İki Eksenli Gerilme Hali σ 1 σ 2 0 0 0 0 0 0 0 ( ( σ 1 ≠ 0 σ 2 σ 1 σ 2 ≠ 0 σ 3 = 0 σ 1 ≥ σ 2 P Örnek σ 2 P σ 1 σ 1 P 1 2 3 1 2 İki Eksenli Gerilme Hali 1 Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerden birisi sıfır ise o noktadaki gerilme hali "iki eksenli gerilme hali"dir. Düzlem gerilme hali de denir. P noktasından geçen bütün yüzeylerdeki eğik gerilme vektörleri aynı düzlem içindedir. Gerilmelerin içinde bulunduğu düzlem, asal gerilme doğrultularından birine diktir. Bu doğrultudaki asal gerilme sıfırdır. Diğer asal gerilmeler sıfırdan farklıdır. Literatürde genellikle böyle seçilir. I 1 ≠ 0 I 2 ≠ 0 I 3 = 0 Gerilme invaryantları: Kendi düzlemi içindeki kuvvetlere maruz bir levha
33
Embed
Gerilme invaryantları: ( 0 - selcuk.edu.tr Iki Eksenli Gerilme Hali 1... · σx σy τxy τyx x y σx τxy σy τyx σx σy τxy τyx x y σx τxy σy τyx İşaret kabulü İki
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
İki Eksenli Gerilme Hali
σ1
σ2
00000
00( (
σ1 ≠ 0
σ2
σ1
σ2 ≠ 0
σ3 = 0
σ1 ≥ σ2
P
Örnek
σ2
P σ1
σ1
P
1
2
3
1
2
İki Eksenli Gerilme Hali 1
Bir cismin herhangi bir P noktasındaki asal gerilmelerden birisi sıfır ise o noktadaki gerilme hali "iki eksenli gerilme hali"dir.Düzlem gerilme hali de denir.
P noktasından geçen bütün yüzeylerdeki eğik gerilme vektörleri aynı düzlem içindedir.Gerilmelerin içinde bulunduğu düzlem, asal gerilme doğrultularından birine diktir.Bu doğrultudaki asal gerilme sıfırdır. Diğer asal gerilmeler sıfırdan farklıdır.
Literatürde genellikle böyle seçilir.
I1 ≠ 0I2 ≠ 0I3 = 0
Gerilme invaryantları:
P
Kendi düzlemi içindeki kuvvetlere maruz bir levha
İki Eksenli Gerilme Hali 2
1
2
3
≡
σ1 0( (0
0
0
0
0
0
σx 0( (0
0
0
0
0
0
≡
σx τxy( (0
0
0
00
σyτyx ≡
σx' τx'y'( (0
0
0
00
σy'τy'x'
1
2
3z
x
y
1
2
x
y
3z 1
2
3z'
x'y'
τx'y'
σx'
σy'
y'
τy'x'
x'
P 1
2
τxyσx
σy
τyx
P 1
2
x
y
y'
x'
P 1
2
P 1
2
x
y
σ1
Pσ1
Pσx
1
x
y
1
2
σ2 σy
σ2 σ2σy
σ1
Pσ1
Pσx
1
x1
σ2 σ2σy
σx σy ≠ τxy2 σx' σy' ≠ τx'y'
2
2
y2 2
Behcet DAĞHAN
Literatürde genellikle z-ekseni ve z'-ekseni, 3-ekseni ile çakıştırılır.
Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeye etki eden gerilme bileşenlerinin iç çarpım yardımıyla bulunması
F
F
a
a→
Fa
→
Fa
Fa = F • e = (F)T (e)→ →
Bir vektörün herhangi bir doğrultuya izdüşümü, vektör ile doğrultu üzerindeki birim vektörüniç çarpımı (skaler çarpımı) ile bulunabilir.Benzer şekilde, bir tansörün bir yüzeye izdüşümü de,tansör ile yüzey normali üzerindeki birim vektörüniç çarpımı ile bulunabilir.
e = cosβ i + sinβ j→ → →
Fa = F (cosθ cosβ + sinθ sinβ)
x
y
β
θ
u = cosθ i + sinθ j→ → →
F = F u = (F) = F →→
e = (e) = →
cosθ
sinθ( (
cosβ
sinβ( (
n = cosθ i + sinθ j→ → →
(F)T = F (cosθ sinθ)
σx τyx( σyτxy(
Gerilme tansörünün, yüzey normali n olan bir yüzeye izdüşümü→
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
12
τx'y' = − –– (σx − σy) sin 2θ + τxy cos 2θ 12
İki Eksenli Gerilme Hali 10
Asal gerilmeler ve asal eksen doğrultuları
––– = 0dσx'
dθ} σx' = σmax
σx' = σmin
veyaσmax = σ1
σmin = σ2
σ1 ≥ σ2
(Literatürde genellikle böyle seçilir.)
