∆ ), el sistema no se
inmuta. Es invariante ante desplazamientos constantes de la variable φ . Se conserva
pues la cantidad φ θ φ
&&22
2 sin2mR L p =∂∂= , fácilmente identificable con el momento
angular en la dirección vertical. Nuevamente, eliminando
φ & en términos de (constante) y haciendo uso de la ecuación de la energía,2 p
,sin4
)sin41(cos622
2
2222
θ θ θ θ
mR
pmRmgRV T E +++−=+= &
El problema se reduce a dos cuadraturas (o meras integrales):
θ
θ θ
θ θ ⇒
−+
+=∫ ∫
22
2
2
22
sin4cos6
)sin41(
mR
pmgR E
mRd dt )(t θ =
----------------------------------
15. Dos puntos de masa están unidos por una varilla rígida sin peso de longitud,el punto medio de la cual está obligado a moverse sobre una circunferencia
de radio . Escríbase la energía cinética en coordenadas generalizadas.
Obténgase el Lagrangiano del sistema y escríbanse las ecuaciones de Lagrange.Utilizando las simetrías existentes, redúzcase el problema a una cuadratura.Interprétense físicamente cada una de las ecuaciones de conservación (ointegrales del movimiento) obtenidas. Toda la acción ocurre en el planovertical; la constante gravitatoria es
m
b2
R
g .
+r =posición pto. superior = ; ji ++ + y x
=−r posición pto. inferior = ji −− + y x
Para simplificar el álgebra, introducimos la notación compleja (no es absolutamente
*rr =⋅ rr , donde *r es el complejo conjugado de r ; iy xr −=*
=±±= −−± )Re)(Re( 2121
2121
2 θ θ θ θ θ θ θ θ
iiiibeber &&&&&
)()()(
21
2
2
22
1
2 1221 ϑ θ θ θ θ θ θ θ
−− +±+= iiee Rbb R &&&&
)()(2
1 2
2
22
1
222
θ θ &&&&
b Rmr r mT +=+= −+
121 sin2)( θ mgR y ymg V =+=
)sin2( 1
2
2
22
1
2θ θ θ Rg b Rm L −+= &&
Nótese que 2θ es coordenada cíclica, pues .02
=∂
∂
θ
L En otras palabras, al sistema no le
afecta que se le dé a la variable 2θ un desplazamiento constante θ ∆ . Es por tanto
“invariante ante traslación (giro)” de la variable 2θ . Se conserva pues 2 p
teconsmb L p tan2 22
2
2 ==∂∂= θ θ
&& ,
t mb
p2
2202
2+= θ θ
claramente asociado al momento de giro del sistema de las dos masas alrededor de su
centro. También el momento angular de la Tierra alrededor del eje polar se conserva
indepedientemente de su giro alrededor del Sol. El resto del problema es trivial,reduciéndose al de un péndulo simple plano.
----------------------------------------
16. Una partícula de masa m, sometida al campo gravitatorio terrestre, se muevesin rozamiento sobre la superficie interior de un paraboloide de revolucióncolocado verticalmente.
a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservandurante el movimiento.
b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente ydiscútase el tipo de órbitas.
c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea
normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor quela del péndulo inferior.
La forma usual de abordar este problema puede quedar resumida en lo siguiente. Si
describimos el problema en las variables generalizadas dadas por los ángulos de los péndulos daremos con una formulación que puede englobarse en la siguiente formageneral de lagrangiano:
)()(2
1
,
qU qqq M L j ji
i ji −= ∑ &&
con un punto de equilibrio en . El estudio de las desviaciones pequeñas alrededor
del punto de equilibrio equivale a tomar sólo los términos lineales en las ecuaciones del
movimiento, o lo que es lo mismo, la aproximación cuadrática a L:
0=iq
j ji i ji j ji i ji
qq K qqT L
∑∑ −=
,, 2
1
2
1&&
El problema de hallar las frecuencias de los modos normales es el de resolver laecuación especial de valores propios:
k k k AK AT ⋅=⋅2ω
en donde T no es una matriz diagonal. Para evitar el complicado problema de la
diagonalización en este estadio, podemos en algunos casos diagonalizar la energíacinética ya de partida, en el lagrangiano cuadrático. Esto es lo que pasa en el problema
presente. Veamos cómo podemos hacerlo.
El problema nos plantea un péndulo doble, con el superior de longitud L, y masa M , y elinferior,
de longitud l y masa m. La energía cinética no es difícil de hallar:
[ ])-cos(22
1
2
1 222222 θ ϕ ϕ θ ϕ θ θ &&&&& Ll l Lm MLT +++=
Para pequeños valores de θ y ϕ , podemos aproximar el coseno por 1. Como hay un
término producto de sus derivadas temporales, estas coordenadas no son ortogonales(no diagonalizan la energía cinética), pero podemos hacerlas ortogonales sumando un
múltiplo apropiado de θ a ϕ . De hecho, es fácil ver que una pareja de coordenadasortogonales está dada por los desplazamientos
θ θ l L y L x += = ,
que no son otra cosa que las longitudes de arco descritos por cada una de las masas deambos péndulos. Es fácil ver que, entonces, la energía cinética se convierte en:
2
2
12
2
1 ym x M T && +=
En función de estas nuevas coordenadas ortogonales es fácil ver que las ecuaciones delmovimiento son:
Hallar la ecuación característica para las frecuencias de los modos normales esrelativamente trivial, sobre todo en el límite M >>m, quedando:
l
g
L
g ≈≈ 22 y ω ω
-----------------------------------------
18. Una partícula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY , seencuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y está sometida a
la fuerza que deriva del potencial V ( x, y). El potencial es analítico cerca delorigen, admitiendo el desarrollo
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
2
1, 3
2
2
22
2
2232
r O y x
V xy
y
V y
x
V x
y
V y
x
V xr OV V y xV +++++≡+∇⋅+∇⋅=
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ rr
Estúdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuacionesde Lagrange en torno a la condición inicial. Resuélvanse estas ecuacionessuponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de laforma ( ) ( ) 5432
t Ot t t t +++= cbar , y determínense los vectores constantes a, b y
c. Calcúlese, así mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresión de lalagrangiana.
La lagrangiana de la partícula es L = T − V , siendo22
2
12
2
1 y xT && +== v . Así pues,
cerca del origen, se tiene
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
000 ;
000 ;
2
2
2
2
2
2
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−==
−−−==
y x
V x
y
V y
y
V
y
L y
y
L
y x
V y
x
V x
x
V
x
L x
x
L
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
&&
&&
lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton:
Sustituyendo r y en las ecuaciones del movimiento e igualando las potencias delmismo orden en t , se obtienen los vectores buscados:
&& r
( )02
1
V
a x ∂
∂
−=
0= xb
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= 0000
24
1
2
2
2
y x
V
y
V
x
V
x
V c x
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Haciendo en estas expresiones el intercambio x↔ y, se obtienen las componentes y
correspondientes.
Para calcular la trayectoria, x = x( y), hay que eliminar el tiempo t entre lascomponentes x e y de la ley de movimiento r(t ). Para ello invertimos la serie de una de
las componentes, la componente x por ejemplo, suponiendo para t un desarrollo de la
forma
( ) 22/32/1 xO x x xt +++= γ β α
de manera que
( ) 2 22/322 xO x xt ++= αβ α
( )M
22/333 xO xt += α
Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene:
( ( 2 22/32 xO x xa x x ++= αβ α
de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientesdel desarrollo de t ,
,0= ,2/1
K β α −= xa
lo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = a yt 2 + ..., proporciona la
trayectoria pedida
( ) /
/
2
0 xO x xV
yV y
x+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
=∂ ∂
∂ ∂
que puede calcularse consecutivamente a todos los órdenes
---------------------------------------
19. Considérese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por unavarilla rígida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girarlibremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas.Este punto está forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R
colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determínense lascoordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del
sistema y calcúlese la expresión de su lagrangiana, si la gravedad es la únicafuerza presente. Escríbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes ydiscútase el movimiento del sistema.
z
y
x
θ
ϕ g
Para especificar el movimiento del sistema, lo más conveniente es dar la posición del
centro de masas y referir a éste las posiciones de las dos esferas. Como el centro demasas está forzado a moverse sobre una circunferencia, su posición queda determinada
dando el ángulo α que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como están unidas
por una barra rígida, la distancia que las separa es fija y basta con especificar los
ángulos polares esféricos (ϕ ,θ ) que determinan la orientación de la barra en el espacio.
Así, como coordenadas generalizadas del sistema pueden tomarse los tres ángulos
(α ,ϕ ,θ ).
Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro dela circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son:
cos
cos
cos
1
1
1
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
=
θ α
ϕ θ α
ϕ θ
l Rsen z
senlsen R y
lsen x
cos
cos
cos
2
2
2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=
−=
−=
θ α
ϕ θ α
ϕ θ
l Rsen z
senlsen R y
lsen x
Calculando por derivación temporal las velocidades respectivas, resultan las siguientesexpresiones para las energías cinéticas:
( )[ ]θ α θ ϕ θ α ϕ ϕ θ α θ α α θ ϕ θ sen sen sen sen sen Rl R senl l m
mT
coscoscos22
2
1
2222222
2
11
&&&&&&& ++−++=
=≡ v
( )[ ]θ α θ ϕ θ α ϕ ϕ θ α θ α α θ ϕ θ sen sen sen sen sen Rl R senl l m
mT
coscoscos22
2
1
2222222
2
22
&&&&&&& +++++=
=≡ v
de modo que la energía total del sistema es
( ) ( ) ( )222
21 α θ ϕ θ &&& R senl l mT T T ++=+=
Por otra parte, las energías potenciales de las esferas y la energía potencial totalson
A partir de la lagrangiana, L ≡ T − V , calculemos las derivadas
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
=∂
∂
=∂∂
θ ϕ ϕ
θ θ
α α
22
2
2
2
2
2
sin&&
&&
&&
ml L
ml L
mR L
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∂∂
=∂∂
=∂∂
0
2
2
22
ϕ
θ θ ϕ θ
α α
L
ml L
mgR L
cossin
cos
&
La ecuación asociada al grado de libertad α ,
( ) 0cos22d
d 2 =− α α mgRmRt
&
está desacoplada de θ y de ϕ . Esta ecuación es precisamente la ecuación del péndulosimple,
cos g
Rα α = −&&
de manera que el centro de masas de las esferas ejecuta un movimiento pendularindependientemente de como estén girando las esferas. Es decir, el sistema en conjunto
se comporta como un péndulo de masa 2m con dos grados de libertad internos que
determinan el movimiento relativo de las dos esferas respecto de su centro de masas.
Por otra parte, la coordenada ϕ es cíclica de manera que una constante del
movimiento es
C senml L
== θ ϕ ϕ ∂
∂ 222 &&
de donde, despejando, se obtiene
2
22 θ ϕ
senml
C =&
La ecuación para θ es
( ) 0cos22d
d 222 =− θ θ ϕ θ senml ml t
&&
es decir, sustituyendo el resultado anterior,
2
2 2
cot0
2 sin
C
ml
θ θ
θ
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
&&
que es la ecuación que determina el movimiento relativo de las esferas.
Una gráfica de V ef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de
órbitas.
0
1
2
3
4
5
ππ/2
θ
V ef
( R/ g )
En la figura se ha representado la función ( R/ g )V ef para el caso particular .
La curva a trazos corresponde al término gravitatorio y la curva a trazos y puntos altérmino centrífugo. La suma de ambos es la curva continua. Como puede verse, lasórbitas posibles corresponden a trayectorias acotadas comprendidas entre dos valores,
uno máximo y otro mínimo, del ángulo θ que dependen de la energía total de la partícula, la otra constante del movimiento. Para el valor de ésta correspondiente al
mínimo de la curva de V
2322
gRml =
ef , los dos valores de θ colapsan y la trayectoria corresponde auna circunferencia horizontal.
---------------------------------------------
21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimientono se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una función homogénea
El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma:
Posición – carga
Velocidad – corriente
Fuerza – diferencia de potencial
Masa – inductancia L
Constante del muelle – inversa de la capacitancia 1/C
La energía almacenada en el inductor 2
21 L I puede asociarse formalmente a un término
de energía “cinética”. Por su parte, la energía almacenada en el condensador es
asimilable, también desde un punto de vista formal, al término de energía potencial de
un muelle. En definitiva:
( ) 2
212
21 1QL Q
C V T L −=−= &
de la que se obtiene la ecuación: ( ) 0L
1 =+ QC
Q&& ,de la que sigue fácilmente la frecuencia.
---------------------------------------------
23. Una esfera uniforme de masa y radio R se halla encastrada en un agujeropracticado en una fina lámina plana infinita, con una masa por unidad de áreade valor σ , de forma a que el plano de la lámina coincida con el planoecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masa se mueve sin rozamiento alo largo del eje z (véase figura), perpendicular a la lámina y que pasa por elcentro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema
m
La dificultad en este problema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la
partícula. Una vez obtenido éste, la construcción del Lagrangiano es inmediata.
Consecuentemente, nos concentraremos únicamente en el primer objetivo. Para ello,
separamos las contribuciones del plano y de la esfera. Esta última es inmediata:
simplemente, a una distancia del centro de la esfera, a lo largo del eje z z ,
La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de
radio ρ , alrededor del centro de la esfera.. Por razón de simetría, sólo tendremos que
calcular la componente del campo producido por el anillo a la misma distancia
anterior . En definitiva,( )( )( ) 2222
2
ρ ρ
ρ σ πρ
++−
z
z
z
d G
El campo total producido por el plano resultará de integrar la expresión para el anillo en
el intervalo [ :)∞, R
22
2
R z
z G
+−
σ π
---------------------------------------------
24. Sabemos que el oscilador armónico tiene como parámetro característico lafrecuencia ω , que es independiente de las condiciones iniciales. Por elcontrario, su amplitud máxima A sí que depende de estas últimas. Sin embargo,existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud máximase invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condicióninicial y, al contrario, la amplitud máxima convertirse en un parámetrocaracterístico del sistema, independiente de la condición inicial. Un casosemejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales estánunidas por un eje rígido de masa nula. cada una de las masas se mueve sinrozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, biensea el x, bien sea el y. Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que loaseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de lacondición inicial, mientras que su amplitud máxima es siempre la misma.
x
y
A
Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geométricas, el
lagrangiano y la energía cinética coinciden: son iguales a la energía cinética que tiene
cualquiera de las partículas, en el instante en que pasa por el origen y la otra está en su posición de equilibrio,
( )2
22
22
22u
m
x A
xmA L =
−=
& (1)
donde es la velocidad de una partícula cuando pasa por el origen. Ordenando denuevo términos en la ecuación (1), llegamos a:
La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya
frecuencia y amplitud máxima son, respectivamente, u A
y . El movimiento es el de
oscilador armónico, pero en el cual la frecuencia depende de la condición inicial (a
través de u ), mientras que la amplitud máxima es siempre constante.
A
---------------------------------------------
25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene
dado por ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 22
2
1
2
1e kqqm
t L &
γ .
a) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde?b) ¿Existe alguna constante del movimiento?c) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles
Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada, , dada porS
qt
S ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
2exp
γ .
d) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde?e) ¿Existe alguna constante del movimiento?f) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posiblesg) ¿Cómo pondría en relación ambas descripciones?
Nota aclaratoria.
En el enunciado propuesto en la hoja de examen se deslizó un error. Se sugería el
cambio ( )t qS γ exp= en lugar del que aparece en el presente enunciado. Está claro que
con este último cambio el resultado carece de interés conceptual, tal como ha podidoconstatar la mayoría de los alumnos. La corrección, evidentemente, se ha hecho según el
enunciado del examen, y no con el que aparece aquí. Sin embargo, sí que da interés al problema el cambio propuesto aquí, por lo que será aquél sobre el que elaboraremos.
Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del “buen”cambio. Así lo han hecho constar en el examen a título de comentario y su iniciativa ha
sido debidamente valorada a la hora de calificar.
a) La ecuación de Lagrange lleva a:
( ) 0=++ kqqmqme t &&& γ γ ,
o
0=++ qm
k qq &&& γ ,
b) Aparentemente, podríamos contestar que no existe constante del movimiento al
depender L explícitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada.
Veamos por qué. En un sistema mecánico, podemos disponer, en principio, defunciones que permanecen constantes a lo largo del
movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento o
integrales primeras. Sin embargo, la definición de estas cantidades es más general,
englobando una posibles dependencia explícita del tiempo, de forma que:
= constante. Nada , en principio, excluye la existencia de este último caso de constantedel movimiento, aunque, bueno es decirlo, se piensa en la primera forma al hablar de
g) Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La única diferencia es que en lasegunda se enmascara el factor exponencial –que no por ello ha desaparecido-
pudiéndose con ello poner en evidencia la constante del movimiento –cosa que no era
trivial en la primera descripción.
---------------------------------------------
26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un círculo de radio , talcomo indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial
m b
( ) ( )γ β α γ β α −−− ++= eee,, 0V V los ángulos de separación γ β α ,, son medidos en
radianes. Cuando3
2π γ β α === , el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las
frecuencias de los modos normales del sistema para pequeños desplazamientos delequilibrio (ángulos 321 ,, θ θ θ ilustrados en la figura de la derecha)
Los ángulos α , β y γ , en términos de 21,θ θ y 3θ , son:
123
2θ θ
π α −+= ,
233
2θ θ
π β −+= ,
313
2θ θ
π γ −+= .
Por su parte, el potencial queda:
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −−
+
−−
+
−−−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
3123123
2
0
θ θ θ θ θ θ π
eeeeV V
Habida cuenta de que estamos hablando de pequeños valores de 21,θ θ y 3θ , esta
expresión del potencial puede aproximarse por
( ) ( ) ([ 3123123
2
0 3 θ θ θ θ θ θ
π
−−−−−−≈ −eV V )
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤−+−+−+ 2
31
2
23
2
122
1
2
1
2
1θ θ θ θ θ θ
La energía cinética va a ser dependiente de las velocidades lineales de las tres
partículas. Como el radio b es constante, éstas serán b , paraiθ & 3,2,1=i . En definitiva,
Proceder en el análisis de modos normales es relativamente trivial, por lo que se dejanlos detalles como ejercicio. La ecuación característica resulta ser
22
2 2 2303 0mb V e mb
π
ω ω −⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
con soluciones
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =−
3031
0
π ω
em
V
b
siendo la segunda degenerada.
---------------------------------------------
27.- En un sistema dinámico de 2 grados de libertad la energía cinética es2
2
2
2
2
2
1
2
1
)(2qq
bqa
qT &
&+
+= , y la energía potencial esta dada por 2dqcU += , con a, b,
c y d constantes. Mostrar que en función del tiempo es una ecuación de la
forma con h, k y constantes.2q
2
0
2
22 )()2)(( t t hk qk q −=+− 0t
NOTA: bxab
bxa
bxa
xdx+
−−=
+∫ 23
)2(2
Dado que la energía cinética y la potencial no dependen ni del tiempo ni de la
coordenada tenemos 2 constantes del movimiento:1q V T E += y1q
que conduce directamente a la ecuación que queremos encontrar con1
2
C
C k −= y
14
9C h = .
