Geometrie afin ˘ a Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea E-mail: cpintea math.ubbcluj.ro Cuprins 1 S˘ apt˘ amˆ ana 1 Structura afin˘ a a unui spat ¸iu vectorial 1 1.1 Variet˘ at ¸i liniare .................................... 1 1.2 Spat ¸iul director s ¸i dimensiunea unei variet˘ at ¸i liniare ............... 1 1.3 Intersect ¸ia unei familii de variet ˘ at ¸i liniare ..................... 2 Apendix. Relat ¸ii de recurent ¸˘ a liniare .......................... 2 1.4 Probleme ........................................ 6 2 S˘ apt˘ amˆ ana 2 11 2.1 ˆ Invelitori s ¸i combinat ¸ii afine ............................. 11 2.2 Dreptele unui spat ¸iu afin ............................... 12 2.3 Probleme ........................................ 14 3 S˘ apt˘ amˆ ana 3 16 3.1 Teorema dimensiunii. Paralelism .......................... 16 3.2 Probleme ........................................ 18 4 S˘ apt˘ amˆ ana 4: Propriet˘ at ¸i laticeale. Mult ¸imi convexe 22 4.1 Propriet˘ at ¸i laticeale ale structurii afine. ...................... 22 4.2 Structura afin˘ a a spat ¸iului vectorial K n ....................... 22 4.3 Submult ¸imile convexe ale unui spat ¸iu vectorial real ............... 23 4.3.1 Teorema lui Carath´ eodory .......................... 24 4.4 Probleme ........................................ 24 5 S˘ apt˘ amˆ ana 5 Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman ¸ si Motzkin 27 5.1 Teorema lui Radon .................................. 27 5.2 Teorema lui Helly ................................... 27 5.3 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman s ¸i Motzkin ............... 28 5.4 Probleme ........................................ 28 6 S˘ apt˘ amˆ ana 6: Spat ¸iul afin 31 6.1 Definit ¸ie s ¸i exemple .................................. 31 6.2 Subspat ¸ii afine ..................................... 32 6.3 Combinat ¸ii afine ˆ ın spat ¸ii afine ........................... 32 6.4 Repere afine s ¸i repere carteziene .......................... 33 1
73
Embed
Geometrie afina˘ - Babeș-Bolyai Universitymath.ubbcluj.ro/~cpintea/data/uploads/ga-redus-nc...Fie V un spat¸iu vectorial cu scalari ˆıntr-un corp K. Definit¸ia 1.1. O varietate
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Departmentul de Mathematica,Universitatea “Babes-Bolyai”400084 M. Kogalniceanu 1,Cluj-Napoca, Romania
2
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
1 Saptamana 1Structura afina a unui spatiu vectorial
1.1 Varietati liniare
Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K.
Definitia 1.1. O varietate liniara ın V este o submultime a lui V de forma
a + U := {a + u|u ∈ U},
unde a ∈ V si U este un subspatiu vectorial al lui V, sau multimea vida. Multimea A(V) avarietatilor liniare ale lui V ordonata de incluziune se numeste structura afina a lui V.
Propozitia 1.1. Daca A = a + U ∈ A(V) si b ∈ A, atunci A = b + U.
Corolarul 1.2. O varietate liniara A este subspatiu vectorial daca si numai daca 0 ∈ A.
1.2 Spatiul director si dimensiunea unei varietati liniare
Propozitia 1.3. Daca a + U = a′ + U′ ∈ A(V), atunci U = U′.
Asadar, ın reprezentarea unei varietati liniare nevide A sub forma a +U, subspatiul vec-torial U este unic determinat de A. Acesta va fi notat cu D(A) si se va numi (sub)spatiul(vectorial) director al varietatii liniare A.
Definitia 1.2. Spunem ca varietatile liniare A, B ∈ A(V) sunt paralele, si scriem A‖B, dacaD(A) ⊆ D(B) sau D(B) ⊆ D(A).
Definitia 1.3. Definim dimensiunea unei varietati liniare A astfel:
dim(A) :={
dim(D(A)) daca A 6= ∅−1 daca A = ∅.
Definitia 1.4. I Daca dim(A) = 1, 2 sau p, atunci A se numeste dreapta, plan sau p-plan.
I Daca dim(A) = 0, atunci A este formata dintr-un singur element numit punct.
I Daca 0 ∈ A, atunci A se numeste dreapta vectoriala, plan vectorial sau p-plan vectorial.
I Daca D(A) este un hiperplan vectorial, atunci A = a + D(A) se numeste hiperplan.
I Daca V este un spatiu vectorial n-dimensional, atunci orice hiperplan al lui V are di-mensiunea n− 1.
Propozitia 1.4. Fie V, W doua spatii vectoriale peste corpul K si f : V −→ W o aplicatie liniara.Daca B este o varietate liniara a lui W, adica B ∈ A(W), atunci f−1(B) := {a ∈ V| f (a) ∈ B} esteo varietate liniara a lui V, adica f−1(B) ∈ A(V).
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
Corolarul 1.5. Fie V si W doua spatii vectoriale peste corpul K si f : V −→ W o aplicatie liniara.Daca B ∈ A(W) este astfel ıncat f−1(B) 6= ∅ si a ∈ f−1(B), atunci f−1(B) = a + f−1 (D(B)),fapt care arata ca D
(f−1(B)
)= f−1 (D(B)). In particular, daca pentru un element b ∈ W avem
f−1(b) 6= ∅ si a ∈ f−1(b), atunci D(
f−1(b))= f−1(0W) = ker( f ), adica f−1(b) = a+ker( f ).
Asadar solutia generala a ecuatiei neomogene f (x) = b este suma dintre o solutie particulara aecuatiei neomogene f (x) = b cu solutia generala a ecuatiei omogene f (x) = 0W .
1.3 Intersectia unei familii de varietati liniare
Propozitia 1.6. Daca {Ai}i∈I este o familie de varietati liniare ale spatiului vectorial V, atunci⋂i∈I
Ai ∈ A(V).
Corolarul 1.7. Daca {Ai}i∈I este o familie de varietati liniare ale spatiului vectorial V astfel ıncat⋂i∈I
Ai 6= ∅, atunci D
(⋂i∈I
Ai
)=⋂i∈I
D(Ai). In acest caz dim
(⋂i∈I
Ai
)= dim
(⋂i∈I
D(Ai)
).
Propozitia 1.8. Daca a si b sunt puncte distincte ın V, atunci exista o singura dreapta, notata cuab, care contine pe a si b.
