Gleichung zur Berechnung der hydraulischen Verluste …rcsdaigner/pdf/vereinig.pdf · D. Aigner: Stromvereinigung 1 Gleichung zur Berechnung der hydraulischen Verluste der Rohrvereinigung

D. Aigner: Stromvereinigung

1

Gleichung zur Berechnung der hydraulischen Verluste

der Rohrvereinigung – kalibriert mit Ergebnissen numerischer und physikalischer

Modelle

Calculation of hydraulic losses at a pipe junction – Calibrates with results of numerical and physical models

Detlef Aigner

Einführung

Für so genannte Vereinigungs- und Verzweigungsverluste an der Zusammenführung von drei Druckrohrleitungen gibt es auf Grund der vielen Variablen bisher keine Berechnungsgleichung als geschlossene Lösung. Nicht nur die drei Volumenströme und die Rohrquerschnitte auch die Winkel zwischen den drei Leitungen können variieren. Dadurch steigen die Kombinationen von Variablen zur Berechnung der Verlustbeiwerte exponentiell an und nur für Sonderfälle existieren theoretische Lösungsansätze bzw. empirische Gleichungen zur Ermittlung der Verlustbeiwerte der Haupt- und Nebenströmung. Insbesondere für den senkrechten Anschluss an eine durchgehende Hauptleitung, die T-Verbindung, existieren viele Messwerte und daraus abgeleitete Gleichungen (z.B. von Idelchik1, 2006). Die umfangreichste Zusammenfassung in einer kompakten Darstellung von Verlustbeiwerten der Stromvereinigung aber auch der Stromtrennung ist in Miller2 (1994) und in Gardel3 (1970) zu finden. Dieser Artikel soll dazu beitragen, eine allgemeine Gleichung zur Berechnung der Verlustbeiwerte der Rohrvereinigung aufzustellen. Der theoretische Ansatz basiert auf den 3 Grundgleichungen der Hydromechanik. Durch den Vergleich mit empirischen Werten aus der Literatur und berechneten Beiwerten aus numerischen Modellen wird diese theoretische Gleichung angepasst.

1 Idelchik, I.E.:Handbook of Hydraulic Resistance. Jaico Publishing House, Mombay 3. Edition, 2006 2 Miller, D.S.: Discharge Charakteristics. IAHR Hydraulic Structure Manual 8, A.A.Bkema, Rotterdam,Brookfield 1994 3 Gardel, A.; Rechsteiner, G. F.: Les pertes de charge dans les branchements an Te des conduites de section circulaire. Bull. Techn. de la Suisse Romande, 96. Jahrgang Nr. 25, S. 363-391, 1970

Stromvereinigung

2

Abbildung 1 Berechnungsansatz (gelb: Kontrollvolumen)

1 Grundgleichungen

Einen allgemeinen theoretischen Ansatz auf der Grundlage der Energie-, Impuls- und Kontinuitätsgleichungen findet man in Band 1 der Technischen Hydromechanik von Bollrich4 (2007). Dieser theoretische Ansatz liefert aber im Vergleich mit Ergebnissen aus Modellversuchen viel zu große Werte.

1.1 Energiegleichung 1-3:

In der Energiegleichung werden nur die örtlichen Verluste berücksichtigt, diese sind Ergebnis der Vereinigung der Strömung. Reibungsverluste bleiben in dieser Gleichung unberücksichtigt. Die aus den numerischen Modellen (siehe Abbildungen der Druckverläufe) bekannten kleinen Druckdifferenzen am Vereinigungspunkt werden in den Energiegleichungen folgendermaßen integriert. Der mittlere Druck p am Vereinigungspunkt ergibt sich aus:

2211 dppdppp +=+=

Die Energiegleichung wird wie in der Technischen Hydromechanik üblich als Energiehöhengleichung dargestellt, also die auf die Massenkraft (m.g) bezogene Energie der Strömung. Der Verlustbeiwert ergibt sich aus der Energieverlusthöhe h13 ohne Reibungsverlust dividiert durch die Geschwindigkeitshöhe der vereinigten Strömung.

