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Leonardo Tortorelli
La presente Dispensa di Gioco di Geometriko sostituisce a livello ufficiale quella presente sulla versione
―Geometriko 3.0‖ (stampata a Marzo 2017 da Edizioni Erickson, Trento). Questo elaborato unitamente ai
successivi aggiornamenti sarà ritenuto il documento ufficiale teorico utilizzato per tutto il III Torneo Nazionale
di Geometriko. Come appendice, invece, resta sempre valida quella presente su Geometriko 3.
IMPORTANTE
La presente dispensa è destinata ai docenti della Scuola Primaria che utilizzeranno per i propri alunni la
versione Geometriko Junior.
IMPORTANTE (PER TUTTI I CONCORRENTI DEL 3°TORNEO NAZIONALE)
La presente dispensa è anche destinata agli alunni della Scuola secondaria di 1° Grado e contiene tutte le
possibili conoscenze per formulare domande utilizzabili con la flash card ―CAPRONE UGO‖.
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Estratto da “Corso di Geometria Verticale – Volume VI” © Leonardo Tortorelli - 2017
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Progettazione/Editing
Leonardo Tortorelli
Grafica e impaginazione
Leonardo Tortorelli
Copertina
© Leonardo Tortorelli © 2017 Leonardo Tortorelli
Tel. 320 674 3350
ISBN: XXX-XX-XXX-XXXX-X (in attesa di assegnazione)
Tutti i diritti riservati. Vietata la riproduzione con qualsiasi mezzo effettuata, se non previa autorizzazione dell’Autore.
È consentita la fotocopiatura dell’opera e la distribuzione degli e-book a esclusivo uso didattico interno all’istituto.
Finito di stampare nel mese di novembre 2017
da Tipografia Handmade – Lecce (LE)
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Estratto da “Corso di Geometria Verticale – Volume VI” © Leonardo Tortorelli - 2017
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TEORIA DEI QUADRILATERI ...................................................................................................................... 5
06.01 – Generalità sui Quadrilateri .................................................................................................. 5 06.01.a) Definizione (Quadrilateri) ................................................................................................ 5 06.01.b) Definizione (Quadrilatero Scaleno) ................................................................................. 5 06.01.c) Definizione (Quadrilateri Concavi e Convessi) ................................................................ 5 06.01.d) Proprietà di un Quadrilaterio Generico ............................................................................. 6
06.01.e) Osservazione ..................................................................................................................... 6 06.02 – Il Trapezio [ ] .................................................................................................................. 6
06.02.a) Definizione (Trapezio) ...................................................................................................... 6 06.02.b) Definizione (Trapezio Rettangolo) ................................................................................... 7
06.02.c) Osservazioni sul Trapezio Rettangolo ............................................................................... 7 06.02.d) Definizione (Trapezio Isoscele) ........................................................................................ 8 06.02.e) Definizione (Trapezio Scaleno) ........................................................................................ 8 06.02.f) Primo Teorema dei Trapezi Isosceli .................................................................................. 8
06.02.g) Secondo Teorema dei Trapezi Isosceli ............................................................................. 8 06.02.h) Calcolo dell’Area di un Trapezio ..................................................................................... 9 06.02.i) Osservazione (Didattica) ..................................................................................................... 9
06.02.j) Osservazione (Didattica) ..................................................................................................... 9 06.03 – Aquilone, Deltoide o Kite [ ] ........................................................................................ 10
06.03.a) Definizione (Aquilone/Deltoide/Kite) ............................................................................. 10
06.03.b) Teorema (Diagonali dell’Aquilone) ................................................................................ 10 06.03.c) Teorema (Angoli Congruenti di un Aquilone) ................................................................ 10
06.03.d) Teorema (Asse di Simmetria di un Aquilone) ................................................................ 10
06.04 – Il Parallelogramma ............................................................................................................ 11
06.04.a) Definizione (Parallelogramma) ....................................................................................... 11 06.04.b) Altezze del Parallelogramma .......................................................................................... 11
06.04.c) Primo Teorema dei Parallelogrammi ............................................................................... 12 06.04.d) Secondo Teorema dei Parallelogrammi ........................................................................... 12 06.04.e) Terzo Teorema dei Parallelogrammi ............................................................................... 12 06.04.f) Definizione (Romboide) .................................................................................................. 13
06.04.g) Definizione (Quadrilatero di Varignon) .......................................................................... 13 06.04.h) Area del Quadrilatero di Varignon .................................................................................. 14 06.04.i) Calcolo dell’Area di un Parallelogramma ....................................................................... 14
