Geometrin ˙ es diferencialiniu˛ lygˇ ciu˛ teorijos s ˛ avokos 3 paskaita Olga Štikonien ˙ e Diferencialiniu˛ lygˇ ciu˛ ir skaiˇ ciavimo matematikos katedra, MIF VU 2015-09-24 Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 1 / 48 Turinys 1 I ˛vadas i ˛ kokybin ˛ e paprastu ˛ju ˛ DL teorij ˛ a Krypˇ ciu ˛ laukai Diferencialin ˙ es lygties krypˇ ciu ˛ laukas 2 Vektoriniai ir krypˇ ciu ˛ laukai Fazin ˙ e erdv ˙ e Fazinis portretas Vektoriniai laukai Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 2 / 48 I ˛vadas i ˛ kokybin ˛ e paprastu˛ju˛ DL teorij ˛ a Diferencialin ˙ es lygties sprendiniai Tegul f yra tolydi funkcija, apr ˙ ežta srityje D ⊂ R 2 (f ∈ C(D)). Nagrin ˙ ekime 1 eil ˙ es DL ˙ x = f (t, x(t)), (t, x) ∈ D. Funkcija ϕ : I → R, yra DL sprendinys intervale, jei ϕ ∈ C 1 (I ); Taškas (t,ϕ(t)) ∈ D, ∀t ∈ I ; ˙ ϕ(t) ≡ f (t,ϕ(t)). Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 3 / 48 I ˛vadas i ˛ kokybin ˛ e paprastu˛ju˛ DL teorij ˛ a Pavyzdžiai Sprendinio egzistavimas apibr ˙ ežiamas funkcijos f savybemis: DL, sritis D, sprendinys ϕ(x), apibr. sritis. I 1. x = x - t, 2. x = x 2 , 1 + t + Cel, IR; (C-t)-l, (-oo,C) 0, IR (C'-t)-t, (C',oo); (- 00,C) [C,oo) IR' , 3. x= -x/t, {(t,x)lt,eO}, 4. x = 2x 1/2 , {(t, x)lx OJ, CIt, (- 00,0) C'It, (0, (0); { O, (t - C)2, 0, 5. x = 2xt, 1R 2 , Ce ,2 , IR; 6. x= -x/tanh t, {(t,x)lt,eO}, Clsinht, (-00,0) C' /sinh t, (0, (0). The existence of solutions is determined by the properti Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 4 / 48 I ˛vadas i ˛ kokybin ˛ e paprastu˛ju˛ DL teorij ˛ a 1 teorema (Egzistavimas). Jei funkcija f ∈ C(D), tai ∀(t 0 , x 0 ) ∈ D ∃ toks lygties ˙ x = f (t, x) sprendinys x(t) t ∈ I , kad t 0 ∈ I ir x(t 0 )= x 0 . Pavyzdys. ˙ x = 2|x| 1 2 , D = R 2 . x 0 ≥ 0 ∀(t 0 , x 0 ) galima užrašyti kaip (t 0 , x(t 0 )),ˇ cia x(t) yra sprendinys: x(t)= 0, t ∈ (-∞, C); (t - C) 2 , t ∈ (C, +∞). (**) C = t 0 - √ x 0 . Analogiškai galima rasti sprendini ˛, einanti per tašk ˛ a (t 0 , x 0 ), kai x 0 ≤ 0 x(t)= -(t - C) 2 , t ∈ (-∞, C); 0, t ∈ (C, +∞). Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 5 / 48 I ˛vadas i ˛ kokybin ˛ e paprastu˛ju˛ DL teorij ˛ a t K 4 K 2 0 2 4 x t K 6 K 4 K 2 2 4 6 DL ˙ x = 2|x| 1 2 , D = R 2 . sprendinio grafikas. Pastaba. 1 teorema neeliuminuoja atveji ˛, kai x(t 0 )= x 0 daugiau, nei vienam sprendiniui x(t). Pvz., pradin ˛ es˛ alyg ˛ a x(t 0 )= 0 tenkina be galo daug sprendiniu˛: bet koks sprendinys (**) su C > t 0 ; x(t) ≡ 0. Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 6 / 48 I ˛vadas i ˛ kokybin ˛ e paprastu˛ju˛ DL teorij ˛ a 2 teorema (Vienatis). Jei funkcija f ∈ C(D) ir ∂f ∂x ∈ C(D), tai ∀ duotam taške (t 0 , x 0 ) ∈ D ∃ ir vienintelis toks lygties ˙ x = f (t, x) sprendinys x(t), kad x(t 0 )= x 0 . Pavyzdžiai. 1 f (t, x)= 2|x| 1 2 ∈ C(D), D = R 2 , bet ∂f ∂x = ( |x| - 1 2 , x > 0; -|x| - 1 2 , x < 0 ∂f ∂x ∈ C(D 0 ), D 0 = {(t, x)|x 6= 0}. t.y. per tašk ˛ a (t 0 , 0), t 0 ∈ R eina be galo daug sprendiniu ˛. 