OTIMIZAÇÃO DE LOCALIZAÇÃO DE TURBINAS HIDRO CINÉTICAS Vitor Emanuel Lourenço Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Raad Yahya Qassim Rio de Janeiro Setembro de 2017
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OTIMIZAÇÃO DE LOCALIZAÇÃO DE TURBINAS HIDRO CINÉTICAS
Vitor Emanuel Lourenço
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Naval e Oceânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientador: Raad Yahya Qassim
Rio de Janeiro
Setembro de 2017
OTIMIZAÇÃO DE LOCALIZAÇÃO DE TURBINAS HIDRO CINÉTICAS
Vitor Emanuel Lourenço PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA NAVAL E OCEÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL E OCEÂNICO Autor:
_________________________________________________
Vitor Emanuel Lourenço
Orientador:
_________________________________________________
Prof. Raad Yahya Qassim, Ph. D. Examinador:
_________________________________________________
Prof. Luiz Antônio Vaz Pinto, Ph. D. Examinador:
_________________________________________________
Teodosio das Neves Milisse Nzualo, D. Sc.
RIO DE JANEIRO – RJ, BRASIL
SETEMBRO de 2017
iii
Lourenço, Vitor Emanuel
Otimização de Localização de Turbinas Hidro
Cinéticas/ Vitor Emanuel Lourenço. – Rio de Janeiro:
UFRJ/ Escola Politécnica, 2017.
X, 51p.: il.; 29,7 cm.
Orientador: Raad Yahya Qassim
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/
Curso de Engenharia Naval e Oceânica, 2017.
Referências Bibliográficas: p. 38
1. Otimização 2. Turbinas Hidrocinéticas. 3.
Energia Renovável.
I. Raad Yahya Qassim. II. Universidade Federal do Rio de
Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Naval e
Oceânica. III. Otimização de Localização de Turbinas
Hidro Cinéticas
iv
DEDICATÓRIA Dedico esse trabalho aos meus pais e minhas irmãs.
v
AGRADECIMENTO
Agradeço primeiramente à minha família e amigos que me apoiaram até esse
momento em todas as formas possíveis.
Agradeço também ao Professor Qassim, sempre muito solícito e dedicado, sem o
qual esse projeto não teria tomado forma. Agradeço também aos membros da
banca, Professor Vaz e Doutor Nzualo por se prestarem a avaliar esse trabalho.
Agradeço à secretária acadêmica Simone Morandini que faz muito por todo o corpo
discente, com sua disponibilidade e competência.
Por fim, agradeço à Escola Politécnica, instituições públicas e ao povo brasileiro que
tornaram possível a minha formação.
vi
Resumo do Projeto de Graduação apresentado á Escola Politécnica/ UFRJ como
parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval e
Oceânico.
Otimização de Localização de Turbinas Hidro Cinéticas
Vitor Emanuel Lourenço
Setembro/2017
Orientador: Raad Yahya Qassim
Curso: Engenharia Naval e Oceânica
O presente trabalho é centrado em desenvolver um modelo matemático para a
otimização do posicionamento de turbinas hidrocinéticas no canal de saída de usinas
hidroelétricas. O trabalho foi desenvolvido a partir da metodologia descrita nos
tópicos a seguir, segundo os fundamentos da física explorados ao longo do curso e
em estudos separados.
A utilização de turbinas hidrocinéticas é uma idéia antiga que nos últimos anos vem
sendo alvo de inovação. Com o aumento da demanda energética no Brasil e no
mundo, fontes alternativas de energia se tornam cada vez mais populares, não
somente pela possibilidade de geração de energia limpa, como também pela
capacidade de independência da rede associada a esse tipo de geração de energia.
Ao final do trabalho, são mostrados os resultados do modelo matemático, as
conclusões que podem ser feitas com as devidas ressalvas necessárias e uma sessão
de autocrítica e sugestões de melhoria feitas pelo autor.
Palavras-Chave: otimização, turbinas hidrocinéticas, energia renovável
vii
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Engineer.
Optimization of Hydrokinetic Turbine Placement
Vitor Emanuel Lourenço
September/2017
Advisor: Raad Yahya Qassim
Course: Marine and Ocean Engineering
The present work is centered on the development of a mathematical model for the
optimization of hydrokinetic turbine placement along the outwards channel of
hydroelectric power plants. This work was developed from the methodology
describe in the following topics, under the fundamentals of physics explored
throughout the course and in separate studies.
The use of hydrokinetic turbines is an old idea that in the past years has been the
target of innovation. With the increased power demand in Brazil and around the
world, alternative sources of energy are becoming more popular every day, not only
due to the possibility of the generation of clean energy, but also for the capacity of
independence from the grid associated with this type of power generation.
At the end of this work the results from the mathematical model and the conclusion
that can be made with the appropriate caveats are shown, along with a topic for self-
criticism and improvement suggestions made by the author.
Key-words: optimization, hydrokinetic turbine, renewable energy
viii
Sumário
1 - Introdução ....................................................................................................................... 1
1.1 Tema ....................................................................................................................... 1
1.3 Justificativa ............................................................................................................ 1
1.3 Objetivo ................................................................................................................. 2
1.4 Delimitação ............................................................................................................ 2
1.5 Descrição ............................................................................................................... 2
2 - Metodologia .................................................................................................................... 3
3 – Execução da metodologia ............................................................................................ 4
3.1 Turbinas Hidrocinéticas ....................................................................................... 4
3.2 Geometria do Canal ............................................................................................. 7
3.3 A física do problema ............................................................................................ 8
3.3.1 Hipóteses sobre o escoamento ....................................................................... 8
3.3.2 Altura crítica ...................................................................................................... 8
3.3.3 Conservação da massa .................................................................................... 11
3.3.4 Perda de energia devido ao atrito do fluido com as paredes do canal ..... 12
3.3.5 Perda de energia devido ao posicionamento da turbina ............................ 14
3.3.6 Conservação da energia .................................................................................. 16
3.3.7 Potência extraída ............................................................................................. 17
3.4 Modelo Matemático ........................................................................................... 17
3.4.1. Modelo Matemático para canal de Largura Infinita ................................... 19
3.4.1.1 Comentários Adicionais – Canal de Largura Infinita ................................... 20
3.4.1.2 Notação – Canal de Largura Infinita ....................................................... 21
3.4.1.3 Modelo Lingo – Canal de Largura Infinita (Instruções do Modelo Matemático) .................................................................................................................... 22
3.4.2 Modelo Matemático para canal de Largura Finita ...................................... 24
3.4.2.1 Comentários Adicionais – Canal de Largura Finita ...................................... 25
3.4.2.2 Notação – Canal de Largura Finita ................................................................. 26
3.4.2.3 Modelo Lingo – Canal de Largura Finita (Instruções do modelo matemático) .................................................................................................................... 27
3.6 Resultados ............................................................................................................ 29
3.6.1. Canal de Largura Infinita .................................................................................... 29
3.6.2. Canal de Largura Finita ...................................................................................... 29
4 – Análise dos Resultados ............................................................................................... 30
5 – Discussões .................................................................................................................... 36
6 - Conclusões .................................................................................................................... 37
ix
Bibliografia .......................................................................................................................... 38
Anexos ................................................................................................................................. 39
Canal de largura Infinita – Output completo do Lingo............................................ 39
Canal de largura Finita – Output completo do Lingo .............................................. 45
Apêndice ............................................................................................................................. 51
x
Lista de Figuras Figura 1- Tipos de Turbina ................................................................................................. 5
Figura 2- Turbina de Roda d'água no Congo ................................................................... 6
Figura 3- Geometria do Canal ............................................................................................ 7
Figura 4-Relação Energia Específica vs Profundidade do Canal .................................. 9
Figura 5 - Ressalto Hidráulico .......................................................................................... 10
Figura 6 - Perfil de Alturas - Canal Infinito ................................................................... 32
Figura 7- Perfil de Velocidades - Canal infinito ............................................................. 32
Figura 8- Perfil de Alturas - Canal Finito ....................................................................... 34
Figura 9- Perfil de Velocidades - Canal Finito ............................................................... 34
Lista de Tabelas
Tabela 1- Tabela de Coeficientes de Manning ............................................................... 12
Tabela 2 – Constantes do modelo matemático .............................................................. 18
Tabela 3-Distribuição de alturas e velocidades ao longo do canal infinito ................ 31
Tabela 4- Distribuição de alturas e velocidades ao longo do canal finito .................. 33
1
1 - Introdução
1.1 Tema
A geração de energia elétrica através da transformação da energia cinética
disponível em corpos d’água representa aproximadamente noventa por cento [1] do
total da energia gerada no Brasil. Desses noventa por cento, quase sua totalidade é
gerada em usinas hidroelétricas que fazem o uso de barragens e reservatórios.
