Page 1
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 1/215
Inainte: Transformari elementare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index
Sisteme de ecuatii lineare
Sisteme de ecuatii liniare:
In general
Solutii ale sistemelor de ecuatii liniare:
Numerele formeaza o solutie a sistemului pentru ca
(1)
(2)
(3)
(5)
(6)
Page 1 of 3Sisteme de ecuatii lineare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 2
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 2/215
pe de alta parte numerele nu formeaza o solutie a sistemului pentru ca ele nu
satisfac toate ecuatiile sistemului
Se poate arata ca este unica solutie a acestui sistem.
Definitie 1.1 Un sistem de ecuatii liniare ce admite solutie unica se numeste sistem compatibildeterminat.
Observatie 1.1 Sistemul
este un exemplu de sistem compatibil determinat
Sistemele pot avea mai multe solutii. De exemplu
admite solutiile si . Verificare pentru
a doua:
pentru acest sistem o solutie generala e data de formula:
unde este orice numar real. In acest caz este
numit parametru.
Definitie 1.2 Un sistem de ecuatii liniare ce admite mai mult de o solutie(in care caz automat vadmite o infinitate de solutii) se numeste sistem compatibil nedeterminat.
Observatie 1.2 Sistemul
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
Page 2 of 3Sisteme de ecuatii lineare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 3
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 3/215
Page 4
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 4/215
Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index
Transformari elementare
1) Se inmulteste una din ecuatiile sistenului cu un numar.
Exercitiu 1.1 (inmultim a doua ecuatie cu 2) Notam aceasta transformare simbolic cu
2) Se inverseaza doua ecuatii din sistem.
Exercitiu 1.2 inversam ecuatiile 1 si 3 Notam aceasta transformare simbolic cu
3) Se inmulteste o ecuatie cu un numar real si se aduna la o alta ecuatie din sistem.
Exercitiu 1.3 inmultim ec. 1 cu 2 si o scadem din 2-a Notam aceasta transformare simbolic cu
Aceste transformari pot fi utilizate pentru rearanjarea/modificarea ecuatiilor intr-o forma maiaccesibila pentru rezolvarea sistemului. De pilda
Se considera sistemul
(14)
(17)
(18)
Page 1 of 3Transformari elementare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 5
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 5/215
Numarul se numeste pivot. Prima transformare elementara este adica
Sistemul devine
Urmatoarea tranformare elementara vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra pivotului,
adica , prin urmare efectuam transformarea . Aceasta transformare poate
fi efectuata algoritmic doarece stim ca 5 este exact . Sistemul devine:
Se trece acum la a doua ecuatie. Noul pivot devine elementul . Se efectueaza primul pas in
combinatia de transformari elementare ce vizeaza anularea tuturor termenilor de sub si deasupra
noului pivot, adica . Se imparte asadar prin pivot ecuatia a doua, si
se obtine noua forma a sistemului:
La fel ca in cazul precedent pentru anularea termenului se efectueaza transformarea
, adica se scade din ecuatia 1 ecuatia 2 inmultita cu coeficientul termenului
ce urmeaza a fi anulat. Se obtine:
Acesta este si sfarsitul metodei deoarece s-a ajuns la ultima linie si s-au anulat toti termenii dedeasupra pivotului de pe ultima linie.
(19)
(20)
(21)
(22)
Page 2 of 3Transformari elementare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 6
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 6/215
Inainte: Metoda lui Gauss Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de ecuatii lineare Cuprins Index adi2006-11-05
Page 3 of 3Transformari elementare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 7
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 7/215
Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index
Metoda lui Gauss
Se considera sistemul:
Aplicam iar metoda eliminarilor succesive. primul pivot este . Observati ca daca se
inverseaza ecuatiile 1 si 2 se obtine noul pivot 1deci nu mai e necesara transformarea .
dar pentru moment sa aplicam metoda direct pe sistemul dat.
Impartim deci ecuatia 1 prin pivot si se obtine:
Ca si in exemplul anterior efectuam acum transformari vizand anularea termenilor de sub si deasupra
pivotului, adica termenii . Sunt necesare deci transformarile si
care duc la
Metoda lui Gauss a fost deci aplicata cu succes primei linii. se trece la a doua.
Noul pivot devine , coeficientul corespunzand termenului diagonal..
Transformarea corespunzatoare este ce duce la
(23)
(24)
(26)
Page 1 of 2Metoda lui Gauss
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 8
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 8/215
Se vizeaza acum anularea termenilor de sub si deasupra pivotului, adica termenii .
Sunt necesare deci transformarile si . Dupa efectuarea
trasformarilor se ajunge la:
Metoda se opreste aici pentru ca ultima ecuatie nu aduce practic nicio informatie. Ea nu poate fi inniciun fel folosita pentru anularea coeficientilor de deasupra celui de-al treilea 0 din ecuatia a treia.
Concluzia este ca
iar poate fi orice numar real, cu alte cuvinte sistemul rezolvat este compatibil nedeterminat. De
pilda, dand valoarea obtinem solutia .
Inainte: Matrici Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Transformari elementare Cuprins Index adi
2006-11-05
(27)
(28)
(29)
Page 2 of 2Metoda lui Gauss
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 9
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 9/215
Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins Index
Matrici
Matricile sunt utilizate pentru stocarea datelor. Scopul este de a usura manipularea acestor date. Saconsideram 3 companii Comp1, Comp2, Comp3 care comercializeaza 2 produse denumite prod1,prod2.
Preturile cu care ele comercializeaza aceste produse pot fi stocate sub forma matriceala:
E suficient sa stocam matricea M
Asadar o matrice este un tablou de numere ordonate pe linii si coloane. In cazul de fata spunem ca M
este pentru ca are 2 linii si 3 coloane.
Forma generala a unei matrici (deci cum m linii, n coloane) este
Se considera sistemul
(30)
(31)
Page 1 of 3Matrici
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 10
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 10/215
Se noteaza
se numeste matricea asociata sistemului de mai sus iar se numeste matricea extinsa asistemului.
Exercitiu 1.4 Fie sistemul
Atunci, cu notatiile din definitia precedenta avem ca
Exercitiu 1.5 Sistemul
nu este compatibil determinat pentru ca
Noi am demonstrat anterior(cu metoda lui Gauss) ca este compatibil nedeterminat.
Sistemul
(33)
(34)
(35)
(36)
Page 2 of 3Matrici
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 11
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 11/215
este compatibil determinat pentru ca
Inainte: Metoda lui Gauss pe Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss Cuprins
Index adi2006-11-05
(37)
Page 3 of 3Matrici
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 12
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 12/215
Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index
Metoda lui Gauss pe matrici
Metoda lui Gauss poate fi aplicata direct pe matrici dupa cum urmeaza. Se considera matriceaextinsa a sistemului
adica
In notatia simbolica inlocuim ce denumeste ecuatia 1 din sistem cu ce denumeste linia 1 din
matricea extinsa. Se procedeaza la fel pentru pentru .
Se incearca acum eliminarea termenilor de pe a doua coloana cu exceptia elementului diagonal. Noul
pivot este . Avem
Mai departe, se aplica trasformarile elementare ce anuleaza termenii 4/3 si 5/3 de pe a doua coloanaa
(38)
(39)
(40)
(42)
Page 1 of 4Metoda lui Gauss pe matrici
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 13
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 13/215
adica . Obtinem
Aceasta matrice extinsa corespunde sistemului
de unde rezulta
Se considera matricea extinsa a sistemului
adica
Primul pivot este 2. Se efectueaza transformarea
pentru anularea elementelor de pe prima coloana de sub 1 se efectueaza
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
Page 2 of 4Metoda lui Gauss pe matrici
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 14
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 14/215
noul pivot este 2. Deci trebuie efectuata transformarea
Pentru eliminarea termenilor de sub si deasupra lui 1 pe coloana 2 trebuiesc efectuate transformarile:
, ce duca la
Noul pivot este elementul diagonal de pe linia 3, adica . Impartim linia 3 prin acest pivot:
ceea ce ne da
Mai departe se vor anula termenii 1.25 si 0.5 de pe coloana 3 prin efectuarea transformarilor
.
De aici rezulta ca
Aceasta este matricea extinsa a unui sistem care este echivalent cu cel de la care am plecat. Acestsistem este
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
Page 3 of 4Metoda lui Gauss pe matrici
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 15
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 15/215
care are solutia .
Inainte: Sisteme de inecuatii lineare Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Matrici Cuprins Index adi
2006-11-05
Page 4 of 4Metoda lui Gauss pe matrici
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 16
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 16/215
Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index
Sisteme de inecuatii lineare
La fel ca sistemele de ecuatii, doar ca in loc de semnul avem fie fie .
De exemplu
Observatie 1.3 Observam ca putem presupune ca fie numai semnul fie numai semnul va
aparea. Intr-adevar, dandu-se sistemul;de inecuatii de mai sus putem inmulti ultima inecuatie cu
si in urma schimbarii de semn in inegalitate se obtine
Daca dorim sa folosim semnul putem inmulti primele doua inecuatii cu si se obtine
Cu aceasta observatie putem presupune ca toate sistemele de inecuatii lineare sunt de tipul
Sistemele de inecuatii liniare pot fi trasformate in sisteme de ecuatii liniare prin folosirea unor
(55)
(56)
(57)
Page 1 of 3Sisteme de inecuatii lineare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 17
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 17/215
necunoscute auxiliare ce satisfac(impreuna cu necunoscutele
sistemul de ecuatii liniare
Intr-adevar, daca sunt solutii ale acestui sistem rezulta, deoarece
sunt negative,
Sa se rezolve sistemul de inecuatii liniare
Se considera sistemul linar asociat
cu .
Acest sistem se poate rezolva utilizand metoda lui Gauss asa cum a fost arata inainte in ( ).
Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:
(59)
(60)
(61)
(62)
Page 2 of 3Sisteme de inecuatii lineare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 18
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 18/215
Se porneste cu matricea extinsa a acestui sistem:
Efectuand aceleasi transformari ca in ( ) se obtine
ceea ce conduce la
care e echivalent cu
deci
unde .
Inainte: Seminar: Sisteme de ecuatii Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Metoda lui Gauss pe Cuprins Index adi2006-11-05
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
Page 3 of 3Sisteme de inecuatii lineare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 19
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 19/215
Inainte: Spatii vectoriale Sus: Sisteme de ecuatii lineare Inapoi: Sisteme de inecuatii lineare Cuprins Index
Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
Exercitiu 1.6 Sa se rezolve sistemul de ecuatii
cu metoda lui Gauss
Se considera matricea extinsa a sistemului
Se efectueaza transformarea adica
Se efectueaza transformarile ,
Impartim apoi prin al doilea element de pe diagonala
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
Page 1 of 6Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 20
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 20/215
Apoi , ,
Urmeaza
si apoi ce conduce la
care e matricea extinsa a sistemului
In cazul in care, la un anumit pas elementul de pe diagonala prin care ar trebui sa impartim este 0, seinverseaza linia respectiva cu o linie de sub ea pentru ca noul element diagonal sa fie diferit de 0.
Sa consideram sistemul cu matricea extinsa de mai jos
pasul 1 in metoda lui Gauss este deja efectuat, ne mutam la linia a doua. Acolo avem un elementdiagonal egal cu 0, deci vom inversa liniile 2 si 3. Matricea devine
(73)
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
Page 2 of 6Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 21
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 21/215
Calculul se face in continuare exact ca in exercitiul precedent.
Metoda Gauss-Jordan
In multe situatii metoda lui Gauss duce la operatii cu multe fractii. O alternativa este folosireametodei Gauss-Jordan.
Sa consideram matricea extinsa din exemplul anterior
Se alege un element nenul pe prima coloana, de pilda . Acesta va fi numit pivot.
Numerele din matrice care nu sunt pe aceeasi linie sau coloana cu se modifica dupa regula
dreptunghiului adica pentru inlocuirea unui numar, de pilda cel de pe linia 2, coloana 2, adica -6 se
identifica dreptunghiul cu varfuri diagonal opuse in si adica
si se pune in locul lui numarul obtinut din produsul numerelor de pe diagonala ce contine pivotul
minus produsul numerelor de pe cealalta diagonala, adica . Punem deci
pe pozitia 2,2 numarul 2. In acelasi mod punem pe pozitia
2,3 numarul .
pe pozitia 2,4 numarul .
pe pozitia 3,2 .
pe pozitia 3,3 .
(79)
(80)
Page 3 of 6Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 22
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 22/215
pe pozitia 2,4 . pe pozitia 3,4 .
Se inlocuieste apoi prima coloana cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine
Se alege acum ca pivot un element pe a doua coloana, (exceptand cel care e deasemenea pe primalinie), de pilda 2.
Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe liniasau coloana pivotului.
Avem
in pozitia 1,1 -2 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 -6
in pozitia 3,1 0 in pozitia 3,3 -10 in pozitia 3,4 -10
Se inlocuieste tot ce e deasupra si sub pivot cu 0. Matricea devine
Se trece la coloana 3. Automat pivotul trebuie ales numarul de pe pozitia 3,3.
Vor fi modificate cu regula dreptunghiului toate numerele din matrice cu exceptia celor de pe liniasau coloana pivotului.
in pozitia 1,1 20 in pozitia 1,3 0 in pozitia 1,4 60
in pozitia 2,1 0 in pozitia 2,3 0 in pozitia 2,4 -40
Se inlocuieste coloana 3 cu exeptia pivotului cu 0. Matricea devine
Sistemul care are aceasta matrice extinsa este
(81)
(82)
(83)
(84)
Page 4 of 6Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 23
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 23/215
iar solutia este .
Exercitiu 1.7 O firma a raportat in 2004 un profit de 1.5 milioane RON, in 2005 un profit de 1.9milioane RON iar in 2006 un profit de 2.1 milioane RON. Asumand un model parabolic de cresterea profitului sa se estimeze profitul pe anul 2007.
Consideram ca lui 2004 ii corespunde momentul initial 0, lui 2005 ii corespunde momentul 1, lui2006 momentul 2 iar lui 2007 ii va corespunde momentul 3.
Consideram functia care asociaza fiecarui moment profitul firmei la acel moment. Vom avea deci
Deoarece se considera ca profitul creste parabolic se incearca gasirea unei functii
care sa satisfaca conditiile cu
alte cuvinte
Acest sistem se poate rezolva cu metoda lui Gauss si rezulta .
Urmeaza ca la momentul profitul este .
