GIẢI BÀI TẬP TỔNG ÔN · PDF fileGIẢI BÀI TẬP TỔNG ÔN Bài 1 Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi...

1

GIẢI BÀI TẬP TỔNG ÔN

Bài 1 Xét nền kinh tế có 2 ngành với ma trận hệ số chi phí trực tiếp dạng giá trị:

1,02,0

15,01,0A

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của phần tử 12a ; tổng các phần tử của dòng 1; tổng các phần tử của

cột 2.

2. Tìm ma trận 1)( AEC và giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử của ma trận này.

3. Lập bảng I/O nếu ma trận tổng cầu là: 400200X .

4. Lập bảng I/O nếu cầu cuối cùng của về sản phẩm của ngành 1 là 120 và tổng cầu về sản phẩm

của ngành 2 là 400. 5. Xác định ma trận tổng cầu nếu ma trận cầu cuối cùng là 1010x .

6. Cho biết muốn tăng cầu cuối cùng về sản phẩm của ngành 1 lên 1 đơn vị thì tổng cung của

ngành 2 phải tăng bao nhiêu?

Giải

Câu 1

+ Phần tử a12 = 0,15 là lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cần thiết để làm ra một đơn vị giá trị sản

phẩm ngành 2.

+ Tổng các phần tử dòng 1: a11 + a12 = 0,25 là lượng giá trị sản phẩm ngành 1 cần thiết để ngành

1 và ngành 2 mỗi ngành làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm.

+ Tổng các phần tử cột 2: a12 + a22 = 0,25 là lượng giá trị sản phẩm của 2 ngành cần thiết để

ngành 2 làm ra 1 đơn vị giá trị sản phẩm.

Câu 2 Ta có:

9,02,0

15,09,0)(

1,02,0

15,01,0AEA

Khi đó: 78,0 AE và

9,02,0

15,09,0)( AE

Ta lại có: CAEAE

AE

153,1256,0

192,0153,1

9,02,0

15,09,0

78,0

11)( 1

Xét phần tử 192,012 c : Để NKT tăng thêm một đơn vị giá trị cầu cuối cùng về sản phẩm 2 thì

tổng cầu về sản phẩm 1 phải tăng một lượng giá trị là 192,012 c .

Câu 3 Áp dụng công thức: )(ijXax jijij có:

40200.2,0;20200.1,0 1212111111 XaxXax

Tương tự tính: x12 = 60; x22 = 40. Ta nhận được bảng I/O sau:

Tổng cầu Cầu trung gian

1 2

Cầu cuối cùng

200

400

20 60

40 40

120

320

Câu 4 Ta có hệ phương trình:

2

320

200120

400.1,0

400.15,0

2,0

1,0

400 2

1

21

11

2

1

222

212

121

111

2

1

x

X

xX

XX

x

x

Xa

Xa

Xa

Xa

X

X gt

Bảng I/O nhận được trùng với bảng đã có ở câu 3.

Câu 5 Ta sử dụng công thức: )()( 1 xAEX

Thay vào (*) có:

10,14

46,13

10

10

9,02,0

15,09,0

78,0

1

2

1

X

XX là ma trận tổng cầu cần tìm.

Câu 6 Đây là câu hỏi về ý nghĩa kinh tế của phần tử c21 trong ma trận hệ số chi phí toàn bộ

1)( AEC . Ta có: 256,078,0

2,021 c . Để NKT tăng cầu cuối cùng sản phẩm 1 lên 1 đơn vị

giá trị đơn vị thì tổng cầu về sản phẩm 2 (hay tổng cung của ngành 2) phải tăng lên 0,256 đơn vị

giá trị.

Bài 2 Cho mô hình thị trường 2 hàng hoá:

22

212

11

211

220

5,0&

212

5,0248

pQ

ppmQ

pQ

ppQ

s

d

s

d

1. Hai mặt hàng trong mô hình là các mặt hàng thay thế hay bổ sung? vì sao?

2. Xác định trạng thái cân bằng của thị trường khi m = 90.

3. Xác định số % biến động của lượng cân bằng hàng hoá thứ nhất khi m tăng 1% tại m=90.

Giải

Câu 1 05,05,02482

1211

p

QppQ d

d có nghĩa là khi giá hàng thứ 1 không đổi giá

hàng 2 tăng lên thì cầu hàng 1 tăng; như vậy 2 hàng hoá trong mô hình là các hàng hoá thay thế

nhau. Ta cũng nhận được kết quả tương tự nếu sử dụng hàm cầu của hàng 2.

Câu 2 ĐKCB:

2035,0

605,04

21

21

22

11

mpp

pp

QQ

QQ

sd

sd

Theo qui tắc Cramer có:

75,11

5,01901

mp

;

75,11

11042

mp ( 0, 21

pp thì: 5,27m ).

Ta có: 75,11

158;

75,11

23921

mQ

mQ )8/150,( 21

mQQ

Thay m = 90 vào kết quả trên có: 60;28&40;20 2121

QQpp .

Câu 3 Ta có: 75,11

1

75,11

239

1

1

1/1

1

Q

m

m

Q

Q

mmQ

mQ

Khi m = 90 có: 273,0/1

mQ .

Bài 3 Cho mô hình thị trường một hàng hoá:

0

0

1,039

3,0232

IPQ

MPQ

QQ

S

D

SD

Trong đó: M0 – thu nhập, I0 – đầu tư với M0, I0 > 0.

3

1. Xác định trạng thái cân bằng thị trường bằng qui tắc Cramer.

2. Có ý kiến cho rằng khi I0 = M0 = 10 và cả hai đại lượng này cùng tăng 1% thì giá cân bằng

không đổi; ý kiến này có đúng không?

Giải

Câu 1 Đặt: QS = QD = Q; khi đó có hệ:

0

0

1,093

3,0322

IpQ

MpQ

Áp dụng qui tắc Cramer có: 5

782,09,0 00 IM

Q ; 5

411,03,0 00 IM

p với điều kiện

0411,03,0 00 IM .

Câu 2 Ta có: ),( 00 IMpp và nếu M0 và I0 đều tăng 1% thì số % biến động của giá cân bằng p là:

00 // IpMp (*)

Khi M0 = I0 =10 thì p 8,6; 02,0;06,000

I

p

M

p. Các hệ số co giãn là:

024,0;070,000 //

IpMp . Thay kết quả vào (*) có:

046,0024,0070,0

Như vậy, tại mức M0 = I0 = 10 và M0, I0 cùng tăng 1% thì giá cân bằng p tăng 0,046%. Tóm lại,

nhận định giá cân bằng p không đổi là nhận định sai.

Bài 4 Cho mô hình:

1&)10(

);10:0()( 00

0

gbggYG

abTbaTYbaC

GICY

Trong đó: Y-thu nhập; C-tiêu dùng; T0-thuế; I0- đầu tư; G-chi tiêu chính phủ.

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của a, b, g.

2. Xác định trạng thái cân bằng (Y*, C*, G*) bằng qui tắc Cramer.

3. Có ý kiến cho rằng nếu thuế T0 tăng thì thu nhập cân bằng giảm, nhưng chi tiêu chính phủ ở

trạng thái cân bằng tăng; ý kiến đó có thoả đáng?

4. Cho b = 0,7; a = 50, g = 0,1; I0 = 500; T0 = 50. Hãy cho biết nếu chỉ có thuế tăng 1% thì thu

nhập cân bằng giảm bao nhiêu %?

Giải

Câu 1 Ta có a là mức tiêu dùng khi thu nhập sau thuế: Y-T0 = 0; b là MPC(Y-T0); g- suất chi tiêu

chính phủ - hay mức tăng lên của chi tiêu chính phủ khi thu nhập quốc dân Y tăng 1 đơn vị.

Câu 2 Áp dụng qui tắc Cramer ta có kết quả:

)(

)1)((

1

00

00

00

bTaIgD

bTgbTaD

bTaID

bgD

G

C

Y

Khi ®ã:

4

),,,,(1

0000 TIgbaf

gb

bTaIY

),,,,(1

)(00

00 TIgbaggb

bTaIgG

Câu 3 Ta có: 010

gb

b

T

Y hay khi thuế tăng thu nhập cân bằng giảm là nhận định đúng.

Ta lại có: 010

gb

gb

T

G hay khi thuế tăng thì chi tiêu chính phủ tăng là nhận định sai.

Câu 4 Thay các số liệu trong giả thiết vào biểu thức thu nhập cân bằng có:

5,3;25750

T

YY .

Khi đó: 068,0)5,3(2575

50

0

0

/ 0

T

Y

Y

TTY

- thu nhập cân bằng giảm 0,068%.

Bài 5 Cho mô hình thu nhập quốc dân:

)10()1(

)10(

)10(

000

tYtY

YM

YC

MXGICY

d

d

d

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I0-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; Yd-thu nhập

sau thuế.

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của t?

2. Xác định thu nhập ở trạng thái cân bằng. 3. Cho .1,0;250;400;250;2,0;8,0 000 tXGI Cho biết nền kinh tế có thặng dư hay

thâm hụt thương mại; có thặng dư hay thâm hụt ngân sách?

Giải Câu 1 Ta có: tYTYtTYYd )1( - như vậy t là mức tăng lên của thuế khi thu nhập Y

tăng 1 đơn vị hay t là thuế suất.

Câu 2 Thay Yd vào các biểu thức của C và M ta có:

)3(

)2(

)1(

)1(

)1(

000

YtM

YtC

MXGICY

Ta có thể thay (2),(3) vào (1) để có:

)1()1(1

000

tt

XGIY

(4)

Câu 3 Thay các số liệu trong giả thiết vào (4) có:

52,1956* Y .Ta lại có: 17,35252,1956)1,01(2,0)1(* YtM . Tương tự:

65,19552,19561,0* tYT . Khi đó: 017,3522500 MX - nền kinh tế có thâm hụt

thương mại; 040065,1950* GT -nền kinh tế có thâm hụt ngân sách.

Bài 6 Cho mô hình nền kinh tế:

5

s

d

d

d

ML

rYL

rII

YtY

YM

YC

MXGICY

12004,0

2000

)1(

1,0

8,0

0

00

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tiêu dùng; I-đầu tư; X0-xuất khẩu; M-nhập khẩu; L-cầu tiền; r-

lãi xuất, Ms-cung tiền, Yd-thu nhập sau thuế.

1. Hãy xác định thu nhập và lãi suất cân bằng ),( rY .

2. Cho G0 = 400; I0 = 20; X0 = 150; t = 0,1; Ms = 400; cho biết hiện trạng của cán cân thương mại

và tình trạng ngân sách chính phủ. Tìm hệ số co giãn của Y* theo Ms, giải thích ý nghĩa kinh tế

của hệ số này?

Giải

Câu 1 Điều kiện cân bằng trên thị trường tiền tệ: )1(12004,0 ss MrYML

Thay Yd vào C, M; tiếp đó thay I, C, M vào phương trình của Y ta có:

)2(2000)7,03,0(

)1(1,02000)1(8,0

000

000

XGIrYt

YtXGrIYtY

Ghép (1) và (2) ta có hệ:

)3(2000)7,03,0(

12004,0

000

XGIrYt

MrY s

Áp dụng qui tắc Cramer với (3) ta có:

t

MXGIY s

8401160

2000)(1200 000

t

MtXGIr s

8401160

)7,03,0()(4,0 000

Câu 2 Thay giả thiết vào kết quả trên nhận được:

064,0;93,1192 rY

Nhập khẩu cân bằng: 015036,107.9,0.1,0 XYM -Nền kinh tế có thặng dư thương mại.

Thuế cân bằng: 0400293,1191,0 GYT -Nền kinh tế có thâm hụt ngân sách.

Bài 7 Cho mô hình:

sML

rYL

rI

YT

TYC

GICY

505

65

25,025

)(8,015

0

1. Trong mô hình trên các biến kinh tế nào là các biến nội sinh, các biến nào là các biến ngoại

sinh?

6

2. Tìm Y*, r* cân bằng. Dùng lý thuyết hệ hàm ẩn phân tích tác động của Ms, G0 tới thu nhập và

lãi suất cân bằng.

3. Cho Ms=1500; xác định mức chi tiêu chính phủ để cân đối được ngân sách.

4. Cho G0=94, Ms=1500; tìm các hệ số co giãn của Y* theo G0, M0 và giải thích ý nghĩa của kết

quả. Cho biết tình trạng của ngân sách chính phủ.

Giải

Câu 1 Mô hình có 6 phương trình nên các biến nội sinh là 6 gồm: Y, C, I, T, L, T; các biến ngoại

sinh là: G0, Ms.

Câu 2 Ta có kết quả: 25

)100(50 0 GM

Y s và 25

5004,05 0 sMG

r .

Phân tích tĩnh so sánh

Ta có hệ: (*)1004,0

505

0

GrY

MrY s

Trong đó: ),();,( 00 GMrrGMYY ss .

Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Ms ta có:

(**)

04,0

1505

ss

ss

M

r

M

Y

M

r

M

Y

Hệ (**) có nghiệm:

025

1

sM

Y- hay lượng cung tiền Ms tăng thì thu nhập cân bằng tăng.

