Geostatistik Kriging 21.01.02Sarah Böckmann1 Geostatistik Kriging.

21.01.02 Sarah Böckmann 1

Geostatistik Kriging

GeostatistikKriging



Gliederung• Einleitung• Theoretisches Semivariogramm• Empirisches Semivariogramm• Umsetzung in ArcGIS• Aufgabe 1• Anwendung des Semivariogramms auf Kriging• Kriging-Varianz• Umsetzung in ArcGIS• Aufgabe 2



Bisher:deterministische Interpolation

ist relativ genau, falls die Messwerte:- regelmäßig und- in einer relativ hohen Dichteüber das zu untersuchende Gebiet verteilt liegen



Neu:

Geostatistische Interpolationwird verwendet, falls die Messwerte- unregelmäßig und- in relativ niedriger Dichte vorliegen



Besonderheiten geostatistischer Verfahren:

mit geostatistischen Interpolationstechniken kann man :

• Vorhersagen für bestimmte Orte machenUND

• diese Vorhersagen auf ihre Genauigkeit prüfen



Geschichte des Verfahrens:• wurde nach dem südafrikanischen Bauingeneur

D.G.Krige benannt• Mitte des 20.Jahrhunderts von G.Matheron in

Frankreich zur Anwendung im Bergbau weiterentwickelt

• zur gleichen Zeit von L.S.Gandin in der Sowjetunion entwickelt, in dem Bereich Meterologie angewandt

• heute: Anwendung in allen Geowissenschaften



Eigenschaften des Verfahrens:• im Mittel ist der Schätzfehler minimal (best)

• als gewichtetes Mittel ist er linear

• im Mittel wird richtig geschätzt (unbiased)

B L U E



Das geostatistische Modell

Z(x) = m(x) + ´(x) + ´´(x)

Mittelwert Rauschenvom Ort abhängige Zufallsvariable



Voraussetzungen für Kriging:

Intrinsche Hypothese

Semivariogramm



Intrinische Hypothese1. Der Erwartungswert von Z im Untersuchungsgebiet ist konstant

E[Z(x) – Z(x+h)] = 0

2. Der räumliche Zusammenhang zwischen 2 Variablen hängt nicht von deren absoluter Lage ab, sondern nur von deren Abstandsvektoren:

E[{Z(x) – Z(x+h)}²] = 2(h)

Semivarianz



Definition Semivarianz

(h) = 1/2n{z(xi) – z(xi+h)}²

Abstandsvektor

Anzahl der Punktpaare mit Abstand h

2 Variablen mit Abstand h

ein Graph von (h) wird das „empirische Variogramm“ genannt



Das empirisches Variogramm

• Vorgehensweise:1. Abstände zwischen jedem existierenden

Punktpaar werden berechnet2. Für jeden Abstand h wird ein Variogrammwert (h) bestimmt3. In der Praxis bestimmt man Abstandsklassen, da nur wenige Punktpaare exakt den gleichen Abstand haben



Das empirisches Variogramm



Das theoretische Variogramm

• Bisher: Aussage über den räumlichen

Zusammenhang der Stichprobe

• Neu:Variogrammwert auch für Abstände,

die nicht in der Stichprobe vorkommen




Annahme:- empirisches Variogramm zeigt den groben Verlauf Lösung: - Verlauf wird einer Funktion angepasst



• 3 Modelle- Sphärisches Modell- Exponentielles Modell- Gaussches Modell






Vom empirischen zum theoretischen Variogramm



Kenngrößen des Variogramms

• SchwellenwertSchwellenwert: Maximum von (h)• AussageweiteAussageweite:: Abstand bei dem das Variogramm einen

Schwellenwert erreicht• NuggetNugget: Schnittpunkt mit der y-Achse, existiert, wenn das

Variogramm nicht durch den Ursprung verläuft (Rauschen)



Umsetzung in ArcGIS Semivariogramm

Klick auf „Semivariogramm“



wähle Layer und Attribut aus



durch Anklicken eines Punktes im Semivariogrammwird das entsprechende Punktpaar in der Karte angezeigt



Aufgabe 1• Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\

proseminar2001\böckmann_otte die Datei „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“

• Erstellt ein Semivariogramm• Findet die Punkte im Semivariogramm

dessen Punktpaare in der Karte -1. den größten und -2. den kleinsten Abstand voneinander haben



Kriging-SchätzerAufgabe:Aufgabe: Ein unbekannter Wert wird durch ein gewichtetes Mittel der bekannten Nachbarwerte geschätzt.

z*(x0) = i z(xi)

gesuchter Wert

Gewichte gemessener Wert



Die Gewichte

• Werden so bestimmt, dass:1. der Schätzfehler im Mittel 0 ist E[F(x0)] = 0

2. die Varianz des Schätzfehlers minimal ist Var [F(x0)] = min

3. die Summe der Gewichte = 1 i = 1



Berechnung der Gewichte Berechnung erfolgt aus den BLUE-Anforderungen:

• Linearität => gewogenes Mittel => z*(x0) = iz(xi)

• Erwartungstreue =>Schätzfehler Null => z*(x0) – z(x0) = 0• Beste Schätzung => minimale Varianz des Schätzfehlers

=> VAR [z*(x0) – z(x0)] = min

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung



Lösung in Matrizenform11 . . .1n 1 1 10

: : : : :n1 . . .nn 1 * n = n0

1 . . . 1 0 m m

Semivariogramm-werte zwischen allen Paaren gemessener Orten

Semivariogrammwerte zwischen den gemessenen Orten und dem zu schätzenden Ort



Nun ist es möglich die Gewichte zu bestimmen und damit den Wert für einen nicht-gemessenen Ort vorherzusagen!

= -1 * z*(x0) = i z(xi)



Die Kriging-Varianz

• Der Vorteil statistischer Interpolation: Genauigkeit der Vorhersage feststellen

• Die Kriging-Varianz berechnet sich nach² = i(xi, xk) +



Umsetzung in ArcGISKreieren einer Oberfläche

Klick auf Geostatistical Analyst, wähle den Geostatistical Wizard



Wähle aus den Daten die „ca_ozone_pts“

Klick auf„Kriging“

Klick auf „Next“



Wähle unter „Ordinary Kriging“ die „Prediction Map“




Nugget

Schwellenwert

Aussageweite





Anzahl der Nachbarn in einem Sektor

„Nachbarn“ und deren Gewichte

vorherzusa-gender Ort



Klick auf „Finish“



Klick auf „OK“

zur Überprüfung der Eingaben



Die Vorhersage



Klick auf „Create Prediction Standard Error Map“

Genauigkeit der Vorhersage kann anhand einer Genauigkeits-Karte überprüft werden



Vorhersage und ihre Genauigkeit



Aufgabe 2

• Kopiert Euch aus dem Verzeichnis V:\proseminar2001\böckmann_otte die Dateien „ca_ozone_pts“ und „ca_outline“

• erstellt eine Karte mit Kriging• und die dazugehörige Genauigkeitskarte

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