Géométrie Espace 2 nde 1 Géométrie dans l’espace I. Rappels de collège A. Formumaire 1. Hauteurs Définition Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Il y a donc 3 hauteurs dans un triangle. Le point d'intersection d'une hauteur et d'un côté s'appelle le pied de la hauteur. Propriété Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes. Le point de concours s’appelle l’orthocentre du triangle. O est l’orthocentre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Aire (ABC) = × ℎ 2 = × 2 2. Médianes TP 2 p 250 Définition Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Propriété Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes. Le point de concours s’appelle le centre de gravité du triangle. Le centre de gravité est situé au tiers de chaque médiane. GA = 2 GA’ GA’ = 1 3 AA’ Exercice n°121 p 264 3. Médiatrices des côtés Définition La médiatrice d’un segment est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment. Propriété La médiatrice est l’axe de symétrie du segment. Théorème Si un point M appartient à la médiatrice de [AB] alors MA = MB Si MA = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB]
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Géométrie dans l’espace · GA = 2 GA’ GA’ = 1 3 AA’ Exercice n°121 p 264 ... 2. Angle et cercle Propriété ... l’angle au centre mesure le double de chaque angle inscrit
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Géométrie Espace 2nde
1
Géométrie dans l’espace
I. Rappels de collège
A. Formumaire
1. Hauteurs
Définition
Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Il y a donc 3 hauteurs dans un triangle.
Le point d'intersection d'une hauteur et d'un côté s'appelle le pied de la hauteur.
Propriété
Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes. Le point de concours s’appelle l’orthocentre du triangle.
O est l’orthocentre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
Aire (ABC) = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × ℎ𝑎𝑢𝑡𝑒𝑢𝑟
2 =
𝐵𝐶 × 𝐴𝐻
2
2. Médianes
TP 2 p 250
Définition
Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Propriété
Les 3 médianes d’un triangle sont concourantes. Le point de concours s’appelle le centre de gravité du
triangle. Le centre de gravité est situé au tiers de chaque médiane. GA = 2 GA’ GA’ = 1
3 AA’
Exercice n°121 p 264
3. Médiatrices des côtés
Définition
La médiatrice d’un segment est la droite passant par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce
segment.
Propriété
La médiatrice est l’axe de symétrie du segment.
Théorème
Si un point M appartient à la médiatrice de [AB] alors MA = MB
Si MA = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB]
Géométrie Espace 2nde
2
Propriété
Les 3 médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes. Le point de concours
s’appelle le centre du cercle circonscrit au triangle.
4. Bissectrices des angles
Définition
La bissectrice d’un angle 𝑥𝑂�̂� est l’axe de symétrie de l’angle 𝑥𝑂�̂�.
Propriété
La bissectrice de l’angle 𝑥𝑂�̂� partage cet angle en deux angles de même mesure.
Tout point de la bissectrice de 𝑥𝑂�̂� est équidistant des côtés [Ox) et [Oy).
Propriété
Les bissectrices des trois angles d’un triangle sont concourantes. Le point de
concours s’appelle le centre du cercle inscrit dans le triangle.
B. Triangle rectangle
1. Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
Si le triangle ABC est rectangle en A alors on a BC² = AB² + AC²
Théorème de Pythagore (réciproque)
Si BC² = AB² + AC² alors ABC est un triangle rectangle en A.
Activité 2 p 241
2. Cercle circonscrit
Propriété
Si le triangle ABC est rectangle en A alors le centre du cercle circonscrit au
triangle ABC est le milieu du segment [BC].
CK = 1
2 AB
Propriété réciproque
Si le triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC] alors ABC est
rectangle en A.
3. Trigonométrie
Propriété
Si le triangle ABC est rectangle en A alors
cos �̂� = 𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶 sin �̂� =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é
ℎ𝑦𝑝𝑜𝑡ℎé𝑛𝑢𝑠𝑒 =
𝐴𝐶
𝐵𝐶 tan �̂� =
𝑐ô𝑡é 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é
𝑐ô𝑡é 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 =
𝐴𝐶
𝐴𝐵
C. Théorème de Thalès
1. Enoncé
Théorème de Thalès
Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distincts de A.
Si (BC) et (MN) sont parallèles, alors AMN et ABC ont leurs côtés proportionnels
𝐴𝑀
𝐴𝐵=
𝐴𝑁
𝐴𝐶=
𝑀𝑁
𝐵𝐶
Géométrie Espace 2nde
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2. Réciproque
Théorème de Thalès (réciproque)
Soit ABC un triangle, M un point de (AB) et N un point de (AC) distincts de A.
Si 𝐴𝑀
𝐴𝐵=
𝐴𝑁
𝐴𝐶 et si les points A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre alors (BC) et (MN)
sont parallèles.
3. Théorème des milieux
Théorème
Dans un triangle ABC, si I et J sont les milieux de [AB] et [AC], alors (IJ) //
(BC) et IJ = 1
2 BC
Théorème
Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB], alors la parallèle à (BC)