2 f (t, x)= x - t ⇒ ∂f ∂x = 1. f , ∂f ∂x ∈ C(R 2 ) ∀ taškas (t 0 , x 0 ) priklauso tik vienam DL ˙ x = x - t sprendiniui: x(t)= 1 + t + Ce t ,ˇ cia C =(x 0 - t 0 - 1)e -t0 . Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 7 / 48 I ˛vadas i ˛ kokybin ˛ e paprastu˛ju˛ DL teorij ˛ a Rasime DL y 0 = 3y 2/3 integralin ˛ e kreiv˛ e, einanˇ ci ˛ a per tašk ˛ a (1, 1). Atitinkamas Koši (pradinis) uždavinys yra y 0 = 3y 2/3 , y(1)= 1. Patikriname, kad funkcija y =(x - C) 3 yra DL sprendiniai. I ˛statome pradines s ˛ alygas: 1 = y(1)=(1 - C) 3 ⇒ C = 0 (kitos šaknys yra kompleksin ˙ es). Vadinasi, šis Koši uždavinys turi sprendini ˛ y = x 3 . Remiantis 2 teorema daugiau integraliniu ˛ kreiviu ˛, einanˇ ciu˛ per ši ˛ tašk ˛ a, n˙ era. Rasime integralin ˛ e kreiv˛ e, einanˇ ci ˛ a per tašk ˛ a (0, 0). Per ši ˛ tašk ˛ a eina jau rasta integralin ˙ e kreiv ˙ e y = x 3 , ir dar viena papildoma integralin ˙ e kreiv ˙ e y ≡ 0. Vadinasi, šiuo atveju, Koši uždavinio sprendinys n˙ era vienintelis, ir šis taškas nepriklauso DL sprendinio vienaties sriˇ ciai. Olga Štikonien ˙ e (FDM MIF VU) Geometrin ˙ es DL s ˛ avokos 2015-09-24 8 / 48
6
Embed
Geometrinės diferencialinių lygčių teorijos sąvokos - 3 ...olgas/DL/DL_3p.pdfVisada galima parinkti koordinaˇciu˛ sistema,˛ kurioje ši ties e sutaptu˛˙ su ordinaˇciu˛
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Geometrines diferencialiniu lygciu teorijos savokos3 paskaita
Olga Štikoniene
Diferencialiniu lygciu ir skaiciavimo matematikos katedra, MIF VU
Sprendinio egzistavimas apibrežiamas funkcijos f savybemis:DL, sritis D, sprendinys ϕ(x), apibr. sritis. I
1
Introduction
In this chapter we illustrate the qualitative approach to differential equationsand introduce some key ideas such as phase portraits and qualitativeequivalence.
1.1 PRELIMINARY IDEAS
1.1.1 Existence and uniqueness
Definition 1.1.1Let X (t, x) be a real-valued function of the real variables t and x, with domainD S; 1R2• A function x(t), with t in some open interval Is; IR, which satisfies
dxx(t) = dt = X(t,x(t)) (1.1)
is said to be a solution of the differential equation (1.1).A necessary condition for x(t) to be a solution is that (t, x (t))eD for each
tel; so that D limits the domain and range of x(t). If x(t), with domain I, isa solution to (1.1) then so is its restriction to any interval J c I. To preventany confusion, we will always take I to be the largest interval for which x(t)satisfies (1.1). Solutions with this property are called maximal solutions. Thus,unless otherwise stated, we will use the word 'solution' to mean 'maximalsolution'. Consider the following examples of (1.1) and their solutions; we give
x = X(t,x), D, x(t), I
in each case (C and C' are real numbers):
1. x= x - t,2. x= x 2
,
1+ t + Cel, IR;(C-t)-l, (-oo,C)0, IR(C'-t)-t, (C',oo);
The existence of solutions is determined by the properties of X. Thefollowing proposition is stated without proof (Petrovski, 1966).