Algoritm (Metoda lui Gauss cum a fost descrisa aici):
-----------------------
for
Daca se inverseaza cu o linie cu si .
for
(85)
(86)
(87)
Page 5 of 6Seminar: Sisteme de ecuatii liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 24
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 24/215
Page 25
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 25/215
Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index
Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
Exemplu 2.1 Sa consideram multimea numerelor reale . Numerele reale satisfac urmatoarelerelatii:
1. pentru oricare doua numere reale .
2. pentru oricare trei numere reale .
3. pentru . Deci exista un astfel de numar ,0, asa ca
.
4. pentru orice , adica admite un element asa ca
.
5. , pentru orice .
6. , pentru orice .
7. , pentru orice .
8. , pentru orice .
Spunem in acest caz ca multimea a numerelor reale formeaza cu operatia de adunare si inmultirecu numerele reale un spatiu vectorial.
Exemplu 2.2 Sa consideram multimea cuplurilor de numere reale
. Definim operatia de adunare a elementelor din ca
iind adunarea pe componente equation(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)de pilda pentru
avem ca
Observatie 2.1 Se observa ca suma a doua elemente produce un alt element ce este deasemenea in
.
Definim operatia de inmultire cu numere reale ca fiind inmultirea pe componente
Page 1 of 5Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 26
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 26/215
equation&alpha#alpha;(x,y)=(&alpha#alpha;x,&alpha#alpha;y)
de pilda pentru avem ca
Observatie 2.2 Se observa ca inmultirea unui element cu un numar real produce un alt element ce
este deasemenea in .
Atunci cu aceste operatii definite anterior elementele din satisfac urmatoarele relatii:
1. pentru oricare doua elemente . Explicatie: avem ca
cu deoarece . aplicand
regulile de adunare ( ) avem ca
2. pentru oricare trei elemente . Avem ca
de unde rezulta ca equation(v+w)+z=
((x_1,y_1)+(x_2,y_2))+(x_3,y_3)=(x_1+x_2,y_1+y_2)+(x_3,y_3)=
Page 2 of 5Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 27
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 27/215
Spunem in acest caz ca multimea a cuplurilor de numere reale formeaza cu operatia de adunare
Page 3 of 5Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 28
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 28/215
pe componente si inmultire cu numerele reale un spatiu vectorial.
Exemplu 2.3 Sa consideram submultimea a lui definita prin
. Avem ca dar .
Atunci deasemenea multimea formeaza cu operatia de adunare pe componente si inmultire cunumerele reale un spatiu vectorial descrise in , .
Pentru a arata aceasta trebuie sa aratam ca operatiile de adunare in V si inmultire cu numere real
au proprietatea ca produc deasemenea elemente in V (vezi observatiile , ) si ca aceste operatii
satisfac proprietatile 1-7 din [ ].
Intr-adevar, daca cu atunci
, prin urmare
suma este deasemenea in V.
Proprietatile 1-7 se arata la fel ca in [ ].
Verificam numai prima proprietate:
pentru oricare doua elemente . Explicatie: avem ca
cu deoarece . aplicand regulile de
adunare ( ) avem ca
Trecem acum la definitia matematica a spatiilor vectoriale. Fie V o mutime nevida si un corp . De
cele mai multe ori va fi fie corpul numerelor reale fie corpul numerelor complexe. Se da o lege
de compozitie interna pe V adica o functie si o lege de compozitie externa
adica o functie .
Definitie 2.1 V formeaza un spatiu vectorial(sau liniar) peste corpul daca
1. pentru oricare doua elemente .
2. pentru oricare trei elemente .
3. Exista un element notat asa ca pentru .
4. pentru orice exista asa ca .
Page 4 of 5Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 29
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 29/215
5. , pentru orice .
6. , pentru orice .
7. , pentru orice .
8. , pentru orice .
Elementele lui V se numesc vectori, elementele lui se numesc scalari.
In mod similar cu exemplul [ ] in care a fost definit spatiul vectorial se definesc spatiile
vectoriale ce sunt formate din toate n-uplele de numere reale: equation ^n =
{ (x_1,x_2,...,x_n)|x_1,x_2,...,x_n&isin#in; }
cu operatiile de adunare si scadere
equation(x_1,x_2,...,x_n)+(y_1,y_2,...,y_n)=(x_!+y_1,x_2+y_2,...,x_n+y_n),&alpha#alpha;(x_1,x_2,...,x_n)=(&alpha#alpha;x_1,&alpha#alpha;x_2,...,&alpha#alpha;x_n)
Exemplu 2.4 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,-x)|x &isin#in; }, V_2={ (x,0)|x &isin#in; }
ormeaza spatii vectoriale peste cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [
, ].
Aratati ca multimile equation V_3={ (x,2x-2)|x &isin#in; }, V_4={ (x+1,-x)|x &isin#in; } nu
ormeaza spatii vectoriale peste cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [
, ].
Exemplu 2.5 Aratati ca multimile equation V_1={ (x,y,x+y)|x &isin#in; }, V_2={ (x,-y,x-2y)|x&isin#in; }
ormeaza spatii vectoriale peste cu operatiile de adunare si inmultire pe componente descrise in [
] cu .
Inainte: Combinatie liniara. Sistem de Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale Cuprins Index adi2006-11-05
Page 5 of 5Spatii vectoriale. Definitie si proprietati
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 30
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 30/215
Inainte: Sistem liniar independent Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Spatii vectoriale. Definitie si Cuprins Index
Combinatie liniara. Sistem de generatori
Definitie 2.2 Un vector este combinatie liniara a vectorilor daca exista
asa ca
Exemplu 2.6 In spatiul vectorial vectorul este o combinatie liniara a vectorilor
si pentru ca
In spatiul vectorial vectorul nu este o combinatie liniara a vectorilor si
pentru ca daca ar fi atunci am avea
de unde egaland componentele de pe pozitia trei ar rezulta ca 3=0, absurd.
Definitie 2.3 Vectorii formeaza un sistem de generatori pentru V daca orice
vector este o combinatie liniara de vectori .
Exemplu 2.7 In spatiul vectorial vectorii si formeaza un sistem de generatori
pentru ca pentru orice vector avem ca
adica este o combinatie linara a vectorilor si .
In spatiul vectorial vectorul nu este o combinatie liniara a vectorilor si
Page 1 of 2Combinatie liniara. Sistem de generatori
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 31
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 31/215
Page 32
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 32/215
Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index
Sistem liniar independent
Definitie 2.4 Vectorii sunt liniar independenti daca relatia
implica .
Exemplu 2.8
In spatiul vectorial vectorii si sunt linear independenti pentru ca daca
atunci
de unde rezulta ca .
In spatiul vectorial vectorii nu sunt linear independenti pentru
ca
Exemplu 2.9 Aratati ca doi vectori sunt linear independenti daca
si numai daca
Exemplu 2.10 Aratati ca n vectori sunt linear independenti daca si numai daca
nuciunul nu este o combinatie liniara a celorlalti.
(89)
Page 1 of 2Sistem liniar independent
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 33
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 33/215
Definitie 2.5 Opusul notiunii de indepenedenta lineara este notiunea de dependenta lineara:
Vectorii sunt liniar dependenti daca exista nu toi nenuli astfel
incat
Exemplu 2.11 Vectorii sunt linear dependenti pentru ca
In general daca este o combinatie liniara de
vectori atunci sistemul este liniar dependent.
Inainte: Baza unui spatiu vectorial Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Combinatie liniara. Sistem de Cuprins Index adi2006-11-05
Page 2 of 2Sistem liniar independent
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 34
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 34/215
Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index
Baza unui spatiu vectorial
Definitie 2.6 Vectorii formeaza o baza a spatiului vectorial daca ei
sunt liniar independenti si formeaza un sistem de generatori pentru V.
Exemplu 2.12 Vectorii formeaza o baza a spatiului vectorial pentru ca (a fost
aratat inainte) ca ei sunt linear independenti si ca formeaza un sistem de generatori pentru .
Teorema 2.1 Daca vectorii formeaza o baza a spatiului vectorial
atunci pentru orice vector exista scalari unici asa ca
Exemplu 2.13 Sa consideram spatiul vectorial n-dimensional . O baza a acestui spatiu(numitabaza canonica) este formata din vectorii unitari
. Sa aranjam acesti vectori pe
coloane. Pentru orice vector avem ca
Exemplu 2.14 Fie o baza a spatiului vectorial atunci
cu este deasemenea o baza.
Cum se verifica linear-independenta unui sistem de vectori?
Matricea vectorilor se obtine punand vectorii pe coloane, unul langa altul.
Daca atunci matricea acestori doi vectori e data de
(90)
Page 1 of 3Baza unui spatiu vectorial
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 35
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 35/215
Daca atunci matricea acestor trei vectori e data
de
Daca atunci matricea acestor trei vectori e data de
Teorema 2.2 Un sistem de vectori formeaza un sistem liniar independent daca si
numai daca rangul matricei vectorilor este egal cu numarul vectorilor.
Teorema 2.3 Un sistem de vectori formeaza o baza in daca si numai daca
determinatul matricei vectorilor este diferit de 0.
Sa aratam ca daca formeaza o baza atunci determinantul matricei vectorilor este
diferit de 0.
Sa presupunem ca equationv_1= ( ), v_2= ( ), , v_n= ( )
Deoarece formeaza o baza rezulta ca dat fiind un vector exista
coeficienti unici asa ca
sau, folosind scrierea , avem ca
(91)
(92)
(93)
Page 2 of 3Baza unui spatiu vectorial
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 36
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 36/215
equationx_1 ( ), +x_2 ( ), + x_n ( )= ( )
Cu alte cuvinte, adunanda pe componente rezulta ca
equation( )= ( )
prin urmare coeficientii formeaza solutia unica a sistemului .
Deci acest sistem e compatibil determinat si ca urmare matricea asociata lui(care este si matricea
vectorilor ) are determinantul diferit de 0.
Invers, daca aceasta matrice are determinantul diferit de 0 implica faptul ca sistemul are solutie
unica prin urmare exista coeficienti unici asa ca egalitatea sa fie adevarata. De
aici rezulta ca
formeaza o baza.
Inainte: Transformari liniare Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Sistem liniar independent Cuprins Index adi2006-11-05
Page 3 of 3Baza unui spatiu vectorial
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 37
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 37/215
Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index
Transformari liniare
este transformare liniara daca
1. pentru oricare doi vectori .
2. pentru oricare doi vectori .
Exercitiu 2.1 Fie cu
Sa se arate ca este o transformare liniara.
Solutie: Fie , atunci
Avem deci ca
Pe de alta parte
si
deci
care e egal cu . Concluzia este ca .
Aratam acum a doua proprietate:
de unde rezulta ca
Pe de alta parte
Page 1 of 5Transformari liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 38
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 38/215
de unde rezulta ca
.
Propozitie 2.1 Daca T este transformare liniara atunci avem ca
Matricea asociata unei transformari liniare intr-o pereche de baze. Fie
baza in V, baza in . Descompunem fiecare vector
in baza dupa cum urmeaza
Matricea asociata lui in bazele , este prin definitie
Formal, putem scrie egalitatile 187 in forma
Acum, daca un vector se descompune pe baza sub forma
atunci utilizand proprietatea ca
(94)
(95)
Page 2 of 5Transformari liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 39
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 39/215
si putem scrie aceasta egalitate formal dupa cum urmeaza
resulta atunci formula pentru coordonatele lui in baza :
Exercitiu 2.2 Se considera . Sa se afle matricea lui in baza
canonica a lui .
Avem ca
Matricea lui in baza canonica este
Deoarece coordonatele vectorului in baza canonica sunt resulta din ca formula
pentru coordonatele vectorului in baza canonica este
Formula ne da intr-adevar coordonatele corecte deoarece .
Exercitiu 2.3 . Calculati matricea lui in baza canonica.
Page 3 of 5Transformari liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 40
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 40/215
Matricea lui T se obtine punand vectorii coordonatelor pe coloane:
deci
Exercitiu 2.4 Sa se afle matricea lui in baza
.
Deci
Sa consideram vectorul deci cocordonatele lui in baza
sunt .
Vrem sa aflam coorodnatele lui in aceeasi baza. Formula ne da direct ca aceste coordonate
sunt
Page 4 of 5Transformari liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 41
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 41/215
Sa facem o verificare. Utilizand formula de definitie a lui avem ca .
Deasemenea si prin urmare intr-adevar coordonatele lui in
acea baza sunt .
Inainte: Vectori si valori proprii Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Baza unui spatiu vectorial Cuprins Index
adi2006-11-05
Page 5 of 5Transformari liniare
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 42
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 42/215
Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index
Vectori si valori proprii
Definitie 2.7 Fie o transformare liniara . Daca exista relatia
pentru un numar real sau complex si un vector spunem ca este o valoare proprie a lui
lui iar este un vector propriu al lui asociat valorii proprii .
Exercitiu 2.5 Fie , Atunci e
valoare proprie a lui iar este un vector propriu al lui asociat lui pentru ca
iar
adica .
Observatie 2.3 Observati ca in exemplul de mai sus este deasemenea vector
propriu asociat lui . In general, orice este vector propriu asociat lui . Aici este numar real.
bf Cum se afla valorile proprii ale unei transformari liniare date?
Consideram matricea asociata lui intr-o baza oarecare a lui . Daca putem alegeaceasta baza sa fie baza canonica deoarece in acest caz calculele ce urmeaza a fi efectuate sunt maiusor de facut. Sa notam coeficientii matricei A dupa cum urmeaza
Se formeaza urmatorul polinom numit polinomul caracteristic asociat lui (sau polinomulcaracteristic asociat lui T)
Page 1 of 6Vectori si valori proprii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 43
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 43/215
Radacinile lui (adica solutiile ecuatiei ) sunt exact valorile proprii ale lui . Se mai
spune si ca aceste radacini sunt valorile proprii ale matricii .
Exercitiu 2.6 Sa se afle polinomul caracteristic si toate valorile proprii ale transformarii
,
Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii este
prin urmare polinomul caracteristic al lui este dat de formula
Pentru a afla valorile proprii consideram ecuatia
cu radacinile . Deci valorile proprii sunt .
Exercitiu 2.7 Sa se afle polinomul caracteristic si toate valorile proprii ale transformarii
,
Solutie: Matricea lui in baza canonica a lui este Solutie: In baza canonica matricea asociata
transformarii este
Polinomul caracteristic este prin urmare
Page 2 of 6Vectori si valori proprii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 44
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 44/215
Rezulta ca valorile proprii sunt solutiile ecuatiei
deci ele sunt numarata de doua ori si .
bf Cum se afla vectorii proprii ale unei transformari liniare date?
Mai intai se afla dupa metoda descrisa anterior valorile proprii dupa care pentru
fiecare valoare proprie in parte se calculeaza vectorii proprii corespunzatori. Sa ii calculam pentruprima valoare proprie , pentru celelealte se calculeaza la fel.