---------------------------------------------
28.- Una partícula de masa y carga e se mueve bajo la influencia de camposeléctrico y magnético uniformes, mutuamente ortogonales. En un sistema de ejescartesianos, estos campos son
m
jE rr E = y k B
rr B= . Encuentre las ecuaciones de
movimiento y la trayectoria en el caso en el que la partícula se encuentrainicialmente en reposo en el origen de coordenadas.Las relaciones siguientes le pueden servir de ayuda
( ) ( Avvv
AB
AE
⋅−−⋅=
×∇=∂
)
∂−−∇=
φ
φ
em L
t
2
1
Los potenciales escalar y vectorial que dan los campos correctos, son Ey−=φ
( ) jiA x y B +−=2
1
El correspondiente lagrangiano queda
( ) ( ) x y y xeBeEy z y xm L &&&&& −++++=2
1
2
1 222
Las ecuaciones de Lagrange correspondientes quedan0mx eBy− =&& &
eE xeB ym =+ &&&
0= z m &&
Queda claro de la tercera ecuación y de las condiciones iniciales ( ) 00 = z y ,
que el movimiento está confinado al plano
( ) 00 = z &
xy . Las ecuaciones para e x son lineales,
por lo que podemos considerar una solución general del tipo ( )t λ exp , quedando la
ecuación característica como
022242 =+ λ λ Bem
con autovalores
2
222
2,1 ,0m
Be−=λ
Con estos resultados en mano, podemos escribir la solución para la trayectoria de la
Es fácil dibujar la correspondiente trayectoria. Es un cicloide con cúspides sobre el eje, separadas por una distancia x 22 eBmE π . Esta distancia es la velocidad promedio en
la dirección , x B E , multiplicada por el período, eBmπ 2 , de los términos
sinusoidales.
x
y
E
---------------------------------------------
29.- Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:a) Las lagrangianas y),,(1 t qq L & t t q At qq L L ∂∂+= ),(),,(12
& son equivalentes, estoes, proporcionan las mismas ecuaciones de movimiento.
a) La elección del Lagrangiano de un sistema nunca es única y dada una función
lagrangiana, cualquier función de la forma),,(1 t qq L & dt t qdF t qq L L ),(),,(12 += & ,
también lo es (Sección 1.4 Goldstein, puede mostrarse por sustitución directa en las
ecuaciones de Lagrange de y de2 Lt
F q
q
F
dt
dF
∂∂
+∂∂
= & ).
Por tanto para que sea cierto en el caso que preguntado tendría que cumplirse
que la función añadida solo dependiera del tiempo: .)(t A
---------------------------------------------
30. Suponga por un momento que no sabe usted qué forma tiene la energía cinéticay desconoce también las Leyes del movimiento de Newton. Le dicen a usted que elpunto de partida para describir el movimiento de una partícula viene dado por lasecuaciones de Lagrange, cuya forma le dan, especificándole, sin más detalles, queel lagrangiano es un funcional de la forma ),,( t qq L L ii
&= . Le piden que con estos
datos descubra usted las leyes del movimiento de la partícula libre en coordenadascartesianas. Usted sabe que ésta es una partícula en el espacio vacío sin fuerzasactuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y elprincipio de relatividad de Galileo.1. Explique por qué el lagrangiano no puede ser función de z, y, x , ni de cada una
de las componentes de la velocidad, , , por separado. Tampoco del tiempo.¿Sobre qué propiedades del espacio se basará su argumentación?
Usted llega a la conclusión de que , donde)( 2v L vr
es la velocidad de la partícula enun sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma unsegundo sistema inercial K’ que se mueve con velocidad constanteinfinitesimalmente pequeña ε − respecto de K .2. Pruebe que L _ (a constante). Le puede ayudar hacer una expansión enserie de Taylor, despreciar los términos cuadráticos en _ y recordar la propiedad
de invariancia bajo transformación
2av L =
dt
dF L L +→ ' L .
3. Pruebe que es una elección consistente para el lagrangiano en cualquier
sistema K’ que se mueva con velocidad finita
2'' v L =
0V r
− respecto de K ; es decir, se
satisface el principio de relatividad de Galileo.
Los datos del problema son:
A) El Lagrangiano es funcional de la forma: ),,( t qq L L ii &= .
B) Ecuaciones de Lagrange: 0=∂∂
−∂∂
ii q
L
dt
d
q
L
&.
C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una partícula libre permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme por tiempo
ilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogéneo e
isótropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definirun sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropía por ejemplo, que con una
partícula de velocidad inicial no nula es imposible definir una dirección privilegiada delespacio, dado que sea cual sea la dirección inicial de la partícula el tipo de
comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son
indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales entodos ellos.
D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K’ se
desplaza con velocidad infinitesimal ε − respecto a otro sistema inercial K nos informa
que si la partícula libre se mueve con velocidad vr
en el sistema K lo hará con velocidad
ε rr
−v en el sistema K’.
1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusión de una dependencia explicita respecto
a las coordenadas o al tiempo implicaría que las ecuaciones del movimiento no
respetarían la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a unadirección privilegiada, como sería una dependencia de la dirección del vector velocidad,
no respetaría la isotropía del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede
depender del módulo de la velocidad, es decir: .)( 2v L L = 2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para
y de la última afirmación de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que
dt
dF v Lv L += )()'( 22 y para que esto se cumpla en la ecuación anterior tenemos que
cteav
L==
∂
∂2
, de modo que ar F ε rr
2−= , donde r r
es el vector posición de la partícula.
3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que
)2()(2)(')'('2
00
22
00
22
0
22 t V V r dt
d v LV V vvV vvv L +−+=+−=−==
rrrrrr
que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles.
---------------------------------------------
31. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo α (ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.
a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservandurante el movimiento.
b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente ydiscútase el tipo de órbitas
c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita seacircular?
d) Suponga la masa m en una órbita circular tratada en el apartado anterior.Suponga que se le imprime un muy pequeño impulso en dirección contraria alvértice del cono. ¿Qué tipo de trayectoria piensa usted que seguirá el sistemadespués de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en lacomposición de la trayectoria circular original y de una pequeña oscilación
alrededor de ésta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplituden torno a la órbita circular. Hágalo sólo en el caso en que piense que estatrayectoria tiene sentido.
a) Siguiendo la figura, tenemos:
θ
α
m
z
y
x
R
,
,sin
,cos
z z
R y
R x
=
=
=
θ
θ
como la partícula tiene que moverse en la superficie del cono, tenemos una ligadura
−=α tan dónde definimos z h Z −= , siendo h la distancia del origen al
vértice del cono.
Elegimos como coordenadas generalizadas a Z (que sólo tendrá sentido para ) y θ
y definiendo
0≥ Z
α β tg ≡ obtenemos
,
),cossin(
)sincos(
Z z
Z Z y
Z Z x
&&
&&&
&&&
−=
+−=
−−=
θ θ θ β
θ θ θ β
con lo que el lagrangiano tiene la forma
( )( ) mgZ Z Z m L +++= 22222 12
1θ β β && ,
en que la coordenada θ es cíclica y el correspondiente momento conjugado se conserva
θ β θ θ
&
&
22mZ L
p =∂
∂=
que corresponde a la componente vertical del momento angular. Como la lagrangiana
no depende del tiempo, también se conserva la energía.b) Si sustituimos la ecuación anterior en la ecuación del movimiento para la otravariable tenemos
)(122
g Z m Z m +=+ θ β β &&&
Distinguimos ahora dos casos:
1) Inicialmente el momento angular es nulo, 0=θ p , bien por estar situados en el
vértice del cono, , o por no tener velocidad inicial en el plano xy, .
En este caso el problema se reduce al movimiento de un cuerpo sobre un plano
inclinado. La ecuación anterior se simplifica a
0= Z 0=θ &
( )12 +=
β
g Z && , es decir es un
movimiento uniformemente acelerado en la coordenada Z . El potencial efectivo
es: Z g Z g
V eff α β
2
2cos
1=
+= .
2) Si podemos despejar de la ecuación del momento angular0≠θ p
22 β θ θ
mZ
p=& , que introducimos en la ecuación para la variable Z
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++
=232
2
21
1
β β
θ
Z m
p g Z && ,
y si tomando como potencial efectivo la función tal que
Z
V Z
eff
∂
∂−=&& , obtenemos
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −
+= gz
Z m
pV eff 222
2
221
1
β β
θ .
Si dibujamos este potencial obtenemos una función monótonamente decrecientecomo la siguiente:
con en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para
la variable Z corresponderá a un movimiento acelerado, independientemente de las
condiciones iniciales la masa tenderá a caer hacia Z cada vez mayores, quecorresponden a z cada vez más negativos en la variable original. Por tanto el
movimiento será una composición de un giro en el plano xy, dado por la variable
eff V
θ , que
por conservación del momento angular tendrá cada vez menor velocidad angular a
medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la dirección deleje negativo de la variable z .
c) Con el potencial calculado no pueden existir órbitas circulares dado que nunca
alcanza un mínimo. El único equilibrio que puede alcanzar la partícula vendría deconsiderarla en reposo sobre el vértice del cono. También podemos darnos cuenta de
esto al intentar calcular el valor de Z que anula
eff V
Z
V eff
∂
∂, obtendremos sólo valores de Z
negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son válidas.
d) Si consideramos la partícula sobre el vértice del cono cualquier pequeña perturbaciónla sacará de su equilibrio inestable para producir un movimiento de caída aceleradocomo los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeñas
oscilaciones para potenciales sin mínimos.
---------------------------------------------
32. Consideremos la definición general de sistema conservativo. A saber, aquelque cumple las siguientes tres condiciones: 1) es válida la forma estándar(holónoma o no holónoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es funciónexplícita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma
( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se0l k k k a dq =∑
expresa en la forma estándar holónoma y la energía cinética es una formacuadrática homogénea de las q& ’s, un sistema conservativo es además natural.
a) Demostrar que la definición anterior de sistema conservativo lleva a la
conservación de la llamada función energía: j
j j
Lq
q L
∂−
∂∑ &&
(integral de Jacobi),
que se reduce a la energía total en el caso de un sistema natural.
b) Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular deradio r (véase figura). El tubo gira alrededor de su diámetro vertical (eje Z) conuna velocidad angular constante ω . En las coordenadas polares de la figura,compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro quegira con el tubo, respectivamente. ¿En cuál de los dos es este sistema simplementeconservativo y en cuál es también natural? Justifique su respuesta.c) Describa el sistema anterior en coordenadas esféricas. ¿Es el sistema ahoraconservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, ¿cuál es la razón física
para ello?
z
O r
θ
m
Si , entonces2 1 0 L T T T V = + + − 2 0 j
j j
Lh q L T T
qV
∂= − = − +
∂∑ &&
. Si reagrupamos
términos:
2 0
V
h T V T T V
′
′ ′== + − = +
Todo el truco del problema reside en “manejar” apropiadamente los términos en elLagrangiano. Empecemos con los términos T y V en polares
2 2 2 2 212
( se
cos
T m r r
V mgr
n )θ ω θ
θ
= +
=
&
dando el lagrangiano en sistema “laboratorio”2 2 2 2 21
2( sen ) L m r r mgr cosθ ω θ = + −& θ (1)
Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La
integral de Jacobi es:2 2 2 2 21
2( sen )h m r r mgr cosθ ω θ = − +& θ ,
que NO ES la energía total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma que
T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial
V’ incluye el término gravitacional y el término 0T − que tiene en cuenta la fuerza
centrífuga. En este caso nuestro sistema es natural y h T V ′ ′= + , la energía total
(¡cuidado, no en el sistema inercial!)
En el caso de coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ tenemos
2 2 2 2 212
( se
cos
T m r r
V mgr
n )θ φ θ
θ
= +
=
& &
con la ligadura 0d dt φ ω − = . El sistema en esta representación NO ES conservativo ya
que 0k t
a ω = − ≠ . Además, la expresión de Jacobi (T V + , en este caso) no es constante
ya que la ligadura efectúa trabajo sobre el sistema.
----------------------------------------------
33. Un bloque de masa M2 desliza sobre otro de masa M1 que, a su vez, desliza
sobre un plano horizontal (Véase figura). Usando las coordenadas X1 y X2 de lafigura, obtenga las ecuaciones diferenciales del movimiento a través de laformulación de Lagrange. Asuma ausencia de rozamientos.
X2
X1
M2
M1
La coordenada 1 es el desplazamiento absoluto de , mientras que1m 2 x es el
desplazamiento de con respecto a Para obtener la velocidad absoluta de ,
usamos la ley del coseno para sumar la velocidad de y la velocidad de respecto
de . Obtenemos:
2m
1m
2v
2m
1m 2m
1m2 2 2
2 1 2 1 22 cosv x x x x α = + −& & & &
siendo α el ángulo formado por el plano con la horizontal. Por lo tanto,
( )2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
1 12 cos
2 2T m x m x x x x α = + + −& & & & &
En presencia del campo gravitatorio, los cambios en energía potencial proceden de
34.- Un modelo simple, y de gran utilidad, de molécula triatómica lineal es el de la
figura. Vamos a examinar el caso en el que M>m. Plantee el problema en lascoordenadas definidas por los desplazamientos de las tres masas de su posición deequilibrio, con sus correspondientes ecuaciones de Lagrange. Intente una solución
0i t
x x ei iω = , siendo ω una frecuencia de modo normal
a) ¿Cuántas frecuencias independientes hay y cuáles son éstas?b) ¿A qué movimiento corresponde la menor de ellas?
mM M
kk
X1
1
2
3
( ) ( )2 22 2 2
1 2 3 2 1 3
1 1 1 1 1
2 2 2 2 22
L T V Mx mx Mx k x x k x x= − = + + − − − −& & &
Ecuaciones :
( )( ) ( )
( )
1 1 2
1 2 1 2 3
3 3 2
0
0
0
Mx k x x
mx k x x k x x
Mx k x x
+ − =+ − + − =
+ − =
&&
&&
&&
El determinante para las frecuencias
2
2
2
0
2 0
0
k M k
k k m k
k k M
ω
ω
ω
− −
− − −
− −
=
con soluciones
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +===
m
M
M
k
M
k 210 321 ω ω ω ,,
Para1
0ω = , los desplazamientos son1 2 3
x x x= = , dando a entender que el conjunto de
las tres masas se mueve como un sólido rígido, sin oscilaciones internas.
35. La transformación entre coordenadascartesianas y polares viene dada por θ senr x = ,
θ cosr y = , siendo lo vectores unitarios en polares:
jiu
jiu
θ θ
θ θ
θ
cossen
sencos
+−=
+=r
A diferencia de i y j, y no son constantes.
Puede observar, por ejemplo, que
r u θ u
θ θ
uu
=d
d r y
r d
d u
u−=
θ
θ
y
x
( )θ ,r
ur
r
uθ
rtrayectoria
θ
Rr
1) Sabido esto, calcule las componentes en coordenadas polares de laaceleración y acto seguido plantee las ecuaciones de Newton correspondientes.2) Exponga la formulación lagrangiana para el problema y compare la forma
anterior de obtención de las ecuaciones del movimiento con la que le ofrece ésta.
c) Calculando el hamiltoniano, será independiente del tiempo y se conservará la energía. El resto de
momentos respecto a las vairables, x, y ,z , no se conservan ya que el sistema no es invarianteante traslaciones, ni tampoco ante rotaciones. No hay coordenadas cíclicas en ninguno de lossistemas de coordenadas.
-------------------------------------------
38.- El movimiento de una partícula de masa m está restringido, en el plano (x,y), ala parábola a x y
2= . La acción de la gravedad actúa en el sentido y negativo.Utilizando el formalismo lagrangiano, resuelva los siguientes apartados:a) Escriba la ecuación para pequeñas oscilaciones alrededor del punto deequilibrio.b) Resuelva la ecuación obtenida en el apartado a)
a)
( ) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⎟
⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=+=2
22
2
2
2
222 41
2
11
2
1
2
1
2
1
a
x xm
dx
dy xm x
dx
dy xm y xmT &&&&&&
a
xmg mgyV
2
==
a
xmg
a
x xmV T L
22
2
22 4
1
2
1−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ +==−= &
Y la ecuación de Lagrange queda
0244
1 2
22
2
=++⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +
a
x g x
a
x x
a
x&&&
El punto de equilibrio corresponde a (0,0), correspondiente al mínimo de potencial.
Para oscilaciones pequeñas suponemos que despreciables los términos de orden superior
a uno en x, obteniendo
02 =+a
x g x&&
a) La ecuación obtenida corresponde a un movimiento oscilatorio del tipo
con)sin()cos()( wt Bwt At x +=a
g w
2= , dependiendo A y B de las
condiciones iniciales.
-------------------------------------------
39. Sea un sistema mecánico de n+m grados de libertad caracterizado por dosconjuntos de variables: n coordenadas qi y m coordenadas Qi. Con un lagrangiano
de la forma
( )1 1 1, , ; , , , , ,n n L q q q q Q Q& && &K K K m ,
es decir, las m coordenadas Qi no aparecen explícitamente en el funcional.
a) ¿Cuántas cantidades conservadas independientes puede tener este sistema?b) Recordemos que mediante un cambio de coordenadas del lagrangiano
similar al que da lugar al hamiltoniano pero únicamente sobre lascoordenadas cíclicas se obtiene el routhiano. ¿Cuál es la forma genérica deeste routhiano R cuando los momentos asociados a las coordenadas cíclicas
tienen valor inicial M i, es decir, ( ) i
t i
i M Q
Lt P =
∂∂==
=0
0& ?
c) Supongamos que se construye un nuevo lagrangiano, L’, a partir delanterior tomando
( ) ( )1 1 1 1
1
' , , ; , , , ' , , ' , ,m
n n m i i
i
n L L q q q q Q Q q q β ν =
= −∑& && &K K K K⋅
en el que ( )1' , ,i i iQ Q q qν = +& & K
n y las ( )nqq ,,K1ν sonfunciones generales. ¿Qué se puede decir de las cantidades conservadas de estenuevo sistema? Dar el nuevo routhiano, R’, cuando los momentos asociados alas coordenadas cíclicas tienen ese mismo valor inicial M i, es decir,
( ) i
t i
i M Q
Lt P =
∂
∂==
=0
0'
''
& .
d) ¿Cuánto han de valer las constantes i β para que ambos routhianos R y R’
sean iguales? ¿Qué relación habrá entonces entre la dinámica, las
ecuaciones del movimiento, de los sistemas L y L’?e) Supongamos una partícula de masa unidad, m=1, en un potencial
')',( ar r
ar W && ⋅⋅−−
= 31α , y lagrangiano en polares
( ) )',('
,' ar W ar
r ar L &&
& −+=22
1 222
. Dar las trayectorias de este
sistema por el método apuntado en los apartados anteriores en función delas soluciones de una partícula en un potencial central gravitatorio ,
( )r
ar r ar L
1
22
1 222 ++= &&,
a) En principio podría haber hasta m+n cantidades conservadas en un sistemamecánico de m+n grados de libertad. Con la forma dada para el lagrangiano
sabemos que tiene al menos m momentos conservados, por las m coordenadascíclicas Qi, más la energía, ya que es independiente del tiempo.
b) Los momentos asociados a las coordenadas cíclicas se conservan por lo que
i
i
i M Q
L P =
∂∂
=& para todo tiempo. Por tanto
.( )mnn
m
i
ii QQqqqq L M Q R &K&&K&K& ,,,,,;,, 111
1
−⋅= ∑=
c) Se aplica lo comentado en el apartado a) y b) sin cambios.
