-
1
Introduction gnrale
Les rformes pdagogiques dans les diffrentes universits mondiales
en gnral et dans
les universits marocaines en particulier confrontent des
problmes majeurs au niveau de la
gestion des emplois du temps des examens.
Les deux problmes essentiels qui se posent sont :
1) Un tudiant inscrit dans deux modules diffrents a le droit de
passer les deux
examens, comment donc organiser ces deux examens de tel sorte
quils ne se
passent pas en mme temps ?
2) Pour des raisons pdagogiques comment loigner le maximum
possible entre deux
examens qui ont des tudiants en commun ?
Lobjectif de ce mmoire est de rpondre la premire question et
ceci en utilisant la
mthode de la coloration des graphes.
Le mmoire est organis en trois chapitres :
Dans le premier chapitre, nous introduisons les notions
prliminaires lies la thorie des
graphes et loptimisation combinatoire.
Nous abordons dans le deuxime chapitre le problme de coloration
de graphe, et nous
essayons de trouver lensemble indpendant maximal (MIS), nous
proposons une approche
de rsolution pour ce problme base sur une relaxation de la
contrainte surrogate.
Le quatrime chapitre de ce mmoire prsente une application de la
coloration de graphe
au problme de cration des horaires dexamen, nous tudions
lorganisation des examens
dans un semestre la FST de Fs.
Et nous terminons par une conclusion.
-
2
Chapitre 1
Thorie de graphe et optimisation combinatoire
1.1 -Introduction
La thorie des graphes prsente un domaine des mathmatiques qui
permet de
rsoudre efficacement une grande varit de problmes pratiques en
les ramenant des
configurations simples laide de points et de liaisons entre ces
points. Elle est aussi lun
des instruments les plus courants et les plus pertinents pour
rsoudre des problmes
discrets de la recherche oprationnelle (RO).
Plusieurs problmes de diffrents domaines peuvent tre modliss
sous forme dun graphe
Diffrentes tches excutes par une mnagre lors de la prparation
dun djeuner ;
Trafic routier ;
Expdition du ptrole brut depuis les rgions productrice jusqu la
raffinerie des
rgions
consommatrices ;
Rseaux de voies ferres ;
Fils de tlphone ;
Distribution de marchandises (voyageur de commerce)
Chimie : Modlisation de structures de molcules.
1.2 Gnralits sur les graphes
La thorie des graphes est ne en 1736 quand Euler dmontra quil
tait impossible de
traverser chacun des sept ponts de la ville de Knigsberg
(Kaliningrad) une fois
exactement et de revenir au point de dpart.
-
3
Le graphe des sept ponts de la ville de Knigsberg
1.2.1 Dfinitions et terminologie
Dfinition dun graphe :
Un graphe G est constitu de deux ensembles :
- Un ensemble X de points appels sommets
- Un ensemble U de lignes reliant chacune deux sommets
On note un graphe par G = (X, U). Pour tout (x, y) X ou x, y U,
x est dite extrmit
initiale et y extrmit finale. Le nombre de sommets est appel
ordre du graphe.
Exemples de graphe
toile anneau
-
4
Graphe orient
Un graphe est dit orient, ou bien direct, est un graphe dont on
peut distinguer entre les
liens (x, y) et (y, x), cest--dire (x, y) (y, x), et on appelle
le lien un arc.
y est un successeur de x tandis que x est un prdcesseur de y
A B
D C
F
Graphe non orient
Un graphe est dit non orient ou bien indirect si la prcision de
sens de lien (x,y) et la
Distinction entre extrmit initiale et extrmit terminale ne
jouent aucun rle. Tout lment
(x, y) E est une arte.
B C
A D
E
Remarque
- Tout graphe orient peut tre transform en un graphe non orient
en supprimant
lorientation des arcs.
- Tout graphe non orient peut tre transform en un graphe orient
en remplaant
chaque arte par deux arcs en sens inverse.
On note un arc par (A, B) ou AB
-
5
A B A B
Soit X = {x1, x2,.. xn} un ensemble de sommets.
On peut dfinir un graphe par la relation binaire R : xi R xj
(xi, xj) est un arc du
graphe.
Dfinition
Si xi R xj , on dit que les sommets xi et xj sont adjacents.
Dfinition quivalente
xi et xj sont adjacents sil y a un arc qui les relis.
1.2.2 Reprsentation dun graphe
Un graphe peut avoir plusieurs reprsentations, nous utilisons
dans ce mmoire la
reprsentation matricielle
1.2.2.1 Matrice dadjacence
Les outils classiques dalgbre linaire peuvent galement tre
utiliss pour coder les
graphes. La premire ide consiste considrer chaque arc comme un
lien entre deux
sommets.
Dfinition :
Considrons un graphe G = (X, A) comportant n sommets. La matrice
dadjacence de G est
gale la matrice U = (uij) de dimension n n telle que :
uij = 1 (, ) ( (, ) )0
Une telle matrice, ne contenant que des 0 et des 1 est appele,
de manire gnrale,
une matrice boolenne.
-
6
Un graphe orient quelconque a une matrice dadjacence quelconque,
alors quun graphe
non orient possde une matrice dadjacence symtrique. Labsence de
boucle se traduit
par une diagonale nulle.
Exemple
Considrons le graphe suivant :
1 5
4
2
3
La matrice dadjacence du graphe est la suivante :
M =
0 1 1 1 10 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 01 0 0 1 0
1.2.2.2 Matrice dincidence
La seconde ide permettant une reprsentation matricielle dun
graphe exploite la relation
dincidence entre artes et sommets.
Dfinition : Considrons un graphe oriente sans boucle G = (X, A)
comportant n
sommets x1, . . . , xn et m artes a1, . . . , am. On appelle
matrice dincidence (aux arcs) de G
la matrice M = (mij) de dimension n m telle que :
-
7
1 si xi est lextrmit initiale de ai
mij = 1 si xi est lextrmit terminale de aj
0 si xi nest pas une extrmit de aj
Pour un graphe non oriente sans boucle, la matrice dincidence
(aux artes) est dfinie par
:
= 1 si xi est une extrmit de aj0
La matrice dincidence du graphe de la figure 6 secrit sous la
forme suivante :
M =
1 0 1 0 1 1 1 01 1 0 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0 0 00 0 0 1 1 0 0 10 0
0 0 0 1 1 1
1.3 Loptimisation combinatoire
Loptimisation combinatoire occupe une place trs importante en
recherche
oprationnelle et en informatique. De nombreuses applications
pouvant tre modlises
sous la forme dun problme doptimisation combinatoire telles que
le problme du
voyageur de commerce, lordonnancement de tches, le problme de la
coloration de
graphe, etc. Loptimisation combinatoire comprend un ensemble
fini de solutions, o
chaque solution doit satisfaire un ensemble de contraintes
relatives la nature du
problme, et une fonction objectif pour valuer chaque solution
trouve. La solution
optimale est celle dont la valeur de lobjectif est la plus
petite (resp. grande) dans le cas de
minimisation (resp. maximisation) parmi lensemble de
solutions.