Für die Hauptleitung 1-3 gilt:

133

231

21 h

gp

g2v

gp

g2v

+⋅

+⋅

=⋅

+⋅ ρρ

4 Bollrich, G.: Technische Hydromechanik – Band 1, Grundlagen. 6. Auflage HUSS-MEDIEN GmbH Verlag für Bauwesen Berlin 2007

p

1

2

S2

S1

α2

α1

Q1

Q2

Q3 3

S3

D. Aigner: Stromvereinigung

3

gpp

g2vvh 31

23

21

13 ⋅−

+⋅−

=ρ

23

323

123

21

23

1313 v2/

ppv2/

dp1vv

g2/vh

⋅−

+⋅

+−==ρρ

ζ (1)

1.2 Energiegleichung 2-3:

Für die Nebenleitung 2-3- gilt:

233

232

22 h

gp

g2v

gp

g2v

+⋅

+⋅

=⋅

+⋅ ρρ

gpp

g2vvh 32

23

22

23 ⋅−

+⋅−

=ρ

23

323

223

22

23

2323 v2/

ppv2/

dp1vv

g2/vh

⋅−

+⋅

+−==ρρ

ζ (2)

1.3 Impulssatz

Die Kräftebilanz in Achsrichtung des Hauptrohres 3 der vereinigten Strömung wird am Kontrollvolumen (siehe Abbildung 1) aufgestellt. Folgende Kräfte werden berücksichtigt:

Impulskräfte: 111 vQS ⋅⋅= ρ 222 vQS ⋅⋅= ρ 333 vQS ⋅⋅= ρ

Resultierende Druckkraft in Achsrichtung Rohr 3: 33 A)pp(F ⋅−=

Kraftbilanz in Achsrichtung von Rohrleitung 3 (siehe Abbildung 1):

0ScosScosSF 32211 =−⋅+⋅+ αα

2AvAvcos2

AvAvcos2

v2/pp

323

222

23

23

121

123

3 +⋅⋅

⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅−=⋅

− ααρ

(3)

1.4 Kontinuitätsgleichung

Die Kontinuitätsgleichung ist abhängig von den Strömungsverhältnissen am Abzweig. Für die Vereinigungsströmung gilt:

221121333 AvAvQQAvQ ⋅+⋅=+=⋅= (4)

Stromvereinigung

4

1.5 Ausgleichsbeiwerte

Die Abweichungen der mittleren Druck-, Geschwindigkeits- und Impulswerte an den Schnittstellen der Energie- und Impulsgleichungen können durch eine Berücksichtigung von Ausgleichswerten der Geschwindigkeitshöhe (e), des Impulses (i) sowie des Druckes (k) erfolgen.

Die Beiwerte e und i basieren auf folgende Definitionen nach Bollrich (2007):

∫ ⋅⋅⋅

=A

3A2 dAv

Qv1e ∫ ⋅⋅

⋅=

A

2A dAv

Qv1i

Der Druckbeiwert k wurde zur Abschätzung der Abweichung der Drücke p1 bzw. p2 zum mittleren Druck p am Vereinigungspunkt definiert. Es wurde eine Korrelation zur Geschwindigkeitshöhe der Zulaufgeschwindigkeit v2 bzw. v1 bei der Strömungsvereinigung festgestellt und die Druckhöhenabweichung auf diese Geschwindigkeitshöhe bezogen.

22

11 v2/

dpk⋅

=ρ

21

22 v2/

dpk⋅

=ρ

Die absoluten Größen der Beiwerte entsprechen nicht immer den Werten aus der Literatur. Sie erlauben aber begründete Korrekturen zur Anpassung der theoretischen Gleichungen an die Ergebnisse aus Messungen und numerischen Simulationen. Ziel ist das Finden einer theoretisch abgeleiteten Berechnungsgleichung der Verlustbeiwerte der Rohrvereinigung.

1.6 Vereinfachungen

Um die Gleichungen übersichtlicher zu gestalten und sie mit Ergebnissen anderer Autoren vergleichen zu können, erfolgen verschiedene Vereinfachungen.

Die Verhältniswerte werden mit kleinen Buchstaben dargestellt:

3

11 A

Aa = 3

22 A

Aa = 3

11 Q

Qq = 3

22 Q

Qq =

1.7 Verlustbeiwerte

Durch Einsetzen der Gleichungen (3) und (4) in die Gleichungen (1) bzw. (2) und mit Berücksichtigung der Ausgleichswerte (Punkt 1.5.) ergeben sich die allgemeinen Berechnungsformeln für die Verlustbeiwerte der Haupt- und der Nebenströmung einer Rohrvereinigung.