( ) ∑∑==
⋅+++−⋅=m
i
niimmnn
m
i
ii qqQQqqqq L M Q R1
11111
1
,,,,,,,;,,'' K&K&&K&K& ν β ν ν ( )
d) Si comparamos los dos routhianos obtenemos
( )∑∑∑∑====
⋅−=⋅−+⋅−−⋅=−m
i
iii
m
i
ii
m
i
ii
m
i
ii M L M Q L M Q R R1111
ν β ν β '' &&
con lo que es evidente que si ii M = β ambos routhianos son idénticos. Por tanto, para
las condiciones iniciales dadas en el enunciado se pueden relacionar las ecuaciones delmovimiento de ambos sistemas. Si ( ) ( ) ( ) ( ) t Qt Qt qt q mn ,,,,, KK 11 es una solución de L,
el conjunto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ⋅−⋅− dt qqt Qdt qqt Qt qt q nmmnn ,,,,,,,,, KKKK 11111 ν ν es
una solución de L’ . Dado que las funciones ( )ni qq ,,K1ν son completamente arbitrarias
esto permite relacionar problemas aparentemente diferentes resolviendo únicamente las
ecuaciones más sencillas para L.
-------------------------------------------
40. En algunos problemas de mecánica es interesante conocer el movimiento en lavecindad de un punto de equilibrio. Tal cuestión se suele abordar con ayuda de la
aproximación lineal al problema, en la forma de un sistemad
X AX dt
=
en el cual el vector X simboliza una pequeña perturbación alrededor del punto deequilibrio
0 X y A es la denominada matriz jacobiana. Suponga un sistema mecánico caracterizado por dos variables (¡cuidado! dosvariables, no dos grados de libertad), que denominaremos
1 2 y x . Nuestro problema
lineal se reduce a estudiar las distintas clases de movimientos alrededor del origen y
que dependerán del carácter y signo de los valores propios de la matriz A . Sean estosúltimos1 2 yλ λ
a) Considere los distintos casos posibles de movimiento según el carácter real ocomplejo, positivo o negativo, de los valores de 1 y 2λ λ . Considere sólo aquellos casos
en los que1 y 2λ λ son distintos.
b) Dibuje en el plano ( )1 2, x las trayectorias correspondientes a los casos estudiados
2λ λ son reales de distinto signo, el estado también es inestable. Tendríamos
un punto silla.
( )( )
1 2
1 2
1 1 2
2 3 4
t t
t t
x t c e c e
x t c e c e
λ λ
λ λ
δ
δ
= +
= +
1 xδ
2δ
Podemos decir que es condición necesaria y suficiente para la estabilidad que todas las
partes reales de los valores propios sean negativas. Basta con que uno de los valores propiostenga parte real positiva para que tengamos una solución inestable.
1. Considérese un sistema con N grados de libertad descrito por el conjunto decoordenadas generalizadas qi (i=1,...,N ), cuyas energías cinética y potencial, T
y V , vienen dadas por
( ) ( i
N
iiii
N
ii qV V qq f T ∑∑
==
==1
2
1
, )
Demuéstrese que las ecuaciones de Lagrange son separables, de modo que losdistintos grados de libertad no están acoplados y redúzcase el problema acuadraturas.
A partir de la lagrangiana, L = T − V , calculemos las derivadas
2 ii
i
f qq L
=∂ ∂
2d
d2
d
d 2
ii
i
ii
i
f qq
f q
q
L
t
+=
∂
∂
d
d
d
d 2
i
ii
i
i
i q
V q
q
f
q
L−=
∂
∂
Así pues la ecuación de Lagrange para cada grado de libertad qi es
0=dd2
dd 2
i
iiii
i
i
qV q f q
q f ++
que como vemos sólo depende del propio grado de libertad qi, de manera que los
distintos grados de libertad están desacoplados y cada cual evolucionaindependientemente de los demás. En particular, la energía contenida en cada grado de
libertad
2
iiii V q f E +=
se conserva constante durante la evolución como es fácil ver, pues
Sustituyendo en la ecuación del apartado anterior y realizando la integral se llega al
resultado.
-------------------------------------------------
3. Considérese una transformación desde un sistema estacionario de ejescartesianos Oxyz a otro Ox’y’z’ que gira con velocidad angular constante ω alrededor del eje Oz . Transforme la lagrangiana de una partícula consideradalibre en el sistema Oxyz a la correspondiente en el sistema Ox’y’z’, e identifiqueen esta última los términos que corresponden a las fuerzas de Coriolis ycentrífuga.
La transformación de Oxyz a Ox’y’z’ es:
t xt y y
t yt x x
ϖ ϖ sincos
sincos
′+′=
′−′=
La energía cinética de la partícula viene dada por:
)(~
2
1)(~)(
2
1)(
2
1 222222222 y xm y x y xm z y xm z y xmT ′+′+′′−′′+′+′+′=++= ω ω
La expresión que aparece en las ecuaciones de Lagrange puede considerarse
como una fuerza ficticia que aparece debida a las peculiaridades del sistema de
coordenadas. En nuestro caso:
iqT ∂∂ /
xm ym x
T
′+′=′∂∂ 2
~~ ω ω ,
con una expresión similar para i yT ′∂∂ (la correspondiente parcial con respecto a z ’es
nula). Los dos términos de la expresión anterior pueden identificarse como las
componentes de la mitad de las fuerzas de Coriolis y centrífuga, respectivamente. La
otra mitad de la fuerza de Coriolis procede del término
4. Una cuenta de masa m desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre circularde radio a. El alambre, situado verticalmente en un campo gravitatorio, giraalrededor de su diámetro vertical con velocidad angular ω . Para una velocidadangular ω mayor que un cierto valor crítico ω
c, la cuenta tiene un punto de
equilibrio mecánico estable en una posición dada por un ángulo θ 0 respecto dela vertical. Se pide:
a) Encontrar ω c y θ 0 ;
b) Obtener las ecuaciones del movimiento para pequeñas oscilaciones alrededorde 0 y encontrar su periodo.
a) La energía cinética de la cuenta y el Lagrangiano son:
2222 )sen(21
21 θ ω θ ammaT += .
2 2 2 21 1sin cos
2 2 L ma ma w mgaθ θ θ = + −
donde θ es el ángulo que forma la posición de la masa con el eje vertical de giro,
correspondiendo 0θ = con la partícula en la posición más baja en el alambre.
La ecuación de Lagrange nos lleva a:
0sencossen 2 =−+ θ θ ω θ θ a g a
En el punto de equilibrio,
0=θ , g = aω 2 cos θ , ó.: ω 2 = g/(a cos θ) .
Esta última ecuación tiene una solución para ω sólo si ω 2 ≥ g/a, con lo que la
velocidad angular crítica es
a g
C =ω
y el ángulo de equilibrio es
=
20
cosarcω
θ a
g
b) Si la cuenta efectúa pequeñas oscilaciones alrededor de θ 0, podemos describir el
movimiento en términos de un pequeño parámetro ε = θ − θ 0. La ecuación del
Para pequeños valores de ε , 1cosysen ≈≈ ε ε ε . Teniendo en cuenta esto y el valor
obtenido de θ 0 , la ecuación anterior queda en
0142
22 =
−+ ε
ω ω ε
a
g
La frecuencia de oscilación será:
42
2
1ω
ω a
g −=Ω
---------------------------------------------
5. Un elemento diferencial de arco de una cierta superficie se puede poner de laforma
221
21
2 )( dqqadqds +=
Se pide:
a) La ecuación que cumplen las líneas geodésicas de la superficie
b) Demostrar que las curvas cte.2 =q son geodésicas
c) ¿Qué dependencia con el tiempo tiene, en el caso contemplado en b), lacoordenada ? (Nota: las geodésicas son las trayectorias que sigue un puntosobre la superficie en ausencia de toda fuerza).
1q
a) En ausencia de toda fuerza, y considerando m=1,
( )2
21
2
1 )(2
1qqaqT L +==
La coordenada q es cíclica; luego2
21
2
)( qqaC q
T
==
∂∂
(1)
donde C es una constante. Por otra parte, la energía total:
( )2
21
2
1 )(21 qqaq E += (2)
es también una constante del movimiento. Eliminando dt de (1) y (2), se obtiene una
ecuación diferencial entre las coordenadas y q que es precisamente la ecuación de
las geodésicas. Integrando dicha ecuación se obtiene:1q 2
b) Las curvas , recorridas con la ley horariacte.2 =q E t q E q 2,2 11 == , son
soluciones de las ecuaciones (1) y (2).
c) De acuerdo con lo visto en b), la coordenada evoluciona según un movimiento
uniforme.
1q
-----------------------------------------------
6. Si el sistema solar estuviese sumergido en una nube esférica uniforme departículas sólidas, los objetos en el sistema solar experimentarían una fuerzagravitatoria total que sería
br r
k F r −−=
2
Podemos asumir que la fuerza extra debida a la presencia de la nube es débil)( 3r k b << . Encuentre la frecuencia de las oscilaciones radiales de una órbita
cuasicircular (ésta es una órbita con pequeñas desviaciones radiales de laórbita circular).
La ecuación de movimiento es:
dr
r dV r m
ef )(−=
Si la partícula está en una órbita circular de radio , se cumple:0r
02
0
3
0
2
0
)(br
r
k
mr
l
dr
r dV
r r
ef −−=−=
Estamos interesado en perturbaciones alrededor de esta órbita circular. Si esta
perturbación es pequeña, podemos expandir el potencial efectivo alrededor de r ,0
+′′−+′−+= )()(2
1)()()()( 0
2
0000 r V r r r V r r r V r V ef ef ef ef
Si utilizamos esta expansión en la expresión del lagrangiano, encontramos:
),()(2
1
2
10
2
0
2 r V r r r m L ef ′′−−=
donde hemos eliminado el término constante. La expresión anterior es el lagrangiano de
un oscilador armónico, de frecuencia
m
r V ef )( 02 ′′
=ω
Diferenciando dos veces el potencial efectivo encontramos, para la frecuencia de las
pequeñas oscilaciones radiales alrededor de la órbita circular,
7. Una cuenta de masa m puede deslizar sin rozamiento a lo largo de una varillarectilínea. La varilla gira en un plano vertical, teniendo a uno de sus extremoscomo centro de giro y con velocidad angular constante, ω . En presencia de uncampo gravitatorio constante, calcúlese la posición radial, r , de la cuenta comofunción del tiempo, si las condiciones iniciales son: r R r ( ) ; ( ) .0 0 v= =
Si θ es al ángulo que forma la varilla con respecto a la horizontal, y r es la posición de
la cuenta a lo largo de la varilla, la energía cinética en coordenadas polares es:
( ) ( )222222
21
21 ω θ r r mr r mT +=+=
y la lagrangiana
( ) t mgr r r m L ω ω sen2
1 222 −+=
La ecuación del movimiento resulta:
t g r r ω ω sen2 −=− ,
siendo su solución
+−+= tsen
2senh
2cosh
22 ω
ω ω
ω ω ω
g t
g vt Rr
---------------------------------------
8. La lagrangiana para una partícula cargada moviéndose en un campoelectromagnético es, en coordenadas cartesianas,
vA ⋅+−=c
eeT L φ
a) Evaluar cuál es la dependencia en φ y A de los campos eléctrico y magnético,para que L genere la conocida ecuación newtoniana de movimiento en un campoelectromagnético.
b) Seguidamente, demostrar que los campos son invariantes bajo latransformación (conocida como gauge)
10. Hallar y resolver las ecuaciones de Lagrange para el sistema formado por dospéndulos acoplados según indica la figura. Las varillas de longitud y sonrígidas de masa nula, mientras que la barra horizontal rígida de longitud
tiene una masa .
L L′
D bm
Posición de los puntos de la barra:
D xa y xa x ≤′≤−=′+= 0;cos;sin θ θ
θ θ θ θ sin;cos a ya x ==
Energía cinética barra 22
0
22
22
1θ θ ρ a
ma xd
Db∫ =′=
T= )(2
1 2222 am LmmL b+′′+θ
)(cos)coscoscos( LmmLam g LmmLam g V bb ′′++−=′′++−= θ θ θ θ
Se comporta como un péndulo simple de longitud λ y masa µ tal que:
2222 am LmmL b+′′+=µ λ
am LmmL b+′′+=λ
Entonces:
am LmmL
am LmmL
b
b
+′′+
+′′+=
222
λ
222
2)(
am LmmL
am LmmL
b
b
+′′+
+′′+=µ
-------------------------------------
11. Estudiar y resolver por el método de Lagrange el movimiento de la máquina deAtwood compuesta de la figura, en donde las masas de las poleas son y . 0 2m
14. Considérese el regulador ilustrado en la figura. ¿Cuántos grados de libertadhay? En función de los ángulos θ y φ , obténgase el Lagrangiano del sistema yescríbanse las ecuaciones de Lagrange. Utilizando las simetrías, redúzcase elproblema a una cuadratura. Interprétense físicamente cada una de lasecuaciones de conservación (o integrales del movimiento) obtenidas.
*rr =⋅ rr , donde *r es el complejo conjugado de r ; iy xr −=*
=±±= −−± )Re)(Re( 2121
2121
2 θ θ θ θ θ θ θ θ iiii beber
)( )()(
21
2
2
22
1
2 1221 ϑ θ θ θ θ θ θ θ −− +±+= ii ee Rbb R
)()(2
1 2
2
22
1
222
θ θ
b Rmr r mT +=+= −+
121 sin2)( θ mgR y ymg V =+=
)sin2( 1
2
2
22
1
2 θ θ θ Rg b Rm L −+=
Nótese que 2θ es coordenada cíclica, pues .02
=∂
∂
θ
L En otras palabras, al sistema no le
afecta que se le dé a la variable 2θ un desplazamiento constante θ ∆ . Es por tanto
“invariante ante traslación (giro)” de la variable 2θ . Se conserva pues 2 p
teconsmb L p tan2 22
2
2 ==∂∂= θ θ
,
t mb
p2
2202
2+= θ θ
claramente asociado al momento de giro del sistema de las dos masas alrededor de su
centro. También el momento angular de la Tierra alrededor del eje polar se conserva
indepedientemente de su giro alrededor del Sol. El resto del problema es trivial,
reduciéndose al de un péndulo simple plano.
----------------------------------------
16. Una partícula de masa m, sometida al campo gravitatorio terrestre, se muevesin rozamiento sobre la superficie interior de un paraboloide de revolucióncolocado verticalmente.
a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservandurante el movimiento.
b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente ydiscútase el tipo de órbitas.
c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita sea
normales en el caso en el que la masa del péndulo superior es mucho mayor quela del péndulo inferior.
La forma usual de abordar este problema puede quedar resumida en lo siguiente. Si
describimos el problema en las variables generalizadas dadas por los ángulos de los péndulos daremos con una formulación que puede englobarse en la siguiente forma
general de lagrangiano:
)()(2
1
,
qU qqq M L j ji
i ji −= ∑
con un punto de equilibrio en q . El estudio de las desviaciones pequeñas alrededor
del punto de equilibrio equivale a tomar sólo los términos lineales en las ecuaciones del
movimiento, o lo que es lo mismo, la aproximación cuadrática a L:
0=i
j ji i ji j ji i ji qq K qqT L
∑∑ −=
,, 2
1
2
1
El problema de hallar las frecuencias de los modos normales es el de resolver la
ecuación especial de valores propios:
k k k AK AT ⋅=⋅2ω
en donde T no es una matriz diagonal. Para evitar el complicado problema de la
diagonalización en este estadio, podemos en algunos casos diagonalizar la energía
cinética ya de partida, en el lagrangiano cuadrático. Esto es lo que pasa en el problema
presente. Veamos cómo podemos hacerlo.
El problema nos plantea un péndulo doble, con el superior de longitud L, y masa M , y elinferior,
de longitud l y masa m. La energía cinética no es difícil de hallar:
[ ])-cos(22
1
2
1 222222 θ ϕ ϕ θ ϕ θ θ Ll l Lm MLT +++=
Para pequeños valores de θ y ϕ , podemos aproximar el coseno por 1. Como hay un
término producto de sus derivadas temporales, estas coordenadas no son ortogonales
(no diagonalizan la energía cinética), pero podemos hacerlas ortogonales sumando un
múltiplo apropiado de θ a ϕ . De hecho, es fácil ver que una pareja de coordenadasortogonales está dada por los desplazamientos
θ θ l L y L x += = ,
que no son otra cosa que las longitudes de arco descritos por cada una de las masas de
ambos péndulos. Es fácil ver que, entonces, la energía cinética se convierte en:
2
2
12
2
1 ym x M T +=
En función de estas nuevas coordenadas ortogonales es fácil ver que las ecuaciones del
Hallar la ecuación característica para las frecuencias de los modos normales es
relativamente trivial, sobre todo en el límite M >>m, quedando:
l
g
L
g ≈≈ 22 y ω ω
-----------------------------------------
18. Una partícula de masa unidad que puede moverse libremente en el plano XY , seencuentra inicialmente en reposo en el origen de coordenadas y está sometida a
la fuerza que deriva del potencial V ( x , y). El potencial es analítico cerca delorigen, admitiendo el desarrollo
( ) ( ) ( ) ( ) 2
2
2
1, 3
2
2
22
2
2232
r O y x
V xy
y
V y
x
V x
y
V y
x
V xr OV V y xV +++++≡+∇⋅+∇⋅=
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ rr
Estúdiense los instantes iniciales del movimiento, desarrollando las ecuacionesde Lagrange en torno a la condición inicial. Resuélvanse estas ecuacionessuponiendo que, durante estos instantes, el desplazamiento es de laforma ( ) ( ) 5432 t Ot t t t +++= cbar , y determínense los vectores constantes a, b y
c. Calcúlese, así mismo, la trayectoria durante este tiempo y la expresión de lalagrangiana.
La lagrangiana de la partícula es L = T − V , siendo 22
2
12
2
1 y xT +== v . Así pues,
cerca del origen, se tiene
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
000 ;
000 ;
2
2
2
2
2
2
−−−==
−−−==
y x
V x
y
V y
y
V
y
L y
y
L
y x
V y
x
V x
x
V
x
L x
x
L
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
lo que conduce a las ecuaciones de movimiento de Newton:
Sustituyendo r y en las ecuaciones del movimiento e igualando las potencias del
mismo orden en t , se obtienen los vectores buscados:
r
( )02
1
V
a x ∂
∂
−=
0= xb
( ) ( ) ( ) ( )
+= 0000
24
1
2
2
2
y x
V
y
V
x
V
x
V c x
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Haciendo en estas expresiones el intercambio x↔ y, se obtienen las componentes y
correspondientes.
Para calcular la trayectoria, x = x( y), hay que eliminar el tiempo t entre las
componentes x e y de la ley de movimiento r (t ). Para ello invertimos la serie de una de
las componentes, la componente x por ejemplo, suponiendo para t un desarrollo de la
forma
( ) 22/32/1 xO x x xt +++= γ β α
de manera que
( ) 2 22/322 xO x xt ++= αβ α
( )
22/333 xO xt += α
Sustituyendo en la ley de movimiento, se tiene:
( ) ( ) 2 22/32 xO x xa x x ++= αβ α
de donde, igualando las potencias del mismo orden en x se encuentran los coeficientes
del desarrollo de t ,
,0= ,2/1
… β α −= xa
lo que llevado a la componente y de la ley de movimiento, y = a yt 2 + ..., proporciona la
trayectoria pedida
( ) /
/
2
0 xO x xV
yV y
x+
=
=∂ ∂
∂ ∂
que puede calcularse consecutivamente a todos los órdenes
---------------------------------------
19. Considérese un sistema formado por dos esferas de masa m unidas por unavarilla rígida de masa despreciable y longitud 2l. El conjunto puede girarlibremente en torno al punto medio de la varilla, equidistante de ambas esferas.Este punto está forzado a moverse sobre una circunferencia de radio R
colocada verticalmente en el campo gravitatorio terrestre. Determínense lascoordenadas generalizadas apropiadas para describir el movimiento del
sistema y calcúlese la expresión de su lagrangiana, si la gravedad es la únicafuerza presente. Escríbanse las ecuaciones de Lagrange correspondientes ydiscútase el movimiento del sistema.
z
y
x
θ
ϕ g
Para especificar el movimiento del sistema, lo más conveniente es dar la posición del
centro de masas y referir a éste las posiciones de las dos esferas. Como el centro demasas está forzado a moverse sobre una circunferencia, su posición queda determinada
dando el ángulo α que forma su radio vector. En cuanto a las esferas, como están unidas
por una barra rígida, la distancia que las separa es fija y basta con especificar los
ángulos polares esféricos (ϕ ,θ ) que determinan la orientación de la barra en el espacio.
