-
TECNOLGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL
ORIENTE DEL ESTADO DE MXICO
DIVISIN DE INGENIERA INDUSTRIAL
ELABORACIN DE CUADERNILLO DE APUNTES:
FISICA 2
ELABORADO POR:
ING. ROSALO MARTN MARN FERNNDEZ
LOS REYES, LA PAZ, ESTADO DE MXICO 2009.
GOBIERNO DEL
ESTADO DE MXICO
-
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
INDICE
Pg.
Unidad 1
Sistemas Coordenados y Clculo vectorial.
1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y
escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia,
rotacional y laplaciano
2
1.2 Coordenadas Cilndricas: Puntos, campos vectoriales y
escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia,
rotacional y laplaciano
9
1.3 Coordenadas Esfricas: Puntos, campos vectoriales y
escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia,
rotacional y laplaciano
18
1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro. 26
1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema
coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados
37
1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema
coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
38
1.5 Diferenciales de longitud, rea y volumen en los diferentes
sistemas de coordenadas.
40
1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos. 41
Unidad 2
Electrosttica
2.1 Campos electrostticos en vacio 46
2.1.1 Ley De Coulomb 48 e intensidad de campo elctrico
2.1.2 Campos Elctricos
debidos a distribuciones continas de carga 52
2.1.3 Densidad de flujo elctrico
53
2.1.4 Ley de Gauss 56 (Ecuacin de Maxwell). Aplicaciones de esta
ley
2.1.5 Potencial elctrico 59 . Relacin entre E y V (Ecuacin de
Maxwell).
2.1.6 El dipolo elctrico 60
http://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticosEnVaciohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeCoulombhttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeGausshttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/ElDipoloElectrico
-
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
2.1.7 Lneas de flujo elctrico
y superficies equipotenciales 62
2.1.8 Densidad de energa
en los campos electrostticos 64
2.2 Campos electrostticos 64 en el espacio material
2.2.1 Corriente de conduccin
y corriente de conveccin 64
2.2.2 Polarizacin en dielctricos constante y resistencia
dielctricas 64
2.2.3 Dielctricos lineales Isotrpicos y Homogneos 69
2.2.4 Ecuacin de continuidad
y tiempo de relajacin 77
2.2.5 Condiciones de frontera 77
2.3 Problemas valores en frontera 78 en electrosttica
Unidad 3
Campos magnetostticos
3.1 Campos magnetostaticos 80
3.1.1 Ley de Biot-Savart 81
3.1.2 Ley de Ampere de los circuitos (Ecuacin de Maxwell)
Aplicaciones Ley De Ampere
90
3.1.3 Densidad flujo magntico
(Ecuacin de Maxwell) 92
3.1.4 Potenciales magnticos escalares y vectoriales 95
3.2 Fuerzas en materiales y aparatos magnticos 95
3.2.1 Fuerzas debidas a los campos magnticos 98
3.2.2 Par de torsin y momento magnticos 99
3.2.3 El Dipolo magntico
, dipolo elctrico 100
3.2.4 Magnetizacin de materiales. magnticos
Clasificacin de los materiales 103
3.2.5 Condiciones de frontera magntica 104
3.2.6 Inductores e Inductancia energa magntica 105
3.2.7 Circuitos magnticos 107
http://www.mitecnologico.com/Main/LineasDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeEnergiahttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/CorrienteDeConduccionhttp://www.mitecnologico.com/Main/PolarizacionEnDielectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.mitecnologico.com/Main/DielectricosLinealesIsotropicosYHomogeneoshttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionDeContinuidadhttp://www.mitecnologico.com/Main/CondicionesDeFronterahttp://www.mitecnologico.com/Main/ProblemasValoresEnFronterahttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposMagnetostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeBiotSavarthttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeAmperehttp://www.mitecnologico.com/Main/AplicacionesLeyDeAmperehttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadFlujoMagneticohttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialesMagneticosEscalaresYVectorialeshttp://www.mitecnologico.com/Main/FuerzasEnMaterialesYAparatosMagneticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ParDeTorsionYMomentoMagneticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ElDipoloMagneticohttp://www.mitecnologico.com/Main/MagnetizacionDeMaterialeshttp://www.mitecnologico.com/Main/CondicionesDeFronteraMagneticahttp://www.mitecnologico.com/Main/InductoresEInductanciahttp://www.mitecnologico.com/Main/EnergiaMagneticahttp://www.mitecnologico.com/Main/CircuitosMagneticos
-
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
Unidad 4
Termodinmica
4.1 Ley Cero termodinmica 109 temperatura
4.2 Escalas de temperatura 110
4.3 Expansin trmica slidos y lquidos 112
4.4 Primera ley de termodinmica 113
4.4.1 Sistemas cerrados y abiertos 117
4.4.2 Interacciones calor y trabajo 118
4.4.3 Capacidad calorfica y calor especifico 119
4.4.4 Energa interna y entalpia 123
4.5 Modelo Gas Ideal 124
4.5.1 Calculo trabajo y de propiedades en procesos 134
4.6 Segunda ley de termodinmica 144
4.6.1 Entropa
147
4.6.2 Maquinas trmicas. Ciclo de Carnot
148
4.6.3. Potenciales termodinmicos. Relaciones de Maxwell
palabra relacin es
(aqu no lleva la
Ecuaciones de Maxwell)
155
4.6.4 Ecuaciones generales para cambio de Entropa 158
http://www.mitecnologico.com/Main/LeyCeroTermodinamicahttp://www.mitecnologico.com/Main/EscalasDeTemperaturahttp://www.mitecnologico.com/Main/ExpansionTermicaSolidosYLiquidoshttp://www.mitecnologico.com/Main/PrimeraLeyTermodinamicahttp://www.mitecnologico.com/Main/SistemasCerradosYAbiertoshttp://www.mitecnologico.com/Main/InteraccionesCalorYTrabajohttp://www.mitecnologico.com/Main/CapacidadCalorificaYCalorEspecificohttp://www.mitecnologico.com/Main/EnergiaInternaYEntalpiahttp://www.mitecnologico.com/Main/ModeloGasIdealhttp://www.mitecnologico.com/Main/CalculoTrabajoYDePropiedadesEnProcesoshttp://www.mitecnologico.com/Main/SegundaLeyTermodinamicahttp://www.mitecnologico.com/Main/Entropiahttp://www.mitecnologico.com/Main/MaquinasTermicashttp://www.mitecnologico.com/Main/CicloDeCarnothttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialesTermodinamicoshttp://www.mitecnologico.com/Main/RelacionesDeMaxwellhttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionesDeMaxwellhttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionesGeneralesParaCambioDeEntropia
-
1
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
INDICE
Pg.
Unidad 1
Sistemas Coordenados y Clculo vectorial.
1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y
escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia,
rotacional y laplaciano
02
1.2 Coordenadas Cilndricas: Puntos, campos vectoriales y
escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia,
rotacional y laplaciano
09
1.3 Coordenadas Esfricas: Puntos, campos vectoriales y
escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia,
rotacional y laplaciano
18
1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro. 26
1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema
coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados
37
1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema
coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
38
1.5 Diferenciales de longitud, rea y volumen en los diferentes
sistemas de coordenadas.
40
1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos. 41
-
2
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
1.1 Coordenadas cartesianas.
Historia
Se denominan plano cartesiano en honor a Ren Descartes
(1596-1650), el clebre filsofo y matemtico francs que quiso
fundamentar su pensamiento filosfico en la necesidad de tomar un
punto de partida sobre el que edificar todo el conocimiento. Como
creador de la geometra analtica, tambin comienza tomando un punto
de partida: el sistema de referencia cartesiano, para poder
representar la geometra plana con referencia a dos rectas
perpendiculares que se cortan en origen, ideando las denominadas
coordenadas cartesianas. Las coordenadas cartesianas de un vector
son equivalentes a la resolucin de sus vrtices
Sistema de coordenadas lineal.
Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse
con un nmero real, positivo si est situado a la derecha de O, y
negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra
O) corresponde al valor 0 (cero).