Un problme doptimisation combinatoire peut tre dfini par :
Vecteur de variables x = (x1 , ,xn)
Domaine des variables D = (D1, D2,.,Dn), o les (Di)i=1,..,n sont
des ensembles
finis
-
8
Ensemble de contraintes
Une fonction objectif f minimiser ou maximiser
Ensemble de toutes les solutions ralisable possibles est S =
{(x1, x2,xn) D / x satisfait
toutes les contraintes }, lensemble S et aussi appel un espace
de recherche.
La rsolution des problmes combinatoires est assez dlicate
puisque le nombre fini de
solutions ralisables crot gnralement avec la taille du problme,
ainsi que sa complexit.
Cela pouss les chercheurs dvelopper de nombreuses mthodes de
rsolution en
recherche oprationnelle (RO) et en intelligence artificielle
(IA). Ces approches de
rsolution peuvent tre classes en deux catgories : les mthodes
exactes et les mthodes
approches.
Les mthodes exactes ont permis de trouver des solutions
optimales pour des problmes de
taille raisonnable et rencontrent gnralement des difficults face
aux applications de taille
importante. En revanche les mthodes approches ne garantissent
pas de trouver une
solution exactes, mais seulement une approximation, mais ils
peuvent donner des solutions
mme pour les problmes de tailles assez grandes.
2.3.1 Prliminaire
2.3.1.1 Optimisation combinatoire
Loptimisation combinatoire ou optimisation discrte, est une
branche de loptimisation
lie essentiellement aux domaines suivants :
- mathmatique appliques
- informatique
- la recherche oprationnelle
- lalgorithmique et la thorie de la complexit.
2.3.1.2 Problme doptimisation combinatoire
Un problme doptimisation combinatoire consiste trouver la
meilleure solution dans
un ensemble discret dit ensemble des solutions ralisable. Cet
ensemble est souvent fini
mais de cardinalit peut tre trs grande et il est dcrit de manire
implicite, cest--dire
par une liste de contraintes doivent satisfaire les solutions
ralisables.
-
9
2.3.1.3 La complexit
La complexit analyse lespace mmoire ou le temps ncessaire pour
obtenir une
solution.
La thorie de complexit conduit distinguer entre la complexit des
problmes et la
complexit des algorithmes utiliss pur les rsoudre.
Complexit dun problme :
On appelle complexit dun problme la complexit en temps du
meilleur algorithme
permettant de le rsoudre.
Un problme peut tre rsolu par diffrents algorithmes et en gnral
on nest pas sr
davoir trouv lalgorithme de meilleure complexit. Lanalyse des
problmes consiste
les rangs dans des classes de problmes de complexit.
a)- La classe P
Cest lensemble des problmes pour lesquels il existe un
algorithme de rsolution en
un temps polynomiale
b)-La classe NP
Cest lensemble des problmes pour lesquels il existe un
algorithme non dterministe
pouvant les rsoudre en un temps polynomial.
c)-La classe NP-difficile
Un problme est NP-difficile si lexistence dun algorithme de
complexit polynomiale
pour le rsoudre implique P = NP.
d)-La classe NP-complet
Un problme est NP-complet sil est NP-difficile et sil appartient
la classe NP.
2.3.2 Mthodes de rsolution
La rsolution du problme doptimisation combinatoire consiste
trouver une solution
optimale dans un ensemble discret et gnralement fini, ce qui est
une trivialit du point de
-
10
vue mathmatique. Du point de vue informatique et pratique, le
temps de recherche la
solution optimale est un facteur trs important et cest pour cela
les problmes
doptimisation combinatoire sont rputs si difficiles. On
distingue deux grandes classes de
mthodes de rsolution : les Mthodes exactes et les mthodes
approches
2.3.2.1 Mthodes exactes
Le principe essentiel dune mthode exacte consiste gnralement
numrer, souvent
de manire implicite, lensemble des solutions de lespace de
recherche.
Les mthodes exactes ont permis de trouver des solutions
optimales pour des problmes de
taille raisonnable. Malgr les progrs raliss, notamment en matire
de la programmation
linaire en nombres entiers, le temps de calcul ncessaire pour
trouver une solution, risque
daugmenter exponentiellement avec la taille du problme
rencontrent gnralement des
difficults face aux applications de taille importante.
2.3.2.2 Mthodes approches
Les mthodes approches constituent une alternative trs
intressante pour traiter les
problmes doptimisation de grande taille, leur but est de trouver
une solution de bonne
qualit en un temps de calcul raisonnable sans garantir
loptimalit de la solution obtenue.
Ces mthodes sont fondes principalement sur divers heuristiques,
souvent spcifiques
un type de problme donn.
Lobjectif heuristique , signifie qui facilite la dcouverte, qui
a une utilit dans la
recherche (scientifique ou autre) .
Les mthodes heuristiques sont des critres, des principes ou des
mthodes permettant de
dterminer parmi plusieurs solutions, celle qui promit dtre la
plus efficace pour atteindre
un but.
-
11
Chapitre 2 : Problme de gestion des examens
2.1 Introduction
Parmi les problmes dordonnancement les plus tudis dans la
littrature, nous
trouvons le problme demploi du temps dans les tablissements
denseignement.
Lobjectif est daffecter un ensemble dentits (cours, examens,
etc) un nombre
limit de ressources (tranches horaire, salle,etc).
Ces problmes de gestion des examens sont des problmes trs tudis
dans la littrature.
En effet il a fait le sujet de plusieurs travails de chercheurs
dans ces derinires annes, nous
citons par exemple le travail de Ibtissam Dkhssi et Rachida
Abounasser.
Le problme demploi du temps duniversit qui a eu un grand intrt
le long des dernires
dcennies, est divis dans la littrature en deux problmatiques
:
1) le problme demploi des temps de cours.
2) le problme demploi des temps des examens.
Ces deux types de problme se ressemblent, mais il y a certaine
nombre de points de
diffrences entre eux.
Dans ce chapitre nous tudions le problme demploi du temps des
examens connu aussi
sous le nom de gestion des examens.
2.2 Problme demploi du temps des examens
Le problme demploi du temps des examens est concern par
lattribution dun
ensemble E = {e1,..,en} des examens dans un ensemble T =
{T1,..,TM} de crneaux
horaires sous un certain nombre de contraintes fortes et
faibles. Les contraintes fortes
doivent tre satisfaites afin de produire un planning ralisable,
tandis que les contraintes
faibles doivent tre rduites au minimum.
Les contraintes fortes du problme demploi du temps les plus
frquents dans la
littrature sont :
1) aucun tudiant ne doit avoir plus de deux examens dans la mme
tranche horaire.
-
12
2) la capacit de ltablissement ne doit pas tre dpasse nimporte
quelle tranche
horaire donne.