06.05 – Il Rettangolo ...................................................................................................................... 14 06.05.a) Definizione (Rettangolo) ................................................................................................. 14
06.05.b) Teorema .......................................................................................................................... 15 06.05.c) Teorema ........................................................................................................................... 15
06.05.d) Teorema .......................................................................................................................... 15 06.05.e) Teorema ........................................................................................................................... 15 06.05.f) Teorema ........................................................................................................................... 15 06.05.g) Calcolo dell’Area di un Rettangolo ............................................................................... 16
06.06 – Il Rombo [ ] .................................................................................................................. 18
06.06.a) Definizione (Rombo) ....................................................................................................... 18 06.06.b) Teorema .......................................................................................................................... 18 06.06.c) Primo Teorema del Rombo ............................................................................................. 18 06.06.d) Secondo Teorema del Rombo ......................................................................................... 18 06.06.e) Calcolo dell’Area di un Rombo ..................................................................................... 19
06.07 – Il Quadrato [ ] ............................................................................................................... 19
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06.07.a) Definizione (Quadrato) ................................................................................................... 19
06.07.b) Teorema .......................................................................................................................... 19 06.07.c) Teorema ........................................................................................................................... 19 06.07.d) Teorema .......................................................................................................................... 20 06.07.e) Teorema ........................................................................................................................... 20 06.07.f) Calcolo dell’Area di un Quadrato ................................................................................... 20
06.08 – Quadrilateri Isoperimetrici ................................................................................................ 21 06.09.a) Definizione (Figure Isoperimetriche) ............................................................................ 21 06.09.b) Definizione (Quadrilateri Isoperimetrici) ...................................................................... 21 06.09.c) Osservazione .................................................................................................................. 21
06.09 – Quadrilateri Equiestesi ...................................................................................................... 21
06.10.a) Definizione (Superfici Equiestese/Equivalenti) ............................................................ 21
06.10.b) Definizione (Quadrilateri Equiestesi/Equivalenti) ......................................................... 21
06.10.c) Osservazione .................................................................................................................. 22
LEGENDA DEI SIMBOLI UTILIZZATI
SIMBOLI MATEMATICI
: Simbolo di Parallelismo tr (leggi: a Rette Paral a )lel//
: Simbolo di Perpendicolarità tra Rette Perpendicolare Ortogonale(leggi: , )
: Simbolo di Congruenza tra Figure (leggi: Geometriche Congru e )ent
: Simbolo di Equiestenione tra Figure Geometriche Equiestes (leg a Equivalentegi: , )
: Simbolo di Coincidenza tra Figure (leggi Geome : triche Coin e )cid
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Documento Estratto dal
“CORSO DI GEOMETRIA VERTICALE”
Volume VI
TEORIA DEI QUADRILATERI
06.01 – Generalità sui Quadrilateri
06.01.a) Definizione (Quadrilateri)
Si definisce Quadrilatero un qualunque poligono avente quattro lati.
In tale figura le misure dei quattro lati – come si vedrà nel [§06.01.d / Proprietà III] – non sono
assolutamente casuali, ma tra loro sussiste una particolare relazione.
06.01.b) Definizione (Quadrilatero Scaleno)
Si definisce Quadrilatero Scaleno un quadrilatero che non ha né angoli né lati congruenti.
06.01.c) Definizione (Quadrilateri Concavi e Convessi)
I quadrilateri possono essere concavi o convessi. Si definisce Quadrilatero Convesso un
quadrilatero tale che per ogni coppia di punti interni il segmento che li congiunge è formato da
punti tutti interni al quadrilatero. Se questa proprietà non si verifica, il quadrilatero si definisce
Quadrilatero Concavo.
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06.01.d) Proprietà di un Quadrilaterio Generico
I) La somma degli angoli interni di un quadrilatero misura 360°.
II) Ogni quadrilatero ha due diagonali. Se il quadrilatero è convesso e il loro punto di intersezione è
centro di simmetria, esso si definisce Centro del Quadrilatero.
III) La lunghezza di ciascun lato è minore della somma delle lunghezze degli altri tre lati.