025

4,0

sM

r-hay lượng cung tiền Ms tăng thì lãi suất cân bằng giảm.

Tương tự lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo G0 ta sẽ tìm được 00

&G

r

G

Y

.

Câu 3 Ms = 1500 thì có: 25

506500 0GY

. Điều kiện cân đối được ngân sách là:

.8025,025 000 GGYGT

Câu 4 Khi G0 = 94, Ms = 1500 có: Y* = 448; ta có: 42,0;13,0

0// GYMY s

Bài 8 Cho mô hình:

)0,(

)1;0,(

)1,0;0()1(

)0( 00

hkhrkYM

bllelreI

tbaYtbaC

GGICY

s

Trong đó: Y-thu nhập quốc dân; C-tổng tiêu dùng; I-tổng đầu tư; Ms-lượng cung tiền; G0-chi tiêu

chính phủ, r-lãi suất.

1. Xác định thu nhập, tiêu dùng và lãi suất cân bằng.

7

2. Cho biết khi b tăng lên, các yếu tố khác không đổi thì thu nhập cân bằng tăng hay giảm vì sao?

3. Cho biết khi b giảm đi, các yếu tố khác không đổi thì lãi suất cân bằng tăng hay giảm, vì sao?

Giải Câu 1 Thay I, C vào biểu thức của thu nhập Y có: 0)1(1 GealrYtb .

Ta có hệ:

(*))1(1 0

sMhrkY

GealrYtb

Áp dụng quy tắc Cramer có: lktbh

lMGeahY s

)1(1

)( 0

lktbh

tbMGeakr s

)1(1

)1(1)( 0

Y* > 0 theo giả thiết; r* > 0 nếu (**)0)1(1)( 0 tbMGeak s .

Câu 2 Ta có:

0

)1(1

)1()(2

0

lktbh

thlMGeah

b

Y s hay b tăng thì thu nhập cân bằng tăng.

Câu 3 Tương tự có:

0)1(1

)1()1(2

lktbh

tTShMStM

b

r s hay b tăng thì lãi suất cân bằng tăng.

Bài 9 Hàm doanh thu trung bình của một hãng độc quyền dạng: AR=240-0,5Q

1. Tìm hệ số co giãn của cầu theo giá tại mức giá p = 190; giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số

này?

2. Tìm hàm doanh thu biên; giải thích ý nghĩa kinh tế của tỷ số )(

)(

QAR

QMR khi Q=100.

3. Xác định mức biến động của TR(Q) khi doanh nghiệp tăng lượng hàng bán ra từ 80 lên 100

đơn vị?

4. Cho hàm chi phí 32 25,021240 QQQTC . Điểm hoà vốn của hãng có thuộc khoảng

(30,40) không? Vì sao?

Giải

Câu 1 Do AR(Q) = p nên có hàm cầu ngược: p = 240-0,5Q. Khi p = 190 thì Q = 100; và hệ số co

giãn của cầu theo giá: 8,3)5,0(

1

100

190

/

1/

dQdpQ

p

dp

dQ

Q

ppQ . Tại mức giá p = 190 nếu

giá tăng 1% cầu giảm 3,8%.

Câu 2 Hàm TR(Q)=AR(Q).Q=240Q-0,5Q2

khi đó hàm doanh thu biên QQRTQMR 240)()( .

Ta có: 73,0190

140

5,0240

240)(

)(/)(

)(

)(

)( 100

/

Q

QTRQ

Q

dQ

QdTR

QTR

Q

QQTR

QRT

QAR

QMR - hay tại mức

sản lượng Q = 100 mà tăng Q lên 1% thì doanh thu tăng 0,73%.

Câu 3 Mức tăng lên của tổng doanh thu là: 100

80

100

80

)240()( dQQdQQMRA

.3000|2

240 10080

2

Q

Q

Câu 4 Ta có hàm lợi nhuận: 402285,125,0)()()( 23 QQQQTCQTRQ

54,19;54,150228375,0)( 212 QQQQQ

8

B¶ng xÐt dÊu:

Q -15,54 0 19,54

)(Q - 0 | + 0 -

)(Q | ®ång biÕn | nghÞch biÕn

NhËn thÊy hµm )(Q nghÞch biÕn khi Q > 19,54. MÆt kh¸c l¹i cã:

04520)40(

01400)30(

KÕt hîp c¶ 3 ý trªn th× ta kÕt luËn ph­¬ng tr×nh 0)( Q cã duy nhÊt mét nghiÖm )40,30(Q -

chÝnh lµ ®iÓm hoµ vèn cña h·ng.

Bài 10 Cho mô hình thị trường hàng hoá:

)1,,(2110

15

ppS

pD

Với: p-giá một đơn vị hàng hoá (p >0) .

Chứng minh rằng thị trường trên luôn tồn tại trạng thái cân bằng và giá cân bằng không thể lớn

hơn 1.

Giải Xét hàm dư cung: ppppf 152110)( là hàm liên tục khi p > 0.

Giá cân bằng nếu có ký hiệu là p thì tại đó luôn có:

0)()()()()( pDpSpfpDpS

Như vậy, ta phải chứng minh phương trình 0)( pf có duy nhất một nghiệm )01( .

Ta đã có: ppppf 152110)( là hàm liên tục khi p > 0.

Mặt khác: 00152110)( 111 pppppf hay f(p) đồng biến.

Ta lại có: 0152110)1( f

Và:

)(lim0

pfp

Từ 3 điều trên thì phương trình 0)( pf có duy nhất một nghiệm )01( hay giá cân bằng tồn

tại và không thể lớn hơn 1.

Bài 11 Cho mô hình thị trường hàng hoá A có dạng;

0

2

01,0

2,0

24

5,1

YYpD

pS

Trong đó: p-giá hàng A (p > 0), Y0 (Y0 > 0) là thu nhập.

1. Chứng minh rằng thị trường hàng A luôn tồn tại trạng thái cân bằng.

2. Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động của giá cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi. Sử

dụng hàm cung, hãy phân tích biến động của lượng cân bằng khi Y0 thay đổi.

3. Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi

Y0 thay đổi.

Giải

Câu 1 Hàm dư cung: 0

2

01,02,0 245,1)( YYpppf

+ Hàm dư cung xác định, liên tục 0p .

+ Ta lại có: 004,03,0)( 1,18,0 ppppf

9

khi đó hàm dư cung là hàm đồng biến 0p .

+ Mặt khác lại có:

00245,1)1( 00

2

0 YYYf

)(pfLimp

Khi đó theo định lý về giá trị trung gian của hàm liên tục phương trình f(p) = 0 có duy nhất một

nghiệm và nghiệm đó lớn hơn 1- nghiệm này chính là giá cân bằng.

Câu 2 Ta luôn có: 02)(4)(5,1),( 0

2

01,02,0

0 YYppYpF xác định ẩn hàm )( 0Ypp .

Theo qui tắc đạo hàm hàm ẩn có: 0)(4,0)(3,0

14

/

/1,18,0

00

0

pp

Y

pF

YF

dY

dp

Hay 0Y tăng thì giá cân bằng p* tăng.

Ta lại có:

)(

)(5,1)(

0

2,0

Ypp

ppSQ

Khi đó: 0)(3,00

8,0

00

dY

dpp

dY

dp

dp

dQ

dY

dQ- hay khi Y0 tăng thì lượng cân bằng Q* tăng.

Câu 3 Sử dụng cả hai hàm cung và cầu ta có hệ:

(*)02)(4

0)(5,1

0

2

01,0

2,0

YYpQ

pQ

xác định ẩn hai hàm số: )();( 00 YppYQQ .

Lấy đạo hàm toàn phần hệ (*) theo Y0 có kết quả:

(**)

14)(4,0

0)(3,0

0

0

1,1

0

0

8,0

0

YdY

dpp

dY

dQ

dY

dpp

dY

dQ

Ta có định thức Jacobi dạng:

8,01,1

1,1

8,0

)(3,0)(4,0)(4,01

)(3,01

ppp

pJ

Theo qui tắc Cramer có:

0)14()(3,0)(4,014

)(3,00

08,01,1

0

8,0

0

J

Yp

J

pY

p

dY

dQ

014141

01

00

0

J

Y

J

Y

dY

dp

Ta dễ nhận thấy các kết quả nhận được trùng với các kết quả đã có ở phần trên. Như vậy, khi thu

nhập Y0 tăng thì cả giá cân bằng và lượng cân bằng đều tăng.

Bài 12 Cho mô hình thị trường A dạng:

10

0

2

0

1

2,012

3,02100

T

pS

YpD

Trong đó: Y0-thu nhập; T0-thuế; p-giá; Y0,T0, p > 0.

1. Chứng minh rằng thị trường hàng A luôn tồn tại trạng thái cân bằng.

2. Dùng đạo hàm hàm ẩn phân tích biến động của giá cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi; khi T0

thay đổi.

3. Sử dụng hàm cung, hãy phân tích biến động của lượng cân bằng khi Y0 thay đổi; sử dụng hàm

cầu để phân tích sự biến động của lượng cân bằng khi T0 thay đổi.

4. Sử dụng qui tắc tính đạo hàm của hệ hàm ẩn để phân tích biến động của trạng thái cân bằng khi

Y0, T0 thay đổi.

Giải

Câu 1 Trước hết ta đặt điều kiện để cung và cầu đều dương:

Ta giải hệ: (*)15,05060)0(60

15,050

0

00

0Yp

pdop

Yp

S

D

Ta có hàm dư cung:

0

0

2

3,021001

2,012)()()( Yp

T

ppDpSpf

với điều kiện (*).

Ta lại có: 021

4,0)(

0

T

ppf - hàm dư cung là hàm đồng biến.

Mặt khác có: 03,0602100)60()60( 0 YDf

01

)150225,02500(2,012)15,050()15,050(

0

0

2

000

T

YYYSYf

Khi đó theo định lý về giá trị trung bình của hàm liên tục phương trình f(p) có duy nhất một

nghiệm và nghiệm đó thoả mãn (*)- hay đó chính là giá cân bằng.

Câu 2 Giá cân bằng thoả mãn:

),,(03,0)(21001

)(2,012)()()( 000

0

2

TYpFYpT

ppDpSpf

(**)

Hệ thức (**) xác định ẩn hàm hai biến ),( 00 TYpp ; khi đó theo qui tắc tính đạo hàm hàm ẩn

có kết quả sau:

0

1

4,02

3,0

1

4,02

3,0

/

/

00

0

0

T

p

T

ppF

YF

Y

p-hay Y0 tăng thì giá cân bằng

tăng.

Tương tự có: 0

1

4,02

)1(

)(2,012

/

/

0

20

2

0

0

T

p

T

p

pF

TF

T

p vì giá cân bằng p* thoả mãn (*).

Câu 3 Ta có:

11

),(

1

)(2,012)(

00

0

2

TYpp

T

ppSQ

Khi đó có: 01

4,0

0000

Y

p

T

p

Y

p

p

Q

Y

Q- hay Y0 tăng thì Q* tăng (với điều kiện T0 không

đổi).

Tương tự ta cũng có:

),(

3,02100)(

00

0

TYpp

YppDQ

Khi đó có: 02000

T

p

T

p

p

Q

T

Q-hay thuế tăng lượng cân bằng giảm.

Ta dùng hàm cung để phân tích biến động của lượng cân bằng khi T0 tăng, dùng hàm cầu để phân

tích biến động của lượng cân bằng khi thu nhập Y0 thay đổi; tuy nhiên cách làm này thường

không thuận lợi bằng cách ta đã làm trên.

Câu 4 Ta có hệ:

01

)(2,012

03,02100

1

)(2,012

3,02100

0

2

0

0

2

0

T

pQ

YpQ

T

pQ

YpQ

(*)

Hệ (*) xác định ẩn hai hàm số hai biến số là: ),( 00 TYQQ và ),( 00 TYpp .

Lấy đạo hàm riêng toàn phần hệ (*) theo Y0 ta có:

01

4,0

3,02

01

4,0

03,02

000

00

000

00

Y

p

T

p

Y

Q

Y

p

Y

Q

Y

p

T

p

Y

Q

Y

p

Y

Q

(**)

Ta có định thức Jacobi:

0

01

4,02

1

4,01

21

T

p

T

pJ

Theo qui tắc Cramer có:

01

12,0

1

4,00

23,0

00

0

J

T

p

J

T

p

Y

Q- hay khi Y0 tăng lên thì Q* tăng.

Tương tự có:

03.001

3,01

0

JJY

p-hay Y0 tăng thì giá p* tăng.

Các kết quả nhận được đều trùng với các kết quả đã có. Tương tự nếu lấy đạo hàm riêng toàn

phần hệ trên theo T0 ta sẽ tính được các đạo hàm còn lại.

12

Bài 13 Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá:

2

2

230

5,0180

s

d

Qp

Qp

1. Xác định trạng thái cân bằng.

2. Giả sử Chính phủ đánh một lượng thuế là t trên một đơn vị hàng bán ra; hỏi phải định t là bao

nhiêu thì tổng thuế thu được là cực đại.