Proposition 1.1.1If X is continuous in an open domain, D's;;; D, then given any pair (to, xo)eD',there exists a solution x(t), tel, of x = X(t, x) such that toeI and x(to)= Xo'
For example, consider
x=2IxI I/2, (1.2)
where D = 1R2. Any pair (to, xo) with Xo ~°is given by (to, x(to)) whe:n x(t) is
the solution
() {O, te( - 00, C) (1.3)x t = (t-Cf, te[C,oo)
and C = to - ,Jxo. A solution can similarly be found for pairs (to,xo) whenxo<O.
Observe that Proposition 1.1.1 does not exclude the possibility thatx(to)= Xo for more than one solution x(t). For example, for (1.2) iJllfinitelymany solutions x(t) satisfy x(to)= 0; namely every solution of the form (1.3)for which C > to and solution x(t) == 0.
The following proposition gives a sufficient condition for each pair in D'to occur in one and only one solution of (1.1).
Proposition 1.1.2If X and oX/ox are continuous in an open domain D's;;; D, then given any(to, xo)eD' there exists a unique solution x(t) ofx = X(t, x) such that x(to) = Xo·
Notice that, while X = 21xl 1/2 is continuous on D( = 1R2), oX/ox( =: Ixl- 1/2
for x>°and -lxl- 1/2 for x < 0) is continuous only on D' = {(t,x)lx ,e OJ;it is undefined for x = 0. We have already observed that the pair (to, 0), toelRoccurs in infinitely many solutions of x= 21x1 1/2
•
On the other hand, X(t,x) =x - t and oX/ox =1are continuous throughoutthe domain D = 1R2. Any (to, xo) occurs in one and only one solution ofx= x - t; namely
DL x = 2|x| 12 , D = R2. sprendinio grafikas.Pastaba. 1 teorema neeliuminuoja atveji, kai x(t0) = x0 daugiau, neivienam sprendiniui x(t).Pvz., pradine salyga x(t0) = 0 tenkina be galo daug sprendiniu:
Rasime DL y′ = 3y2/3 integraline kreive, einancia per taška (1, 1).Atitinkamas Koši (pradinis) uždavinys yra
y′ = 3y2/3, y(1) = 1.
Patikriname, kad funkcija y = (x− C)3 yra DL sprendiniai. Istatomepradines salygas: 1 = y(1) = (1− C)3 ⇒ C = 0 (kitos šaknys yrakompleksines). Vadinasi, šis Koši uždavinys turi sprendini y = x3.Remiantis 2 teorema daugiau integraliniu kreiviu, einanciu per ši taška,nera.
Rasime integraline kreive, einanciaper taška (0, 0). Per ši taška eina jaurasta integraline kreive y = x3, ir darviena papildoma integraline kreivey ≡ 0. Vadinasi, šiuo atveju, Košiuždavinio sprendinys nera vienintelis,ir šis taškas nepriklauso DLsprendinio vienaties sriciai.
Laisvai pasirinktam taškui (t; x) ∈ Dpriskirkime tiese su krypties koeficientuk = f (t; x); einancia per ši taška. Tiksliau,per taška (t; x) brežiame nedideleatkarpele su krypties koeficientu k:
Jeigu kiekvienam aibes D taškui yra priskirta kryptis (tiese), tuometsakysime, kad aibeje D yra apibrežtas krypciu laukas.
Pastaba. Norint geriau atvaizduoti krypciu lauka brežiniuose,braižoma tik nedidele tieses dalis taško aplinkoje.Mes nagrinesime tolydžiai diferencijuojamus krypciu laukus, kuriukryptys tolydžiai priklauso nuo taško padeties.
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Apibrežimas.Kreive, kuri kiekvienamesavo taške liecia tame taške esanciakrypti vadinama integraline kreive.
Pastaba.Žodis „integraline kreive“atsirado istoriškai, nes kai kuriaispaprasciausias atvejais šias kreivesgalima rasti integruojant.
Nagrinekime tolydu krypciu lauka plokštumoje.Lauka vadinsime invariantišku postumio duotaja kryptimi atžvilgiu,jei kiekvienos tieses, kuri yra lygiagreti duotajai krypciai, taškuosekrypciu lauko kryptys vienodos.Lauka vadinsime nevertikaliuoju krypciu lauku, jei egzistuoja tiese,kuriai nelygiagreti jokia krypciu lauko kryptis.Visada galima parinkti koordinaciu sistema, kurioje ši tiese sutaptusu ordinaciu ašimi x, o abscisiu ašis t butu horizontali.