Apendix. Relatii de recurenta liniare
Fie K este un corp. Notam prin KN multime tuturor sirurilor de elemente din K, adicamultime tuturor functiilor a : N −→ K. Vom nota cu a(n) sau cu an valoarea functiei a pe
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
numarul natural n. In cazul al doilea, vom nota cu (an)n≥0 sau, simplu, cu (an) sirul/functiaa. Daca α ∈ K si a, b ∈ KN, definim sirurile a + b, a · b si α · a prin (a + b)(n) := a(n) + b(n)(a · b)(n) := a(n)b(n) si (α · a)(n) = αa(n), sau, echivalent, (a + b)n = an + bn si (α · a)n =αan, for all n ∈N. Multimea KN este evident un K-spatiu vectorial fata de operatiile:
De altfel operatia externa (1.2) (sau (1.4)) poate fi obtinuta din operatia binara (1.5) (sau(1.6)) prin restrictia scalarilor de la KN la K ⊆ KN. Intr-adevar K se scufunda ın KN prinincluziunea care asociaza scalarului k ∈ K sirul constant (kn), adica kn = k pentru oricen ∈N. Observam ca spatiul vectorial KN este infinit dimensional deoarece submultimea sainfinita {e1, e2, e3, . . . , }, unde
care defineste subspatiul ker R al lui KN, se numeste relatie de recurenta liniara omogena deordin r. Daca sirurile c0, . . . , cr ∈ KN sunt constante, atunci (1.7) si (1.8) devin
si se numesc relatie de recurenta liniara neomogena de ordin r cu coeficienti constanti respectivrelatie de recurenta liniara omogena de ordin r cu coeficienti constanti.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
Examplul 1.1. ([2, p.62]) Relatia de recurenta liniara neomogena de ordin 1
an+1 = c(n)an + f (n) (1.11)
are solutia generala
an = a0c(0) · · · c(n− 1) + c(1) · · · c(n− 1) f (0) + c(2) · · · c(n− 1) f (1)+ · · ·+ c(n− 1) f (n− 2) + f (n− 1). (1.12)
Observam acum ca solutia generala (1.12) a relatiei de recurenta liniara neomogena deordinul 1 (1.11) are componenta a0c(0) · · · c(n − 1) care, atunci cand a0 parcurge ıntregulcorp K, genereaza nucleul ker R al transformarii liniare
R : KN −→ KN, R(an)n≥0 = (an+1 − c(n)an)n≥0,
iar sirul (ξn)n≥0, unde ξ0 = 0 si
ξn := c(1) · · · c(n− 1) f (0)+ c(2) · · · c(n− 1) f (1)+ · · ·+ c(n− 1) f (n− 2)+ f (n− 1), ∀n ≥ 1,
este o solutie particulara a ecuatiei R(an) = f (n), ∀n ≥ 0. In termenii aplicatiei liniaresolutia generala a recurentei liniare (1.11) este
ker R + (ξn)n≥0 = 〈(φn)n≥0〉+ (ξn)n≥0,
unde φ0 = 1, iar φn = c(0) · · · c(n− 1) pentru n ≥ 1.Daca sirul (c(n)) este constant si are termenii egali cu c, atunci relatia de recurenta liniara
iar s1, . . . , sr sunt radacinile polinomului (1.13), numit polinomul caracteristic al recurenteiliniare omogene de ordin r cu coeficienti constanti (1.10). Prin urmare ker R este un subspatiufinit dimensional al lui KR si dim ker R ≤ r.
Examplul 1.2. Vom determina sirul lui Fibonacci definit de relatia de recurenta
4. Fie a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn doua siruri finite de numere reale. Fie I ⊆ R un intervaldeschis s g : I −→ R o functie de clasa C∞. Care dintre urmatoarele submultimi suntvarietati liniare ale spatiului C∞(I) ?
(a) A := { f ∈ C∞(I) : f (n) + a1 f (n−1) + · · ·+ an−1 f ′ + an f + g = 0};(b) B := {h ∈ C∞(I) : h(n) + b1h(n−1) + · · ·+ bn−1h′ + bnh ∈ A};(c) C := {ϕ ∈ C∞(I) : ϕ3 − 5ϕ2 + 6ϕ = 0}.
I a ∈ D, I a ∈ α, I a ∈ H, I D‖α, I D‖H, I α‖H, I D ⊆ α, I α ⊆ H.
6. ([3, Problema 11, p. 94]) In spatiul vectorial V (dim V > 4) se dau trei puncte distinctea, b, c si un plan α = a + 〈d1, d2〉. Sa se determine o varietate liniara 4-dimensionalaA ∈ A(V) care contine punctele a, b si c si este paralel cu α.
7. ([3, Problema 13, p. 95]) Consideram un spatiu vectorial V, o varietate liniara r-dimensionala A ∈ A(V) si un punct b ∈ V. Sa se arate ca exista o singura varietate
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
Propozitia 2.4. Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K cu cel putin 3 elemente. Osubmultime L a lui V este varietate liniara daca si numai daca, odata cu doua puncte distincte a, b ∈L, multimea L contine ıntreaga dreapta ab.
Demonstratie. Avem de aratat ca
L ∈ A(V)⇐⇒ (x, y ∈ L, t ∈ K =⇒ (1− t)x + ty ∈ L.)
“ =⇒ “ Din x, y ∈ L deducem ca y ∈ L = x + D(L), adica y − x ∈ D(L) si implicit ca〈y− x〉 ⊆ D(L).
Asadar xy = x + 〈y− x〉 ⊆ x + D(L) = L.“ ⇐= “ Putem presupune ca L 6= ∅ deoarece, altfel n-am avea nimic de demonstrat. Con-sideram a ∈ L si aratam ca Y = L− a este un subspatiu vectorial al lui V.
Pentru aceasta consideram y1 = x1 − a, y2 = x2 − a ∈ Y, unde x1, x2 ∈ L. Daca t ∈ K,atunci observam ca (1− t)y1 + ty2 = (1− t)x1 + tx2 − (1− t)a− ta = (1− t)x1 + tx2 − a,care conform ipotezei ın care lucram, apartine lui L− a = Y. Am aratat deci ca
y1, y2 ∈ T, t ∈ K =⇒ (1− t)y1 + ty2 ∈ Y. (2.2)
Luand y1 = 0 obtinem cay ∈ Y, t ∈ K =⇒ ty ∈ Y.
Fie acum α ∈ K \ {0, 1}, adica α si 1− α sunt inversabile. Asadar (1− α)−1y1 ∈ Y si α−1y2 ∈Y pentru orice y1, y2 ∈ Y, fapt care arata, folosind (2.2), ca
y1 + y2 = (1− α)[(1− α)−1y1] + α[α−1y2] ∈ Y.
Asdar Y ≤ V si L = a + Y.
Examplul 2.1. Daca corpul K al scalarilor lui V are doar doua elemente, atunci propozitia 2.4nu are loc. Intr-adevar, daca K = Z2 = {0, 1}, atunci submultimea M := {(0, 0), (0, 1), (1, 0)}a planului V = Z2
2 contine toate dreptele care trec prin cate doua puncte din M, ıntrucatdreptele planului Z2
2 sunt formate din doar doua puncte, si totusi M nu este varietate liniara.Intr-adevar, daca M ar fi varietate liniara a lui V, atunci M ar fi chiar subspatiu vectorial allui V deoarece 0 ∈ M. Dar atunci (1, 1) = (0, 1) + (1, 0) ar apartine lui M, ceea ce nu esteadevarat.
Observatia 2.1. Propozitia (2.4) poate fi rescrisa ın termenii aplicatiei
α : P(V) −→ P(V), α(M) = {tx + (1− t)y | x, y ∈ M, t ∈ K} (2.3)
astfel:Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K cu cel putin 3 elemente. O submultime L a lui Veste varietate liniara daca si numai daca α(L) ⊆ L.
Observatia 2.2. Fie V un spatiu vectorial cu scalari ıntr-un corp K. Daca M ⊆ V, atunci
M ⊆ α(M) ⊆ α2(M) ⊆ · · · ⊆ af(M).