3) certaines paires dexamens peuvent subir des contraintes de
priorit ou de
simultanit. Un ensemble de contraintes fortes moins communes
peuvent souvent tre
considres dans diffrents tablissements selon leurs exigences
particulires.
Les contraintes faibles varient bien plus que les contraintes
fortes parce quelles dfinissent
essentiellement la qualit de lemploi du temps afin de donner une
mesure de comparaison
parmi les emplois du temps ralisable. Afin dutiliser une
fonction objectif simple
optimiser, ces contraintes faibles doivent toutes tre pondres
selon leurs importance
relative pour le planning produit. Citons quelques exemples des
contraintes faibles les plus
confrontes dans la littrature :
1) Affectation des crneaux horaire : il peut tre dsir quun
examen soit planifi dans
une tranche horaire particulire.
2) Contraintes de prcdence entre les vnements : un examen doit
tre planifi avant ou
aprs dautres (selon le problme, cette contrainte peut tre
galement une contrainte
forte).
3) Distribution des vnements le long de lhorizon de
planification : les tudiants ne
doivent pas avoir des examens en priodes conscutives et de
prfrence spares au
maximum.
4) affectation des ressources : il peut tre dsir quun examen
soit affect dans une salle
particulire.
Certain tablissement considrent galement la contrainte
concernant le placement de
plusieurs examens dans une mme salle u la contrainte qui permet
que les tudiants inscrits
dans un mme examen peuvent tre placs dans plusieurs salles. Le
nombre de tranches
horaire dans lhorizon de planification peut tre fix priori ou il
peut intervenir comme
objectif minimiser. Cette contrainte reprsente un conflit avec
la contrainte qui consiste
taler les examens le long de lhorizon de planification. Dautres
contraintes faibles
peuvent apparaitre selon la spcifit de ltablissement par exemple
une facult des
sciences na pas les mme contrainte que une FST ou quune cole
dingnieure
-
13
2.3 Problme apparus dans la littrature
Laccroissement de lintrt de recherches pour les problmes demploi
du temps des
examens a men les chercheurs (Carter et al. [CARTER 96]) la
cration dun ensemble
de problmes qui ont t largement tudis dans la littrature. Les
problmes tablis, sont
dfinis suivant certaines mesures dfinissant les variantes, qui
fournissent une manire
pour tablir des comparaisons scientifiques. Cependant, il y a eu
une manire pour tablir
des comparaisons scientifiques. Cependant, il y a eu une
certaine confusion dans la
littrature due lapparition de deux versions diffrentes de huit
instances de ces
problmes (de luniversit de Toronto). Nous essayons de prsenter
les diffrents
problmes apparus dans la littrature :
Problmes de luniversit de Toronto
Carter et al. [CARTER 96] ont prsent un ensemble dinstances du
problme
demploi du temps des examens rels de trois lyce canadiens, de
cinq universits
canadiennes, dune universit amricaine, dune universit
britannique et dune universit
en Arabie Saoudite. Ces problmes ont t largement tests dans la
littrature par
diffrentes approches et sont considres comme des rfrences.
Deux variantes des objectifs ont t dfinies :
1- la minimisation du nombre de tranches horaires requis pour le
problme (appele
Torontoa)
2- la minimisation du cot moyen par tudient (appel Torontob)
pour le premier objectif, le but est de construire un planning
faisable dans un horizon de
longueur minimale. Pour le deuxime objectif, une fonction
dvaluation a t dfinie pour
calculer le cot des plannings produits. Pour un tudiant ayant
deux examens spars par s
tranches horaires, le cot associ est dfini par la valeur de
proximit ws o w1 = 16, w2 =
8, w 3 = 4 w4 = 2 et w5 =1. Le but est de sparer deux examens
conscutifs au maximum
dans lhorizon de planification fix.
-
14
Les auteurs ont galement prsent sept autres instances du monde
rel avec dautres
contraintes latrales (par exemple : la capacit maximal des
salles par tranche horaire, le
nombre maximal dexamen par tranche horaire,.etc)
Burke et al. [BURKE 96] nt modifi lobjectif des variantes du
monde rel prsentes dans
[CARTER 96] en considrent la contrainte de la capacit maximal
des salles par tranches
horaires dans les problmes nt t distingues en plaant trois
horaires par jour de lundi au
vendredi et une tranche horaire samedi. Lobjectif est de
minimiser le nombre des tudiants
passant deux examens conscutif dans le mme jour et durant la
nuit. Ces deux variantes
sont appeles Torontoc et Tonrontod. Terashima-Marin et al.
[TERASHIMA-MARIN 99]
ont modifi lensemble de donnes en affectant chaque instance du
problme un nombre
de tranches horaires estim et chaque tranche horaire la capacit
maximal des salles.
Cette variante est appele Torontoe
Variantes bjectifs
Toronto a Minimisation du nombre des tranches horaires
ncessaires
Toronto b Maximiser de la sparation entre les examens dans un
horizon de
planification fix
Toronto c Minimiser des nombres des tudiants ayant deux examen
dans le mme
Toronto d Pariel que dans Toronto c : minimisation des tudiants
passant deux
examens durant la nuit
Toronto e Minimisation du nombre des tudiants passant deux
examens dans deux
tranches horaires adjacents
Problme de luniversit de Nottingham
En plus des objectifs tudis dans les problmes de Tonronto, Burke
et al. [BURKE 98
a] ont introduit lobjectif de minimisation du nombre des examens
conscutifs durant la
nuit. Ces nouvelles variantes des problmes demploi du temps des
examens ont t
appels Nottingham a et Nottingham b .
Problme de luniversit de Melbourne
Merlot et al. [MERLOT 03] ont prsent un ensemble de donnes du
problme demploi
du temps des examens de luniversit de Melbourne. Sont objectif
est de minimiser le
nombre dexamens adjacents dans le mme jour
-
15
2.3 Problmatique
Les responsables des services des examens confrontent des
problmes au niveau
dorganisation les horaires des examens.
Comment organiser les examens dont le minimum de chrnos possible
et sous la condition
quaucun tudiant nait passer deux preuves en mme temps ?
2.4 Reprsentation des solutions
2.4.1 Reprsentation graphique
La forme la plus simple d'un problme de gestion des examens est
quivalente celle de la
coloration des graphes, Ce problme consiste colorier les sommets
d'un graphe G de
faon ce que deux sommets relis par un arc ne soient jamais de la
mme couleur.
Lobjectif de ce problme est la minimisation du nombre de
couleurs. Par analogie, en
posant les examens comme des sommets et les couleurs comme des
priodes, chaque
examen doit tre assign une seule priode. De plus, les examens
qui ont des lves en
commun, qui sont relis par un arc, ne doivent pas tre assigns
une mme priode.
2.4.2 Reprsentation matricielle
Dans le problme demploi du temps des examens, nous peuvent
transformer le problme
sous forme dune matrice carr symtrique C o chaque lment Cij = 1
si lexamen i est
en conflit avec lexamen j cest--dire que i et j ont des tudiants
en commun, et Cij = 0
sinon.