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Teorema.Sakykime, plokštumoje duota kryptis, kurios atžvilgiu krypciulaukas yra invariantiškas ir nevertikalus. Tada tokio krypciu laukointegralines kreives randamos integravimu.
Ivadas i kokybine paprastuju DL teorija Krypciu laukai
Bet kokia DL x = v(t, x), v ∈ C(D) apibrežia nevertikaluji krypciu lauka:taške (t, x) imama kryptis, kurios kampo su abscisiu ašimi tangentaslygus v(t, x). Toks krypciu laukas vadinamas funkcijos v krypciu laukuarba x = v(t, x) lygties krypciu lauku.Jeigu norime gauti kokybini integraliniu kreiviu vaizda (portreta),nebutina išspresti DL, pakanka nubraižyti integraliniu kreiviu eskizus.Braižant eskizus, labai patogu surasti kreives, kuriu visuose taškuoseyra ta pati kryptis. Tokios kreives vadinamos krypciu lauko izoklinemis.Izoklines lygtis yra
Susipažinsime su geometrine DL prasme: vektoriniais ir krypciulaukais.Ivesime fazines ir išplestines fazines erdves, fazines ir integralineskreives savokas.Ištirsime paprasciausias DL ir DLS vienmateje erdveje.
Evoliuciniai procesaiDiferencialinemis lygtimis aprašomi evoliuciniai procesai, kuriepasižymi determinizmu, baigtiniu matavimu bei glodumu.Determinuotu vadinsime toki procesa, kurio ateiti ir praeiti nulemiadabartis, t.y. mes galime nusakyti ne tik dabartine determinuotoproceso bukle, bet ir jo bukle bet kuriuo laiko momentu tiek praeityje,tiek ateityje.Aibe determinuoto proceso busenu vadinama fazine erdve.
Determinuotas procesasVieno taško judejima trimateje erdveje pilnai apibrežia trys jokoordinates ir trys jo greicio komponentes. Žinodami šiuos šešisparametrus konkreciu laiko momentu, mes galime nusakyti judanciotaško padeti bet kuriuo momentu tiek praeityje, tiek ateityje.
Nedeterminuoti procesai
Šilumos sklidimas yra pusiau determinuotas procesas, nes mesgalime nusakyti tik kaip pasiskirstys kuno temperatura ateityje, o apiešio proceso evoliucija praeityje mes nieko negalime pasakyti.Visiškai nedeterminuoti procesai yra
Procesas vadinamas baigtinio matavimo, jei jo fazine erdve aprašomabaigtiniu skaiciumi parametru, kuriu reikšmes ir apibrežia procesobusenas.
Baigtinio matavimo procesas
Jei materialus taškas juda tiese, tuomet jo busenai pilnai aprašytipakanka 2 parametru (koordinates ir greicio), t.y. fazine erdve yradvimate.Trimateje erdveje tokiam procesui apibudinti reikalingi 6parametrai. Jei nagrinesime n tašku judejima, tai ju fazine erdvebus 6n-mate (trys koordinates ir trys greicio komponenteskiekvienam taškui).Nagrinejant n kietu kunu judejima reikalinga 12n parametru (kokie?).
Begalinio matavimo procesaiNorint aprašyti stygos virpesius, bangu sklidima reikalingas begalinis skaiciusparametru. Tokius procesus nagrineja lygciu dalinemis išvestinemis teorija.
Procesas vadinamas glodžiu (tolydžiu, diferencijuojamu), jei jo fazineerdve turi glodžios daugdaros struktura, o proceso busenu kitimagalima aprašyti glodžiomis (tolydžiomis, diferencijuojamomis)funkcijomis.
Glodus procesas
Mechanines sistemos koordinates ir greiciai keiciasi kaip tolydžiaidiferencijuojamos funkcijos.
Nediferencijuojami procesaiProcesai, kuriuose vyksta trukiai, smugiai, glodumo savybenepasižymi.
Tik eksperimentiškai su tam tikru tikslumu galima nustatyti, kadprocesas yra determinuotas, baigtinio matavimo ir glodus.Mes laikysime, kad visi nagrinejami procesai turi šias savybes irpilnai sutampa su nagrinejamais matematiniais modeliais.
Pastaba. Užrašas su laužtiniais skliausteliais vartojamas norint taupytivieta tekste.Pastaba. Dažnai fazinius kintamuosius vienmateje fazineje erdveježymesime x, dvimateje (x, y), trimateje (x, y, z). Parametra (laikas,kreives ilgis) nuo kurio priklauso procesas dažniausiai žymesimet ∈ R = Rt.