Intr-adevar, incluziunea M ⊆ α(M) este evidenta, fapt care arata ca
M ⊆ α(M) ⊆ α2(M) ⊆ · · · ⊆ αk(M) ⊆ · · · . (2.4)
Din relatia M ⊆ af(M) deducem α(M) ⊆ α(af(M)) ⊆ af(M), precum si ca αk(M) ⊆ af(M),pentru orice k ≥ 1.
O ıntrebare naturala care apare ın legatura cu sirul (2.4) este daca termanii acestuiaacopera ıntrega ınvelitoare afina a lui M ıncepand cu un anumit rang. Daca spatiul am-biant V a lui M este finit-dimensional, atunci raspunsul este afirmativ, asa cum vom vedeamai tarziu.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
Propozitia 3.3. Daca varietatile liniare A si B au un punct comun a, atunci avem af(A ∪ B) =a + D(A) + D(B) si A ∩ B = a + D(A) ∩ D(B).
Examplul 3.1. Daca A, B sunt varietati liniare ıntr-un spatiu vectorial peste K 6' Z2 si A ∩B 6= ∅, atunci
af(A ∪ B) = {ta + (1− t)b | a ∈ A, b ∈ B, t ∈ K}. (3.1)
Ipotezele A ∩ B 6= ∅ si K 6' Z2 sunt esentiale.
Observatia 3.2. Fie V un spatiu vectorial peste corpul K.
1. Daca A, B ∈ A(V) sunt varietati liniare astfel ıncat A ∩ B 6= ∅, atunci se poate usorarata ca α(A ∪ B) = {λa + (1− λ)b | a ∈ A, b ∈ B, λ ∈ K}unde α este functia (2.3).Egalitatea 3.1) ne arata ca pentru M = A ∪ B invelitoarea afina af(M) = af(A ∪ B)este acoperita de la prima iterare α(M), adica egalitatea af(M) = αr(M) are loc pentrur = 1.
2. Daca A este o varietate liniara a spatiului vectorial V de dimensiune cel putin unu sic ∈ V \ A un punct dat, atunci α({c} ∪ A) =
⋃a∈A af(a, c). Faptul ca α({c} ∪ A) =⋃
a∈A af(a, c) nu este o varietate liniara (a se vedea problema 3.2(1)) arata ca egalitateaαr({c} ∪ A) = af({c} ∪ A) este satisfacuta pentru r ≥ 2. Se poate arata ca α2({c} ∪A) = af({c} ∪ A) ın cazul K 6∼= Z2.
Teorema 3.4. (Teorema dimensiunii) Fie A, B varietati liniare nevide de finit dimensionale.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
1. Daca A ∩ B 6= ∅, atunci dim af(A ∪ B) = dim(A) + dim(B)− dim(A ∩ B).
2. Daca A ∩ B = ∅, atunci dim af(A ∪ B) = dim (D(A) + D(B)) + 1.
Propozitia 3.5. Presupunem ca dim(V) = n. Daca varietatea afina A ∈ A(V) nu are niciunpunct comun cu hiperplanul H, atunci A||H.
Observatia 3.3. Daca dreapta L intersecteaza hiperplanul H ıntr-un punct, atunci orice dreaptaparalela L′ la L intersecteaza H tot ıntr-un punct. Intr-adevar, altfel am avea L′||H, adicaL||H si deci L ⊆ H sau L ∩ H = ∅.
3.2 Probleme
1. Fie A o varietate liniara de dimensiune cel putin unu a unui spatiu vectorial V si c ∈V \ A un punct dat. Este multimea ⋃
a∈Aaf(a, c)
o varietate liniara ?
2. Sa se arate ca daca ın structura afina a unui spatiu vectorial 4-dimensional doua hiper-plane au un punct comun, atunci ele au un plan comun.
3. Se considera varietatile liniare A si B astfel ıncat A ∩ B = ∅ si dim A = dim B = p. Sase arate ca A‖B daca si numai daca A si B sunt incluse ıntr-o varietate de dimensiunep + 1.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
4. Se considera ın R5 vectorii a = (1, 0, 0, 2, 0), b = (0, 2, 0, 0, 1), c = (1, 2, 0, 0, 0) si d =(0, 0, 0, 2, 1) si varietatile liniare A = a + 〈b, c〉, B = c + 〈b, d〉. Sa se afle A ∩ B siaf(A ∪ B).
5. Fie V un spatiu vectorial finit dimensional peste corpul K, unde K 6' Z2. Se consideraaplicatia
α : P(V) −→ P(V), α(M) = {tx + (1− t)y | x, y ∈ M, t ∈ K}
si iteratele α1 = α, α2 = α ◦ α, . . .. Sa se arate ca pentru orice M ∈ P(V) se poate gasiun numar natural r astfel ıncat
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
6. Sa se determine toate pozitiile reciproce posibile a doua plane α si β dintr-un spatiuvectorial 4-dimensional precizand ın fiecare caz si dim(af (α ∪ β)).
7. Intr-un spatiu vectorial n-dimensional fie L1 si L2 doua varietati liniare de dimensiunep respectiv q (p > q, p + q ≤ n− 1), astfel ıncat L1 ∩ L2 = ∅ si L1 6 ‖L2. Sa se determinemultimea valorilor posibile pentru dim af(L1∪L2).
8. In structura afina a unui spatiu vectorial n-dimensional consideram doua hiperplane.Care sunt valorile posibile pentru dim(H1 ∩ H2) si dim af(H1 ∪ H2) ?
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
9. In structura afina a unui spatiu vectorial n-dimensional se considera un hiperplan H sio varietate lininara p-dimensionala (p < n− 1). Sa se arate ca atunci are loc una dintrerelatiile:
Teorema 4.1. Structura afina A(V) este o latice completa. Pentru o familie oarecare {Ai}i∈I devarietati liniare ale lui V avem:
infi∈I
Ai =⋂i∈I
Ai si supi∈I
Ai = af(⋃
i∈I
Ai).
Observatia 4.1. 1. Daca A, B ∈ A(V) si a ∈ A, b ∈ B, atunci A∨ B = a + D(A) + D(B) +〈b− a〉 si A ∧ B = A ∩ B.
2. Daca A ∩ B 6= ∅ si a ∈ A ∩ B, atunci A ∨ B = a + D(A) + D(B) si A ∧ B = A ∩ B =a + D(A) ∩ D(B).
Propozitia 4.2. Daca spatiile vectoriale V si W, avand scalarii ın acelasi corp K, sunt izomorfe,atunci laticele A(V) si A(W) sunt izomorfe. Daca f : V −→ W este un izomorfism liniar, atunciaplicatia f : A(V) −→ A(W), f (A) := { f (a) | a ∈ A} = f (A) este un izomorfism laticeal.
4.2 Structura afina a spatiului vectorial Kn
Din Propozitia 4.2 reiese importanta structurii afineA(Kn) a lui Kn. Intr-adevar, orice spatiuvectorial n-dimensional peste K este izomorf cu Kn, structurile afine ale spatiilor vectori-ale n-dimensionale fiind laticeal izomorfe cu A(Kn). Fie A = x0 + D(A) ∈ A(Kn), iar{d1, . . . , dr} o baza a lui D(A), x0 = (x1, . . . , xn) si dj = (d1j, . . . , dnj), j = 1, 2, . . . , r. Asadar
A ={(x1, . . . , xn) ∈ Kn | xi = x0
i +r
∑j=1
dijλj, λj ∈ K}
.