Exemple
2.5 Conclusion
La recherche dans le problme demploi du temps a commenc par des
techniques
squentielles simples pendant les annes 60. Les techniques bases
sur les contraintes sont
apparues plus tard et jouent toujours un rle significatif nos
jours. les recherches
rcentes dans le problme demploi du temps des examens sont
domines par les
mtaheuristiques et leurs hybridations avec un ensemble de
techniques, incluant plusieurs
techniques rcentes, les techniques de recherche locale est des
techniques multicritres qui
ont galement prsent des rsultats intressants.
-
16
Dans le quatrime chapitre de ce mmoire nous tudions
lorganisation des examens dans
un semestre la FST de Fs, et nous essayons de rsoudre ce problme
on utilisant les
proprits de la coloration des graphes.
-
17
Chapitre 3 : Coloration des graphes
3.1 Introduction
En recherche oprationnelle, le problme de la coloration de
graphe fait partie
des problmes de rfrence. Il consiste minimiser le nombre de
colorier les sommets dun
graphe donn de telle sorte que deux sommets lis par une arte
naient pas la mme
couleur.
La coloration de graphes remonte 1852, lorsque Francis Lutherie
a prsent sa conjecture
des quatre couleurs, chaque carte peut tre colore avec quatre
couleurs de sorte que les
pays voisins qui partagent une frontire commune reoivent des
couleurs diffrentes .
Depuis, la coloration de graphes est devenu lun des domaines les
plus tudis de la thorie
de graphes.
Pour colorier un graphe tel quil nexiste pas deux sommets
adjacents ayant la mme
couleur est le principe problme dtude en coloration de graphe.
Le problme de la
coloration de graphe est parmi les problmes doptimisation
combinatoires les plus tudis
en informatique et en mathmatique. La coloration de graphes et
un sujet trs actif de la
thorie des graphes, il fait objet de plusieurs applications et
de problmes rel dans de
nombreux domaines tels que, la tlcommunication, la
bioinformatique et linternet. Est li
de nombreuses applications traditionnelles dans des domaines
varis, comme le problme
demploi du temps, lordonnancement des tache, etc.la coloration
de graphes a t aussi
applique pour modliser et rsoudre des problmes en mathmatiques
et statistique.
Dans ce chapitre nous essayons de donner quelque proprit sur le
problme de coloration.
Ensuite nous introduisons les mthodes de relaxation, avec en
particulier la relaxation
surrogate, et Nous proposons une heuristique pour la rsolution
du problme de
lensemble indpendant maximal (MIS) base sur la relaxation
surrogate de la formulation
en programmation entire du problme (MIS).
-
18
3.2 Coloration dun graphe
3.2.1 Ensemble indpendant
Un ensemble indpendant ou stable dun graphe G = (V, E) est un
sous-ensemble S
incluse dans V de sommets deux deux non relis par une arte. On
note par (G)
(nombre de stabilit) le cardinal maximum dun stable de G. Notons
quun stable est le
complmentaire dune clique et que
(G) = (G) ainsi que (G) = (G), ou (G) est la taille de la clique
maximale de G.
3.2.2 Coloration de graphe
Soit k un entier. On appelle k-coloration du graphe G = (S, A)
toute partition de S en
k ensembles A1 ,Ak tels que pour tout 1 i k, G[Ai] est un
stable. Les ensembles
Ai sont appels les couleurs de G. si x Ai, on dit quon a donn x
la couleur i. notons
quun graphe n sommets possde une n-coloration.
On appelle nombre chromatique de G le plus petit entier k tel
que G admet une k-
coloration. On note (G) le nombre chromatique de G.une
coloration de G avec (G)
couleurs est dite optimal. On note (G) (resp., (G)) la taille
dune clique (resp. dun
stable) de G de taille maximal ; autrement dit (G) := max {| C |
: C est une clique de G }
(resp., (G) = max{| C| : C est un stable de G}), o C dsigne le
nombre dlments de
|C|.
(G). (G) n(G)
n(G) tant le nombre de sommets du graphe.
On a aussi :
(G) deg G + 1
O deg G est le plus grand degr dun sommet.
Do :
deg G + 1 (G)
-
19
Dfinition :
Lindice chromatique not q(G) dun graphe G est le nombre minimal
de couleurs
ncessaires la coloration des artes de G.
Exemple
A B
C D
2.3 Problme densemble indpendant maximal
2.3.1 Relaxation
Un problme doptimisation P : max {f(x), x S1} est une relaxation
du problme
PR : max {f(x), x S2} si S2 incluse dans S1, une relaxation dun
problme est une
formulation qui contient un ensemble de solutions ralisables
plus grand que celui du
problme original, et donne une borne suprieure du problme PR.
Dans le cas dun
problme de minimisation, la relaxation fournit une borne
inferieure. Une bonne relaxation
fournit une solution optimale proche de loptimum du problme
original.
De manire gnrale, une relaxation devrait satisfaire les deux
conditions suivantes :
Avoir une structure semblable celle du problme original
Plus facile rsoudre que le problme original, de manire fournir
de bonnes bornes.
2.3.2 Relaxation Surrogate
La relaxation surrogte ou bien agrge a t initialement prsente
comme un moyen
damliorer les rgles de dcision et borner linformation dans des
algorithmes de la
programmation entire (Glover 1965). La relaxation surrogate
consiste combiner
lensemble des contraintes en une seule de manire suivante :
max c t.x
( IP) A.x b
x {0, 1}n
-
20
O x = (x1,, xn) t, c = (c1,.,cn), b = (b1,..,bm)
t , A = aij pour 1 i m et
1 j n.
La relaxation surrogate est donne par :
max ct .x
(SC) w t A. x w t b
x {0,1}
Avec 0 w = (w1,.wn) t
2.3.4 Problme densemble indpendant maximal
Le problme densemble indpendant maximal est lun des problmes
centraux de
loptimisation, et un des problmes classiques montrs pour tre
NP-difficile, son intrt
augmente en raison de son quivalence au problme de la clique
maximale et celui de
couverture. Il est efficace pour la rsolution de nombreuses
applications pratiques en
informatique, en recherche oprationnelle, ou dans le domaine de
lingnierie, telles que le
problme dordonnancement, le problme de coloration de graphes,
etc.
2.3.5 Formulation du problme densemble indpendant maximal
Nous considrons un graphe non-orient G = (V, E), o V = {1,..n}
dnote
lensemble de sommets du graphe G et E dnote lensemble des artes.
i V on a
nodestar(i) = {j : {i,j} E}
di = card(nodestar(i))
d0 = |E| = nombre des artes.