− (σx − σy) sin 2θ + 2 τxy cos 2θ ––– = 0 =dσx'
dθ→ tan 2θ = –––––––
2 τxy
σx − σy
Asal eksenler ilex, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
Asal gerilmenin etki ettiği yüzeyde kayma gerilmesi yoktur. Yani τx'y' = 0 } tan 2θ = –––––––2 τxy
σx − σy
Alternatif olarak:
"Döndürülen x' ekseni ne zaman asal eksen ile çakışır?" sorusuna cevap arıyoruz.
- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır.
σx τxy
σyτyx( ( σx'
σy'0
0( ((σ) = ≡
x'
x
y
σx
σy
τxy
τyx
θθ
y'
σx'
σx'
σy'
nτn = τx'y' = 0
σn = σx'
σn
σn
(σ) =σ1
σ20
0( (
İki Eksenli Gerilme Hali 11
→tan 2θ = –––––––
2 τxy
σx − σy
Asal eksenler ile x-y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
x
y
1
2
θ = θp1
P
σ1 σ2
σ2 σ1
1
2
θ = θp2
σ2 σ1
P
σ1 σ2
x
y
→
θ = θp1
θ = θp2
Örnekler
veya
(σx > σy)→
→(σx < σy)
x'y' x'y'
σx' = –– (σx + σy) + –– (σx − σy) cos 2θ + τxy sin 2θ 12
σ1 0( σ20 (Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen eksenler değiştikçe o noktadaki gerilme halini gösteren tansörün bileşenleride değişir. Fakat değişmeyen bazı değerler vardır. İşte bu değerlere gerilme halinin invaryantları denir.Gerilme hali, iki eksenli olduğu zaman iki tane gerilme invaryantı vardır.
İşaret kabulüne ve şekle göre bu gerilmenin işareti pozitiftir.τ = −τx'y'
Mohr çemberi üzerinde bir noktayakarşılık gelen yüzey
→
Mohr çemberinin denklemiAsal eksenler ile x, y eksenleri arasındaki açıyı veren bağıntı
Mohr çemberiAsal olmayan eksenlerden başlayarak döndürme yapılan durum
Yüzey normali döndürülmüş eksene paralel olan bir yüzeydeki gerilme bileşenleriniasal olmayan gerilmeler cinsinden veren bağıntılar
{
→
Asal olmayan ve sabit tutulan x, y eksenleri keyfi olarak seçilebilir veya problemde verilmiş olabilir.
→- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilme bileşenleri σ ve τ değer çiftlerine σ-τ eksen takımında karşılık gelen noktaların geometrik yeridir.
Mohr çemberi nedir?
- Bir cismin herhangi bir P noktasındaki gerilme halinin grafik gösterilimidir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen her bir yüzeydeki gerilmeyi ve bileşenlerini veren grafiktir.
- Bir cismin herhangi bir P noktasından geçen ve döndürülen eksenlerdeki gerilme bileşenlerini veren grafiktir (x'-y' eksenleri döndürülen eksenlerdir).
Döndürülen yüzeyin normalinin asal eksenler ile yaptığı açının Mohr çemberi üzerindeki yerleri
(σm ,τmax)
(σm , τmin)
σ1
T
İki Eksenli Gerilme Hali 33
Behcet DAĞHAN
Tmax
σ1
σ2
θ
σ2
σ2
σ1
T σ
τ
T
θ
Tθ
θ = 0
θ = 90o
Tmax= σ1
θ = –90o
θ = 180o Tmax= σ1
Tmin = σ2
Tmin = σ2
T 2 = σ12 cos2 θ + σ2
2 sin2θ
T
Kutup
T
T
TmaxTmin
A
D
A
B
C
H
F
H
1
2
θ = 90o
θ = –90o
θ = –180o
E
F
G
D
B
C
E
G
θ = 90o
θ = –90o
θ = 0
σ1
σ2
σ2
σ11
2
Tmin
Tmax
σ1
σ2
σ2
σ1
2
Eksenler döndürüldükçe eğik gerilmenin değişimi
Polar koordinatlarda- T, ekstremum değerlerini etki ettiği yüzeye dik olduğu zaman almaktadır.- T, yüzeye dik olduğu zaman asal gerilme adını alır.- T, yüzeye dik olduğu zaman σ ya eşit olur.- σ, T nin dik bileşeni olduğu için T den büyük olamaz.Dolayısıyla:
- Asal gerilmeler normal gerilmedir.- Normal gerilmenin ekstremum değerleri asal gerilmedir.
n
n
n
- Asal gerilme doğrultuları birbirine diktir.- Gerilme hali iki eksenli olduğu zaman iki tane asal gerilme vardır. Üçüncüsü sıfırdır.