06.01.e) Osservazione
Assegnate le misure di tutti i lati, un quadrilatero non è univocamente determinato (perché variano
le ampiezze degli angoli e la successione dei lati).
Un esempio plateale per convincersi di ciò è pensare a un quadrilatero equilatero con lato avente
lunghezza pari a 5 cm: potrebbe essere un rombo, ma anche un quadrato.
06.02 – Il Trapezio [ ]
06.02.a) Definizione (Trapezio)
Si definisce Trapezio un quadrilatero che ha (almeno) una coppia di lati paralleli.
Dato un trapezio, si definiscono:
– Basi del Trapezio i lati paralleli del trapezio;
– Lati Residui, gli altri due lati non considerati come basi (su altri testi anche denominati Lati
Obliqui o Lati del Trapezio).
– Altezze del Trapezio, tutti i segmenti compresi tra le due rette contenenti le basi e a esse
perpendicolari. Si hanno quindi infinite altezze. Si ha l’unicità dell’altezza solo quando essa è
riferita a un lato e a un determinato vertice (si ricordi che per un punto passa una e una sola
perpendicolare a una retta data).
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Nella precedente immagine i segmenti EF, DH, GI, CK, JL, MN sono altezze del trapezio. Le altezze del
trapezio sono dunque infinite. Per individuare univocamente una di tali altezze occorre fare riferimento a un
lato e a un determinato punto; ad esempio, per indicare le altezze più ―famose‖ DH e CK si dirà
riapettivamente: ―Si consideri l’altezza del trapezio condotta dal vertice D relativamente alla base AB‖ e ―Si
consideri l’altezza del trapezio condotta dal vertice C relativamente alla base AB‖.
06.02.b) Definizione (Trapezio Rettangolo)
Si definisce Trapezio Rettangolo un trapezio con almeno due lati perpendicolari.
06.02.c) Osservazioni sul Trapezio Rettangolo
I) Un trapezio rettangolo ha almeno due angoli retti.
II) In un trapezio rettangolo almeno una delle infinite altezze relativa alle basi coincide con uno dei
lati del trapezio.
- Quanti lati coincidenti con le altezze può al massimo avere un trapezio rettangolo?
- Generalmente un’altezza coincide con un lato, potrebbe però accadere che il trapezio rettangolo
sia un rettangolo e che dunque, i lati che coincidono con le altezze riferite a due basi prefissate,
diventino due.
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06.02.d) Definizione (Trapezio Isoscele)
Si definisce Trapezio Isoscele un trapezio in cui gli angoli
adiacenti ad almeno una delle basi sono congruenti.
06.02.e) Teorema sui Lati Residui di un Trapezio Isoscele
Se un trapezio è un trapezio isoscele allora ha i lati residui
congruenti.
- Per questo teorema non vale il viceversa! Saresti in grado di
fornire un controesempio (cioè un esempio di trapezio avente i
lati residui congruenti che non sia un trapezio isoscele)?
- Basta considerare un parallelogramma (che non sia un rettangolo), infatti esso ha… ma non è un…
06.02.f) Definizione (Trapezio Scaleno)
Si definisce Trapezio Scaleno un trapezio non isoscele.
06.02.g) Teorema sugli Angoli dei Trapezi Isosceli
Un trapezio è isoscele se e soltanto se ha gli angoli
adiacenti a ciascuna base congruenti.
06.02.h) Teorema sulle Diagonali dei Trapezi Isosceli
Un trapezio è isoscele se e soltanto se ha le diagonali congruenti.
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06.02.i) Calcolo dell’Area di un Trapezio
Dato un trapezio, si considerino:
due sue basi aventi lunghezza rispettivamente b1 e b2;
un’altezza relativa alle basi considerate avente lunghezza h.
L’area del trapezio vale:
[(Somma delle Lunghezze delle Basi)] (Lunghezza Altezza Relativa alle Basi)
=
2TrapezioArea
Cioè, in linguaggio simbolico:
( )
=2
Trapezio
b +b hArea
1 2
06.02.j) Osservazione (Didattica)
Corretto utilizzo dei termini lati obliqui, base maggiore e base minore.