Ivairias proceso busenas atitinka fazines erdves taškai.Proceso evoliucijos metu, ji apibudinantis taškas keicia vietafazineje erdveje.Glodiems procesams taško pedsakas (fazines erdves taškai,kuriuose buvo fazinis taškas) fazineje erdveje apibrežia fazinetrajektorija x(t), t ∈ I = (t0; t1).
Fazine trajektorija neaprašo fazinio taško priklausomybes nuolaiko t, taciau paprastai nurodoma, kokia kryptimi vystosievoliucinis procesas. Rodykle fazineje trajektorijoje žymima laikodidejimo kryptis.Noredami pavaizduoti, kaip procesas evoliucionuoja laikoatžvilgiu, naudosime išplestine fazine erdve Rt × U, kuri yra laikoašies ir fazines erdves Dekarto sandauga. Tada grafikas (t, x(t))bus kreive (n + 1)-mateje erdveje ir pilnai apibreš fazinio taškopriklausomybe nuo laiko t.
Pagrindinis PDL teorijos uždavinys ir yra ištirti evoliucinioproceso kitima fazinio greicio vektoriniame lauke.Prie svarbiu klausimu galima priskirti faziniu trajektoriju pobudi:
- koks ju pavidalas,- ar fazines trajektorijos lieka aprežtoje srityje,- ar jos yra periodines (uždaros),- ar jos nueina i begalybe ir t.t.
Bendruoju atveju, taip suformuluotas uždavinys tam tikra prasmeneišsprendžiamas.Paprasciausiais atvejais ši uždavini galima išspresti integruojant.Skaitiniais metodais visada galima rasti DL sprendini baigtiniameintervale. Taciau taip mes negalime gauti globalaus kokybiniovaizdo (fazinio portreto).
Dvimateje fazineje erdveje, kai ji yra plokštumos dalis, vektorinislaukas dažniausiai braižomas atidedant vektorius (kryptinesatkarpas) taškuose, kuriuose jis kokybiškai atspindi vektorinilauka.Tieseje vektorinis laukas dažniausiai braižomas atidedantvektorius (kryptines atkarpas) vertikaliai, t.y. braižomas grafikas(x, v(x)), o pacios tieses dalyse, kuriose vektorinis lauko funkcijosženklas yra vienodas, atidedamos rodykles, o ramybes taškaivaizduojami taškais.
Vektorinis laukas v(x), x ∈ U apibrežia autonomine vektorine DL
dx(t)dt
= v(x), x ∈ U. (6)
Dažnai pilnaja išvestine pagal laika žymesime:
x :=dx(t)
dt.
[Fazine kreive] Kreive fazineje erdveje x = ϕ(s), s ∈ I ⊂ R, vadinamavektorinio lauko v(x) fazine kreive, jeigu kiekviename jos taške fazinisgreitis sutampa su vektorinio lauko vektoriumi tame taške.Turint fazini portreta, visada galima surasti fazinio greicio lauka.Atvirkšcias uždavinys nagrinejamas PDL teorijoje: pagal vektorinilauka reikia surasti jo fazines kreives.
Lygtys, kuriu dešinioji puse tiesiogiai nepriklauso nuo laiko t, t.y.
x = v(x), x ∈ S ⊂ R, D = R× S, (7)
vadinamos autonominemis DL.Ju sprendinio kitimo greitis priklauso tik nuo paties sprendinio, t.y. tokiulygciu sprendinys pats valdo savo keitimasi.Parodysime, kad autonomines lygtis galima suskirstyti i kokybiškaiekvivalencias lygciu klases.
Išvada. Tegul x = ϕ(t) yra DL x = v(x) sprendinys, apibrežtas ∀t ∈ R irϕ(I) – šio sprendinio reikšmiu sritis. Be to, tegu per kiekviena juostosD′ = R× ϕ(I) taška eina tik viena DL x = v(x) integraline kreive. Tadabet kuria kita šios lygties integraline kreive, esancia juostoje D′ galimaapibrežti lygtimi x = ϕ(t + C), t ∈ R. Taigi integralines kreivesjuostoje D′ gaunamos viena iš kitos poslinkiu t ašies kryptimi.
Integralines kreives dalina plokštuma R2 i dvi pusplokštumes x > 0 irx < 0.
