Chuyên đề phương pháp toạ độ trong không gian [email protected]1 1 CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TỔNG HỢP GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẦN II: HÌNH CHÓP Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định [email protected]PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. Bài toán đơn giản hay không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vuông góc và đơn vị trên các trục. Böôùc 1: Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz thích hôïp, chuù yù ñeán vò trí cuûa goác O ( Đỉnh của góc vuông, tâm mặt cầu ….) Böôùc 2: Dựa vào điều kiện của bài toán để xác định toạ độ của điểm, phương trình của đường và mặt cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy. (coù theå xaùc ñònh toaï ñoä taát caû caùc ñieåm hoaëc moät soá ñieåm caàn thieát) Khi xaùc ñònh toïa ñoä caùc ñieåm ta coù theå döïa vaøo : +)YÙ nghóa hình hoïc cuûa toïa ñoä ñieåm (khi caùc ñieåm naèm treân ca ùc truïc toïa ñoä, maët phaúng toïa ñoä). +) Döïa vaøo caùc quan heä hình hoïc nhö baèng nhau, vuoâng goùc, song song ,cuøng phöông , thaúng haøng, ñieåm chia ñoïan thaúng ñeå tìm toïa ñoä +) Xem ñieåm caàn tìm laø giao ñieåm cuûa ñöôøng thaúng, maët phaú ng. +) Döaï vaøo caùc quan heä veà goùc cuûa ñöôøng thaúng, maët phaúng. Böôùc 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài toán sang tính chất đại số và giải tích, đưa bài toán về bài toán đại số, giải tích. Söû duïng caùc kieán thöùc veà toaï ñoä ñeå giaûi quyeát baøi toaùn . Caùc daïng toaùn thöôøng gaëp: - Ñoä daøi ñoïan thaúng - Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán maët phaúng - Khoaûng caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng - Khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng - Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng - Goùc giöõa ñöôøng thaúng vaø maët phaúng - Goùc giöõa hai maët phaúng - Theå tích khoái ña dieän - Dieän tích thieát dieän - Chöùng minh caùc quan heä song song , vuoâng goùc - Baøi toaùn cöïc trò, quyõ tích Boå sung kieán thöùc : 1) Neáu moät tam giaùc coù dieän tích S thì hình chieáu cuûa noù coù dieän tích S ' baèng tích cuûa S vôùi cosin cuûa goùc giöõa maët phaúng cuûa tam giaùc vaø maët phaúng chieáu cos . ' S S 2) Cho khoái choùp S.ABC. Treân ba ñöôøng thaúng SA, SB, SC laáy ba ñieåm A ' , B ' , C ' khaùc vôùi S Ta luoân coù:
16
Embed
Giai cac bai toan hinh hoc khong gian bang pp toa do
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vuông góc với
đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz
ta có:
H(0; 0; 0), a aA ; 0; 0 , B ; b; 0
2 2 a a a 3, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2
Phần II. 1 .
HÌNH CHÓP CÓ MỘT CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
( Hay hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy)
* Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh bên vu«ng gãc đáy.
Ví dụ 1.
Tø diÖn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD)
( KD: 2002)
Giảii
+ Chän hÖ trôc Oxyz sao cho A O
D Ox; C Oy và B Oz
A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)
Phương tr×nh ®o¹n ch¾n cña (BCD) lµ:
14 4 3
x y z 3x + 3y + 4z - 12 = 0
Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mÆt ph¼ng (BCD) lµ:
d(A; mp’(BCD)) = 6 34
17
Ví dụ 2.
Cho töù dieän ABCD coù AD vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABC) vaø tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AD = a, AC = b, AB = c.Tính dieän tích S cuûa tam giaùc BCD theo a, b, c vaø chöùng minh raèng : 2S abc a b c
(DB – ÑH. K. D – 2003) Giaûi
Choïn heä truïc toïa ñoä nhö hình veõ, ta coù toïa ñoä caùc ñieåm laø :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)
2bc a Coäng veá : a b a c b c abc(a b c)c a a b 2ca b
Ví dụ 3.
Cho hình choùp S.ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA (ABCD), SA a 2. Maët phaúng () qua A vuoâng goùc vôùi SC caét SB, SC, SD laàn löôït laø M, N, P. Chöùng minh raèng töù giaùc AMNP coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc vaø tính dieän tích cuûa töù giaùc. Giải Döïng heä truïc Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, vôùi A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a 2)
1SC (a; a; a 2) a(1; 1; 2) a.u
2SB (a; 0; a 2) a(1; 0; 2) a.u
3SD (0; a; a 2) a(0; 1; 2) a.u
Phöông trình mp(qua A(0; 0; 0) vôùi phaùp vectô 1n u (1; 1; 2)
:
( ) : x y 2z 0.