Relatiile
xi = x0i +
r
∑j=1
dijλj, i = 1, . . . , n (4.1)
se numesc ecuatiile parametrice ale varietatii liniare A. Pe de alta parte, varietatile liniare alelui Kn coincid cu solutiile sistemelor liniare.
Mai precis, orice varietate liniara A ∈ A(Kn) poate fi caracterizata si astfel:
A ={(x1, . . . , xn) ∈ Kn |
n
∑j=1
aijxj = bi, i = 1, . . . , m}
.
Conditiile care figureaza aici, adica
n
∑j=1
aijxj = bi, i = 1, . . . , m,
se numesc ecuatiile implicite ale varietatii liniare A. Intersectia a doua varietati liniare A, B ∈A(Kn) se caracterizeaza usor daca A si B sunt date prin sisteme de ecuatii. Mai precis sis-temul de ecuatii a lui A ∩ B se obtine luand ecuatiile lui A si B. Varietatea liniara A ∨ B,subıntinsa de varietatile liniare A si B, se caracterizeaza ınsa mai usor daca avem reprezentarileparametrice ale varietatilor A si B.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
4.3 Submultimile convexe ale unui spatiu vectorial real
Definitia 4.1. Fie V un spatiu vectorial real. O multime C ⊆ V se numeste convexa dacapentru orice x, y ∈ C segmentul [xy] := {(1− t)x + ty : t ∈ [0, 1]} este continut ın C.
Definitia 4.2. Daca M este o submultime a lui V, atunci multimea
conv(M) :=⋂{C |M ⊆ C si C− convexa}
se numeste ınvelitoarea convexa sau ınchiderea convexa a lui M.
Propozitia 4.3. (Proprietatile operatorului conv)
1. M ⊆ conv(M) si conv(M) este o multime convexa pentru orice M ∈ P(V).
2. Daca M ⊆ C si C este convexa, atunci conv(M) ⊆ C.4
3. M ⊆ N =⇒ conv(M) ⊆ conv(N).5
4. conv(M) = M daca si numai daca M este convexa.
5. conv (conv(M)) = conv(M) pentru orice M ∈ P(V).6
Observatia 4.2. 1. Daca {Ci}i∈I este o familie de submultimi convexe ale spatiului vec-torial real V, atunci intersectia
⋂i∈I
Ci este de asemenea o multime convexa.
2. Submultimea M a spatiului vectiral real V este convexa daca si numai daca
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
4.3.1 Teorema lui Caratheodory
Teorema 4.5. (Caratheodory) Daca V este un spatiu vectorial real n-dimensional si M ⊆ V este omultime nevida, atunci
conv(M) ={ m
∑i=1
λixi
∣∣∣1 ≤ m ≤ n + 1, xi ∈ M, λi ∈ [0, 1], i = 1, m,m
∑i=1
λi = 1}
.
4.4 Probleme
1. Daca C1, C2 sunt doua submultimi convexe ale lui Rn, ara tati ca C1 +C2 este de aseme-nea convexa.
2. In spatiul vectorial R2 varfurile unui triunghi sunt A1(x1, y1), A2(x2, y2), A3(x3, y3). Sase arate ca punctul M(x, y) este ın interiorul triunghiului A1A2A3 daca si numai daca
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
5. Sa se arate ca radacinile polinomului derivat al unui polinom neconstant cu coeficienticomplecsi apartin ınvelitorii convexe a radacinilor polinomului dat.(Teorema Gauss-Lucas)
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
5 Saptamana 5Teoremele lui Radon, Helly, Minkowsky, Krein-Milman siMotzkin
5.1 Teorema lui Radon
Teorema 5.1. (Radon) Daca M este submultime finita a unui spatiu vectorial real n-dimensionalformata din m ≥ n + 2 puncte, atunci exista submultimile disjuncte M1, M2 ale lui M astfel ıncatM = M1 ∪M2 si conv(M1) ∩ conv(M2) 6= ∅.
5.2 Teorema lui Helly
Teorema 5.2. (Helly) Daca submultimile convexe M1, . . . , Mr ale spatiului afin Rn sunt astfel ıncatr ≥ n + 1 si, luate cate n + 1 ın toate modurile posibile, au intersectia nevida, atunci
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
5.3 Teoremele lui Minkowski, Krein-Milman si Motzkin
Definitia 5.1. Un punct extremal al multimii convexe C este un punct x ∈ C cu urmatoareaproprietate
λy + (1− λ)z = x, y, z ∈ C, λ ∈ (0, 1) =⇒ y = z = x.
Teorema 5.3. (Minkowski) Orice submultime convexa si compacta a lui Rn este ınchiderea convexaa multimii punctelor sale extremale.
Teorema 5.4. (Krein-Milman) Orice submultime convexa si compacta K a unui spatiu local convexpoate fi reprezentata sub forma K = cl conv ext K, unde ext K este multimea punctelor extremaleale lui K.
Teorema 5.5. (Motzkin) Orice multime poliedrala este suma (Minkowski) dintre un politop si uncon convex.
5.4 Probleme
1. Gasiti o familie (infinita) de multimi convexe din plan avand intersectia vida, iar intersectiaoricaror 3 multimi din familie este nevida.
2. Se considera ınplan o multime finita cu proprietatea ca oricare trei puncte ale multimiisunt continute ıntr-un disc de raza 1. Sa se arate ca exista un disc de raza 1 care continetoate punctele multimii date.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
3. Consideram ın plan n segmente paralele astfel ın cat pentru oricare 3 dintre ele existao dreapta care le intersecteaza. Sa se arate ca exista o dreapta care intersecteaza toatesegmentele.
4. Consideram ın plan n segmente paralele astfel ın cat pentru oricare 4 dintre ele existao parabola care le intersecteaza. Sa se arate ca exista o parabola care intersecteaza toatesegmentele.
5. (Jung) Sa se arate ca orice multime finita din plan de diametru 1 poate fi acoperita deun disc de raza 1√
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
6 Saptamana 6: Spatiul afin
6.1 Definitie si exemple
Definitia 6.1. Se numeste spatiu afin un triplet (X,→X, ϕ), unde X este o multime ale carei
elemente se numesc puncte,→X este un spatiu vectorial, iar ϕ : X × X −→
→X este o aplictie a.
ı.:
1. ϕ(P, Q) + ϕ(Q, R) = ϕ(P, R), ∀P, Q, R ∈ X.
2. Pentru orice O ∈ X si orice a ∈→X, exista un singur punct A ∈ X astfel ca ϕ(O, A) = a.
Cu notatia−→PQ:= ϕ(P, Q), conditiile de mai sus se scriu:
1′−→PQ +
−→QR=
−→PR, ∀P, Q, R ∈ X.
2′ Pentru orice O ∈ X aplicatia ϕO : X →→X definita prin ϕO(M) =
−→OM este bijectiva.
Luand P = Q = R = A ın (1′) deducem−→AA= 0, ∀A ∈ X.
Examplul 6.1. 1. Tripletul (P ,V , ϕ), unde ϕ : P ×P −→ V , ϕ(A, B) =−→AB este un spatiu afin.
2. Tripletul (V, V, ϕ), unde V este un spatiu vectorial si ϕ : V×V −→ V, ϕ(v1, v2) = v2− v1, esteun spatiu afin.
Intrucat ϕO : X −→→X este bijectie, iar
→X este un spatiu vectorial, exista o unica structura de spatiu
vectorial pe X astfel ıncat ϕO este izomorfism. Aceasta structura este data de operatiile:
1. P = A⊕O B⇐⇒−→OP=
−→OA +
−→OB.