3. Phải chăng khi thuế tăng 1% thì giá cân bằng tăng 1%?

Gi¶i

Câu 1 Tr¹ng th¸i c©n b»ng lµ nghiÖm cña hÖ;

150

60

230

5,0180

2

2

p

Q

Qp

Qp

Câu 2 Khi cã thuÕ t th× tr¹ng th¸i c©n b»ng míi lµ nghiÖm cña hÖ:

0;

230

5,0180

2

2

tp

Qp

Qtp

s

s

s

Ta cã l­îng c©n b»ng: )1500(5,2

150~

t

tQ

Tæng thuÕ thu ®­îc: max5,2

150~

ttQtT

NhËn thÊy T ®¹t lín nhÊt cïng víi 2,5T3 hay xÐt: max)150()( 2 tttf

Ta lu«n cã: 0

100033000)(

t

ttttf

0)100( f

VËy l­îng thuÕ thu ®­îc ®¹t cùc ®¹i t¹i t*=100.

C©u 3 Khi cã thuÕ gi¸ c©n b»ng thÞ tr­êng lµ gi¸ ng­êi mua:

5

1505

4150~ t

tttpp s

cã: 1750

~

~/~

t

t

dt

pd

p

ttp - vËy khi t¨ng t lªn 1% th× p~ t¨ng ch­a tíi 1%.

Bài 14 Cho hàm: 75145)( 23 QQQQTC ; với Q là sản lượng (Q 0).

1. Tìm hàm VC(Q); AVC(Q). Xác định FC.

2. Tìm hệ số co giãn của tổng chi phí theo Q tại mức Q = 10 và giải thích ý nghĩa kinh tế của nó.

3*. Tìm các hàm MC(Q) và AC(Q); chứng minh rằng MC cắt AC tại điểm mà AC(Q) đạt cực

tiểu.

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: 75)0( TCFC ; QQQFCQTCQVC 145)()( 23 .

Khi ®ã cã: 145)(

)( 2 QQQ

QVCQAVC

13

C©u 2 Ta cã TC(10) = 715; l¹i cã: 214)10(14103)()( 2 MCQQQCTQMC

Khi ®ã: 99,2214.715

10)(.

)(

10

/ Q

QTC QMCQTC

Q

ý nghÜa kinh tÕ: T¹i møc Q = 10 mµ ta t¨ng Q lªn 1% th× tæng chi phÝ t¨ng lªn xÊp xØ 2,99%.

C©u 3 Ta cã: Q

QQQ

QTCQAC

75145

)()( 2

075

52)(2

Q

QQCA (1)

VÕ tr¸i cña (1) lµ hµm sè liªn tôc khi Q > 0 vµ cã:

00150

2)(3

QQ

QCA - vÕ tr¸i cña (1) ®ång biÕn khi Q>0

MÆt kh¸c l¹i cã:

Q

QCLimA

CA

)(

0)1(

Tõ c¸c kÕt qu¶ trªn ta kÕt luËn hµm AC(Q) ®¹t cùc tiÓu t¹i mét ®iÓm Q* > 0 tho¶ m·n:

0)(

7552

2

QQ (2)

XÐt: 075

521410375

145)()( 222

QQQQQ

QQQQMCQAC

075

520)75

52(22

Q

QQ

QQ (3)

§Ó ý ®Õn (2) th× (3) cã nghiÖm lµ Q* hay MC(Q) c¾t AC(Q) t¹i ®iÓm mµ AC(Q) ®¹t cùc tiÓu.

(Ta còng cã thÓ dïng m¸y tÝnh ®Ó tÝnh gÇn ®óng Q*).

Bài 15 (Quan hệ giữa hàm tổng và các hàm suy dẫn)

Cho hàm tổng T(x) (chẳng hạn đó là hàm tổng chi phí, hàm tổng doanh thu,…)

1. Hãy viết hàm cận biên M(x); hàm trung bình A(x).

2. Giải thích ý nghĩa của tỷ số: )(

)(

xA

xM.

3. Chứng tỏ rằng, khi A(x) đạt cực trị tại x* thì M(x*)=A(x*).

4. Hãy nêu qui tắc chung để vẽ các đường A(x) và M(x) lên cùng một hệ trục toạ độ khi A(x) có

cực trị.

5. Có kết luận gì về hệ số co giãn của T theo x tại điểm mà A(x) đạt cực trị.

Gi¶i

C©u 1 Hµm cËn biªn )()( xTxM ; hµm trung b×nh )0()(

)( xx

xTxA .

C©u 2 Ta cã: xTdx

xdT

xT

x

xA

xM/

)(

)()(

)( - hÖ sè co gi·n cña hµm T(x).

C©u 3 vµ 4 Ta cã: )0()(

)( xx

xTxA

14

2

)().()(

x

xTxxTxA

Khi A(x) ®¹t cùc trÞ t¹i x* th×:

)()()()(

0)()(0)(

xMxAxT

x

xTxTxxTxA

a. NÕu A(x) ®¹t cùc tiÓu t¹i x* th×:

+ Khi xx cã: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (1)

HÖ thøc (1) chøng tá khi xx th× ®å thÞ cña ®­êng M(x) thÊp h¬n ®å thÞ cña A(x).

+ Khi xx cã: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (2)

HÖ thøc (2) chøng tá khi xx th× ®å thÞ cña ®­êng M(x) cao h¬n ®å thÞ cña A(x).

b. NÕu A(x) ®¹t cùc ®¹i t¹i x* th×:

+ Khi xx cã: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (3)

HÖ thøc (3) chøng tá khi xx th× ®å thÞ cña ®­êng M(x) cao h¬n ®å thÞ cña A(x).

+ Khi xx cã: )()()(

)(0)()(0)( xAxMx

xTxTxTxxTxA (4)

HÖ thøc (4) chøng tá khi xx th× ®å thÞ cña ®­êng M(x) cao h¬n ®å thÞ cña A(x).

C©u 5 Ta cã: 1)(

)()(

)(/

xA

xMxT

xT

xxT

Bài 16 Lượng cầu về hàng hoá A phụ thuộc vào giá p dạng:

)0,( nkp

kD

nA

1. Hệ số co giãn của DA có phụ thuộc vào giá p hay không?

2. Với n = 1; hãy tính 2

2

dp

DdD A

A và giải thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả đạt được.

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: 0/

/

nkppk

p

dp

dD

D

p nn

A

ApAD - hÖ sè co gi·n kh«ng phô thuéc gi¸.

C©u 2 Khi n = 1 cã: 0020)1( 321 pkpDkpDkpD AAA

§©y lµ t×nh huèng kinh tÕ mµ gi¸ t¨ng lªn cÇu gi¶m vµ tèc ®é gi¶m cña cÇu theo gi¸ t¨ng khi gi¸

t¨ng (hoÆc nãi ®¬n gi¶n: gi¸ t¨ng cÇu gi¶m víi nhÞp t¨ng).

Bài 17 Dân số của một quốc gia là: )0,(2 00 aHHH at ; tổng tiêu dùng của quốc gia này

là: )0,( 00 bCeCC bt ; trong đó t là biến thời gian.

1. Giải thích ý nghĩa của H0, C0.

2. Tìm nhịp tăng trưởng của tiêu dùng tính trên đầu người của quốc gia trên.

Gi¶i

C©u 1 XÐt 02)0(2)( 00.

00 HHHHtH aat - vËy H0 lµ d©n sè vµo thêi ®iÓm gèc.

T­¬ng tù xÐt: 0)0()( 00.

00 CeCCeCtC bbt - VËy C0 lµ tiªu dïng vµo thêi ®iÓm gèc.

15

C©u 2 Tõ 2ln2ln...2.2

112)( 0

00 aaH

Hdt

dH

HrHtH at

atHat

T­¬ng tù cã: brC . Tiªu dïng tÝnh trªn ®Çu ng­ßi lµ C/H; khi ®ã ¸p dông c«ng thøc nhÞp t¨ng

tr­ëng cña mét th­¬ng cã: 2ln/ abrrr HCHC

Bài 18 Cho G = G(t), S = S(t) lần lượt là các hàm xuất khẩu hàng hoá và dịch vụ của Việt nam;

biết nhịp tăng trưởng của xuất khẩu hàng hoá rG = a (a > 0), nhịp tăng trưởng của xuất khẩu dịch

vụ rS = b (b > 0). Hãy viết biểu thức của nhịp tăng trưởng của tổng xuất khẩu X(t) = G(t) + S(t).

Gi¶i

¸p dông c«ng thøc nhÞp t¨ng tr­ëng cña mét tæng cã:

btStG

tSa

tStG

tGr

tStG

tSr

tStG

tGr SGX

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

Bài 19 Cho xuất khẩu của Việt nam là: )0,()( 00 aXeXtX at ; nhập khẩu của Việt nam là:

)0,( 00 bMeMM bt .

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của X0, M0, a, b.

2. Tìm nhịp tăng trưởng của xuất khẩu ròng NX(t) = X(t) - M(t).

3*. Giả sử vào thời điểm gốc có thâm hụt thương mại; hãy cho biết diễn biến của cán cân thương

mại trong tương lai.

Gi¶i

C©u 1 LËp luËn t­¬ng tù c¸c bµi tËp ®· cã th×:

X0 - xuÊt khÈu vµo thêi ®iÓm gèc; M0 - nhËp khÈu vµo thêi ®iÓm gèc; vµ cã: brar MX , .

C©u 2 ¸p dông c«ng thøc nhÞp t¨ng tr­ëng cña mét hiÖu cã:

btMtX

tMa

tMtX

tXr

tMtX

tMr

tMtX

tXr MXEX

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

)()(

)(

C©u 3 Theo gi¶ thiÕt cã th©m hôt th­¬ng m¹i vµo thêi ®iÓm gèc nªn cã: M0 > X0 (1). Khi ®ã cã 2

t×nh huèng x¶y ra:

a. NÕu nhÞp t¨ng tr­ëng cña xuÊt khÈu kh«ng v­ît qu¸ nhÞp t¨ng tr­ëng cña nhËp khÈu th× th©m

hôt th­¬ng m¹i duy tr× vÜnh viÔn. ThËt vËy:

0

00)2(

)1(00

000000 teXeMte

X

e

M

tat

X

bt

M

a

X

b

M atbtatbt

b. NÕu nhÞp t¨ng tr­ëng cña xuÊt khÈu lín h¬n nhÞp t¨ng tr­ëng cña nhËp khÈu th× sÏ cã mét thêi

®iÓm EX = 0 vµ sau thêi ®iÓm ®ã EX > 0. ThËt vËy:

0

0)(00)()(

X

MeeMeXtMtX tbabtat (3)

Do cã gi¶ thiÕt (1) vµ a > b nªn ph­¬ng tr×nh (3) cã 1 nghiÖm d­¬ng duy nhÊt:

ba

XMt

)/ln( 00

DÔ thÊy khi 0)()()( tEXtMtXtt .

16

Bài 20 Một hãng độc quyền có hàm sản xuất ngắn hạn là: 5,04LQ ; hàm cầu ngược đối với sản

phẩm của hãng là: Qp 2200 . Hãng có thể thuê lao động với mức lương cố định là 8$/1 đơn

vị.

1. Xác định số đơn vị lao động L cần thuê để lợi nhuận của hãng đạt cực đại.

2. Tìm hệ số co giãn của lợi nhuận theo L tại mức L = 25; giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số

này?

3. Cho biết hàm thu hút lao động của hãng có dạng teL 03.02,1 với t là biến thời gian. Hãy tính

nhịp tăng trưởng của sản lượng Q.

Giải

Câu 1 Ta có: 16

42

5,0 QLLQ ;

28

16

22 QQLpTC ; QQpQTR )2200( . Khi đó:

)0(2005,2 2 QMaxQQ

4002005 QQ

05 ; hàm lợi nhuận là hàm lõm, nên mức sản lượng cực đại lợi nhuận là 40Q .

Mức sử dụng lao động tối ưu là: 100L .

Câu 2 Ta có quan hệ:

)(

)(

LQQ

Q

Nên theo qui tắc tính hệ số co giãn của hàm hợp có: (*)/// LQQL

Khi L = 25 thì 20254 Q ; 3000)20( .

3

2)2005(

3000

20/

QQ Q

Q

dQ

dQ; Ta lại có: 5,0/

dL

dQ

Q

LLQ . Thay các kết quả

nhận được vào (*) có: 33,03

1/ L . Ý nghĩa kinh tế: nếu doanh nghiệp tăng 1% lao động thì

lợi nhuận tăng xấp xỉ 0,33%.

Câu 3 Ta có quan hệ:

(**))(

)(/ LLQQ rr

tLL

LQQ

Khi teL 03.02,1 thì 03,0Lr ; và ta đã có 5,0/ LQ nên từ (**) xác định được: 015,0Qr - có

nghĩa là nhịp tăng trưởng của sản lượng là 1,5% năm (khi đơn vị thời gian là năm).