Hauptströmung 1-3

33

23

222

223

23

121

1123

22

1323

21

113 i2AvAvcosi2

AvAvcosi2

vvke

vve ⋅+

⋅⋅

⋅α⋅⋅−⋅⋅

⋅α⋅⋅−⋅+−⋅=ζ

23

22

2

3

2

31222

3

21

1

3

1

31113313 Q

QAA

)AA

kcosi2(QQ

AA

)AA

ecosi2(ei2 ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅= ααζ

3

1

2

α1

α2

D. Aigner: Stromvereinigung

5

2

22

2

122

1

21

1

111313 a

q)akcosc(

aq)

aecosc(c ⋅−⋅−⋅−⋅−= ααζ (5)

Nebenströmung 2-3

33

23

222

223

23

121

1123

21

2323

22

223 i2AvAvcosi2

AvAvcosi2

vvke

vve ⋅+

⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅−⋅+−⋅= ααζ

23

22

2

3

2

32222

3

21

1

3

1

32113323 Q

QAA

)AA

ecosi2(QQ

AA

)AA

kcosi2(ei2 ⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅−−⋅= ααζ

1

21

1

211

2

22

2

222323 a

q)akcosc(

aq)

aecosc(c ⋅−⋅−⋅−⋅−= ααζ (6)

Für beide Verlustbeiwerte kann also mit i = 1;2 und j = 2;1 geschrieben werden:

j

2j

j

ijj

i

2i

i

iii33i a

q)

akcosc(

aq)

aecosc(c ⋅−⋅−⋅⋅−⋅−= ααζ (7)

2 Modellversuche

Zur Kalibrierung der theoretischen Gleichungen wurden vor allem die in der Literatur gefundenen Ergebnisse aus Modellversuchen verwendet. Als Quellen dienten die Untersuchungen von Gardel (1970), Petermann (1929) und Vogel (1926) u.a. in Idelchik (2006), Gardel (1957) und Brandt (1992) in Wagner (2001) und Miller (1994). Aus eigenen Erfahrungen bei der Durchführung von Modellversuchen zur Ermittlung von Verlustbeiwerten der Stromvereinigung und Stromtrennung an gelochten Rohrleitungen ist bekannt, dass es viele Fehlerquellen und Probleme am physikalischen Modellversuch insbesondere bei der Druckmessung gibt. Ganz wichtig sind Versuchsanordnungen mit ausreichenden Vor- und Nachlaufstrecken. Nur sie ermöglichen die genaue Bestimmung der Drücke aus den Energielinienverläufen, insbesondere am Vereinigungspunkt. Insbesondere in der Umgebung der Rohrvereinigung werden durch die Richtungsänderung der Strömung Über- und Unterdrücke an der Rohrwand gemessen, die erheblich vom mittleren Druck abweichen können. Diese Abweichungen liegen oft in der gleichen Größenordnung wie die gesuchte Verlusthöhe. Um messbare und möglichst genaue Werte zu erhalten, muss der Versuch mit großen Durchflüssen gefahren werden. Fehler können z.B. durch schlechte Piezometeranschlüsse (Anbohrungen) verursacht werden. Zur Verbesserung der Messgenauigkeit werden üblicherweise Ringbohrungen zur Mittlung des Druckwertes in einem Querschnitt angebracht. Deshalb wurden die Messergebnisse aus der Literatur sehr kritisch im Zusammenhang mit der Versuchsanordnung betrachtet.

3 Numerische Modelle

Zur stichprobenartigen Überprüfung von Literaturangaben, zur Berechnung von Verlustbeiwerten mit extremen Randbedingungen, Ermittlung tendenzieller Verläufe und für

Stromvereinigung

6

die Ergründung und Darstellung der Strömungsvorgänge im Rohr wurde das 3D-Strömungsmodell von ANSYS-CFX 11 verwendet. Als Turbulenzmodell wurde das k-ε-Modell ausgewählt. Als Vorlaufstrecken zur Rohrvereinigung wurden Rohrlängen von 7.Durchmesser und als Nachlaufstrecken Rohrlängen von mindestens 20.Durchmesser verwendet. Die Simulationen erfolgten ausschließlich mit scharfkantigen Rohranschlüssen. Als Randbedingungen wurden die Zuflüsse als Massenvolumenströme definiert.