Dupa definitia vectorii proprii corespunzatori valorii proprii trebuie sa satisfaca
Egalitatea de mai sus este de fapt un sistem liniar ce poate fi rezolvat pentru componentele vectorului
pe care incercam sa-l calculam. Daca are matricea
intr-o anumita baza iar are coordonatele in acea baza sistemul se scrie
sub forma
adica
Page 3 of 6Vectori si valori proprii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 45
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 45/215
Aceasta formula ne da indicatia cum sa calculam vectorii proprii asociati unei valori proprii : Se
construieste sistemul ( ) si apoiu se rezolva acest sistem pentru in baza aleasa.
Exercitiu 2.8 S-a demonstrat inainte in ca valorile proprii al transformarii ,
sunt . Sa se afle pentru fiecare valoare proprie un vector
propriu asociat.
Solutie: Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie . In baza canonica matricea asociata
transformarii este
Sistemul devine
adica
de unde rezulta ca adica . Putem spune ca multimea vectorilor propriieste formata din vectorii de forma
care e echivalenta cu
Un vector propriu este de pilda . este de asemenea un vector propriu
(96)
(97)
Page 4 of 6Vectori si valori proprii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 46
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 46/215
deoarece este in multimea .
Sa aflam un vector propriu pentru valoarea proprie .
Atunci cand sistemul devine
adica
de unde rezulta ca adica . Putem spune ca multimea vectorilor proprii este
formata din vectorii de forma
care e echivalenta cu
Un vector propriu este de pilda . este de asemenea un vector propriu
deoarece este in multimea .
Exercitiu 2.9 S-a demonstrat inainte in ca valorile proprii al transformarii ,
sunt . Sa se afle vectorii proprii asociati valorii proprii
.
Solutie: In baza canonica matricea asociata transformarii este
Sistemul devine
(98)
Page 5 of 6Vectori si valori proprii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 47
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 47/215
adica
ceea ce revine la
Incercam sa descriem mutimea tuturor solutiilor acestui sistem. Prima coordonata poate fi orice,
in timp ce urmatoarele doua coordonate satisfac ecuatia adica . Putem
spune ca multimea vectorilor proprii este formata din vectorii de forma
Deoarece multimea de mai sus poate fiscrisa sub
forma
Doi vectori proprii care geneareaza aceasta multime si sunt linear independenti(demonstrati!) sunt
si .
Inainte: Vectori liberi Sus: Spatii vectoriale Inapoi: Transformari liniare Cuprins Index adi2006-11-05
(99)
(100)
Page 6 of 6Vectori si valori proprii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 48
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 48/215
Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index
Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cuun scalar.
Notam cu spatiul euclidian tridimensional ale carui proprietati au fost studiate la geometria
elementara din liceu, iar cu V multimea vectorilor liberi asociati lui .
Vectori liberi. Dupa cum se stie din geometria elementara, fiecarei perechi ordonate de puncte
din i se asociaza segmentul orientat denumit vector legat. Marimea a
vectorului legat este egala cu distanta dintre punctele P si Q. Daca d(P,Q)=0,
atunci vectorul se numeste vectorul legat nul.
Definitie 3.1 Doi vectori legati si se
numesc echipolenti si se scrie daca
sunt amandoi nuli sau sunt paraleli si au acelasi senssi aceeasi marime (fig. 43).
Definitie 3.2 Multimea vectorilor legati care sunt
echipolenti cu vectorul legat se numeste
vectorul liber definit de .
Acest vector are prin definitie marimea, directia si
sensul lui .
Definitie 3.3 Un vector liber de marime unitara senumeste versor
Page 1 of 3Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 49
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 49/215
Vectorul liber definit de perechea de puncte (P,P) se noteaza cu si se numeste vectorul nul. Seobserva ca vectorul are marimea nula si directia nedeterminata.
Daca este vectorul liber definit de atunci vectorul liber definit de se noteaza si se
numeste vectorul opus lui .
Operatiile cu vectori liberi se definesc prin operatii intre vectori legati corespunzatori rezultatul lorfiind insa independent de alegerea vectorilor legati. Tinand cont de aceasta se pot vizualiza si vectoriliberi prin segmente orientate.
Definitie 3.4 Suma a doi vectori liberi , se obtine dupa regula paralelogramului (fig.
2 , prima imagine) sau a triunghiului(fig. 2 , a doua imagine).
Observatie 3.1 Daca un contur format din mai multi vectori se inchide atunci suma lor este nula.
Proprietati 3.1 Fie vectori liberi oarecare. Atunci au loc urmatoarele proprietati:
Figura 1: Doi vectori paraleli.
Figura: : Regula paralelogramului in prima imagine, regula triunghiului in a doua.
(101)
Page 2 of 3Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 50
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 50/215
Definitie 3.5 Prin inmultirea unui vector liber cu un scalar se obtine un vector
avand aceeasi directie ca si , marimea si avand sensul lui sau contrar lui
dupa cum sau .
Proprietati 3.2 Inmultirea dintre un vector si un scalar are proprietatile urmatoare:
Proprietati 3.3 Adunarea vectorilor este distributiva fata de inmultirea cu un scalar:
Proprietatile de mai sus arata ca multimea vectorilor liberi V este un spatiu vectorial peste R.
Inainte: Vectori coliniari si coplanari. Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi Cuprins Index adi2006-11-05
(102)
Page 3 of 3Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Inmultirea unui vector cu un scalar.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 51
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 51/215
Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index
Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
Definitie 3.6 Doi vectori se zic coliniari daca au aceeasi directie.
Teorema 3.1 Doi vectori sunt coliniari daca si numai daca sunt liniar dependenti.
Demonstratie: Fie doi vectori coliniari si . Atunci ei au acelasi versor:
de unde
unde . Reciproc, daca si sunt liniar dependenti atunci
$$
Observatie 3.2 Relatia de coliniaritate ne arata ca si raportul marimilor celor doi
vectori este adica . Cand vectorii au sensuri opuse iar ei
sunt opusi.
Definitie 3.7 Trei vectori situati in acelasi plan sau paraleli cu acelasi plan se numesc vectori coplanari.
(103)
(104)
(105)
Definitie 3.8 Fie trei vectori coplanari pe
care ii deplasam astfel incat sa aiba aceeasi origine.
(fig. 3)Se duce prin , extremitatea vectorului ,
si atunci .
Page 1 of 4Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 52
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 52/215
Teorema 3.2 Descompunerea unui vector dupa directiile a doi vectori este unica.
Demonstratie: Presupunem ca descompunerea nu ar fi unica, adica si
unde si sau atunci
prin urmare si sunt coliniari, nu se poate, deci sau ,
contrazice ipoteza. Deci si .
$$
Teorema 3.3 Trei vectori sunt coplanari daca si numai daca sunt liniar dependenti.
Demonstratie: Daca sunt liniar dependenti atunci
deoarece si deci
Vectorii si se numesc componentele
vectorului dupa directiile vectorilor si . Astfel
s-a descompus vectorul dupa directiile vectorilor
si .
Figura 2: Descompunerea unui vectordupa doua directii.
(106)
Page 2 of 4Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 53
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 53/215
si fie , atunci
deci vectorul este descompus dupa directiile si , deci cei trei vectori sunt coplanari.
Reciproc este evident.
$$
Teorema 3.4 Spatiul vectorial real al vectorilor liberi din are dimensiunea 3.
Demonstratie: exercitiu. $$
Observatie 3.3 Analog se poate descompune un vector dupa trei directii necoplanare, iar descompunerea este unica.
Definitie 3.9 Expresia care da descompunerea unui vector dupa trei axe rectangulare se numeste
expresia analitica a vectorului, adica unde: ,
, este baza ortonormata.(vezi Algebra liniara).
(107)
Definitie 3.10 (Proiectia unui vector) Fie vectorul
pe care il proiectam pe axa (fig.4)
Proiectia lui adica segmentul o notam
(proiectia lui pe axa x). Notam cu unghiul format
de directia vectorului cu directia axei(adica versorulatunci exista relatia
(108)
Page 3 of 4Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 54
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 54/215
Teorema 3.5 Proiectia sumei vectorilor dintr-un contur poligonal este egala cu suma proiectiilorvectoriale.
Demonstratie: evidenta $$
Inainte: Produsul scalar a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori liberi. Adunarea vectorilor. Cuprins Index adi2006-11-05
Figura 3: .
Page 4 of 4Vectori coliniari si coplanari. Proiectie ortogonala.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 55
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 55/215
Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index
Produsul scalar a doi vectori
Notiunea de produs scalar se cunoaste de la algebra liniara. Fie spatiul vectorilor liberi si
, . Pentru notam cu unghiul dintre vectorii si
Teorema 3.6 Functia definita prin
este un produs scalar pe .
Demonstratie: evidenta. $$
Observatie 3.4 Expresia analitica a produsului scalar a doi vectori este
, deoarece
Unghiul a doi vectori nenuli este dat de
Prin urmare ceea ce implica sau
. Daca si au acelasi sens atunci produsul lor scalar este
deoarece .
(109)
Page 1 of 2Produsul scalar a doi vectori
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 56
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 56/215
Propozitie 3.1 Produsul scalar a doi vectori este egal cu marimea unuia dintre ei inmultita cu roiectia celuilalt pe el.
Demonstratie: Prin definitie
dar deci .
$$
Propozitie 3.2 Produsul scalar este distributiv fata de adunarea vectorilor.
Inainte: Produsul vectorial a doi Sus: Vectori liberi Inapoi: Vectori coliniari si coplanari. Cuprins Index
adi 2006-11-05
Page 2 of 2Produsul scalar a doi vectori
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 57
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 57/215
Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index
Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.
Definitie 3.11 Produsul vectorial al vectorilor liberi nenuli si neparaleli si este vectorul
a carui directie este perpendiculara pe planul vectorilor si , al carui sens
corespunde miscarii burghiului drept daca se roteste spre cu burghiul dintre cei doi
vectori si a carui marime este egala cu aria paralelogramului construit pe cei doi vectori si adica
Definitie 3.12 Se numeste reper cartezian in multimea . Punctul se numeste
originea reperului iar se numeste baza reperului. Coordonatele euclidiene
ale vectorului de pozitie se numesc coordonatele carteziene ale punctului M fata de
Observatie 3.5 1) Daca cel putin unul dintre vectorii
si este nul sau daca vectorii sunt paraleli, produsul vectorial este egal prin definitie cu 0.
2) Produsul vectorial a doi vectori este o aplicatie
biliniara de la la .
Acestui vector ii corespunde tripletul ordonat de
numere numite coordonatele
euclidiene ale vectorului in raport cu baza
. Vom scrie .
Figura 4: .
Page 1 of 2Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 58
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 58/215
reperul ortonormat unde
Bijectia dintre si determinata prin fixarea reperului cartezian se numeste
sistem de coordonate cartezienesi se noteaza prin .
Inainte: Seminarul 1 Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul scalar a doi Cuprins Index adi 2006-11-05
Versorilor le atasam axele de coordonate Ox, Oy, Oz care
au acelasi sens cu sensul pozitiv al acestor versori. Coordonatelecarteziene ale punctului M reprezinta marimile algebrice ale
proiectiilor ortogonale ale vectorului pe cele trei axe decoordonate(fig. 6)
Axele au ecuatiile:
cele trei axe determina trei plane xOy, yOz, zOx numite plane decoordonate care au ecuatiile: xOy: z=0, yOz: x=0, zOx: y=0.
Cele trei plane de coordonate impart spatiul in opt regiuni numiteoctante.
Figura 5: .
Page 2 of 2Produsul vectorial a doi vectori. Produsul mixt a trei vectori.
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 59
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 59/215
Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index
Seminarul 1
Adunarea, scaderea si inmultirea cu scalari a vectorilor.
Exercitiu 3.1 Consideram vectorul si vectorul
. Sa se afle numarul pentru ca suma celor doi vectori sa aiba
aceeasi directie ca vectorul .
Demonstratie: Sa notam cu suma celor doi vectori, deci
Daca si au acceasi directie inseamna ca unul e multiplu de celalalt, deci
pentru un numar real . Prin egalarea componentelor deducem ca
De unde rezulta ca . $$
Exercitiu 3.2 Asupra unui obiect actioneaza doua forte ca in figura 7 , unde si
, , . Sa se gaseasca forta rezultanta.
Demonstratie:
Forta rezultanta este suma celor doua forte. Avem
si .
Va rezulta ca
si
Page 1 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 60
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 60/215
$$
Exercitiu 3.3 Sa se gaseasca un vector care e paralel cu vectorul si are aceeasi
lungime ca vectorul .
Demonstratie: Daca si sunt paraleli inseamna ca vectorul se poate obtine din
prin inmultire cu un scalar:
Lungimea lui este si ea trebuie sa fie egala cu
. Urmeaza ca
si deci . Deci . Sunt deci doi vectori ce satisfac conditiile problemei
anume
$$
Exercitiu 3.4 Sa se descompuna vectorul pe directiile si .
Demonstratie:
.
Prin sumare se obtine apoi .
Figura 6: .
Page 2 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 61
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 61/215
$$
Exercitiu 3.5 Cu ce forta trebuie sa actionam asupra unui obiect de masa 1000Kg pe directia
(fig. 1) pentru ca sub actiunea acestei forte obiectul sa se deplaseze pe orizontala?
Demonstratie:
Trebuie sa gasim scalarii si asa ca
.
Egaland componentele vectorilor gasim ca:
Deci . Descompunerea este:
.
Figura 7: .
Forta trebuie sa aiba aceeasi directie ca
si prin urmare putem scrie pentru
un numar real . Forta de greutate e data de
formula unde
este masa obiectului iar este acceleratia
gravitationala. Forta rezultanta este suma celor douaforte:
Pentru ca obiectul sa se miste pe orizontala trebuie ca
Page 3 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 62
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 62/215
si deci . In concluzie . $$ Produs Scalar
Exercitiu 3.6 Sunt folosite doua formule pentru calcularea produsului scalar a doi vectori
si Pe de o parte
e de alta parte
unde este unghiul dintre cei doi vectori. Demonstrati ca cele doua formule sunt echivalente.
Demonstratie:
forta rezultanta sa fie pe directia orizontala si deci adoua componenta a ei va trebui sa fie 0:
Figura 8: .