Existem ainda outras formas de extração de energia dos corpos d’água, como a
energia maré motriz e também a energia extraída através da instalação de turbinas
hidrocinéticas ao longo de canais, que é o objeto de estudo desse trabalho.
A instalação de turbinas hidrocinéticas pode ser feita em qualquer canal
desde que não haja nenhum impedimento ambiental, entretanto a capacidade de
extração de energia pela turbina dependerá do seu posicionamento, da geometria do
canal e do escoamento. Este trabalho apresenta um modelo matemático de
otimização no posicionamento de turbinas hidrocinéticas para um canal de
geometria e vazão constantes. Dentre as áreas de conhecimento associadas a esse
estudo, a grande área de mecânica dos fluidos é a de maior foco, mais
especificamente nos tópicos de escoamento em canais abertos e turbo máquinas.
1.3 Justificativa
O aumento acentuado da população brasileira ao longo dos séculos XX e
XXI trouxe um desafio para o país, a capacidade de suprir a demanda energética de
uma população em crescimento requer forte investimento na criação de novas
instalações de geração de energia ou na ampliação daquelas já existentes. Entretanto,
diversas restrições são impostas a esses projetos, sejam elas ambientais, sociais ou
econômicas. Isso fez com que a procura por fontes alternativas de geração de
energia também aumentasse [2].
Uma dessas alternativas é a instalação de turbinas hidrocinéticas em canais,
de forma a aproveitar a energia cinética do escoamento em corpos d água onde não
2
é possível, recomendado ou desejável a instalação de uma usina hidroelétrica que faz
uso de barragens. Um possível local a ser explorado é no próprio canal de saída de
usinas hidroelétricas e é nessa situação em que esse trabalho está focado.
1.3 Objetivo
O objetivo deste trabalho é desenvolver um modelo matemático capaz de
prever a posição ótima de instalação de uma turbina hidrocinética em um canal de
geometria simplificada. É importante ressaltar que uma solução trivial não invalida o
modelo, ou seja, o posicionamento da turbina na primeira ou na última seção
discretizada no modelo é um resultado válido.
1.4 Delimitação
Esse trabalho tem cunho estritamente acadêmico. Os resultados aqui obtidos
não devem ser entendidos como prova definitiva ou suficientemente conclusiva da
efetividade do método. Entretanto, toda e qualquer análise posterior ou
contribuição é encorajada a fim de construir um modelo mais robusto e que
represente fielmente uma gama de possibilidades, possivelmente justificando a
construção de um modelo em escala
1.5 Descrição
No capítulo 2 será abordada a metodologia utilizada e os motivos pelos quais
a ordem das atividades foi estabelecida. No capítulo 3 os tópicos apresentados na
metodologia serão expandidos e as atividades relacionadas a eles executadas,
mostrando o trabalho que foi feito ao longo do processo. No capítulo 4 é feita a
análise dos resultados obtidos através da execução da metodologia. O capítulo 5 está
reservado para uma discussão sobre o que poderia ser modificado no presente
trabalho em um estudo futuro, seguido das conclusões apresentadas sobre os
resultados e discussão no capítulo 6.
3
2 - Metodologia
Com o objetivo de desenvolver um modelo matemático simplificado para
analisar a possibilidade da otimização no posicionamento de turbinas hidrocinéticas
ao longo de canais abertos, foi desenvolvida uma metodologia para a execução do
trabalho de forma a clarificar e explicitar os pontos relevantes das áreas de
conhecimento associadas e a definir o caminho a ser seguido ao longo do trabalho.
Primeiramente, é preciso conhecimento do funcionamento das turbinas
hidrocinéticas e uma vez que o trabalho visa à produção de um modelo matemático,
é também necessário o conhecimento das equações associadas. Além disso, é
preciso estabelecer de que maneira o escoamento em canais abertos será modelado.
Os canais abertos se diferenciam do objeto de estudo tradicional no curso de
Engenharia Naval e Oceânica, esse sendo o de escoamento em tubulação fechada.
Essa diferença vem do fato de que tanto o raio hidráulico e o nível d’água nos canais
abertos são não constantes. Além disso, outras diferenças podem vir a ser
consideradas como a perda de vazão pela porosidade do solo do canal ou por
evaporação.
Em seguida é feita a consolidação da física do problema. Todas as equações
que regem o problema e o embasamento teórico, com suas respectivas
simplificações, são explicitadas. Além disso, são consideradas no trabalho duas
situações. Uma para um canal de largura finita e outra para largura infinita. A grande
diferença entre ambos os casos reside no cálculo do raio hidráulico do canal, que
influencia no cálculo das perdas devido ao atrito com as paredes do canal e no efeito
de arrasto da turbina, onde ambos serão diferentes em cada caso.
Como o problema não apresenta solução analítica, será feita uma
discretização do canal em seções no código computacional de otimização
desenvolvido. Os possíveis posicionamentos de turbina serão aqueles no ponto
central entre quaisquer duas seções de discretização consecutivas.
4
O software de otimização escolhido foi o LINGO17, é importante ressaltar
que a licença do programa é do tipo acadêmica e a reprodução dos resultados
obtidos através desse software não está autorizada para fins comerciais.
De forma a buscar um resultado não trivial na solução de otimização, a
geometria da turbina será sistematicamente alterada e o código desenvolvido
executado a fim de analisar os resultados. Apenas os resultados mais relevantes
serão mostrados no corpo do relatório, os resultados menos relevantes estarão
resumidos no apêndice.