Corresponde a la dimensin uno, que se representa con el eje X,
en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa
con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido
positivo de las x: .
Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensin
uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes
espacios vectoriales; en ocasiones tambin se llama recta real
(fig.1.1.)
Fig.1.1.1 Recta
Sistema de coordenadas plano.
Con un sistema de referencia conformado por dos rectas
perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano
puede nombrarse mediante dos nmeros: (x, y) las coordenadas del
punto, llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a
los ejes cartesianos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Recta_real.svg
-
3
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0,
rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son,
obviamente, (0,0). Se denomina tambin abscisa al eje x y ordenada
al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los
que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo;
as por ejemplo las coordenadas del punto A sern ambas positivas,
mientras que las del punto B sern ambas negativas (fig. 1.2)
Fig. 1.1.2 Sistema de coordenadas cartesianas
Las coordenadas de un punto cualquiera vendrn dadas por las
proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno
de los ejes.
Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j)
como aquellos paralelos a los ejes y de mdulo (longitud) la unidad.
En forma vectorial, la posicin del punto A se define respecto del
origen con las componentes del vector OA.
La posicin del punto A ser:
http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_cartesianas.png
-
4
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Ntese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la
posicin de un punto como las componentes de un vector en notacin
matricial.
La distancia entre dos puntos cualesquiera vendr dada por la
expresin:
Aplicacin del teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo ABC.
Un vector cualquiera AB se definir restando, coordenada a
coordenada, las del punto de origen de las del punto de
destino:
Evidentemente, el mdulo del vector AB ser la distancia dAB
entre los puntos A y B antes calculada.
Sistema de coordenadas espacial.
Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas
perpendiculares entre s (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0,
0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres nmeros:
(x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias
ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las
parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente (fig. 1.3).
Fig. 1.1.3 Coordenadas cartesianas espaciales
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_cartesianas_espaciales.png
-
5
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0)
dividen el espacio en ocho octantes en los que como en el caso
anterior los signos de las coordenadas pueden ser positivos o
negativos.
La generalizacin de las relaciones anteriores al caso espacial
es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera
coordenada (z) para definir la posicin del punto.
Las coordenadas del punto A sern:
La distancia entre los puntos A y B ser:
El segmento AB ser:
Operacin con Vectores
Para realizar ciertas operaciones con los vectores se tiene que
conocer las propiedades de estos.
Igualdad de dos vectores: Dos vectores A y B pueden definirse
como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma
direccin. Es decir, A = B, slo si A = B y, los dos actan a lo largo
de direcciones paralelas.(fig. 1.4)
Fig. 1.1.4 Como lo podemos observar en esta imagen.
-
6
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Adicin:
Existen diferentes mtodos para calcular la suma de vectores,
entre los cuales se tienen los siguientes:
Cuando dos o ms vectores se suman todos deben tener las mismas
unidades.
El mtodo de adicin del tringulo se realiza cuando el vector A se
suma al vector B la resultante R es el vector que va desde el
origen de A hasta la punta de B (fig 1.5).
Fig. 1.1.5 Adicin del triangulo.
El vector que completa el polgono: Cuando se suman ms de dos
vectores, por ejemplo R = A + B + C + D la resultante R, es el
vector que va desde el origen del primer vector hasta la punta del
ltimo vector, en este caso de A hasta la punta de D (fig. 1.6).
Fig. 1.1.6 Vector que completa el polgono
-
7
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
La regla de adicin de paralelogramo: En este la construccin en
los orgenes de los dos vectores A y B estn juntos y el vector
resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A y B
(fig. 1.7)
Fig. 1.1.7 Adicin del paralelogramo.
Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son
las siguientes: La ley conmutativa y la asociativa.
Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo
cual le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede
observar a continuacin:
A + B = B + A
Fig. 1.1.8 Ley conmutativa.
-
8
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Cuando tres o ms vectores se suman, y su total es independiente
de la forma en la que se agruparon los vectores individuales. Lo
antes mencionado recibe el nombre de la ley asociativa de la
suma
A + (B + C) = (A + B) + C
(fig. 1.9).
Fig. 1.1.9 Ley asociativa de la suma.
Negativo de un vector: Es cuando se suma dos vectores con la
misma magnitud pero con diferente sentido, lo cual ocasiona que el
resultado de la operacin sea cero, como un ejemplo tenemos A + (-A)
= 0.
Sustraccin: Es la sustraccin de vectores se usa la definicin del
negativo de un vector. Esta operacin se da de la siguiente manera:
A - B en donde el vector - B sumado al vector A.( A - B = A + (-B)
) (fig. 1.10).
Fig. 1.1.10 Sustraccin de vectores
-
9
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Multiplicacin de un vector por un escalar:
Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva
m, el producto mA es un vector que tiene la misma direccin pero la
magnitud es mA. Si es m una cantidad escalar negativa, el vector mA
est dirigido opuesto a A.
1.2 Coordenadas Cilndricas
Las coordenadas cilndricas son un sistema de coordenadas para
definir la posicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una
distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin del
eje.
El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en
aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de
tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en tres
dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica
plana.
Un punto P en coordenadas cilndricas se representa por (,,z),
donde:
: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al
eje z, o bien la longitud de la proyeccin del radiovector sobre el
plano XY
: Coordenada acimutal, definida como el ngulo que forma con el
eje X la proyeccin del radiovector sobre el plano XY.
z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con
signo, desde el punto P al plano XY.
Fig. 1.2.1 Coordenadas cilndricas
http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Espaciohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ejehttp://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_planahttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Cylindrical_coordinate_surfaces.png
-
10
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Los rangos de variacin de las tres coordenadas son
La coordenada acimutal se hace variar en ocasiones desde - a +.
La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de
llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah, vuelve a aumentar,
pero aumenta o disminuye en radianes.
Analicemos el punto el punto (x,y,z)
Ahora construyamos un cilindro circular imaginario con eje del
cilindro sobre uno
de los ejes, que sin prdida de generalidad podra ser el eje
z
-
11
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Sea la distancia del origen al punto (x,y,z) y el ngulo formado
entre el eje X
y la proyeccin, P, del punto P
Por lo que podemos definir:
La coordenada z al estar asociada con la altura del cilindro no
cambia.
javascript:void(0)javascript:void(0)
-
12
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Analizando esta figura el plano X-Y en la figura, podemos
determinar cules son
los valores de :
Observemos que se forma el tringulo rectngulo entre los puntos
A, P y el origen
por lo que observamos es la hipotenusa del tringulo
javascript:void(0)
-
13
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Tambin podemos observar que la hipotenusa del tringulo rectngulo
es y que del teorema de Pitgoras tenemos:
y el ngulo puede quedar determinado, si conocemos x y y, de esa
forma:
Relacin con otros sistemas de coordenadas
Relacin con las coordenadas cartesianas
-
14
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Coordenadas cilndricas y ejes cartesianos relacionados.
Lneas y superficies coordenadas
Las lneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una
de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las
coordenadas cilndricas, estas son:
Lneas coordenadas : Semirrectas horizontales partiendo del eje
Z. Lneas coordenadas : Circunferencias horizontales. Lneas
coordenadas z: Rectas verticales
http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Cylindrical_with_grid.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_coordenadas_cilindricas.png
-
15
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado
sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este
sistema son:
Superficies =cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies
=cte.: Semiplanos verticales. Superficies z=cte.: Planos
horizontales.
Las lneas y superficies coordenadas de este sistema son
perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, ste es un
sistema ortogonal.
Base coordenada
A partir del sistema de coordenadas cilndricas puede definirse
una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores
tangentes a las lneas coordenadas. Esta nueva base puede
relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas
mediante las relaciones
e inversamente
En el clculo de esta base se obtienen los factores de escala
Disponiendo de la base de coordenadas cilndricas se obtiene que
la expresin del vector de posicin en estas coordenadas es
Ntese que no aparece un trmino . La dependencia en esta
coordenada est oculta en los vectores de la base.
Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas
http://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttp://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escala
-
16
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Diferenciales de lnea, superficie y volumen
Diferencial de lnea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas
cilndricas, viene dado por
Diferenciales de superficie
La expresin general de un diferencial de superficie en
coordenadas curvilneas es complicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie
coordenada, q3 = cte. el resultado es
y expresiones anlogas para las otras dos superficies
coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los
diferenciales de superficie son
=cte:
=cte:
z=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al
producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los
tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de
los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas cilndricas da
http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano
-
17
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano
poseen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. Estas
son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano
poseen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. Estas
son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
http://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Laplacianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Laplaciano
-
18
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Laplaciano
1.3 Coordenadas Esfricas
El sistema de coordenadas esfricas se basa en la misma idea que
las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posicin
espacial de un punto mediante una distancia y dos ngulos. En
consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres
magnitudes: el radio r, el ngulo polar o colatitud y el azimuth .
Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo
caso su margen es de 90 a 90 (de -/2 a /2 radianes), siendo el cero
el plano XY. Tambin puede variar la medida del acimut, segn se mida
el ngulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0 a 360 (0 a 2 en
radianes) o de 180 a +180 (- a ). Se debe tener en cuenta qu
convencin utiliza un autor determinado
Forma escalar de la ecuacin del momento lineal
A efectos de anlisis tericos y para la prediccin numrica del
tiempo, es necesario desarrollar la ecuacin vectorial del momento
lineal en sus componentes escalares. Debido a que la desviacin de
la forma de la Tierra respecto a una esfera puede despreciarse para
los propsitos meteorolgicos, es conveniente tambin desarrollar las
ecuaciones en coordenadas esfricas de manera que la superficie
(nivel) de la Tierra corresponda a una superficie coordenada. Los
ejes de coordenadas sern entonces , y , donde es la longitud, es la
latitud y es la distancia vertical por encima de la superficie
terrestre. Los vectores unitarios se dirigirn respectivamente hacia
el este, norte y
-
19
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
verticalmente hacia arriba. El sistema de coordenadas definido
de esta manera no es un sistema de coordenadas cartesianas, ya que
las direcciones de los vectores unitarios no son constantes, sino
que son funcin de la posicin sobre la esfera terrestre. Esta
dependencia posicional de los vectores unitarios debe tenerse en
cuenta al desarrollar el vector aceleracin en sus componentes sobre
la esfera. Como resultado se obtienen las componentes de la ecuacin
del momento lineal en las direcciones este, norte y vertical
respectivamente:
Los trminos proporcionales a 1/a (siendo a la distancia al
centro de la Tierra) se denominan trminos de curvatura, pues estos
trminos surgen como consecuencia de la curvatura terrestre. Para
los movimientos a escala sinptica
Las ecuaciones del movimiento son
en latitudes medias los trminos de curvatura pueden despreciarse
(ver el mdulo sobre Anlisis de escala de las Ecuaciones).
no lineales porque contienen productos de las componentes de la
velocidad y/o de las derivadas de las componentes de la velocidad,
lo cual hace muy difcil resolver las ecuaciones. Los trminos
advectivos de la aceleracin son de magnitud comparable a la
aceleracin local. La presencia de procesos de adveccin no lineales
complica y dificulta la Meteorologa Dinmica, pero tambin la
convierte en apasionante y de enorme inters
Analicemos el punto el punto (x,y,z)
Fig.1.3.1
ahora construyamos una esfera con centro la coordenada (0,0,0) y
de radio, la distancia del origen al punto. Sea tambin el ngulo
formado por el eje z y el radio.
http://rammb.cira.colostate.edu/wmovl/VRL/Tutorials/euromet/courses/glossary/synopti9.htm#shttp://rammb.cira.colostate.edu/wmovl/VRL/Tutorials/euromet/courses/glossary/advectio.htm#s
-
20
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Fig. 1.3.2
Analizando su proyeccin podemos, vemos que se forma un triangulo
rectngulo con vrtices el origen, el punto de proyeccin A y el punto
P, con hipotenusa el radio
Fig.1.3.3
Vemos que debido a que el tringulo descrito es un triangulo
rectngulo entonces la proyeccin sobre el plano X-Y es:
javascript:void(0)javascript:void(0)
-
21
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Fig. 1.3.4
Llamemos al ngulo entre el eje X y la proyeccin . Ahora
proyectemos sobre el eje X y sobre el eje Y, entonces,
tendremos:
Fig. 1.3.5.
Fig. 1.3.6
javascript:void(0)javascript:void(0)javascript:void(0)
-
22
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Para encontrar cul es el valor de Z analicemos la proyeccin de
sobre el eje Z, el cual, como vemos del tringulo rectngulo OPZ.
Fig. 1.3.7
Luego entonces las transformaciones quedan expresadas como:
Podemos fcilmente ver que como luego entonces las
transformaciones quedan expresadas como el radio de la esfera solo
es la distancia del origen al punto entonces:
De z podemos determinar como:
Una vez que hemos determinado tanto entonces podemos despejar de
x o de y
javascript:void(0)
-
23
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Coordenadas esfricas
Invencin norteamericana Hablando en trminos de coordenadas
cartesianas, la convencin usada por los matemticos de Estados
Unidos es:
P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen.
(colatitud o ngulo polar ) de 0 a 180 es el ngulo entre el eje z y
la
lnea que une el origen y el punto P, y (acimut o longitud) de 0
a 360 es el ngulo entre el eje X positivo y la
lnea que une el origen con la proyeccin del punto P en el plano
XY. Convencin no-norteamericana
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Spherical_coordinate_elements.svg
-
24
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Sin embargo, la mayora de los fsicos, ingenieros y matemticos no
norteamericanos intercambian los smbolos y , siendo:
la colatitud el acimut.
Esta es la convencin que se sigue en este artculo. En el sistema
internacional, los rangos de variacin de las tres coordenadas
son:
La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor
de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah, r; vuelve a
aumentar, pero pasa a valer - y aumenta o disminuye en
radianes.
Coordenadas geogrficas.
Coordenadas geogrficas
Este tipo de coordenadas se usa para nombrar puntos sobre una
superficie esfrica. Hay varios tipos de coordenadas geogrficas. El
sistema ms clsico y conocido es el que emplea la latitud y la
longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:
DD Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM
Degree:Minute (Grados:Minutos.Segundos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS
Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-
123:30:00
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficashttp://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Geographical1.png
-
25
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Otro sistema de coordenadas geogrficas habitual es el sistema de
coordenadas UTM.
Gradiente, divergente, rotacional y laplaciano
Diferencial de lnea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas
esfricas, viene dado por
Diferenciales de superficie
La expresin general de un diferencial de superficie en
coordenadas curvilneas es complicada. Sin embargo, para el caso de
que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado
es
y expresiones anlogas para las otras dos superficies
coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas esfricas, los
diferenciales de superficie son
r=cte:
=cte:
=cte: Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al
producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los
tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de
los tres factores de escala, por lo que
que para coordenadas esfricas da
Operadores diferenciales en coordenadas esfricas
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_UTMhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_UTMhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano
-
26
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano
poseen expresiones particulares en coordenadas esfricas. Estas
son:
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Laplaciano
1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro.
Cambios de coordenadas.
En la resolucin de problemas fsicos y matemticos es comn la
estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de
coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el
problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema
puede tener una forma equivalente pero ms simple, que permite
encontrar la solucin con mayor facilidad.
Ms formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por
un difeomorfismo o aplicacin biyectiva y diferenciable (con inversa
tambin diferenciable):
http://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Laplacianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciable
-
27
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir
integrales del siguiente modo:
Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en
trminos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de
transformacin tensorial:
Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden
considerarse dos transformaciones elementales: Traslacin (del
origen) y Rotacin (alrededor de un eje).
Traslacin del origen.
Fig. 1.4.1Traslacin del origen en coordenadas cartesianas
Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O
y ejes x e y
Y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:
Dado un segundo sistema de referencia S2
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Traslaci%C3%B3n_del_origen_en_coordenadas_cartesianas.png
-
28
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0, puntos
distintos, y los ejes x, x; e y, y paralelos dos a dos, y las
coordenadas de O, respecto a S1:
Se dice traslacin del origen, a calcular las coordenadas de A en
S2, segn los datos anteriores. Que llamaremos:
Dados los puntos O, O y A, tenemos la suma de vectores:
Despejando
Lo que es lo mismo que:
Separando los vectores por coordenadas:
Y amplindolo a tres dimensiones:
Rotacin alrededor del origen.