- Nella scuola primaria e talvolta anche nella secondaria di primo grado, tali nomenclature sono
sconsigliabili dal punto di vista didattico a causa del conflitto cognitivo che sopravviene quando
si osserva che rettangoli e quadrati sono anche trapezi. Lo studente (e non solo), in tali casi,
incontra difficoltà perché: non vede né i lati obliqui (in senso letterale), né una base maggiore né
una base minore, ma ben due coppie di basi costituite da lati opposti aventi la stessa lunghezza!
Per poter mantenere includere tali casi particolari anche nel primo ciclo - mantenendo tali
tradizionali nomi a cui tutti sono ―affezionati‖ - dovremmo chiamarle, più rigorosamente, ―base
maggiore o uguale‖ e ―base minore o uguale‖.
- Nella secondaria di secondo grado, invece, è bene utilizzare i termini lati obliqui, base maggiore
e base minore, in quanto, è una bella occasione per affrontare il discorso dei ―casi limite‖ e delle
―figure degeneri‖.
06.02.k) Osservazione (Didattica)
Considerato un qualunque lato di un trapezio, quelle di essere base e/o lato residuo sono proprietà
che non dipendono da come il trapezio si colloca nel piano (ad esempio da come è disegnato sul
foglio) ma solo dalle relazioni tra i suoi lati.
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06.03 – Aquilone, Deltoide o Kite [ ]
06.03.a) Definizione (Aquilone/Deltoide/Kite)
Si definisce Aquilone o Deltoide o Kite un qualunque quadrilatero in
cui ci sono due lati consecutivi congruenti e gli altri due sono a loro
volta tra loro congruenti.
Curiosità / Tale nome deriva dalla lingua tedesca, in cui si usa deltoide
come sostantivo maschile sinonimo di aquilone.
Attenzione a non confondere il deltoide con il romboide che sarà
definito nei prossimi paragrafi, ma noi, chiamandolo aquilone questo
rischio non lo correremo affatto!
La recente tendenza è quella di non utilizzare il nome deltoide, in
quanto, con la parola deltoide si denota prioritariamente una curva piana detta anche Tricuspoide
(studiata per la prima volta da Eulero). Kite - che in inglese vuol dire ancora una volta aquilone - è
il nome più utilizzato in ambito internazionale per denotare questo quadrilatero.
06.03.b) Teorema (Diagonali dell’Aquilone)
L’aquilone ha le diagonali perpendicolari.
06.03.c) Teorema (Angoli Congruenti di un Aquilone)
L’aquilone ha almeno una coppia di angoli opposti congruenti.
Tali angoli sono quelli aventi come vertici i punti comuni a due lati
aventi lunghezza diversa (salvo eccezioni tipo il rombo dove si hanno tutti i lati congruenti).
06.03.d) Teorema (Asse di Simmetria di un Aquilone)
La retta passante per la diagonale che collega i due vertici opposti comuni alle due coppie di lati
congruenti è asse di simmetria per l’aquilone.
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06.04 – Il Parallelogramma
06.04.a) Definizione (Parallelogramma)
Si definisce Parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.
Nella seguente immagine, con M, è indicato il Centro del Parallelogramma (definito in generale
nel paragrafo [§06.01(d)_II]).
In base alla sua definizione ogni parallelogramma è un trapezio e quindi l’insieme dei
parallelogrammi è un sottoinsieme dell’insieme dei trapezi.
Curiosità / si può dire indifferentemente sia «parallelogramma», sia «parallelogrammo».
06.04.b) Altezze del Parallelogramma
Come per tutti i quadrilateri anche in questo caso
si hanno infinite altezze. Si ha l’unicità
dell’altezza solo quando essa è riferita a un lato e
a un vertice ben determinati (si ricordi che per
un punto passa una e una sola perpendicolare a
una retta data).
Ad esempio, il segmento, DH è l’unica altezza
condotta dal vertice D relativamente al lato AB e
CK l’unica altezza condotta dal vertice C relativamente al lato AD.
Da ogni vertice è possibile condurre due altezze relativamente ai due lati opposti.
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- Quante sono in totale le altezze condotte dai quattro vertici relativamente ai quattro lati del
parallelogramma? Disegnale tutte!
- Risposta: le altezze che è possibile disegnare in totale sono due per ciascuno dei quattro vertici
per un totale di otto altezze. Si consiglia vivamente di disegnarle perché è un esercizio tutt’altro
che inutile.