3 – Execução da metodologia
3.1 Turbinas Hidrocinéticas
Tradicionalmente na geração de energia hidroelétrica no Brasil são utilizadas
turbinas de elevada altura de carga que fazem uso de barragens na sua operação.
Essas barragens criam um reservatório de água artificial que em conjunto com um
sistema de controle do escoamento, direciona a água para as turbinas instaladas na
usina de geração de energia. As turbinas hidrocinéticas se tratam de uma opção
alternativa ao modelo tradicional, operando com baixas alturas de carga sem a
necessidade da construção de barragens. Essas turbinas fazem uso das características
de escoamento que existem naturalmente em um dado corpo d’água e podem
apresentar diferentes configurações (figura 1).
As turbinas hidrocinéticas podem extrair energia dos movimentos de maré,
correntes oceânicas ou do fluxo natural dos rios. Todas essas opções estão sendo
estudadas e já possuem aplicações práticas em diversas localidades, uma vez que a
minimização do impacto ambiental decorrente de obras de engenharia é uma grande
preocupação nos dias de hoje e esse tipo de aplicação não implica na destruição total
de um habitat que aconteceria caso fosse construída uma barragem. Além disso, as
turbinas hidrocinéticas podem ser utilizadas em localidades onde sequer seria viável
5
a construção de barragens. A extração de energia pelo movimento das marés ou
correntes oceânicas é um exemplo claro, o mesmo é válido para riachos onde a
instalação dessas turbinas também é uma possibilidade. A aplicação dessa tecnologia
em riachos pode vir a ter um impacto benéfico considerável uma vez que grande
parte da economia brasileira é baseada na produção agrícola e a possibilidade de
tornar fazendas e comunidades agrícolas energeticamente independentes da rede
pode ser de grande interesse para os produtores nacionais.
Figura 1- Tipos de Turbina
Fonte: [3]
No projeto apresentado está sendo considerada ainda outra opção. A
instalação de turbinas hidrocinéticas nos canais de saída de usinas hidroelétricas
tradicionais, que também pode ser aplicado em comunidades isoladas. O tipo de
turbina usado como inspiração foi uma turbina instalada no Congo (figura [2]), do
tipo roda d’água flutuante, com 2m de diâmetro e 2m de comprimento [4].
6
Figura 2- Turbina de Roda d'água no Congo
Fonte: [4]
O princípio de funcionamento é bastante simples, a água empurra as pás da
turbina que movimenta um eixo e então a energia mecânica do eixo é transformada
em energia elétrica. Esse tipo de tecnologia seria de fácil aplicação no Brasil.
7
3.2 Geometria do Canal
Foi decidido que para fins de simplificar o processo de otimização, a
geometria do canal mais adequada seria uniforme e retangular. Canais reais
apresentam geometrias que podem ser bastante complicadas, a modelagem do canal
em si não se trataria de uma grande dificuldade mas o escoamento poderia
apresentar diversas particularidades.
Para o canal finito, foi considerado um trecho de 1000m de comprimento do
canal com uma largura de 100m (figura [3]). A altura do nível d’água não possui
fortes restrições, apenas uma restrição de nível máximo na primeira seção. Como o
trabalho está sendo elaborado para a instalação de uma turbina hidrocinética no
canal de saída de uma usina hidroelétrica, o nível d’água na primeira seção, que é a
mais próxima da usina, deve ser suficientemente baixo para não prejudicar a
operacionabilidade da mesma.
Figura 3- Geometria do Canal
Para o canal infinito, o mesmo trecho de 1000m está sendo considerado, mas
a largura agora deixa de ter o valor de 100m e passa a ser infinita.A profundidade do
canal é variável. Além disso, ambos os canais finito e infinito não possuem
declividade.
8
3.3 A física do problema
Nesta sessão, procura-se explicar os fenômenos físicos identificados que
regem o problema de modelação, suas equações associadas e os princípios
relacionados. Além disso, quando relevante, serão explicados os motivos que
levaram a algumas decisões de modelagem do problema, com as devidas referências
que suportam essas decisões.
3.3.1 Hipóteses sobre o escoamento
As hipóteses feitas nesse trabalho são de escoamento unidirecional,
permanente, laminar e incompressível. Além disso, assume-se que o aquecimento do
escoamento devido à exposição da superfície ao sol ou a qualquer outra fonte de
calor é desprezível e que a vazão é constante e não há nenhuma perda de massa por
evaporação, porosidade do solo, extração ou qualquer outro mecanismo.
3.3.2 Altura crítica
A equação de Bernoulli declara que a energia específica é constante, segundo
a equação abaixo.
( ) ( )
( )
( ) ( )
Onde E(y) é a energia específica em (m)
P(y) é a pressão em (N/m^2)
U(y) é a velocidade em (m/s)
z(y) é a elevação em (m)
z0 é a elevação do leito devido à inclinação do canal em (m)
Entretanto, essa equação só é constante quando assumimos que não existem perdas
por atrito. No caso sendo estudado, o canal não possui inclinação então z0 = 0.
9
Além disso, estamos assumindo um perfil de velocidade uniforme para o
escoamento sobre um canal sem declividade retangular. Feitas essas considerações, é
demonstrado em [5] que a energia específica, que não é constante, é dada por:
( )
Onde d é a profundidade do canal em uma dada seção em (m)
Q é a vazão volumétrica em (m^3/s)
g é a aceleração da gravidade em (m/s^2)
B é a largura do canal em (m)
[5] demonstra ainda que para um mesmo valor de energia específica pode
haver zero, uma ou duas possibilidades de profundidade do canal (figura 4). O que
leva a conclusão de que para uma vazão volumétrica constante, existe um valor
mínimo de energia específica, que depende da profundidade do canal na seção onde
a energia específica está sendo avaliada.
No ponto de energia específica mínima, o escoamento se torna o que é
chamado no estudo de canais abertos de escoamento crítico, e a profundidade
associada a esse ponto é chamada de profundidade crítica.
Figura 4-Relação Energia Específica vs Profundidade do Canal
Fonte: [5]
10
Da figura 4, percebem-se duas tendências. Quando a profundidade do canal
é maior que a profundidade crítica, um aumento da energia específica leva a um
aumento da profundidade, esse caso é chamado escoamento subcrítico. E para uma
profundidade menor que a profundidade crítica, um aumento da energia específica
leva a uma diminuição da profundidade, esse caso é chamado de escoamento
supercrítico (figura 5).
Figura 5 - Ressalto Hidráulico
Fonte:[6]
Na ocorrência de uma transição do escoamento ao longo do canal, de
supercrítico para subcrítico ou vice-versa, ocorre o fenômeno do ressalto hidráulico,
caracterizado por uma brusca mudança de profundidade do canal. Esse fenômeno
não é desejado nas análises referentes a esse trabalho. Em grande parte pelo
desconhecimento da influência do ressalto hidráulico na validade das hipóteses
sobre o escoamento apresentadas. Por esse motivo, uma restrição de escoamento
subcrítico foi adicionada ao modelo. Para canais retangulares, a profundidade crítica
é dada pela equação 3.