Abbildung 2 Numerisches Strömungsmodell

Zur Berechnung des Energieverlustes wurde analog zum physikalischen Modell der Druckverlauf in der Rohrachse ermittelt und aus dem tendenziellen Verlauf der abfallenden Drucklinie in den einzelnen Rohrabschnitten 1, 2 und 3 die Druckdifferenz am Punkt der Rohrvereinigung bestimmt. Aus diesen Druckverläufen erfolgte dann die Berechnung der Energieverlusthöhen. Der Verlustbeiwert ergibt sich aus dem Verhältnis der Energieverlusthöhe zur Geschwindigkeitshöhe der Gesamtströmung im Rohr 3.

g2/vg2

vvgpp

23

23

2131

13

−+

⋅−

=ρζ

g2/vg2

vvgpp

23

23

2232

23

−+

⋅−

=ρζ

In einer Gleichung kann zusammen geschrieben werden:

g2/vg2

vvgpp

23

23

2i3i

3i

−+

⋅−

=ρζ mit i = 1;2 (8)

D. Aigner: Stromvereinigung

7

Abbildung 3 Druckverläufe im numerischen Modell

4 T-Vereinigung bei durchgehendem Hauptrohr und gleichen Querschnitten

Die meisten empirischen Untersuchungen befassen sich mit einem durchgehenden Hauptrohr und einer senkrechten Zuströmung in das Hauptrohr, dem sogenannte T-Stück.

Für den Sonderfall T-Stück mit durchgehendem Hauptrohr und gleichen Rohrquerschnitten gelten folgende Bedingungen.

cosα2 = 0, A1 = A2 = A3 bzw. a1 = a2 und cosα1 = 1 ,

4.1 Verlustbeiwert der Hauptströmung 1-3

Die Ausgleichswerte können zu folgenden Beiwerten in Gleichung (7) zusammengefasst werden. Sie wurden durch Vergleiche mit Versuchswerten aus der Literatur und Werten aus numerischen Simulationen quantifiziert.

225

224313 qc)q1(cc ⋅−−⋅−=ζ (9)

c3 = 2i3-e3 = 0,71

c4 = 11

111 a

1)aecosi2( ⋅−⋅⋅ α = 0,67

c5 = 22

122 a

1)akcosi2( ⋅−⋅⋅ α = 0,2.

p1 - p

3

1

2

3

Stromvereinigung

8

Durch das Einsetzen in die Gleichung (5) ergibt sich folgende Gleichung des Verlustbeiwertes für die Stromvereinigung bei einer T-Verbindung.

22

2213 q2,0)q1(67,071,0 ⋅−−⋅−=ζ

22213 q86,0q34,105,0 ⋅−⋅+=ζ (9a)

Als Vergleich die von Idelchik (2006) angegebene Gleichung (Abbildung 4):

22213 qq55,1 −⋅=ζ (10)

Die Gegenüberstellung dieser Gleichungen zusammen mit Versuchswerten und Ergebnissen aus numerischen Simulationen zeigt Abbildung (4).

Abbildung 4 Verlustbeiwert der Hauptströmung für die T-Vereinigung bei gleichen

Rohrquerschnitten a1 = a2 = 1

4.2 Verlustbeiwert der Nebenströmung 2-3

Die Ausgleichswerte werden aus Gleichung (6) folgendermaßen zusammengefasst und aus Vergleichen mit Messwerten quantifiziert:

227

226323 )q1(cqcc −⋅−⋅−=ζ

c3 = 2i3-e3 = 0,71

D. Aigner: Stromvereinigung

9

c6 = 22

222 a

1)aecosi2( ⋅−⋅⋅ α = -0,28

c7 = 11

211 a

1)akcosi2( ⋅−⋅⋅ α = 1,67

22

2223 )q1(67,1q28,071,0 −⋅−⋅+=ζ (11)

22223 q39,1q34,396,0 ⋅−⋅+−=ζ

Als Vergleich wurde wieder Idelchik (2006) herangezogen. Da die Ergebnisse von ihm in 2 Gleichungen dargestellt wurden, erscheint die Auswertung der Gleichungen in Abbildung 5. Sie zeigte besonders gute Übereinstimmung mit den Verlustbeiwerten, die aus dem numerischen Modell ermittelt wurden. Während die Gleichung aus Wagner (2001) für den Verlustbeiwert der Hauptströmung stark von den in Abbildung 4 angegebenen Werten abweicht, ergibt sich für die Nebenströmung eine sehr gute Übereinstimmung (Abbildung 5). Diese Gleichung von Wagner ist fast identisch mit Gleichung (11).

