7/24/2019 geometria solida esercizi per maturit
1/6
4.
''.
iDR E
sOL
D D
ROTAZIONE AREA DELLA LORO
SUPERF
CIE
E
LORO VOLUME
ni n cu i
segmento
AP divlde il
rettangolo
stesso. In
questo
caso calcola
rappor-to
tra
le
,'PF rl c,nF+. / d
'
7/24/2019 geometria solida esercizi per maturit
2/6
4.
POL]EDRI E sOL]D]
D ROIAZ]ONE
AREA
DELLA LORO SUPERFICiE E LORO
VOLUII:
ad AB le due
part
in
cui
sem cerchio divi
so da segmento MP.
5rF 15
')
9rr3l
24; 4 eE
U2aa2
96a3)
La nozione di bacenho di un copo derva
dalla fisca e si riferisce ai corpi naterali:
punto
ln
cu
si
pu
pensare
applicata la forza
peso
del corpo. La
poszione
del baricentro di
un corpo materale omoseneo
(cio
di densit
costante da
punto
a
punto)
viene assunta co-
me baicentro
geometco
deJ corpo stesso
a) | baricentro
(geometrico)
di un segmento
I
suo
punto
medio;
b) | bariceniro
(eeometrico)
di una crconfe
renza, d un cerchio, d una supeicie sferl
ca, di una sfra, il corrspondente centro;
c)
| barcentro
(geometrico)
di un tfiangolo
I
punto
d'incontro
delle medianei
d) | baricerfo
(eeorieico)
di un
paraleo-
grammo
il
punto
d'ntersezione delle d a
gorali;
e) lbaricentro
(geometrico)
di un
poligono
regoare
i
centro de la circorferenza
ins-
cr
tta
(o
circoscrtta);
D
I baricentro
(geomeico)
di
qualulrque
fj'
gura geometrica piana
o solida che
Soda
di
una simmetria centrale
| centro di sim
Premesso
qlesto,
dciamo
che i calcoi dele
aree
dele
superfici
generat dalla rotazione
di
linee
piane
e icalcoh dei volum d solid
sene
rat dala rotazione di superfic
piane
risultano
ir
alcu,ri casi, notevo mente sernpifcati se
si
app icano du
parilcolari
regole
che
prendono
il nor.e di teoremi di Culdino. L enunciamo
P mo teorema di Guldino. La
msuru della-
rea della superficie
genenta
dalla n taziane
conplek di una linea
piana
attorno a una
rctfa del suo
piana,
che non la atfraversi,
data dal
prcdatto
delle misure della linea
e
della
circonferenza
descritta
dal
baricenta
Secondo teorema di Culdino. La n6un del
volune del solido
generata
datta rotazione
conpleta di una supenicie
piana
attorno
a
AB
F:ri:l:l
I
i
]
[;i
\il
f::ui
DC
l7rr'1-
l2tl
In rsu'd
F
dnprF.enuro^Ln
sa-i.crrhro.d_
(enlro
O
p
d dtd--to
AB=L] dn8oo POA
ampio 60' . Calcola
i
volume e I'area de a
superficie dei due
so
idi
generati
facendo ruo-
tare
di un
g
ro conrpleto attorno
ad
AB le
dle
padi
ir
cui I semicercho divho da raggo
aP.
[,-'
"
"'(,.f)
-'
"
t(,-f)]
tl
U\p_.'e hodi
"ppioIviF_e
d'lo'uotJ'p
'-'
di 60'dltorno.r s,-oiametro. Determina
il
vollrme e 'area della sLrperflcie totae del so
do
cosgeneiato.
e .S ,j
122
Nella
f,8Jd
p
dppe.prlrlo
rl
rptldngo.o
qdc,
0r
(entro
u:
/
e Lnd
rPfra
opl
\ltro
P
dno
parallel
il
alo
aC.
Sape
do
cle AB
2d
BC: 6a, OH
:4a,
debtmina
I
area
dela
su-
pedicie
ed il voume de soldo
generato
da
una rotaz one completa del rettangolo attorno
alla retta r.
7/24/2019 geometria solida esercizi per maturit
3/6
4.
POLIDRI
E SOL DI
D] ROAZ
ONE.