2. Q = λ�O A⇐⇒−→OQ= λ
−→OA,
iar spatiul vectorial (X,⊕O ,�O) se noteaza cu TO(X) si se numeste spatiul vectorial tangent la X ınpunctul O. Mentionam ca structura lui X data de operatiile ⊕O si �O depinde de alegerea punctuluiO.
Cu toate acestea multimea varietatilor liniare ale lui TO(X) nu depinde de O ∈ X.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
6.2 Subspatii afine
Intrucat ϕO : X −→→X este bijectie, iar
→X este un spatiu vectorial, exista o unica structura
de spatiu vectorial pe X astfel ıncat ϕO este izomorfism. Aceasta structura este data deoperatiile:
1. P = A⊕O B⇐⇒−→OP=
−→OA +
−→OB.
2. Q = λ�O A⇐⇒−→OQ= λ
−→OA,
iar spatiul vectorial (X,⊕O ,�O) se noteaza cu TO(X) si se numeste spatiul vectorial tangent la Xın punctul O. Mentionam ca structura lui X data de operatiile ⊕O si �O depinde de alegereapunctului O. Cu toate acestea multimea varietatilor liniare ale lui TO(X) nu depinde deO ∈ X.
Propozitia 6.1. Varietatile liniare nevide ale lui TO(X) sunt submultimile lui X de forma
L = {M|−→AM∈ U}, (6.1)
unde A ∈ X si U ≤→X.
Observatia 6.1. In egalitatea 6.1 punctul A ∈ L poate fi ales arbitrar ın L, iar subspatiul U al
lui→X este unic determinat de L si U = {
−→AM |M ∈ L}.
Definitia 6.2. Se numeste varietate liniara sau subspatiu afin al lui X orice varietate liniara aspatiului vectorial TO(X). Multimea varietatilor liniare ale lui X se noteaza cu A(X). Spatiul
director al varietatii liniare L ∈ A(X) este spatiul director al varietatii liniare ϕO(L), adica {−→AM:
M ∈ L}.
6.3 Combinatii afine ın spatii afine
Fie (X,→X, ϕ) un spatiu afin si A1, . . . , Am ∈ X, iar λ1, . . . , λm scalari dati. Punctul
M = λ1 �O A1 ⊕O · · · ⊕O λm �O Am (6.2)
este doar atunci definit cand s-a ales un punct O ∈ X, iar M depinde de alegerea lui O.
Daca ınsa combinatia liniara 6.2 este o combinatie afina, adicam
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
Definitia 6.3. Date fiind punctele A1, . . . , Am ∈ X si scalarii λ1, . . . , λm astfel ıncatm
∑i=1
λi = 1,
punctul M definit prin relatia 6.2 se numeste baricentrul sistemului de puncte A1, . . . , Am cuponderile λ1, . . . , λm.
Propozitia 6.2. Fie (X, X, ϕ) un spatiu afin si S ⊆ X; atunci S este un subspatiu afin al lui X dacasi numai daca pentru orice sistem finit de puncte din S, orice baricentru al acestui sistem apartine luiS.
Propozitia 6.3. Fie A0, A1, . . . , Am puncte ale spatiului afin X. Atunci
M ∈ af{A0, A1, . . . , Am} ⇐⇒−→
A0M∈⟨ −→
A0A1, . . . ,−→
A0Am
⟩.
Corolarul 6.4. dim af{A0, A1, . . . , Am} ≤ m.
Corolarul 6.5. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1. dim af{A0, A1, . . . , Am} = m.
2. vectorii−→
A0A1, . . . ,−→
A0Am sunt liniar independenti.
3. nici unul dintre punctele A0, A1, . . . , Am nu apartine subspatiului afin subıntins de celelalte.
Definitia 6.4. Punctele A0, A1, . . . , Am se numesc afin independente daca ele ındeplinesc unadintre conditiile corolarului 6.5. In caz contrar aceste puncte se numesc afin dependente.
6.4 Repere afine si repere carteziene
Definitia 6.5. Un sistem de puncte A0, A1, . . . , An afin independente, luate ıntr-o ordine de-terminata, se numeste reper afin al varietatii liniare L = af{A0, A1, . . . , An}.
De exemplu punctele A0 = (0, . . . , 0), Ai = (δ1i , . . . , δn
i ), unde δji este simbolul lui Kro-
necker, i = 1, . . . , n formeaza un reper afin al lui Kn.Fie A0, A1, . . . , An un reper afin al lui L ∈ A(X). Dat fiind M ∈ L, exista scalarii
ξ0, ξ1, . . . , ξn astfel ıncat, pentru orice O ∈ X sa avem:−→
OM=n
∑i=0
ξi
−→OAi si
n
∑i=0
ξi = 1. In
particular−→
A0M=n
∑i=0
ξi
−→A0Ai=
n
∑i=1
ξi
−→A0Ai, deoarece
−→A0A0=
−→0 .
Intrucat vectorii−→
A0A1, . . . ,−→
A0An sunt liniar independenti, rezulta ca scalarii ξ1, . . . , ξn,si prin urmare ξ0 = 1 − ξ1 − · · · − ξn, cu proprietatile de mai sus sunt unici. Scalariiξ0, ξ1, . . . , ξn se numesc coordonatele baricentrice ale lui M, iar ξ1, . . . , ξn se numesc coordonatelecarteziene ale lui M fata de reperul afin (A0, A1, . . . , An).
defineste un izomorfism de spatii vectoriale, care determina, la randul sau, un izomorfismlaticeal A(X) −→ A(Kn).
Teorema 6.6. Fie R = (O, b) un reper cartezian al spatilui afin X si (x1, . . . , xn) coordonateleuni punct generic al spatiului X fata de acest reper. Atunci o varietate liniara r-dimensionala secaracterizeaza prin ecuatii parametrice de forma
xi = x0i +
r
∑j=1
dijλj, i = 1, . . . , n.
O varietate liniara (n−m)-dimensionala se identifica cu multimea solutiilor unui sistem de ecuatiiliniare
n
∑j=1
aijxj = bi, i = 1, . . . , m.
6.5 Schimbarea coordonatelor
Fie R = (O, b) si R′ = (O′, b′) doua repere carteziene ale lui X si T matricea de trecere de labaza b la baza b′. Pentru a stabili legatura dintre [M]R si [M]
R′ observam ca avem succesiv:
[M]R = [−→
OM]b = T · [−→
OM]b′ = T · [
−→OO′ +
−→O′M]b′
= T · [−→
O′M]b′ + T · [−→
OO′]b′ = T · [M]R′ + [
−→OO′]b
= T · [M]R′ + [O′]R
Propozitia 6.7. Schimbarea coordonatelor carteziene se face dupa formula
[M]R = T · [M]R′ + [O′]R .
In termenii coordonatelor carteziene formula schimbarii de coordonate devine
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
6.6 Probleme
1. In spatiul vectorial Kn, unde K este un corp oarecare, se considera o varietate liniara p-dimensionala A. Sa se construiasca o aplicatie ϕ : A× A −→ Kp astfel ıncat (A, Kp, ϕ)sa fie un spatiu afin.