Bài 21 Cho hàm lợi nhuận bậc hai: )0()( 2 QkjQhQQ

Hãy cho biết các điều kiện đối với các hệ số h, j, k để hàm lợi nhuận trên thoả mãn đồng thời các

điều kiện kinh tế sau:

1. Khi sản lượng bán ra Q = 0 thì lợi nhuận âm

2. Hàm lợi nhuận là hàm lồi ngặt (thực lồi)

3. Lợi nhuận )(Q đạt cực đại tại Q* > 0

Gi¶i

C©u 1 Ta ph¶i cã: 00)0( k (1)

17

C©u 2 MÆt kh¸c: 02)( jhQQ vµ do theo gi¶ thiÕt h kh¸c kh«ng nªn cã nghiÖm:

02

h

jQ khi jh < 0 (2). §Ó hµm lîi nhuËn ®¹t cùc ®¹i t¹i Q* ph¶i cã 0)( Q . Ta cã:

002 hh (3); kÕt hîp víi (2) th× cã: j > 0.

C©u 3 H¬n n÷a vÒ mÆt kinh tÕ th× lîi nhuËn cùc ®¹i ph¶i d­¬ng:

0402

4)( 2

)3(2

hkjh

hkjQ (4)

Tãm l¹i c¸c hÖ sè j, h, k tho¶ m·n côm ®iÒu kiÖn sau:

04

0

0

0

2 hkj

h

j

k

Bài 22 Cho hàm số: )0;0,,(

xcbaxc

bay

1. Tìm x

Limy ; xác định giao của y với oy; khảo sát tính tăng giảm ; tính lồi lõm của y; vẽ đồ thị

của y.

2. Nếu ta dùng hàm số trên làm hàm chi tiêu (a consumption function) với x là thu nhập; y là

lượng tiêu dùng, thì các hệ số a, b, c phải thoả mãn thêm điều kiện gì để có được tính hợp lý về

mặt kinh tế?

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: axc

bay

xx

)(limlim - hay y = a lµ tiÖm cËn ngang cña ®­êng cong trªn khi

x . Ta l¹i cã: c

bay )0( lµ tung ®é giao ®iÓm cña ®­êng cong ®· cho víi trôc tung. MÆt

kh¸c:

00)( 2

xcx

by hµm sè lu«n ®ång biÕn

00

)(

23

xxc

by hµm ®· cho låi

(Tù vÏ ®å thÞ)

C©u 2 §Ó hµm sè trªn cã thÓ dïng lµm hµm tiªu dïng ta cÇn cã ®iÒu kiÖn lµ: 0c

ba (*). Khi

®ã tÝnh hîp lý vÒ mÆt kinh tÕ ®­îc gi¶i thÝch nh­ sau:

+ §iÒu kiÖn (*) chØ ra tiªu dïng tù ®Þnh (tiªu dïng khi thu nhËp x = 0 lu«n d­¬ng)

+ 0y - hµm sè ®ång biÕn theo x, hay thu nhËp x t¨ng th× tiªu dïng t¨ng. Thªm vµo ®ã cã

0y th× tèc ®é t¨ng cña y theo x gi¶m- cã nghÜa lµ thu nhËp t¨ng th× tiªu dïng t¨ng nh­ng tèc

®é t¨ng nµy gi¶m dÇn khi x t¨ng. H¬n n÷a, tõ axc

bay

xx

)(limlim ta thÊy khi thu nhËp x

ë møc rÊt rÊt cao th× tiªu dïng cã xu thÕ b·o hoµ.

Bài 23 Tìm hàm tổng chi phí trong các trường hợp sau:

18

1. 100;3815)()( 2 FCQQQMCQC .

2. 30;3 5,0 FCQeMC Q .

3. 90;2 2,0 FCeMC Q

Gi¶i

C©u 1 Hä hµm tæng chi phÝ cã d¹ng:

CQQQdQQQdQQMCQTC 345)3815()()( 232 (1)

MÆt kh¸c cã:

100)0(100)1(

CCTCFC -hay hµm chi phÝ tho¶ m·n ®Çu bµi cã d¹ng:

100345)( 23 QQQQTC

C©u 2 Hä hµm tæng chi phÝ cã d¹ng:

dQeQdQQMCQTC Q5,0.3)()( (1)

¸p dông c«ng thøc tÝch ph©n tõng phÇn: vduuvudv víi:

QQ edQevdQduQu 5,05,0 2;33 khi ®ã hä hµm chi phÝ cã d¹ng:

CeQedQeQeQTC QQQQ 5,05,05,05,0 12666)( (2)

Thay Q = 0 vµo (2) cã:

30 = TC(0) = -12 + C, vËy cã C = 42 – hay hµm chi phÝ tho¶ m·n ®Çu bµi lµ:

42126)( 5,05,0 QQ eQeQTC

C©u 3 Hä hµm tæng chi phÝ cã d¹ng:

CeQdedQedQQMCQTC QQQ 2,02,02,0 10)2,0(102)()( (1)

Thay Q = 0 vµo (1) cã:

8010)0(90 CCTCFC

Hµm chi phÝ tho¶ m·n ®Çu bµi cã d¹ng:

8010)( 2,0 QeQTC

Bài 24 Cho khuynh hướng tiết kiệm biên:

5,01,03,0)()( YYMPSYS

1. Hãy tìm hàm tiết kiệm nếu biết tiết kiệm bằng không khi thu nhập Y = 81 $.

2. Cho biết mức tăng lên của tổng tiết kiệm nếu thu nhập tăng từ Y = 100 lên Y = 200?

Gi¶i

C©u 1 Hä hµm tiÕt kiÖm cã d¹ng:

CYYdYYdYYSYS 2/15,0 2,03,0)1,03,0()()( (1)

Thay Y = 81 vµo (1) cã:

5,22812,081.3,0)81(0 CCS

Hµm tiÕt kiÖm tho¶ m·n ®Çu bµi cã d¹ng:

5,222,03,0)( 2/1 YYYS

C©u 2 Møc t¨ng lªn cña tæng tiÕt kiÖm lµ:

19

2232)2,03,0()1,03,0()()()100()200(200

100

2/1200

100

5,0200

100

200

100

YYdYYdYYMPSYSSS

Bài 25 Tìm các hàm tổng doanh thu R(Q) trong các trường hợp sau:

1. QeQQR 3,028)(

2. 2)1(10)( QQR

Gi¶i (Ta lu«n thõa nhËn ®iÒu kiÖn biªn lµ TR(0)=0)

C©u 1 Hä hµm tæng doanh thu cã d¹ng:

CeQdQeQdQQMRQTR QQ 3,023,0

3

1014)28()()( (1)

Thay Q = 0 vµo (1) cã:

3

10

3

10)0(0 CCTR

Hµm tæng doanh thu tho¶ m·n ®Çu bµi lµ:

3

10

3

1014)( 3,02 QeQQTR

C©u 2 Hä hµm tæng doanh thu cã d¹ng:

CQQdQdQQMRQTR 12 )1(10)1()1(10)()( (1)

Thay Q = 0 vµo (1) cã:

1010)0(0 CCTR

Hµm tæng doanh thu tho¶ m·n ®Çu bµi lµ:

101

10)(

QQTR

Bài 26 Tìm hàm tổng nhập khẩu M(Y) với Y là thu nhập quốc dân nếu khuynh hướng nhập khẩu

biên là 1,0)( YM và M = 20 khi Y = 0. Xác định mức gia tăng của tổng nhập khẩu nếu thu

nhập quốc dân Y tăng từ Y = 2000 lên Y = 2500?

Gi¶i

Hä hµm nhËp khÈu cã d¹ng:

CYdYdYYMYM 1,01,0)()( (1)

Thay Y = 0 vµo (1) cã:

20 = M(0) = C hay hµm nhËp khÈu tho¶ m·n ®Çu bµi cã d¹ng:

M(Y)=0,1Y+20

Møc t¨ng lªn cña nhËp khÈu lµ:

501,01,0)()()2000()2500(2500

2000

2500

2000

2500

2000

2500

2000 YdYdYYMYMMM

Bài 27 Biết tiêu dùng C bằng thu nhập Y khi Y=100 $ và khuynh hướng tiêu dùng biên là: 5,01,08,0)()( YYMPCYC .

1.Tìm hàm tiêu dùng.

2. Cho biết mức tăng lên của tiêu dùng khi thu nhập tăng từ 100 $ lên 200 $.

3. Tính hệ số co giãn của tiêu dùng tại mức thu nhập Y = 200 $, giải thích ý nghĩa kinh tế của nó.

20

Gi¶i

C©u 1 Hä hµm tiªu dïng cã d¹ng:

CYYdYYdYYMPCYC 2/15,0 2,08,0)1,08,0()()( (1)

Thay Y = 100 vµo (1) cã:

18280)100(100 CCC

Hµm tiªu dïng tho¶ m·n ®Çu bµi cã d¹ng:

182,08,0)( 2/1 YYYC

C©u 2 Møc t¨ng lªn cña tiªu dïng lµ:

200

100

5,0200

100

2260)1,08,0()(100

200)()100()200( dYYdYYMPCYCCC

C©u 3 Khi Y = 200 cã 22178)200( C vµ 22

1,08,0)200( C

Ta cã: dY

dC

C

YYC / , t¹i Y=200 cã: 924,0/ YC

T¹i møc thu nhËp Y = 200 nÕu thu nhËp t¨ng 1% th× tiªu dïng t¨ng xÊp xØ 0,924%.

Bài 28 Một hãng có hàm chi phí biên 70023 2 QQMC . Hàm doanh thu trung bình

QAR 1900 .

1. Hãy xác định mức tăng lên của tổng chi phí khi sản lượng tăng từ 10 sản phẩm lên 20 sản

phẩm.

2. Cho FC = 30; hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận của hãng. Có ý kiến cho rằng

tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận của hãng thì TC đạt cực tiểu, đồng thời TR đạt cực đại; ý

kiến này có đúng hay không?

3. Cho FC = 30; chứng tỏ rằng đường AC đạt giá trị bé nhất tại ).3,1(Q

Giải

Câu 1 Mức tăng lên của tổng chi phí là:

13700700)70023()()()10()20(20

10

2320

10

220

10

20

10 QQQdQQQdQQMCQTCTCTC

Câu 2 Ta có: 30700)( 23 QQQQTC ; 21900)()( QQQARQQTR ; khi đó:

)0(max301200)( 3 QQQQ

20012003)(0

2

QQQQ

006)( QQQ ; do vậy lợi nhuận đạt cực đại tại mức sản lượng Q*=20.

Rõ ràng ý kiến đó là sai vì hàm TC(Q) không có cực tiểu; hàm TR(Q) đạt cực đại tại Q**=950.

Câu 3 Ta có: )0(30

700)(

)( 2 QQ

QQQ

QTCQAC

(*)030

12)()(2

Q

QQgQCA

0060

2)()(3

QQ

QgQCA (**)

21

Dễ nhận thấy:

+ )()( QgQCA là hàm liên tục khi Q > 0.

+ Do có (**) thì g(Q) là hàm đồng biến khi Q > 0

+ Ta lại có: .025

305)3(;03012)1( gg

Ta khẳng định phương trình (*) có một nghiệm duy nhất )3,1(Q ; đồng thời tại Q* hàm AC(Q)

đạt cực tiểu vì (**) chứng tỏ nó là hàm lồi khi Q > 0.

Bài 29 Một công ty độc quyền có hàm cầu ngược: QP 3,0400 ; hàm chi phí biên:

100;3,0 FCQMC .

1. Tìm các giá trị Q dương để đảm bảo khi công ty tăng sản lượng thì doanh thu tăng.

2. Có ý kiến cho rằng mức sản lượng tối đa hóa doanh thu của công ty cũng sẽ tối đa hóa lợi

nhuận. Hãy nhận xét ý kiến này.

Giải

Câu 1 Ta có: QQMRQQPQQTR 6,0400)(3,0400)( 2

Để khi công ty tăng sản lượng doanh thu tăng ta phải có MR(Q) > 0; ta có hệ:

6,0

4000

06,0400

0

0)(

0

Q

Q

Q

QMR

Q

Câu 2 Ta có: QQMRQQPQQTR 6,0400)(3,0400)( 2

3

20000)( QQMR

QQRTQRM 06,0)()(

Hàm TR(Q) đạt giá trị lớn nhất tại 3

2000Q .

Từ giả thiết 100;3,0 FCQMC ta có: 10015,0)( 2 QQTC ; khi đó hàm lợi nhuận dạng:

10040045,0)( 2 QQQ

Dễ chỉ ra được hàm lợi nhuận đạt cực đại tại 9

4000ˆ Q . Tóm lại ý kiến của đầu bài là ý kiến sai.

Bài 30 Một công ty độc quyền có hàm doanh thu trung bình QAR 325 ; hàm chi phí biên:

2523 2 QQMC và chi phí cố định là FC.

1. Tìm hàm chi phí bình quân của công ty trên. Cho 455 FC , chứng minh rằng hàm chi phí

bình quân đạt giá trị bé nhất tại )3,1(Q . Tìm )(

)(

QAC

QMC và cho biết ý nghĩa kinh tế của tỷ số

trên.

2. Tìm mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận khi FC thay đổi.

3. Cho biết nếu FC tác động tới mức cung tối ưu; tới lợi nhuận tối ưu của công ty như thế nào?

Giải

Câu 1 Hàm tổng chi phí:

)0(25)(25)( 223 QQ

FCQQQACFCQQQQTC

(*)012)()(2

Q

FCQQgQCA

22

002)()(3

QQ

FCQgQCA (**)

Dễ nhận thấy:

+ )()( QgQCA là hàm liên tục khi Q > 0.