Así, como coordenadas generalizadas del sistema pueden tomarse los tres ángulos
(α ,ϕ ,θ ).
Con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas con origen en el centro de
la circunferencia de radio R, como en la figura, las posiciones de las esferas son:
cos
cos
cos
1
1
1
+=
+=
=
θ α
ϕ θ α
ϕ θ
l Rsen z
senlsen R y
lsen x
cos
cos
cos
2
2
2
−=
−=
−=
θ α
ϕ θ α
ϕ θ
l Rsen z
senlsen R y
lsen x
Calculando por derivación temporal las velocidades respectivas, resultan las siguientes
expresiones para las energías cinéticas:
( )[ ]θ α θ ϕ θ α ϕ ϕ θ α θ α α θ ϕ θ sen sen sen sen sen Rl R senl l m
mT
coscoscos22
2
1
2222222
2
11
++−++=
=≡ v
( )[ ]θ α θ ϕ θ α ϕ ϕ θ α θ α α θ ϕ θ sen sen sen sen sen Rl R senl l m
mT
coscoscos22
2
1
2222222
2
22
+++++=
=≡ v
de modo que la energía total del sistema es
( ) ( ) ( )222
21 α θ ϕ θ R senl l mT T T ++=+=
Por otra parte, las energías potenciales de las esferas y la energía potencial totalson
Una gráfica de V ef permite obtener cualitativamente una perspectiva general del tipo de
órbitas.
0
1
2
3
4
ππ/2
θ
V ef
5( R/ g )
En la figura se ha representado la función ( R/ g )V ef para el caso particular .
La curva a trazos corresponde al término gravitatorio y la curva a trazos y puntos altérmino centrífugo. La suma de ambos es la curva continua. Como puede verse, las
órbitas posibles corresponden a trayectorias acotadas comprendidas entre dos valores,
uno máximo y otro mínimo, del ángulo θ que dependen de la energía total de la
partícula, la otra constante del movimiento. Para el valor de ésta correspondiente al
mínimo de la curva de V
2 322 gRml =
ef , los dos valores de θ colapsan y la trayectoria corresponde a
una circunferencia horizontal.
---------------------------------------------
21. Si se multiplica el lagrangiano por una constante las ecuaciones del movimientono se ven afectadas. Suponga ahora que el potencial es una función homogénea
se reescala simultáneamente el tiempo (por un factor: β =t
t ' ) y las
coordenadas espaciales (por dicho factor: α =′l
l l , con señalando una
coordenada con dimensiones de longitud), una elección apropiada de ambosfactores puede tener como efecto neto el de multiplicar el lagrangiano por unaconstante.
a) ¿Cuál es la relación entre α y β para que así suceda?b) Una vez obtenida ésta derive a partir de ella, como función de m, lasrelaciones entre
l l ′ y cada uno de las reescalamientos siguientes: tiempos (
t t ′ ), velocidades (
v′v ), energía (
E E ' ) y momento angular (
J J ′ ).
c) Obtenga de las relaciones del apartado b) lo siguiente:- la tercera ley de Kepler,
-
la relación l cuando el potencial gravitatorio se aproxima pormgh ( )2
constante t ×=
- la independencia del período con la amplitud en el oscilador armónico
a) Si el potencial reescala como , la energía cinética lo hace comomα 22
β α . Para sacar
factor común a ambos términos del lagrangiano
= 22 β α α m , o
( )21 m−= α β
b) las relaciones solicitadas son:
21
;;2;21
m
l
l
J
J m
l
l
E
E
m
l
l
v
v
m
l
l
t
t +
′=
′
′=
′
′=
′−
′=
′
c)
- En el potencial gravitatorio 1−=m . Sustituyendo en la primera relación en b),
obtenemos ( ) ( )32 l l t t ′=′ , que es la ley de Kepler (las distintas órbitas se transforman
unas en otras mediante reescalamientos en el tiempo y el la longitud)
-
En el caso del potencial mgh, 1=m , encontramos la clásica relación parabólicaentre distancia y tiempo.
- Aquí m . El período debe ser independiente de la amplitud.2=
22. Considérese un circuito clásico ( inductor-condensador) sin generador,estudiado en Física General. Recordando que la energía almacenada en el
inductor es
LC
2L21 I , siendo I la corriente que circula por él, y que la almacenada
en el condensador esC
Q2
21 , establezca una analogía entre estos conceptos
eléctricos y los correspondientes de un sistema mecánico simple. A
continuación plantee el Lagrangiano del sistema y obtenga la ecuacióndiferencial y la frecuencia intrínseca de este circuito resonante.
C L
2Q
m
El problema es muy simple. La analogía puede establecerse de la siguiente forma:
Posición – cargaVelocidad – corriente
Fuerza – diferencia de potencial
Masa – inductancia L
Constante del muelle – inversa de la capacitancia 1/C
La energía almacenada en el inductor 2
21 L I puede asociarse formalmente a un término
de energía “cinética”. Por su parte, la energía almacenada en el condensador es
asimilable, también desde un punto de vista formal, al término de energía potencial de
un muelle. En definitiva:( )
212
21 1QL
C V T L −=−=
de la que se obtiene la ecuación: ( ) 0L
1 =+ QC
Q ,de la que sigue fácilmente la frecuencia.
---------------------------------------------
23. Una esfera uniforme de masa y radio R se halla encastrada en un agujeropracticado en una fina lámina plana infinita, con una masa por unidad de áreade valor σ , de forma a que el plano de la lámina coincida con el planoecuatorial de la esfera. Un objeto de masa de masa se mueve sin rozamiento a
lo largo del eje z (véase figura), perpendicular a la lámina y que pasa por elcentro de la esfera. Construya el Lagrangiano del sistema
La dificultad en este problema reside en encontrar el campo al que se ve sometida la
partícula. Una vez obtenido éste, la construcción del Lagrangiano es inmediata.
Consecuentemente, nos concentraremos únicamente en el primer objetivo. Para ello,
separamos las contribuciones del plano y de la esfera. Esta última es inmediata:
simplemente, a una distancia del centro de la esfera, a lo largo del eje z ,
La contribución del plano puede calcularse de la forma siguiente. Tomemos un anillo de
radio ρ , alrededor del centro de la esfera.. Por razón de simetría, sólo tendremos que
calcular la componente del campo producido por el anillo a la misma distancia
anterior . En definitiva,
( )( )( ) 2222
2
ρ ρ
ρ σ πρ
++−
z
z
z
d G
El campo total producido por el plano resultará de integrar la expresión para el anillo en
el intervalo [ :)∞, R
22
2
R z
z G
+−
σ π
---------------------------------------------
24. Sabemos que el oscilador armónico tiene como parámetro característico lafrecuencia ω , que es independiente de las condiciones iniciales. Por elcontrario, su amplitud máxima A sí que depende de estas últimas. Sin embargo,existen osciladores en los cuales los papeles de la frecuencia y amplitud máximase invierten, en el sentido de pasar la frecuencia a ser dependiente de condicióninicial y, al contrario, la amplitud máxima convertirse en un parámetrocaracterístico del sistema, independiente de la condición inicial. Un caso
semejante ocurre en el sistema de la figura, en el que dos masas iguales estánunidas por un eje rígido de masa nula. cada una de las masas se mueve sinrozamiento, y en ausencia de gravedad, a lo largo del eje correspondiente, biensea el x , bien sea el y. Plantee el lagrangiano del sistema, y demuestre que loaseverado es cierto: la frecuencia con la que oscila cada masa depende de lacondición inicial, mientras que su amplitud máxima es siempre la misma.
x
y
A
Al no estar el sistema sometido a fuerzas, fuera de las ligaduras geométricas, el
lagrangiano y la energía cinética coinciden: son iguales a la energía cinética que tiene
cualquiera de las partículas, en el instante en que pasa por el origen y la otra está en su
posición de equilibrio,
( )2
22
22
22u
m
x A
xmA L =
−=
(1)
donde es la velocidad de una partícula cuando pasa por el origen. Ordenando de
La ecuación final expresa la conservación de la energía de un oscilador armónico cuya
frecuencia y amplitud máxima son, respectivamente, u A
y . El movimiento es el de
oscilador armónico, pero en el cual la frecuencia depende de la condición inicial (a
través de , mientras que la amplitud máxima es siempre constante.
A
u
---------------------------------------------
25- Suponga que el lagrangiano para un cierto movimiento unidimensional viene
dado por
−= 22
2
1
2
1e kqqm
t L
γ .
a) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde?b) ¿Existe alguna constante del movimiento?c) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posibles
Suponga seguidamente que se define una nueva coordenada, , dada porS
qt
S
=
2exp
γ .
d) Escriba la ecuación del movimiento. ¿A qué sistema corresponde?e) ¿Existe alguna constante del movimiento?f) Ponga de manifiesto los distintos movimientos posiblesg) ¿Cómo pondría en relación ambas descripciones?
Nota aclaratoria.
En el enunciado propuesto en la hoja de examen se deslizó un error. Se sugería elcambio ( t qS )γ exp= en lugar del que aparece en el presente enunciado. Está claro que
con este último cambio el resultado carece de interés conceptual, tal como ha podido
constatar la mayoría de los alumnos. La corrección, evidentemente, se ha hecho según el
enunciado del examen, y no con el que aparece aquí. Sin embargo, sí que da interés al
problema el cambio propuesto aquí, por lo que será aquél sobre el que elaboraremos.
Para terminar, quiero felicitar a los tres alumnos que se han dado cuenta del “buen”
cambio. Así lo han hecho constar en el examen a título de comentario y su iniciativa ha
sido debidamente valorada a la hora de calificar.
a) La ecuación de Lagrange lleva a:( ) 0=++ kqqmqme t γ γ ,
o
0=++ qm
k qq γ ,
b) Aparentemente, podríamos contestar que no existe constante del movimiento al
depender explícitamente del tiempo. Pero esta respuesta es un poco precipitada.
Veamos por qué. En un sistema mecánico, podemos disponer, en principio, de
funciones que permanecen constantes a lo largo del
movimiento: =constante. Estas se denominan constantes del movimiento ointegrales primeras. Sin embargo, la definición de estas cantidades es más general,
f) Es fácil responder a este apartado manejando el signo de 2γ −mk , al igual que
hicimos en el apartado c). Sin embargo, a la hora de hacer un análisis completo no
deberá olvidarse el factor exponencial en la definición de .S
g) Ambas descripciones son totalmente equivalentes. La única diferencia es que en la
segunda se enmascara el factor exponencial –que no por ello ha desaparecido-
pudiéndose con ello poner en evidencia la constante del movimiento –cosa que no era
trivial en la primera descripción.
---------------------------------------------
26- Tres puntos de masa pueden deslizarse sobre un círculo de radio b , talcomo indica la figura de la izquierda, sometidos a fuerzas derivables del potencial
m
( ) γ β α γ β α −− ++= ee,, 0V V −e los ángulos de separación γ β α ,, son medidos en
radianes. Cuando3
2π γ β α ==
21 ,,
=
3
, el sistema se halla en equilibrio. Encuentre las
frecuencias de los modos normales del sistema para pequeños desplazamientos delequilibrio (ángulos θ θ θ ilustrados en la figura de la derecha)
Los ángulos α , β y γ , en términos de 21 ,θ θ y 3θ , son:
123
2θ θ
π α −+= ,
233
2θ θ
π β −+= ,
313
2
θ θ
π
γ −+= .
Por su parte, el potencial queda:
−−+
−−+
−−−=
3123123
2
0
θ θ θ θ θ θ π
eeeeV V
Habida cuenta de que estamos hablando de pequeños valores de 21 ,θ θ y 3θ , esta
cartesianas. Usted sabe que ésta es una partícula en el espacio vacío sin fuerzasactuando sobre ella y le dan como pista el concepto de sistema inercial y elprincipio de relatividad de Galileo.1. Explique por qué el lagrangiano no puede ser función de z, y, x , ni de cada unade las componentes de la velocidad, , , por separado. Tampoco del tiempo.
¿Sobre qué propiedades del espacio se basará su argumentación?
xv yv z v
Usted llega a la conclusión de que , donde)( 2v L v
es la velocidad de la partícula en
un sistema inercial K y quiere descubrir la forma exacta. Para ello toma unsegundo sistema inercial K’ que se mueve con velocidad constanteinfinitesimalmente pequeña ε − respecto de K .2. Pruebe que L _ (a constante). Le puede ayudar hacer una expansión enserie de Taylor, despreciar los términos cuadráticos en _ y recordar la propiedad
de invariancia bajo transformación
2av L =
dt
dF L L +→ ' L .
3. Pruebe que es una elección consistente para el lagrangiano en cualquier
sistema K’ que se mueva con velocidad finita
2'' v L =
0V − respecto de K ; es decir, se
satisface el principio de relatividad de Galileo.
Los datos del problema son:
A) El Lagrangiano es funcional de la forma: ),,( t qq L L ii = .
B) Ecuaciones de Lagrange: 0=∂∂
−∂∂
ii q
L
dt
d
q
L
.
C) Estudiamos el movimiento en un sistema inercial. En este sistema de referencia una
partícula libre permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme por tiempoilimitado. Esto es equivalente a decir que para este sistema el espacio es homogéneo e
isótropo y el tiempo uniforme y de hecho esta es una de las posibles maneras de definir
un sistema inercial (basta pensar, en el caso de la isotropía por ejemplo, que con una
partícula de velocidad inicial no nula es imposible definir una dirección privilegiada del
espacio, dado que sea cual sea la dirección inicial de la partícula el tipo de
comportamiento siempre es el mismo). Por supuesto los sistemas inerciales son
indistinguibles entre si por lo que las ecuaciones del movimiento han de ser iguales en
todos ellos.
D) Principio de relatividad de Galileo aplicado a un sistema de referencia inercial K’ se
desplaza con velocidad infinitesimal ε − respecto a otro sistema inercial K nos informaque si la partícula libre se mueve con velocidad v
en el sistema K lo hará con velocidad
ε
en el sistema K’.
−v
1) Con los datos A) y C) es directo. La inclusión de una dependencia explicita respecto
a las coordenadas o al tiempo implicaría que las ecuaciones del movimiento no
respetarían la homogeneidad del espacio y el tiempo. Cualquier referencia a una
dirección privilegiada, como sería una dependencia de la dirección del vector velocidad,
no respetaría la isotropía del espacio. Por tanto el Lagrangiano solamente puede
depender del módulo de la velocidad, es decir: .)( 2v L L =
2) Siguiendo las indicaciones del enunciado desarrollamos en serie el Lagrangiano para
el sistema K’:
)(2)()2()'( 2
2
2222 ε ε ε ε Ovv
Lv Lvv Lv L +
∂
∂−=+−=
,
y de la última afirmación de C) y la otra pista del enunciado del problema tenemos que
dt
dF v Lv L += )()'( 22 y para que esto se cumpla en la ecuación anterior tenemos que
cteav
L==
∂
∂2
, de modo que ar F ε
2−= , donde r
es el vector posición de la partícula.
3) Siguiendo el mismo razonamiento que en el anterior apartado tenemos que
)2()(2)(')'('2
00
22
00
22
0
22 t V V r dt
d v LV V vvV vvv L +−+=+−=−==
que comprueba que los Lagrangianos de ambos sistemas son compatibles.
---------------------------------------------
31. Una partícula de masa m se mueve sobre la superficie de un cono de ángulo α (ver figura) y se encuentra sometida al campo gravitatorio terrestre.
a) Calcúlese su lagrangiana e identifíquense las magnitudes que se conservandurante el movimiento.
b) Hállese el potencial efectivo para el problema unidimensional equivalente ydiscútase el tipo de órbitas
c) ¿Qué velocidad inicial ha de imprimirse a la partícula para que la órbita seacircular?
d) Suponga la masa m en una órbita circular tratada en el apartado anterior.
Suponga que se le imprime un muy pequeño impulso en dirección contraria alvértice del cono. ¿ Qué tipo de trayectoria piensa usted que seguirá el sistemadespués de hacer esto? En el caso de seguir una trayectoria consistente en lacomposición de la trayectoria circular original y de una pequeña oscilaciónalrededor de ésta, calcule la frecuencia de las oscilaciones de pequeña amplituden torno a la órbita circular. Hágalo sólo en el caso en que piense que estatrayectoria tiene sentido.
Si dibujamos este potencial obtenemos una función monótonamente decreciente
como la siguiente:
con V en trazo continuo y las dos componentes en trazo punteado. Este potencial para
la variable Z corresponderá a un movimiento acelerado, independientemente de lascondiciones iniciales la masa tenderá a caer hacia Z cada vez mayores, que
corresponden a z cada vez más negativos en la variable original. Por tanto el
movimiento será una composición de un giro en el plano xy, dado por la variable
eff
θ ,
que por conservación del momento angular tendrá cada vez menor velocidad angular a
medida que aumente el radio de giro, y de un movimiento acelerado en la dirección del
eje negativo de la variable z .
c) Con el potencial calculado no pueden existir órbitas circulares dado que V nunca
alcanza un mínimo. El único equilibrio que puede alcanzar la partícula vendría de
considerarla en reposo sobre el vértice del cono. También podemos darnos cuenta de
esto al intentar calcular el valor de Z que anula
eff
Z
V eff
∂∂
, obtendremos sólo valores de Z
negativos, para los que nuestras ecuaciones ya no son válidas.
d) Si consideramos la partícula sobre el vértice del cono cualquier pequeña perturbación
la sacará de su equilibrio inestable para producir un movimiento de caída acelerado
como los descritos en el apartado b). Es decir no tiene sentido considerar pequeñas
32. La relación entre las leyes cuánticas y clásicas puede expresarse en la formaen la que se trata en este problema. Para ello tomemos un sistema de un grado delibertad. La frecuencia de la radiación emitida por este sistema de acuerdo con lasleyes cuánticas viene dada por h E ∆=cuanν , siendo k n E E E −=∆ . Estos estados
estacionarios de energía se calculan con ayuda de la condición de cuantización de
la acción, ∫ == nh pdq I . En consecuencia, ( )hk n I I k n −=− . Si , es decir,
examinamos dos estados vecinos:
1=− k n
h I k I I k =−=∆ +1 . Combinando esta expresión
con la que nos da la frecuencia cuántica, obtenemos I E ∆∆=cuan
*ν (1)para dos estados contiguos.Obtenga el equivalente clásico de la expresión (1) para el caso del osciladorarmónico. ¿Encuentra usted alguna similitud entre las dos expresiones? ¿Podríacomentar algo sobre las posibles diferencias?
( )dqV E m pdq I ∫ ∫ −== 2Tanto la acción como la energía clásicas son funciones continuas. Busquemos la
derivada de una respecto de la otra:
( )dq
V E m
m
dE
dI ∫ −
=2
que, para el caso del oscilador armónico, queda
∫∫∫ ==== T dt q
dqdq
p
m
dE
dI
en donde T es el período de oscilación. En consecuencia,
dI
dE
T ==1*
clasν
a comparar con (1). Tanto en mecánica clásica como cuántica las frecuencias vienen
dadas por la relación de incrementos de la energía y de la acción, aunque en clásica
estos incrementos son infinitamente pequeños mientras que en cuántica son finitos.