2. Fie A, B doua puncte ale unui spatiu afin real X si C, D punctele definite prin
C =1
1− λA +
λ
λ− 1B, D =
11 + λ
A +λ
λ + 1B,
unde λ ∈ R \ {−1, 1}. Aratati ca−→EA= λ2
−→EB, unde E =
12
C +12
D.
3. Fie A1, . . . , An puncte ale spatiului afin real X si λ1, . . . , λn scalari reali astfel ıncatn
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
Sa se arate can⋂
i=0
AiGi = {G} , unde G =1
n + 1A0 +
1n + 1
A1 + · · ·+1
n + 1An,
adica intersectia dreptelor AiGi, i ∈ {0, 1 . . . , n} este centrul de greutate al sistemuluide puncte A0, A1, . . . , An.
6. Intr-un spatiu afin tridimensional raportat la reperul cartezian R = (O, e1, e2, e3) se daupunctele O′(0, 3, 1) si vectorii e′1(2,−1,−1), e′2(2,−1, 2), e′3(3, 0, 1). Sa se scrie formulelede trecere de la reperul R la reperul R′ = (O′, e′1, e′2, e′3). Sa se determine coordonatelepunctului A(1,−2, 0) fata de reperul R′.
7. In planul afin K2 consideram un repoer afin R = (A0, A1, A2).
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
7 Saptamana 7
7.1 Functii polinomiale
7.1.1 Definitii si observatii
Fie X un spatiu afin real n-dimensional. O functie f : X −→ R se numeste functie poli-nomiala daca exista un reper cartezian R = (O, e1, . . . , en) al lui X si un polinom F ∈R[X1, X2, . . . , Xn
]astfel ıncat pentru orice punct X ∈ X de coordonate carteziene (x1, x2, . . . , xn)
fata de R sa avemf (X) = F(x1, x2, . . . , xn),
adica f este un polinom ın coordonatele lui X fata de R. Observam ca notiunea de functiepolinomiala nu depinde de alegerea reperului cartezian R. Intradevar, daca S este un altreper cartezian si f : X → R este un polinom ın coordonatele lui X fata de R, atunci f esteun polinom de acelasi grad si ın coordonatele lui X fata de S, deoarece formulele de trecerede la reperul R la reperul S sunt polinoame de gradul ıntai reversibile.
Prin urmare gradul polinomului F este invariant la schimbarea reperului si se numestegradul lui f. Alegerea convenabila a reperului poate conduce la o forma cat mai simpla apolinomului de reprezentare a lui f .
Definitia 7.1. Daca f : X −→ R este o functie polinomiala de gradul doi pe spatiul afinn-dimensional X, atunci preimaginea Q = f−1(0) se numeste hipercuadrica. Daca n = 2,atunci Q se numeste conica, iar daca n = 3, atunci Q se numeste cuadrica.
7.1.2 Functii polinomiale de gradul doi. Reprezentari matriceale
Fie f : X −→ R este o functie polinomiala de gradul doi care, fata de reperul cartezian
R = (O, e1, . . . , en) al lui X, are reprezentarea f (M) = a00 + 2n
∑i=1
ai0xi +n
∑i,j=1
aijxixj pentru
orice M(x1, . . . , xn) ∈ X. Aceasta se poate reprezenta matriceal astfel:
f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR
A[M]R ,
unde
A :=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n...
... . . . ...an1 an2 · · · ann
.
Matricea A poate fi aleasa simetrica deoarece f admite si reprezentarea
f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR
A + At
2[M]R .
Notam cu [ f ]R matricea A, atunci cand A este simetrica, adica
f (M) = a00 + 2(a10 · · · an0)[M]R + [M]tR· [ f ]R · [M]R ,
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
2. Sa se calculeze invariantii si semiinvariantii ortogonali ai polinoamelor de gradul 2:
(a) −2 + 16x− 8y + 9x2 − 4xy + 6y2;
(b) −36 + 16x + 12y + 4xy + 3y2;
(c) 1− 6x + 2y + x2 − 4xy + 4y2.
9 Saptamana 9: Teorema de reducere izometrica a polinoamelorde gradul doi ın doua variabile
Teorema 9.1. Fata de un reper cartezian ortonormat convenabil ales functia polinomiala f are unadin formele urmatoare:
1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + ∆δ , daca δ 6= 0;
2. Iy′′2 ± 2√−∆
I x′′, daca δ = 0, ∆ 6= 0;
3. Iy′′2 + KI , daca δ = ∆ = 0.
In procesul de reducere al functiilor polinomiale de gradul doi, matricea simetrica [ f ]R sediagonalizeaza cu ajutorul unei baze de vectori proprii ai acestei matrici. Directiile vectorilorunei astfel de baze, adica spatiile generate de ei, se numesc directii principale ale functieipolinomiale ın discutie.
∆ = 0 δ > 0 doua drepte secante imaginareδ < 0 doua drepte secante reale coniceδ = 0 K > 0 doua drepte paralele imaginare degenerate
K < 0 doua drepte paralele realeK = 0 doua drepte reale confundate
Demonstratia teoremei de reducere a polinoamelor de gradul doi in doua variabile sug-ereaza o metoda de a aduce conicele la forma canonica, numita metoda valorilor si a vectorilor
proprii. In continuare vom prezenta o metoda alternativa de a gasi reperul R′ = (O′,→i′,→j′),
fata de care ecuatia unei conice cu centru unic (ex. elipsa, hiperbola) are forma are formaredusa.
Adunand relatiile (9.4) si tinand seama de relatia a11 + a22 = λ1 + λ2, deducem relatia
a12tg2θ + (a11 − a22)tgθ − a12 = 0. (9.5)
Schimband eventual rolul lui λ1 cu cel al lui λ2, baza [→i′,→j′] poate fi astfel alesa ıncat
unghiul rotatiei sa fie ıntre 0 si π2 . Acest fapt ımpreuna cu relatia 9.5 determina ın mod
unic θ (cu exceptia cazului a12 = 0, a11 = a22, cand conica este un cerc si θ poate lua oricevaloare) care este unghiul rotatiei axelor de coordonte. Ecuatia 9.5 este echivalenta cu ecuatia(a11 − a22)tgθ = a12(1− tg2θ) sau cu ecuatia
tg2θ =2a12
a11 − a22(9.6)
Pantele directiilor asimptotice sunt date de ecuatia
a22m2 + 2a12m + a11 = 0. (9.7)
Notand cu m1, m2 cele doua radacini ale ecuatiei 9.7, ecuatiile asimptotelor sunt:
nu se schimba atunci cand schimbam reperul cartezian ortonormat. Aplicatia Φ se numestesemiinvariant ortogonal al functiei polinomiale g daca valoarea (10.1) nu se schimba atuncicand schimbam reperul cartezian ortonormat, fara a schimba originea sa.
este invariant ortogonal al conicei {g(M) = 0z = 0.
Fie R′ = (O′,→i′,→j′,→k′) un alt reper cartezian ortonormat, unde O′(α, β, γ). Valoarea lui
K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R la reperul R1 = (O1,→i ,→j ,→k ), unde O1(α, β, 0),
deoarece K1 este un invariant ortogonal al conicei{g(M) = 0z = 0.
De asemenea valoarea lui K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R1 la reperul
R2 = (O′,→i ,→j ,→k ) deoarece forma functiei polinomiale g nu se schimba prin aceasta trecere.