La formulation usuelle de la programmation mathmatique pour le
problme densemble
indpendant maximal associe une variable binaire xi chaque sommet
i V telle que
1 si le sommet est choisi comme lment de lensemble indpendant
maximal
xi =
0 sinon
-
21
2.3.6 Modlisation Mathmatique
Lobjectif
Maximiser le nombre de sommets dun stable
Variable
xi sommet dun graphe G
Contrainte
Lensemble indpendant ne contient que les sommets non adjacents
c.--d. quil que soit
un arc dont les extrmits sont i, j alors forcement au plus lun
de ce sommets sera dans
notre ensemble indpendant maximal.
Do la formule mathmatique est donn par :
xi + xj 1 (i, j) E
Donc le problme peut tre exprim sous forme dun problme de la
programmation en
nombres entiers comme suit :
max x0 = (xi : i V)
(IP) xi + xj 1, {i, j} E
xi binaire, i V
Les variables de dcision correspondent aux opration faites sur
un graphe tels
quajouter ou supprimer des sommets et des artes. De mme, des
implications de la
dcision telles que forces des variables particulires prendre la
valeur 0 ou 1 et faire
exprimer des contraintes redondants peuvent galement tre refltes
par des changements
correspondants la structure de graphe. Dans le cas actuel, selon
le problme considr, le
problme (IP) correspondent aux rductions simples suivantes du
graphe :
Poser xi =1 dans le problme (IP), force xj = 0 pour toutes les
variables xj telles que
xi +xj 1 ce qui correspond dans le graphe
-
22
2.3.7 Amlioration de la solution de la contrainte surrogate
Le problme de lensemble indpendant maximal est exprim comme suit
:
max x0 = (xi : i V)
(IP) xi + xj 1, {i, j} E
xi binaire, i V
pour produire rapidement une solution approche de ce type de
problme, nous
utilisons lheuristique de la contrainte surrogate, obtenue on
remplaant lensemble des
contraintes par une seule contrainte combinaison linaire des
originales. Les poids di sont
obtenus en additionnant le nombre de fois o xi apparait dans les
ingalits, et d0 est le
nombre de toutes les ingalits pour le problme (IP).
Pour le problme (IP), nous faisons une simple sommation de
toutes les contraintes comme
suit :
(di xi: i V) d0
Le problme surrogate associ (IP) est :
max x0 = (xi : i V)
(SC) (di xi : i V) d0
xi binaire, i V
la valeur de d0 dans les contraintes du problme surrogate (SC)
est gale au nombre de
contraintes dingalit, et di est gale la somme des coefficients
dunit pour les variables
xi qui apparaissent dans ces contraintes pour avoir une
meilleure solution nous pouvons
inclure certaines contraintes de (IP) dans le problme (SC) de la
manire suivante :
max x0 = (xi : i V)
(di xi : i V) d0
(SC1) xi + xj 1, {i, j} E
xi binaire, i V
-
23
O E contient des artes de E formes par des paires de sommets
disjoints, et par
consquent chaque variable xi, i V, apparat au plus une fois dans
la collection des
ingalits.
Sous la condition de croissance des di nous dfinissons :
V = V- {j V: (i, j) E et i< j}
Par consquent lensemble V est obtenu en abandonnant dans chaque
arte (i, j) E les
sommets du plus grand coefficient. Alors les contraintes
auxiliaires dans E peuvent tre
enleves et le problme est rduit :
max x0 = (xi : i V)
(SC2) (di xi : i V) d0
xi binaire, i V(SC2)
Nous remarquons que (SC2) a la mme forme que le problme de la
contrainte
surrogate original (SC), et puisque V enlve presque la moiti des
coefficients de V, donc
la solution est plus restreinte et SC2 donne gnralement une
borne x0 de meilleure qualit
que (SC).
Exemple 2.1
Nous considrons un graphe non-orient dans la figure 2.1, nous
essayons dappliquer
lapproche de la contrainte surrogate utilisant les deux
transformations (SC1) et (SC2) afin
davoir un ensemble indpendant maximal V. Le en nombre entiers
associ ce graphe
peut sexprimer sous la forme :
-
24
max x0 = i V xi
x1 + x2 1
x1 + x3 1
x2 + x3 1
x2 + x5 1
(IP) x2 + x6 1
x3 + x5 1
x3 + x6 1
x4 + x5 1
x4 + x6 1
x5 + x6 1
xi binaire, i V
Figure 1 Extraction de lensemble indpendant maximal
Nous introduisons par la suite lapproche surrogate donne dans
(2.1), ainsi le programme
surrogate (SC) associ (IP) est de la forme :
max x0 = iV xi
(SC) 2x1 + 4x2 + 4x3 + 2x4 + 4x5 + 4x6 10
xi binaire, i V
1
0
0
0
0
2
3 5
6
4
-
25
Lensemble dartes E E constitu de paires de sommets disjoints
(les contraintes
redondantes) correspond au graphe de la figure 2.1 est E = {(1,
2), (3,5), (4 ,6)} et donc le
problme (SC2) associ scrit sous la forme :
max x0 = iV xi
2x1 + 4x2 + 4x3 + 2x4 + 4x5 + 4x6 10
(SC1) x1 + x2 1
x3 + x5 1
x4 + x6 1
xi binaire, i V
Puisque les sommets du graphe sont ordonns dune manire
croissante suivant leurs
degrs, nous liminons tout sommet j els que (i, j) et i < j,
lensemble de
sommets enlev est {2, 6, 5}, par consquent V= {1, 3, 4} est
lensemble de sommets qui
sont rests.
Aprs avoir limin toutes les contraintes redondantes du problme
(SC), nous obtenons
donc le problme suivant : max x0 = iV xi
(SC2) x1 + x3 1
xi binaire, i V
Figure 2 graphe rsultant aprs rduction de variables.
Nous pouvons illustr cette rduction de variables sous forme dun
graphe de la figure
2.2.
Le problme (SC2) la mme structure que le problme surrogate (SC),
on refait alors les
mmes tapes prcdentes on a lensemble V = {1,4}
1
3
4
-
26
2.3.8 Amlioration par une mthode base sur le multiplicateur w de
la contrainte
surrogate
Pour le cas dun graphe G = (V, E) non orient, nous considrons w
= (w1,..,wm)t,
avec m le nombre dartes. On nonce dabord le rsultat suivant
:
Rsultat
Soit (SC) la relaxation surrogate du problme (IP), on choisit la
variable xr =1, si ak,j =1
avec j = nodestar (r) alors wk =0, pour tout 1 j n et 1 k m
(Douiri et El Bernoussi)
Preuve
Pour xr et j nodestar(r) nous posons k=1 ak,j = dj ( nombre
darrtes relies au sommet j)
nous avons :
Wt.A.x = wl.al,1.x1 + .+ = wl.al,n.xn ()
Le choix xr = 1 implique xj = 0, donc toutes les artes associes
j seront limines,
autrement dit si ak,j =1 on lui donne la valeur zro k 1, . , ,et
en utilisant la relation
() cela sexprime par wk =0.