De hecho, este resultado, demostrado para el oscilador armónico, es válido para todos
los sistemas periódicos de un grado de libertad, aunque no haremos la demostración
aquí.
---------------------------------------------
33. Consideremos la definición general de sistema conservativo. A saber, aquel
que cumple las siguientes tres condiciones: 1) es válida la forma estándar(holónoma o no holónoma) del lagrangiano; 2) el lagrangiano no es funciónexplícita del tiempo; 3) las ecuaciones de ligadura pueden expresarse en la forma
( los coeficientes son nulos). Por otra parte, si el lagrangiano se
expresa en la forma estándar holónoma y la energía cinética es una formacuadrática homogénea de las q ’s, un sistema conservativo es además natural.
0l k k
k
a dq =∑ lt a
j
a) Demostrar que la definición anterior de sistema conservativo lleva a la
conservación de la llamada función energía: j
j j
Lq
q L
∂−
∂∑
(integral de Jacobi),
que se reduce a la energía total en el caso de un sistema natural.
b) Ahora sea una masa m desliza sin rozamiento dentro de un tubo circular deradio r (véase figura). El tubo gira alrededor de su diámetro vertical (eje Z) conuna velocidad angular constante ω . En las coordenadas polares de la figura,compare los sistemas de referencia asociados a un observador externo y a otro quegira con el tubo, respectivamente. ¿En cuál de los dos es este sistema simplemente
conservativo y en cuál es también natural? Justifique su respuesta.c) Describa el sistema anterior en coordenadas esféricas. ¿Es el sistema ahoraconservativo? Justifique su respuesta. En caso de no serlo, ¿cuál es la razón físicapara ello?
z
O r
θ
m
Si , entonces2 1 0
L T T T V = + + −2 0 j
j j
L L T T
qh q V
∂= − = − +
∂∑
V ′ ′
. Si reagrupamos
términos:
2 0
V
V T T
′
− = +h T == +
Todo el truco del problema reside en “manejar” apropiadamente los términos en el
Lagrangiano. Empecemos con los términos T y V en polares2 2 2 2 21
2( se
cos
T m r r
V mgr
n )θ ω θ
θ
= +
=
dando el lagrangiano en sistema “laboratorio”2 2 2 2 21
2( sen ) L m r r mgr cosθ ω θ = + − θ (1)
Cumplimos las condiciones impuestas a un sistema conservativo y, por tanto, lo es. La
integral de Jacobi es:2 2 2 2 21
2( sen )h m r r mgr cosθ ω θ = − + θ ,
que NO ES la energía total. Sin embargo, si escribimos de nuevo (1) de forma que
L T V ′ ′= −
con2 21
2 2
2 2 2
0cos sen
T T mr
V V T mgr r
θ
θ ω θ
′ = =
′ = − = −
T’ es la energía cinética relativa a un sistema que gira con el tubo. La energía potencial
V’ incluye el término gravitacional y el término0
T − que tiene en cuenta la fuerza
centrífuga. En este caso nuestro sistema es natural y h T V ′ ′= + , la energía total
(¡cuidado, no en el sistema inercial!)
En el caso de coordenadas esféricas ( ), ,r θ φ tenemos
. El sistema en esta representación NO ES conservativo ya
quek t
a ω = − ≠ . Además, la expresión de Jacobi ( T V + , en este caso) no es constante
ya que la ligadura efectúa trabajo sobre el sistema.
----------------------------------------------
34. Un bloque de masa M2 desliza sobre otro de masa M1 que, a su vez, deslizasobre un plano horizontal (Véase figura). Usando las coordenadas X1 y X2 de lafigura, obtenga las ecuaciones diferenciales del movimiento a través de laformulación de Lagrange. Asuma ausencia de rozamientos.
X2
X1
M2
M1
La coordenada1 es el desplazamiento absoluto de , mientras que
1m
2 x es el
desplazamiento de m con respecto a Para obtener la velocidad absoluta v de ,
usamos la ley del coseno para sumar la velocidad de m y la velocidad de respecto
de . Obtenemos:
2 1m
2
2
2m
1 m
1m
2 2 2
2 1 2 1 22 cosv x x x x α = + −
siendo α el ángulo formado por el plano con la horizontal. Por lo tanto,
( )2 2 2
1 1 2 1 2 1 2
1 12 cos
2 2T m x m x x x x α = + + −
En presencia del campo gravitatorio, los cambios en energía potencial proceden de
cambios en el valor de2:
2senV mgx α = −
De aquí
( )2 2 2
1 1 2 1 2 1 2 2
1 1
2 cos sen2 2 L m x m x x x x mgxα α = + + − +
Las ecuaciones correspondientes:
( )1 1 2 1 2cos 0m x m x x α + − =
2 2 2 1 2cos sen 0m x m x m g α α − − =
----------------------------------------------
35.- Un modelo simple, y de gran utilidad, de molécula triatómica lineal es el de lafigura. Vamos a examinar el caso en el que M>m. Plantee el problema en lascoordenadas definidas por los desplazamientos de las tres masas de su posición de
1) Sabido esto, calcule las componentes en coordenadas polares de laaceleración y acto seguido plantee las ecuaciones de Newton correspondientes.
2) Exponga la formulación lagrangiana para el problema y compare la formaanterior de obtención de la ecuaciones del movimiento con la que le ofrece ésta.
Por lo tanto, teniendo en cuenta la relación trigonométrica sencos2
2
1
2
θ θ=
−, la curva pedida viene
dada, de forma paramétrica, por
( )
( )
x r
z r
= −
= −
θ θ
θ
sen
cos1
donde r C = 1
2 2 . Esta es precisamente la ecuación paramétrica de la cicloide desarrollada por una
circunferencia de radio r . El valor de r se determinada imponiendo que la cicloide ha de pasar por el punto A = ( x A, z A). Por ejemplo, dividiendo las ecuaciones paramétricas de la curva y particularizando en A, resulta
x
z
A
A
A A
A
= −
−θ θ
θ
sen
cos1
que es una ecuación transcendente para θ A . Por último, utilizando una de las ecuaciones paramétricas se
encuentra
r z A
A
=−1 cosθ
Nótese que necesariamente el punto inicial O, desde el que se suelta la partícula, ha de ser un extremo de
la cicloide, tal como hemos esquematizado en la figura.
------------------
2. Como ejemplo de aplicación del cálculo de variaciones tenemos el siguiente problema. Sea unmuro rectilíneo, de longitud 2a. Deseamos instalar una alambrada de longitud L, que partiendo
de un extremo del muro, termine en el otro extremo de éste ¿Cuál debe ser la forma dada al
recorrido de la alambrada para que el área encerrada sea máxima?
El área encerrada por la alambrada es ydxa
a
−∫ , mientras que la longitud de la alambrada es
1
2
+ ′ =−∫ y dx La
a
. La ecuación de Lagrange se transforma en:
11
02
− ′
+ ′
=
d
dx
y
y
λ
Integrando y despejando ′ y , queda:
( );
)(
2
1
2
1
C x
C x y
+−
+−=′
λ
que, integrado a su vez da:
( ) 2
2
1
2 C C x y ++−= λ
Las constantes C C 1 2y se hallan con las condiciones de contorno de la alambrada, quedando: y x a= − − −λ λ2 2 2 2 .
Para determinar λ volvemos a la condición
1 2+ ′ =−∫ y dx La
a
que nos lleva a:
( )λ
λa L=
1
2sen
Para hacer posible una solución de esta última ecuación trascendental, escojamos L a= π , para lo cual
λ = = −a y a xe 2 2 . Para esta elección y x( ) es un semicírculo centrado en el origen; solución que
1. El punto de suspensión de un péndulo simple de masa y de longitud l estáobligado a moverse a lo largo de una pista horizontal, y está conectado a unpunto de la periferia de un volante de masa
m
y de radio . El volante giralibremente alrededor de un centro fijo en la pista. Hallar la hamiltoniana delsistema, y las correspondientes ecuaciones del movimiento de Hamilton.
Queda claro que, con estas ecuaciones, no se cumple p x H x p H ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 22= . No
pueden, por lo tanto, derivar de un formalismo hamiltoniano.
b) La energía potencial es V )(),( x f mg mgy y x == . Mientras, la cinética viene dada
por:
( )22222 )(2
)(2
x f x xm
y xm
T ′+=+=
Una vez construido el lagrangiano, llegamos a la siguiente ecuación de Lagrange:
( )[ ]
( ) ( ) 0)()()(2)(1
)()(1
2
2
=′′+′′′+′+
=′+′+
x f mg x f x f x xm x f xm
x f mg x f xmdt
d
Identificando términos con los de la ecuación del enunciado:
x x f
x x x f x f
x x f
senh)(
;coshsenh)()(2
;cosh)(1 22
=′
=′′′
=′+
De lo que deducimos fácilmente que:
x x f cosh)( =
Dicho todo lo anterior, es fácil ver que:
( )( ) xm
p x x xm
x
L p
2
2
senh1;senh1
+=+==
∂
∂
c)
( )
( ) xmg
xm
p
xmg x xm p x L p x H
coshsenh12
1
coshsenh12
1
2
2
22
++
=++−=−=
-------------------------------------------
9. Obtenga el hamiltoniano de un móvil, sometido a un potencial V , que sedesplaza sobre un disco horizontal que gira con una velocidad angularconstante ω . Hágalo en los sistemas de referencia del laboratorio y del disco yestablezca la relación entre ambos hamiltonianos. Utilice la notación ( )
para las coordenadas en el sistema “laboratorio” y para lascorrespondientes en el sistema que gira con el disco.
Lo importante aquí, es tener en cuenta que, para la construcción del hamiltoniano, T y V
tienen que ser evaluadas en el sistema inercial (laboratorio).
( )lablab
2
lab ,2
y xV vm
L −=
Las ecuaciones que relacionan las coordenadas del sistema laboratorio y las del sistema
no inercial giratorio, son:
θ θ
θ θ
sencos
sencos
lab
lab
x y y
y x x
+=
−=
Si el disco gira, por ejemplo, en el sentido contrario a las agujas del reloj, la
diferenciación con respecto al tiempo de las ecuaciones (con t θ = )
( )( )θ θ ω θ θ
θ θ θ θ
sencossencos
cossensencos
lab,
lab,
y xvvv
y xvvv
x y y
y x x
−++=
+−−=
Un simple cálculo nos lleva a:
( ) 22222
lab 2 r yv xvvvv x y y x ω ω +−+=
( )222 y xr += . Sustituyendo la expresión anterior en el lagrangiano inicial, obtenemos
su representación en las coordenadas del sistema giratorio. El paso siguiente es el de la
obtención de los momentos en el sistema giratorio.
( )
( ) xvmv
L p
yvmv
L p
y
y
y
x
x
x
ω
ω
+=∂
∂=
−=∂
∂=
El hamiltoniano en el sistema no inercial se construye de la forma usual
Lv pv p H y y x x −+= =
( ) ),(2
22
y xV xp ypm p p
y x
y x+−++ ω
Finalmente, la relación entre ambos hamiltonianos se obtiene teniendo en cuenta que el
correspondiente al sistema inercial será aquél que resulta de hacer nula la velocidad
angular en la ecuación anterior:
z l H H ω ω −= =≠ 00
-------------------------------------------
10. La relación entre los hamiltonianos de una partícula moviéndose en unpotencial V , definidos, respectivamente, en un sistema inercial y en un sistemano inercial que gira alrededor del eje z con velocidad angular constante , es
z inercial inercial no l H H ω −=− ( l es la componente correspondiente del momentoangular definido en el sistema no-inercial). Haciendo uso de esta últimarelación demuestre el Teorema de Larmor, que asegura que puede eliminarseel efecto de un campo magnético estacionario uniforme sobre una partículacargada en movimiento colocándose el observador en un sistema de referencia
giratorio. Halle la frecuencia con la que debe girar el sistema de referencia noinercial (frecuencia de Larmor).
z
+c
e
Ayuda: Recuerde que el lagrangiano de una partícula cargada en un campo
electromagnético viene dado por Avc
eemv L
⋅+Φ−=
221 . Recuerde también que la
ecuación ( r B A )×=
21 define un campo magnético uniforme. Por último, tome el eje z
como dirección del campo uniforme B
y como eje de giro del sistema giratorio.
Dado el lagrangiano del enunciado del problema es fácil obtener el momento conjugado
y el hamiltoniano (recuerde que estamos en un sistema inercial). Son, respectivamente,
Φ+
−== e A
c
e p
m H Avm p inercial
2
2
1 ,
H es constante sólo si los campos son estacionarios. En el campo magnético de
características impuestas en el enunciado –campo magnético uniforme en la dirección z
y ( r B A )
×=21 – el hamiltoniano se transforma en:
( )2 2
2 21 2
22 4 22 x y
p e eB
H B e z inercial m mmc += + + Φ −
l c
)
Podemos, ahora, invocar el problema 9. Es posible establecer una comparación con la
relación del enunciado si tenemos claro que la componente del momento cinético
canónico en el sistema inercial y en el no-inercial. Esto siempre puede comprobarse
aplicando una transformación del sistema de coordenadas del laboratorio, ( 1 1, y , a las
del sistema giratorio ( ), X Y :
1 1
1 1
sin sin ,
sin sin
X x u wt y wt
Y y u wt x wt
= +
= −
.
Una vez comprobado esto es inmediato encontrar la frecuencia de Larmor y el
hamiltoniano en el sistema giratorio:
mc
eB
L2
−=ω
Φ+
+= e Br
mc
e
m
p giratorio H 22
4
1
22
2
2
2
Vemos que el término lineal en B está ausente. Esto indica que, si el campo es pequeño,
la dependencia en éste es despreciable (en términos de segundo orden).
11. Sabemos que no existe una forma estándar de obtener una función generatrizque lleve a una formulación más conveniente. Sin embargo, el empleo de laspropiedades que deseamos en la formulación de destino, permite obtenerlafácilmente. Un ejemplo clásico es el de la función ( )t Qq F ,,
1 en el caso de la caídalibre de un cuerpo en un campo gravitatorio . Queremos que en la nuevaformulación, el Hamiltoniano,
mgq
K , sea sólo función de la coordenada, Q , y quese cumpla la equivalencia entre los dos momentos, p P = . Obtenga a partir deestos requisitos la forma de la función ( )t ,Qq F ,
1. (Recuerde que q F p ∂= ∂
1,
Q F P ∂∂−=1
y t F H K ∂∂+=1
)
Partimos de la expresión H K = , que se traduce en el contexto presente en
( ) mgqm
p
Q +=2f
2
,entendiéndose que f expresa la forma de( )Q K . De esta última expresión obtenemos
( )[ ]2
12
2f 2 gqmQm p −=
Podemos hacer uso del requisito dado por la identificación de ambos momentos
Q
F
q
F P p
∂
∂−=
∂
∂== 11
Se desprende que ( ) mgQQ =f . Finalmente, la función generatriz resulta de la integración
de la ecuación
( )[ ]q
F qQ g m p
∂
∂=−= 12 2
1
2
dando
( ) ( )[ ]2
32
21 23
1, qQ g m
g mQq F −−=
-------------------------------------------
12. ·Un cuerpo, de masa m=1, se mueve en un campo en el cual la energía potenciales , siendo g la aceleración de la gravedad. Se sabe que la ecuación delmovimiento es
g f x( )
0)()()( =++ x gC x x B x x A ,
siendo A( x ), B( x ) y C ( x ) tres funciones continuas.Si ,axaaxaaxa x A 4-e243-e282-e241)( +−+=
a.- ¿Cuál es la expresión de la energía potencial?; Dibújela;b.- ¿ Cuál es la expresión del hamiltoniano?;c.- ¿ Cuál es la frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor delequilibrio?
Sea V la energía potencia. La ecuación de Lagrange es:f(x)),( g gy y x ==
Si A( ) es la expresión dada en el enunciado, tendremos:
2axe1f
axe1
axae2f
ax4e24ax3e28ax2e242f
−−=⇒
−−−=′⇒
−+−−−=′ aaa
a) La energía potencial es V y su gráfica es:2
axe1
−−= g
b) El hamiltoniano es , con:V T H +=
( ) ( )
( )
( )2ax
2ax42ax32ax222
22222
e1
);(2
e4e8e412
f 22
−
−−−
−=
=+−+
=′+=+=
g V
x A xm
aaa xm
x xm
y xm
T
c) La frecuencia de las pequeñas oscilaciones alrededor del equilibrio ( x=0) vendrá dada
a partir del desarrollo de V para pequeños desplazamientos:
( ) )(e13222ax
xO x ga g V +≈−= −
quedándonos con el término cuadrático, obtenemos el potencial de un oscilador
armónico, de frecuencia:
m
g a
2=ω
-------------------------------------------
13.- Encontrar el Lagrangiano y el Hamiltoniano de un péndulo que consta de unamasa m unida a una vara rígida y sin masa AB de longitud l,libre de moverse en elplano vertical. El extremo A de la vara sólo puede moverse en la dirección verticaly de modo que su desplazamiento respecto al origen de coordenadas O esta fijadopor una función del tiempo )(t γ . La gravedad actúa verticalmente y hacia abajo.b)Mostrar que la aceleración vertical del punto A, )(t γ , tiene el mismo efecto sobrela ecuación del movimiento que una campo gravitacional dependiente deltiempo.¿Se conserva el Hamiltoniano? ¿Es el Hamiltoniano igual a la energía totaldel sistema?
a) Tomando como coordenada la variable θ de la figura tenemos
θ lsen x = , θ γ cosl z −= → ,θ θ cosl x = θ θ γ lsen z +=
( )2 2 21 12
2 2T mv m l l sen 2θ γ θ θ γ = = + + ; ( )γ θ −−= cosl mg V ,
( ) ( )2 2 212 c
2 L m l l sen mg l osθ γ θ θ γ θ γ = + + + − ;
θ γ θ θ
θ senl ml m p L
+==∂
∂ 2 → 2ml
senl m p θ γ θ θ
−=
V mml
senml p L p H +−
−=−= 2
2
2
2
1)(
2
1γ
θ γ θ θ
θ
b) θ θ γ θ γ θ θ cos2
ml senml ml L
dt
d
++=∂
∂; θ θ θ γ θ mglsenml
L
−=∂
∂cos
0coscos2 =+−++ θ θ θ γ θ θ γ θ γ θ mglsenml ml senml ml
.)(
θ θ θ γ
θ senl
t g sen
l
g
l
sen−=−−=
dónde γ += g t g )( .
Dado que el Hamiltoniano depende del tiempo, a través de γ (t), no es una cantidad
conservada. La ecuación que define la coordenada θ, z t
xtg
−=
)(γ θ , también depende
del tiempo por lo que la Hamiltoniana no representa la energía total del sistema (puede
comprobarse directamente sobre la expresión calculada).
-------------------------------------------
14. Razónese si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) unacantidad dinámica que depende explícitamente del tiempo podría serconstante del movimiento.