+ Do có (**) thì g(Q) là hàm đồng biến khi Q > 0

+ Ta lại có: 09

5)3(;01)1( FC

gFCg nếu 455 FC .

Ta khẳng định phương trình (*) có một nghiệm duy nhất )3,1(Q ; đồng thời tại Q* hàm

AC(Q) đạt cực tiểu vì (**) chứng tỏ nó là hàm lồi khi Q > 0.

Xét hiệu: 0120)12(2)()(2

0

2

2

Q

FCQ

Q

FCQQ

Q

FCQQQACQMC

Q

. Để ý đến

(*) ta nhận thấy:

QTRdQ

QdTC

QTC

Q

QQTC

dQQdTC

QAC

QMCQACQMC /

)(

)(/)(

/)(1

)(

)()()(

Tóm lại tỷ số )(

)(

QAC

QMC chính là hệ số co giãn của TC(Q) theo Q tính tại Q*- nó cho biết nếu tại

điểm Q* mà sản lượng tăng 1% thì tổng chi phí tăng 1%.

Câu 2 Hàm lợi nhuận: max300)( 3 FCQQQ

1003003)(0

2

QQQQ

006)( QQQ

Vậy lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất khi 10Q .

Câu 3 Sản lượng tối đa hoá lợi nhuận không phụ thuộc vào FC. Mặt khác ta lại có:

FC 2000)10(

Khi đó: 01

dFC

d-hay FC tăng 1 đơn vị thì lợi nhuận tối ưu giảm 1 đơn vị.

Bài 31 Cho hàm đầu tư 3

1

12)( ttI (trong đó t là biến thời gian).

1. Xác định hàm vốn K(t) khi K(0) = 25.

2. Xác định tổng lượng vốn tích luỹ được trong khoảng thời gian 10,1t .

Gi¶i

C©u 1 Ta cã hä hµm vèn d¹ng:

CtdttdttItK 3/43/1 9)12()()( (1)

Thay t = 0 vµo (1) cã:

25)0(25 CCK

Hµm vèn tho¶ m·n ®Çu bµi lµ: 259)( 3/4 ttK .

C©u 2 L­îng vèn tÝch luü ®­îc trong kho¶ng thêi gian [1,10] lµ:

899,1841

109)(

1

10)()1()10( 3/4

10

1

tdttItKKK

Bài 32 Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm chi phí biên:

25122)( 2 QQQMC với Q là sản lượng.

23

1. Xác định mức tăng lên của tổng chi phí khi doanh nghiệp quyết định tăng sản lượng từ Q=5 lên

Q = 10 đơn vị.

2. Cho giá thị trường của sản phẩm của doanh nghiệp là p = 39 và FC = 20. Hãy xác định lượng

cung cho lợi nhuận cực đại.

3*. Cho p tăng 1 đơn vị ; hãy xác định mức tăng của lượng cung tối ưu Q* và lợi nhuận tối ưu .

4*. Cho p tăng 1%, hãy xác định số % biến động của Q* và .

Gi¶i

C©u 1 Møc t¨ng cña chi phÝ lµ:

33,258)25122()(5

10)()5()10(

10

5

210

5

dQQQdQQMCQTCTCTC

C©u 2 Víi FC = 20 ta cã hµm tæng chi phÝ cã d¹ng:

202563

2)( 23 QQQQTC vµ QQTR 39)( ; khi ®ã:

max201463

2)( 23 QQQQ

7014122)(0

2

QQQQQ

0)7(124)( QQ vµ hµm lîi nhuËn lµ hµm lâm víi mäi Q > 0.

KÕt luËn Lîi nhuËn ®¹t lín nhÊt khi Q* = 7 vµ khi ®ã 33,143)7( .

C©u 3 §©y lµ mét c©u khã, ph¶i sö dông lý thuyÕt hµm Èn. ThÝ sinh ®i thi ®­îc sö dông c¸c c«ng

thøc ®· cã. Sau ®©y lµ chøng minh cho tr­êng hîp tæng qu¸t cho tr­êng hîp c«ng ty c¹nh tranh-

hay gi¸ p = const. Khi ®ã:

max)()( QTCpQQ

§iÒu kiÖn cÇn: 0)()( QCTpQ (1)

Gi¶ sö nghiÖm cña (1) lµ Q* hay cã: 0)( QCTp (2)

§iÒu kiÖn ®ñ: 0)(0)()( QCTQCTQ (3)

§Ó ph©n tÝch tÜnh so s¸nh ta ph¶i coi (2) x¸c ®Þnh Èn mét hµm )(phQ hay cã:

)(

0)(),(

phQ

QCTpQpF

Theo quy t¾c lÊy ®¹o hµm hµm Èn:

0)(

1

)(

1

/

/

QCTQCTQF

pF

dp

dQ do cã (3).

Nh­ vËy, nÕu gi¸ thÞ tr­êng p t¨ng lªn th× ng­êi s¶n xuÊt quyÕt ®Þnh cung mét l­îng lín h¬n.

Ta l¹i cã:

)5(

)4(

)(

)(

phQ

QTCpQ

LÊy ®¹o hµm toµn phÇn (4) theo p cã:

Qdp

dQ

dQ

dTCpQ

dp

dQ

dQ

dTCQ

dp

dQp

dp

dQ

dQ

d

dp

d)(

do cã (2).

24

Trong bµi nµy cã: 16)7()( CTQCT ; nªn cã: 16

1

dp

dQ vµ 7

Qdp

d.

4. Ta cã: 348,016

1

7

39/

dp

dQ

Q

ppQ

9,1733,143

39/

dp

dpp

Bài 33 Một doanh nghiệp có hàm doanh thu biên : 215,0960 QMR . Hãy tìm tổng doanh thu

nếu doanh nghiệp định giá bán sản phẩm p = 715.

Gi¶i 232 05,0960)(05,0960)(15,0960)( QQARQQQTRQQMR ; khi ®ã hµm cÇu

ng­îc cña c«ng ty lµ: 205,0960 Qp

Thay p = 715 vµo hµm cÇu ng­îc cã: .7005,09607150

2

QQQ

Khi ®ã tæng doanh thu lµ: .5005070715 pQTR

Bài 34 Công ty độc quyền có hàm doanh thu biên QMR 2120 .

1. Xác định mức tăng lên của tổng doanh thu khi sản lượng tăng từ Q = 50 đơn vị lên Q = 60 đơn

vị.

2. Xác định doanh thu của công ty khi giá bán sản phẩm p = 70.

3. Cho hàm chi phí biên của công ty là: 11011)( 2 QQQMC và FC = 75. Hãy xác định

lượng cung cho lợi nhuận cực đại.

Giải

Câu 1 Mức tăng lên của tổng doanh thu là:

100120)2120()()50()60(60

50

260

50

60

50

QQdQQdQQMRTRTR .

Câu 2 Ta có: pQQARQQQTR 120)(120)( 2 (*). Thay p =70 vào (*) thì sản lượng

tương ứng Q = 50; hay tại mức giá đó có: 35007050 TR .

Câu 3 Từ giả thiết 11011)( 2 QQQMC và FC = 75; sử dụng tích phân bất định tìm được:

751102

11

3)(

23

QQQ

QTC

Hàm lợi nhuận: max75102

9

3)(

3

QQQ

Q

Dễ tìm được mức sản lượng cực đại lợi nhuận là 10Q .

Bài 35 Xét mô hình thị trường một hàng hoá:

243

12

pQ

pQ

d

s

trong đó p là giá. 1. Với giá trị nào của p thì 0& ds QQ .

2. Tìm trạng thái cân bằng.

3. Viết hàm dư cung và hàm dư cầu; khảo sát tính đồng nghịch biến của các hàm này.

25

4. Xác định lượng dư cung và lượng dư cầu.

Giải

Câu 1 Ta xét hệ:

)1(3930243

012

0

0

p

p

p

Q

Q

d

s

Câu 2 Note Giá cân bằng là nghiệm của phương trình: Qs = Qd; tuy vậy đây là phương trình vô

tỷ có thể gây khó khăn cho một số thí sinh không chắc toán sơ cấp. Ta có thể tránh rắc rối này

bằng cách tìm hàm cung và hàm cầu ngược:

)3(394432

)2(3221

2

2

ddd

sss

QQppQ

QQppQ

Lượng cân bằng thoả mãn: 3394320

22

QQQQQQ

. Thay Q* = 3 vào (2) hoặc (3)

xác định được giá cân bằng p* = 18.

Câu 3 Hàm dư cung là: 1432)( ppQQpf ds với điều kiện (1)

ppp

pf

0432

1

22

1)( thoả mãn (1)

Hàm dư cung là hàm đồng biến; hàm dư cầu là )()( pfQQpg sd -nên nó là hàm nghịch

biến.

Câu 4 Lượng dư cung kí hiệu là PS(Producer, Surplus) tính theo công thức:

27)32(318)(3

0

2

0

1

dQQQdQQSQpPQ

S

Lượng dư cầu kí hiệu là CS (Consumer, Surplus) tính theo công thức:

36318)394()(3

0

2

0

1

dQQQQpdQQDCQ

S

Bài 36 Một doanh nhân bỏ ra K $ vào thời điểm hiện tại mua tích trữ một loại rượu nho để bán

vào một thời điểm nào đó bất kỳ trong tương lai; biết giá trị của lô rượu này tăng theo qui luật tKetV )( (t là biến thời gian); giả sử chi phí bảo quản không đáng kể (có thể bỏ qua).

1. Cho biết nhịp tăng trưởng của giá trị lô hàng trên.

2. Cho lãi suất gộp liên tục là r; hãy xác định thời điểm bán lô rượu có lợi nhất.

3. Chứng tỏ rằng, thời điểm bán có lợi nhất là thời điểm mà tại đó nhịp tăng trưởng của giá trị lô

rượu bằng lãi suất gộp liên tục trên.

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: tKetV )(

Khi ®ã: tt

KeKedt

dV

Vr t

tV2

1

2

111

C©u 2 Ta cã: max KKeKeKeNPV rttrtt

§Ó ®¬n gi¶n ta cã thÓ nhËn xÐt r»ng: NPV ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi vµ chØ khi

.max)( rtttf

26

§iÒu kiÖn cÇn: 24

1

2

10

2

1)(

rtr

tr

ttf (1)

§iÒu kiÖn ®ñ: 004

1)(

2/3

r

rtf - hµm f(t) lâm nªn nã ®¹t lín nhÊt t¹i t*.

C©u 3 Râ rµng t¹i t* ta lu«n cã: rt

2

1- hay thêi ®iÓm b¸n cã lîi nhÊt lµ thêi ®iÓm mµ t¹i ®ã r

b»ng nhÞp t¨ng tr­ëng cña l« hµng.

Bài 37 Hàm cung (S) và hàm cầu (D) của hàng A có dạng:

1205,03,0

1507,0

pMD

pS

Trong đó: p-giá hàng A, M thu nhập.

1. Có ý kiến cho rằng lượng cân bằng không phụ thuộc thu nhập; ý kiến này đúng hay sai?

2. Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t; phân tích tác động của thuế tới mức giá

cân bằng.

Gi¶i

C©u 1 §iÒu kiÖn c©n b»ng: DS

hay nÕu ký hiÖu gi¸ c©n b»ng lµ p* th× cã:

1205,03,01507,0 pMp

nhËn thÊy gi¸ c©n b»ng lµ hµm cña M nªn l­îng c©n b»ng ph¶i lµ hµm cña M. Tãm l¹i, ý kiÕn ®­a

ra lµ ý kiÕn sai. C©u 2 ThuÕ suÊt lµ t th× thu nhËp kh¶ dông MtMd )1( víi )1,0(t ; vµ ®iÒu kiÖn c©n b»ng lµ:

0270)1(3,02,1),,(1205,0)1(3,01507,0 MtptMpFpMtp (1)

HÖ thøc (1) x¸c ®Þnh Èn hµm ),( tMgp , khi ®ã:

02,1

3,0

/

/

02,1

)1(3,0

/

/

M

pF

tF

t

p

t

pF

MF

M

p

Bài 38 Gọi p là giá hàng A; q là giá hàng B; M là thu nhập; T là thuế. Mô hình thị trường hàng A

có dạng:

05,03,0

1,05,04,0

4,5

8,0

TpS

qpMD

A

A

1. Cho biết quan hệ giữa hai hàng hoá A và B.

2. Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A.

3. Lượng cung SA thay đổi thế nào khi giá hàng A tăng 1% và thuế cũng tăng 1%?

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: 0.8,0.1,0 9,05,04,0

qpMq

DA -hai mÆt hµng thay thÕ nhau; v× khi gi¸ hµng B

t¨ng mµ gi¸ hµng A kh«ng ®æi th× cÇu hµng A t¨ng.

C©u 2 Gi¸ c©n b»ng mÆt hµng A lµ p* tho¶ m·n hÖ thøc:

27

),,,()(4,5)(8,0)(4,5)(8,0 *05.03,01,05,04,005.03,01,05,04,0 qTMpFTpqpMTpqpM (1)

HÖ thøc (1) x¸c ®Þnh Èn hµm 3 biÕn sè lµ: ),,( qTMpp (2).