AREA
DELLA LORO
SUPERFIC
E E LORO
VOLUME
una
rctk del
tuo
piano,
che
non
la attraversi.
e dak
dal
prodotta
delte
nisure
de
,arca
della
superticie
e
della
circanferenza
descritk
App
icando
le
due suddette
resote,
calcota
te
msure
.t
e V dell'area
della
superficie
e
del
volunre
del
solido generato
dajla rotazione
completa
di
un cerchio
aitorno
a una retta
a
del suo piano
che non
lo
seca
(indica
con r
e
d
le
m
sure del
raggio
det cerchio
e
de a
di-
stanza
del
suo
centro
O
da
a,
con d
so-
lido
in
question
viene
usualnrente
denom
n-
ls=4r'zrd v=2n2Pdl
.2.3
Fdcando
nferi-enro
dt
A.
N.
r)r.
oe,cr-ird
oLdnto
ri.riesto
dpp,ndndo,
due
teorp-i
di
Culdino
ilJustrati
nell,esercizio precedente.
E
d"to
u.'el
ded.o re8ol..e
AB(D
t(Ji
sp
golo
misura r
SugtisptgoliC4,
D,4,
CA,
DB
,
qorta
qJdnro
seg-cnti
JgLari
LF. Dl
.
CO.
DH
dr tunghezza
\ lvedr
ld
figura)
26
Ne,
lFtraedro
L
ABC de
ra
f,gLrd
i
pu.t
M
ed
rv-sono
I
pLn
i
-"d
dg
i
.pigori
oppos,r
VC
e
AB.
t.p-rt
M
pd
ry
.oro
i
pLn.i
-Fd
opgr
spigoli
VA
e
C8.
a) Dlnrostra
che
segmenU
MN, e
A,4,N
5orouguali
e
paralleli
e
che
i
seqmenti
llN
e
M'N'
si inteBecano
e si
bsecano
scambie-
,)
Dimostra
che
se il tetraedro
reAolare
il
quadrilaiero
L4AI,N
,4,
un
rombo
-
()
\clfipoles,
,l
.elaedro
.a
rFgolarF
p
,uu
po+o
,{4N':a.
cdl.ola
Iarca
dFt,d
.rpcrfc
e
e il
volume
del
tetraedro
siesso
ta)
Confronta
segmeru
/llN'
con
il
segmerto
VA;
.)
4a2
2a3
\/2
/31
lZ7
ca)cola
l
volume
della
parte
di
spazlo
comu_
re
a
due
sfere
uguali,
ognufa
deile
quali
ha il
centro
sull'altra
e
ll
raggio
di mkura
r.
t5n
/121
|
2$
Neld
'igia
-48
4I
sono oLc
dra-e
po-
rrreli
d Jr
lror(o
d
.ono
c
O, LFntro
det.a
Dase
maggrofe,
e
anche
vertice
di un
cono
averte
td basa
,
o nC.dF.tF
Cor
.d
ba\c
m
nore
der
tronco
stesso.
Si sa che
AB=2A,B,e
che
I'area
della
superftcie
laterale
det
cono
d
2g
a)
Dtermina
J'area
della
superficie
laterale
de
tronco
dcono
b)
possibile
determinare
il volLme
del
tron-
co
dl coro?
c)
possibile
determinare quale
fra2ione
oer
volume
del tronco
d
cono
l
volume
oel
d)
Se
si considerano,
oltre
al cono
dato,
af-
che
idue
coni
avent rispettivamente
A.,
B'
conre
vedici
e
^O,
BO
come diameti,
possibile
stabilire
quale parte
del
voiume
del
rr,o-Lo
e
to
\pd7ro
opiim
tato
dat
a
,ua
suoFrric
e e ron
o..Lrodto
dai
tre
conr
e
ll'N
a)
Dimostra
che
il
quadrilatero
FH6
un
ret-
tangolo
(tieni
conto
de I'eserctzio
N.
86)
b)
Verifica
che
il
perimetro
det
rettansoto
costarte
alvariare
della
unehezza
x.
.)
Determina
il
valore di
x
tn
odo
che
I'area
del
rettanqoio
sia
2
s,/9.
lb)
in
ogni
caso
uguale
a 2
j.
c)
Si
ot-
trene
un'equazione
di
secofdo
srado
le
cui
sol]zionisono
s/3
e 2
i/31
7/24/2019 geometria solida esercizi per maturit
4/6
4- POL EDRIE
sOLID D ROIAZ|ONE AREA DELLA
LORO SUPERFCIE
E
LORO VOLUME
ta)
84 dm'?; b) no; c) s:
1 /7t d)
s,:
4/71
|
20
Nerla igL'd
i
pul:
C
p
C/
5ono i odricFrl.,
dFrc'ac(e IAB
e
VBC dFl
rarricdro
VAAL
mentre /11 ed /,42
sono I
punti
med degli
spi-
goll
AB e CB.