),,( t pq F
b) El sistema dinámico 212
2
212
11 ;2
x x x x x x
ax x −=−−= , es un sistema
hamiltoniano.
a) No existe ninguna condición que exija que una constante del movimiento no dependadel tiempo, siempre y cuando cumpla la condición:
con lo que las ecuaciones del movimiento con la nueva funcional G serán
-------------------------------------------
16. En el sistema representado en la figura, el cilindro se mueve por rodadurasobre una superficie lisa, la varilla del pédulo es rígida y muy ligera y la bola delpéndulo es pequeña. (ver figura al inicio de la solución).Se pide:1 - Hallar el lagrangiano , el hamiltoniano y las ecuaciones del movimientosuponiendo que la unión entre el péndulo y el cilindro es rígida.2 - Hallar lo mismo que en el apartado anterior pero suponiendo que la uniónentre el péndulo y el cilindro es articulada y sin rozamiento.3 - En el caso anterior, hallar la reacción a la que está sometida la unión péndulo-
cilindro.4 - Hallar las frecuencias de oscilación para pequeñas desviaciones de la posiciónde equilibrio. Discutir los límites para M << m y m << M .
(Nota: Este problema fue propuesto por un alumno en la sección de Buzón deIntercambio de la pagina web de la asignatura. NO es un problema planteado enlos EXAMENES)
1). En el caso de una unión rígida el conjunto cilindro-péndulo tiene un único grado de
libertad, ya que el desplazamiento del cilindro sobre el plano y el ángulo de oscilación
del péndulo son proporcionales. Tomaremos como coordenada el ángulo θ que forma la
19.- Una partícula de masa se mueve sobre la superficie de rotación dada
por la ecuación
1=m
ρ
1
ρ
12 −−= z , dónde . La partícula está sometida a la
acción de la gravedad (tomar por comodidad
222 y x += ρ
1= g ) dirigida en el sentido negativodel eje z .
a) escribir el lagrangiano y el hamiltoniano del sistema.b) Determinar las integrales primeras del movimiento.c) Discutir las condiciones para las que existe movimiento en todo tiempo (no
alcanza reposo), las que producen una órbita acotada (en ρ ) y las queproducen una órbita ilimitada.
a) Tomando coordenadas polares ya que es una superficie de revolución tenemos que el
lagrangiano y el hamiltoniano vienen dados por
2
222
32
2 11
2
211
2
1
ρ ρ
θ ρ
ρ ρ ρ +++
++=
L y
22
2
2
32
2 11
2211
2
1
ρ ρ ρ
ρ ρ
−−+
++
= J P
H , dónde θ ρ P J P P == , .
b) Las integrales primeras son la energía y el momento .θ ρ 2= J
c) Podemos interpretar el movimiento como uno unidimensional sujeto a un potencial
efectivo
ρ ρ
111
2 2
2
−
−=
J V eff .
Podemos distinguir ahora dos comportamientos
i. Si el potencial esta acotado inferiormente22 > J
Por tanto si el movimiento esta limitado, la variable0< E ρ esta acotada superior
e inferiormente. Si la variable0≥ E ρ aumenta indefinidamente.
ii Si la gráfica del potencial efectivo tiende a menos infinito en el origen22 ≤ J
TRANSFORMACIONES CANÓNICAS, CORCHETES DE POISSON YECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
1. En un Hamiltoniano de dos grados de libertad independiente del tiempo nos
basta encontrar otra constante del movimiento para poder decir que elproblema está integrado. Si esta segunda constante, I(p,q), es a su vezindependiente del tiempo, debe satisfacer la condición: [ I ,H ] = 0. Supongamosuna partícula de masa unidad moviéndose en un potencial bidimensional
. Hallar: la constante más simple de la forma, donde e y f son funciones a determinar, y una forma
correspondiente del potencial V , para poder asegurar que el problema estáintegrado. ¿Cuál es el significado físico de I ? Con lo que usted sabe demecánica, ¿ hay una forma consistente de hallar la forma general del potencialsin resolver ecuación alguna?
),( 21 qqV
21 )()()( p f pe I qqqp, +=
Si insertamos H e I en la condición [ I ,H ] = 0, e igualamos los coeficientes de los
términos en los momentos, encontramos:
.0 ,0 ,0 ,0212121
=+=+==q
V f
q
V e
q
e
q
f
q
f
q
e
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
De las tres primeras ecuaciones podemos obtener, por ejemplo:
12 , q f qe =−= .
La constante es entonces:1221 pq pq I −= ,
que no es otra cosa mas que el momento angular. Es razonable pensar que el potencial
es un potencial central,
)(2
2
2
1 qqV V += ,
enteramente consistente con la cuarta ecuación en derivadas parciales.
--------------------------------
2. En el caso de un sistema unidimensional con la hamiltoniana
2
2
2
1
2 q
p H −=
determínense las funciones f (q, p) y g(q, p) de manera que
La solución de la ecuación anterior es suma de la correspondiente a la ecuación
homogénea y de una solución particular de la ecuación completa. La integral de laecuación homogénea es de la forma:
)(hom q p f Q +=
siendo f una función arbitraria. Por otra parte, Q = q es una solución particular de la
ecuación inhomogénea, luego la solución general es:
)( q p f qQ ++=
Para el caso general en que P es una función cualquiera de p y q, la solución a la
ecuación homogénea, [P,Q] = 0, es de la forma Q , como puede verificarse por
4. Una masa m está conectada a un resorte de constante k 1 y oscilaarmónicamente sin rozamiento con una amplitud inicial A1. Se reduce la
uy despacio)
)(hom P f
simple sustitución.
-----------------------------------
constante del resorte de modo adiabático (equivalente a hacerlo mde forma constante hasta llegar a un valor k 2 (suponga, por ejemplo, quecalentamos el resorte). Calcúlese la nueva amplitud de oscilación.
I.NOTA: Si p y q son el momento y la posición de la masa, la cantidad
∫=π 2
pdq I
donde la integral se define a lo largo de una sola oscilación completa, es lo que
se llama un invariante adiabático. Ello quiere decir que, aunque la enegía del
oscilador varíe, I permanece constante cuando la constante del resorte se reduce
adiabáticamente. Utilícese este hecho para responder al problema. También
podrá resultarle de utilidad saber que:
∫ +−= 2sen1
sen2 x
xdx x . 24
Para solucionar el problema hemos de recordar que, según el teorema de Stokes el
variante adiabático I también puede escribirse como la integral de área sobre la perficie encerrada por la trayectoria de una oscilación completa en el espacio de fases:
insu
∫ ∫=π 2
dpdq I
Para el oscilador armónico la ecuación de la trayectoria en el espacio de fases es la
6. Supongamos que en el problema de una partícula, de masa m, en caída libre enun campo gravitatorio, queremos efectuar una transformación canónica,
, que nos permita escribir el hamiltoniano en la nuevasvariables como . Demuestre que la correspondiente función
generatriz, , viene dada por:
),(),( QPq p →mgQK =
),(1 QqF
( )( ) gmqQgmF 2232
1 32 −−= .
Deseamos pasar de mgqm
p H +=
2
2
a mgQK = . De la identificación de ambas
expresiones, obtenemos:
( )q
F mgqmgQm p
∂
∂ 12121)2( =−= ,
en donde es la función generatriz problema. Integrando la ecuación anterior,F 1
( ) ( )( ) 232
2
2121
1 23
1~~)2( qQgmgm
qd qmgmgQmF q
−−=−= ∫ .
----------------------------------
7. Dada la transformación ),();,( pqPP pqQQ == para un problema mecánicounidimensional, demostrar que la condición simplética para que ésta seacanónica se reduce a que una cierta función escalar tome un determinadovalor(¿cuál?).
Para el caso unidimensional, la condición simplética es:
siendo . Es pues necesario y suficiente que el determinante ∆ sea la
unidad.
q p pq PQPQ −≡∆
--------------------------------
8. Dadas las siguientes transformaciones ),();,( pqPP pqQQ == , determinarcuales son y cuales no son canónicas. Para aquéllas en las que la transformacióncontiene parámetros libres, determínense las condiciones que éstos debenverificar para que la transformación sea canónica. Razónense las respuestas encada caso.
a) iiii pQqP =−= ;
b) iiii pQqP == ;
c) jiji jiji pbQqaP =−= ;
d) jiji jiji q BQ p AP =−= ;
e) , donde es una función arbitraria de q 1)/(;)( −== dqdf pPq f Q f
f) qP pQ cos;sin ==
a) canónica; b) NO; c) canónica si 1−=a b% , siendo b la matriz transpuesta de b %
d) canónica si 1−−= BA ; e) canónica f) no canónica
-----------------------------------
9. ¿Para qué valores de los parámetros α y β representan las ecuaciones
pqP
pqQ
β
β
α
α
sin
cos
=
=
una transformación canónica? ¿Cuál es la forma de la función generatriz ?3F
Para un sistema unidimensional la condición simpléctica se reduce a que el
determinante
p
P
q
P
p
Q
q
Q
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
≡∆ sea la unidad.
En nuestro caso:
pq pq
pq pq
β β β α
β β β α α α
α α
cossin
sincos1
1
−
− −=∆ 12 −= α α β q
Deberá ser cierto que , lo que exige que112 =−α βα q
La ecuación, una vez hecha la separación de variables, queda como
( ) ( ) ( ) E mgz
dz
zdW
dy
ydW
dx
xdW
m=+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ 2
32
22
1
2
1
Si E es constante, cada uno de los sumandos diferenciales debe serlo a su vez
( ) ( )
( )
3
23
2
1
2
22
2
1 ,
1
21
2
1
α
α α
=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
mgzdz
zdW
m
dy
xdW
mdx
xdW
m
Y las soluciones
( ) ( )
( ) ( ) 23
329
8
3
222 ,121
mgzmg
zW
m x yW m x xW
−±=
±=±=
α
α α
Las constantes 321 ,, α α α definen los nuevos momentos en una transformación canónica
generada por ( )321 ,,,,, α α α z y xS S = . La otra mitad de las nuevas coordenadas
generalizadas definen las ecuaciones
( )t
mg
mgzS
t m
xS
t m
xS
−−
±=∂
∂=
−±=∂
∂=−±=
∂
∂=
23
2
33
22
22
,
12
11
α
α β
α α β
α α β
que, invertidas, dan
( ) ( )
( )232
3
222 ,
112
t g
mg z
t m
yt m
x
+−=
+±=+±=
β α
β α β α
-------------------------------------------
14. El hamiltoniano de Toda caracteriza un conjunto de partículas que se muevensobre un anillo, sometidas a fuerzas repulsivas, exponencialmente decrecientes.
En el caso de tres partículas (véase figura), este hamiltoniano viene dado por:
Aparte del hamiltoniano, existe una integral del movimiento obvia ¿Cuál es?Genere una transformación canónica que `ponga en evidencia esta nuevaintegral en el hamiltoniano transformado. ( Nota: en la segunda parte del
problema utilice la función generatriz , definiendo como nuevo momento esa
integral de movimiento adicional ) F 2
φ1
φ 3
φ 2
p1
p3
p2
φ
Hay una integral del movimiento obvia, que es el momento total
cte.3213
=++= p p pP (1)
ya que el hamiltoniano es invariante frente a rotaciones
0φ φ φ +
iia
Transformamos a los nuevos momentos 11 pP = , 22 pP = y dado por (1), con:3P
( ) .321322112 φ φ φ PPPPPF −−++= .
Encontramos el nuevo hamiltoniano:
( )
( ) ( ) ( )
22 2
1 2 3 1 2
1 2 1 2
1
2
exp - exp - exp 3.
H P P P P P⎡ ⎤′ = + + − − +⎣ ⎦
Φ + Φ − Φ + Φ −⎡ ⎤⎣ ⎦
′ H no depende de Φ3 : lo que demuestra la invariancia de P3
-------------------------------------------
15. Compruebe que para tres funciones se cumple
. Proceda expandiendo el lado izquierdo de la
igualdad y reorganizando términos para obtener el lado derecho. ¿De qué
relación se trata?
hg f ,,
[ ][ ] [ ][ ] [[ g f h f hghg f ,,,,,, −=+ ]]
Reconocemos aquí la identidad de Jacobi y su comprobación aparece con detalle en la
página 487 del Goldstein.
16. Sean q y p la coordenada generalizada y el momento generalizado de un
sistema material de un grado de libertad; sean Q y P funciones de q y p, tales
que . Se pide determinar P de la forma más general posible, de modoque la transformación de q y p a Q y P sea canónica.
pqQ tan=
Se tiene que
,tan;cos
2 p
qQ
pq
pQ ==
∂ ∂
∂ ∂
y una integral particular de la ecuación
1cos
tan2
=− p
q
q
P p
p
P
∂
∂
∂
∂ ,
se obtiene fácilmente haciendo P solamente función de p , por ser
pP pdp
dPsenln
tan
1=⇒= .
Luego( ) pq pP tanf senln +=
es la solución del problema.
-------------------------------------------
17.- Un sistema de una partícula tiene como lagrangiano: ( ))(e 2
21t2
qV qm L −= &γ .
a) ¿A qué sistema corresponde?b) Una vez encontrado el hamiltoniano en variables ( )q p, , ¿cuál ha ser la
buena expresión para la función ( )t f tal que la función generatriz
transforme el hamiltoniano en una constante del
movimiento en el caso en que
( ) ( )qPt f t PqF =,,2
( ) 22
21 qmqV ω = ?
a) La ecuación del movimiento es
qmq
V qm &&& γ 2−
∂
∂−=
que corresponde a una partícula en un potencial V y bajo la influencia de un frenado
qm &γ 2− .
b) El hamiltoniano viene dado por la expresión
( ) t t eqV e
m
p H
γ γ 222
2+= − ,
que se reduce, en nuestro caso, a
t t eqme
m
p H
γ γ ω 22222
2
1
2+= − .
Nos piden ahora una función generatriz de la forma ( ) ( )qPt f t PqF =,,2 para que transforme H en un nuevo hamiltoniano K que sea constante del movimiento. Nos
bastará para ello asegurar que K no depende explícitamente del tiempo. Para ello,
c) En el nuevo Hamiltoniano no aparecen ni ni por lo que y son
constantes y1Q 2Q 1P 2P
1
1
1 2PP
H Q =∂
∂=& → α += t PQ 11 2 ,
12
2 =∂
∂=
P
H Q& → β += t Q2 .
-------------------------------------------
19. Un sistema de dos grados de libertad está descrito por la hamiltoniana
)()()( 232121
2
211 qg pqg pbqqg H −++−= ,
dónde es función únicamente de la variable .)( ji qg jq
a) Encontrar unas funciones, , y para que las funciones)( 11 qg )( 12 qg )( 23 qg
211 qqF = y2
112
q
aq pF
−=
sean constantes del movimiento.
b) ¿Existen más constantes del movimiento algebraicas independientes? Encaso de respuesta afirmativa, ¿ podría dar alguna sugerencia de constante?
c)
¿Puede construirse alguna constante más a partir de la identidad deJacobi?. (Nota: identidad de Jacobi para las funciones H , v, w es[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 0,,,,,, =++ w H v H wvwv H )
d) Resolver la ecuación de Hamilton-Jacobi: 0, =∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
t
S
q
W q H , con
( ) ( ) 1 2, , ,S q P t W q P t t α α = − − ¿Qué constantes del movimiento obtenemos?
a) Para que sea constante del movimiento tiene que cumplir queiF [ ] 0, =iF H , de la
definición de corchete de Poisson tenemos:
[ ] 0)()(, 123212
2
1
22
1
21
1
11
1
1
1 =+−=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
= qqgqqgq
F
p
H
p
F
q
H
q
F
p
H
p
F
q
H F H
que tiene como solución y112 )( qqg = 223 )( qqg = (o con los signos cambiados).
Introduciendo esto en el corchete de la segunda constante:
[ ] 011
, 1111
1
1
2
2
2
113
2
2
21
21
1
12 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+++
∂
∂−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂−= paqaq p
q
g
qq
paqg
q
ag
qq
g p
q
gF H
que se cumple si .2
11 1)( aqqg =
b) Con las funciones halladas el hamiltoniano tiene la forma2211
21.- Supongamos un sistema en una dimensión con coordenadas q y p.a) Demuestre que para la hamiltoniana del sistema la evolución deuna función esta dada por
),,( t pq H
),,( t pq f
[ ]t
f H f
dt
df
∂
∂+= ,
b) Encuentre las condiciones que han de cumplir las constantes a,b y c para quesea canónica la transformación
pqaQ += 2 , . (1)4cpbqP +=
c) Para el sistema dado por la hamiltoniana2242 44 p pqqq H +++=
encuentre la transformación del tipo (1) tal que la nueva hamiltoniana, H’, sea ladel oscilador armónico.d) Si tuviéramos una nueva transformación canónica sobre las coordenadas delapartado c): y , ¿cómo calcularíamos la transformación desde
las variables originales a las finales,
( )t PQP ,,~ ( t PQQ ,,
~)
( )t pqP ,,
~
( )t pqQ ,,
~
?. ¿Será canónica?. En casode conocer una transformación que simplifique la hamiltoniana H’ apunte elprocedimiento.
a) Se obtiene de la definición del corchete de Poisson y las ecuaciones del
movimiento de hamilton para el sistema. (Ver en el apartado 9-5 del Goldstein). b) En notación matricial tiene que cumplir:
J MJM T =
y para este sistema tenemos
32 1
4
Q Q
aqq p M P P b cp
q p
∂ ∂⎛ ⎞⎜ ⎟
∂ ∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
,3
30 10 81 08 0
T b acp q MJM b acp q
⎛ ⎞− + ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− ⎝ ⎠⎝ ⎠
es decir, hay dos soluciones: 1,0 −== bc y a sin determinar y 0, 1a b= = − y c sin
determinar.
c) Probamos con la primera de las soluciones. Como la transformación es
independiente del tiempo la nueva hamiltoniana se obtiene de la substitución de las
nuevas variables, Pq −= y en la antigua hamiltoniana:2aPQ p −=
22' QP H += , formalmente la del oscilador armónico. Con lo que encontramos la
transformación requerida. Se puede comprobar que la otra solución no conduce al
hamiltoniano pedido.
Para esta hamiltoniana la transformación )~
cos(~
2 QPP = )~
(~
2 QsenPQ = , nos lleva
a P H 2'~
= . Sencillamente podemos igualar las expresiones de P y Q en ambascoordenadas para obtener:
qQPP −== )~
cos(~
2 y pqQsenPQ +== 22)~
(~
2
y de aquí despejar para cualquier conjunto:
QPQsenP p
QPq
~cos
~4
~~2
,~
cos~
2
2−=
−= o
21
2 2
2
(2 )
2
q pQ tn
q
q q pP
− ⎛ ⎞+= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ +=
%
%2
)
La composición de 2 transformaciones canónicas siempre es canónica.
-------------------------------------------
22.- Supongamos un sistema de un grado de libertad, con coordenadas q y p yhamiltoniana H , y una transformación canónica a las coordenadas y
junto con su función generatriz
( ) pqQ ,
( pqP , ( )t QqF ,,1 .a) En general, ¿cree usted que pueden obtenerse todas las funcionesgeneratrices , y( )t PqF ,,2 ( )t Q pF ,,3 ( )t P pF ,,4 de esa transformación? Ilustre su
respuesta con ejemplo/s sencillo/s. En caso de poder disponer de más de unafunción generatriz ¿obtendremos siempre la misma hamiltoniana?.b) ¿Existe una única función generatriz del tipo ( )t QqF ,,1 asociada al cambio
de coordenadas ( ) pqQ , y ? En caso de poder disponer de más de unafunción generatriz ¿obtenemos siempre la misma hamiltoniana?. Détambién ejemplo/s sencillo/s.
( pqP , ))
)
( t QqF ,,1
a) No siempre será posible encontrar funciones de los 4 tipos para una misma
transformación canónica. Partiendo de las ecuaciones de las nuevas variables,
y , hay que comprobar qué parejas formadas por una variable antigua y una
nueva son expresables en función de las otras dos. Como ejemplo simple de este caso
tenemos la transformación:
( )t pqQ ,,
( t pqP ,,
( ) qQt QqF =,,1 . Esta genera el cambio
QqF p =∂∂= 1 , 1F P
Q∂= − = −∂
q , para el que no es posible expresar p como función de q y
P, ni q como función de p y Q. Por tanto existirán sólo las funciones y
.