-
29
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
1.4.2 Rotacin alrededor del origen en coordenadas
cartesianas
Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y
ejes x e y:
y una base orto normal de este sistema:
Un punto A del plano, se representara en este sistema segn sus
coordenadas:
Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ngulo ,
respecto al primero:
Y con una basa orto normal:
Al clculo de las coordenadas del punto A, respecto a este
segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, lo
llamaremos rotacin alrededor del origen, siendo su
representacin:
Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ;
empleamos una denominacin u otra para indicar el sistema de
referencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rotaci%C3%B3n_alrededor_del_origen_en_coordenadas_cartesianas.png
-
30
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro
sistema s que son diferentes, y es lo que se pretende calcular.
La representacin de B1 en B2 es:
Dado que el punto A en B1 es:
Con la transformacin anterior tenemos:
Deshaciendo los parntesis:
Reordenando:
Como:
;
Tenemos que:
Como sabamos:
Por identificacin de trminos:
-
31
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Que son las coordenadas de A en B2, en funcin de las coordenadas
de A en B1 y de .
Clculo matricial.
Siendo [ T ] la matriz de transformacin y cuyas filas son
precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j '
respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas
son las componentes de los vectores unitarios originales en el
sistema de referencia rotado.
Escribir las formulas para transformar las coordenadas de
rectangulares a esfricas, de cilndricas a esfricas, esfricas a
cilndricas y de esfricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada
uno.
Rectangulares a esfricas
Cilndricas a esfricas
Esfricas a cilndricas
Esfricas a rectangulares
Ejemplo 1. (Rectangulares a esfricas)
Una ecuacin cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0.
Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta ecuacin se hace
directamente sustituyendo.
3x + 2y + 6z = 0
3 Sen Cos + 2 Sen Sen + 6 Cos = 0.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Matriz_de_transformaci%C3%B3n_(rotaci%C3%B3n).png
-
32
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Ejemplo 2. (Esfricas a rectangulares)
Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas de la superficie
siguiente, cuya ecuacin se ha expresado en coordenadas esfricas, e
identifique la superficie: Cos = 4.
z = 4.
La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades
por arriba de este.
Ejemplo 3. (Esfricas a cilndricas)
Convertir las coordenadas esfricas del punto en coordenadas
cilndricas.
Ejemplo 4. (Esfricas a rectangulares)
Convertir las coordenadas esfricas del punto en coordenadas
rectangulares.
Ejemplo 1:
Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, , z) =
(4,5/6,3).
Solucin:
Con las formulas de conversin de cilndricas a rectangulares
obtenemos.
X = 4 cos 5 / 6 = 4 (-3 / 2) = -2 (3).
Y = 4 sen 5 / 6 = 4 (1/2) = 2
Z = 3
As pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) =
(-2)( 3, 2, 2).
Ejemplo 2:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficies
cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin:
-
33
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
a. x2 + y2 =4z2b. y
2
= x
Solucin a)
Por la seccin procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2
es un cono con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por
r2
x
, obtenemos su ecuacin en cilndricas.
2 +y2 =4z2
r
ecuacin en coordenadas rectangulares.
2 = 4z2
Solucin b)
ecuacin en coordenadas cilndricas.
La superficie y2 = x es un cilindro parablico con generatrices
paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2
y
y x por r cos , obtenemos:
2
r
= x ecuacin rectangular.
2 sen2
r(r sen
= r cos sustituir y por sen , x por r cos .
2
r sen
cos ) = 0 agrupar terminos y factorizar
2
r =cos / sen
cos = 0 dividir los dos mienbros por r
2
r cosec ctg ecuacin en cilndricas.
despejar r
Ntese que esta ecuacin incluye un punto con r = 0, as que no se
ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.
Ejemplo 3:
Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la grafica
determinada por la ecuacin en cilndricas:
-
34
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
r2 cos 2 + z2
Solucin:
+ 1 = 0
r2 cos 2 + z2
r
+ 1 = 0 ecuacin en cilndricas
2 (cos2 sen2 ) + z2
r
= 0 identidad trigonometrica.
2 cos2 r2 sen2 +z2
X
= -1
2 y2 +z2
Y
= -1 sustituir r cos por x y r sen por y
2 x2 z2
Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.
= 1 ecuacin rectangular.
Coordenadas esfricas.
Es el sistema de coordenadas esfricas cada uno se representa por
un tro ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda
y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de
longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre
la superficie terrestre.
El sistema de coordenadas esfricas.
Es en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del
espacio viene representado por un tro ordenado (p, , ).
1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0.
2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para
r> 0.
3.- es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto
OP, 0 > < .
Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no
negativas.
La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas.
Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes:
Esfricas a rectangulares:
-
35
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
X =p sen cos , y= p sen sen , z = p cos .
Rectangulares a esfricas:
P2= x2 + y2 + z2, tg =y/x, = arcos (z/ x2 + y2 +z2
Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa,
deben aplicarse las formulas siguientes:
).
Esfricas a cilndricas (r > 0):
r2 =p2 sen2
Cilndricas a esfricas (r> 0):
, = , z = p cos.
P= r2 + z2, = , = arcos (z / r2 + z2
Las coordenadas esfricas son especialmente apropiadas para
estudiar superficies que tenga un centro de simetra.
).
Ejemplo 1:
Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas parar las superficies
cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.
a).- cono: x2 + y2 = z2
b).- esfera: -4z = 0
Solucin:
a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la
ecuacin dada se obtiene:
x2 + y2 = z2
p
2 sen2 cos2 + p2 sen2 sen2 =p2 cos2
p
2 sen2 (cos2 + sen2) =p2 cos2
p
2 sen2 = p2 cos2
-
36
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
sen2 / cos2
tg
= 1 p> 0
2
La ecuacin = /4 representa la mitad superior del cono y la
ecuacin = 3/4 su mitad inferior.
= 1 = /4 o = 3/4
b).-como p2 = x2 +y2 + z2
P
y z = p cos , la ecuacin dada adopta la siguiente forma en
coordenadas esfricas.
2
Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0,
obtenemos la ecuacin en esfricas.
4 p cos = 0 p (p -4 cos ) = 0
P -4 cos = 0 o p = 4cos
Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado,
transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
Coordenadas cilndricas y esfricas.
Coordenadas cilndricas.
Ya hemos tenido ocasin de comprobar que ciertas graficas
bidimensionales son ms fciles de representar en coordenadas polares
que en coordenadas rectangulares. Lo mismo ocurre con las
superficies. En esta seccin introducimos dos sistemas alternativos
de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de
coordenadas cilndricas, es una generalizacin de las coordenadas
polares en el espacio.
El sistema de coordenadas cilndricas.
En un sistema de coordenadas cilndricas, un punto p del espacio
se representa por un tro ordenado (r, , z).
1.- (r, ) son las coordenadas polares de la proyeccin de p sobre
el plano x y.
2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ).
-
37
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Para pasar de rectangulares a cilndricas, o viceversa, hay que
usar las siguientes formulas de conversin.
Cilndricas a rectangulares.
X = r cos , y = r sen , z = z
Rectangulares a cilindricas:
R2 =x2 + y2
El punto (0, 0,0) se llama el polo. Adems, como la representacin
de un punto en polares no es nica, tampoco lo es en cilndricas.
, tg =y/x, z = z.
1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema
coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
Campos escalares
Representa a una magnitud fsica que requiere de slo un nmero
para su identificacin. Se trata de un concepto que data del siglo
XIX. Su aplicacin est orientada a la descripcin de fenmenos
relacionados con la distribucin de temperaturas dentro de un
cuerpo, con las presiones en el interior de fluidos, con el
potencial electroesttico o con la energa potencial en un sistema
gravitacional. Las funciones de estos fenmenos no se pueden modelar
en un grfico, por requerirse cuatro dimensiones, y por eso mismo
dan pie para estudiar el espacio curvo en el cual cohabitamos. Son
tambin las herramientas optimizantes para aquellos casos donde
intervienen distintas variables.