a)
Determ
na
I
valore
del
rapporto
t|a i
seg-
nenti
q
C2 ed M1M2.
b) Deternina
I
valore
del
rapporto
tra i seg
me
Aj C2e AC.
c) Detto 63 l
baricentro della faccia VAC,
di-
mostra che
il
piano
individuato dai
punt
u . C/. G,
pdrallelo
ar
pano
dpira fdrcrd
ABC.
d)
Determina
i
rapporto tra le
aree dei trian
ga)qA2qeABc.
e) Supposto
che
i
tetraedro VABC sia regola-
re e che I'area del
triangolo Cr 62 63
sia
di
8
cm',
determ
na
'area della
superficie del
tetraedro dato.
Sapendo che lo
spgolo AB 5/6 dello
spi-
golo
8C e che I'area
della base di
'192
cm'z,
calcoa l'ara della supeficie
totale del
prsma.
196
(9+\/41)
cm2)
| 1l
Con)dF'd u rono
eqLilatero, ld,fer, r' e(so
" '
irec
rt"
F
il
(iinoro
a
qresta
c.rLos-ril
o.
Det-
ie
rispettivamente S, Sr, S, le
aree delle loro
superfici total
,
dimostra che Sr
media
pro
porziorale
tra
5
ed
5r
D mostra
iroltre
che
sia e dette aree,
sia i volumi dei tre soidi,
starno tra loro corne i rumer
9; 4; 6.
| )
\ela
liqLrd
L
rdDD-a.er'a
J1a
ldmD.d na
'"-
pr,n-ifoecherlrmnaura.ferad
cei
ro
O
e raggio r. Esprmi
in funzone dela
dstanza d
di L da O
(con
d>r)
i rappodo
p
tra la
parie
d
superficie sferica
iluminata
e
quella
non il-
luminata.
Qual il
valore
massimo
di
questo
La)
2/3t b)
1
/3t ) 1 /9t e) 2Aa c.r,'l
l3l,
Nella'iB-rd
rdppreseta.o
r.r
pri\n.
a enle
pe'
basi t
rdnBo
i ..o\.c|. 48C
e ,a B
C'
ko-
AB=AC). ll
plede
de l'altezza condotta
da A'
lpunto medlo
dello spigolo BC; inoltre
AA'=48.
Dimostra:
a)
che
i
tianCol AMB
e
41.44'
sono
ugual
;
b) che
lltrlangoo A'MB isoscele;
c) che dele
tre facce laterali del
prisma
due
sono romb
e
laltra
un rettangolo.
lo:
'
]L.,
,
,i
^'v
c,na
at
vatore
t
o
-'
,ruanto
liu
a aumenta
I
l.l.
Un
lrdDF7|o
rettan8olo
(o
lagolo
aLL'n
d'
45"
p
oi
os.ritto
a un ce ciio
t.u
taggio-i
sura 3 cm lltrapezio
viene fatto ruotare
d
un
giro
completo attorno
alla retta del suo lato
obliq-o De.er-ird
i
volu-e
oer
.oldo
co.l
senerato.
'
l1b
rt,-h\llrm'_
l.l4
Dim'nue
rdo
d
3
cm
'o-,o
go
o-oi un rubo.
volu."rp dim nu
re
di 999
(m
. Determrn.
la
rea della suDerficie
del cubo dato. .^--
."*
,
-l
175
7/24/2019 geometria solida esercizi per maturit
5/6
ROTAZIONE. AREA DLLA LORO
5UPERF]C E
T
LORO VOLUME
.
POLIEDRIE SOL DI D
In
una
sfera I
cLri
raggio
misura
r
inscrivi un
cilndro
'area
dela
cul
supefcie laterale
sa
4ra'
Determina le mlsure del raggio
di base
dF tdtterrd
dFi
Li
nd,o
p
fjb,ts.,
qua
e
."rd
/ronp
dev r.ercor.F.e
tra
Fd
t
"fl
-.\
(
lindro risu ti eqLrilatero.
tDeve
essere a=rv2l'2]
In
fgura
sono rappresentati
un
cilndro di
rag-
go
r e
altezza
h
(can
h>2t)
e una
sfera d
raggo r, con I centro O
sull'asse del
cilndro
e
nor averte
punti
esterni
al cilndro.