¸p dông qui t¾c tÝnh ®¹o hµm hµm Èn ta cã:

0)(62,1)(4,0

)(32,0

/

/05.07,01,05,14,0

1,05,06,0

TpqpM

qpM

pF

MF

M

p

hay khi M t¨ng, thuÕ vµ gi¸ hµng B kh«ng ®æi th× gi¸ c©n b»ng hµng A t¨ng.

T­¬ng tù cã: 0)(62,1)(4,0

)(27,0

/

/05.07,01,05,14,0

005.13,0

TpqpM

Tp

pF

TF

T

p

hay khi T t¨ng, thu nhËp vµ gi¸ hµng B kh«ng ®æi th× gi¸ c©n b»ng hµng A t¨ng. Ta còng cã thÓ

tÝnh thªm ®¹o hµm cña p* theo q:

0)(62,1)(4,0

)(08,0

/

/05.07,01,05,14,0

9,05,04,0

TpqpM

qpM

pF

qF

q

p

hay khi q t¨ng, thu nhËp vµ thuÕ kh«ng ®æi th× gi¸ c©n b»ng hµng A t¨ng.

C©u 3 ¸p dông c«ng thøc nhÞp t¨ng tr­ëng cña hµm hîp:

%75,1%7).05,0(%7.3,0.. // TTASppASASrrr .

Bài 39 Cho mô hình thị trường hàng A dạng:

)0,0(),(

)0,0(),(

0

0

0

0

Tps

Ypd

SSTpSQ

DDYpDQ

Trong đó: p-giá hàng A; Y0-thu nhập;T0-thuế.

1. Phân tích ảnh hưởng của Y0,T0 tới giá cân bằng; giải thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận

được.

2. Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y0 tới lượng cân bằng; dùng hàm cầu phân tích ảnh

hưởng của T0 tới lượng cân bằng.

Gi¶i

C©u 1 §Æt gi¸ c©n b»ng lµ p* th× cã:

0),(),(),,(),(),( 000000 TpSYpDTYpFTpSYpD (1)

HÖ thøc (1) x¸c ®Þnh Èn hµm ),( 00 TYgp (2). Theo quy t¾c ®¹o hµm cña hµm Èn:

0/

/

0/

/

0

0

0

0

0

0

pp

T

pp

Y

SD

S

pF

TF

T

p

SD

D

pF

YF

Y

p

C©u 2 Ta lu«n cã:

0),(

),(

0000

0

T

p

p

D

T

Q

TYgp

YpDQ

0),(

),(

0000

0

Y

p

p

S

Y

Q

TYgp

TpSQ

Bài 40 Cho mô hình thị trường một hàng hoá:

28

)0;10;0(1,0

)10(3,0

qMpD

pS

Trong đó: S,D là các hàm cung và hàm cầu của hàng A; p-giá hàng A, M là thu nhập khả dụng, q

giá hàng B.

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của ?

2. Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay bổ sung?

3. Tìm mối liên hệ giữa ,, để khi p, M, q thay đổi cùng một tỷ lệ thì cầu D không đổi.

4. Giả sử A và B là hai mặt hàng bổ sung nhau; phân tích ảnh hưởng của M, của q tới giá cân

bằng.

5. Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng.

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: dp

dS

S

ppS /

C©u 2 XÐt hµm cÇu: qMpD 1,0

NhËn thÊy: )1,0( 1

qMpq

D cïng dÊu víi . Do vËy:

a. Khi ®ã: 00

p

D - A vµ B lµ hai mÆt hµng thay thÕ nhau.

b. khi ®ã: 00

p

D -A vµ B lµ hai mÆt hµng bæ sung nhau.

C©u 3 Gi¶ sö tû lÖ thay ®æi cña c¸c biÕn lµ )1,0( , ta cã:

01),,(),,( qMpDqMpD

C©u 4 (ë ®©y dïng hµm Èn lµ hîp lý h¬n lµ tÝnh trùc tiÕp)

Ta xÐt tr­êng hîp 0 vµ ký hiÖu gi¸ c©n b»ng lµ p* th× cã:

0)(1,0)(3,0),,()(1,0)(3,0 qMppqMpFqMpp (1)

HÖ thøc (1) x¸c ®Þnh Èn hµm ),( qMgp ; ¸p dông quy t¾c ®¹o hµm hµm Èn cã:

0)(1,0)(3,0

)(1,0

/

/11

1

qMpp

qMp

pF

MF

M

p

T­¬ng tù: 0/

/

pF

qF

q

p.

C©u 5 L­u ý muèn ph©n tÝch ¶nh h­ëng cña M tíi l­îng c©n b»ng th× cã thÓ dïng hµm cung

hoÆc hµm cÇu, nh­ng ta th­êng dïng hµm cung lµ hµm kh«ng chøa M.

Ta cã: )(3,0 pSQ ; trong ®ã: ),( qMgp . Khi ®ã ®¹o hµm riªng toµn phÇn:

0

M

p

p

S

M

Q - hay M t¨ng (p, q kh«ng ®æi) th× Q* t¨ng.

Bài 41 Cho hàm sản xuất COBB-DOUGLAS: )0,(30 3

1

3

2

LKLKQ ; trong đó: Q-sản lượng,

K-vốn, L- lao động.

1. Tìm và giải thích ý nghĩa kinh tế của 21; QQL

QQQ

K

QLK

tại điểm K = 27 và L = 64.

29

2. Tìm các hệ số co giãn riêng của Q theo K và L.

3. Nếu K và L cùng tăng 1% thì Q tăng bao nhiêu %?

4. Hàm sản xuất trên có phải là hàm thuần nhất không? Nếu thuần nhất thì bậc mấy? Nếu doanh

nghiệp tăng qui mô thì hiệu quả có tăng hay không?

5. Chứng minh rằng: 1L

L

k

k

AP

MP

AP

MP; cho biết phần đóng góp của vốn K , của lao động L trong

tổng sản lượng làm ra Q?

6. Hai yếu tố K và L trong hàm trên có quan hệ bổ sung hay thay thế nhau? Xác định tỷ lệ thay

thế K cho L tại mức k = 27; L = 64; nói rõ ý nghĩa kinh tế của tỷ lệ này? Nếu trong thực tế giá

một đơn vị vốn là 40 USD, giá một đơn vị lao động là 2 USD thì về mặt kinh tế có nên thực hiện

tỷ lệ thay thế trên hay không?

7. Hàm số đã cho có thoả mãn luật lợi ích cận biên giảm dần không?

8. Giả sử vốn K có nhịp tăng 3% năm và lao động L có nhịp tăng 1% năm thì nhịp tăng của Q là

bao nhiêu %?

9. Tại mức sử dụng đầu vào K = 27, L = 64; giả sử dK = 0,1; dL = -0,3 là các mức biến động của

vốn và lao động. Tìm các mức thay đổi riêng dKQ và dLQ và giải thích ý nghĩa kinh tế của các đại

lượng đó? Tìm và giải thích ý nghĩa của vi phân toàn phần dQ.

10. Đường đẳng lượng có mức sản lượng Q0 = 1080 có đi qua điểm có K= 27, L= 64 hay không?

Xác định độ dốc của đường đẳng lượng này? độ đốc này thay đổi thế nào khi vốn K tăng? giải

thích ý nghĩa kinh tế của hiện tượng trên?

Giải

C©u 1 Ta cã: 3/1

3/13/1 2020

K

LLKMP

K

Qk

Khi K = 27; L = 64 th× 66,2627

6420

3/1

kMP - hay t¹i møc sö dông ®Çu vµo K = 27, L = 64

nÕu gi÷ nguyªn lao ®éng t¨ng L lªn 1 ®¬n vÞ th× Q t¨ng xÊp xØ 26,66. T­¬ng tù, ta còng cã: 3/2

10

L

KMPL vµ t¹i k = 27, L = 64 th×: .625,5

LMP

C©u 2 Ta lu«n cã hÖ sè co gi·n riªng:

3/22030

3/13/1

3/13/2/

LK

LK

K

K

Q

Q

KKQ

T­¬ng tù cã: .3/1/ LQ HÖ sè co gi·n 3/1/ LQ cã nghÜa lµ khi gi÷ nguyªn K vµ t¨ng L lªn

1% th× Q t¨ng 2/3%.

C©u 3 NÕu K vµ L cïng t¨ng lªn 1% th× sè % t¨ng lªn cña Q lµ:

1// LQKQ (tøc Q t¨ng 1%).

C©u 4 Hµm s¶n xuÊt ®ang xÐt l h m thuần nhất bậc 1 và nó øng víi tr­êng hîp t¨ng quy m«

mµ hiÖu qu¶ kh«ng ®æi v×:

1),(30)()(30),( 3/13/23/13/2 LKQLKLKLKQ

Câu 5 Vì hàm sản xuất là hàm thuần nhất bậc nên định lý Euler có dạng:

30

)1(QL

QL

K

QK

Trong (1) thì K

QK

là phần sản phẩm do vốn tạo ra, tương tự

L

QL

là phần sản phẩm do lao

động tạo ra; và đó cũng là các phần đóng góp tương ứng vào Q của vốn và lao động. Nếu chia cả

hai vế của (1) cho Q thì có:

111/

/

/

/1)1( //

LQKQ

L

L

K

K

AP

MP

AP

MP

LQ

LQ

KQ

KQ

L

Q

Q

L

K

Q

Q

K

C©u 6 Ta xÐt: 0/

/

KQ

LQ

dL

dK-hai yÕu tè thay thÕ nhau v× ta gi¶m L th× ph¶i t¨ng K mét

l­îng dL

dK ®Ó Q kh«ng ®æi. Về mặt toán học thì

dL

dK là độ dốc của đường đẳng lượng; khi độ

dốc này âm thì K và L biến thiên ngược chiều nhau và đó là hai yếu tố thay thế nhau. Trong kinh

tế học thì dL

dK đó chính là MRTS-tỷ lệ thay thế kỹ thuật biên. Đương nhiên, tỷ lệ thay thế này

thay đổi vì độ dốc của đường đẳng lượng tại các điểm khác nhau của đường này khác nhau. Khi

K = 27; L = 64 thì có:

21,066,26

625,5

K

L

MP

MP

dL

dK

Có nghĩa là tại mức sử dụng đầu vào trên nếu giảm một đơn vị L thì phải tăng K là 0,21 đơn vị

thì sản lượng Q sẽ không đổi. Tuy nhiên đó là tỷ lệ thay thế kỹ thuật. Bây giờ ta xét về mặt kinh

tế:

Theo giả thiết thì tiết kiệm một đơn vị lao động sẽ tiết kiệm được 2 USD chi phí; trong khi đó

nếu tăng 0,21 đơn vị vốn thì phải chi phí thêm 0,21.40 = 8,4 USD. Như vậy, thay thế không có

lợi về mặt kinh tế.

C©u 7 Ta cã: 0.03/2020 3/13/4

2

23/13/1

LKLKQK

QLK

K

QKK

Hoµn toµn t­¬ng tù cã: 0LLQ . VËy hµm sè ®· cho tho¶ m·n luËt lîi Ých cËn biªn gi¶m dÇn.

C©u 8 ¸p dông c«ng thøc: %.33.2%13/1%33/2// LLQKKQQ rrr

C©u 9 Ta tÝnh c¸c vi ph©n riªng:

666,21,066,26

dK

K

QQdK vµ 6875,1)3,0(625,5

dL

L

QQdL

Vi ph©n toµn phÇn: .9785,06875,1666,2 QdQddQ LK

Câu 10 Thay K = 27, L = 64 vào hàm sản xuất có:

1080642730 3/13/2 Q

Như vậy đường mức dạng: 108030 3/13/2 LK có đi qua điểm K = 27; L = 64. Độ dốc của đường

mức này là:

L

K

LK

LK

KQ

LQ

dL

dK

220

10

/

/3/13/1

3/23/2

.

31

Độ dốc nay là hàm của hai biến K, L; ta có: 02

1)(

LKdL

dK

- có nghĩa là khi vốn K tăng thì

dL

dK giảm do vậy lượng vốn phải bỏ ra để thay thế cho một đơn vị lao động giảm đi sẽ tăng lên.

Bài 42 Thu nhập của một cá nhân (Y) là: 05,01,06,0 RLY trong đó L là số giờ lao động; R là lãi

suất.

1. Do lãi suất tăng 1% trong năm nên cá nhân đã giảm số giờ làm việc 1% và tin rằng thu nhập

của mình sẽ tăng. Niềm tin đó có căn cứ hay không?

2. Có ý kiến cho rằng thu nhập tăng cùng một nhịp với lãi suất và số giờ làm việc. Nhận định đó

đúng hay sai?

Giải Câu 1 Ta có công thức: )1(// RRYLLYY rrr

Theo giả thiết ta luôn có: %1%;1;05,0;1,0 // RLRYLY rr ; thay các kết quả này vào (1)

thì: %05,0%105,0%)1(1,0)1( Yr - hay thu nhập của cá nhân trên giảm 0,05%; vậy

niềm tin trên là không có căn cứ.