Nous utilisant un algorithme de construction dun ensemble
indpendant maximal
approch. Lalgorithme est donne par :
1. Poser w = (1,..,1)t et V = .
2. Calculer la contrainte surrogate wt A = wk 0 (ak).
3. Donner i = indice (min (wtA) : (w
tA)i 0), poser xi = 1 et V = V
4. pour tout j nodestar (i), si ak,j = 1 alors wk = 0,si k=1 wk
= 0 stop.
Autrement retourner ltape 2.
-
27
Sur le graphe de lexemple 2.1, nous appliquons cette lalgorithme
pour donner un
ensemble indpendant maximal, nous considrons la matrice de
graphe A = (ai,j) suivante :
1 1 0 0 0 01 0 1 0 0 00 1 1 0 0 00 1 0 0 1 00 1 0 0 0 10 0 1 0 1
00 0 1 0 0 10 0 0 1 1 00 0 0 1 0 10 0 0 0 1 1
Pour w = (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)t nous avons SC = w
t A = (2,4,4,2,4,4).
indice (min(wt A) : (w
t A)i 0) = 1 alors V = {1}.
nodestar (1) = {2,3} nous cherchons 1 k 12 tel que ak,2 = 1 et
ak,3 = 1 donc
k ={1,2,3,4,5,6} et w = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 1, 1, 1)t.
Nous recalculons SC = (0, 0, 0, 2, 2, 2) et indice (min (wt A):
(w
t A)i 0) = 4 donc
V= {1, 4}.
nodestar (4) = {5,6}, nous identifions les valeurs de k de sorte
que ak,5 = 1 et ak,6 = 1 ce qui
donne k = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} alors w = {0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0}t
V nodestar 1, 4 Valors V = V { V/ nodestar (1, 4) V } = {1, 4}
correspond
lensemble indpendant maximal.
-
28
Chapitre 4 : Application a Un semestre la FST de Fs
4.1 Introduction
La coloration de graphe est la base de modlisation de plusieurs
problmes rels,
comme le problme de gestion des examens, qui consiste colorier
les sommets dun
graphe G de faon ce que deux sommets relis par un arc ne soient
jamais de la mme
couleur, lobjectif de ce problme est la minimisation du nombre
de couleurs. Dans le
contexte des horaires, les sommets de G reprsentent les examens
alors que les couleurs
reprsentent les priodes consacres la tenue des examens. Chaque
examen doit tre
assign une seule priode. De plus, les examens qui ont des lves
en commun, qui sont
relis par un arc, ne doivent pas tre assigns une mme priode.
4.2 Rsolution du problme de gestion dexamen
4.2.1 Application un semestre la FST de Fs
La Facult des sciences et Techniques-Fs doit organiser les
horaires des examens dun
semestre qui contient (S1, S2, S3, S4, S6) Cinquante-deux
preuves planifier,
correspondant aux cours numrots de 1 52
Comment organiser ces examens dont le minimum de chrnos possible
et sous la
contrainte quaucun tudiant nait passer deux preuves en mme temps
?
On numrote les modles de 1 jusqu' 52
S1 contient les 4 modles M1, M2, M3, M4
Soit E1 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M1
(1)
E2 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M2 (2)
E3 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M3 (3)
E4 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M4 (4)
S2 contient les 4 modles M5, M6, M7, M8
soit E5 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M5
(5)
-
29
E6 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M6 (6)
E7 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M7 (7)
E8 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M8 (8)
S3 contient les 4 modles M9, M10, M11, M12
Soit E9 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M9
(9)
E10 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M10
(10)
E11 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M11
(11)
E12 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M12
(12)
CAM-S4 contient les 4 modles M13, M14, M15, M16
Soit E13 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M13
(13)
E14 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M14
(14)
E15 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M15
(15)
E16 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M16
(16)
CAM-S6 contient les 4 modles M21, M22, M23, M24
Soit E17 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M21
(17)
E18 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M22
(18)
E19 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M23
(19)
E20 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M24
(20)
CSA-S4 contient les 4 modles M13, M14, M15, M16
Soit E21 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M13
(21)
E22 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M14
(22)
E23 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M15
(23)
E24 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M16
(24)
-
30
CSA-S6 contient les 4 modles M21, M22, M23, M24
Soit E25 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M21
(25)
E26 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M22
(26)
E27 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M23
(27)
E28 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M24
(28)
ETI-S4 contient les 4 modles M13, M14, M15, M16
Soit E29 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M13
(29)