Matemticamente, un campo escalar es una funcin, cuyo valor
depende del punto del espacio en que se considere, y se expresa de
la siguiente manera:
-
38
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
En que es un vector de coordenadas (cartesianas) (x, y, z), que
representa la posicin del observador en el espacio.
Un ejemplo recurrente e intuitivo, son las curvas de los mapas
bidimensionales de los topgrafos que representan topogrficamente a
una regin. El campo escalar que corresponde es el campo de altura H
(x, y), de una regin de la superficie de la tierra, en funcin de la
posicin de puntos sobre un plano proyectivo.
Evidentemente, se trata de un campo escalar en el espacio
bidimensional, en que la altura de un punto est dada por z = H (x,
y). 1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema
coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.
Campos vectoriales
Un campo vectorial es una construccin del clculo vectorial que
asocia un vector a cada punto en el espacio eucldeo.
Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la fsica para,
por ejemplo, modelar la velocidad y la direccin de un lquido mvil a
travs del espacio, o la intensidad y la direccin de una cierta
fuerza, tal como la fuerza magntica o la gravitatoria, pues cambian
punto a punto.
En el tratamiento matemtico riguroso, los campos vectoriales se
definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado
tangente de la variedad.
Rn Rn que Un campo vectorial es en Rn es una aplicacin F : A
asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F
se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo
vectoriales del espacio.
Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto. En Rn R que
asigna un nmero a cada punto es un contraste, una aplicacin f : A
campo escalar. Un
-
39
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
campo vectorial F (x, y, z) en R3 tiene tres campos escalares
componentes F1, F2 y F3, as que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y,
z), F3(x, y, z)).
De manera anloga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1,
, Fn. Si cada componente es una funcin Ck, decimos que el campo
vectorial F es de clase Ck. Se dar por hecho que los campos
vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo
contrario.
Fig. Visualizar F con una flecha.
La siguiente definicin presenta uno de los campos vectoriales ms
importantes de la fsica.
-
40
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
1.5 Diferenciales de longitud, rea y volumen en los diferentes
sistemas de coordenadas.
Diferenciales de lnea, superficie y volumen
Diferencial de lnea
Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas
cilndricas, viene dado por
Diferenciales de superficie
La expresin general de un diferencial de superficie en
coordenadas curvilneas es complicada.
Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie
coordenada, q3 = cte. el resultado es
y expresiones anlogas para las otras dos superficies
coordenadas.
En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los
diferenciales de superficie son
=cte:
=cte:
z=cte:
Diferencial de volumen
El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al
producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los
tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de
los tres factores de escala, por lo que
http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano
-
41
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
que para coordenadas cilndricas da
1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos.
Gradiente
El gradiente de un campo escalar en un punto es un vector,
definido como el nico que permite hallar la derivada direccional en
cualquier direccin como siendo un vector unitario y la derivada
direccional de en la direccin de, que informa de la tasa de
variacin del campo escalar al desplazarnos segn esta direccin:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el nico
vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento
infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:
Con la definicin anterior, el gradiente est caracterizado de
forma unvoca.
El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del
operador nabla:
-
42
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro,
los cuales representan valores bajos o altos respectivamente, y el
gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.
Divergencia
Divergencia de un campo mide la tendencia de dicho campo
vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos. La
divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define
como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:
Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el
lmite. El smbolo representa el operador nabla.
Esta definicin est directamente relacionada con el concepto de
flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un
punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la
divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo ms
caracterstico lo dan las cargas elctricas, que dan la
-
43
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
divergencia del campo elctrico, siendo las cargas positivas
manantiales y las negativas sumideros del campo elctrico.
Magnitudes Escalares:
Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un
valor numrico, acompaado de la unidad de medida correspondiente.
(Ver ejemplo).
Magnitudes Vectoriales:
Son aquellas en las que, adems de un valor numrico, se necesitan
otros detalles. Direccin, sentido y mdulo son los requisitos
necesarios para definirlas.(Ver ejemplo).
Ejemplo de magnitud escalar: Masa, tiempo, temperatura.
Ejemplo de magnitud vectorial: Velocidad, aceleracin,
fuerza.
Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se
obtiene a partir de la divergencia de
La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a
travs del teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Cuando la
definicin de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en
coordenadas cartesianas.
El resultado es sencillo
Sin embargo, para un caso ms general de coordenadas curvilneas,
como las cilndricas o las esfricas, la expresin se complica debido
a la dependencia de los
-
44
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
vectores de la base con la posicin. La expresin para un sistema
de coordenadas ortogonales es:
Donde los hi son los factores de escala del sistema. Esta frmula
general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1)
se reduce a la expresin anterior. Para coordenadas cilndricas ( )
resulta
Para coordenadas esfricas ( ) resulta
-
45
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Unidad 2
Electrosttica
2.1 Campos electrostticos en vacio 46
2.1.1 Ley De Coulomb 48 e intensidad de campo elctrico
2.1.2 Campos Elctricos
debidos a distribuciones continas de carga 52
2.1.3 Densidad de flujo elctrico
53
2.1.4 Ley de Gauss 56 (Ecuacin de Maxwell). Aplicaciones de esta
ley
2.1.5 Potencial elctrico 59 . Relacin entre E y V (Ecuacin de
Maxwell).
2.1.6 El dipolo elctrico 60
2.1.7 Lneas de flujo elctrico
y superficies equipotenciales 62
2.1.8 Densidad de energa
en los campos electrostticos 64
2.2 Campos electrostticos 64 en el espacio material
2.2.1 Corriente de conduccin
y corriente de conveccin 64
2.2.2 Polarizacin en dielctricos constante y resistencia
dielctricas 64
2.2.3 Dielctricos lineales Isotrpicos y Homogneos 69
2.2.4 Ecuacin de continuidad
y tiempo de relajacin 77
2.2.5 Condiciones de frontera 77
2.3 Problemas valores en frontera 78 en electrosttica
http://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticosEnVaciohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeCoulombhttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeGausshttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/ElDipoloElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/LineasDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeEnergiahttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/CorrienteDeConduccionhttp://www.mitecnologico.com/Main/PolarizacionEnDielectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.mitecnologico.com/Main/DielectricosLinealesIsotropicosYHomogeneoshttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionDeContinuidadhttp://www.mitecnologico.com/Main/CondicionesDeFronterahttp://www.mitecnologico.com/Main/ProblemasValoresEnFrontera
-
46
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
2.1 CAMPOS ELECTROSTATICOS EN EL VACIO.
Campo electrosttico
Las cargas elctricas no precisan de ningn medio material para
influir entre ellas y por ello las fuerzas elctricas son
consideradas fuerzas de accin a distancia. En virtud de ello se
recurre al concepto de campo electrosttico para facilitar la
descripcin, en trminos fsicos, de la influencia que una o ms cargas
ejercen sobre el espacio que las rodea.
El concepto de campo
El concepto de campo surge ante la necesidad de explicar la
forma de interaccin entre cuerpos en ausencia de contacto fsico y
sin medios de sustentacin para las posibles interacciones. La accin
a distancia se explica, entonces, mediante efectos provocados por
la entidad causante de la interaccin, sobre el espacio mismo que la
rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles.
As, ser posible hacer corresponder a cada punto del espacio valores
que dependern de la magnitud de la propiedad del cuerpo que provoca
la interaccin y de la ubicacin del punto que se considera.
El campo elctrico representa, en cada punto del espacio afectado
por la carga, una propiedad local asociada al mismo. Una vez
conocido el campo en un punto no es necesario saber qu lo origina
para calcular la fuerza sobre una carga u otra propiedad
relacionada con l.
As, si se coloca una carga de prueba en un punto cualquiera del
espacio en donde est definido un campo elctrico, se observar la
aparicin de atracciones o de repulsiones sobre ella. Una forma de
describir las propiedades de este campo sera indicar la fuerza que
se ejercera sobre una carga determinada si se trasladara de un
punto a otro del espacio. Al utilizar la misma carga de prueba es
posible comparar la intensidad de las atracciones o repulsiones en
los distintos puntos del campo. La carga de referencia ms simple, a
efectos de operaciones, es la carga unidad positiva. La fuerza
elctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la
carga unidad positiva, tomada como elemento de comparacin, recibe
el nombre de intensidad del campo elctrico y se representa por la
letra E. Por tratarse de una fuerza, la intensidad del campo
elctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su mdulo
E y por su direccin y sentido.