Câu 2 Giả sử nhịp tăng của thu nhập và lãi suất là )1( , khi đó có:

),(),(),( 11

15,0 RLYRLYRLY

-hay nhịp tăng của Y nhỏ hơn nhịp tăng của L và R;

nhận xét trong đầu bài là sai.

Bài 43

1. Cho hàm sản xuất: Q = Q(K,L,t) với K-vốn,L-lao động, t-biến thời gian. Giả sử K = K(t), L =

L(t). Hãy phân tích tốc độ biến thiên của Q theo t?

2. Trả lời câu hỏi trên cho trường hợp cụ thể sau:

)1,0()( LKtAQ

)0,( 00 aKatKK

)0,( 00 bLbtLL

và A(t) là hàm đồng biến theo t; A(t) > 0 với mọi .0t

Gi¶i

C©u 1 Tèc ®é biÕn thiªn cña Q theo t chÝnh lµ ®¹o hµm toµn phÇn cña Q theo t:

dt

Q

dt

dL

L

Q

dt

dK

K

Q

dt

dQ

C©u 2 Tr­íc hÕt do A(t) lµ hµm ®ång biÕn theo t th× cã 00)( ttA . Ta lu«n cã:

00)()()( 11 ttALKbLKtAaLKtAdt

dQ

KÕt luËn S¶n l­îng Q t¨ng theo thêi gian.

Bài 44 Cho cầu về một loại hàng hoá (D) phụ thuộc vào giá của hàng hoá đó (p) và thu nhập (Y)

dạng:

2ln4 5,0 pYD

1. Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ số co giãn riêng của D theo p, theo Y.

32

2. Tại mức cầu D0 cho trước, giả sử giá p tăng 1 đơn vị thì thu nhập Y phải tăng bao nhiêu thì cầu

không đổi.

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: 01

/

Dp

D

D

ppD

02

/

D

Y

Y

D

D

YYD

C©u 2 Møc t¨ng cÇn thiÕt cña Y ®Ó duy tr× cÇu kh«ng ®æi chÝnh lµ hÖ sè thay thÕ Y cho p:

02

1

/

/

YpYD

pD

dp

dY

Bài 45 Cầu về cà phê nhập khẩu của Nhật (D) phụ thuộc vào giá cà phê thế giới (p) và thu nhập

bình quân đầu người của Nhật (Y) dạng:

25,0 pYD

1. Tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của các hệ số co giãn riêng của D theo p, Y.

2. Giả sử tại mức nhập khẩu D0 cho trước, giá p tăng 1 đơn vị thì Y phải thay đổi như thế nào để

mức cầu này không đổi.

Gi¶i

C©u 1 Ta cã: 02

/ D

YYD

02

)2(2

/

D

pp

D

ppD

C©u 2 Ta cã: 04

/

/3

p

Y

YD

pD

dp

dY (*)

Gi¶ sö ta ®ang ë møc thu nhËp 1000 $ vµ gi¸ p = 10$ th× tõ (*) cã:

126,010

100043

dp

dY- lµ møc t¨ng cña thu nhËp Y ®¶m b¶o cÇu kh«ng ®æi dï gi¸

t¨ng thêm một đơn vị.

Bài 46 Công ty cạnh tranh sản xuất hai sản phẩm với giá thị trường tương ứng p1 =15, p2=30; chi

phí cố định C0. Hàm chi phí có dạng: 0

2

221

2

1 105)( CQQQQQTC .

1. Xác định lượng cung các sản phẩm để lợi nhuận đạt cực đại.

2. Chi phí cố định C0 ảnh hưởng thế nào tới lượng cung và lợi nhuận tối ưu?

Giải

Câu 1 Theo giả thiết thì có: 21 3015)( QQQTR

Hàm lợi nhuận dạng: max3015105)( 021

2

221

2

1 CQQQQQQQ

Điều kiện cần: )1(030205

01552

212

211

QQ

QQ

Áp dụng quy tắc Cramer hoặc phương pháp ma trận nghich đảo hoặc bấm máy ta có điểm dừng

là: 9;30 21

QQ .

Điều kiện đủ: Ma trận HESS có dạng:

33

015;02205

5221

HHHH

Do ta có một điểm dừng duy nhất, điều kiện đủ thoả mãn với mọi giá trị của các biến số; nên lợi

nhuận đạt giá trị lớn nhất tại mức sản lượng 9;30 21

QQ .

Câu 2 Mức sản lượng tối ưu không phụ thuộc chi phí cố định C0 là 9;30 21

QQ ; vì điều kiện

cần là hệ (1) không chứa C0. Ta lại có lợi nhuận tối ưu:

013600

0

dC

dC

Hay khi C0 tăng 1 đơn vị thì lợi nhuận tối ưu giảm 1 đơn vị.

Bài 47 Doanh nghiệp có các hàm cầu với hai mặt hàng là:

212

211

2340

340

ppQ

ppQ

và hàm chi phí kết hợp: 021

2

221

2

1 802202)( CQQQQQQQTC (C0 > 0).

1. Tìm các hàm cầu ngược bằng phương pháp ma trận nghịch đảo.

2. Với chi phí cố định C0 = 5000; hãy xác định lượng cung và giá bán các mặt hàng để lợi nhuận

đạt cực đại.

3. Phân tích ảnh hưởng của C0 tới lượng cung, giá bán và lợi nhuận cực đại. Tìm hệ số co giãn

của lợi nhuận cực đại theo C0 khi C0= 5000 và giải thích ý nghĩa kinh tế của hệ số co giãn này.

Giải

Câu 1 Từ giả thiết có:

)1(3402

340

221

121

Qpp

Qpp

Áp dụng phương pháp ma trận nghịch đảo dễ tìm được các hàm cầu ngược là:

)2(680

21020

212

211

QQp

QQp

Ta xét hàm lợi nhuận tổng quát (có chứa C0):

max600800423)( 02121

2

2

2

1 CQQQQQQQ

Điều kiện cần:

50

100)3(

060044

080046

2

1

212

211

Q

Q

QQ

QQ

Điều kiện đủ: Ma trận HESS có dạng:

08;0644

4621

HHHH

Do ta có một điểm dừng duy nhất, điều kiện đủ thoả mãn với mọi giá trị của các biến số; nên lợi

nhuận đạt giá trị lớn nhất tại mức sản lượng 50;100 21

QQ .Thay các lượng cầu tối ưu vào (2)

tìm được giá tối ưu là 530;770 21

pp . Mức sản lượng tối ưu không phụ thuộc chi phí cố định

C0 vì điều kiện cần là hệ (3) không chứa tham số này; giá tối ưu cũng không phụ thuộc C0 vì hệ

(2) không chứa tham số này. Ta lại có lợi nhuận tối ưu:

055000 C

34

Câu 2 Khi C0 = 5000 thì 50000500055000 ; mức sản lượng cực đại lợi nhuận là

50;100 21

QQ .

Câu 3 Ta có: 1,050000

500050000

0

0

/

0

0

C

C

C

dC

dC

-có nghĩa là tại mức chi phí cố định C0

= 5000, nếu chi phí này tăng 1% thì lợi nhuận tối ưu giảm đi 0,1%.

Bài 48 Một hãng độc quyền sản xuất một mặt hàng với hàm chi phí:

C = 2000 + 10Q

Sản phẩm được tiêu thụ ở hai thị trường với các hàm cầu tương ứng là:

22

11

4,050

1,021

pQ

pQ

1. Giả sử công ty có chính sách phân biệt giá thì phải chọn chiến lược nào thì lợi nhuận là cực

đại.

2. Trong trường hợp không được phân biệt giá (do hiệp định thương mại) thì lựa chọn chiến lược

nào?

Gi¶i

C©u 1 Khi hµm TC lµ bËc nhÊt nªn biÓu diÔn hµm doanh thu vµ lîi nhuËn qua gi¸.

2

1

2

1

2

1

2

1

25

10

125

210

4,0

1,0

50

21

Q

Q

p

p

p

p

Q

Q

Khi ®ã hµm lîi nhuËn:

max271054224,01,0 2122

21 pppp

§iÒu kiÖn cÇn

)5,67;110(

0

0

54

22

8,0

2,0

2

1

2

1 pp

p

§iÒu kiÖn ®ñ

.016,0;02,08,00

02,021

HHH

KÕt luËn Lîi nhuËn ®¹t cùc ®¹i khi .5,322);23,10();5,67;110( Qp

C©u 2 Khi kh«ng ®­îc ph©n biÖt gi¸, ta ®Æt p1 = p2 = p th×:

max2710765,0 2 pp

§iÒu kiÖn cÇn 76076 ppdp

d

§iÒu kiÖn ®ñ 012

2

dp

d

KÕt luËn Lîi nhuËn ®¹t cùc ®¹i khi 178);6,19;4,13(;7621 Qpp

Nh­ vËy khi kh«ng ®­îc ph©n biÖt gi¸ th× lîi nhuËn cña c«ng ty gi¶m ®i ®¸ng kÓ, trong khi tæng

l­îng hµng b¸n trªn hai thÞ tr­êng kh«ng ®æi.

Chó ý: NÕu biÓu diÔn hµm lîi nhuËn qua s¶n l­îng th× cã:

20001152002510 21

2

2

2

1 QQQQ

Trong tr­êng hîp kh«ng ph©n biÖt gi¸ th× cã thªm ®iÒu kiÖn:

35

852510 2121 QQpp

Ta gÆp bµi to¸n cùc trÞ cã rµng buéc.

Bài 49 Cho hàm thoả dụng U = (x + 2)(y + 1); trong đó; x,y là số đơn vị hàng các loại được tiêu

dùng. Cho p1 = 4, p2 = 6 là giá tương ứng của các loại hàng hoá; cho ngân sách chi cho tiêu dùng

B = 130.

1. Hãy xác định hành vi tiêu dùng tối ưu. Cho biết nếu khi giá các mặt hàng p1,p2 không đổi nếu

ngân sách cho tiêu dùng tăng 1 đơn vị thì độ thoả dụng tối ưu U* tăng lên bao nhiêu?

2. Tìm độ dốc của đường bàng quan và cho biết ý nghĩa kinh tế của độ dốc này. Giải thích cụ thể

độ dốc này khi x = 16, y = 11.

3*. Giải bài toán với hàm thoả dụng đã cho và đường ngân sách tổng quát:

)0,,( 2121 BppBypxp

Giả sử phương án tiêu dùng tối ưu nhận được là (x*,y*); hãy tính và giải thích ý nghĩa kinh tế của:

B

x

p

x

p

x

;,21

.

Gi¶i

C©u 1 Bµi to¸n cã d¹ng:

0,

13064

max22

yx

yx

yxxyU

Hµm Lagrange: )64130(22),,( yxyxxyyxL víi 0, yx (*)

§iÒu kiÖn cÇn

3

11

16

064130

062

041

y

x

yxL

xL

yL

y

x

tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*).

§iÒu kiÖn ®ñ

Ma trËn HESS biªn cã d¹ng:

048

016

104

6400

2

2

1

21

HH

LLg

LLg

gg

H

yyyx

xyxx

KÕt luËn Ph­¬ng ¸n tiªu dïng tèi ­u: .11;16 yx §é tho¶ dông tèi ­u .216U

Khi gi¸ c¸c mÆt hµng kh«ng ®æi, ng©n s¸ch tiªu dïng t¨ng 1 ®¬n vÞ th× ®é tho¶ dông tèi ­u t¨ng

mét l­îng ®óng b»ng ; hay cã:

3

B

U

(Ng­êi thi ®­îc phÐp sö dông ngay c«ng thøc trªn; kh«ng yªu cÇu chøng minh).

C©u 2 §©y lµ c©u hái vÒ tû lÖ thay thÕ cña mÆt hµng thø 2 cho mÆt hµng thø nhÊt, ta ¸p dông

c«ng thøc:

2

1

/

/

x

y

yU

xU

dx

dy (*)

36

Víi 0, yx ; th× tõ (*) ta chØ cã thÓ kh¼ng ®Þnh 0dx

dy

nÕu ta xÐt t¹i møc tiªu dïng tèi ­u 11;16 yx th× cã:

66,0dx

dy

cã nghÜa lµ t¹i møc tiªu dïng trªn mµ ta gi¶m mÆt hµng 1 mét ®¬n vÞ th× ®Ó duy tr× møc tho¶ dông

216U th× ph¶i t¨ng møc sö dông hµng 2 lªn 0,66 ®¬n vÞ.

C©u 3 Ta gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t:

0,

max22

21

yx

Bypxp

yxxyU

Hµm Lagrange: )(22),,( 21 ypxpByxxyyxL

§iÒu kiÖn cÇn

0

02

01

21

2

1

ypxpBL

pxL

pyL

y

x

(1)

Gi¶i hÖ (1) b»ng quy t¾c Cramer; ta cã:

21121

2

221221 2;2;2 pBpppDpppBpDppD yx

Ta nhËn ®­îc c¸c hµm cÇu Marshall:

2

12

1

21

2

2;

2

2

p

pBpy

p

ppBx

DÔ chøng minh ®­îc ®iÒu kiÖn ®ñ lu«n tho¶ m·n v× cã: 02 21 ppH .