Si
vuole
che il volume de la sfera
rsulti
medio
propor
ziorale
fra
i vo umi de due so di rotordi
che,
sonrmat alla
sfera, danno
i
cllindro stesso
Determifa a
quae
d
stanza
x da una delle ba,
s
del cilindro va
preso
il
cenfo O
della sfera.
Riso vi
i
problema
nei tte cas:
h
=
4.
h
=7r
h
=
1Or.
lPet
h
=4t
il
punto
O il
punto
me-
d;o
de l'asse
del cillr,drot
per
h
=7r
la.
sfera
rhu
ta tangente
a una delle
facce
del
cilndro;
per
,
=
10r rsulta
x
=
r
(5
.L
\t17)l
Un tronco dl cono circoscritto
a
una sfera il
cu
raggio misura
r. Sapendo
che I'area
dela
superficie aterale
i 3/2
dell'area dela
som-
m"
dFle ba.i.
d-.-rmnd
lp
rn.up dp
riggi
de le basi.
I4f6
)
.,/t)/2
e
rt,yG
\/t')i2)
Und
p
rdm
d"
rego
drc
a
ba(e
triar
go
drF
-"
'apotema
uguae a
doppio
de raggo
de cer
chio inscrtto nela
base. L'area
dela
sLra
su-
penlcle
ioiale
e
5/tJ
\
J
cm_.
o) D- err rd anp"77 de
d
ed
(he
t"
Lr
ce
lateraliformaro
cor la base.
b) Calcola il volume dela
piramde
e del
trof-
co
ottenuto
sezionando la
pjramide
con
un
pano paraleo
alla base
e
passante
per
il
punto
med
o del'altezza.
176
.'rl
c)
Calcola
i voume
de
dindro avente una
base inscritta nel triangolo
sezione deternri-
nato dal
pano
di
cui
a
caso b) e
I'atra
ap-
poggata
su a base della
piram
de.
La)
6Aot b)
1536 c-nt e 1344
cmtl
c)
6a
rtl
Data una
sfera
di centro
O
e
raggo
d
m
sura
/,
per
un
punto
P
dj
un suo diametro
AB con
duc un
piaro
perpendicolare
a d ametro
stes-
so.
S
chiede
di
determ nare
la
pos
z or di P
affnch la
somma
del'area
dela
supelicie
dela calotta sferca d arezza PA
e
dell'area
dela
superficie
iaterae del cono
avente
per
veriice
tunto
O
-
pr
base
il
cerch
o
szio-
net sta
tr
apprte
2rr.
Fe:
ti5tpe:tl1
r,E15)
dato un
angolo
aa
ampio 600.
Al'intrno
dl
esso,
a una
distanza assegnata
d da
ato
a,
fssa
un
punto
P
n modo che il
quadrlatero
AHPK, can
H
e
K
proiezioni
d P
rsp-ettiva-
menle su
lai
a
e
b,
abbia usuale a d'y'3 la
msura del'area.
Deternrina
qLrindi
il
volume
del so ido
Senerato
dala
rotazione
d-"1
quadr-
laterc
OHPK attorno alla retta del slro lato
l5rd3
/21
Un fapezio
soscele
ha le d
agonali
che, in
confandosi, fornrano
gi
angoi
opposti ale
basi
di
120"
e si divdono
n
parti
una doppia
dell'altra.
Facendo
ruotare ltrapezio di
mezzo
gro
attorno
alla retta congungente i
plrti
medl de
le
basi si
ottiene
un
tronco di
cono il
cl.r
vo
urne m sura 5u4ra-\
J
a)
Determ na le m sur de
le
bas
del trapezio
e deli'area de la sLrpec e del tronco.
b) Verifca
che e d agonal del trapezo
sono
anche
bisettrici
degli angol acuti e
sono
perperdico
a
ai atiobliqui.
Ial
12a: 24a: 396a'l
lr
un
pr"|
o.dr.pgiloJia
golo
poLrld
tFro
/484,
r.Lr
ldlo
-i
Lrj
i (o
duL ruue
segnrert AP e 8Q, entrambi
prpendicolar
ad
'
ma dispost da
bande
opposte rspetto
rd
v
I
p'i-od
ri\Lrd.
-rl.p(ordod
rfr.
-
rav.
a)
Determ
na
quae
relazione
deve
ntercoF
r-re
ird
,.