Interacciones entre dos cargas Q y q
http://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Acci%C3%B3n_a_distancia
-
47
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Interacciones entre Q y q.
Fig.2.1.1
Considrese una carga Q fija en una determinada posicin (ver
figura 2.1.1). Si se coloca otra carga q en un punto P1
Si la carga q se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como
P
, a cierta distancia de Q, aparecer una fuerza elctrica actuando
sobre q.
2, P3
Obsrvese en la figura que el campo elctrico es originado en los
puntos P
etc., evidentemente, en cada uno de ellos, tambin estara
actuando sobre q una fuerza elctrica, producida por Q. Para
describir este hecho, se dice que en cualquier punto del espacio en
torno a Q existe un campo elctrico originado por esta carga.
1, P2, P3
El campo elctrico puede representarse, en cada punto del
espacio, por un vector, usualmente simbolizado por
etc., por Q, la cual, naturalmente, podr ser tanto positiva (la
de la figura) como negativa. La carga q que es trasladada de un
punto a otro, para verificar si en ellos existe, o no, un campo
elctrico, se denomina carga de prueba.
y que se denomina vector campo elctrico.
El mdulo del vector en un punto dado se denomina intensidad del
campo elctrico en ese punto. Para definir este mdulo, considrese la
carga Q de la figura, generando un campo elctrico en el espacio que
la rodea. Colocando una carga de prueba q en un punto P1, se ver
que sobre ella acta una fuerza elctrica. La intensidad del campo
elctrico en P1 estar dada, por definicin, por la expresin:
La expresin anterior permite determinar la intensidad del campo
elctrico en cualquier otro punto, tales como P2, P3, etc. El valor
de E ser diferente para cada uno de ellos.
-
48
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
De obtenemos , lo cual significa que si se conoce la intensidad
del campo elctrico en un punto, es posible calcular, usando la
expresin anterior, el mdulo de la fuerza que acta sobre una carga
cualquiera ubicada en aqul punto.
2.1.1 ley de coulomb e intensidad del campo
Conforme a la ley de Coulomb la fuerza de interaccin de dos
cargas elctricas puntiformes es directamente proporcional al
producto de la cantidad de electricidad en estas cargas,
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y
depende del medio en el cual se hallan las cargas,
F = q1 . q
42
ar2
siendo F la fuerza de interaccin de las cargas puntiformes, en N
*; q1 y q2 r la distancia entre las cargas, en m;
, la cantidad de electricidad en las cargas, en C**
aLa magnitud
la permitividad absoluta del medio, en F/m. a = 0
, siendo la permitividad relativa: una magnitud
adimensional.
o
una constante elctrica igual a la permisividad absoluta del
vaco,
o = 8,86. 10-12
La permitividad relativa =
F/m.
a
puede calcularse por la frmula 0
F med
= F vac
Siendo Fvac la fuerza de interaccin de las cargas elctricas en
el vaco, en N;
-
49
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Fmed la fuerza de interaccin de las cargas elctricas en
cualquier medio, en N. Permitividad relativa de los materiales Aire
............................... 1 Aire ............................
1 Micalex. . . . . . . . . . . . . 7 - 9 Mrmol ...................
7,5-10 Baquelita. . . . . . . . . . . . 3,8 - 5
Parafina.................. 2, 1-2,2 Micarta A y B ........... 7-8
Mica .......................... 6-7 C-irbolito ..................
3-5 Ebonita................... 2,5-3 Batista barnizada . . 3, 5 - 5
Papel parafinado... .... 2,2 Vidrio orgnico ..... 3.2-3,6 Porcelana
............... 5,5-6.5 Goma en hojas ...... 2,6-3,5 Poliestireno
............. 1,05 Vidrio ..................... 5,5-10 * 1 N= 102
gf ** 1 C=6,3 . 1018
cargas de electrn.
La razn del trabajo consumido al transportar una carga elctrica
de 1 C desde un punto dado del campo elctrico hasta el infinito, se
llama potencial en este punto: = A q Siendo = el potencial, en V;
A= el trabajo, en J: q = la cantidad de electricidad, en C. Al
transportar una carga elctrica desde un punto de un campo con
potencial V1 hasta un punto de otro campo con potencial V2
se realiza el trabajo
A = q (1 - 2
).
Siendo = la diferencia de potenciales, en V - la intensidad de
un campo elctrico se define como la razn de la fuerza con
la que el campo acta sobre la carga elctrica insertada en sus
lmites, a la magnitud de esta carga: E = F q Siendo E la Intensidad
del campo elctrico, en V/m;
-
50
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
F la fuerza con la que el campo acta sobre la carga en N q la
cantidad de electricidad, en C. La resistencia elctrica que
caracteriza al poder del dielctrico de oponer resistencia a la
perforacin, se determina de acuerdo con la frmula Eresist = U d
Siendo Eresist = la resistencia elctrica, en V/m; d = el espesor
del dielctrico, en m; U= la tensin, a la cual se perfora el
dielctrico, en V.
Resistencia elctrica de los dielctricos
Resistencia elc- Dielctrico trica del dielctri- co, en kv/m
Aire. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. ... 3000 Papel para
cable...................... 6 000- 9 000
Mrmol................................... 2 000- 3 000
Parafina.................................. 15000- 50000
Mica....................................... 120 000-200 000
Porcelana................................ 6 000- 10 000
Vidrio..................................... 10 000- 40 000
Intensidad de Campo Elctrico
La intensidad de campo elctrico E, es la fuerza por unidad de
carga que va a operar sobre un punto cargado positivamente.
-
51
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
E = F/q (4)
Despejando la fuerza de la (4), para una q1
F = q
:
1
Si de (1) tenemos:
.E (5)
F = k.q1.q2
Reemplazando (5) en (1):
/d (1)
q1.E = k.q1.q2/d entonces E = k.q2/d (6)
Ejemplo:
EB = k0.q/d ; EB = 9.109 N.m .1 C/(1 m) .C : EB = 9.109
E
N/C
C = k0.q/d ; EC = 9.109 N.m .1 C/(2 m) .C : EC = 9.109
E
N/4 C
C = EB
Supongamos que A emite 9.10
/4 # Ley de variacin en funcin de la distancia, en un campo
elctrico.
9
4..r = 4..m
lneas de campo elctrico, como B es esfera, la superficie es:
Entonces:
En B sera: 9.109 lneas.4..m = 3,6.109
En C sera: 9.10
..m lneas
9 lneas.16..m = 1,44.1010
El nmero de lneas N que pasa por cualquier superficie esfrica
es:
..m lneas
N = 4..r /4.. 0.r
-
52
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
N = 4..r .k0.q/r como k0 = 1/4..
N = 4..r q/4..
0
0
N = q/ 0 = 4..k0.q (Ley de Gauss)
.r
El nmero de lneas no se pierde, es siempre el mismo y vale para
cualquier geometra cerrada.
Formas de campos elctricos
Se visualizan a travs de lneas de fuerza.
2.1.2 campos elctricos debido a distribucin continua de
cargas.
El concepto de campo electrosttico facilita la descripcin, en
trminos fsicos, de la influencia que una o ms cargas elctricas
ejercen sobre el espacio que les rodea. Para una distribucin
continua lineal de carga puede ser calculado cmo se indica.
Si se dispone de una distribucin lineal continua de carga, el
campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo
la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el
campo d E que produce cada elemento en el punto en cuestin,
tratndolos como si fueran cargas. La magnitud de d E est dada
por:
http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Campo_electrost%C3%A1tico&action=edit&redlink=1http://es.wikibooks.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica
-
53
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando;
esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los
elementos de carga, o sea,
Si la distribucin continua de carga que se considera tiene una
densidad lineal de
carga , entonces .
Por lo tanto,
2.1.3Densidad de flujo elctrico
En electromagnetismo el desplazamiento elctrico es un campo
vectorial = D(r,t), en funcin de la posicin en el espacio = r y del
tiempo t, o
tambin = D(r,) en funcin de la posicin en el espacio = r y la
frecuencia , que aparece en las ecuaciones de Maxwell. Es una
generalizacin del campo elctrico en presencia de un dielctrico. A
veces tambin se denomina como campo de desplazamiento elctrico o
densidad de flujo elctrico.