( )t QqF ,,1
( )t P pF ,,4
Sin embargo sí hay casos en los que es posible, un ejemplo simple sería:
2
2
2
2
QqP
qQ p
−=
=, generada por la función . Para este caso tenemos todas las
b.- Utilícese esto para encontrar una constante de movimiento para una partícula
en dos dimensiones bajo el potencial3
)(r
r ar V
rrr ⋅
= (siendo ar
un vector constante
dado).
a) Para demostrar que 0=dt
df utilizaremos el formalismo de Poisson:
[ ] 0,111111111
=∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
== ∑= q
f
f
H
p
f
p
f
f
H
q
f
q
H
p
f
p
H
q
f
q
H
p
f
p
H
q
f H f f
ii
s
i ii
&
b) El hamiltoniano de una particula sometida al potencial del problema la podemos
escribir en coordenadas polares como:
32
22
22 r
r a
mr
p
m
p H r
rr⋅
++= θ , si elegimos el eje xr
coincidiendo con el vector a podemos
escribir
r
mr
ma p
m
p
r
r a
mr
p
m
p H r r
2
22
32
22
2
cos2
2
cos
22
θ θ θ θ ⋅++=
⋅++= de modo que podemos
escribir quemr
p f
m
p p f pr H r
r 2
2
2
),(
2)),(,,( θ
θ
θ θ += , con =),( θ θ p f θ θ cos22 ⋅+ ma p ,
constante del movimiento.
--------------------------------------------
25.- Sea θ ρ θ ρ ρ
θ ρ
222
2
2 sin2
1cos
2
1
2
1−−+= PP H , y para el instante inicial
0)0( == θ θ P y 1== ρ ρ P . Sea θ ρ α θ ρ θ ρ sincos),,,( 2121 PPPPS += una función
generatriz, siendo las nuevas coordenadas y momentos.2121 ,,, PP x x
a) Determinar los valores de α tales que el hamiltoniano de las nuevasvariables sea integrable.b) Utiliza la transformación para determinar el valor de ρ ρ ρ θ PP ,,, en el
tiempo π =t . NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:
QF PqF pt QqF F ∂∂−=∂∂== 1111 ,),,,( PF QqF pt PqF F ∂∂=∂∂== 2222 ,),,,(
QF P pF qt Q pF F ∂∂−=∂∂−== 3333 ,),,,( PF Q pF qt P pF F ∂∂=∂∂−== 4444 ,),,,(
Lo primero es expresar las viejas variables en función de las nuevas
θ ρ α θ ρ
θ α θ
θ
ρ
cossin
sincos
21
21
PPP
PPP
+−=
+=,
θ αρ
θ ρ
sin
cos
2
1
=
=
x
x, de lo que obtenemos que )0( ≠α
2
2
2
1
21 x x += α
α ρ
y después de algunos cálculos tenemos que
( )2
2
21
2
2
22
122
1
α α
x xPPK −−+= , que para cualquier valor de 0≠α es separable y por
, , que podemos integrar directamente por separado2
2
2
11
P x
P x
α =
=
&
&
B At t
t x
At t P
++=
+=
2)(
)(
2
1
1
y ( )t t
t t
DeCet P
DeCet x
−
−
−=
+=
22
2
1)(
)(
α
.
Con las condiciones iniciales dadas obtenemos el valor de las constantes
0)0(,1)0(,0)0(,1)0( 2121 ==== PP x x , 0,1 ==== DC B A .
Por tanto para π =t tenemos que1
2)(
1)(
2
1
1
++=
+=
π π
π
π π
x
P
,0)(
0)(
2
2
=
=
π
π
P
x, que en las variables
originales da lugar a 12
)()(,0)()(2
1 ++==== π π
π π ρ π θ θ xt
0
1
=+=
θ
ρ π
P
P .
----------------------------------------------
26. Considere el hamiltoniano )sin( 2
2
2
12
2
2
2
2
1
2
1 qqq
p
q
p H +++= y la función generatriz
2
2
11
2
2
2
1
2PqP
qqS +
+= .
a) Determinar la trasformación canónica asociada a la función S, en la región
.0, 21 >qqb) Determinar el nuevo hamiltoniano en función de .ii PQ ,
c) Dar las integrales primeras. Determinar las soluciones de la ecuación delmovimiento dadas por el nuevo hamiltonianod) Estudiar la posibilidad de obtener las soluciones a las ecuaciones delmovimiento en las variables originales a partir de la solución obtenida en c).NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:
QF PqF pt QqF F ∂∂−=∂∂== 1111 ,),,,( PF QqF pt PqF F ∂∂=∂∂== 2222 ,),,,(
QF P pF qt Q pF F ∂∂−=∂∂−== 3333 ,),,,( PF Q pF qt P pF F ∂∂=∂∂−== 4444 ,),,,(
a) La función generatriz depende de las coordenadas originales ( ) y de los nuevos
momentos ( ), por tanto corresponde a y tenemos que
21 ,qq
21 , PP ),,(2 t PqF
2
12
2
2
2
11
2
qQ
qqQ
=
+=
122
21111 2
Pq p
PqPq p
=
+=
Por lo que la trasformación canónica viene dada por
212
21
2 QQq
Qq
−±=
±= ( )
1212
2121
2
2
PQQ p
PPQ p
−±=
+±=, y para la región tomaremos el signo
+.
0, 21 >qq
b) Substituyendo el cambio en la expresión de H obtenemos el hamiltoniano en las
29.- Una partícula se mueve bajola gravedad en el plano vertical xz (el eje z es
la influencia de
vertical y se dirige hacia arriba). La partícula estáconectada por una varilla rígida sin masa, delongitud l, a un punto que se mueve con velocidad
constante de 0u > a lo largo del eje x (verfigura).a) Usando el ángulo θ que forma la varillaeje vertic
con unal como coordenada generalizada
l E. (1
rcuál/es de ellas se conserva/n. (1,5 pto)
encontrar el Lagrangiano (1 pto)b) Encontrar la ecuación del movimiento, lafunción Hamiltoniana H y la energía totapto)c) Comentar brevemente si H y E son iguales, poqué yd) Encuentre el Hamiltoniano del sistema enfunción de dos nuevas variables canónicas Q y P
con la única condición de que cosQ θ = . (1,5
pto)
NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:
( , , ), ,1 1 1 1
F F q Q t p F q P F Q= = ∂ ∂ = −∂ ∂ ( ,2 2
F F q , ), ,2 2
P t p F q Q F P= = ∂ ∂ = ∂ ∂
( , , ), ,3 3 3 3
F F p Q t q F p P F Q= =−∂ ∂ =−∂ ∂ ( , , ), ,4 4 4 4
F F p P t q F p Q F P= = −∂ ∂ =∂ ∂
El punto del que está suspendida o coordenadas ,a) la vara tiene com 0 , 0 x x ut z= + =con 0 x constante. Las coordenadas cartesianas de la partícula en términos de θ son
b) Para encontrar la función generatriz de tipo 2 que genera la transformación habráque resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
2 2,F F
p Qq P
∂ ∂= =
∂ ∂
De la segunda relación deducimos inmediatamente
( ) (2
,F P q t f q t = ⋅ + + ))
, con una
función arbitraria ( , f q t . De la primera obtenemos ( ) (2 )F P q t h t = ⋅ + + . A partir
de ahora tomamos ( ) 0h t =
c) El nuevo hamiltoniano tiene la siguiente expresión
2 22F K H w PQ P
t
∂= + = +
∂
d) Las ecuaciones de Hamilton que se obtienen de estas ecuaciones son
2 2
2
1
2
K Q Q w Q
P
K P P w
Q
∂= ⇒ = +
∂∂
= − ⇒ = −∂
& &
& & PQ
.
Si integramos la ecuación primera por separación de variables:
( )2
0 02 2
2 2 1arctan tan
1 2 2
dQ w Qdt t t Q w t t
w Q w w w= → = + → = +
+
y substituyendo esto en la ecuación de P obtenemos también una ecuación separable
2
0 02 tan ( ) ln ( ) ln 2ln cos ( ) ( ) cos ( )
Pw w t t P t c w t t P t c w t t
P= − + → − = + → = +
&
0
e) Finalmente obtenemos para p(t) y q(t)
0
2
0
1( ) tan ( ) ,
( ) ( ) cos ( ).
q t w t t t w
p t P t c w t t
= + −
= = +
-------------------------------------------
31.- Consideremos un sistema con un único grado de libertad, con una variable generalizada y
su momento asociado
q
p .
a) Usando los corchetes de Poisson, demuestre que toda función ( , , ) A q p t genera un
Transformación Canónica Infinitesimal del tipo:[ , ],
[ , ],
Q q A q
P p A p
α
α = += +
(1)
es decir, que la transformación (1) es canónica para el primer orden de α .b) ¿Cuál es la transformación infinitesimal dada por A q= ? ¿Cuál es su función generatriz
? ¿Es posible encontrar las otras tres funciones generatrices , ,
?
( , )2
F q P ( , )1
F q Q ( , )3
F p Q
( , )4
F p P
c) Consideremos ahora que el Hamiltoniano del sistema es independiente de la variablegeneralizada :q ( , , ) ( , ) H p q t H p t = . ¿Qué efecto tiene esta transformación sobre este
Hamiltoniano? Interprete esto en función de la/s cantidad/es conservada/s y las simetrías delsistema.
b) Sustituyendo directamente tenemos que ,Q q P p α = = − .
Cuya función generatriz es2( , )F q P Pq qα = − .
También es posible encontrar la función 3( , )F p Q pQ Qα = − +
No se pueden encontrar las funciones ( )1, ,F q Q t , ( )4
, ,F p P t puesto que no es posible
escribir momentos en función de coordenadas, ni viceversa.c) Si el Hamiltoniano no depende de la coordenada generalizada (el ejemplo más
simple: una partícula que no está sometida a ninguna fuerza2
2 p H
m= ) el Hamiltoniano
no es invariante bajo la transformación canónica del apartado b) ( ( )
2
2
PK
m
α −= ) y no
corresponde a una simetría del sistema. Sin embargo, la variable q sí es cíclica y
correspondería a la invariancia bajo translaciones en el esa coordenada, es decir, que la
cantidad de movimiento asociada p P= , generatriz de la transformación, se conserva.
-------------------------------------------
32.- a) Demuestre que el corchete de Poisson de dos constantes del movimientosindependientes del tiempo, f y g, es también constante del movimiento.b) Aplicando el procedimiento anterior podríamos generar infinitas constantes delmovimientos. Sin embargo, también sabemos que en un sistema de n grados delibertad el número de integrales primeras está limitado a (2n-1). ¿Cómo puedencongeniarse estas dos proposiciones?Puede serle de interés la identidad de Jacobi: la suma de las permutaciones cíclicasde corchete doble de Poisson de tres funciones es nula.
a) Una función f es constante del movimiento si [ ],df f
f H dt t
∂= +
∂, que para
funciones independientes del tiempo [ ], f H 0= . Por tanto
[ ] [ ], 0 , f H H = = − f
[ ] [ ], 0 ,g H H g= = −
y aplicando la identidad de Jacobi
[ ] [ ] [ ], , , , , , 0u v w v w u w u v⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = , identificando w=H , u=f , v= g
formulación, el Hamiltoniano, K , sea sólo función de la coordenada, Q , y que secumpla la equivalencia entre los dos momentos, pP = . Obtenga a partir de estosrequisitos la forma de la función ( )t QqF ,,
1. (Recuerde que , yqF p ∂∂=
1 QF P ∂∂−=
1
)t F H K ∂∂+=1
Partimos de la expresión H K =
( )
, que se traduce en el contexto presente en
mgqm
pQ +=
2f
2
( )Q
,
entendiéndose que f expresa la forma de K . De esta última expresión obtenemos
( )[ ]2
12
2 gqm f 2 Qm p −=
Podemos hacer uso del requisito dado por la identificación de ambos momentos
Q
F
∂
∂−= 1
q
F P p
∂
∂== 1
( ) mgQQ =f Se desprende que . Finalmente, la función generatriz resulta de la integración
de la ecuación
( )[ ]q
F qQgm p
∂
∂=−= 12 2
1
2
dando
( ) ( )[ ]2
32
21
, qQgmQqF −−=
)t
213 gm
-------------------------------------------
36. Razónese si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
a) Dado un sistema hamiltoniano (por simplicidad de un grado de libertad) unacantidad dinámica que depende explícitamente del tiempo podría serconstante del movimiento.
,,( pqF
a) No existe ninguna condición que exija que una constante del movimiento no dependa
del tiempo, siempre y cuando cumpla la condición:
[ ]t
H ∂
F F
∂=, .
-------------------------------------------
37. El problema de la curva braquistócrona (curva que da el recorrido en untiempo mínimo de una partícula en un campo gravitatorio entre dos puntos,digamos 0 y b) es un ejemplo clásico de cálculo de variaciones. La solución vienedada por la función y(x) que minimice una integral que, sin tener en cuenta
constantes, tiene la forma dx Ldx x y
x y J
bb
∫∫ ⋅=+
=00
21'
)(
)(&, donde x es la coordenada
horizontal e y la vertical.a) Comparando esta ecuación con la acción, integral del lagrangiano, plantee
la/s ecuación/es de Euler-Lagrange de este problema (no es necesario dar suexpresión más simple).
b) Siguiendo con la analogía escriba la ecuación de Hamilton equivalente paraeste problema.
c) Escriba la ecuación de Hamilton-Jacobi equivalente para este problema.¿Es resoluble mediante separación de variables? En caso afirmativo de unaexpresión para las soluciones e indique cómo recuperar la solución y(x).
Solución.
a) La acción tiene la forma . Por tanto sólo hay que tener
cuidado de identificar bien los términos dependientes e independientes. La x
jugará el papel de variable independiente en nuestro problema, en lugar del
tiempo de un problema típico en mecánica; la variable dependiente será y en
lugar de q, y por tanto será el equivalente de q :
dt t qq LS = f t
t ⋅∫
0
),,( &
y& &
Braquistócrona Sistema mecánico
Variable independiente x t
Variable dependiente
(coordenada generalizada)
y q
Derivada de variable
dependiente
y& q&
Por tanto la ecuación de Lagrange es:
0=∂
−∂ Ld L ''
se obtiene una expresión difícil de manejar.∂∂ ydx y &
( )21 y y
y
y
L p
&
&
& +=
∂∂
='
b) La variable conjugada será por lo que el hamiltoniano
será y
p y L
21 ⋅−−=' y p H −⋅=' &
0=∂∂
+∂∂
x
S x
y
S y H );,('c) La ecuación de Hamilton-Jacobi tendrá la forma
=Siendo S la función principal de Hamilton tenemos que y
∫−
−=∂
∂=
y
dww
xS
21
1
α α
α β que una vez resuelta la integral nos da la relación entre
x e y en función de las constantes α y β dependientes de las condiciones iniciales.
-------------------------------------------
38. Sean las siguientes transformaciones de variables:21
2=Q q ,
pP
q=
tan=
,1.-
2.- Q q , ( ) 2cosP p k q= −
=
,
3.- Q p , pt
P q
m
+= −
1 1( , , )F F q Q t =
2 2( ,F F q
,
siendo k y m constantes.a) Encontrar si son transformaciones canónicas.b) Para aquellas que lo sean señalar si es posible encontrar funciones de tipo
, , )P t ,3 3
( , , )F F p Q t = y4 4
( , , )F F p P t == (Nota: Verificar si
es posible encontrar cada una de las cuatro funciones). En cada caso dar laexpresión de al menos una de ellas.c) Encontrar el nuevo Hamiltoninano, , que resulta de aplicar la transformación
(3) al Hamiltoniano del oscilador armónico:
K
( )2 21
2 H p q= + .
a) Comprobamos directamente los corchetes de Poisson de las variables:
1.- [ ] 101
=−=∂∂
−∂∂
∂=
qq
q p pq
QPQ,
∂∂∂ PQP
2.- [ ] 101 2
2 =−=
∂
∂
∂
∂−
∂
∂
∂
∂= q
qq
P
p
Q
p
P
q
QPQ cos
cos,
3.- [ ] 110 =+=∂
∂
∂
∂−
∂
∂
∂
∂=
q
P
p
Q
p
P
q
Q
),( QqPP =
)
PQ,
Luego las tres transformaciones son canónicas.
b) No siempre es posible encontrar todas las cuatro funciones generatrices para una
transformación canónica. Por ejemplo en
1. No es posible escribir debido a las ecuaciones de la transformación.
Por tanto no será posible encontrar la ,( QqF F 11 = . Las otras tres sí son
posibles y tienen la forma 2
22
1PqF = Q pF 23 −=, ,
P
pF
2
2
4 −=
),( QqF F 11 =
qk qPF ⋅+= )tan(2 )arctan()( Q pk F
2. No es posible escribir , las otras tres son posibles:
, −=3 ),( P pF F 44 =. La forma de es
muy complicada aunque es posible decir que existe (recordar que no se pide la
TRANSFORMACIONES CANÓNICAS, CORCHETES DE POISSON YECUACIÓN DE HAMILTON-JACOBI
1. En un Hamiltoniano de dos grados de libertad independiente del tiempo nos
basta encontrar otra constante del movimiento para poder decir que elproblema está integrado. Si esta segunda constante, I( p,q), es a su vezindependiente del tiempo, debe satisfacer la condición: [ I ,H ] = 0. Supongamosuna partícula de masa unidad moviéndose en un potencial bidimensional
. Hallar: la constante más simple de la forma
, donde e y f son funciones a determinar, y una formacorrespondiente del potencial V , para poder asegurar que el problema estáintegrado. ¿Cuál es el significado físico de I ? Con lo que usted sabe demecánica, ¿ hay una forma consistente de hallar la forma general del potencialsin resolver ecuación alguna?
),( 21 qqV
)( e I qp, = 21 )()( p f p qq +
Si insertamos H e I en la condición [ I ,H ] = 0, e igualamos los coeficientes de los
términos en los momentos, encontramos:
.0 ,0 ,0 ,0212121
=+=+==q
V f
q
V e
q
e
q
f
q
f
q
e
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
De las tres primeras ecuaciones podemos obtener, por ejemplo:
12 , q f qe =−= .
La constante es entonces:1221 pq pq I −= ,
que no es otra cosa mas que el momento angular. Es razonable pensar que el potencial
es un potencial central,
)(2
2
2
1 qqV V += ,
enteramente consistente con la cuarta ecuación en derivadas parciales.
--------------------------------
2. En el caso de un sistema unidimensional con la hamiltoniana
2
2
2
1
2 q
p H −=
determínense las funciones f (q, p) y g (q, p) de manera que
6. Supongamos que en el problema de una partícula, de masa m, en caída libre enun campo gravitatorio, queremos efectuar una transformación canónica,
, que nos permita escribir el hamiltoniano en la nuevasvariables como . Demuestre que la correspondiente función
generatriz, , viene dada por:
),(),( Q P q p →
(1 q F
mgQ K =),Q
( )( ) g mqQ g m F 2232
1 32 −−= .
Deseamos pasar de mgqm
p H +=
2
2
a mgQ K = . De la identificación de ambas
expresiones, obtenemos:
( )q
F mgqmgQm p
∂
∂ 12121)2( =−= ,
en donde es la función generatriz problema. Integrando la ecuación anterior, F 1
( ) ( )( ) 232
2
2121
1 23
1~~)2( qQ g m g m
qd qmg mgQm F q
−−=−= ∫ .