Abbildung 5 Verlustbeiwert der Nebenströmung für die T-Vereinigung bei gleichen

Rohrquerschnitten a1 = a2 = 1

Stromvereinigung

10

5 T-Vereinigung mit variablem Zuflussquerschnitt (0 < a2 ≤ 1)

Miller (1994) stellte die Verlustbeiwerte in einem Diagramm für die Bereiche von a2 = 0 bis 1 und von q2 = 0 bis 1 für ausgewählte Rohrvereinigungen dar. Zur Überprüfung des theoretischen Ansatzes zur Berechnung der Verlustbeiwerte wurde versucht, die theoretischen Gleichungen in den o. g. Bereichen auszuwerten und mit den Diagrammen von Miller (1978) zu vergleichen.

5.1 Verlustbeiwert der Hauptströmung 1-3

Die ersten Hürden ergaben sich beim Einsetzen der senkrechten Rohrvereinigung mit α2 = 90° in Gleichung (5). Der Kosinus dieses senkrechten Winkels ist Null und ohne Einführung der Druckabweichung k1 ergäbe sich keine Lösung für a2 aus Gleichung (5). Das würde bedeuten, dass der Verlustbeiwert unabhängig vom Verhältnis der Querschnittsfläche a2 sein müsste, d.h. er müsste konstant also unabhängig vom Flächenverhältnis a2 sein. Das Diagramm von Miller für diesen Fall zeigt aber Abweichungen von dieser Theorie und auch numerische Berechnungen zeigten einen Einfluss von a2, insbesondere für den Bereich wenn q2 gegen 1 geht und a2 kleiner wird. Die Vergrößerung der Zuflussgeschwindigkeit v2 im kleiner werdenden Rohr 2 hat offensichtlich einen Einfluss auf die Druckabweichung k1 bzw. auf den Beiwert c5.

Die numerischen Berechnungen zeigen, dass bei senkrechtem Rohranschluss die Zuströmung in das Kontrollvolumen nicht senkrecht erfolgt, sondern etwa um 11° geneigt ist, wodurch ein Impulsanteil von S2 auch bei senkrechtem Anschluss auf das Kräftegleichgewicht in Gleichung (3) wirkt (Abbildung 6). Dieser Winkel wird vom Verhältnis der aufeinandertreffenden Geschwindigkeiten v1 und v2 bestimmt, sicher auch vom Winkel zwischen den Geschwindigkeitsvektoren und dem Flächenverhältnissen. Da diese Einflüsse auf den schon geringen Winkel nicht quantifizierbar waren, wurde er als konstanter Wert mit α0 = 11° eingeführt.

Abbildung 6 Geschwindigkeitsvektoren an der Zuströmung und Druckverteilung im

Hauptrohr kurz nach der Stromvereinigung a1 = 1 a2 = 0,5 und q2 = 0,8

D. Aigner: Stromvereinigung

11

Diese kleinen Abweichungen von der Theorie lassen sich durch Vergleiche mit Messdaten aus physikalischen oder numerischen Modellen ermitteln. Wird sowohl eine leichte Druckabweichung mit k1 als auch eine Winkelabweichung von α0 = 11° im Impulsanteil berücksichtigt, dann ergibt sich Gleichung (9) für den senkrechten Zufluss (α2 = 90°) bei veränderlichem Querschnitt A2 mit folgenden Beiwerten:

c4 = 0,67 c3 = 0,71 k1 = 0,12

c5 = 222222

1022 a

1)a12,032,0(

a1)

a12,0)1190cos(7,1(

a1)

ak)cos(c( ⋅−=⋅−°−°⋅=⋅−−⋅ αα

222

22

2213 q)

a12,0

a32,0()q1(67,071,0 ⋅−−−⋅−=ζ (12)

Die Auswertung dieser Gleichung zeigt Abbildung 7. Wird a2 sehr klein, denn wird der Verlustbeiwert sehr groß und wird deshalb im Diagramm (Abbildung 7) nur bis zum Wert 1 dargestellt.

Abbildung 7 Verlustbeiwert der Hauptströmung als Funktion von a2 und q2 im

Vergleich mit einem Diagramm von Miller (1994)

Stromvereinigung

12

Den Verlustbeiwerten im Diagramm ist die Darstellung aus Miller gegenübergestellt. Abgesehen von kleineren Abweichungen zeigt der Gesamtverlauf eine gute Übereinstimmung mit den Angaben von Miller (1994). In Abbildung 8 sind zusätzlich Werte aus Vergleichsrechnungen eingetragen, die mit dem 3D-Turbulenzmodell von ASYS-CFX durchgeführt wurden. Im Hintergrund befindet sich wieder die Abbildung von Miller für den Verlustbeiwert der Hauptströmung eines T-Anschlusses.