Pusplokštumeje x > 0 bet kuria integraline kreive galima gautipaslinkus viršutine hiperboles x = −1
t šaka t ašies kryptimi.Analogiškai pusplokštumeje x < 0 bet kuria integraline kreivegalima gauti paslinkus apatine hiperboles x = −1
t šaka t ašieskryptimi.
Integraliniu kreiviu šeimu, kurios gaunamos viena iš kitos poslinkiu tašies kryptimi, kokybini vaizda nusako kiekvienas atskyrasissprendinys. Kiekvieno tokio sprendinio kokybini vaizda apibrežiafunkcija v.
Jeigu kokiame nors taške x = c funkcija v(c) = 0, tai funkcija
ϕ(t) ≡ c, t ∈ R
yra DL x = v(x) sprendinys. Toks sprendinys vadinamas stacionariuojusprendiniu, o taškas c vadinamas ramybes tašku.Jeigu v(x) 6= 0, t.y. v(x) > 0 arba v(x) < 0, tai kiekvienas DL sprendinysyra arba didejanti, arba mažejanti funkcija. Tokias sprendiniu savybespatogiau vaizduoti x ašyje negu (t; x) plokštumoje.
Jeigu sprendinys x = ϕ(t) nera ramybes taškas, tai ϕ yra arbadidejanti, arba mažejanti funkcija. Todel, jeigu ramybes tašku yrabaigtinis skaicius, tai ji atitinkanciu skirtingu faziniu portretu taip pat yratik baigtinis skaicius.Sakydami "skirtingi", turime omenyje, kad jie skiriasi sritimis, kuriosesprendiniai dideja arba mažeja.Pavyzdžiui, lygties x = x2 fazinis portretas, skiriasi nuo fazinio portretolygties x = x.
Akivaizdu, kad vieno ramybes taško atveju yra galimi tik keturi skirtingifaziniai portretai
Autonomous equations 9
x
xx
.. • • •
Fig. 1.18. x= X 3, X = 0 is a fixed point. Fig. 1.19. x= X2
, X = 0 is a fixed point.
c c- .....----
(a)
c ..(e)
•(b)
c
(d)•
Fig. 1.20. The four possible phase portraits associated with a single fixed point. Thefixed point is described as an attractor in (a), a sbunt in (b) and (c) and a repellor in (d).
portraits in Fig. 1.20 for some value ofc. For example, x= x, X= x 3, X= X - a,x= (x - a)3, X= sinh x, x= sinh(x - a) all correspond to Fig. 1.20(d) for c = 0or a. Of course, two different equations, each having one fixed point, thatcorrespond to the same phase portrait in Fig. 1.20 have the same qualitativebehaviour. We say that two such differential equations are qualitativelyequivalent.
Now observe that the argument leading to Fig. 1.20 holds equally well ifthe fixed point at x = c is one of many in a phase portrait. In other words,the qualitative behaviour of x in the neighbourhood of any fixed point mustbe one of those illustrated in Fig. 1.20(a)-(d). We say that this behaviourdetermines the nature of the fixed point and use the terminology defined inthe caption to Fig. 1.20 to describe this.
This is an important step because it implies that the phase portrait of anyautonomous equation is determined completely by the nature of its fixedpoints. We can make the following definition.
Ramybes taškas a vadinamas atraktoriumi , taškai b ir c – šuntu, otaškas d – repeleriu.
Skirtingos diferencialines lygtys yra kokybiškai ekvivalencios, jeigu josturi ta pati fazini portreta, t.y. turi vienoda skaiciu ta pacia tvarkaišsidesciusiu ramybes tašku.
yra kokybiškai ekvivalencios. Jos turi viena ramybes taška –repeleri.
DL x = (x + 2)(x + 1), x = x2 − 1
taip pat yra kokybiškai ekvivalencios. Jos turi po du ramybestaškus. Vienas iš ju yra atraktorius, o kitas – repeleris. Be to,atraktoriu atitinka mažesnioji reikšme.
DL x = −(x + 2)(x + 1), x = x2 − 1
nera kokybiškai ekvivalencios.Jos turi po du pusiausvyros taškus: atraktoriu ir repeleri. Taciau jieyra išsideste priešinga tvarka.
Diferencialines lygtys gali tureti be galo daug ramybes tašku (pvz.lygtis x = sin x). Todel skirtingu faziniu portretu taip pat gali buti be galodaug. Taciau, bet kuris fazinis portretas gali tureti ne daugiau kaipketuris skirtingus ramybes taškus.