In sfarsit, valoarea lui K1 nu se schimba prin trecerea de la reperul R2 la reperul R′ deoareceK1 este un semiinvariant ortogonal al functiei g. Analog se arata ca semiinvariantul K2 esteun invariant ortogonal daca functia polinomiala g nu contine variabilele y, z.
10.2 Teorema de reducere izometrica a polinoamelor de gradul doi ın treivariabile
Teorema 10.3. Fata de un reper cartezian ortonormat convenabil ales functia polinomiala g are unadin formele urmatoare:
1. λ1x′′2 + λ2y′′2 + λ3z′′2 + ∆δ , daca δ 6= 0;
2. λ1x′′2 + λ2y′′2 ±√− ∆
I1z′′ daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ 6= 0;
3. λ1x′′2 + λ2y′′2 + K1I1
daca δ = 0, I1 6= 0, ∆ = 0;
4. I2x′′2 + 2√−K1
I2y′′ daca δ = 0, I1 = 0, K1 6= 0;
5. I2x′′2 + K2I2
daca δ = 0, I1 = 0, K1 = 0.
Matricea T din demonstratia teoremei 10.3 fiind ortogonala det T ∈ {−1, 1}. De obicei
vectorii→i′,→j′,→k′
sunt astfel alesi ıncat det T = 1, adica bazele [→i ,→j ,→k ] si [
→i′,→j′,→k′] sa fie
la fel orientate. Data fiind o functie polinomiala de gradul doi g : P → R, un invariant or-togonal al lui g se numeste si invariant ortogonal al cuadricei g−1(0). Observam de asemeneaun semiinvariant ortogonal al lui g se numeste si semiinvariant ortogonal al cuadricei g−1(0).
Teorema 10.4. (Teorema de clasificare a cuadricelor) Data fiind cuadrica
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
4. Q4 : x2 + y2 − z2 − 4xy− 4xz− 6x = 0.
11 Saptamana 11. Morfisme liniare si aplicatii afine
Definitia 11.1. Fie (X,→X, ϕ), (Y,
→Y , ψ) doua spatii afine si f : X −→ Y.
1. Aplicatia f se numeste morfism liniar daca f transforma varietatile liniare ale lui X ınvarietati liniare ale lui Y, adica L ∈ A(X) =⇒ f (L) ∈ A(Y).
2. f se numeste aplicatie afina sau morfism afin daca exista o aplicatie liniara f ′ :→X−→
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
numita urma sau aplicatia liniara tangenta, astfel ıncat−−−−−−−−−→f (M) f (N)= f ′(
−→MN) pentru orice
puncte M, N ∈ X.
Propozitia 11.1. Date fiind punctele A ∈ X si B ∈ Y si o aplicatie liniara t :→X−→
→Y, exista o unica
aplicatie afina f : X −→ Y astfel ıncat f (A) = B si f ′ = t.
Corolarul 11.2. Date fiind reperul afin R = (A0, A1, . . . , An) al lui X si sistemul de puncte{B0, B1, . . . , Bn} ın spatiul Y, exista o unica aplicatie afina f : X −→ Y astfel ıncat f (Ai) = Bi
pentru i = 0, 1, . . . , n.
Propozitia 11.3. Fie f : X −→ Y o aplicatie afina si L o varietate liniara nevida ın X. Atunci f (L)
este o varietate afina ın Y si−→f (L)= f ′(
→L). Prin urmare aplicatiile afine sunt morfisme afine.
Reciproca propozitiei 11.3 nu este adevarata, adica nu orice morfism afin este aplicatieafina. De exemplu surjectiile f : R −→ R sunt toate morfisme afine, ın vreme ce polinoamelep : R −→ R de gradul unu sunt singurele aplicatii afine, asa cum vom vedea mai tarziu.
Observatia 11.1. O aplicatie afina f : X −→ Y transforma orice baricentru M al unui sistemde puncte A1, . . . , Am ın baricentrul sistemului f (A1), . . . , f (Am) cu aceleasi ponderi. Intr-
adevar, daca M =m
∑i=1
λi Ai cum
∑i=1
λi = 1 si O ∈ X, atunci avem succesiv
−−−−−−−−→f (O) f (M) = f ′(
−→OM) = f ′
(m
∑i=1
λi−→
OAi
)=
m
∑i=1
λi f ′(−→
OAi)
=m
∑i=1
λi
−−−−−−−−→f (O) f (Ai),
fapt care justifica afirmatia.
11.1 Ecuatiile unei aplicatii afine
Propozitia 11.5. Daca spatiile afine X, Y sunt finit dimensionale si R = (O, b), R′ = (O′, b′) suntrepere carteziene ale lui X respectiv Y, iar f : X −→ Y este o aplicatie afina, atunci pentru oriceM ∈ X avem [ f (M)]
R′ = [ f ′]bb′ [M]R + [ f (O)]R′ .
Daca [ f ′]bb′ = (aij), [ f (O)]R′ = (bi) si
[M]R =
x1...xn
, [ f (M)]R′ =
x′1...x′n
,
atunci formula [ f (M)]R′ = [ f ′]bb′ [M]R + [ f (O)]
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
11.2 Imaginile inverse ale unei aplicatii afine. Teorema dimensiunii
Propozitia 11.6. Imaginea inversa f−1(N) a oricarui punct N ∈ f (X) printr-o aplicatie afinaf : X −→ Y este o varietate liniara al carei spatiu director coincide cu ker f ′.
Corolarul 11.7. Daca N, N′ ∈ f (X), atunci varietatile liniare f−1(N) si f−1(N′) sunt paralele siau aceeasi dimensiune cu ker f ′.
Teorema 11.8. (Teorema dimensiunii pentru aplicatii afine) Daca X, Y sunt spatii afine finit dimen-sionale si f : X −→ Y este o aplicatie afina, iar N ∈ f (X), atunci
dim(X) = dim f (X) + dim f−1(N).
Daca f , g : X −→ X sunt doua endomorfisme afine ale spatiului afin X, atunci f ◦ g :X −→ X este un nou endomorfism liniar al X si ( f ◦ g)′ = f ′ ◦ g′. De asemea aplicatiaidentica a lui X este o un automorfism afin al lui X si (idX)
′ = id→X
. Demonstratia acestor
fapte este lasata ın seama cititorului. Prin urmare multimea Enda f (X) a endomorfismelor
afine ale lui X formeaza, asemenea multimii endomorfismelor liniare End(→X) ale lui
→X un
monoid. Elementele unitate ale celor doua monoide sunt aplicatiile identice ale spatiilor
X respectiv→X. Mai mult multimea Auta f (X) a automorfismelor afine ale lui X formeaza
un submonoid al lui Enda f (X) care este grup ın raport cu operatia indusa. Amintim ca
multimea Aut(→X) a automorfismelor liniare ale lui
→X este un submonoid al monoidului
End(→X) care este de fapt un grup fata de operatia indusa. Mai mult, avem urmatoarea
Propozitia 11.9. Corespondeta care asociaza endomorfismului afin f : X −→ X urma sa f ′ :→X−→
→X
este un morfism unitar al monoidului endomorfismelor lui X pe monoidul aplicatiilor liniare alespatiului
→X. Acest morfism nu este inversabil si transforma grupul automorfismelor afine ale lui X
ın grupul automorfismelor liniare ale lui→X.