Abbildung 8 Verlustbeiwert der Hauptströmung als Funktion von a2 und q2

Gleichung (12), Miller (1994), CFX-Simulation

5.2 Verlustbeiwert der Nebenströmung 2-3

Analog zur Hauptströmung wurden die Beiwerte der Nebenströmung mit Gleichung (13) definiert. Hier wird vorausgesetzt, dass es beim Impuls der Hauptströmung infolge der Zuströmung ebenfalls zu einer Abweichung des Winkels kommt. Die Einführung von α0 = 11° wirkt sich auf den Impuls bei der Hauptströmung mit α1 = 0° nur gering aus. Die Abweichungen zwischen dem Kosinus von 0° und dem Kosinus von 11° betragen hier nur 1,84%. Bei der Nebenströmung mit α2 = 90° sind das immerhin mehr als 19%.

c3 = 2i3-e3 = 0,71 c6 = 22222

2022 a

6,0a32,0

a1)

ae

)cos(i2( −=⋅−−⋅⋅ αα

D. Aigner: Stromvereinigung

13

c7 = 11

2011 a

1)ak)cos(i2( ⋅−−⋅⋅ αα = 1,67

22

222

2223 )q1(67,1q)

a6,0

a32,0(71,0 −⋅−⋅−−=ζ (13)

Abbildung 9 Verlustbeiwert ζ23 der Nebenströmung als Funktion von a2 und q2 im

Vergleich mit Werten von Miller (1994)

6 Das Hosenrohr

Wird die allgemeine Gleichung der Verlustbeiwerte auf das Hosenrohr angewendet, bei dem die beiden Zuleitungen gleich groß sind und unter gleichem Winkel in das Rohr 3 einmünden, dann müssten wegen der möglichen Spiegelung die Verlustbeiwerte der Hauptströmung 13 und der Nebenströmung 23 bei analogen Durchflussbedingungen gleich groß sein.

Die Auswertung der bisherigen Anpassungen der Gleichung an Versuchsergebnisse zeigte, dass mit folgenden Beiwerten die besten Ergebnisse für die T-Vereinigung erzielt werden:

c1 = c2 = 1,7 c3 = 0,71 k1 = 0,12 k2 = 0 e1 = 1 und e2 = 0,6

Stromvereinigung

14

Das widerspricht aber der gerade gemachten Feststellung. Für das Hosenrohr müsste gelten e1 = e2 und k1 = k2.

Diese Bedingung kann erfüllt werden, wenn die Beiwerte vom Winkel abhängig gemacht werden. Nachteil ist eine weitere Bedingung in der Gleichung, deren Einfluss auf das Ergebnis aber nur gering ist. Hier werden weitere Verbesserungen und Optimierungen erforderlich sein.

Folgende Gleichungen werden eingeführt:

ei = 0,6 + 0,4 . cos αi und ki = 0,12 . cos ai mit i = 1;2

Jetzt stimmt die Bedingung für die T-Verbindung mit unterschiedlichen Winkeln und auch für das Hosenrohr mit gleichen Winkeln.

Die allgemeine Gleichung der Verlustbeiwerte bei einer Rohrvereinigung lautet:

j

2j

j

i0j

i

2i

i

i0i3i a

q)

ak)cos(7,1(

aq)

ae)cos(7,1(71,0 ⋅−−⋅−⋅−−⋅−= ααααζ (14)

mit i = 1;2 und j = 2;1

α0 = 11° ei = 0,6 + 0,4 . cos αi und ki = 0,12 . cos ai

Diese Gleichung soll nun mit empirisch ermittelten Verlustbeiwerten verglichen werden.

Abbildung 10 Auswertung der Gleichung (14) für ζ13 im Vergleich mit einem Diagramm aus Miller (1994) und Ergebnissen des numerischen Modells

3 

1 

2 

α1

α2

D. Aigner: Stromvereinigung

15

6.1 Hosenrohr a1 = a2 = 0,5

Für das Hosenrohr existieren in Miller (1994) zwei Diagramme mit a1 = a2 = 0,5 und mit a1 = a2 = 1 für die Winkelsumme α1 + α2 von 0° bis 180° und das Durchflussverhältnis q1 von 0 bis 1.