06.04.c) Primo Teorema dei Parallelogrammi
Un quadrilatero è un parallelogramma se e soltanto se i lati opposti sono congruenti.
06.04.d) Secondo Teorema dei Parallelogrammi
Un quadrilatero è un parallelogramma se e soltanto se gli angoli opposti sono congruenti.
06.04.e) Terzo Teorema dei Parallelogrammi
Un quadrilatero è un parallelogramma se e soltanto se le diagonali s’intersecano nei loro punti
medi.
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- Premessa / Le prime due condizioni necessarie e sufficienti espresse nelle pagine precedenti
richiedono che entrambe le coppie di lati opposti siano congruenti ed entrambe le coppie di
angoli opposti siano congruenti. Una sola coppia di lati (o di angoli) opposti congruenti non è
sufficiente a garantire che un quadrilatero sia un parallelogramma..
Fornire un esempio di un quadrilatero avente una coppia di lati opposti congruenti che non sia un
parallelogramma e un altro avente una coppia di angoli opposti congruenti che non sia un
parallelogramma.
- Risposta
Un esempio notevole di quadrilatero (non parallelogramma)
con una sola coppia di lati opposti congruenti è banalmente il
trapezio isoscele.
Un esempio di quadrilatero (non
parallelogramma) con una sola coppia di
angoli opposti congruenti è l’aquilone
convesso.
06.04.f) Definizione (Romboide)
Si definisce Romboide un parallelogramma privo di congruenze tra lati consecutivi o angoli
adiacenti.
In altri termini si definisce Romboide un parallelogramma senza:
- congruenze tra lati consecutivi (un rombo o un quadrato quindi, non sono romboidi);
- congruenze tra angoli ―consecutivi‖ (un rettangolo o un quadrato quindi, non sono romboidi).
06.04.g) Definizione (Quadrilatero di Varignon)
Dato un quadrilatero Q, si definisce Quadrilatero di Varignon
associato a Q la figura geometrica ottenuta congiungendo i punti
medi dei lati di un quadrilatero qualunque.
Si dimostra che il Quadrilatero di Varignon è un parallelogramma.
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06.04.h) Area del Quadrilatero di Varignon
Dato un quadrilatero convesso Q qualunque, denominato QV il suo Quadrilatero di Varignon,
risulta che l’area di quest’ultimo è la metà di quella dell’area di Q.
Cioè, in linguaggio simbolico:
1( )
2( )VQ Area QArea
06.04.i) Calcolo dell’Area di un Parallelogramma
Dato un un parallelogramma, si consideri:
una qualsiasi delle sue quattro basi avente lunghezza b;
la lunghezza h delle altezze relative alla base considerata.
L’area del parallelogramma vale:
(Lunghezza di Una Base) (Lunghezza Altezza Relativa alla Base Scelta) ParallelogrammaArea
Cioè, in linguaggio simbolico:
=Parallelogramma b hArea
Osservazione
Nei parallelelogrammi — che sono trapezi particolari — tutti i lati sono al contempo sia basi sia
lati residui.
06.05 – Il Rettangolo
06.05.a) Definizione (Rettangolo)
Si definisce Rettangolo un quadrilatero avente tutti gli angoli congruenti.
Cioè, in linguaggio simbolico:
Rettangolo ABCD
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06.05.b) Teorema
Un quadrilatero è un rettangolo se e soltanto se ha tutti gli angoli retti.
06.05.c) Teorema
Tutti i rettangoli sono trapezi isosceli.
06.05.d) Teorema
Tutti i rettangoli sono parallelogrammi.
L’insieme dei rettangoli è quindi un sottoinsieme dell’insieme dei parallelogrammi.
Poiché ogni rettangolo è un parallelogramma, valgono per i rettangoli tutte le proprietà che valgono
per i parallelogrammi.
06.05.e) Teorema
Se un quadrilatero è un rettangolo allora ha le diagonali congruenti.
06.05.f) Teorema
Un quadrilatero è un rettangolo se e soltanto se è un parallelogramma avente le diagonali
congruenti.
N.B. Da essa si deduce che: un quadrilatero per essere un rettangolo deve intanto essere un
parallelogramma e poi verificare la condizione di congruenza delle sue diagonali. Attenzione
però, per un quadrilatero generico, il verificarsi della condizione di congruenza delle diagonali
è una condizione necessaria ma non sufficiente per concludere che esso sia un rettangolo.