( ) ( ( )
)
( )
Onde dc é a profundidade crítica em (m)
q(i) é a vazão volumétrica por unidade de largura em (m^2/s)
g é a aceleração da gravidade em (m/s^2)
11
E a restrição adicionada é dada pela equação 4.
( ) ( ) ( )
3.3.3 Conservação da massa
O canal aberto considerado nesse estudo possui apenas uma região de
entrada do escoamento e uma região de saída, não estão sendo consideradas perdas
de vazão devido à porosidade do solo, à evaporação ou a qualquer mecanismo de
extração. Além disso, o fluido do escoamento (água de rio) está sendo considerado
como incompressível. Dadas essas considerações, pela conservação da massa, a
vazão do escoamento através de cada seção de discretização do modelo é constante.
Para o canal finito, pode-se escrever:
( ) ( ) ( )
Onde Q(i) é a vazão na seção de índice i
Para o canal infinito, pode-se escrever
( ) ( ) ( )
Onde q(i) é a vazão por unidade de largura na seção de índice i
12
3.3.4 Perda de energia devido ao atrito do fluido com as paredes do
canal
Das diferentes maneiras de computar essas perdas, a equação de Manning é
uma das mais simples. Nesse método, a perda de altura de carga por unidade de
comprimento de canal é calculada a partir da vazão, raio hidráulico, área transversal
e a coeficiente de Manning de uma dada seção do canal, pela equação 7.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Onde S(i) é a perda de altura de carga por unidade de comprimento
Q(i) é a vazão na seção de índice i
R(i) é o raio hidráulico
A(i) é a área molhada do canal transversal ao escoamento
n é o coeficiente de Manning, esse coeficiente pode assumir uma faixa de
valores para cada tipo de material que contém o escoamento.
Tabela 1- Tabela de Coeficientes de Manning
Fonte:[7]
1. Canais escavados ou dragados
a. Terra, reto e uniforme
1. limpo, recentemente completo 0.016 0.018 0.020
2. limpo, após intemperismo 0.018 0.022 0.025
3. cascalho, seção uniforme, limpo 0.022 0.025 0.030
4. com grama baixa, poucas ervas daninhas 0.022 0.027 0.033
O valor do coeficiente de Manning utilizado no trabalho foi escolhido
através dos dados fornecidos em [7] ilustrados na Tabela 1 para canais escavados ou
dragados de leito de cascalho limpo. Existem ainda outras maneiras de se calcular
essa perda, como através da equação de Darcy-Wesbach, mas nos ateremos aqui à
equação de Manning.
13
Para o cálculo das perdas por atrito entre duas seções, existem algumas
possibilidades. Em geral, procura-se um valor de perda por unidade de
comprimento médio entre as duas seções, esse valor pode ser obtido por média
aritmética, média geométrica ou até mesmo média harmônica. Alguns softwares
como o HEC-RAS do corpo de engenheiros dos Estados Unidos fazem uso dos
três métodos. Foi demonstrado por Laurenson [8] que os resultados obtidos através
dos métodos supracitados eram consistentemente diferentes e que o resultado mais
consistente é, em geral, obtido através da formulação por média aritmética.Por essa
razão, foi utilizada no modelo matemático a formulação do cálculo por média
aritmética:
( ) ( ) ( )
( )
Onde, Sm(i) é a perda média de altura de carga por unidade de comprimento
devido ao atrito com as paredes do canal entre as seções de índice i e i+1.
E S(i) é a perda de altura de carga por unidade de comprimento calculada na
seção de índice i.
Por fim o cálculo das perdas devido ao atrito com as paredes do canal utilizado no
modelo matemático fica definido pela equação 9.
( ) ( ) ( )
Onde HLF(i) é a perda de altura de carga por atrito com as paredes do canal
entre as seções de índice i e i+1 em (m).
Δx é a distância entre as seções de índice i e i+1 em (m)
Sm(i) é a perda de carga média por unidade de comprimento devido ao atrito
com as paredes do canal.
É importante notar que para um canal de largura infinita, a vazão seria
também infinita. Nesse caso, a equação é manipulada em termos de largura do canal
e vazão por unidade de largura, resultando na equação 10.
14
( ) ( )
( ) ( )
3.3.5 Perda de energia devido ao posicionamento da turbina
Considerando o escoamento como uniaxial incidindo sobre uma turbina fixa,
o cálculo da perda de energia do escoamento para a turbina foi calculado de maneira
simplificada.
Tomando como base a equação 11 da força de arrasto, explorada nos cursos
ministrados ao longo do curso de Engenharia Naval e Oceânica da UFRJ.
( )
Onde D é a força de arrasto em (N)
Cd é o coeficiente de arrasto
ρ é a massa específica do fluido em (kg/m^3)
At é a área da turbina em (m^2)
U é a velocidade do escoamento em (m/s)
Foi multiplicada a velocidade do escoamento à força de arrasto de forma a se obter
uma equação de potência, e desse resultado foi dividido a vazão mássica e a
aceleração da gravidade, de forma a calcular o termo de altura de carga referente às
perdas de energia devido ao posicionamento da turbina, como demonstrado na
referência [9], sendo assim:
( )
( ) ( )
15
( ) ( )
Onde HLT é o termo de altura de carga referente às perdas de energia
devido ao posicionamento da turbina em (m).
g é a aceleração da gravidade em (m/s^2).
e dm/dt é a vazão mássica em (kg/s).
Foi tomada a decisão de posicionar a turbina entre duas seções de
discretização do modelo, para o cálculo da velocidade no escoamento foi feita a
seguinte simplificação:
( ( ) ( )) ( )
Essa decisão foi tomada para evitar que a turbina fosse colocada diretamente
sobre uma seção, onde os efeitos de perda de altura de carga se tornam mais difíceis
de computar uma vez que há influência da turbina no escoamento tanto a vante
quanto a ré da turbina.
Sendo assim, o cálculo das perdas devido à instalação da turbina entre duas
seções pode ser calculado pela equação 16.
( ) ( ( ( ) ( )))
( ) ( )
Onde, HLT(i) é a perda de altura de carga entre as seções de índice i e i+1
em (m)
Além disso, essas perdas devem ser aplicadas somente nas regiões onde está
instalada uma turbina. Por conta disso, uma variável de decisão W(i) foi
implementada. Caso esteja instalada uma turbina entre as seções de índice i e i+1 , a
16
variável W(i) assume valor 1. Caso contrário, a variável W(i) assume valor 0. Assim
chegando à equação final utilizada para a computação da perda de altura de carga
devido à instalação da turbina.
( ) ( ( ( ) ( )))
( ) ( ) ( )
A equação (16) é difere da equação (17) apenas da variável utilizada para o
processo de otimização do modelo. Percebe-se ainda, que para um canal de largura
infinita, o termo HLT é desprezível pois A(i), a área molhada transversal ao
escoamento, é dominante e HLT tende a zero.