E30 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M14
(30)
E31 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M15
(31)
E32 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M16
(32)
ETI-S6 contient les 4 modles M21, M22, M23, M24
Soit E33 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M21
(33)
E34 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M22
(34)
E35 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M23
(35)
E36 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M24
(36)
GIND-S4 contient les 4 modles M13, M14, M15, M16
Soit E37 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M13
(37)
E38 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M14
(38)
E39 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M15
(39)
E40 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M16
(40)
GIND-S6 contient les 4 modles M21, M22, M23, M24
Soit E41 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M21
(41)
E42 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M22
(42)
-
31
E43 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M23
(43)
E44 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M24
(44)
GINF-S4 contient les 4 modles M13, M14, M15, M16
Soit E45 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M13
(45)
E46 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M14
(46)
E47 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M15
(47)
E48 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M16
(48)
GINF-S4 contient les 4 modles M21, M22, M23, M24
Soit E49 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M21
(49)
E50 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M22
(50)
E51 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M23
(51)
E52 lensemble des tudiants qui sont inscrit au modle M24
(52)
E1
ALLOUCH REDA, BOUNNOUH AMINE, DZIRI HAMZA, ER-RAGRAGUI SALAH
EDDINE, MOUHIB OTHMAN, SEBTI MOHAMMED, ABBOU RACHID, AFOURAOU AMAL,
AKEL SOUMAYA, BELKHOU JIHANE, BENSLIMANE ASMAE, BERRAHO FADOUA,
BOUADLIATTAR AYMEN, BOUCHRI YOUSRA, BOUKHRISS HAMZA, BOUYARMANE
MOHAMMED, BOUZAFFOUR MOHAMED, BOUZAID MOHAMED, CHABLI BILAL,
CHOUIREF ZINEB, CHOUKRY YOUSSEF, CHRIFI ALAOUI A BBES, EL BARAKA
AMAL, EL GANDOULI YOUSSEF, EL KHOMSI SABRINE, ELASSRI AMINE,
EL-MRABET AMINA, ERROUDI WAFAE, HOUSNI NAIM, JABER ASMAE, KADDOURI
YASSINE, KAINI SAAD, LAAYOUN NAWAL, LEFAF ADIL, MADINI OUALID,
MEJAHED KAUTAR , MOUFID RABAB, MOUNAIME RIHAB, MOUNOUAR OTHMANE,
MOUSTAHSINE SMAIL, NADAH IBRAHIM, NAH FOUAD, NALI MOHSSINE, OUKICHA
NAJWA, RABHI SORAYA, RHALEB BASMA, SEDIKI YASSINE, TAIBI ZINEB,
TAMIMI SOUFIANE, TLEMCANI YOUSSEF, NACHIT ZOUHIR)
E2
BOUZIDI MOHAMMED ABDERRAHMANE, MOUHIB OTHMAN, CHRIFI ALAOUI A
BBES, EL BARAKA AMAL, ELASSRI AMINE, EL-MRABET AMINA, JABER ASMAE,
LEFAF ADIL, MADINI OUALID, MOUSTAHSINE SMAIL, TAIBI ZINEB, ZOUINE
MOHAMMED AMINE
E3 LOUDYI KHADIJA, AKEL SOUMAYA, CHOUKRY YOUSSEF, EL BARAKA
AMAL, IDIR CHAFIQ, MOUSTAHSINE SMAIL, TAIBI ZINEB, ZOUINE MOHAMMED
AMINE
E4 CHOUKRY YOUSSEF, NAH FOUAD
E5
LOUDYI KHADIJA, BOUADLI ATTAR AYMEN, CHABLI BILAL, CHOUIREF
ZINEB, EL HABCHI BADR, ELASSRI AMINE, ELKACHCHABI YASSIR, IDIR
CHAFIQ, RABAH NABIL, SADIK SOUKAINA
BENMOUSSA MAROUA, DKAKI OUMAYMA, ELHILALI NOURA, LOUDYI
KHADIJA,
-
32
E6
MOUHIB OTHMAN, TIJAHI FATIMA ZAHRAE, BELFAKIH ILHAM, BELMAJDOUB
ISMAIL, BENSLIMANE ASMAE, BERRAHO FADOUA, BOUADLI ATTAR AYMEN,
BOUCHRI YOUSRA, BOUKHRISS HAMZA, BOURI YOUSRA, CHAIBI FATIMA
ZAHRAE, CHOUIREF ZINEB, EL HABCHI BADR, ELASSRI AMINE, ELKACHCHABI
YASSIR, IDIR CHAFIQ, JABER ASMAE, MADINI OUALID, MEJAHED KAOUTAR,
MOUFID RABAB, MOUNAIME RIHAB, NAH FOUAD, NALI MOHSSINE, OULD AHMED
OULD HAMIDOUN MOKHTAR, RABAH NABIL, RABHI SORAYA, RHALEB BASMA,
SAADAOUI ISSAM, SADIK SOUKAINA, SEKKAT ABDERRAHIM, STITOU BOUZID,
TAIBI ZINEB, TAOUIL MERYEM, TLEMCANI YOUSSEF, TOULOUT SALMA, ZOUINE
MOHAMMED AMINE, LAKRAMTI FIRDAOUS, MATTOUHI MERIEM, TELMANI
NASSIRA
E7
BELFAKIH ILHAM, BELKHOU JIHANE, BENSLIMANE ASMAE, BOUADLI ATTAR
AYMEN, BOUKHRISS HAMZA, BOURI YOUSRA, CHABLI BILAL, CHOUIREF ZINEB,
EL GANDOULI YOUSSEF, EL HABCHI BADR, LAAYOUN NAWAL, LEFAF ADIL,
MEJAHED KAOUTAR, SAADAOUI ISSAM, SADIK SOUKAINA, SEDIKI YASSINE,
TAOUIL MERYEM, TLEMCANI YOUSSEF, ZOUINE MOHAMMED AMINE, TELMANI
NASSIRA
E8 SAADAOUI ISSAM
E9
BALLOUK KARIMA, BENISS MOHAMED AMINE, BOUNNOUH AMINE, DJAZI
MEHDI, DKAKI OUMAYMA, ECHCHERKI OUSSAMA, EDDARIF FATIHA,
ER-RAGRAGUI SALAH EDDINE, ESSAHAL WALID, EZZENATI SARA, HEDDA SARA,
LADRAA AICHA, LOULIDI YASSINE, SEBTI MOHAMMED, TIJAHI FATIMA
ZAHRAE, ABBOU RACHID, AFOURAOU AMAL, AKEL SOUMAYA, BELKHOU JIHANE,
BELMAJDOUB ISMAIL, BERRAHO FADOUA, BOURI YOUSRA, BOUYARMANE
MOHAMMED, BOUZAFFOUR MOHAMED, BOUZAID MOHAMED, CHABLI BILAL, CHAIBI
FATIMA ZAHRAE, CHOUKRY YOUSSEF, CHRIFI ALAOUI A BBES, DOBLI BENNANI
ABDESSALAM, EL BARAKA AMAL, EL GANDOULI YOUSSEF, EL KHOMSI SABRINE,
ELKACHCHABI YASSIR, EL-MRABET AMINA, ERROUDI WAFAE, HOUSNI NAIM,
IDIR CHAFIQ, KADDOURI YASSINE, KAINI SAAD, LAAYOUN NAWAL, MOUNOUAR