(110)
(111)
Din figura rezulta descrierea in coordonate polare a celor doivectori:
si
Reprezentarea polara a celor doi vectori este
Page 4 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 63
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 63/215
A doua formula (11) devine si
deci cele doua formule sunt echivalente. Pentru vectori in spatiu o solutie similara poate fidata.
$$
Exercitiu 3.7 (Lucrul mecanic) Asupra unui obiect actioneaza o forta rezultanta de marime
Va resulta ca formula (10) e echivalenta cu
Figura 9: .
Aplicand teorema lui Pitagora generalizata gasim ca:
Utilizand formula rezulta ca
Figura 10: .
Page 5 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 64
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 64/215
20N ce face un unghi de cu axa orizontala. Obiectul e deplasat sub actiunea acestei forte pe
o panta de inclinatie (ca in figura ( 12 ) pe distanta 20m. Sa se afle lucrul mecanic efectuat de orta.
Demonstratie:
$$
Exercitiu 3.8 (Ortogonalitate) Consideram doi vectori . Gasiti
pentru ca
Demonstratie: Daca cei doi vectori sunt perpendiculari produsul lor scalar trebuie sa fie egal
cu 0 ceea ce implica si deci .
$$
Exercitiu 3.9 (Ortogonalitate) Consideram curba de ecuatie carteziana din
ig. ( 13 ). Sa se afle un vector normal la curba in punctul .
Demonstratie:
Atunci cand forta e constanta ca marime vectoriala iar
deplasarea se face pe o linie dreapta lucrul mecanic efectuatde forta e dat de formula:
. In cazul nostru pentru calculul lucrului mecanic vomutiliza formula (11):
Figura 11: .
Stim ca derivata functiei evaluata la ne va da
panta liniei tangente la graficul lui in punctul
.
Page 6 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 65
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 65/215
$$
Exercitiu 3.10 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului
pe vectorul fara utilizarea formulei de calcul a proiectiei.
Demonstratie:
Aceasta panta este . Prin urmare ecuatia
dreptei prin si de panta este
. Un alt punct pe aceasta dreapta
este . Va rezulta ca
este un
vector tangent la curba in punctul . Un
vector normal la curba in este atunci un vector
perpendicular pe , de exemplu
Figura 12: .
Sa notam proiectia lui pe . Aceasta
proiectie are aceeasi directie ca si prin urmare
pentru un numar pe care urmeaza sa-
l aflam. Conditia satisfacuta de proiectie este ca
Inlocuind gasimceea ce
implica
Page 7 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 66
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 66/215
si deci de unde rezulta ca prin urmare
$$
Exercitiu 3.11 (Proiectia ortonormala) Sa se afle proiectia vetoriala a vectorului
pe un plan paralel cu vectorii si
Demonstratie:
Figura 13: .
Deoarece aceasta proiectie e continuta intr-un
plan paralel la vectorii si ea va fi o combinatie
liniara de cei doi vectori:
Pe de alta parte, fiind proiectia lui pe un plan
paralel la si trebuie ca vectorul
sa fie perpendicular pe acest plan(vezi fig. (15) , prin
urmare va fi perpendicular si pe
vectorii si . Vom avea deci
(112)
Page 8 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 67
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 67/215
Utilizand formula (12) rezulta
Avem
Inlocuind in (14) gasim ca
Rezolvand acest sistem gasim si . Prin urmare, proiectia lui este
$$
Exercitiu 3.12 (Proiectia ortonormala) Sa se afle distanta de la punctul la planul
aralel cu vectorii si ce trece prin origine.
Demonstratie: Avem exact numerele din problema anterioara cu amanuntul ca punctul deaici este varful vectorului de pozitie din problema anterioara.
Figura 14: .
(113)
(114)
(115)
(116)
Page 9 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 68
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 68/215
Prin urmare distanta de la la planul paralel cu si ce
trece prin origine va fi exact lungimea vectorului ce pointeaza de la varful lui la varful lui
care e exact diferenta acestor doi vectori, vom avea deci
$$
Exercitiu 3.13 (ortogonalitate) Consideram punctele si . Sa se afle lungimea
inaltimii din din triunghiul utilizand proprietatile vectorilor.
Demonstratie:
Avem .
Notam inaltimea cu ca in fig. 16 Avem
. O directie perpendiculara pe este
si deci . Pe de alta
parte, avem ca . De aici rezulta
ca si deci
Rezolvand aceasta ecuatie gasim ca
si, cum , rezulta ca
si . Lungimea
inaltimii, adica lungimea vectorului este
.
Page 10 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 69
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 69/215
$$
Exercitiu 3.14 (produsul mixt) Sa se arate ca vectorii
sunt coplanari(sunt continuti in
acelasi plan).
Demonstratie: trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul lor mixt este 0.
$$
Exercitiu 3.15 (produsul vectorial) Sa se arate ca produsul vectorial a doi
vectori este dat de formula
Demonstratie: Din definitia produsului vectorial stim ca satisface ecuatia:
pentru orice vector . Deducem ca
Figura 15: .
(117)
(118)
(119)
Page 11 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 70
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 70/215
Dezvoltam determinantul dupa ultima linie si obtinem:
unde sunt complementii algebrici corespunzatori. Deoarece (20) e valabila pentru
orice triplet rezulta ca si de aici deducem ca:
. Aceasta relatie se poate scrie sub forma:
care este echivalenta cu (18)
$$
Inainte: Dreapta in spatiu Sus: Vectori liberi Inapoi: Produsul vectorial a doi Cuprins Index adi 2006-11-05
(120)
(121)
Page 12 of 12Seminarul 1
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 71
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 71/215
Inainte: Dreapta determinata de un Sus: < Inapoi: Seminarul 1 Cuprins Index
Dreapta in spatiu
O dreapta in spatiu poate fi determinata de
1. un punct si un vector nenul.
2. doua puncte.
3. intersectia a doua plane.
Sectiuni
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul Dreapta determinata de doua puncte Dreapta orientata Seminarul 2
adi
2006-11-05
Page 1 of 1Dreapta in spatiu
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 72
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 72/215
Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index
Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
Fie un punct, vectorul lui de pozitie, iar
un vector nenul din . Dreapta ce trece prin si are directia lui o notam cu
(fig.17).
Punctul , fiind o dreapta
determinata de si de daca si numai daca
Ecuatia (22) se numeste ecuatia vectoriala a dreptei
determinata de un punct si o directie. Vectorul
se numeste vector director, iar coordonatele sale l, m, nse numesc parametrii directori ai dreptei. Evident orice
vector cu joaca acelasi rol ca .
Coliniaritatea vectorilor si mai poate fi
scrisa si , , sau
(122)
(123)
Page 1 of 3Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 73
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 73/215
Ecuatia (23) este echivalenta cu ecuatiile:
Ecuatiile (24) se numesc ecuatiile parametrice ale dreptei (D). Ecuatiile (24) pot fi inlocuite cu
numite ecuatiile carteziene in .
Se face conventia ca daca un numitor este este nul atunci numaratorul respectiv trebuie egalatcu 0.
Observatie 4.1
1. Daca , atunci:
si este o dreapta paralela cu planul .
2. Daca , atunci:
Figura 16: .
(124)
(125)
Page 2 of 3Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 74
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 74/215
si este o dreapta paralela cu axa .
Inainte: Dreapta determinata de doua Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta in spatiu Cuprins Index adi
2006-11-05
Page 3 of 3Dreapta determinata de un punct si un vector nenul
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 75
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 75/215
Inainte: Dreapta orientata Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de un Cuprins Index
Dreapta determinata de doua puncte
adi
2006-11-05
Fie doua puncte distincte si
. Se stie ca doua puncte distincte
determina o dreapta unica. Vom folosi cazul precedent,
adica punctul va fi si vectorul director va fi dat de
(fig.18). Directia va fi
.
Page 1 of 1Dreapta determinata de doua puncte
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 76
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 76/215
Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index
Dreapta orientata
O dreapta in spatiu pe care am ales un sens de parcus se numeste dreapta orientata.
Fie vectorul director al dreptei , atunci sensul pozitiv pe este sensul vectorului
director si acest sens il vom nota cu +. Fie ,atunci multimea
se numeste partea pozitiva a lui iar
se numeste partea negativa alui . De exemplu axele de coordonate sunt drepte
orientate. Vectorului director al dreptei i se poate atasa versorul
numit versor director sau directie orientata.
Deci dreapta poate fi scrisa in forma: Versorul director
impreuna cu axele de coordonate formeaza cu axele unghiurile numite unghiuri
directoare ale dreptei (fig.23). Coordonatele lui se numesc cosinusurile directoare ale
dreptei . se poate scrie:
Figura 17: .
Page 1 of 3Dreapta orientata
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 77
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 77/215
sau
Deoarece
Unghiul a doua drepte orientate. Fiind date doua drepte
si orientate, de vectori directori si
atunci unghiul lor este dat de
deci
< cu sau
Figura 18 : .
Page 2 of 3Dreapta orientata
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 78
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 78/215
Atunci si
Inainte: Seminarul 2 Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta determinata de doua Cuprins Index adi
2006-11-05
Page 3 of 3Dreapta orientata
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 79
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 79/215
Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index
Seminarul 2
Exercitiu 4.1 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca ecuatia vectoriala a dreptei care trece rin si are directia data de . Sa se transforme ecuatia vectoriala
in ecuatia parametrica a dreptei.
Demonstratie:
$$
Conform formulei ecuatiei vectoriale
unde si deci
Ecuatia parametrica este:
. Ecuatia carteziana a dreptei se poate gasi prin
eliminarea variabilei din ecuatia parametrica adreptei:
Figura 19: .
Page 1 of 7Seminarul 2
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 80
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 80/215
Exercitiu 4.2 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru
Demonstratie: Ecuatie vectoriala:
deci
Ecuatia parametrica:
Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)
De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonata este constanta
egala cu , dreapta va fi paralela cu planul $$
Exercitiu 4.3 (ecuatia vectoriala a dreptei) Aceeasi intrebare ca mai sus dar pentru
Demonstratie: Ecuatie vectoriala:
deci
Ecuatia parametrica:
Ecuatia carteziana(obtinuta oprin eliminarea parametrului t)
Page 2 of 7Seminarul 2
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 81
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 81/215
De notat ca din moment ce pentru orice punct de pe dreapta coordonatele si sunt
constante, dreapta va fi paralela cu axa $$
Exercitiu 4.4 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se gaseasca intersectia dreptei din exercitiul ( 2.1 )
cu planul .
Demonstratie: Ecuatia parametrica a dreptei este
. In locul unde intersecteaza planul trebuie sa avem . Deci
Inlocuind obtinem:
. Deci punctul de intersectie este .
$$
Exercitiu 4.5 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce
trece prin si e perpendiculara pe planul ce contine punctele ,
, .
Demonstratie: Din moment ce avem un punct pe dreapta, ne trebuie doar directia drepteipentru a aplica formula.
dreapta e perpendiculara pe planul ce contine , , , prin
urmare e perpendiculara si pe vectorii ce
sunt continuti in acel plan.
Deci directia dreptei e directia perpendiculara pe acesti doi vectori ce e data de produsul lorvectorial.
Calculam produsul vectorial al celor doi vectori:
(126)
Page 3 of 7Seminarul 2
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 82
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 82/215
Putem acum aplica formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact cain exemplul (2.2). $$
Exercitiu 4.6 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se arate ca dreptele de ecuatii vectoriale
nu sunt nici paralele si nici coplanare.
Demonstratie: Avem
De aici rezulta ca directiile celor doua drepte sunt date de vectorii si respectiv
. Deoarece acestia nu sunt linear dependenti rezulta ca cele doua drepte nu sunt
paralele.
Deci daca ar fi coplanare ele s-ar intersecta. Sa egalam componentele:
Din prima ecuatie avem iar din a treia . Imposibil. Deci nu exista punct de
intersectie.
$$
Exercitiu 4.7 (ecuatia vectoriala a dreptei) In conditiile problemei ( ) sa se gaseasca lungimeaerpendicularei comune a celor doua drepte.
Demonstratie:
(127)
(128)
Perpendiculara comuna exista! Alegem in general doua
drepte si care nu sunt paralele si nici nu se
intersecteaza, ca in fig. 21. Alegem un punct pe
dreapta si trasam prin el o dreapta paralela cu
Page 4 of 7Seminarul 2
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 83
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 83/215
Perpendiculara comuna este unica! Intr-adevar, daca ar exista o alta perpendiculara comunaatunci cele doua perpendiculare vor fi paralele pentru ca sunt ambele perpendiculare pe doua
directii diferite(date de si ). Va rezulta ca si sunt in planul generat de cele
doua perpendiculare, ceea ce contrazice exercitiul anterior.
.
Proiectam dreapta pe planul generat de
dreptele si . Proiectia si dreapta se
intersecteaza in .
Trasam prin normala la planul . Avem atunci
ca intersecteaza si e perpendiculara pe si
pe de alta parte deoarece este pe proiectia pe a
lui si trebuie ca sa fie perpendiculara
pe si sa o si intersecteze.
Figura 20: .
Pentru determinarea lungimii perpendicularei comune a celor doua dreptedate in exercitiul 2.6 folosim ecuatia vectoriala a celor doua drepte.
Observam ca orice vector ce incepe pe si se termina pe e dat de
formula:
pentru anumite valori ale parametrilor si . Noi trebuie sa gasim si
Page 5 of 7Seminarul 2
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 84
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 84/215
Va rezulta si deci si lungimea perpendicularei
comune este $$
Exercitiu 4.8 (ecuatia vectoriala a dreptei) Sa se calculeze ecuatia parametrica a dreptei ce
trece prin punctele si .
Demonstratie: Deoarece cele doua puncte sunt pe dreapta inseamna ca directia dreptei e data
de vectorul . Putem acum aplica
formula de calcul a ecuatiilor vectoriale, parametrice si carteziene exact ca in exemplul (2.3).$$
Inainte: Planul in spatiu Sus: Dreapta in spatiu Inapoi: Dreapta orientata Cuprins Index
in asa fel incat vectorul e perpendicular atat pe
directia lui cat si pe directia lui cu alte cuvinte
Inlocuind obtinem
Figura 21: .
(129)
Page 6 of 7Seminarul 2
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 85
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 85/215
adi 2006-11-05
Page 7 of 7Seminarul 2
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 86
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 86/215
Page 87
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 87/215
$$
Teorema 5.1 (Ecuatia generala a planului) Intr-un sistem de coordonate carteziene, un planeste definit de ecuatia:
unde cel putin unul din coeficientii este nenul.
Demonstratie: Daca si atunci
Din conditia de ortogonalitate rezulta:
unde , ecuatia (30) se numeste ecuatia generala a planului.
$$
Teorema 5.2 Reciproca teoremei ( 3.1 ). Orice ecuatie de gradul intai
efineste, in sistemul de coordonate carteziene un plan.