3.3.6 Conservação da energia
Pela conservação da energia, para o volume de controle delimitado aos lados
pelas paredes do canal, abaixo pelo leito e acima pela superfície livre, podemos
escrever:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
Onde, H(i) é o nível d’água na seção i em (m)
U(i) é a velocidade do escoamento na seção i em (m/s)
HLF(i) é o termo de perda de altura de carga devido ao atrito com as paredes
do canal entre as seções de índice i e i+1 em (m)
HLT(i) é o termo de perda de altura de carga devido à instalação de uma
turbina hidrocinética entre as seções de índice i e i+1 em (m)
17
E a equação desenvolvida toma a forma:
( ) ( )
( )
( )
( )
( ( ( ) ( )))
( ) ( ) ( )
Ou ainda, no caso de um canal infinito
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
3.3.7 Potência extraída
O cálculo da potência extraída pela turbina é feito através da equação
( )
Onde, P é a potência extraída em Watts.
Cp é o coeficiente de potência da turbina.
ρ é a massa específica do fluido em kg/m^3.
U é a velocidade do fluido em m/s.
3.4 Modelo Matemático
Os dois modelos gerados estão dispostos em diferentes tópicos abaixo. Os
modelos estão escritos em linguagem matemática, seguidos de comentários
adicionais para justificar em texto a adição daquela equação ao modelo e em seguida
estão descritos os significados físicos de cada variável e de cada constante utilizada
no modelo. Além disso, algumas outras considerações foram feitas para a elaboração
de ambos os modelos matemáticos.
18
Os diâmetros da turbina escolhidos para as análises foram de D={1,2,3,4}m
e a largura fixa Lt = 4m. Os modelos matemáticos abaixo e os resultados no corpo
do relatório fazem referência ao valor de D = 4m, os outros resultados estão no
apêndice.
A turbina foi considerada como tipo roda d’água sendo sua área At
simplificada por D/2*4, onde 4 é o comprimento e D o diâmetro máximo. Está
sendo considerado que metade da turbina fica acima da água e metade da turbina
fica abaixo.
Coeficiente de segurança da turbina Ct=1.5, aplicado à metade do diâmetro
da turbina, de forma a garantir que as pás da turbina não entrem em contato com o
solo. Ou ainda, H(i) > Ct*D/2*W(i).
O canal foi discretizado em 21 seções, separadas de Δx =50m entre si,
iniciada da seção X(1)=0 até a seção X(21)=1000m
Tabela 2 – Constantes do modelo matemático
Constante Valor Unidade
D 4 m
Lt 4 m
g 9,8 m/s^2
π 3,14
Q(i) 500 m^3/s
q(i) 5 m^2/s
Ct 1,5
Δx 50 m
Cp 0,5
Cd 1,0
ρ 1000 kg/m^3
19
3.4.1. Modelo Matemático para canal de Largura Infinita
Maximizar P = 1/2*Cp* ρ *At*((U(i)+U(i+1))/2)^3*W(i)) ; i I {1} Sujeito a:
H(i) + (U(i)^2)/2g = H(i+1) + (U(i+1)^2)/2g + Δx(i)*Sm(i) ; i I {2}
At = D/2*4 {3}
H1max ≥ H(1) {4}
H(i) ≥ Ct*D/2*W(i) ; i I {5}
H(i) > (qi^2/g)^(1/3) ; i I {6}
H(i),U(i) ≥ 0 ; i I {7}
U(i)*H(i) = q(i) ; i I {8}
R(i) = H(i) {9}
S(i) = qi^2*n^2/(H(i)^(10/3)) ; i I {10}
Sm(i) = (S(i)+S(i+1))/2 ; i I {11}
W(i) {0,1} ; i I {12}
∑ W(i) = nST ; i I = 1 {13]
20
3.4.1.1 Comentários Adicionais – Canal de Largura Infinita
{1} Não carrega nenhuma restrição, seu objetivo é indicar à ferramenta matemática
de otimização a variável a ser otimizada
{2} Equação de Bernoulli de engenharia com a presença de termos de perda de
carga
{3} Mero cálculo da área da seção transversal de uma unidade de turbina
{4} Restrição que garante que o nível do canal na seção 1 não ultrapasse o limite
estabelecido
{5} Restrição que garante a imersão total da turbina no fluido do escoamento
{6} Restrição que impõe a consideração apenas de casos em que o escoamento é
subcrítico
{7} Restrição que impõe os valores de nível do canal e velocidade do escoamento
como positivos
{8} Conservação da massa
{9} Relaciona o raio hidráulico com a geometria do canal
{10}Relaciona a perda de carga por atrito com o perfil do escoamento através do
equacionamento de perda de altura de carga por unidade de comprimento pelo
coeficiente de Manning
{11}Relaciona a perda de carga por atrito entre duas seções com o valor médio de
perda de altura de carga por unidade de comprimento
{12} Estabelece W como variável de decisão na colocação de turbina
{13} Garante que o número de seções onde há turbina seja igual ao estipulado
21
3.4.1.2 Notação – Canal de Largura Infinita
P Função objetiva – Energia gerada
i Índice da seção do canal
g Aceleração da gravidade
n Coeficiente de Manning
D Diâmetro da turbine
qi Vazão volumétrica por unidade de largura
B Largura do canal
H1Max Nível máximo permitido na seção 1
H(i) Nível do canal na seção i
U(i) Velocidade do escoamento na seção i
S(i) Perda de altura de carga por unidade de comprimento na seção i
Sm(i) Perda média de altura de carga por unidade de comprimento entre as
seções i e i+1
At Área da seção transversal da turbina
Ct Coeficiente de imersão da turbina
W(i) Variável binária, 1 se houver turbina na seção i, 0 se não houver
ρ Massa específica do fluido
Cp Coeficiente de potência da turbina
Cd Coeficiente de atrito da turbina
nST Número de seções com turbina
nT Número de turbinas por seção
R(i) Raio hidráulico na seção i
22
3.4.1.3 Modelo Lingo – Canal de Largura Infinita (Instruções do Modelo
Matemático)
!---------------------------- Dados gerais -----------------------------;
DATA:
g = 9.81; !Gravidade;
ρ = 1000; !Densidade da água;
n = 0.025; !Coeficiente de Manning;
H1max = 12; !Altura máxima;
Qi = 5; !Vazão volumétrica por unidade de
comprimento;
L = 1000; !Comprimento do canal;
nS = 21; !Número de seções;
Cp = 0.5; !Definição do coeficiente de potência;
Cd = 1; !Definição do coeficiente de atrito;
Ct = 1.5; !Coeficiente de segurança da altura da
turbina;
D = 4;
ENDDATA
!-----------------------------------------------------------------------------;
SETS:
Flow/1..nS/: x,H,U,S,SM,Q,W;
ENDSETS