OTHMANE, NADAH IBRAHIM, NAH FOUAD, NALI MOHSSINE, OUARD ZINEB,
OUKICHA NAJWA, OULD AHMED OULD HAMIDOUN MOKHTAR, RHALEB BASMA,
SEDIKI YASSINE, SEKKAT ABDERRAHIM, TAMIMI SOUFIANE, TAOUIL MERYEM,
TOULOUT SALMA, FILALI MOUHIM ISSAM, M'HAMDI HAJAR, MOUFID FATIMA
ZAHRA, BENBOUBKER HAMZA, BENJELLOUN MOHAMMED SALIM, EL YAMANI
MERYEM, MOUSLIH GHIZLANE, IDRISSI MELIANI MOHAMMED, SENHAJI MEHDI,
TAHRI JOUTEI ZINEB, ZEHOUANI FATMA, ALIOU DIALLO AOUDI MOHAMED
HABIB, CHAOUQUI AKRAM
E10
ALLOUCH REDA, BENISS MOHAMED AMINE, BOUNNOUH AMINE, BOUZIDI
MOHAMMED ABDERRAHMANE, DJAZI MEHDI, DZIRI HAMZA, ECHCHERKI OUSSAMA,
EDDARIF FATIHA, ESSAHAL WALID, EZZENATI SARA, HEDDA SARA, LADRAA
AICHA, ABBOU RACHID, AFOURAOU AMAL, AKEL SOUMAYA, BELMAJDOUB
ISMAIL, BOUCHRI YOUSRA, BOUZAFFOUR MOHAMED, BOUZAID MOHAMED, CHAIBI
FATIMA ZAHRAE, DOBLI BENNANI ABDESSALAM, EL KHOMSI SABRINE,
ELKACHCHABI YASSIR, ERROUDI WAFAE, HOUSNI NAIM, KADDOURI YASSINE,
KAINI SAAD, MOUNAIME RIHAB, NALI MOHSSINE, OUARD ZINEB, RAFIE
SOUMIA, SEKKAT ABDERRAHIM, TOULOUT SALMA, M'HAMDI HAJAR, MOUFID
FATIMA ZAHRA, EL YAMANI MERYEM, TCHICH GHITA
E11
ALLOUCH REDA, BALLOUK KARIMA, BENMOUSSA MAROUA, BOUZIDI MOHAMMED
ABDERRAHMANE, DJAZI MEHDI, DKAKI OUMAYMA, ECHCHERKI OUSSAMA,
EDDARIF FATIHA, ELHILALI NOURA, ESSAHAL WALID, EZZENATI SARA, HEDDA
SARA, LADRAA AICHA, LOULIDI YASSINE, TIJAHI FATIMA ZAHRAE, ABBOU
RACHID, BELMAJDOUB ISMAIL, BERRAHO FADOUA, BOUCHRI YOUSRA, CHAIBI
FATIMA ZAHRAE, CHRIFI ALAOUI A BBES, EL GANDOULI YOUSSEF, HOUSNI
NAIM, KADA OUMAIMA, KADDOURI YASSINE, KAINI SAAD, LAAYOUN NAWAL,
MOUNAIME RIHAB, NADAH IBRAHIM, OUARD ZINEB, OUKICHA NAJWA, OULD
AHMED OULD HAMIDOUN MOKHTAR, RAFIE SOUMIA, STITOU
-
33
BOUZID, TAMIMI SOUFIANE, TOULOUT SALMA, DAROUICHE BAHIJA, MOUFID
FATIMA ZAHRA, TCHICH GHITA, ALIOU DIALLO AOUDI MOHAMED HABIB,
CHAOUQUI AKRAM
E12
ALLOUCH REDA, BALLOUK KARIMA, BENISS MOHAMED AMINE, BENMOUSSA
MAROUA, BOUNNOUH AMINE, BOUZIDI MOHAMMED ABDERRAHMANE, DJAZI MEHDI,
DKAKI OUMAYMA, DZIRI HAMZA, ECHCHERKI OUSSAMA, EDDARIF FATIHA,
ELHILALI NOURA, ER-RAGRAGUI SALAH EDDINE, ESSAHAL WALID, EZZENATI
SARA, HEDDA SARA, LADRAA AICHA, LOUDYI KHADIJA, LOULIDI YASSINE,
MOUHIB OTHMAN, SEBTI MOHAMMED, TIJAHI FATIMA ZAHRAE, SBAI AMIN,
ELMEKAOU OUSSAMA, BOUYARMANE HOUDA, MOUFID FATIMA ZAHRA
E13 HADDAOUI SABAH, LAHLOU DRISS
E14 HADDAOUI SABAH, LAHLOU DRISS
E15
E16 HADDAOUI SABAH, LAHLOU DRISS
E17 BOUYARMANE HOUDA, EL GHAYATY MOHAMMED, NACHIT ZOUHIR
E18 NACHIT ZOUHIR
E19 EL GHAYATY MOHAMMED
E20 EL GHAYATY MOHAMMED
E21 ASSEMLAL ISSAM, BAKHRI ASSINE, BOUMAIS MOHAMMED, SKIREDJ
MOHAMED, ZGHIMRI ACHRAF, GHAZOUANI FATIMA ZAHRA
E22 SBAI AMIN, ASSEMLAL ISSAM, BAKHRI YASSINE, BERTAL HANANE,
BOUMAIS MOHAMMED, IDRISSI HANANE, SKIREDJ MOHAMED, ZGHIMRI ACHRAF,
ELANSARI MOHAMMED, MEJBAR MOHAMMED REDA
E23 ASSEMLAL ISSAM, BAKHRI YASSINE, BOUMAIS MOHAMMED, IDRISSI
HANANE, SKIREDJ MOHAMED, MEJBAR MOHAMMED REDA
E24 BOUMAIS MOHAMMED, SKIREDJ MOHAMED, EL HAMMOUMI MOHAMMED
E25 EL HANAOUI RABIE, EN-NASYRY ALAE, ALIOU DIALLO AOUDI MOHAMED
HABIB, SKIREDJ MOHAMED, MEJBAR MOHAMMED REDA, TELMANI NASSIRA,
CHAOUQUI AKRAM, EL HAMMOUMI MOHAMMED
E26 EL HANAOUI RABIE, EN-NASYRY ALAE, ALIOU DIALLO AOUDI MOHAMED
HABIB, SKIREDJ MOHAMED, MEJBAR MOHAMMED REDA, TELMANI NASSIRA,
CHAOUQUI AKRAM, EL HAMMOUMI MOHAMMED
E27 EL HANAOUI RABIE, EN-NASYRY ALAE
E28 EL HANAOUI RABIE, EN-NASYRY ALAE
E29 ELMEKAOUI OUSSAMA
E30 ELMEKAOUI OUSSAMA, CHRAIBI MERYEME, REZKI KHADIJA
E31 REZKI KHADIJA, SALIM MOHAMMED
E32 ELMEKAOUI OUSSAMA
E33 DABIRE NAMBOUNON ERIC, IDRISSI MELIANI MOHAMMED
E34 ERROUHA MUSTAPHA
E35 EL BELGHITI ALAOUI MOHAMMED NABIL, ERROUHA MUSTAPHA
E36 EL BELGHITI ALAOUI MOHAMMED NABIL, ERROUHA MUSTAPHA
E37 AHOUFI ANAS, LEGRA SOW MAHMOUD
E38
E39 OUENJLI SOUMAYA, AHOUFI ANAS, LEGRA SOW MAHMOUD
E40 OUENJLI SOUMAYA
E41 ERROUHA MUSTAPHA
E42 SENHAJI MEHDI, TAHRI JOUTEI ZINEB
E43 LEGRA SOW MAHMOUD
E44 LEGRA SOW MAHMOUD
E45 BOURAKKADI MOHAMMED, DAROUICHE BAHIJA, EL ARAB YAHIA,
HAMEDOUN
-
34
MOHAMMED JABER
E46 EL ARAB YAHIA, EL ISSAOUI NAOUFAL, FILALI MOUHIM ISSAM,
LAHRICHI SAFAE
E47 BOURAKKADI MOHAMMED, DAROUICHE BAHIJA, EL ARAB YAHIA,
HAMEDOUN MOHAMMED JABER
E48 BOURAKKADI MOHAMMED, EL ARAB YAHIA, FILALI MOUHIM ISSAM,
HAMEDOUN MOHAMMED JABER, LAHRICHI SAFAE
E49 TIJANI NASSER
E50 TIJANI NASSER
E51 TIJANI NASSER
E52 TIJANI NASSER
4.2.2 Rsolution du problme de gestion des examens
Nous utilisant la coloration des graphes pour rsoudre ce
problme, nous essayons tout
dabord de transformer le problme sous forme dune matrice carr
symtrique contient 0
et 1, 1 si i et j sont deux modules de mme spcialit o sils ont
au moins un tudiant
rserve en commun et 0 sinon avec i,j = {1,,52}
-
35
0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 01 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 01 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 0
1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0