Figura 22: .
(130)
Page 2 of 5Planul in spatiu
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 88
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 88/215
Demonstratie: Daca este o solutie a ecuatiei (2) atunci
sau si inlocuind in (2) se
obtine
care este ecuatia unui plan ce trece prin punctul si este perpendicular pe
vectorul nenul .
Observatie 5.1
1. Ecuatia unui plan in spatiu este nucleul unei functii liniar afine
.
2. Doua ecuatii de gradul intai reprezinta acelasi plan daca si numai daca au coeficientiiproportionali:
3. Ecuatii particulare ale planului:1. -ecuatia unui plan care trece prin origine.
2.
3.
$$
Teorema 5.3
Ecuatia planului determinat de trei puncte necoliniare ,
este
Page 3 of 5Planul in spatiu
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 89
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 89/215
Demonstratie: Fie trei puncte necoliniare si vectorii de pozitie
, si un punct curent cu vectorul de
pozitie . Pentru ca sa fie in plan trebuie ca vectorii sa
fie coplanari, deci produsul mixt trebuie sa fie nul.
sau
sau
$$
Observatie 5.2
1. Ecuatia planului prin taieturi:
2. Patru puncte sunt coplanare daca
Sectiuni
Ecuatia normala a planului Distanta de la un punct la un plan Unghiul a doua plane Seminarul 3
(133)
(134)
Page 4 of 5Planul in spatiu
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 90
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 90/215
Inainte: Ecuatia normala a planului Sus: < Inapoi: Seminarul 2 Cuprins Index
adi 2006-11-05
Page 5 of 5Planul in spatiu
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 91
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 91/215
Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index
Ecuatia normala a planului
Teorema 5.4
Fie cosinusurile directoare ale normalei de plan si distanta de la origine la
lan. Ecuatia planului astfel determinat este:
Demonstratie:
sau
(forma lui Hesse) (136)
Fie intr-un sistem de axe rectangulare (fig. 24)
vectorul dus din origine, perpendicular pe planul
, , cu .
Punctul P, piciorul perpendicularei duse din origine pe
plan are coordonatele . Fie
. Cum
ceea ce implica
Figura 23: .
Page 1 of 2Ecuatia normala a planului
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 92
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 92/215
si cum rezulta ecuatia (1). $$
Observatie 5.3 Trecand ecuatia generala a planului: la forma
normala se obtine
Inainte: Distanta de la un Sus: Planul in spatiu Inapoi: Planul in spatiu Cuprins Index adi 2006-11-05
Page 2 of 2Ecuatia normala a planului
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 93
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 93/215
Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index
Distanta de la un punct la un plan
Daca un plan este definit prin ecuatia normala atunci distanta de la un punct
la acest plan este egala cu
Daca planul este dat sub forma generala, distanta de la punctul la plan
este:
(137)
(138)
Intr-adevar, fie un punct in planul dat si se considera
vectorul normal la plan in acest punct(fig. ).
Oricare ar fi pozitia punctului , atunci: .
Deoarece si au, respectiv proiectiile pe axe
si atunci
se va obtine
Page 1 of 2Distanta de la un punct la un plan
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 94
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 94/215
Dar punctul este in planul considerat: . de unde
rezulta
Deci
In cazul cand planul este dat in forma generala se reduce aceasta ecuatie in forma normala
Atunci conform celor de mai sus rezulta ca distanta este
Inainte: Unghiul a doua plane Sus: Planul in spatiu Inapoi: Ecuatia normala a planului Cuprins Index adi
2006-11-05
Figura 24: .
Page 2 of 2Distanta de la un punct la un plan
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 95
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 95/215
Inainte: Seminarul 3 Sus: Planul in spatiu Inapoi: Distanta de la un Cuprins Index
Unghiul a doua plane
Cosinusurile unghiurilor intre doua plane, date de ecuatiile
sunt date de<
(139)
(140)
Pentru a obtine relatia (40) vom considera normalele la
cele doua plane (fig.26) ,
. Unghiul format de vectorii si
este dat de formula
Se observa ca planele sunt perpendiculare daca si numaidaca
Page 1 of 2Unghiul a doua plane
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 96
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 96/215
Cele doua plane sunt paralele daca
adi
2006-11-05
Figura 25: .
Page 2 of 2Unghiul a doua plane
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 97
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 97/215
Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index
Seminarul 3
Exercitiu 5.1 (ecuatia vectoriala a planului) Sa se afle ecuatia vectoriala a planului ce contine
si e perpendicular pe vectorul .
Demonstratie: Formula de calcula ecuatiei:
unde Avem:
Daca unde este un punct de pe plan rezulta ca si
deci
$$
Exercitiu 5.2 Sa se gaseasca un vector normal la planul .
Demonstratie: Ecuatia se scrie in forma canonica
ceea ce inseamna ca vectorul e
normal la planul . Alta metoda: Se pot gasi doi vectori continuti in plan si
apoi se poate calcula produsul lor vectorial. $$
Exercitiu 5.3 (plane paralele) Sa se arate ca planele si nu sunt
aralele.
Demonstratie: daca cele doua plane sunt paralele atunci si directiile normale la ele vor fi
paralele. Un vector normal la primul plan este iar la al doilea .
Acesti doi vectori nu sunt paraleli pentru ca nu exista nici un scalar asa ca
. Concluzia e ca nici planele nu vor fi paralele. $$
Page 1 of 4Seminarul 3
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 98
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 98/215
Exercitiu 5.4 (plane paralele) Sa se arate ca planele si
sunt paralele daca si numai daca exista un scalar asa ca
, ,
Demonstratie: Daca cele doua plane sunt paralele si directiile normale la ele sunt paralele.
Va rezulta ca si sunt paraleli de unde concluzia.
daca< , , rezulta ca directiile normale la plane sunt
paralele si deci si cele doua plane sunt paralele. $$
Exercitiu 5.5 (plane paralele) Sa se afle distanta dintre planele paralele de ecuatii
si .
Demonstratie: Un vector normal la primul plan este . Un punct pe primul
plan este . Alegem in asa fel incat
sa aiba varful pe al doilea plan adica de unde rezulta ca .
Concluzia este ca distanta dintre plane este exact egala cu
Metoda 2: Se poate alege punctul de pe primul plan si apoi calcula distanta de la
la planul dat de ecuatia ca in exercitiul 3.7.
$$
Exercitiu 5.6 (plan prin trei puncte) Sa se gaseasca ecuatia planului ce contine punctele
, , .
Demonstratie: Fie un punct din plan. Vectorii sunt in acelasi
plan deci produsul lor mixt este 0:
adica .
$$
(141)
Page 2 of 4Seminarul 3
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 99
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 99/215
Exercitiu 5.7 (distanta de la un punct la un plan) Se proiecteaza punctul pe
lanul in punctul Q. Sa se gaseasca vectorul .
Demonstratie:
Ca o consecinta imediata, distanta de la punctul P la plan este data de formula
Un vector normal la plan este , prin
urmare unde este un scalar
pe care urmeaza sa-l aflam. Avem
si cum acest
vector are varful pe plan trebuie ca
Deci
.
Prin urmare
Figura 26: .
Page 3 of 4Seminarul 3
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 100
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 100/215
$$
Inainte: Pozitii relative in spatiu Sus: Planul in spatiu Inapoi: Unghiul a doua plane Cuprins Index
adi 2006-11-05
Page 4 of 4Seminarul 3
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 101
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 101/215
Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative in spatiu Cuprins Index
Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
Vom considera doua plane:
Aceste plane se intersecteaza atunci cand coeficientii lui din ecuatiile planelor nu sunt
proportionali.
Intr-adevar daca tripletul nu este proportional cu tripletul ordonat
atunci cel putin unul din determinantii
este diferit de 0.Sistemul format de ecuatiile (47) este un sistem de doua ecuatii cu trei necunoscute sipresupunand ca
atunci sistemul este compatibil,simplu nedeterminat. Rezolvand sistemul se obtine o dreapta acarei parametri directori sunt:
Cazul a trei plane, de ecuatii
Aceste ecuatii formeaza un sistem de trei ecuatii cu trei necunoscute.
1. Daca
(142)
(143)
(144)
(145)
(146)
Page 1 of 3Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 102
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 102/215
atunci sistemul are solutie unica, deci planele se intersecteaza intr-un punct.
2. Daca , iar unul din determinantii de ordinul doi este nenul, de exemplu
acesta va fi determinantul principal al sistemului. Daca determinantul caracteristic:
atunci sistemul este simplu nedeterminat iar planele trec printr-o dreapta
.
Daca atunci sistemul este incompatibil si cum rezulta ca cele trei plane
se intersecteaza doua cate doua, dupa drepte paralele, deci ele formeaza o prismanelimitata.
3. Daca si toti determinantii de ordin doi sunt nuli, presupunand
determinantul principal este de ordinul intai. daca determinantii caracteristicicorespunzatori sunt nenuli sistemul este incompatibil deci cele trei plane luate doua catedoua nu au puncte comune si planele sunt paralele intre ele.
Daca determinantii caracteristici sunt nuli ecuatiile se reduc la una singura deci planele
sunt confundate.
Definitie 6.1
Multimea tuturor planelor care trec prin dreapta de intersectie a doua plane date numite plane de bazaformeaza un fascicul de plane avand ca axa acea dreapta.
Ecuatia fascicului de plane este:
Page 2 of 3Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 103
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 103/215
Inainte: Intersectia dintre o dreapta Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Pozitii relative inspatiu Cuprins Index
adi 2006-11-05
Page 3 of 3Intersectia a doua plane. Intersectia a trei plane
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 104
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 104/215
Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a doua plane. Cuprins Index
Intersectia dintre o dreapta si un plan
Fie o dreapta de ecuatie
si planul:
Coordonatele punctului de intersectie se obtine rezolvand sistemul format de cele doua ecuatii.
Egaland rapoartele din ecuatia dreptei cu se obtine
Sistemul format din aceste ecuatii si ecuatia planului duce la
de unde
Daca atunci punct. Daca si
atunci ecuatia nu are solutii finite, deci dreapta este paralela
cu planul. Daca si ecuatia (2) are o
infinitate de solutii si deci dreapta este continuta in plan.
Inainte: Alte moduri de determinare Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia a douaplane. Cuprins Index
(150)
(151)
(152)
Page 1 of 2Intersectia dintre o dreapta si un plan
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 105
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 105/215
adi
2006-11-05
Page 2 of 2Intersectia dintre o dreapta si un plan
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 106
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 106/215
Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index
Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan
1. Fie doua drepte concurente .<
Ducand prin punctul de concurenta doi vectori coliniari cu vectorii directori ai celor
doua drepte si , , . Acesti vectori fiind situati pe
dreptele si , sunt continuti in planul determiant de cele doua drepte
concurente. Fie un punct curent in acest plan.Deci vectorii
sunt coplanari:
2. Fie o dreapta
si un punct .
de unde
Dreapta si punctul determina un plan. Ducem
prin vectorul director al dreptei
Vectorii si sunt coplanari adica
sau
Page 1 of 2Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 107
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 107/215
In mod analog se obtine ecuatia planului determinat de doua drepte
Inainte: Seminarul 4 Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Intersectia dintre o dreapta Cuprins Index adi
2006-11-05
(155)
Figura 27: .
(156)
(157)
Page 2 of 2Alte moduri de determinare ale ecuatiei unui plan
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 108
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 108/215
Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index
Seminarul 4
Exercitiu 6.1 (separare) Consideram doua puncte si si planul
. Sa se demonstreze ca daca
atunci cele doua puncte si sunt de aceeasi parte a planului iar daca
atunci cele doua puncte sunt de o parte si de alta a planului .
Demonstratie:
Proiectam punctele respectiv pe planul in
punctele respectiv . Atunci, conform problemei
3.7 avem ca
si
Cele doua puncte vor fi de aceeasi parte a lui atuncicand cei doi vectori au acelasi sens, adica atunci cand
si
au acelasi semn
Page 1 of 4Seminarul 4
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 109
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 109/215
deci atunci cand .
Cele doua puncte vor fi de o parte si de alta a planului atunci cand cei doi vectori au sensuri
diferite, adica atunci cand . $$
Exercitiu 6.2 (separare) Consideram punctul si planele paralele
si Sa se demonstreze ca daca
atunci punctul este intre cele doua plane,
Demonstratie: Utilizam iar rezultatul din problema 3.7 Proiectam punctul pe cele doua plane
in si respectiv . Punctul se va afla intre cele doua plane daca vectorii paraleli
si au sensuri opuse. Conform formulelor de calcul pentru si demonstrate in
3.7 rezulta ca cei doi vectori au sensuri opuse atunci cand
. $$
Exercitiu 6.3 Sa se demonstreze ca dreapta si se afla de o parte si de
alta a planului
Demonstratie: Utilizam metoda din exercitiul 4.1. Avem
, deci planul separa cele doua puncte. $$
Figura 28: .
Page 2 of 4Seminarul 4
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 110
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 110/215
Exercitiu 6.4 Sa se demonstreze ca dreapta de ecuatie parametrica
si planul nu sunt paralele.
Demonstratie: Directia dreptei e data de . Alegem un punct pe plan, de pilda
. Putem scrie atunci ecuatia planului sub forma
din care vedem ca o directie normala la planul este . Daca planul si
dreapta ar fi paralele atunci va trebui ca si sa fie perpendiculare:
. Dar . Prin urmare planul si dreapta nu sunt paralele.
$$
Exercitiu 6.5 Consideram planul Acest plan este 'mutat' in spatiu
dupa directia ca in figura 30 . Sa se gaseasca ecuatia carteziana a noului plan
.
Demonstratie:
Fie in planul . Lui ii va corespunde
un punct pe planul ca in figura 30. Va rezulta ca
varful vectorului de pozitie
este in
planul si in consecinta satisface ecuatia planului
: si deci:
In general, daca un obiect geometric(plan, dreapta,paraboloid, sfera,..) e dat de o ecuatie
, atunci noul obiect geometric obtinut
prin mutarea obiectului pe directia
e dat de ecuatia carteziana
Page 3 of 4Seminarul 4
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 111
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 111/215
$$
Exercitiu 6.6 Consideram o dreapta de ecuatie vectoriala
Inainte: Transformari afine Sus: Pozitii relative in spatiu Inapoi: Alte moduri de determinare Cuprins Index
adi
2006-11-05
Figura 29: .
Page 4 of 4Seminarul 4
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 112
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 112/215
Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index
Transformari afine
Consideram un reper cartezian in planul si un reper cartezian in
spatiu.