Infatti, considerato ad esempio il quadrilatero in figura (che è un particolare aquilone), ha le
diagonali congruenti ma non è un rettangolo!
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Conclusioni / Un quadrilatero con le diagonali congruenti è un
rettangolo solo se questo è già per ipotesi un parallelogramma,
mentre un quadrilatero generico con le diagonali congruenti non è
detto che lo sia, potrebbe essere ad esempio un trapezio isoscele
oppure un aquilone convesso particolare (deltoide convesso con
diaginali congruenti).
06.05.g) Calcolo dell’Area di un Rettangolo
Dato un rettangolo, si consideri:
una qualsiasi delle sue quattro basi avente lunghezza b;
la lunghezza h delle altezze relative alla base considerata.
Essendo il rettangolo un parallelogramma, la sua area vale:
Rettangolo = (Lunghezza di Una Base) (Lunghezza Altezza Relativa alla Base Scelta) Area
Cioè, in linguaggio simbolico:
Rettangolo = b hArea
Osservazione
Nei rettangoli — che sono trapezi particolari — tutti i lati sono sia basi sia lati residui.
06.05.i) Un rettangolo speciale: il Rettangolo Tatami
Il Tatami
Il Tatami (畳) è una tradizionale pavimentazione giapponese
composta da pannelli rettangolari modulari, costruiti con un
telaio di legno rivestito da paglia intrecciata e pressata.
Si usa il termine ―Tatami‖ per indicare sia il singolo tappeto solitamente
di forma rettangolare oppure quadrato (Mezzo Tatami), costruito in paglia
di riso intrecciata e pressata, sia il tradizionale pavimento giapponese
composto da più stuoie accostate l’una all’altra. Con il passare degli anni, i tatami, sono stati sempre più ricercati
anche nel mondo occidentale perché creano un ambiente ecosostenibile e privo di sostanze nocive, in quanto,
costituito solo da elementi prettamente naturali.
I bordi dei Tatami sono solitamente squadrati con grande
precisione e grazie a ciò esiste la possibilità di incastrarli alla
perfezione senza utilizzare collanti per fissarli al pavimento.
I tatami ―originali giapponesi‖ sono rivestiti da un doppio
strato di tessuto tipico giapponese molto simile all’erba del
prato. La paglia di riempimento, derivante dal riso, viene
naturalmente essiccata per un anno e cotta a temperature
molto elevate per rimuovere i parassiti e gli acari,
praticamente sterilizzandolo totalmente.
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Estratto da “Corso di Geometria Verticale – Volume VI” © Leonardo Tortorelli - 2017
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I tatami sono da alcuni secoli utilizzati
per ricoprire le stanze. Per tradizione sui
tatami si cammina soltanto a piedi nudi o
con delle calze.
Questo tipo di materiale è legato anche
alla cerimonia del tè, che si svolge con un
braciere poggiato o con la modifica di
una buca quadrata detta ―ro‖ fatta a uno
dei tatami, attorniata da una cornice
laccata, detta ―robuchi‖.
Oggi, nelle discipline sportive come ad
esempio il Judo, il tatami è usato come
materasso su cui è possibile cadere senza
riportare traumi. Nelle discipline sportive quindi con il termine tatami si indicano i materassini su cui poter
svolgere l’attività, in quanto, assorbono gli urti, motivo per cui sono eccellenti durante la pratica delle arti
marziali, ma anche per l’uso domestico, soprattutto bambini e anziani potranno beneficiare delle caratteristiche
ammortizzanti ed antitrauma di questa specifica attrezzatura.
Il Tatami come Unità di Misura / Misure Standard del Tatami
Il ―Tatami‖ viene usato come unità di misura per indicare le dimensioni degli ambienti e può anche
avere diversi spessori che di norma raggiungono i 6 cm. Orientativamente il tatami è lo spazio
occupato da una persona sdraiata. Le misure più frequenti sono:
Tatami ( 90 cm × 180 cm ) o ( 95 cm × 190 cm )
Mezzi Tatami ( 90 cm × 90 cm ) o ( 95 cm × 95 cm )
Definizione (Rettangolo Tatami)
Si definisce Rettangolo Tatami un rettangolo in
cui una dimensione è pari al doppio dell’altra.