En la mayor parte de los materiales puede ser calculado como
donde es la permitividad elctrica del material, que en un medio
lineal, no isotrpico es un tensor de segundo orden (una
matriz).
Flujo del campo elctrico
El flujo del campo elctrico es una medida del nmero de lneas de
fuerza que atraviesan una superficie dada.
http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Densidad_de_carga&action=edit&redlink=1http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Densidad_de_carga&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Electromagnetismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwellhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Diel%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividad_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Isotrop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor
-
54
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Como ya sabemos, toda superficie puede representarse mediante un
vector S, perpendicular a ella y cuyo mdulo sea el rea
(Interpretacin geomtrica del producto vectorial).
El n de lneas que atraviesan una superficie depende de la
orientacin relativa de la superficie respecto al campo. Si el campo
es perpendicular a la superficie (y por tanto E paralelo a S el
flujo es mximo y si son paralelos (E perpendicular a S) es
nulo.
Estos resultados coinciden con la definicin de producto escalar
= E.S Nm/C.
Esta explicacin es vlida si el campo E es uniforme. Si no es as,
hay que dividir la superficie en elementos diferenciales dS con
carcter infinitesimal de forma que E se pueda considerar constante.
Por tanto d = E.dS.
Se define el flujo como = S E.dS
Densidad de carga elctrica.
A pesar de que las cargas elctricas son cuantizadas y, por ende,
mltiplos de una carga elemental, en ocasiones las cargas elctricas
en un cuerpo estn tan cercanas entre s, que se puede suponer que
estn distribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman
parte. La caracterstica principal de estos cuerpos es que se los
puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace ms
-
55
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
fcil, sin perder generalidad, su tratamiento. Se distinguen tres
tipos de densidad de carga elctrica: lineal, superficial y
volumtrico.
Densidad de carga lineal.
8
Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.
Donde Q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema
Internacional de Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por
metro).
Densidad de carga superficial.
Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metlica
delgada como el papel de aluminio.
Donde Q es la carga del cuerpo y S es la superficie. En el SI se
mide en C/m2metro cuadrado
(culombios por ).
Densidad de carga volumtrica.
Se emplea para cuerpos que tienen volumen.
donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el SI se mide
en C/m3metro cbico
(culombios por ).
http://es.wikipedia.org/wiki/Superficiehttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica#cite_note-7http://es.wikipedia.org/wiki/Linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Culombiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficiehttp://es.wikipedia.org/wiki/Aluminiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_c%C3%BAbico
-
56
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
2.1.4 LEY DE GAUSS (ECUACION DE MAXELL) APLICASION DE ESTA
LEY.
En fsica y en anlisis matemtico, la ley de Gauss relaciona el
flujo elctrico a travs de una superficie cerrada y la carga
elctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, tambin
relaciona la divergencia del campo elctrico con la densidad de
carga.
El flujo (smbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial
referida a una superficie hipottica que puede ser cerrada o
abierta. Para un campo elctrico, el flujo ( ) se mide por el nmero
de lneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir a con precisin considrese la figura, que muestra
una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo elctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales ,
cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeo como para que
pueda ser considerado plano. Estos elementos de rea pueden ser
representados como vectores , cuya magnitud es la propia rea, la
direccin es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental tambin es posible trazar un vector de
campo elctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeos como se
quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un
cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ngulo entre s y la
figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:
O sea:
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo
-
57
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
La ley de Gauss establece que el flujo elctrico total a travs de
una superficie cerrada es proporcional a la carga elctrica total
encerrada dentro de la superficie. La constante de proporcionalidad
es la permitividad del vaco.
Matemticamente, la ley de Gauss toma la forma de una ecuacin
integral:
Alternativamente, en forma diferencial, la ecuacin es
La Ley de Gauss Esta ley fue establecida por Karl Friedrich
Gauss (1777 1855), y establece que el flujo elctrico neto a travs
de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta de la
superficie dividida por la permitividad elctrica del medio (Figura
3):
(11)
Donde:
E: vector campo elctrico, N/m
dS: vector diferencial de superficie, m
q: carga encerrada en la superficie Gaussiana, Coul
2
: permitividad elctrica del medio, 8,85 x 10-12
Figura 3. Superficie Gaussiana en donde se percibe el vector
diferencial de rea y el vector campo elctrico. Detalle como dentro
de la superficie se encuentra una carga elctrica.
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)
-
58
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Potencial elctrico Se refiere a la energa potencial por unidad
de carga.
Potencial debido a una carga puntual
(12)
Donde:
V: potencial elctrico, Voltio
q: carga elctrica, Coulomb
r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de
estudio, m
: constante de permitividad elctrica del medio,
Potencial debido a una distribucin discreta
(13)
Donde:
V: potencial elctrico, Voltio
qi: carga elctrica del elemento i, Coulomb
r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de
estudio i, m
: constante de permitividad elctrica del medio,
Potencial elctrico debido a una distribucin continua
(14)
Donde:
V: potencial elctrico, Voltio
dq: elemento diferencial de carga, Coulomb
r: distancia entre la carga generadora del campo y el
diferencial de carga, m
: constante de permitividad elctrica del medio,
El potencial elctrico se relaciona con el campo elctrico
por:
-
59
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
(15)
Donde:
Vab: diferencia de potencial entre dos puntos a y b, Voltios
E: vector campo elctrico, N/m
dx: vector desplazamiento, m
2.1.5 POTENCIAL ELECTRICO. RELACION ENTRE E Y V.
El potencial elctrico en un punto es el trabajo que debe
realizar una fuerza elctrica (ley de Coulomb) para mover una carga
positiva "q" desde el infinito (donde el potencial es cero) hasta
ese punto. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una
fuerza externa para traer una carga unitaria "q" desde el infinito
hasta el punto considerado en contra de la fuerza elctrica.
Matemticamente se expresa por:
Considrese una carga de prueba positiva, la cual se puede
utilizar para hacer el mapa de un campo elctrico. Para tal carga de
prueba localizada a una distancia r de una carga q, la energa
potencial electrosttica mutua es:
De manera equivalente, el potencial elctrico es =
Diferencia de potencial y potencial en el campo elctrico.
V1 - V2 = (Ep1 - Diferencia de potencial es la variacin de la
energa
http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulomb
-
60
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Ep2)/q2 potencial por unidad de carga positiva.
La referencia para tomar los potenciales la tomamos en el , y
por tanto el potencial en un punto V1 = q1/4..1
Trabajo que se realiza para llevar la unidad de carga ms al
W = q2.(V1 - V2)
Podemos escribir
Ep = - F.dr; F = - dEp/dr. Si dividimos por q2, F/q2 =
-dEp/q2.dr; F/q2 = -dV/dr
E = -dV/dr. En forma vectorial E = - (dV/dr)uF
dV = -E.dr; V2 - V1 = - E.dr; V1 - V2 = E.dr
Si el campo es uniforme d = r2 - r1
W = q2.(V1 - V2) E = (F/q2) F = E.q2 W = Eq2d
q2.(V1 - V2) = q2Ed V1 - V2 = Ed = E.(r2 - r1)
2.1.6 EL DIPOLO ELCTRICO
DIPOLOS Y POLARIZACION
Fenmeno superficial que se presenta en los aisladores o materia
elctricamente neutra.
Dipolo antes de aplicar un campo elctrico
Dipolo luego de aplicar un campo elctrico
-
61
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Hay dipolos que al retirar el campo elctrico quedan polarizados
permanentemente y otros en cambio pierden la polarizacin.
Los dipolos se utilizan entre las placas de los capacitores.
Al colocar un dipolo entre dos placas de un capacitor, se
requiere menos trabajo para transportar una carga y, por lo tanto
aumenta la capacidad de este.
Colocando mercurio entre las placas:
E = 0 V = C
Si colocamos aceite entre las placas:
Habr distribucin superficial.
E 0 V = C
Constante dielctrica
K = C/C0
K: constante dielctrica.