Definitie 7.1 Transformarile afine in plan sunt functii date de formula
Transformarile afine in spatiu sunt functii date de formula
sau, in scriere matriceala unde
Definitie 7.2 Pentru transformarea de mai sus se noteaza
daca transformarea e 2-dimensionala si equation mat(T)=[ ] si det(T)=
daca transformarea e 3-dimensionala
sau, in scriere matriceala
(159)
(160)
si det(T)= (161)
Page 1 of 5Transformari afine
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 113
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 113/215
Definitie 7.3 Transformarile afine pentru care se numesc transformari afine
nedegenerate.
Problema 7.1 (Operatii cu transformari afine) Suma, diferenta si inmultirea cu scalari a
transformarilor afine si sunt transformari afine. Avem de asemenea ca:
Demonstratie: Evident. $$
Problema 7.2 (Compunerea transformarilor afine) Se dau doua transformari afine 2- dimensionale
Se poate construi , compunerea ca functii a lui si care e o functie ce transforma
coordonatele carteziene in coordonatele carteziene . Atunci este o
transformare afina data de formula
Mai mult, avem ca
Demonstratie: Evidenta. $$
Observatie 7.1 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru doua transformari afine tridimensionale
Teorema 7.1 Inversa unei transformari afine nedegenerate
e transformarea afina data de formula:
(162)
(164)
(165)
(166)
(167)
(168)
Page 2 of 5Transformari afine
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 114
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 114/215
Mai mult,
Demonstratie: Evidenta. $$
Observatie 7.2 Aceasta teorema se rescrie similar in cazul transformarilor afine tridimensionale. In particular, pentru o transformare afina tridimensionala nedegenerata
Teorema 7.2 Transformarile afine nedegenerate transforma o dreapta in alta dreapta.
Demonstratie: Cazul 2-dimensional.
Fie o dreapta . Fie un punct de pe dreapta . Din teorema
anterioara avem ca
(169)
(170)
(171)
Page 3 of 5Transformari afine
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 115
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 115/215
Page 4 of 5Transformari afine
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 116
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 116/215
Sectiuni
Translatii Omotetii Rotatii Simetrii Seminarul 5
Inainte: Translatii Sus: < Inapoi: Seminarul 4 Cuprins Index adi 2006-11-05
Page 5 of 5Transformari afine
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 117
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 117/215
Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index
Translatii
Sa consideram un vector . Fiecarui punct
din plan ii
asociem punctul ale carui coordonate sunt date de si
. Aceasta se mai poate scrie . Aceasta
transformare care asociaza lui punctul se numeste translatia de vector .
Definitie 7.4 Translatia de vector este
transformare afina data de formula equation T: [ ]= [ ] + [ ]
Observatie 7.3 Matricea unei translatii
Figura 30: .
Page 1 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 118
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 118/215
este matricea
identica:
Page 2 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 119
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 119/215
Observatie 7.4 Atunci cand o translatie de vector este aplicata unui obiect geometric
, obiectul geometric este mutat in plan in directia vectorului pe toata lungimea lui.
Propozitie 7.1 O functie este o translatie daca daca si numai daca pentru oricare doua puncte
si
din plan avem ca .
Demonstratie:
Avem ca pentru orice punct vectorul
este dat de .
Pentru un punct din plan sa notam
. Sa notam componentele lui
Page 3 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 120
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 120/215
Alegem un punct in spatiu si notam . Asa cum se observa din figura 32
translatia muta orice punct din plan in directia vectorului pe toata lungimea lui.
Observatie 7.5 Aplicam translatia de vector dreptei de ecuatie carteziana
Ecuatia translatiei dreptei este: .
cu . Rezulta ca si deci, scriind pe componente
rezulta ca equation T[ ]= [ ] + [
]
$$
Figura 31: .
Teorema 7.3 Fie un obiect geometric in
plan dat de ecuatia carteziana si o
translatie de vector . Transformarea
geometrica a lui prin este obiectul
geometric dat de ecuatia
Demonstratie: Aceasta este o consecinta directa ateoremei (5.8) $$
Figura 32: .
Propozitie 7.2 Aplicam translatia de vector dreptei de ecuatie vectoriala
Ecuatia vectoriala a translatiei dreptei este:
Page 4 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 121
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 121/215
Demonstratie: Evidenta,
Page 5 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 122
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 122/215
Page 6 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 123
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 123/215
$$
Page 7 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 124
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 124/215
Page 8 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 125
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 125/215
Inainte: Omotetii Sus: Transformari afine Inapoi: Transformari afine Cuprins Index
adi
2006-11-05
Figura 33: .
Page 9 of 9Translatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 126
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 126/215
Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index
Omotetii
Sa consideram un scalar . Fiecarui punct
din plan ii asociem punctul ale carui coordonate sunt date de
si . Aceasta se mai poate scrie
. Aceasta
transformare care asociaza lui punctul se numeste omotetia de scalar inraport cu originea .
Definitie 7.5 Omotetiile sunt transformari afine de tipul: equation T: [
]= [ ] [ ] pentru un scalar .
Figura 34: .Observatie 7.6 O omotetie nu modifica formaobiectelor ci numai marimea lor.
Observatie 7.7 Matricea unei omotetii de scalar in raport cu originea este equation [
]
Page 1 of 3Omotetii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 127
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 127/215
Determinantul unei omotetii de scalar este
Observatie 7.8 O omotetie de scalar transforma un segment intr-un
segment paralel cu el si de masura
.
Propozitie 7.3 Fie o omotetie de scalar si un obiect geometric in plan. Atunci
Propozitie 7.4 O omotetie de scalar este aplicata unei drepte . Dreapta
nou-formata va avea ecuatia: .
Figura 35: .
Demonstratie: Sa consideram un scalar si un punct
Page 2 of 3Omotetii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 128
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 128/215
Inainte: Rotatii Sus: Transformari afine Inapoi: Translatii Cuprins Index
adi 2006-11-05
. Fiecarui punct
din plan ii asociem punctul astfel incat . Rezulta ca:
dee unde rezulta ca Aceasta
transformare care asociaza lui punctul se numeste omotetia de scalar
in raport cu . daca notam cu
omotetia de scalar in raport cu originea si
cu translatia de vector atunci
se poate vedea ca aceasta transformare este exact
. $$
Figura 36: .
Page 3 of 3Omotetii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 129
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 129/215
Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index
Rotatii
Sa consideram transformarea prin care punctele din plan sunt rotite radiani in juruloriginii ca in figura 38 astfel incat punctul
este
transformat in .
Vectorul de pozitie formeaza un unghi cu axa si are
lungimea . Rezulta ca
, adica
Vectorul de pozitie formeaza un unghi
cu axa si are lungimea
. Rezulta ca
.
Prin urmare avem ca
Figura 37: .
Page 1 of 4Rotatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 130
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 130/215
De asemenea
Asadar
Definitie 7.6 Rotatia de unghi in jurul originii este data de formula: equationT: [
]=[ ] [ ]
Observatie 7.9 Compunerea a doua rotatii de unghiuri si este o rotatie de unghi
.
Observatie 7.10 Inversa unei rotatii de unghi este o rotatie de unghi
.
Observatie 7.11 Multimea rotatiilor din plan impreuna cu
operatia de compunere a rotatiilor formeaza un grup.
Propozitie 7.5 Rotatiile sunt transformari izometrice, adica pastreaza lungimea segmentelor carora le sunt aplicate.
Demonstratie: Notam cu rotatia de unghi in jurul
originii. Daca
,
sunt doua puncte in plan atunci conform cu (95) avem cadistanta dintre punctele $$
Figura 38: .
Observatie 7.12 Sa consideram un scalar si un punct
. Fiecarui punct
Page 2 of 4Rotatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 131
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 131/215
Schematic, prin aceste transformari coordonatele se transforma dupa cum urmeaza: equation
[ ] &rarr#to; [ ] &rarr#to; [
] [ ]&rarr#to;
equation &rarr#to; [ ] [ ]+ [ ]
din plan ii asociem punctul obtinut prin rotirea lui radiani in jurul lui
. Aceasta transformare se poate obtine printr-o translatie de vector
,urmata de o rotatie in jurul
originii si apoi o translatie de vector
.
Figura 39: .
Page 3 of 4Rotatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 132
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 132/215
ceea ce da in final equation[ ]= [ ]
Propozitie 7.6 Ca o consecinta a propozitiei ( 149 ), rotatiile pastreaza si unghiurile dintre segmentele carora le sunt aplicate.
Observatie 7.13 Determinantul unei rotatii de unghi este :
Propozitie 7.7 Fie o rotatie de unghi si un obiect geometric in plan. Atunci
Inainte: Simetrii Sus: Transformari afine Inapoi: Omotetii Cuprins Index adi 2006-11-05
Page 4 of 4Rotatii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 133
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 133/215
Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index
Simetrii
Fie (D) o dreapta care trece prin origine si face un unghi cu axa . Sa consideramtransformarea prin care punctelor
din plan le
sunt asociate simetricele lor fata de dreapta ca in prima figura din (41). Aplicam o
rotatie de unghi punctelor planului. Transformatul lui respectiv
prin rotatie are coordonatele
equation [ ], respectiv [
]
Figura 40: .
Observam ca transformatele punctelor si au aceleasi coordonate in directia sicoordonate de semn contrar si egale in modul in directia . Egaland, rezulta: equation
sau, in notatie matriceala: equation[
] [
]= [ ] [ ] Utilizam acum
in (101) faptul ca inversa rotatiei de unghi este rotatia de unghi
adica equation[ ]^-1= [ ]
Page 1 of 3Simetrii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 134
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 134/215
equation [ ] [
] [
]= [ ] care e echivalenta cu formula (104)
Definitie 7.7 Simetria fata de dreapta ce trece prin origine si face un unghi cu axa
este transformarea afina data de formula equationT: [ ]=[
] pentru un scalar .
Simetria fata de o dreapta arbitrara (D) Sa presupunem ca dreapta face un unghi cu axa
. Alegem un punct arbitrarpe dreapta. Simetria fata
de se poate calcula ca in (5.16). Se aplica mai intai o translatie de vector
, dupa care se aplica simetria fata de
transformata dreptei , dupa care aplicam translatia de vector
. Se gaseste in final ca simetria fata de
transforma punctul
in punctul
dat de
equation[ ]= [ ]
Page 2 of 3Simetrii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 135
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 135/215
Inainte: Seminarul 5 Sus: Transformari afine Inapoi: Rotatii Cuprins Index adi 2006-11-05
Page 3 of 3Simetrii
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 136
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 136/215
Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii Cuprins Index
Seminarul 5
Exercitiu 7.1 Se considera planul 2x+y-z=3. Sa se gaseasca simetricul punctului
ata de acest plan.
Demonstratie: O directie normala la plan este . Proiectam punctul pe
plan in . Vectorul e un multiplu de si deci exista asa ca Pe de lata
parte din moment ce e proiectia lui trebuie sa avem ca varful vectorului
e pe plan prin urmare de unde
adica . Deci . Rezulta ca simetricul al lui
fata de plan e dat de
de unde
. $$
Exercitiu 7.2 Consideram transformarea afina . Adica
. Sa se afle
Page 1 of 6Seminarul 5
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 137
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 137/215
, .
ceasta transformare se aplica punctelor din plan. Sa se afle in ce punct este transformat punctul
. Sa se afle in ce este transformata dreapta .
Demonstratie: . . .
. contine doua puncte.... $$
Exercitiu 7.3 Consideram transformarea afina . Adica . Stim ca
, si Sa se afle aria triunghiului cu varfuri
.
Page 2 of 6Seminarul 5
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 138
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 138/215
Demonstratie: $$
Exercitiu 7.4 Consideram transformarea afina . Prin aceasta transformare, planul
se transforma in alt plan. Sa se afle ecuatia acestui plan.
Demonstratie: Avem punct pe noul plan, deci , ,
sau
. Le punem
in ecuatie deci
sau
plan paralel cu axa . $$
Exercitiu 7.5 Consideram transformarea afina .
Prin aceasta transformare, dreapta se transforma in alta dreapta. Sa se
afle ecuatia acestei drepte.
Demonstratie: Fie din . deci
rezolvam sistemul
. Dar deci
de unde rezulta ca $$
Exercitiu 7.6 Gasiti o transformare afina care sa transforme dreapta in
dreapta .
Page 3 of 6Seminarul 5
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 139
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 139/215
Demonstratie: Sunt multe astfel de transformari. Noi o vom alege pe aceea care invariaza
originea si duce (1,0) in (1,0) si (0,1) in (0,-1). Deci .
deci . In acelasi mod . Deci
transformarea este< $$
Exercitiu 7.7 Dreapta e translatata in directia
. Sa se afle ecuatia dreptei nou-formate.
Demonstratie: s(t)=r(t)+v $$
Exercitiu 7.8 Planul e translatat in directia
. Sa se afle ecuatia planului nou-format.
Demonstratie: Prin translatie deci Inlocuind in ecuatie
rezulta ca echivalent cu $$
Exercitiu 7.9 Omotetia de scalar e aplicata dreptei . Sa se afle ecuatia
dreptei nou-formate.
Demonstratie: Prin omotetie de unde Inlocuind in ecuatie
rezulta sau $$
Exercitiu 7.10 Aplicam o rotatie de unghi punctului
. Sa se afle noul punct.
Demonstratie: equation[ ]= [ ] [ ] Inlocuind rezulta ca
equation[ ]= [ ] [ ] $$
Exercitiu 7.11 Este
Page 4 of 6Seminarul 5
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 140
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 140/215
Demonstratie: Da. $$
Exercitiu 7.12 Planul este inclinat ca
igura, dupa care e translatat o unitate in lungul axei . In acest plan punctul e rotit
. Sa se gaseasca coordonatele noului punct.
Exercitiu 7.13 Sa se gaseasca simetricul punctului fata de dreapta
.
Demonstratie: O directie perpendiculara pe dreapta este
. Putem apoi cauta asa ca
sa aiba varful pe dreapta adica
. De aici rezulta ca . Va rezulta ca
simetricul este $$
Exercitiu 7.14 Sa se arate ca pentru oricare doi vectori si
avem ca aria triunghiului de laturi si varf este egala cu modulul
determinantului
Demonstratie: Putem aplica reprezentarea polara a celor doi vectori si deduce rezultatul
imediat. Alternativ, putem plica o rotatie in asa fel incat primul vector se suprapune axei .O rotatie nu schimba aria din moment ce nu schimba unghiul dintre vectori si lungimile lor.