Esempio di Rettangolo Tatami: rettangolo
avente misura di base 6 cm e di altezza 3 cm.
Tatami Room Patterns
I pavimenti realizzati con il rettangolo tatami
hanno delle configurazioni standard. Si riportano
nella successiva immagine i patterns più diffusi.
Prova a inventare degli esercizi che riguardano il
Tatami anche basandoti sulle composizioni presenti
nell’immagine seguente.
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Estratto da “Corso di Geometria Verticale – Volume VI” © Leonardo Tortorelli - 2017
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06.06 – Il Rombo [ ]
06.06.a) Definizione (Rombo)
Si definisce Rombo o Losanga un qualunque quadrilatero avente tutti i lati congruenti.
06.06.b) Teorema
Tutti i rombi sono parallelogrammi.
Cosa si conclude dunque? Che anche
l’insieme dei rombi similmente a quello
dei rettangoli, ma distintamente da esso è
un sottoinsieme dell’insieme dei
parallelogrammi.
Poiché ogni rombo è un parallelogramma, valgono per i rombi tutte le proprietà che valgono per i
parallelogrammi a cui si aggiungono quelle enunciate nei prossimi paragrafi.
06.06.c) Primo Teorema sulle Diagonali del Rombo
Se un quadrilatero è un rombo allora ha le diagonali perpendicolari.
06.06.d) Secondo Teorema sulle Diagonali del Rombo
Se un quadrilatero è un rombo allora le diagonali dividono in due angoli uguali gli angoli interni
del rombo.
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06.06.e) Calcolo dell’Area di un Rombo
Dato un rombo, si consideri:
la lunghezza d1 della sua prima diagonale.
la lunghezza d2 della sua seconda diagonale.
L’area del rombo vale: [(Lunghezza Prima Diagonale)] (Lunghezza Seconda Diagonale)
Romb =
o2
Area
Cioè, in linguaggio simbolico: Rombo =2
d dArea
1 2
Corretto utilizzo dei termini diagonale maggiore e diagonale minore
- Nella scuola primaria e talvolta anche nella secondaria di primo grado, tali nomenclature sono
sconsigliabili dal punto di vista didattico a causa del conflitto cognitivo che sopravviene quando
si osserva che i quadrati sono anche rombi. Lo studente (e non solo), in tali casi, incontra
difficoltà perché riconosce una coppia di segmenti aventi la stessa lunghezza e non una
―diagonale maggiore‖ e una ―diagonale minore‖. Per includere tali casi particolari - mantenendo
tali tradizionali nomi a cui tutti sono ―affezionati‖ - dovremmo denominarle, più rigorosamente,
―diagonale maggiore o uguale‖ e ―diagonale minore o uguale‖.
- Nella secondaria di secondo grado, invece, è bene utilizzare anche i termini diagonale maggiore
e diagonale minore, in quanto, è una bella occasione per affrontare il discorso dei ―casi limite‖.
Osservazione
Nei rombi — che sono trapezi particolari — tutti i lati sono sia basi sia lati residui.
06.07 – Il Quadrato [ ]
06.07.a) Definizione (Quadrato)
Si definisce Quadrato un quadrilatero avente tutti gli angoli e i lati congruenti.
06.07.b) Teorema
Tutti i quadrati sono aquiloni.
06.07.c) Teorema
Tutti i quadrati sono parallelogrammi.
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06.07.d) Teorema
Tutti i quadrati sono rettangoli.
06.07.e) Teorema
Tutti i quadrati sono rombi.
Osservazione
L’insieme dei quadrati (come quelli dei rettangoli e dei rombi) è un sottoinsieme dell’insieme dei
parallelogrammi e quindi valgono per i quadrati tutte le proprietà che valgono per i
parallelogrammi.
Ogni quadrato è sia un rombo (poiché ha i quattro lati congruenti), sia un rettangolo (poiché ha i
quattro angoli congruenti). Viceversa se un rettangolo (che ha quattro angoli congruenti) è anche
un rombo, allora ha anche quattro lati congruenti e quindi è necessariamente un quadrato. Dal
punto di vista della Teoria degli Insiemi, dunque, l’insieme dei quadrati, rappresenta l’intersezione
degli insiemi dei rettangoli e dei rombi.