C0: capacidad en el vaco.
C: capacidad con dipolo.
-
62
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
C = . 0.A/s
Para aplicar la ecuacin, el dipolo, ante un campo elctrico, debe
comportarse igual en todas direcciones, tener en cuenta
deformaciones de bordes.
2.1.7 LINEAS DE FLUJO ELECTRICO Y SUPERFICIES
EQUIPOTENCIALES.
Nagelschmidt verific cmo el flujo de estas corrientes en el
interior del organismo escoge siempre el camino ms breve, ya que de
esta forma se vencen mejor las resistencias que los tejidos ejercen
a su paso.
Las lneas a travs de las cuales la corriente se dirige de una
electroplaca a la otra han sido denominadas por los fsicos lneas de
flujo elctrico. En funcin del dimetro de las electroplacas, las
lneas de flujo elctrico que se crean sern ms o menos compactas, as
como el calor que se genera ser ms o menos intenso. Concretamente,
se generar ms temperatura en la parte que corresponde a la
electroplaca pequea respecto a la que la que se genera en la
electroplaca grande.
Suponiendo que los tejidos tratados sean homogneos, las lneas
del flujo se reparten en funcin del posicionamiento de las
placas.
Una superficie equipotencial es el lugar geomtrico de los puntos
de un campo escalar en los cuales el potencial de campo es
constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse
empleando la ecuacin de Poisson.
El caso ms sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el
que hay una masa puntual: las superficies equipotenciales son
esferas concntricas alrededor de dicho punto. El trabajo realizado
por esa masa siendo el potencial constante, ser pues, por
definicin, cero. En el caso del campo magntico generado por un
conductor rectilneo, las superficies equipotenciales sern cilindros
concntricos cuyo eje ser precisamente el del conductor. Las curvas
de nivel de estos cilindros son las que generan las Lnea
equipotenciales en el plano x-y.
http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Potencial_de_campo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Masahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esferahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnetismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Linea_equipotencial&action=edit&redlink=1
-
63
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Superficies equipotenciales
Son superficies que en todos sus puntos tienen el mismo
potencial.
Si r = cte y = cte entonces V = cte. Todas las superficies
equipotenciales son esfricas (Si solo hay una carga)
Propiedades
a) Dos superficies equiescalares no se pueden cortar.
b) El trabajo para desplazar una carga dq a lo largo de una
superficie equipotencial es 0.
dW = dq (V1-V2) V1=V2 dW = 0
c) El campo elctrico ( vector campo ) es perpendicular en todos
su puntos a una superficie equipotencial.
dW = F.dr = dq.E.dr.cos .
Por propiedad b) el W = 0
0 = dqEdr cos
cos [Ey.dr] = 0 y por ta nto E perpendicular a dr #0 = 0
Campo, potencial y carga en el interior de un conductor cargado
en equilibrio elctrico y en su superficie.
Como ya vimos, el campo en el interior de un conductor en
equilibrio debe ser 0, ya que si no fuera as sus cargas no estaran
en reposo, no estara en equilibrio. Toda la carga est en su
superficie. E = 0.
Potencial V1-V2= Ed = 0 V1 = V2
Esto es porque V1- V2 = Ed = 0
-
64
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Todos los puntos del conductor cargado y en equilibrio estn
siempre en el mismo potencial. Si todos los puntos estn al mismo
potencial, la superficie es equipotencial.
2.1.8 DENSIDAD DE ENERGIA EN LOS CAMPOS ELECTROSTTICOS.
Si consideramos un sistema cerrado constituido por un campo
electromagntico y un conjunto de partculas inmerso en el mismo, se
mantiene constante en el tiempo la energa total del sistema, suma
de la energa de las partculas y la energa del propio campo. Cmo
podemos calcular la energa del campo electromagntico en dicho
sistema cerrado?. Veamos que, partiendo de las ecuaciones de
Maxwell, es posible la determinacin sencilla de dicha energa por
unidad de volumen, es decir, la densidad de energa del campo.
2.2 Campos electrostticos
2.2.1
en el espacio material
Corriente de conduccin2.2.2
y corriente de conveccin Polarizacin en dielctricos constante y
resistencia
dielctricas
Existen dos tipos de molculas las
molculas polares y las molculas no polares. Las molculas polares
son aquellas en las que no coincide el centro de distribucin de
cargas positivas y el de las negativas, el ejemplo ms significativo
es el agua. Los iones hidrgeno no estn alineados y dispuestos
simtricamente a uno y otro lado del in oxgeno, sino que tienen una
disposicin triangular.
Las molculas no polares son aquellas en las que coincide el
centro de distribucin de las cargas positivas y negativas. Las
molculas de oxgeno, nitrgeno, compuestas por dos tomos iguales
pertenecen a esta categora.
Las molculas polares bajo la accin de un campo elctrico
experimentan un par de fuerzas que tienden a orientarlas en el
sentido del campo. Las molculas no polares, se hacen polares en
presencia de un campo elctrico, ya que las fuerzas sobre cada tipo
de carga son iguales y de sentido contrario.
http://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/CorrienteDeConduccionhttp://www.mitecnologico.com/Main/PolarizacionEnDielectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dielectrico/dielectrico.htm#Teora
molecular de las cargas inducidas
-
65
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Los dielctricos se emplean en los condensadores para separar
fsicamente sus placas y para incrementar su capacidad al disminuir
el campo elctrico y por tanto, la diferencia de potencial entre las
mismas. La constante dielctrica es la propiedad que describe el
comportamiento de un dielctrico en un campo elctrico y permite
explicar, tanto el aumento de la capacidad de un condensador como
el ndice de refraccin de un material transparente.
Con el programa interactivo de esta pgina, experimentaremos con
un modelo de sustancia dielctrica consistente en un nmero pequeo,
pero suficiente de molculas. Distinguiremos entre el comportamiento
individual de cada molcula, y el comportamiento de la muestra en su
conjunto. Veremos como este comportamiento se ajusta a la
denominada ley de Langevin, deducida para un nmero muy grande de
molculas.
Descripcin
Un dipolo elctrico es un sistema formado por dos cargas iguales
q y de signo contrario, separadas una distancia d. Se define el
momento dipolar p, como un vector cuyo mdulo es el producto de la
carga q por la separacin entre cargas d, de direccin la recta que
las une, y de sentido de la negativa a la positiva.
Los momentos dipolares de algunas molculas se recogen en la
siguiente tabla:
Molculas Momento dipolar 10-30 Cm Agua 6.2 Nitrobenceno 13.2
Fenol 5.2 Clorhdrico 3.5 Bromhdrico 2.6 Iodhdrico 1.3
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dipolo/dipolo.htm#Potencial
elctrico
-
66
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Sobre un dipolo situado en un campo elctrico acta un par fuerzas
cuyo momento tiende a orientar al dipolo en la direccin del campo.
Sin embargo, esta tendencia est contrarrestada por la agitacin
trmica de las molculas. Para cada campo y cada temperatura,
tendremos una orientacin media resultado del compromiso entre ambas
tendencias contrapuestas.
La energa de un dipolo en un campo elctrico E es U= -pE=
-pEcosq
La polarizacin de la sustancia es P=Np, donde N es el nmero de
molculas y p es el valor medio de la componente del momento dipolar
en la direccin del campo. De acuerdo con la frmula de la estadstica
clsica
donde exp(-U/kT) es la probabilidad de que un dipolo est
orientado segn un ngulo slido comprendido entre W y W+dW. El rea
sombreada de la figura, es dW=2sind. La integracin conduce a la
siguiente funcin conocida como ley de Langevin
Casos particulares:
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/niveles/niveles.html#Descripcin
-
67
Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de
Mxico
FISICA 2
Cuando u1, es decir, para grandes valores del campo o bajas
temperaturas,
P=Np
P tiende hacia un valor constante que es su valor mximo.
Los materiales dielctricos estn formados por dipolos elctricos.
Un dipolo elctrico, vase la figura, es un sistema formado por dos
cargas iguales y de signo contrario, separadas una distancia d. Se
define el momento dipolar, como un vector cuyo mdulo es el producto
de la carga por la separacin entre las mismas, cuya direccin e