Max = @Sum(Flow(i)| i #LT# nS: 1/2*Cp* ρ *At*((U(i)+U(i+1))/2)^3*W(i));
At = D/2*4;
dx = L/(nS-1);
H(1)<=H1max;
@For(Flow(i) :
@Bin(W(i));
x(i)=(i-1)*dx;
Q(i)=Qi;
S(i)=Q(i)^2*n^2/(H(i)^(10/3));
23
U(i)*H(i)=Q(i);
H(i)>(Q(i)^2/g)^(1/3);
H(i)>=Ct*(D/2)*W(i);
H(i)>=0;
U(i)>=0;
);
@For(Flow(i) | i #LT# nS:
SM(i)=(S(i)+S(i+1))/2;
H(i)+U(i)^2/(2*g) = H(i+1) + U(i+1)^2/(2*g) +dx*SM(i);
);
@Sum(Flow(i):W(i))=1;
W(nS)=0;
END
24
3.4.2 Modelo Matemático para canal de Largura Finita
Maximizar P = 1/2*Cp* ρ *At*((U(i)+U(i+1))/2)^3*W(i)) ; i I {1}
Sujeito a:
H(i) + (U(i)^2)/2g = H(i+1) + (U(i+1)^2)/2g + Δx(i)*Sm(i) +
0.5*Cd*At/(B*H(i))*((U(i)+U(i+1))/2)^2/g*W(i); ; i I {2}
At = D/2*4 {3}
H1max ≥ H(1) {4}
H(i) ≥ Ct*D*W(i) ; i I {5}
H(i) > ((Q^2)/(g*B^2))^(1/3) ; i I {6}
H(i),U(i) ≥ 0 ; i I {7}
U(i)*H(i)*B(i) = Q(i) ; i I {8}
R(i) = H(i)*B/(2*H(i)+B) {9}
S(i) = (Q^2)*(n^2)/( ((R(i)^(4/3))*H(i)*B)^2 ) ; i I {10}
Sm(i) = (S(i)+S(i+1))/2 ; i I {11}
W(i) {0,1} ; i I {12}
∑ W(i) = nST ; i I = 1 {13]
25
3.4.2.1 Comentários Adicionais – Canal de Largura Finita
{1} Não carrega nenhuma restrição, seu objetivo é indicar à ferramenta matemática
de otimização a variável a ser otimizada
{2} Equação de Bernoulli de engenharia com a presença de termos de perda de
carga
{3} Mero cálculo da área da seção transversal de uma unidade de turbina
{4} Restrição que garante que o nível do canal na seção 1 não ultrapasse o limite
estabelecido
{5} Restrição que garante a imersão total da turbina no fluido do escoamento
{6} Restrição que impõe a consideração apenas de casos em que o escoamento é
subcrítico
{7} Restrição que impõe os valores de nível do canal e velocidade do escoamento
como positivos
{8} Conservação da massa
{9} Relaciona o raio hidráulico com a geometria do canal
{10} Relaciona a perda de carga por atrito com o perfil do escoamento através do
equacionamento de perda de altura de carga por unidade de comprimento pelo
coeficiente de Manning
{11} Relaciona a perda de carga por atrito entre duas seções com o valor médio de
perda de altura de carga por unidade de comprimento
{12} Estabelece W como variável de decisão na colocação de turbina
{13} Garante que o número de seções onde há turbina seja igual ao estipulado
26
3.4.2.2 Notação – Canal de Largura Finita
P Função objetiva – Energia gerada
i Índice da seção do canal
g Aceleração da gravidade
n Coeficiente de Manning
D Diâmetro da turbine
Q Vazão volumétrica
B Largura do canal
H1Max Nível máximo permitido na seção 1
H(i) Nível do canal na seção i
U(i) Velocidade do escoamento na seção i
S(i) Perda de altura de carga por unidade de comprimento na seção i
Sm(i) Perda média de altura de carga por unidade de comprimento entre as
seções i e i+1
At Área da seção transversal da turbina
Ct Coeficiente de imersão da turbina
W(i) Variável binária, 1 se houver turbina na seção i, 0 se não houver
ρ Massa específica do fluido
Cp Coeficiente de potência da turbina
Cd Coeficiente de atrito da turbina
nST Número de seções com turbina
nT Número de turbinas por seção
R(i) Raio hidráulico na seção i
27
3.4.2.3 Modelo Lingo – Canal de Largura Finita (Instruções do
modelo matemático)
!---------------------------- Dados gerais -----------------------------;
DATA:
g = 9.81; !Gravidade;
ρ = 1000; !Densidade da água;
n = 0.025; !Coeficiente de Manning;
H1max = 12; !Altura máxima;
Qi = 5; !Vazão volumétrica por unidade de
comprimento;
L = 1000; !Comprimento do canal;
nS = 21; !Número de seções;
Cp = 0.5; !Definição do coeficiente de potência;
Cd = 1; !Definição do coeficiente de atrito;
Ct = 1.5; !Coeficiente de segurança da altura da
turbina;
D = 4;
Q=500;
B=100;
nST=1;
ENDDATA
!-----------------------------------------------------------------------------;
SETS:
Flow/1..nS/: x,H,U,S,SM,W,R;
ENDSETS
Max = @Sum(Flow(i)| i #LT# nS: 1/2*Cp* ρ *At*((U(i)+U(i+1))/2)^3*W(i));
At = D/2*4;
dx = L/(nS-1);
H(1)<=H1max;
@For(Flow(i) :
@Bin(W(i));
x(i)=(i-1)*dx;
28
S(i)=Q^2*n^2/(R(i)^(4/3)*(H(i)*B)^2);
U(i)*H(i)*B=Q;
H(i)>(Q^2/(B^2*g))^(1/3);
H(i)>=Ct*(D/2)*W(i);
H(i)>=0;
U(i)>=0;
R(i)=H(i)*B/(2*H(i)+B);
);
@For(Flow(i) | i #LT# nS:
SM(i)=(S(i)+S(i+1))/2;
H(i)+U(i)^2/(2*g) = H(i+1) + U(i+1)^2/(2*g)
+dx*SM(i)+0.5*Cd*At/(B*H(i))*((U(i)+U(i+1))/2)^2/(g)*W(i);
);
@Sum(Flow(i):W(i))=nST;
W(nS)=0;
END
29
3.6 Resultados
Nessa sessão estão os resultados resumidos do processo de otimização realizado no LINGO17 utilizando o modelo desenvolvido. Os resultados completos estão disponíveis em anexo.
3.6.1. Canal de Largura Infinita
Solução ótima global encontrada
Valor objetivo: . 9364.426
Fronteira do valor objetivo:. 9364.426
Inviabilidade: .. 0.000000
Passos estendidos do solucionador: 39
Total de iterações do solucionador: 48619
Tempo de análise:....... 11.83
Classe do Modelo: Programação Não Linear Inteira Mista
W( 20) 1.000000
X( 20) 950.0000
Posição da turbina: 975m da ré (ultima posição possível)
3.6.2. Canal de Largura Finita
Solução ótima global encontrada
Valor objetivo: . 9393.465
Fronteira do valor objetivo:. 9393.465
Inviabilidade: .. 0.6012726E-08
Passos estendidos do solucionador: 39
Total de iterações do solucionador: 180340
Tempo de análise:....... 31.65
Classe do Modelo: Programação Não Linear Inteira Mista
W( 18) 1.000000 X( 18) 850.0000
Posição da turbina: 875m da ré
30
4 – Análise dos Resultados O resultado esperado seria de que a turbina fosse colocada na posição mais a
frente do escoamento pois dadas as hipóteses feitas para o escoamento, à tendência
é que a velocidade cresça ao longo do comprimento do canal e portanto quão maior
a velocidade maior a potência gerada. Isso foi de fato o que aconteceu em vários dos
testes realizados, os resultados resumidos desses testes foram adicionados ao
apêndice. Esses resultados não são necessariamente desencorajadores uma vez que o
modelo se mostra coerente.