Per i quadrati, inoltre, valgono quindi sia le proprietà dei rettangoli che quelle dei rombi. In
particolare si ha che:
le diagonali di un quadrato sono congruenti (in quanto il quadrato è un rettangolo);
le diagonali di un quadrato sono perpendicolari (in quanto il quadrato è un rombo);
Osservazione
Nei quadrati, come visto per il parallelogramma, il rettangolo e il rombo — che sono trapezi
particolari — tutti i lati sono al contempo sia basi che lati residui.
06.07.f) Calcolo dell’Area di un Quadrato
Dato un quadrato, si consideri:
la lunghezza l dei suoi lati.
L’area del quadrato vale: 2Quadrato (Lunghezza Lato del Quadrato)=Area
Cioè, in linguaggio simbolico: 2Quadrato = lArea
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06.08 – Quadrilateri Isoperimetrici
06.09.a) Definizione (Figure Isoperimetriche)
Due figure geometriche A e B si dicono Figure Isoperimetriche se hanno lo stesso perimetro.
06.09.b) Definizione (Quadrilateri Isoperimetrici)
Due quadrilateri A e B si dicono Quadrilateri Isoperimetrici se hanno lo stesso perimetro.
06.09.c) Osservazione
Due figure geometriche A e B se sono isoperimetriche non necessariamente sono congruenti.
Controesempio
Si considerino un qualunque quadrato avente lato di misura l = 5 cm e un rettangolo avente
dimensioni di misura b = 6 cm e h = 4 cm. Le due figure così ottenute, pur avendo lo stesso
perimetro (20 cm), evidentemente sono figure non congruenti!
06.09 – Quadrilateri Equiestesi
06.10.a) Definizione (Superfici Equiestese/Equivalenti)
Due superfici A e B si dicono Superfici Equiestese o Superfici Equivalenti se hanno la stessa
area.
Notazione
Date due generiche figure geometriche A e B, per indicare che A equiestesa B si scriverà:
A B
06.10.b) Definizione (Quadrilateri Equiestesi/Equivalenti)
Due quadrilateri si dicono Quadrilateri Equiestesi o Quadrilateri Equivalenti se e soltanto se
hanno la stessa area.
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06.10.c) Osservazione
Due figure geometriche A e B se sono equiestese non necessariamente sono congruenti.
Controesempio
Si considerino un qualunque quadrato
avente lato di misura l = 6 cm e un
rettangolo avente dimensioni di misura:
b = 9 cm e h = 4 cm.
Le due figure così ottenute, pur avendo
aree della stessa misura (36 cm2),
evidentemente sono figure non congruenti!
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SINTESI DELLE DEFINIZIONI DEL “MONDO QUADRILATERO”
Definizione (Quadrilatero Scaleno).
Si definisce Quadrilatero Scaleno un quadrilatero che non ha né angoli e né lati congruenti.
Definizione (Trapezio)
Si definisce Trapezio un quadrilatero che ha (almeno) una coppia di lati paralleli.
Dato un trapezio, si definiscono:
– Basi del Trapezio i lati paralleli del trapezio;
– Lati Residui, gli altri due lati non considerati come basi (su altri testi anche denominati Lati Obliqui).
Definizione (Trapezio Rettangolo)
Si definisce Trapezio Rettangolo un trapezio con almeno due lati perpendicolari.
Definizione (Trapezio Isoscele)
Si definisce Trapezio Isoscele un trapezio in cui gli angoli adiacenti ad almeno una delle basi sono
congruenti.
Definizione (Trapezio Scaleno)
Si definisce Trapezio Scaleno un trapezio non isoscele.
Definizione (Parallelogramma)
Si definisce Parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.
Definizione (Aquilone)
Si definisce Aquilone o Deltoide o Kite un qualunque quadrilatero in cui ci sono due lati consecutivi
congruenti e gli altri due sono a loro volta tra loro congruenti.
Definizione (Romboide)
Si definisce Romboide un parallelogramma privo di congruenze tra lati consecutivi o angoli adiacenti.
Definizione (Rettangolo)
Si definisce Rettangolo un qualunque quadrilatero che ha tutti gli angoli congruenti.
Definizione (Rombo o Losanga)
Si definisce Rombo o Losanga un qualunque quadrilatero che ha tutti i lati congruenti.
Definizione (Quadrato)
Si definisce Quadrato un quadrilatero che ha tutti gli angoli e i lati congruenti.
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Bibliografia
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