De asemenea, o rotatie nu modifica determinatul pentru ca in urma rotatiei de unghideterminantul devine
(173)
(174)
Page 5 of 6Seminarul 5
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 141
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 141/215
Inainte: Aplicatii ale transformarilor geometrice Sus: Transformari afine Inapoi: Simetrii
Cuprins Index adi 2006-11-05
(175)
Page 6 of 6Seminarul 5
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 142
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 142/215
Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index
Organizarea fisierelor brute de imagini
Fisiere brute de imagini (raw image files) sunt fisiere organizate pe octeti; excluzand headeruldin fisier care indica numarul de pixeli ai imaginii, fiecare octet din fisier corespunde unuipixel din imaginea pe care o vedem.
Un exemplu de fisiere brute de imagini sunt fisierele cu extensii .pgm (Portable Grayscale).Avantajele utilizarii fisiereleor brute sunt ca datorita corespondentei bijective octet din fisier-pixel din imagine ele sunt foarte usor de modificat.
Dezavantajele sunt ca in cazul imaginilor relativ simple fisierele brute ocupa in mod inutilcantitati mari de memorie.
Fisierele optimizate de imagine cu extensii .jpg, .gif, .png sunt fisiere organizate pe biti( fisierebinare) si contin atat date cat si instructiuni.
Ele sunt mai mici dar modificarea lor nu este atat de simpla ca in cazul fisierelor brute.
Sa consideram fisierul imagine input.pgm de pixeli. El contine litera
ca in imaginea alaturata:
Page 1 of 2Organizarea fisierelor brute de imagini
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 143
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 143/215
Daca fisierul input.pgm va fi deschis cu un editor de text (de exemplu emacs) editorul va afisa:
Indicatorul arata ca este vorba de un fisier brut, indica faptul ca avem o
imagine de 22 pe 22 de pixeli iar ultimul numar indica cifra maxima ce poate fi continuta infiecare octet din fisier. Numarul 255 corespunde culorii albe iar 0 culorii negre. Editorul detext citeste fiecare numar din fiecare octet si afiseaza caracterul al carui cod ASCII este egal cuacel numar. Nu suntem interesati deci in caracterele pe care le afiseaza editorul ci numai incodurile lor ASCII pentru ca ele decid culoarea pixelilor ce corespund caracterelor respective.
Inainte: Translatii, Rotatii, Dilatari in Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi:Aplicatii ale transformarilor geometrice Cuprins Index
adi 2006-11-05
Page 2 of 2Organizarea fisierelor brute de imagini
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 144
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 144/215
Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brutede Cuprins Index
Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
Cu un simplu cod C putem trece peste headerul din fisierul input.pgm si apoi copia toate
numerele din octetii fisierului input.pgm intr-o matrice de dimensiune
. Va insemna de pilda ca adica primul pixel din
imagine, cel din stanga sus este alb.
In general, daca inseamna ca pixelul de pe linia si
coloana din imagine este alb. Daca atunci pixelul este negru.
Putem apoi crea un alt fisier output.pgm. Copiem headerul din input.pgm in output.pgm si
fixam dimensiunea la de pixeli. Cu alte cuvinte scriem in fisierul
output.pgm urmatorul text:
Alocam memorie unei matrici de dimensiune
si apoi fixam pentru fiecare .
Intr-o bucla C peste valorile intre 0 si
fixam apoi pentru
Page 1 of 3Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 145
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 145/215
Page 2 of 3Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 146
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 146/215
Inainte: Conice Sus: Aplicatii ale transformarilor geometrice Inapoi: Organizarea fisierelor brutede Cuprins Index adi
2006-11-05
Page 3 of 3Translatii, Rotatii, Dilatari in fisiere de imagini
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 147
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 147/215
Inainte: Reducerea la forma canonica Sus: < Inapoi: Translatii, Rotatii, Dilatari in Cuprins Index
Conice
Definitie 9.1 Pentru numerele date cu
Page 1 of 3Conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 148
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 148/215
Page 2 of 3Conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 149
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 149/215
multimea tuturor punctelor ce satisfac
se numeste conica.
Observatie 9.1 Relatia (162) se mai poate scrie matricial
unde
Exemplu 9.1
Oricare alta conica din plan se poate transforma printr-o rotatie urmata de o translatie intr-una din conicele de mai sus.
Sectiuni
Reducerea la forma canonica a unei conice Intersectia dintre o conica si o dreapta Elipsa Hiperbola Parabola Seminarul 6
adi2006-11-05
(177)
(178)
(179)
(180)
Page 3 of 3Conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 150
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 150/215
Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index
Reducerea la forma canonica a unei conice
Deoarece matricea
este simetrica ea va avea doua valori proprii reale (care pot fi egale)
carora le corespund doi vectori proprii ,
pe care noi ii putem alege asa ca ei sa formeze o baza ortonormala. Avem deci ca
sunt radacinile ecuatiei de gradul doi:
in timp ce cei doi vectori satisfac ecuatiile
si sunt alesi in asa fel incat sa fie unitari si
In cazul in care valortile proprii sunt distincte cei doi vectori sunt automat ortogonali. dacaavem o valoare proprie dubla atunci alegem cei doi vectori in asa fel incat sa fie ortogonali si(127) sa fie adevarata.
Sa consideram matricea
Rezulta atunci ca matricea se diagonalizeaza in forma
Consideram acum transformarea afina prin care fiecarui punct
(181)
(182)
(183)
(184)
(185)
Page 1 of 5Reducerea la forma canonica a unei conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 151
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 151/215
i se asociaza punctul
dat prin relatia
Aceasta este o rotatie in jurul originii de unghi . folosind relatia de
mai sus si (128) in ecuatia (121) rezulta ca
adica
(186)
(187)
Page 2 of 5Reducerea la forma canonica a unei conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 152
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 152/215
ceea ce conduce la ecuatia pentru
pentru numerele . Completam acum patratele si
gasim ca
Translatia , duce la forma canonica
Sa observam ca pasul de completare a patratelor ce duce la formula (133) nu se poate efectuadaca una din valorile proprii este 0 si in acest caz conica e de tip parabolic. Apoi, observam cadaca cele doua valori proprii au acelasi semn conica este de tip eliptic iar daca semnelevalorilor proprii sunt diferite conica este de tip hiperbolic.
Din moment ce
putem colecta informatiile de mai sus in urmatoarea concluzie:
Exemplu 9.2 Sa se aduca conica
la forma canonica.
Demonstratie: Matricea a formei patratice din demonstratia anterioara este
Ecuatia caracteristica pentru valorile proprii este
(188)
(189)
(190)
(191)
(192)
(193)
(194)
(195)
Page 3 of 5Reducerea la forma canonica a unei conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 153
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 153/215
ceea ce implica . Lui ii corespunde un vector propriu iar lui
ii corespunde . Normalizandu-i obtinem
si
Deoarece
alegem
Va rezulta ca rotatia din exercitiul anterior este
adica
Inlocuind in ecuatia initiala se obtine
Prin completarea patratelor se ajunge la
Facem acum translatia
de unde obtinem ecuatia redusa a conicei
(196)
(197)
(198)
(199)
(200)
(201)
Page 4 of 5Reducerea la forma canonica a unei conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 154
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 154/215
in raport cu sistemul de referinta canonic definite de versorii si punctul
$$
Inainte: Intersectia dintre o conica Sus: Conice Inapoi: Conice Cuprins Index adi2006-11-05
(202)
Page 5 of 5Reducerea la forma canonica a unei conice
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 155
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 155/215
Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index
Intersectia dintre o conica si o dreapta
Consideram o dreapta (D) de ecuatii parametrice
si o conica de ecuatie carteziana
Intersectia corespunde radacinilor ale ecuatiei polinomiale in :
Dupa gruparea termenilor ce contin se obtine:
Notam si observam ca ecuatia (147) se poate scrie in
forma
Asadar punctele de intersectie dintre dreapta si conica sunt decise de radacinile ecuatiei de maisus.
Discutie:
1. Ecuatia (148) este de gradul doi daca . Daca
(203)
(204)
(205)
Page 1 of 3Intersectia dintre o conica si o dreapta
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 156
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 156/215
atunci ecuatia are doua radacini reale si distincte deci dreapta intersecteaza conica in doua
puncte distincte. Daca atunci exista un singur punct de intersectie siconcluzionam ca dreapta este tangenta la conica. Observam ca in acest caz daca
este punctul de intersectie avem din ecuatia (149) ca
, deci directia dreptei tangente este perpendiculara pe vectorul
si deci ecuatia dreptei tangente este
. Dreapta care trece prin si este perpendiculara pe dreapta tangenta se numeste
dreapta normala la conica in punctul . Directia ei este deci
ecuatia dreptei normale este
Daca atunci ecuatia de gradul doi (148) nu are solutii reale deci dreapta nu intersecteaza
conica.
2. Cand ecuatia (148) este de gradul intai.
Ea are solutia
daca deci contine un singur punct.
Daca si ecuatia (148) nu are solutie deci nu exista
un punct de intersectie.
Daca insa si ecuatia este identic satisfacuta si
Page 2 of 3Intersectia dintre o conica si o dreapta
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 157
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 157/215
Inainte: Elipsa Sus: Conice Inapoi: Reducerea la forma canonica Cuprins Index adi
2006-11-05
Page 3 of 3Intersectia dintre o conica si o dreapta
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 158
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 158/215
Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index
Elipsa
Consideram o elipsa de ecuatie . Am vazut in sectiunea anterioara ca exista un reper
in raport cu care elipsa are ecuatia
Reperul se numeste reperul canonic iar ecuatia (150) se numeste ecuatia redusa a
elipsei fata de reperul canonic. Sa presupunem ca . In cele ce urmeaza vom renota
reperul canonic cu . Punctele , se numesc focarele elipsei iar distanta
semi-distanta focala a elipsei. Intersectiile curbei cu axele , se numesc varfurile ei:
, ,
(207)
Page 1 of 4Elipsa
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 159
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 159/215
.
Teorema 9.1 Elipsa descrisa mai sus este locul geometric al punctelor
din plan
Page 2 of 4Elipsa
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 160
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 160/215
pentru care .
Demonstratie: Sa consideram un punct
pe elipsa.
vom avea atunci ca
Pe de alta parte, din ecuatia canonica a elipsei avem ca . Inlocuind rezulta ca
$$
Teorema 9.2 Aria elipsei de ecuatie
este egala cu .
(208)
Page 3 of 4Elipsa
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 161
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 161/215
Demonstratie: Consideram transformarea afina
sau
Se observa ca elipsa se transforma prin aceasta transformare in cercul unitate centrat inorigine
Rezulta atunci din teorema (?) din sectiunea anterioara ca aria se transforma dupa formula:
aria cerc
De aici rezulta
$$
Inainte: Hiperbola Sus: Conice Inapoi: Intersectia dintre o conica Cuprins Index adi2006-11-05
Page 4 of 4Elipsa
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 162
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 162/215
Inainte: Parabola Sus: Conice Inapoi: Elipsa Cuprins Index
Hiperbola
Ecuatia redusa a hiperbolei in raport cu reperul canonic este
Focarele hiperbolei sunt punctele
(209)
Page 1 of 6Hiperbola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 163
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 163/215
,
Page 2 of 6Hiperbola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 164
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 164/215
Page 3 of 6Hiperbola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 165
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 165/215
Teorema 9.3 Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
Page 4 of 6Hiperbola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 166
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 166/215
Page 5 of 6Hiperbola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 167
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 167/215
Demonstratie:
$$
adi
2006-11-05
Page 6 of 6Hiperbola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 168
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 168/215
Inainte: Seminarul 6 Sus: Conice Inapoi: Hiperbola Cuprins Index
Parabola
Ecuatia redusa a parabolei in raport cu reperul canonic este
Focarul parabolei este
(210)
Page 1 of 2Parabola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 169
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 169/215
Teorema 9.4 Parabola este locul geometric al punctelor din plan pentru care
unde este proiectia lui pe axa .
Demonstratie: $$
adi 2006-11-05
Page 2 of 2Parabola
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 170
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 170/215
Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index
Seminarul 6
Exercitiu 9.1 Consideram conica de ecuatie equationg(x,y)=13x^2-48xy+27y^2-50x-76=0
1. Sa se determine tipul conicei.2. Sa se determine forma redusa a acestei conice.3. Sa se determine axele (sau axa) de simetrie ale acestei conice.4. Sa se determine focarele acestei conice.
Demonstratie: Se procedeaza exact ca in exemplul ( ) din acest capitol referitor la reducereaunei conice la forma canonica. Mai intai incercam sa anulam termenul din expresia conicei
prin utilizarea unei rotatii. Fie
Valorile proprii ale lui satisfac ecuatia
de unde rezulta ca .
Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valoriproprii sunt nenule si de semn contrar conica este de tip hiperbolic.
Determinam acum vectori proprii
(211)
(212)
Page 1 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 171
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 171/215
corespunzatori lui
si respectiv . Pentru trebuie ca
Alegem rezulta Dupa normalizare avem ca .
In mod similar gasim ca .
(213)
Page 2 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 172
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 172/215
Se poate vedea ca
Facem acum schimbarea de variabile equation( )= ( ) ( ) sau (
)= ( ) ( )
Mai putem scrie:
equation
Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica
(214)
Page 3 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 173
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 173/215
Page 4 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 174
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 174/215
devine
Page 5 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 175
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 175/215
Page 6 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 176
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 176/215
Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)
.
Dupa completarea patratelor rezulta ca
sau
Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'+4 de unde rezulta ca
Page 7 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 177
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 177/215
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca
atunci
si deci din ecuatiile (168)
, Si deci originea sistemului canonic este la .
Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.
este echivalent cu de unde .
Aceasta este axa . Axa are ecuatia de unde
ceea ce ne da .
Page 8 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 178
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 178/215
Pentru determinarea focarelor folosin aceasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in
reperul canonic focarele sunt date de
Page 9 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 179
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 179/215
si
Page 10 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 180
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 180/215
Page 11 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 181
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 181/215
Page 182
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 182/215
de unde rezulta ca .
Suntem acum in masura sa raspundem la prima intrebare. Din moment ce cele doua valoriproprii sunt nenule si au acelasi semn conica este de tip eliptic.
Determinam acum vectori proprii
corespunzatori lui
si respectiv . Pentru trebuie ca
Alegem rezulta Dupa normalizare avem ca
.
In mod similar gasim ca .
Se poate vedea ca
(216)
(217)
(218)
Page 13 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 183
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 183/215
Facem acum schimbarea de variabile equation( )= ( ) (
) sau ( )= ( ) ( )
Mai putem scrie:
equation
Din teoria expusa in acest capitol rezulta ca forma patratica devine
Putem scrie expresia intreaga prin utilizarea formulei (168)
.