11.3 Translatia
Definitia 11.2. Se numeste translatie orice endomorfism liniar t : X −→ X al unui spatiu afin
X cu proprietatea ca t′ = id→X
, adica−−−−−→
t(A)t(B)=−→AB, pentru orice A, B ∈ X, sau, echivalent
−−−−→At(A)=
−−→Bt(B) pentru orice A, B ∈ X.
Observatia 11.2. 1. Multimea T(X) a translatiilor unui spatiu afin X formeaza un sub-grup normal al grupului automorfismelor afine ale lui X, numit grupul translatiilor luiX. Intr-adevar, T(X) este nucleul restrictiei morfismului evidentiat de Propozitia 11.9,la grupul automorfismelor afine ale lui X.
2. Pentru A, B ∈ X, exista o unica translatie t : X −→ X astfel ıncat t(A) = B.
Propozitia 11.10. Daca X este un spatiu afin, atunci corespondenta T(X) −→→X, t 7−→
−−−−→At(A) este
izomorfism al grupului (T(X), ◦) pe grupul (→X,+).
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
Acest izomorfism ne permite sa definim pe grupul translatiilor lui X o unica structurade spatiu vectorial peste K astfel ıncat izomorfismul de grupuri din Propozitia 11.10 sa fieun izomorfism de spatii vectoriale. Acesta se defineste astfel: daca c ∈ K si t, t1, t2 ∈ T(X),atunci translatiile ct si t1 + t2 se definesc prin relatiile
−−−−→A(ct)(A)= c
−−−−→At(A) si
−−−−−−−→A(t1 + t2)(A)=
−−−−−−−→A(t1 ◦ t2)(A) .
11.4 Subspatii invariante
Definitia 11.3. O varietate liniara Y a spatiului afin X se numeste invarianta fata de un en-domorfism f al lui X daca f (Y) ⊆ Y. Varietatile liniare 0-dimensionale invariante fata deendomorfismul f se numesc puncte fixe ale lui f .
Obsevam ca A ∈ X este punct fix al endomorfismului liniar f : X → X daca si numaidaca f (A) = A.
Propozitia 11.11. Multimea punctelor fixe ale unui endomorfism f : X → X este un subspatiu afinal lui X.
11.5 Omotetii
Definitia 11.4. Se numeste omotetie a spatiului afin X orice automorfism liniar h : X → X
cu proprietatea ca h′ :→X→
→X este o omotetie a spatiului vectorial
→X, adica
−−−−−−−−−→h(A)h(B)= r
−→AB,
unde r este raportul omotetiei h′.
Fata de un reper cartezian R = (O, b), ecuatiile omotetiei sunt de forma
yi = rxi + ai, i = 1, . . . , n,
unde n = dim(X).
Propozitia 11.12. O omotetie cu raportul diferit de 1 are un singur punct fix numit centrul omotetiei.
11.6 Probleme
1. Sa se arate ca aplicatia afina f : X −→ Y este injectiva daca si numai daca urma sa
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
2. Sa se arate ca aplicatia afina f : X −→ Y este surjectiva daca si numai daca urma sa
f ′ :→X−→
→Y este surjectiva.
3. Daca f : X −→ Y este o aplicatie afina si Z este un subspatiu afin al lui Y, sa se arateca imaginea invers f−1(Z) este un subspatiu afin al lui X si, atunci cand f−1(Z) 6= ∅,
avem−−−−−−−→f−1(Z) = ( f ′)−1(
−→Z ).
4. Fie X un spatiu afin raportat la reperul cartezian R = (O, e1, e2, e3) si Y un plan afinraportat la reperul cartezian R′ = (O′, e′1, e′2). Se considera aplicatia afina f : X −→ Ycare transforma punctele A0(0, 1, 0), A1(0, 1, 1), A2(1, 1, 1), A3(0, 0, 1) respectiv ın puncteleA′0(1, 2), A′1(2, 0), A′2(4,−1), A′3(5,−1). Sa se determine ecuatiile lui f fata de repereleR si R′. Sa se determine dreptele planului Y a caror imagini inverse prin f sunt planeparalele cu dreapta de ecuatii x1 = x2 = x3.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
5. In spatiul afin 3-dimensional X raportat la un reper cartezian R = (O, e1, e2, e3) se daupunctele A1(2, 0, 0), A2(0, 0, 1), A3(1, 1,−1), A′1(0,−2,−2), A′2(4, 4, 5) si A′3(−3,−3,−5).Fie f : X −→ X aplicatia afina pentru care f (Ai) = A′i, i = 1, 2, 3 si f (O) = O′(2, 2, 2).
(a) Sa se scrie ecuatiile lui f ;
(b) Sa se determine f (d), unde{
x = zy = 0 .
(c) Sa se arate ca f este involutiva.
(d) Sa se determine multimea punctelor fixe ale lui f .
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
6. Intr-un spatiul afin 5-dimensional X se considera reperul afin (A0, A1, A2, A3, A4, A5),reperul cartezian asociat R si endomorfismul afin f : X −→ X definit de relatiile
f (A0) = A1, f (A1) = A2, f (A2) = A0, f (A3) = A4, f (A4) = A5, f (A5) = A3.
(a) Sa se scrie ecuatiile lui f fata de reperul cartezian R asociat reperulu afin dat.
(b) Sa se determine ecuatiile si dimensiunea varietatii afine
Ff = {M ∈ X | f (M) = M}.
(c) Aratati ca f este bijectiva si determinati ordinul lui f ın grupul permutarilor luiX.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
7. Daca X este un spatiu afin doi dimensional si f : X −→ X este o aplicatie afina astfelıncat Tr( f ′) = 0, aratati ca f ◦ f este o omotetie sau o aplicatie constanta.
8. Daca f : X −→ X este o aplicatie afina bijectiva de ordin finit (automorfism afin deordin finit) ın grupul automorfismelor afine ale lui X, sa se arate ca f are cel putin un
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
punct fix.
9. Daca f : X −→ X este o aplicatie afina bijectiva de ordin finit (automorfism afin deordin finit) ın grupul automorfismelor afine ale lui X care are un punct fix unic, sa searate ca id→
X+ f ′ + ( f ′)2 + · · ·+ ( f ′)o−1 = 0, unde o = ord( f ).
10. Daca X este un spatiu afin n-dimensional peste un corp de caracteristica ≥ n + 2 si(A0, A1, . . . , An) un reper afin al lui X, sa se arate
id→X+ f ′ + ( f ′)2 + · · ·+ ( f ′)n = 0
unde f : X −→ X este aplicatia afina bijectiva definita prin
f (A0) = A1, f (A1) = A2, · · · , f (An−1) = An, f (An) = A0.
MLR0015-Geometrie Afina, Seminar Universitatea ”Babes-Bolyai”, Departmentul de Matematica
11. Fie f , g : X −→ Y doua aplicatii afine si α, β ∈ K, α + β = 1. Sa se arate ca aplicatiaα f + βg : X −→ Y, (α f + βg)(M) = α f (M) + βg(M) este o aplicatie afina.
12. Fie f1, . . . , fr : X −→ Y (r ≥ 2) aplicatii afine si α1, . . . , αr ∈ K, α1 + · · ·+ αr = 1. Sa searate ca aplicatia f := α1 f1 + · · ·+ αr fr : X −→ Y, f (M) = α1 f1(M) + · · ·+ αr fr(M)