----------------------------------
7. Dada la transformación Q ),();,( pq P P pqQ == para un problema mecánicounidimensional, demostrar que la condición simplética para que ésta seacanónica se reduce a que una cierta función escalar tome un determinadovalor(¿cuál?).
Para el caso unidimensional, la condición simplética es:
siendo . Es pues necesario y suficiente que el determinante ∆ sea la
unidad.
q p pq P Q P Q −≡∆
--------------------------------
8. Dadas las siguientes transformaciones Q ),();,( pq P P pqQ == , determinarcuales son y cuales no son canónicas. Para aquéllas en las que la transformacióncontiene parámetros libres, determínense las condiciones que éstos debenverificar para que la transformación sea canónica. Razónense las respuestas encada caso.
a) iiii pQq P =−= ;
b) iiii pQq P == ;
c) jiji jiji pbQqa P =−= ;
d) jiji jiji q BQ p A P =−= ;
e) , donde es una función arbitraria de1)/(;)( −== dqdf p P q f Q f q
f) q P pQ cos;sin ==
a) canónica; b) NO; c) canónica si 1−=a b , siendo b la matriz transpuesta de b
d) canónica si 1−−= BA ; e) canónica f) no canónica
-----------------------------------
9. ¿Para qué valores de los parámetros α y β representan las ecuaciones
pq P
pqQ
β
β
α
α
sin
cos
=
=
una transformación canónica? ¿Cuál es la forma de la función generatriz ?3 F
Para un sistema unidimensional la condición simplectica se reduce a que el
determinante
p
P
q
P p
Q
q
Q
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
≡∆ sea la unidad.
En nuestro caso:
pq pq
pq pq
β β β α
β β β α α α
α α
cossin
sincos1
1
−
− −=∆ 12 −= α α β q
Deberá ser cierto que , lo que exige que112 =−α βα q
La ecuación, una vez hecha la separación de variables, queda como
( ) ( ) ( ) E mgz
dz
z dW
dy
ydW
dx
xdW
m=+
+
+
2
32
22
1
2
1
Si E es constante, cada uno de los sumandos diferenciales debe serlo a su vez
( ) ( )
( )
3
23
2
1
2
22
2
1 ,
1
21
2
1
α
α α
=+
=
=
mgz dz
z dW
m
dy
xdW
mdx
xdW
m
Y las soluciones
( ) ( )
( ) ( ) 23
329
8
3
222 ,121
mgz mg
z W
m x yW m x xW
−±=
±=±=
α
α α
Las constantes 321 ,, α α α definen los nuevos momentos en una transformación canónica
generada por ( )321 ,,,,, α α α z y xS =S . La otra mitad de las nuevas coordenadas
generalizadas definen las ecuaciones
( )t
mg
mgz S
t m
xS
t m
xS
−−
±=∂
∂=
−±=∂
∂=−±=
∂
∂=
23
2
33
22
22
,
12
11
α
α β
α α β
α α β
que, invertidas, dan
( ) ( )
( )232
3
222 ,
112
t g
mg z
t m
yt m
x
+−=
+±=+±=
β α
β α β α
-------------------------------------------
14. El hamiltoniano de Toda caracteriza un conjunto de partículas que se muevensobre un anillo, sometidas a fuerzas repulsivas, exponencialmente decrecientes.
En el caso de tres partículas (véase figura), este hamiltoniano viene dado por:
Aparte del hamiltoniano, existe una integral del movimiento obvia ¿Cuál es?Genere una transformación canónica que `ponga en evidencia esta nuevaintegral en el hamiltoniano transformado. ( Nota: en la segunda parte del
problema utilice la función generatriz , definiendo como nuevo momento esa
integral de movimiento adicional ) F 2
φ1
φ 3
φ 2
p1
p 3
p2
φ
Hay una integral del movimiento obvia, que es el momento total
cte.3213
=++= p p p P (1)
ya que el hamiltoniano es invariante frente a rotaciones
0φ φ φ +
ii
Transformamos a los nuevos momentos 11 p P = , 22 p P = y dado por (1), con:3 P
( ) .321322112 φ φ φ P P P P P F −−++= .
Encontramos el nuevo hamiltoniano:
( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) .3exp-exp-exp
2
1
221
2213
22
21
−Φ+Φ−Φ+Φ
+−−++=′ P P P P P H
′ H no depende de Φ3 : lo que demuestra la invariancia de P 3
-------------------------------------------
15. Compruebe que para tres funciones se cumple. Proceda expandiendo el lado izquierdo de la
igualdad y reorganizando términos para obtener el lado derecho. ¿De quérelación se trata?
h g f ,,
[ ][ ] [ ][ ] [[ g f h f h g h g f ,,,,,, −=+ ]]
Reconocemos aquí la identidad de Jacobi y su comprobación aparece con detalle en la
página 487 del Goldstein.
16. Sean q y p la coordenada generalizada y el momento generalizado de unsistema material de un grado de libertad; sean Q y P funciones de q y p, tales
que . Se pide determinar P de la forma más general posible, de modoque la transformación de q y p a Q y P sea canónica.
se obtiene fácilmente haciendo P solamente función de p , por ser
p P pdp
dP senln
tan
1=⇒= .
Luego
( ) pq p P tanf senln +=
es la solución del problema.
-------------------------------------------
17.- Un sistema de una partícula tiene como lagrangiano: )(e 2
21t2 qV qm L −=
γ .
a) ¿A qué sistema corresponde?b) Una vez encontrado el hamiltoniano en variables ( )q p, , ¿cuál ha ser la
buena expresión para la función ( )t f tal que la función generatriz
transforme el hamiltoniano en una constante del
movimiento en el caso en que
( ) ( )qP t f t P q F =,,2
( )22
qmω 21q =V ?
a) La ecuación del movimiento es
qmq
V qm γ 2−
∂
∂−=
que corresponde a una partícula en un potencial V y bajo la influencia de un frenado
qm γ 2− .
b) El hamiltoniano viene dado por la expresión
( ) t t
eqV em
p H
γ γ 222
2 += −
,que se reduce, en nuestro caso, a
t t eqmem
p H γ γ ω 2222
2
2
1
2+= − .
Nos piden ahora una función generatriz de la forma ( ) ( )qP t f t P q F =,,2 para que transforme H en un nuevo hamiltoniano K que sea constante del movimiento. Nos
bastará para ello asegurar que K no depende explícitamente del tiempo. Para ello,
21.- Supongamos un sistema en una dimensión con coordenadas q y p.a) Demuestre que para la hamiltoniana del sistema la evolución deuna función esta dada por
),,( t pq H
),,( t pq f
[ ]t
f H f
dt
df
∂
∂+= ,
b) Encuentre las condiciones que han de cumplir las constantes a,b y c para quesea canónica la transformación
pqaQ += 2 , . (1)4cpbq P +=c) Para el sistema dado por la hamiltoniana
2242 44 p pqqq H +++= encuentre la transformación del tipo (1) tal que la nueva hamiltoniana, H’ , sea ladel oscilador armónico.d) Si tuviéramos una nueva transformación canónica sobre las coordenadas delapartado c): ( )t P Q P ,,
~ y Q( t P Q ,, )
~, ¿cómo calcularíamos la transformación desde
las variables originales a las finales, ( )t pq P ,,~
( )t pqQ ,,~
?. ¿Será canónica?. En casode conocer una transformación que simplifique la hamiltoniana H’ apunte el
procedimiento.
a) Se obtiene de la definición del corchete de Poisson y las ecuaciones del
movimiento de hamilton para el sistema. (Ver en el apartado 9-5 del Goldstein).
b) En notación matricial tiene que cumplir:
J MJM T =
y para este sistema tenemos
=
∂∂
∂∂
∂
∂
∂
∂
=34
12
pb
aq
p
P
q
P
p
Q
q
Q
M ,
−=
−
+−=
01
10
08
803
3
bcpb
bcpb MJM T
es decir, 1,0 −== bc y a sin determinar.
c) Como la transformación es independiente del tiempo la nueva hamiltoniana se
obtiene de la substitución de las nuevas variables, P q −= y en la antigua
hamiltoniana:
2aP Q p −=
22224 )24()44(' Q P aQ P aa P H H ++−++−==
en la que tomando nos lleva a2=a22' Q P H += , formalmente la del oscilador armónico.
b.- Utilícese esto para encontrar una constante de movimiento para una partícula
en dos dimensiones bajo el potencial3
)(r
r ar V
⋅
= (siendo a
un vector constante
dado).
a) Para demostrar que 0=dt
df utilizaremos el formalismo de Poisson:
[ ] 0,111111111
=∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
== ∑= q
f
f
H
p
f
p
f
f
H
q
f
q
H
p
f
p
H
q
f
q
H
p
f
p
H
q
f H f f
ii
s
i ii
b) El hamiltoniano de una particula sometida al potencial del problema la podemos
escribir en coordenadas polares como:
32
22
22 r
r a
mr
p
m
p H r
⋅
++= θ , si elegimos el eje x
coincidiendo con el vector a podemos
escribir
mr
ma p
m
p
r
r a
mr
p
m
p H r r
2
22
32
22
2
cos2
2
cos
22
θ θ θ θ ⋅+=
⋅++= + de modo que podemos
escribir quemr
p2
,θ f
m
p p f pr H r
r
2
2
)(
2)),(,,( θ
θ θ += , con =),( θ θ p f θ θ cos22 ⋅+ p ma ,
constante del movimiento.
--------------------------------------------
25.- Sea θ ρ θ ρ ρ
θ ρ
222
2
2 sin2
1cos
2
1
2
1−−+= P P H
0=θ
, y para el instante inicial
)0( =θ P y 1== ρ ρ P . Sea θ ρ α θ ρ θ ρ sincos 2 P ),,,( 121 P P P S += una función
generatriz, siendo las nuevas coordenadas y momentos.2121 ,,, P P x x
a) Determinar los valores de α tales que el hamiltoniano de las nuevasvariables sea integrable.b) Utiliza la transformación para determinar el valor de ρ ρ ρ θ P P ,,, en el
tiempo π =t . NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:
Q F P q F pt Qq F F ∂∂−=∂∂== 1111 ,),,,( P F Qq F pt P q F F ∂∂=∂∂== 2222 ,),,,(
Q F P p F qt Q p F F ∂∂−=∂∂−== 3333 ,),,,( P F Q p F qt P p F F ∂∂=∂∂−== 4444 ,),,,(
Lo primero es expresar las viejas variables en función de las nuevas
θ ρ α θ ρ
θ α θ
θ
ρ
cossin
sincos
21
21
P P P
P P P
+−=
+=,
θ αρ
θ ρ
sin
cos
2
1
=
=
x
x, de lo que obtenemos que )0( ≠α
2
2
2
1
21 x x += α
α ρ
y después de algunos cálculos tenemos que
( )2
2
21
2
2
22
122
1
α α
x x P P K −−+= , que para cualquier valor de 0≠α es separable y por
, , que podemos integrar directamente por separado2
2
2
11
P x
P x
α =
=
B At t t x
At t P
++=
+=
2)(
)(
2
1
1
y ( )t t
t t
DeCet P
DeCet x
−
−
−=
+=
22
2
1)(
)(
α
.
Con las condiciones iniciales dadas obtenemos el valor de las constantes
0)0(,1)0(,0)0(,1)0( 2121 ==== P P x x , 0,1 ==== DC B A .
Por tanto para π =t tenemos que1
2)(
1)(
2
1
1
++=
+=
π π
π
π π
x
P
,0)(
0)(
2
2
=
=
π
π
P
x, que en las variables
originales da lugar a 12
2
++ π π
)()(,0)()( 1 ==== π π ρ π θ θ xt
0
1
=+=
θ
ρ π
P
P .
----------------------------------------------
26. Considere el hamiltoniano )sin( 2
2
2
12
2
2
2
2
1
2
1 qqq
p
q
p H +++= y la función generatriz
2
2
11
2
2
2
1
2 P q P
qqS +
+= .
a) Determinar la trasformación canónica asociada a la función S , en la región
.0, 21 >qqb) Determinar el nuevo hamiltoniano en función de .ii P Q ,
c) Dar las integrales primeras. Determinar las soluciones de la ecuación delmovimiento dadas por el nuevo hamiltonianod) Estudiar la posibilidad de obtener las soluciones a las ecuaciones delmovimiento en las variables originales a partir de la solución obtenida en c).NOTA: las siguientes fórmulas pueden serle de utilidad:
Q F P q F pt Qq F F ∂∂−=∂∂== 1111 ,),,,( P F Qq F pt P q F F ∂∂=∂∂== 2222 ,),,,(
Q F P p F qt Q p F F ∂∂−=∂∂−== 3333 ,),,,( P F Q p F qt P p F F ∂∂=∂∂−== 4444 ,),,,(
a) La función generatriz depende de las coordenadas originales ( ) y de los nuevos
momentos ( ), por tanto corresponde a y tenemos que
21 ,qq
21 , P P ),,(2 t P q F
2
12
2
2
2
11
2
qQ
qqQ
=
+=
122
21111 2
P q p
P q P q p
=
+=
Por lo que la trasformación canónica viene dada por
212
21
2 QQq
Qq
−±=
±= ( )
1212
2121
2
2
P QQ p
P P Q p
−±=
+±=, y para la región q tomaremos el signo
+.
0, 21 >q
b) Substituyendo el cambio en la expresión de H obtenemos el hamiltoniano en las
21 Q P P P K +++=c) La variable es cíclica, por lo que se conserva y el hamiltoniano no depende
del tiempo por lo que también es constante:
2Q 2 P
E K P == ,2 α .
El resto de ecuaciones del movimiento:
)(4),2cos(2 21
1
11
1
1 P P P K QQ
Q K P +=∂∂=−=∂∂−= (1)
De este modo
( ) ( ) )2sin(22)2sin(2 1
2
11
2
1
2
1 Q P Q P P E +++=+++= α α α
si definimos α +≡ 11' P P , tenemos que
2
)2sin(2' 11
Q E P
−−±=
α y
2
)2sin(24'4 1
11
Q E P
−−±==
α Q
con lo que reducimos el problema a la integral
∫ −−
±=)(
)0( 1
11
1 ))2sin(2(8
t Q
Q Q E
dQt
α
de cuya integración obtendríamos Q )(11 t Q=
A partir de esto y teniendo en cuenta (1) y )2(4 21
2
2 P P P
K Q +=
∂∂
= tenemos el resto en
función de ella y α =2 P :
α −= )(4
1)( 11 t Qt P α t Qt QQt 4)0()()0()( 1122Q +−+=
d) Como la transformación entre variables sólo es válida si
04)0()()0()( 1122 >+−+= α t Qt QQt Q
)()0()0(2)()(2 12121
04)0(1 >−−+−=− α t Qt QQQt Qt Q , hay que tener cuidado que no
siempre será válida.Podemos mencionar que en cuanto 0≠α y Q este acotado, el movimiento
terminará cruzando alguna de las fronteras.
)(1 t
----------------------------------------------
27.- a ) Mostrar, mediante cualquiera de los métodos posibles, que latransformación
−−
=
+=a
piaq
i P
a
piaq
iQ
2
1,
2
1
donde a es una constante, es canónica.
b) Aplicar esta transformación al oscilador armónico unidimensional deHamiltoniano
( )2222
2
1qwm p
m H +=
y encontrar un valor de la constante a que simplifique el nuevo Hamiltoniano(debe tener un único término).c) Encontrar las ecuaciones de Hamilton para Q y P y mostrar que permitenrecuperar las soluciones del oscilador armónico original.
II. Solución
a) Cualquiera de las opciones permite comprobar que es una transformacióncanónica:
Las ecuaciones de la mayoría de los sistemas mecánicos no pueden resolverse
exactamente, por lo que es importante desarrollar métodos que permitan obtener
soluciones aproximadas. Uno de ellos -muchas veces el único que permite soluciones
analíticas- es el de la teoría de perturbación, ampliamente utilizado en todas las ramas
de la física. La idea es resolver un sistema por medio de otro resoluble muy cercano a
él. El sistema a resolver se define entonces como una “perturbación” del segundo, lo
que permite ir aproximándonos paso a paso a la solución. El procedimiento usual define
esta perturbación como una serie -de igual modo que aproximamos una función
analítica por una serie de potencias- y el objetivo de la teoría es ir resolviendo
consistentemente cada término de la serie.
Como veremos, un cálculo perturbativo involucra pequeños parámetros. Por otra
parte, los métodos numéricos permiten en la actualidad resolver problemas con gran
precisión sin necesidad de restringirse al ámbito de pequeñas perturbaciones de un
sistema conocido. Eso hace pensar que la teoría de perturbación deja de tener sentido.
Sin embargo, no es así. Ésta sigue siendo necesaria como comprobante de los resultados
numéricos (por lo menos en el rango de parámetros pequeños) y para establecer una
buena comprensión teórica de estos mismos.
Procederemos en estas notas dividiendo la exposición en dos partes. En una
primera, se trata la teoría elemental de perturbaciones. Corresponde a la versión no
canónica de la perturbación dependiente del tiempo que se desarrolla en la sección 11-2
del Goldstein. Existe una buena razón para hacerlo así. La serie de Lindstedt -así se
denomina- es más fácil de entender que la alternativa canónica, además de poner demanifiesto en su génesis los problemas que pueden derivarse de una construcción
indebida de la serie perturbativa. Así, el alumno que lo desee, puede sustituir el estudio
de las seciones 11-2 y 11-3 del Goldstein por la sección que sigue.
La segunda parte de estas notas trata de aclarar el esquema básico de la teoría
canónica de perturbación independiente del tiempo (sección 11-4 del Goldstein). La
falta de tiempo nos obliga a detenernos en el cálculo en primer orden de perturbación en
sistemas de un solo grado de libertad. Con ello se ilustra la maquinaria básica, aunque,
Queda, consecuentemente, por resolver la ecuación (31). Lo hacemos
expandiendo y en serie de Fourier1S 1
~ H
( ) θ in
n
n J S S e11 ∑= (33)
( ) θ in
n
n J H H e~~
011 ∑
≠
= (34).
Sustituyendo en (31) vemos que, si ( ) 0≠ J ω , constante10 =S y
0,~
11 ≠= n
in
H S n
n (35)
Con esto queda completada la evaluación de la serie perturbativa hasta primer
orden de perturbación. La teoría de perturbación de Poincaré-Zeipel (que es así como se
llama) puede, en principio, evaluarse en cualquier orden de perturbación, aunque
órdenes mayores que el primero empiezan a ser muy tediosos. Existen métodos
acelerados de cálculo, así como técnicas más modernas (transformaciones de Lie), que
evitan las dificultades de la técnica de Poincaré-Zeipel. Evitan especialmente el
problema de la mezcla de variables nuevas y viejas que nos hemos encontrado en lasecuaciones (18)-(19). Sin embargo, las limitaciones de tiempo no nos van a permitir
abordar estas técnicas. Aquella persona que desee ampliar conocimientos puede ponerse
en contacto con el profesor de la asignatura para discutir este extremo.
Ejemplo
Para ilustrar el procedimiento anterior calcularemos el movimiento de libración
de un péndulo de longitud hasta primer orden. Recordemos su hamiltonianol
φ cos221 B p A H −=
con 21 ml A = y mgl B = . El problema es no-lineal y se puede resolver por cuadraturas,
dándonos un buen caso de prueba del rango de validez de nuestra aproximación.
Recordemos los dos movimientos admisibles, libración y rotación, separados por una