Die Auswertung von Gleichung (14) zeigt folgende Darstellung für ein Hosenrohr, bei dem die Summe der Zuflussquerschnitte gleich dem Querschnitt des Hauptrohr ist.

Abbildung 11 Auswertung der Gleichung (14) mit w0 = 0 im Vergleich mit dem

Diagramm aus Miller (1994) für das Hosenrohr a1 = a2 = 0,5

Idelchik (2006) gibt in seinem Buch Verlustbeiwerte an einem Hosenrohr für 3 Winkel an. Der Vergleich zeigte, dass eine besonders gute Übereinstimmung zur Gleichung (14) nur dann vorliegt, wenn folgende Randwerte gesetzt werden (Abbildung 12):

α0 = 0° ei = 0,95 und ki = 0,05

Stromvereinigung

16

Abbildung 12 Verlustbeiwert ζ13 im Vergleich mit Idelchik (2006) (α0 = 0°; e1 = 0,95; k1 = 0,05)

6.2 Hosenrohr a1 = a2 = 1

Die Auswertung der Gleichung (14) mit den beim Vergleich mit Idelchik eingesetzten Werten ist in folgender Abbildung 13 zusammen mit den Werten von Miller (1994) dargestellt:

Abbildung 13 Verlustbeiwert ζ13 der Gleichung (14) mit α0 = 0°; e1 = 0,95 und k1 = 0,05 im Vergleich mit Miller-Diagramm für das Hosenrohr bei gleichen Rohrquerschnitten

D. Aigner: Stromvereinigung

17

Setz man die ursprünglich festgelegten Beiwerte in Gleichung (14) ein, erhält man folgende Darstellung(α0 = 11°; ei = 0,6+0,4*cosα1 und ki = 0,12):

0

30

60

90

120

150

180

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Win

kel α

1+

α2

q1 = Q1/Q3

Verlustbeiwert am Hosenrohr a1 = a2 = 1

1,00

0,80

0,60

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00

-0,20

-0,50

Abbildung 14 Verlustbeiwerte ζ13 am Hosenrohr für a1 = a2 = 1 aus Gleichung (14)

mit α0 = 11°; ei = 0,6+0,4*cosα1 und ki = 0,12 im Vergleich mit Werten aus Miller (1994)

7 Die schräge Einleitung in ein durchgehendes Hauptrohr

Viele Untersuchen existieren für die Rohranbindung an ein durchgehendes Hauptrohr. Die Einmündungen sind meist genormt und betragen oft 30°, 45° oder 60°.

Hierzu gibt es viele Angaben in der Literatur u.a. von Miller (1994) und Idelchik (2006).

Vergleichsrechnungen sollen aber nur in Beispielen erfolgen.

7.1 Rohranschluss 60°

Als Beispiel wurde eine Tabelle von Idelchik (2006) ausgewählt, die Versuchsergebnisse für Rohranschlüsse mit 60° beinhaltet. Die Summe der Querschnittsflächen der Zuleitungen soll dabei immer der Fläche der abgehenden Leitung entsprechen. Idelchik gibt Messwerte für unterschiedliche Flächenverhältnisse der Zuleitungen an.

Es soll gelten: a1 + a2 = 1

Außerdem wird ein Vergleich mit einem Diagramm von Miller durchgeführt, bei dem die seitliche Zuleitung unterschiedlichster Querschnitte an eine Hauptleitung unter dem Winkel von 60° erfolgt.

Stromvereinigung

18

Abbildung 15 Verlustbeiwerte der Nebenströmung 23 für eine schräge Zuleitung unter 60°

aus Idelchik verglichen mit Gleichung (14) mit den Beiwerten α0 = 0°; e2 =0,95 und k2 = 0

Abbildung 16 Verlustbeiwerte der Nebenströmung α2 = 60°; a1 = 1 nach Gleichung (14) mit

den Beiwerten k2 = 0,12; e2 = 0,95 und α0 = 0 im Vergleich mit Miller (1994)

D. Aigner: Stromvereinigung

19

Abbildung 17 Durchgehendes Hauptrohr mit seitlicher Zuströmung unter 60°,

Verlustbeiwert der Hauptströmung ζ13 nach Gleichung (14) mit den Beiwerten k1 = 0,12 e1 = 0,95 und α0 = 5° im Vergleich mit Messwerten aus Miller (1994)

7.2 Rohranschluss 45°

Analog wurde der Rohranschluss unter 45° betrachtet und es wurden ähnlich gute Übereinstimmungen mit den Werten aus Miller (1994) erzielt.