Entretanto, com o intuito de investigar a possibilidade de uma solução não
trivial, o diâmetro da turbina foi alterado sistematicamente a fim de verificar a
resposta do modelo, e para uma turbina de roda d’água de 4 metros de
comprimento e 4 metros de diâmetro máximo uma solução não trivial ocorreu.
No caso do canal infinito, a solução continua sendo a solução trivial em que
a turbina é colocada na posição mais a frente do escoamento mas no caso finito a
turbina foi colocada entre as seções X(18) e X(19), ou seja 100 metros a ré da
posição mais a frente. É importante lembrar que o posicionamento da turbina é
feito no processo de otimização através da variável de decisão W(i), e se W(i) =1
isso quer dizer que a turbina se encontra no meio entre as seções X(i) e X(i+1). No
caso finito, para a turbina de geometria descrita acima, a variável W(18)=1 foi a que
levou à maior potência gerada. É importante que a potência gerada nesse caso é
ainda, mesmo que ligeiramente, maior do que a potência gerada no caso infinito. A
potência é dada em Watts e tem a magnitude do valor indicado pelo resultado do
programa como em valor objetivo. 9364 Watts no canal infinito contra 9393 Watts
no canal finito.
Duas tabelas foram montadas, mostrando a distribuição de altura e de
velocidade nas seções, tanto para o canal finito quanto para o canal infinito. E os
gráficos extraídos dessas tabelas foram plotados.
31
Tabela 3-Distribuição de alturas e velocidades ao longo do canal infinito
Infinito
i X(m) H(m) U(m/s) W
1 0 3,342 1,495 0
2 50 3,327 1,502 0
3 100 3,312 1,509 0
4 150 3,296 1,516 0
5 200 3,280 1,524 0
6 250 3,264 1,531 0
7 300 3,248 1,539 0
8 350 3,231 1,547 0
9 400 3,212 1,555 0
10 450 3,196 1,564 0
11 500 3,178 1,572 0
12 550 3,160 1,581 0
13 600 3,142 1,591 0
14 650 3,123 1,600 0
15 700 3,104 1,610 0
16 750 3,084 1,621 0
17 800 3,063 1,631 0
18 850 3,041 1,643 0
19 900 3,021 1,654 0
20 950 3,000 1,666 1
21 1000 2,977 1,679 0
32
Figura 6 - Perfil de Alturas - Canal Infinito
Figura 7- Perfil de Velocidades - Canal infinito
2,950
3,000
3,050
3,100
3,150
3,200
3,250
3,300
3,350
3,400
0 200 400 600 800 1000
H (m)
X (m)
Perfil de Alturas - Canal Infinito
Perfil de Alturas - CanalInfinito
1,450
1,500
1,550
1,600
1,650
1,700
0 200 400 600 800 1000
U (m/s)
X (m)
Perfil de Velocidades - Canal Infinito
Perfil de Velocidades -Canal Infinito
33
Tabela 4- Distribuição de alturas e velocidades ao longo do canal finito
Finito
i X(m) H(m) U(m/s) W
1 0 3,334 1,499 0
2 50 3,317 1,506 0
3 100 3,301 1,514 0
4 150 3,283 1,522 0
5 200 3,266 1,530 0
6 250 3,248 1,539 0
7 300 3,230 1,547 0
8 350 3,211 1,556 0
9 400 3,192 1,566 0
10 450 3,172 1,575 0
11 500 3,153 1,585 0
12 550 3,132 1,596 0
13 600 3,112 1,606 0
14 650 3,090 1,617 0
15 700 3,068 1,629 0
16 750 3,046 1,641 0
17 800 3,023 1,653 0
18 850 3,000 1,666 1
19 900 2,971 1,682 0
20 950 2,946 1,697 0
21 1000 2,920 1,712 0
34
Figura 8- Perfil de Alturas - Canal Finito
Figura 9- Perfil de Velocidades - Canal Finito
2,8502,9002,9503,0003,0503,1003,1503,2003,2503,3003,3503,400
0 200 400 600 800 1000
H (m)
X (m)
Perfil de Alturas - Canal Finito
Perfil de Alturas - CanalFinito
1,450
1,500
1,550
1,600
1,650
1,700
1,750
0 200 400 600 800 1000
U (m/s)
X (m)
Perfil de Velocidades - Canal Finito
Perfil de Velocidades -Canal Finito
35
Percebe-se que em ambos os casos existe algo em comum. A turbina está
posicionada na seção cuja altura é igual a 3. Isso se deve ao fato da restrição de
operacionabilidade da turbina introduzida no modelo, uma vez que a turbina deve
estar ao menos acima do leito para operar corretamente.
Esses resultados mostram a natureza do problema de otimização, existe um
conflito de interesses envolvido no problema. Enquanto um escoamento raso para a
mesma vazão levaria a uma velocidade maior, esse escoamento não necessariamente
atende aos requisitos de operacionabilidade impostos. Em contrapartida, um
escoamento de elevada lâmina d’água, para a mesma vazão, não teria velocidade
suficiente para gerar o valor ótimo de potência.
Em algum momento, uma solução de compromisso acaba sendo a ótima,
isso depende tanto das características do escoamento, da geometria do canal e da
geometria da turbina. Ou seja, no caso do canal finito mostrado no corpo do
relatório, um aumento do nível d’água, para a mesma vazão permitiria que a turbina
fosse posicionada na última sessão possível, mas isso levaria a uma diminuição da
velocidade que levaria a um resultado não ótimo.
É preciso dizer que os resultados de potência em Watts obtidos fazem
sentido de um ponto de vista de otimização mas os valores de coeficiente de
potência da turbina, coeficiente de arrasto da turbina, largura da turbina e diâmetro
da turbina não refletem uma turbina real. Entretanto, esses valores podem ser
facilmente introduzidos no modelo uma vez conhecidos, sem prejuízo aos
resultados aqui obtidos.
36
5 – Discussões Talvez a questão de maior relevância a ser resolvida em primeiro lugar, num
trabalho subseqüente, seria a de utilização de coeficientes Cd e Cp reais para uma
turbina real testada empiricamente. Além disso, uma apuração da potência extraída
do escoamento pela turbina com maior exatidão também traria grande benefício ao
modelo.
Uma vez que essas questões fossem sanadas, outras considerações poderiam
ser eliminadas em trabalhos futuros. Uma delas é a de vazão constante em toda a
região do canal. A existência de sumidouros, ou mesmo da própria chuva incidente
na região teria forte influência nos resultados. Uma análise de potência média gerada
anualmente poderia ser feita para levar em conta também efeitos sazonais no
escoamento.