)
a
a1n..e
angoo
p;O.r
b)
Determ
na
(nell'ipotesi
PCO sia reito) la
misura
de segnento PQ, sapendo
che
AP
+
BQ:17a/12.
c)
Calcola
Gempre
nele
ipotesi suddette) |
lor-mp
dFl
.oldo
.o.-itu
-o
darle
dr e
pi
a-
mdi
aventi entranrbe
i
trangolo
AAC
co-
i^.,
7/24/2019 geometria solida esercizi per maturit
6/6
4.
POLIEDRI E SOL Dl
Dl ROTAZ ONE
AREA DELLA LoRO
SUPERFC E E LORO
VOLUMT-
m brcc
e avprh
ron F
alter.p
.,pFtrila-
mente isegmentiPA
e
Q8.
p,
2"t
=d,
b,
d J4.1 )
17a3
\5
i144)
I
-
Un"
pird"ide
,e8old
F F,agoldle
d
glr
"pigol
di
b"
pld.Jmsrr",.Sc
as
r'.dgrid
Lrgo
gli
spigoli latera i
e si distefde la
superficie co-
s olrenuta
su
plano
della base, si
ottiere una
stela
a sei
punte.
Congiungerdo
le
punte
consecutive
dl detta stela
si ha un
esagono
convesso la cui
area
18J'?/j.
a) Dimostra che I'esagono
otieruto
regoare.
b)
Determina
quale
pade
del'esagono
sud-
detto
la supeficie
totaie
dela
piramide
c) Calcola
la misura delvolume
dela
piramide.
lb)
1
/3
,
c) 3s3
\/a
12)
{4
un
re-prcnrc
ha:l
5Lo n er'o
d tor^d
d
.o-
na
t dlczz l2O
cm
-
apolF-r
J0 Lm. tl re-
cipiente
contiene de l'acqua
la cu sLrpec
e r-
bera dista
12 cm dal
vetice
de cono
te$o
Nell'irlerno
del cono s depone
una sfera
di
mpldlo.
1OO/31
lJ6
E
dato
ur
ottaedro
regolare
i
cu
spigolo
mi
a) Calcola
'area dela
supedicie
e il
votum
del'oitaedro.
b)
Dall'ottaedro
s tolgano sei piram
di
cu
verUc
sono ivertici
del'ottaedro
stesso e le
cui
basi sono le
sezioni dell'ottaedro
cof
pan passanti
cascuno per
i
punti
medi dei
quaitro
spigol uscent
da un verrce.
Stab
isci da
quai
e
quanti poligon
costituta
la
superlicie delsolido
cos oiteruto.
.)
Calcoa I'area
della superficie
e
il
volume
de/
suddetto
so do.
ta)
2r'zy'3
e
i\,4/3;
b),6 quadrati
e 8
rdngo
eqr.rd
Pr:
'
r
13-"/l
,
e
5s'
\/
2
/24
147
11 u-
,oro
oi vpni,a v ,
apor-rd
F
Ia,tFrra
m-.t.fo ,)5
I5d.
|
(ono
r'-na ,pTiorato
con n
piaro
r
parallelo
al a
base distante
5a
da V.
Considera la
sfera tangente
al
pano
se-
ziore
dalla
parie
opposta a V e
targente a|e
genratrcl
del cono; O ne
sla I ceriro.
a)
Detrrina
la
m
sura
del
ragg
o
dela
sfera.
,) Stabillsci
se la sfera
totalnente
interna
aj
tronco di
cono staccato da
r.
r)
Verfica che
ogni triangolo
AVA, can A
punto
generico
dela circofferenza
di base
delcono,
isoscele.
d) Detemina
I'area
della sezione detta
sfera
con
la base
del cono dato.
ta)
2oat bj
non o ; .)
300ra'zl
r/S
Un ldpczo
i\o\elF
,i-os(
iho d. r
(F'cho
"
"
eo
pqJv"lF,tF
"
Ln
quad.aLo
|
,
u: lj.o
m
suta
5\/2
c.rl.
Facendo ruotare
il
trapezio
di
mF7lo
I
ro chor o
a
'd
pr
"
.fe
LonS LngF I
punti
med delie slre
basi si
genera
un tronco
d .ono
eq-i\,rlF'tF
al ooppro del'a
,,"
d n
esso inscritta
a) Verfica
che la supelcie
aterale del
tronco
5/4
dela supeicie
della sfera
nscritta
,e\egrr
ra
ve'i
r,"
\en-i
calLordrc le
i(u
delle
estensori
delle dette
suoelici).
br
lrKoL
b
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der
rdgg
o d;t ,
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I io
r--
cntto
nel fapezio.
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za de la
piramide
nrisura
2ay'3.
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