Do cã: 1

21

2

2

p

ppBx

dÔ chØ ra ®­îc: 02

1;0

2

1;0

2

)(

11221

2

1

pB

x

pp

x

p

pB

p

x

Tõ kÕt qu¶ trªn cã thÓ thÊy mÆt hµng 2 lµ mÆt hµng thay thÕ mÆt hµng 1; mÆt hµng 1 lµ hµng ho¸

b×nh th­êng.

Bài 50 Một nhóm dân cư có hàm thoả dụng ;25 5,05,0 yxU giá các mặt hàng tương ứng là

p1=12; P2=3.

1. Hãy xác định phương án tiêu dùng cho cụm dân cư trên để có thể đạt được độ thoả dụng

U0=1250 với chi phí bé nhất.

2*. Giả sử chi tiêu cực tiểu là C*; phân tích sự biến động của C* khi p1, p2, U0 thay đổi.

Gi¶i

C©u 1 Bµi to¸n cã dang:

125025

min3125,05,0 yx

yxC

Hµm Lagrange: )251250(312),,( 5,05,0 yxyxyxL

§iÒu kiÖn cÇn

37

48,025/12

100

25

0251250

05,123

05,1212

5,05,0

5,05,0

5,05,0

y

x

yxL

yxL

xyL

y

x

§iÒu kiÖn ®ñ Ma trËn HESS biªn cã d¹ng:

5,15,05,05,05,05,0

5,05,05,05,15,05,0

5,05,05,05,0

25,625,65,12

25,625,65,12

5,125,120

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

H

§Ó chøng tá 0H th× kh«ng nªn tÝnh trùc tiÕp mµ khai triÓn Laplas ®Þnh thøc trªn theo c¸c phÇn

tö cña dßng 1.

C©u 2 ¸p dông c¸c c«ng thøc ®· cã:

100

25

25/12

2

1

0

yp

C

xp

C

U

C

Bài 51 Một hãng có hàm chi phí TC = 35 + 40Q. Cầu về loại hàng này trong nước và ngoài nước

tương ứng là: Q1 = 24 - 0,2P1; Q2 = 10 - 0,05P2 trong đó: Q=Q1+Q2.

1. Phải lựa chọn giá như thế nào để lợi nhuận lớn nhất trong mỗi trường hợp sau:

a. Có thể phân biệt giá trong và ngoài nước.

b. Chỉ có thể đặt một giá thống nhất.

2. Lợi nhuận cực đại sẽ thay đổi thế nào trong mỗi trường hợp trên khi cầu tối đa trong nước thay

đổi?

Gi¶i

C©u 1 Ta cã hai tr­êng hîp:

a. Ph©n biÖt gi¸ trªn hai thÞ tr­êng

VÒ nguyªn t¾c th× hµm lîi nhuËn cã thÓ biÓu diÔn lµ hµm cña s¶n l­îng hoÆc lµ hµm cña gi¸.

Trong bµi nµy hµm tæng chi lµ hµm bËc nhÊt cña s¶n l­îng vµ c¸c hµm cÇu ®Òu lµ c¸c hµm

cÇu xu«i th× biÓu diÔn lîi nhuËn qua gi¸ cã lîi h¬n.

Ta cã: )05,02,034(403505,02,034 212121 PPTCPPQQQ

Khi ®ã cã hµm lîi nhuËn:

max1395123205,02,0 212

22

1 PPPP

§iÒu kiÖn cÇn

120

80

0121,0

0324,0

2

1

21

11

P

P

P

P

§iÒu kiÖn ®ñ Ta cã ma trËn HESS:

38

004,0;04,01,00

04,021

HHHH

KÕt luËn ChiÕn l­îc tèi ­u cña h·ng:

605);4,8();120,80( QP .

b. Hai thÞ tr­êng chØ ¸p dông mét gi¸ thèng nhÊt

Ta ®Æt P = P1 = P2 th× cã hµm lîi nhuËn:

max13954425,0)( 2 PPP

05,0)(

880445,0)(

P

PPP

KÕt luËn ChiÕn l­îc tèi ­u cña h·ng:

541;6,5;4,6;88 21 QQP .

C©u 2 Ta cã hµm cÇu trong n­íc lµ: 11 2,0 PaQ ; nÕu gi¸ P1=0 th× cÇu tèi ®a chÝnh lµ a (a >0).

Theo gi¶ thiÕt hµm cÇu n­íc ngoµi kh«ng ®æi. Ta l¹i xÐt hai tr­êng hîp.

a. Ph©n biÖt gi¸ trªn hai thÞ tr­êng

max4354012)8(05,02,0 212

22

1 aPPaPP

§iÒu kiÖn cÇn

120

004,0

8

0121,0

084,0

2

1

22

11

P

aa

P

P

aP

§iÒu kiÖn ®ñ Ta cã ma trËn HESS:

004,0;04,01,00

04,021

HHHH

KÕt luËn

4;120

)8(2

8;

4,0

8

2*

2

11

QP

aa

Qa

P

Khi ®ã: )8(28540)8(4

5 2 aaa

80202

5

akhiada

d

Hay lîi nhuËn tèi ­u trong tr­êng hîp nµy t¨ng khi cÇu tèi ®a trong n­íc t¨ng.

b. Hai thÞ tr­êng chØ ¸p dông mét gi¸ thèng nhÊt

Ta ®Æt P = P1 = P2 th× cã hµm lîi nhuËn:

max40435)20(25,0)( 2 aPaPP

05,0)(

004020205,0)(

P

aaPaPP

Khi ®ã cã:

3

40086,01 akhiaQ

80081,02 akhiaQ

39

Ta cã: 3540435)402)(20()402(25,0 22 aaaaa

80,3

400002 a

da

daa

da

d

Hay lîi nhuËn tèi ­u ®ång biÕn theo a.

Bài 52 Hàm thoả dụng của một nhóm dân cư ),( yxUU được xác định ẩn bởi hệ thức:

05),,( 323 yxUUxyyxuF (*)

1. Tính 2

2

2

2

21 ,;;,,y

U

x

UMUMU

y

U

x

U

khi x = 1,y = 2; giải thích ý nghĩa của các kết quả.

2. Tính dx

dy khi x = 1,y = 2; giải thích ý nghĩa của kết quả.

Gi¶i

Câu 1 Thay x = 1; y = 2 vào (*) ta có: 10)3)(1((*) 2 uuuu

Ta lại có: 0531;2;1

2

Uyx

yxUU

F. Như vậy, hệ thức (*) xác định ẩn hàm U=U(x,y)

tai điểm M(1,2,1). Theo quy t¾c lÊy ®¹o hµm cña hµm Èn ta cã:

)1(3

2

/

/2

3

1yxU

yUxy

F

F

UF

xFMU

x

U

U

x

Thay M(1,2,1) v o (1) ta có: 5

141 MU - có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên nếu tăng lượng tiêu

dùng mặt hàng thứ nhất 1 một đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thì độ thoả dụng

U tăng 14/5 đơn vị.

Tương tự có:

)2(3

3

/

/2

22

2yxU

xUxy

F

F

UF

yFMU

y

U

U

y

Thay M(1,2,1) v o (2) ta có: 5

112 MU - có nghĩa là tại mức tiêu dùng trên nếu tăng lượng tiêu

dùng mặt hàng thứ 2 một đơn vị (giữ nguyên lượng tiêu dùng mặt hàng 1) thì độ thoả dụng U

tăng 11/5 đơn vị.

Ta có:

x

MU

xx

U

x

U

)()(

1

2

2

Khi đó ta phải lấy đạo hàm riêng (1) theo x và phải lưu ý rằng U là hàm của x; thì có kết quả sau:

)3()3(

)6)(2()3)(2(

3

222

323

2

3

2

2

yxU

yUUyUxyyxUyUy

yxU

yUxy

x

U xx

x

Thay x = 1, y = 2; U = 1; 5/14

xU vào (3) có:

0448,82

2

x

U

Ý nghĩa: có nghĩa là tại mức tiêu thụ trên nếu tăng thêm một đơn vị mặt hàng 1 (giữ nguyên

lượng tiêu dùng mặt hàng 2) thì độ thoả dụng biên mặt hàng 1 giảm đi 8,488 đơn vị.

40

Tương tự có: y

MU

y

y

U

y

U

)()(

22

2

(tự làm).

Câu 2 Ta có khi x =1; y = 2 thì U=1 có nghĩa là phương án tiêu dùng trên nằm trên đường bàng

quan có phương trình: )4(06),( 23 yxxyyxG

Lấy vi phân toàn phần 2 vế của (4) có:

)5(3

2

/

/0

22

3

xxy

yxy

yG

xG

dx

dydy

y

Gdx

x

G

Hệ thức (5) cho biết độ dốc của đường bàng quan trên; nếu thay x = 1; y = 2 vào (5) thì có:

)6(011

14

dx

dy

Hệ thức (6) cho biết độ dốc của đường bàng quan trên tại x = 1; y =2; đó cũng chính là tỷ lệ thay

thế biên của hàng hoá thứ 2 cho hàng hoá thứ 1. Hay nói rõ hơn là tại mức tiêu dùng trên nếu ta

tăng một đơn vị mặt hàng thứ nhất thì có thể giảm 14/11 đơn vị hàng thứ 2 mà vẫn duy trì được

độ thoả dụng U = 1.

Bài 53 Cho mô hình cân bằng thu nhập quốc dân: 0)()()( GYIYTYS

với giả thiết: )(;0,, YYYYYY ITSITS

Trong đó: S(Y)-hàm tiết kiệm; T(Y)-hàm thuế; I(Y)-hàm đầu tư; G0- chi tiêu chính phủ.

1. Giải thích ý nghĩa kinh tế của giả thiết )( .

2. Hãy phân tích ảnh hưởng của chi tiêu chính phủ tới thu nhập cân bằng.

Gi¶i

C©u 1 Gi¶ thiÕt: 0,, YYY ITS - cho biÕt tèc ®é t¨ng cña tiÕt kiÖm S, cña thuÕ T, cña ®Çu t­ I theo

thu nhËp Y. Gi¶ thiÕt: YYY ITS ®ßi hái tèc ®é t¨ng cña nguån ®Çu t­ lµ S(Y)+T(Y) ph¶i lín

h¬n tèc ®é t¨ng cña ®Çu t­ I(Y) (v× mét phÇn cßn dµnh cho chi tiªu chÝnh phñ).

C©u 2 NÕu thu nhËp c©n b»ng lµ Y* th× cã:

0)()()(),()()()( 000 GYIYTYSGYFGYIYTYS (1)

HÖ thøc (1) x¸c ®Þnh Èn hµm )( 0GgY . Theo quy t¾c ®¹o hµm hµm Èn:

01

/

/ 0

0

YYY ITSYF

GF

dG

dY

hay G0 t¨ng th× Y* t¨ng.

Bài 54 Cho mô hình:

0

0

)(

)()(

MrLkY

GrIYCY

với giả thiết: 0;0;0;10 rrY LkIC .

Trong đó: r-lãi suất; C(Y)-hàm tiêu dùng; I(r)- hàm đầu tư, G0-chi tiêu chính phủ; M0-lượng cung

tiền.

1. Cho biết trong mô hình trên thì hàm cầu tiền là hàm nào?

2. Phân tích ảnh hưởng của G0, M0 tới thu nhập cân bằng.

Gi¶i

41

C©u 1 §iÒu kiÖn c©n b»ng trong thÞ tr­êng tiÒn tÖ lµ cung tiÒn b»ng cÇu tiÒn; theo gi¶ thiÕt cung

tiÒn lµ M0 nªn hµm cÇu tiÒn lµ: )(rLkY - hµm nµy gåm hai sè h¹ng, mét sè h¹ng tû lÖ thuËn víi

thu nhËp quèc d©n Y vµ mét sè h¹ng nghÞch biÕn víi l·i suÊt.

C©u 2 Gäi thu nhËp c©n b»ng lµ (Y*,r*) th× ),();,( 0000 MGhrMGgY vµ cã:

)2(

)1(

0)(),,,(

0)()(),,,(

0002

0001

MrLkYMGrYF

GrIYCYMGrYF

LÊy ®¹o hµm riªng toµn phÇn (1) vµ (2) theo G0:

0

1

00

000

G

rL

G

Yk

G

rI

G

YC

G

Y

r

rY

(3)

Ta cã ®Þnh thøc Jacobi:

0)1()1(

rrYr

rY IkLCLk

ICJ

000

1

0

1

J

L

G

YL

L

ID r

rr

r -hay khi G0 t¨ng (c¸c yÕu tè kh¸c kh«ng

®æi) th× Y* t¨ng.

000

1)1(

0

2

J

k

G

rk

k

CD Y - hay khi G0 t¨ng (c¸c yÕu tè kh¸c

kh«ng ®æi) th× r* t¨ng.

T­¬ng tù, lÊy ®¹o hµm riªng toµn phÇn (1) vµ (2) theo M0 sÏ t×m ®­îc hai ®¹o hµm ph©n tÝch tÜnh

so s¸nh cßn l¹i. Theo lÝ thuyÕt kinh tÕ th× ph¶i cã: 0;000

M

r

M

Y (häc sinh tù kiÓm tra b»ng

tÝnh to¸n).

The end