Gli insiemi numerici
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Gli insiemi numerici
L’insieme N
• Insieme dei numeri naturali • N = {0; 1; 2; 3; 4; …} • Sono i numeri “che si usano per contare” • È un insieme infinito (ogni numero naturale
ha un successivo) • È un insieme ordinato, cioè è possibile
introdurre una relazione d’ordine (<)
L’insieme N
• In questo insieme sono interne due operazioni: – Addizione – Moltiplicazione (ed elevamento a potenza)
• Equivalentemente si dice che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione.
• Ampliamo l’insieme N in modo che si possano svolgere anche tutte le sottrazioni.
• L’insieme N si può “ampliare” aggiungendo i numeri negativi.
• Nasce così l’insieme Z dei numeri interi.
L’insieme Z
• È l’insieme dei numeri interi • Z = {0; +1; -1; +2; -2; …} • È un insieme infinito • Contiene:
– Numeri negativi – Zero – Numeri positivi
L’insieme Z
• Identificando i numeri positivi con quelli naturali ((considerando Z+=N), possiamo dire che N è un sottoinsieme di Z.
N=Z+
Z
L’insieme Z
• Z è chiuso rispetto alle operazioni: – Addizione e sottrazione – Moltiplicazione (ed elevamento a potenza)
• Ampliamo l’insieme Z in modo che si possano svolgere anche tutte (quasi) le divisioni.
• L’insieme Z si può “ampliare” aggiungendo le frazioni.
• Nasce così l’insieme Q dei numeri razionali.
• Ancora non possiamo svolgere tutte le divisioni, ma quasi tutte… – Quanto fa 0 : 3 ? Perché? – Quanto fa 3 : 0 ? Perché? – Quanto fa 0 : 0 ? Perché?
• 0 : 3 = 0 perché 0 x 3 = 3 • 3 : 0 = nessun un numero!
– Infatti nessu numero, moltiplicato per 0 dà 3 • 0 : 0 = qualsiasi numero!
– Infatti qualsiasi numero, moltilpicato per 0 dà 0
Quindi: • Escludiamo le divisioni con divisore 0,
che sono: – Impossibili se il dividendo è diverso da zero – Indeterminate se il dividendo è uguale a zero
L’insieme Q
• È l’insieme dei numeri razionali (ratio = rapporto)
• Q = {a/b : a, b sono numeri interi, a è diverso da 0}
• Quindi Q è un insieme infinito, che ha Z come sottoinsieme
L’insieme Q
N=Z+
Z
Q
L’insieme Q
• Q è chiuso rispetto alle operazioni: – Addizione e sottrazione – Moltiplicazione (ed elevamento a
potenza) e divisione*
• Ampliamo l’insieme Q in modo che si possa svolgere anche l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
• Tutte???
• Ci porterà a generare l’insieme R dei numeri reali.
L’insieme R
• È un insieme infinito • È chiuso rispetto a:
– Addizione e sottrazione – Moltiplicazione e divisione* – Estrazione di radice di indice dispari – Estrazione di radice di indice pari di
numeri positivi
L’insieme R
• Contiene: – numeri razionali (in Q) – numeri irrazionali (in R meno Q)
(esempi: radice di due, radice di tre, pi-greco,…)
L’insieme R
N=Z+
Z
Q
R
Esempi…
N=Z+
Z
Q
R
0 +1
-1
+2/3
-3/4
π -√2
+0,333…
1) Il problema algebrico Insieme numerico
Operazioni interne
N Addizione Moltiplicazione-Elevamento a potenza
Z Addizione, Moltiplicazione - Elevamento a potenza Sottrazione
Q Addizione, Moltiplicazione - Elevamento a potenza Sottrazione Divisione
? Voglio che diventi interna l’operazione inversa all’elevamento a potenza
Qual è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato?
La RADICE QUADRATA di un numero a positivo o nullo è quel numero, positivo o nullo, che elevato al quadrato dà come risultato a.
ba = 0≥se a=b2 con a e b 0≥
Q non è chiuso rispetto all’estrazione di radice quadrata, infatti ci sono alcuni numeri che non hanno la
radice quadrata in Q.
Vediamo il caso del numero 2
Cerchiamo in N…
Cerchiamo in Q…
Supponiamo che ci sia una frazione ridotta ai minimi termini che abbia come quadrato 2.
Ma a non è multiplo di b, quindi
nemmeno è frazione apparente.
22
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ba
ba
ba
Come fa una frazione non apparente ad essere uguale a 2 ? Abbiamo ottenuto una contraddizione!!!
Quindi non esiste alcun numero razionale che abbia come quadrato 2.
Proviamo a cercare quel numero che elevato al quadrato dà 2. 22 )2(2)1( <<
Se cerco quello con una cifra decimale?
22 ,....)1(2,....)1( <<
2) Problema storico, alla scuola di Pitagora
È possibile trovare una unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte
sia nel lato sia nella diagonale di qualsiasi quadrato?
Pitagora
Samo 470 a.C. – Metaponto 495 a.C.
Tutto è numero
Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline senza
lasciare spazi vuoti...
...si potrà fare lo stesso per la diagonale?
Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di palline...
...si potrà fare lo stesso per la diagonale?
Questa non è una soluzione accettabile: non si possono lasciare spazi vuoti!
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
Non funziona!
Si riuscirà in qualche modo?
Lato e diagonale di un quadrato qualsiasi sono
è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
incommensurabili :
Lato e diagonale di un quadrato sono
è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
incommensurabili :
Lato e diagonale di un quadrato sono
è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
incommensurabili :
Rivediamo la dimostrazione proposta nel dialogo tra Ippaso e i pitagorici.
Supponiamo che:
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
n m
Supponiamo che:
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
b a
A
D C
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Supponiamo che: b a
A
D C
B
2b2=4c2
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
b è dispari
a/b è ridotta ai minimi termini
a=2c a2=4c2
Teorema di Pitagora
b2=2c2
b2 è pari
b è pari
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Supponiamo che: b a
A
D C
B
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
a2 è pari
a è pari
b è dispari
a/b è ridotta ai minimi termini
a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2
b2 è pari
b è pari
a2=2b2 Teorema di Pitagora
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Supponiamo che: b a
A
D C
B
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
a2 è pari
a è pari
b è dispari
a/b è ridotta ai minimi termini
a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2
b2 è pari
b è pari
a2=2b2 Teorema di Pitagora
contraddizione
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
cioè che esista una unità di misura contenuta a volte nella diagonale e b volte nel lato...
b a
…. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie.
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
b è dispari b è pari contraddizione
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
lato e diagonale sono incommensurabili Perciò dobbiamo concludere che:
…. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie.
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