Além disso, outras turbinas poderiam ser consideradas, de mais interesse
seriam as turbinas mais eficientes como turbinas axiais por exemplo. A capacidade
do modelo de prever a energia gerada já é por si só uma característica interessante
para alavancar estudos aprofundados de viabilidade econômica. Outra questão a ser
analisada, seria a consideração da possibilidade de cavitação. A aplicação dessa
análise não seria muito complicada, tanto utilizando o diagrama de Burril quanto os
dados oferecidos pelo fabricante levariam a uma segurança na adoção dessa
alternativa de geração de energia em uma situação real.
A barreira final na evolução desse projeto, seria o desenvolvimento de um
modelo de otimização que leve em conta todos os fatores já mencionados e ainda
permitisse a colocação de fileiras de turbina, como uma fazenda e turbinas
hidrocinéticas, levando em consideração o efeito de esteira de cada uma delas e as
características do escoamento modeladas com programas de dinâmica dos fluidos
computacional.
37
6 - Conclusões O modelo matemático desenvolvido e implementado em código
computacional LINGO é capaz de prever posição ótima de uma única turbina
instalada e a potência gerada associada em um canal retangular com condições de
escoamento idealizadas.
Os resultados para as constantes utilizadas no modelo foram de
aproximadamente 9,4kW tanto no caso infinito quanto no caso finito. Sendo que no
caso finito a posição ótima da turbina está à 875m da primeira seção do canal, e no
caso infinito está à 975m. Isso mostra que para geometrias semelhantes de canal, o
posicionamento da turbina para otimização da potência gerada não acontece
necessariamente na mesma seção, e ainda mais importante que isso, mostra que o
posicionamento ótimo não acontece necessariamente na seção onde a velocidade do
escoamento é maior. Isso mostra que existe um problema de otimização no
posicionamento de turbinas e que esse problema pode ser solucionado através do
modelo desenvolvido. O modelo permite ainda que sejam modificados os dados
geométricos do canal e da turbina, assim como seus respectivos parâmetros
associados, para a obtenção da solução ótima em diferentes condições.
Os resultados, ainda que baseados em hipóteses simples, levantam interesse
no tema de otimização na geração de energia limpa e renovável. Em uma época
onde a preocupação com o meio ambiente é finalmente compreendida como uma
necessidade, todo tipo de atividade que vise preservar o avanço humano com a
minimização do impacto ambiental é relevante. A pesquisa realizada acerca dos
tópicos relacionados contribui para a grande área de mecânica dos fluidos e também
para a formação do autor como engenheiro, rendendo bons frutos acadêmicos.
38
Bibliografia
[1] http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/geografia/fontes-energia-brasil.htm
Acessado em: 12 de setembro de 2017
[2] Kamal A.R.Ismail¹, Tiago P. Batalha (2015) “A comparative study on river
hydrokinetic turbines blade profiles”, IJERA , vol5
[3] Nicholas D.Laws,BrendenP.Epps (2015), “Hydrokinetic energy conversion:
Technology, research, and outlook”, ELSEVIER
[4] Martin Anyi (2013), “Water Current Energy for Remote Community:Design and
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[5] Hubert Chanson (2004), Hydraulics of Open Channel Flow, Second-Edition,
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[6] https://ecourses.ou.edu/cgi-
bin/ebook.cgi?doc=&topic=fl&chap_sec=10.3&page=theory Acessado em: 12 de
setembro de 2017
[7]http://www.fsl.orst.edu/geowater/FX3/help/8_Hydraulic_Reference/Mannings
_n_Tables.htm Acessado em: 12 de setembro de 2017
[8] Laurenson E. M. (1986) Friction Slope Averaging in Backwater
Calculations, J. Hydraul. Eng., 112
[9] Maria Kartezhnikova, Thomas M. Ravens (2013), Hydraulic impacts of
hydrokinetic devices, ELSEVIER
[10] Frank M. White (2006) , Fluid Mechanics, Sixth Edition
39
Anexos
Canal de largura Infinita – Output completo do Lingo
Global optimal solution found.
Objective value: 9364.426
Objective bound: 9364.426
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 39
Total solver iterations: 48619
Elapsed runtime seconds: 11.83
Model Class: MINLP
Total variables: 104
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45
Canal de largura Finita – Output completo do Lingo
Global optimal solution found.
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Model Class: MINLP
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SM( 16) 0.4175850E-03
0.000000
SM( 17) 0.4281999E-03
0.000000
SM( 18) 0.4405356E-03
0.000000
SM( 19) 0.4536893E-03
0.000000
SM( 20) 0.4667050E-03
0.000000
SM( 21) 0.000000
0.000000
W( 1) 0.000000
3113.167
W( 2) 0.000000
3009.206
W( 3) 0.000000
2901.185
W( 4) 0.000000
2788.844
W( 5) 0.000000
2671.896
W( 6) 0.000000
2550.027
W( 7) 0.000000
2422.894
W( 8) 0.000000
2290.121
W( 9) 0.000000
2151.291
W( 10) 0.000000
2005.944
W( 11) 0.000000
1853.572
W( 12) 0.000000
1693.607
W( 13) 0.000000
1525.417
W( 14) 0.000000
1348.295
W( 15) 0.000000
1161.446
W( 16) 0.000000
963.9745
50
W( 17) 0.000000
754.8637
W( 18) 1.000000
29300.89
W( 19) 0.000000
254.5355
W( 20) 0.000000
0.000000
W( 21) 0.000000
0.000000
R( 1) 3.126150
0.000000
R( 2) 3.111513
0.000000
R( 3) 3.096607
0.000000
R( 4) 3.081420
0.000000
R( 5) 3.065940
0.000000
R( 6) 3.050153
0.000000
R( 7) 3.034045
0.000000
R( 8) 3.017601
0.000000
R( 9) 3.000803
0.000000
R( 10) 2.983635
0.000000
R( 11) 2.966075
0.000000
R( 12) 2.948105
0.000000
R( 13) 2.929699
0.000000
R( 14) 2.910834
0.000000
R( 15) 2.891483
0.000000
R( 16) 2.871614
0.000000
R( 17) 2.851195
0.000000
R( 18) 2.830189
0.000000
R( 19) 2.804744
0.000000
R( 20) 2.782317
0.000000
R( 21) 2.759157
0.000000
51
Apêndice Resumo dos resultados para canal de largura finita D=1m Global optimal solution found.
Objective value: 15674.53
Objective bound: 15674.53
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 39
Total solver iterations: 211830
Elapsed runtime seconds: 19.62
Model Class: MINLP
W( 20) 1.000000 -
7227.009
(Solução Trivial)
Resumo dos resultados para canal de largura finita D=2m Global optimal solution found.
Objective value: 31194.38
Objective bound: 31194.38
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 39
Total solver iterations: 215186
Elapsed runtime seconds: 20.18
Model Class: MINLP
W( 20) 1.000000 -
14316.42
(Solução Trivial)
Resumo dos resultados para canal de largura finita D=3m Global optimal solution found.
Objective value: 17473.67
Objective bound: 17473.67
Infeasibilities: 0.2570175E-07
Extended solver steps: 41
Total solver iterations: 197616
Elapsed runtime seconds: 25.81
Model Class: MINLP
W( 19) 1.000000
60721.1014316.42
(Solução NÃO Trivial)
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