Phöông trình ñöôøng thaúng SC qua C(a; a; 0) vôùi vectô chæ phöông 1u :
x a t
(SC) : y a t
z 2t
N SC N(a t; a t; 2t)
a a a a 2N ( ) a t a t 2( 2t) 0 t N ; ;2 2 2 2
Phöông trình ñöôøng thaúng (SB): x = a + t; y = 0; x 2t.
Ta coù: a 2a a 2M SB; M ( ) t M ; 0;3 3 3
. Phöông trình ñöôøng thaúng (SD):
x 0; y a t; z 2t. Ta coù: a 2a a 2P SD; P ( ) t P 0; ;3 3 3
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC
tại K, dễ thấy
[H, SB, C] = IH, IK
(1).
SB ( 1; 3; 4)
, SC (0; 3; 4)
suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t
, SC:
x 0
y 3 3t
z 4t
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. 5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ;
8 8 2 25 25
379 281cos[H, SB, C]
12645
Ví dụ 8.
Cho hình choùp S. ABCD coù SA (ABCD) vaø SA = a 6 , ñaùy ABCD laø nöûa luïc giaùc ñeàu noäi tieáp trong ñöôøng troøn ñöôøng kính AD = 2a. Tính khoaûng caùch töø ñöôøng thaúng AD ñeán maët phaúng (SBC). Giải.
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA a 3 .
1) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD).
2) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC.
3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
SA 3 2 cm. Mp( ) đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K.
1) Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD.
2) Chứng minh BD song song với ( ) .
3) Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC .
4) Tính thể tích hình khối ABCDKMH.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với
đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD.
1) Tính khoảng cách từ A đến (BCN).
2) Tính khoảng cách giữa SB và CN.
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC).
4) Tìm điều kiện của a và b để 3cosCMN
3 . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp
S.BCNM.
Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a.
Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a) .
1) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất.
2) Cho a
m3
, gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B].
Baøi 21: Cho hình vuoâng ABCD caïnh baèng a taâm I . Treân hai tia Ax, By cuøng chieàu vaø cuøng vuoâng goùc vôùi maët phaúng (ABCD) laàn löôït laáy hai ñieåm M,N . Ñaët AM=x, CN=y
1) Tính theå tích hình choùp ABCMN. 2) CMR ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå goùc MIN=900 laø 2xy=a2 .
Baøi 22: Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy laø tam giaùc vuoâng caân ABC vôùi caïnh huyeàn AB = 4 2 . Caïnh beân SC (ABC) vaø SC = 2 .Goïi M laø trung ñieåm cuûa AC, N laø trung ñieåm AB 1) Tính goùc cuûa hai ñöôøng thaúng SM vaø CN 2) Tính ñoä daøi ñoïan vuoâng goùc chung cuûa SM vaø CN.
HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN ( HOẶC MẶT CHÉO) VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
* Lưu ý: Đường cao của hình chóp là cạnh đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.
Ví dụ .
Cho hình choùp SABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a. Maët beân SAB laø tam giaùc ñeàu vaø vuoâng goùc vôùi ñaùy. Goïi H laø trung ñieåm cuûa AB vaø M laø ñieåm di ñoäng treân caïnh BC. Chöùng minh SH vuoâng goùc (ABCD). Ñaët x = CM vôùi 0 x a (a 0) . Tính khoaûng caùch töø S ñeán DM. Tìm x ñeå khoaûng caùch naøy lôùn nhaát. Giải.
Töø baûng bieán thieân ta coù: max f(x) 7 taïi x = 0.
Vậy: Maxd(S; DM) = 7
2
a, đạt được khi x = 0.
BÀI TẬP
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. SAD đều và vuông góc với (ABCD).
Gọi H là trung điểm của AD.
1) Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD).
2) Mặt phẳng ( ) qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( ) cắt các cạnh SB, SD.
3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D].
Baøi 2: Cho hình thoi ABCD taâm O, caïnh baèng a vaø AC=a, Töø trung ñieåm H cuûa caïnh AB döïng SH (ABCD) vôùi SH=a
1) Tính khoaûng caùch töø O ñeán maët phaúng (SCD). 2) Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SBC). Bài 3. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc với
mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 600 .
1) Tính SH và khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).
2) Gọi K là trung điểm cạnh AD. Chứng minh CK SD và tính số đo nhị diện (A, SD, C)
3) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( SCK).
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và vuông
Cho töù dieän ñeàu SABC coù caïnh laø a. Döïng döôøng cao SH. 1) Chöùng minh SA BC. Tính theå tích vaø dieän tích toaøn phaàn cuûa hình choùp SABC. 2) Goïi O laø trung ñieåm cuûa SH. Chöùng minh raèng OA, OB, OC ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau. Giải
1) Goïi M laø trung ñieåm BC a 3AM BC, AM
2 . Goïi SH laø ñöôøng cao cuûa töù dieän ñeàu,
neân SH laø truïc ñöôøng troøn (ABC) H laø taâm ñöôøng troøn (ABC) 2 a 3AH AM .3 3