Stromvereinigung

20

Abbildung 18 Durchgehendes Hauptrohr mit seitlicher Zuströmung unter 45°,

Verlustbeiwert der Hauptströmung ζ13 nach Gleichung (14) mit den Beiwerten k1 = 0,12 e1 = 0,95 und α0 = 5° im Vergleich mit Messwerten aus Miller (1994)

8 Die allgemeine Gleichung der Stromvereinigung

Die durchgeführten Berechnungen und Vergleiche mit Ergebnissen aus numerischen und physikalischen Modellen haben gezeigt, dass es möglich ist, eine allgemeine Gleichung der Stromvereinigung aufzustellen.

Sie lautet:

j

2j

j

i0j

i

2i

i

i0i3i a

q)

ak)cos(7,1(

aq)

ae)cos(7,1(71,0 ⋅−−⋅−⋅−−⋅−= ααααζ

mit i = 1;2 und j = 2;1

Es wurde aber auch festgestellt, dass die unterschiedlichen Einflussfaktoren, die Energiebeiwerten e, die Druckbeiwerten k, die Impulsbeiwerte und die Winkelabweichung α0 für das breite Spektrum der Vereinigungsströmung leicht variieren können. Die Basisgleichung wurde aus den physikalischen Grundgleichungen abgeleitet. Keine Berücksichtigung fanden Formeinflüsse, wie Ausrundungen an den Rohranschlüssen.

Die allgemeine Gleichung der Verlustbeiwerte bei der Strömungsvereinigung gilt für die meisten Anwendungen mit den Beiwerten:

3 

1 

2 

α1

α2

D. Aigner: Stromvereinigung

21

α0 = 0° e1 = e2 = 0,95 k1 = k2 = 0,05

Für einige Anwendungen z.B. das T-Stück oder das Hosenrohr werden bessere Übereinstimmungen mit den zur Verfügung stehenden Messdaten erreicht, wenn die Daten etwas variieren:

T-Vereinigung: α0 = 11° e1 = 1 und e2 = 0,6 k1 = 0,12 und k2 = 0

Y-Hosenrohr: α0 = 0° e1 = e2 = 0,95 k1 = k2 = 0,05

-Schräger Anschluss: α0 = 0° e1 = 1 und e2 = 0,95 k1 = 0,12 und k2 = 0

Die Gleichung ermittelt die Verlustbeiwerte der Haupt- und der Nebenströmung mit der Bedingung q1 + q2 = 1 für alle Wertebereiche:

der relativen Durchflüsse 0 < q1 < 1 und 0 < q2 < 1

der relativen Querschnittsflächen 0 < a1 < 1 und 0 < a2 < 1

und der Winkelbereiche 0° < α1 < 180° und 0° < α2 < 180°

Abweichungen zwischen berechneten und gemessenen Werten sind immer möglich, ergeben sich aber auch beim Vergleich der Messergebnisse verschiedener Autoren oder beim Vergleich mit Berechnungen am numerischen Modell. Die aufgestellte Gleichung basiert auf physikalische Grundlagen. Die Auswahl der Korrekturwerte ist aber letztendlich auf den Vergleich mit gemessenen oder simulierten Werten zurückzuführen und weiter verbesserungswürdig. Vorschläge und Hinweise dazu sind willkommen.

9 Literatur

Bollrich, G.: Technische Hydromechanik, Band 1. 6. Auflage, Huss-Medien GmbH Verlag Bauwesen, Berlin 2006

Gardel, A.; Rechsteiner, G. F.: Les pertes de charge dans les branchements an Te des conduites de section circulaire. Bull. Techn. de la Suisse Romande, 96. Jahrgang Nr. 25, S. 363-391, 1970

Idelchik, I.E.:Handbook of Hydraulic Resistance. Jaico Publishing House, Mombay 3. Edition, 2006

Miller, D.S.: Discharge Charakteristics. IAHR Hydraulic Structure Manual 8, A.A.Balkema, Rotterdam,Brookfield 1994

Wagner, Walter: Strömung und Druckverlust. 5. Auflage. Vogel-Verlag. Würzburg 2001

Autor:

apl. Prof. Dr.-Ing. habil. Detlef Aigner Institut für Wasserbau und THM der TU Dresden Helmholtzstrasse 10, 01062 Dresden Tel.: ++49 – 351 – 46334725 Fax: ++49 – 351 – 46336601 [email protected]