Dupa completarea patratelor rezulta ca
sau
Facem acum schimbarea de variabile equationx''=x'-1/3,y''=y'-1 de unde rezulta ca
Aceasta este ecuatia redusa a conicei. Sa determinam acum reperul canonic. Avem ca daca
atunci
Page 14 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 184
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 184/215
si deci din ecuatiile (168)
, Si deci originea sistemului canonic
este la . Sa determinam axele de simetrie ale hiperbolei.
este echivalent cu de unde .
Aceasta este axa . Axa are ecuatia de unde
ceea ce ne da .
Pentru determinarea focarelor folosim aceeasi metoda de schimbare de variabile. Stim ca in
reperul canonic focarele sunt date de si . Va rezulta atunci
si in reperul . pentru determinarea
coordonatelor in reperul putem folosi formulele (168) si(169).
$$
Inainte: Curbe in 2 si Sus: Conice Inapoi: Parabola Cuprins Index adi 2006-11-05
Page 15 of 15Seminarul 6
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 185
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 185/215
Inainte: Ecuatia unei curbe in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Curbe in 2 si Cuprins Index
Ecuatia carteziana a unei curbe
Curbele in 2d sunt colectii de puncte ce satisfac ecuatii carteziene de tipul
unde este o functie de doua variabile. In 3d curbele sunt
colectii de puncte ce satisfac ecuatii carteziene de tipul unde sunt
functii de trei variabile.
Exemplu 10.1 Dreapta si conicele sunt exemple de curbe.
Exemplu 10.2 Curba cardioida este data de ecuatia carteziana
Exemplu 10.3 Trifoiul este dat de ecuatia cartezianaequation (x^2+y^2)^2=ax(x^2-3y^2)
Figura 41: Trifoiul.
adi 2006-11-05
(219)
Page 1 of 1Ecuatia carteziana a unei curbe
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 186
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 186/215
Inainte: Ecuatia parametrica a unei Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia carteziana a unei Cuprins Index
Ecuatia unei curbe in coordonate polare
Uneori prin utilizarea coordonatelor polare in locul celor carteziene, ecuatia poate fi
simplificata. Coordonatele carteziene sunt inlocite de coordonatele
polare utilizand formulele ,
.
In coordonate polare ecuatia cercului unitate centrat in origine este .
Exemplu 10.4 Curba cardioida este data de ecuatia in coordonate polare
Exemplu 10.5 Trifoiul este dat de ecuatia in coordonate polare
adi 2006-11-05
Page 1 of 1Ecuatia unei curbe in coordonate polare
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 187
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 187/215
Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index
Ecuatia parametrica a unei curbe
Ecuatiile parametrice ale unei curbe de ecuatie carteziana se
obtin prin exprimarea coordonatelor in functie de un parametru
in asa fel incat expresiile sa satisfaca ecuatia .
Exemplu 10.6 De pilda cercul de raza centrat in
origine si de ecuatie carteziana se poate parametriza in forma urmatoare:
equation x(t)=r sin(t), y(t)=r cos(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;)
deoarece satisfac
equation x(t)^2+y(t)^2=r^2(sin(t)^2+cos(t)^2)=r^2.
Se observa ca deasemenea
equation x(t)=r cos(t), y(t)=r sin(t), t &isin#in;[0,2&pi#pi;)
este o parametrizare valida a cercului, in ambele cazuri multimea este cercul de
raza centrat in origine. In primul caz in timp ce
arametrul parcurge intervalul punctul corespunzator
parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic incepand din punctul
. In al doilea caz in timp ce parametrul parcurge intervalul
unctul corespunzator parcurge cercul in sens contrar acelor de ceasornic
incepand din punctul .
Page 1 of 2Ecuatia parametrica a unei curbe
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 188
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 188/215
Exemplu 10.7 Ecuatia parametrica a elipsei
Elipsa de ecuatie carteziana se poate parametriza dupa cum urmeaza equation x(t)= a cos
(t), y(t)= b sin(t), t&isin#in;[0,2&pi#pi;)
Exemplu 10.8 Ecuatia parametrica a cardioidei:
equation x(t)= 2a(1-t^2)/(1+t^2)^2 , y(t)= 4at/(1+t^2)^2
Sectiuni
Vectori tangenti la curbe
Inainte: Vectori tangenti la curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Ecuatia unei curbe in Cuprins Index
adi 2006-11-05
Page 2 of 2Ecuatia parametrica a unei curbe
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 189
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 189/215
Inainte: Cum apar curbele in Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Vectori tangenti la curbe Cuprins Index
Intersectii de curbe
In rare cazuri (intersectia a doua drepte sau a unei conice cu o dreapta sunt doua exemple)intersectia a doua curbe poate fi calculata cu o metoda generala. De cele mai multe ori serecurge la o metoda adaptata problemei respective.
Exemplu 10.10 Sa se calculeze intersectia cercurilor equation x^2+y^2=1, (x-1)^2+y^2=1
Daca se afla pe ambele cercuri
atunci el va satisface sistemul equation Se scade prima ecuatie din a doua si se obtine
de unde rezulta . Se poate deasemenea utiliza parametrizarea celor doua cercuri
equation
ce duce la un sistem trigonometric.
si deci equation
Daca rezulta ca de unde si . Daca
rezulta ca de unde si .
adi
2006-11-05
Page 1 of 1Intersectii de curbe
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 190
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 190/215
Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index
Cum apar curbele in practica?
Curbele pot aparea in practica de pilda ca traiectorii ale unor obiecte sau particule in miscaresub actiunea anumitor forte sau ca intersectii de suprafete.
Sa consideram miscarea unui obiect aruncat sub un unghi cu axa orizontala cu o viteza
initiala . Ignoram efectul frecarii cu aerul.
Sa notam cu pozitia obiectului la momentul . Deci reprezinta
inaltimea la care se afla obiectul la momentul iar reprezinta distanta parcursa de
obiect pe directia orizontala. Din legile mecanicii avem ca . Pe de o parte ,
pe de alta parte . Obtinem de aici ca
de unde rezulta ca .
Utilizand proprietatile primitivelor obtinem ca
si .
Deoarece initial obtinem ca . Pe de alta
parte viteza initiala (ca vector) este
ceea ce inseamna ca si . Rezulta de aici ca
si .
Exemplu 10.11 O piatra este aruncata la un unghi de cu viteza initiala
aprox. de la nivelul solului. Sa se afle distanta pana la locul unde piatra loveste pamantul.
Page 1 of 3Cum apar curbele in practica?
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 191
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 191/215
Din teoria expusa anterior avem ca si . In locul unde piatra loveste
pamantul avem ca deci . Pentru a afla distanta pana la
locul unde punem in formula .
Exemplu 10.12 Pozitia unei particule ce se misca in linie dreapta este data de ecuatia
. Sa se afle distanta parcursa de particula dupa doua secunde.
In intervalulde timp particula se misca inspre stanga pana in punctul .
Dupa aceea se misca numai inspre dreapta. La momentul 2 ea va fi in pozitia deci distantatotala este 2.5.
Exemplu 10.13 Sa se parametrizeze cercul unitate centrat in origine in asa fel incat cercul sa fie
arcurs incepand din punctul si in sensul acelor de ceasornic.
Page 2 of 3Cum apar curbele in practica?
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 192
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 192/215
Parametrizarea , parcurge cercul incepand din si in sens
contrar acelor de ceasornic. Pentru a muta punctul de pornire adunam la . Pentru
a schimba sensul de parcurgere inlocuim t cu .
,
Inainte: Lungimea unei curbe Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Intersectii de curbe Cuprins Index adi 2006-11-05
Page 3 of 3Cum apar curbele in practica?
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 193
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 193/215
Inainte: Cuadrice si corpuri de Sus: Curbe in 2 si Inapoi: Cum apar curbele in Cuprins Index
Lungimea unei curbe
Pentru a calcula lungimea unei curbe diferentiabile
cu derivata continua se imparte intervalul pe care se parametrizeaza
curba in subintervale de lungime egala ca in figura de mai jos, deci lungimea
fiecarui subinterval va fi . Construim deasemenea numerele ca in figura.
Se observa ca si . Acestor numere le vor corespunde puncte
pe curba date de formula .
Page 1 of 3Lungimea unei curbe
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 194
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 194/215
Page 2 of 3Lungimea unei curbe
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 195
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 195/215
Construim segmente ce unesc punctele consecutive si , si aproximam
lungimea curbei cu suma lungimilor acestor segmente:
adi
2006-11-05
(220)
Page 3 of 3Lungimea unei curbe
1/22/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 196
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 196/215
Inainte: Volumul corpurilor de rotatie Sus: < Inapoi: Lungimea unei curbe Cuprins Index
Cuadrice si corpuri de rotatie
Un corp de rotatie se obtine prin rotirea unei curbe in jurul unei drepte.
De pilda, sfera unitate centrata in origine este corpul de rotatie obtinut prin rotirea graficuluifunctiei
Page 1 of 6Cuadrice si corpuri de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 197
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 197/215
Page 2 of 6Cuadrice si corpuri de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 198
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 198/215
in jurul axei . Torul se obtine prin rotirea cercului de raza
Page 3 of 6Cuadrice si corpuri de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 199
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 199/215
Page 4 of 6Cuadrice si corpuri de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 200
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 200/215
centrat in cu
in jurul axei .
Figura 42: Torul .
Prin rotirea unei elipse in jurul unei din axele ei de simetrie se va obtine un elipsoid.
Page 5 of 6Cuadrice si corpuri de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 201
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 201/215
Figura 43: Elipsoidul .
Sectiuni
Volumul corpurilor de rotatie
Cuadrice
adi
2006-11-05
Page 6 of 6Cuadrice si corpuri de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 202
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 202/215
Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index
Volumul corpurilor de rotatie
Sa studiem cazul corpurilor de rotatie obtinute prin rotirea graficului unei functii in
urul axei .
Se imparte intervalul in subintervale de lungime egala ca in figura de mai
os, deci lungimea fiecarui subinterval va fi .
Construim deasemenea numerele ca in figura.
Figura 44: Corp obtinut prin rotatie in jurul lui Ox .
Va rezulta ca volumul total al corpului de rotatie este egal cu suma volumelor
ale partilor din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin si ca in
figura.
Page 1 of 3Volumul corpurilor de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 203
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 203/215
.
Pe de alta parte, deoarece pentru n foarte mare va fi foarte aproape de putem
spune ca partea din corpul de rotatie aflate intre planele verticale prin si este
aproape un cilindru si in consecinta avem ca
Prin insumare rezulta ca
Trecand la limita dupa rezulta ca
.
Suma Riemann din dreapta converge la
si deci
Page 2 of 3Volumul corpurilor de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 204
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 204/215
Inainte: Cuadrice Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Cuadrice si corpuri de Cuprins Index adi
2006-11-05
(221)
Page 3 of 3Volumul corpurilor de rotatie
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 205
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 205/215
Inainte: Index Sus: Cuadrice si corpuri de Inapoi: Volumul corpurilor de rotatie Cuprins Index
Cuadrice
Cuadricele sunt colectii de puncte de coordonate ce satisfac o ecuatie carteziana de
tipul
equationa_11x^2+a_22y^2+a_33z^2+2a_12xy+2a_13xz+2a_23yz+2a_10x+2a_20y+2a_30z+a_0
Exemplu 11.1 Exemple de cuadrice:
Elipsoidul: equation x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 Un exemplu este prezentat in figura de maisus. Elipsoidul este un corp de rotatie.
Hiperboloidul cu o panza: equationx^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=1 Hiperboloidul cu opanza este corp de rotatie.
Figura 45: Hiperboloidul cu o panza .
Hiperboloidul cu doua panze: equationx^2/a^2+y^2/b^2-z^2/c^2=-1 Hiperboloidul cudoua panze este corp de rotatie.
Figura 46: Hiperboloidul cu doua panze .
Paraboloidul eliptic: equationx^2/a^2+y^2/b^2=2pz Paraboloidul eliptic este
corp de rotatie.
Page 1 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 206
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 206/215
Figura 47: Paraboloidul eliptic .
Paraboloidul hiperbolic: equation x^2/a^2-y^2/b^2=2pz Paraboloidul hiperbolic nu estecorp de rotatie.
Page 2 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 207
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 207/215
Page 3 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 208
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 208/215
Exemplu 11.2 (Alte cuadrice)
Figura 48: Paraboloidul hiperbolic .
(222)
Page 4 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 209
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 209/215
Page 5 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 210
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 210/215
Aducerea unei cuadrice generale la forma canonica.Cuadricele expuse mai sus sunt in forma canonica in sensul ca nu apar termeni de tipul
si deasemenea, in cazul in care termeni de tipul
sunt prezenti, termenii corespunzatori nu
mai apar. Din punct de vedere geometric, atunci cand o cuadrica e in forma canonica, axele
(sau axa) de simetrie (daca exista) sunt unele din axele reale . De pilda
Page 6 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 211
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 211/215
paraboloidul eliptic in forma canonica are ca axa de
simetrie axa .
In cele ce urmeaza vom incerca sa aducem la forma canonica o cuadrica de ecuatie generaladata de (198).
Teoria este aceeasi ca si in cazul conicelor, cuadricei i se aplica mai intai o rotatie (in spatiu)care sa puna cuadrica in forma canonica in raport cu o translatie a reperului nostru. Rotatiaeste apoi urmata de o translatie.
Pentru aflarea rotatiei se calculeaza valorile proprii
ale matricii a formei patratice asociate cu ecuatia (198).
Page 7 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 212
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 212/215
equation A=[ ]
Valorile proprii sunt solutiile ale ecuatiei
equation | |=0
Apoi la fel ca in cazul conicelor se calculeaza o baza ortonormala orientata pozitiv formata din
vectori proprii pentru valorile proprii .
Prin urmare ei trebuie sa satisfaca ecuatiile
Page 8 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 213
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 213/215
, sa fie liniar independenti, unitari, iar .
Deoarece matricea formei patratice este simetrica astfel de vectori proprii exista. Cu acestivectori proprii se construieste matricea
Page 9 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 214
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 214/215
Page 10 of 11Cuadrice
1/23/2007https://89.136.204.66/courses/1/math1geom/content/_18291_1/dir_notite2.zip/notite2/n...
Page 215
8/14/2019 Geometrie Analitica Lectii Bb2
http://slidepdf.com/reader/full/geometrie-analitica-lectii-bb2 215/215
care are pe coloane vectorii
Notatia de mai sus are urmatoarea semnificatie: daca notam atunci
Page 11 of 11Cuadrice