Geometria no Espaço II (11º ano). Modos de definir um plano Um plano fica definido por: Um vector normal ao plano n (n 1, n 2, n 3 ) e Um ponto do plano.

Geometria no Espaço IIGeometria no Espaço II(11º ano)(11º ano)

Modos de definir um planoModos de definir um plano

Um plano fica definido por:Um vector normal ao plano n (n1, n2, n3)eUm ponto do plano dado A (a1, a2, a3)

Sendo P (x, y, z) um ponto qualquer do plano

Equação do plano

n1x + n2y + n3z + d = 0

Sendo o vector normal ao plano:

n = (n1, n2, n3)

Equação do plano

Resultante de: = 0 (vectores perpendiculares, produto escalar nulo)

n1(x-a1)+ n2(y-a2)+ n3(z-a3) = 0

n1x - n1a1 + n2y - n2a2 + n3z -n3a2= 0

n1x + n2y + n3z + (- n1a1 - n2a2 -n3a3 ) = 0

d (- n1a1 - n2a2 -n3a3 )

n AP��

r

1

1

José MariaPlano_01

RECTA NO PLANO

r : x + y = 1

y

x

1O

y

1

z

1

x

José MariaPlano_02

Recta no plano

"traduz"

um plano no ESPAÇO

1O

y

1

z

1

x

José MariaPlano_02

Recta no plano

"traduz"

um plano no ESPAÇO

x

y

s

1 2

1

-2

-4

José MariaPlano_04

RECTA NO PLANO

s: y = 2x -4

z

y

x

1O

1

-4 1

2

Recta no plano s: y = 2x -4"traduz"

um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos zz)

José MariaPlano_05

z

y

x

1O

1

-4 1

2

Recta no plano s: y = 2x -4"traduz"

um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos zz)

José MariaPlano_05

y

z

t

x

1O

2

1

3

1

José MariaPlano_06

Recta no plano (yOz) t : z = -2y + 3 "traduz"

um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos xx)

y

z

t

x

1O

2

1

3

1

Recta no plano (yOz) t : z = -2y + 3 "traduz"

um plano no ESPAÇO (paralelo ao eixo dos xx)

José MariaPlano_06

n��

n

n

y

z

x

n

O

2

-1

1

1

O-1

1

(0, -2, 0)

(0, 0, 2)

(1, 0, 0)

2

Intersecção com o eixo Ox : y = 0 e z = 0 2x - 0 + 0 -2 = 0 x = 1 (1, 0, 0)

Intersecção com o eixo Oy : x = 0 e z = 0 2(0) - y + 0 -2 = 0 y = -2 (0, -2, 0)

Intersecção com o eixo Oz : x = 0 e y = 0 2(0) - 0 + z -2 = 0 z = 2 (0, 0, 2)

José MariaPlano_07

Plano definido por : 2x - y + z - 2 = 0

vector normal: = (2, -1, 1)

r

n

C

A

José MariaPlano_08

Paralelismo entre rectas e planos o vector director (da recta r) é perpendicular ao vector (n) normal ao plano

n

s

A

D

C

José MariaPlano_09

Perpendicularidade entre rectas e planos

o vector director da recta (s) é colinear com o vector (n) normal ao plano

n

p

José MariaPlano_10

Paralelismo entre dois planos

os vectores normais aos planos ( n e p ) são colineares

n

p

Perpendicularidade entre planos

os vectores normais aos planos são perpendiculares

José MariaPlano_11

Os planos são estritamente paralelos

José MariaPlano_12

Intersecção de dois planos e Resolução de sistemas

intersecção: conjunto vaziosistema: impossível

Intersecções de 2 planos / Posição relativa de 2 planos

• Sistema impossível:

• 2 planos estritamente paralelos

• 2 vectores colineares

• 2 equações não equivalentes entre si


Sistema impossível:• (2 planos estritamente paralelos)

•

• vectores normais e (1,1,1)

(2,2,2)

n

n

��

��

1

2 2 2 3

x y z

x y z

d = 1

d = 3

intersecção: um planosistema: indeterminado


José MariaPlano_20

Os planos são coincidentes


• Sistema possível e indeterminado:

• 2 planos paralelos coincidentes

• 2 vectores colineares

• 2 equações equivalentes entre si


Sistema indeterminado:

• (2 planos paralelos coincidentes)

•

• vectores normais e

1

2 2 2 2

x y z

x y z

(1,1,1)

(2,2,2)

n

n

��

�� d = 1

d = 2

Os planos são secantes

José MariaPlano_21

intersecção: uma rectasistema: indeterminado


4

2

x z

y

rz

y

x

xOy

1

-2

1

1

3

4

X

A

4

A intersecção dos 2 planosé dada por um sistema:

- a intersecção é uma recta - o sistema é possível indeterminado

Intersecção de dois planos no espaço

José MariaPlano_24

1

2 5

x y z

x y z

r��

A = (3, -2, 0)

r�� = (-3, 1, 2)

y + 2x -3 z = = -3 1 2

r��

r

z

y

x

3

0

1

1

1

2

3

- 51

3

2

5

A intersecção dos 2 planos é dada pelas equações cartesianas

a intersecção é uma recta

o sistema é possível indeterminado

Intersecção de dois planos no espaço

José MariaPlano_26


• Sistema indeterminado:

• (2 planos intersectam-se numa recta)

• vectores normais e

• OBS: Neste caso é necessário determinar a equação da recta de intersecção

1

2 5

x y z

x y z

(1,1,1)

(1, 1,2)

n

n

��

�� d = 1

d = 5

Ver resolução de sistema em ficheiro Acrobat Reader

“Posição relativa de 2 planos.pdf ”

http://www.prof2000.pt:9999/users/zemaria/Posicao_relativa_de_2_planos.pdf



Os 3 vectores normais são colineares,e as 3 equações não equivalentes


Intersecção de três planos e Resolução de sistemas

José MariaPlano_13


• Sistema impossível


• 3 vectores normais colineares

• 3 equações não equivalentes entre si



Os 3 vectores normais são colineares,e 2 equações são equivalentes entresi e não equivalentes com a 3ª

José MariaPlano_17



• 2 planos coincidentes e paralelos ao terceiro


• só 2 equações equivalentes

José MariaPlano_18



Só 2 vectores normais são colinearese as 2 equações correspondentes nãosão equivalentes




• e

• o terceiro secante aos dois

• só 2 vectores normais colineares

• e as 2 equações não equivalentes

Os 3 vectores normais não sãocolineares



José MariaPlano_19



• nenhum plano paralelo

• nem coincidente

• nenhum vector normal colinear entre si

Os 3 vectores normais são colineares,e as 3 equações são equivalentes entre si

intersecção: planosistema: indeterminado

José MariaPlano_14

planos coincidentes



• Sistema possível e indeterminado

• 3 planos coincidentes


• 3 equações equivalentes

José MariaPlano_15

Intersecção de três planos e Resolução de sistemasintersecção: rectasistema: indeterminadoSó 2 vectores normais são colinearese as 2 equações correspondentes sãoequivalentes

Os planos são secantes sendo dois deles coincidentes


• Sistema possível e indeterminado:

• 2 planos coincidentes e 1 secante aos dois

• só 2 vectores colineares

• só 2 equações equivalentes

José MariaPlano_16


intersecção: rectasistema: indeterminadoOs vectores normais não são colineares

Os três planos são secantes enão coincidentes


•Sistema possível e indeterminado:

•3 planos secantes segundo a mesma recta

• não há vectores colineares

• nem equações equivalentes

vector normal u = ( 1, 1, 1)

(0, 0, 0)

(0, 1, 0)

z

y

(0, 0, 1)

x

(0, 1, 1)

(1, 0, 0)

A = (1, 0, 1)

(1, 1, 0)

(1, 1, 1)

José MariaPlano_27


intersecção: pontosistema: possível e determinado

x

z

( 2, 1, 1 )

( 0, 1, 1 )

( 1 ,1, 2 )

y

( 1, 1, 0 )

( 1, 2, 1 )

H

( 1, 0, 1 )

José MariaPlano_28

OCTAEDRO construído num cubo com aresta 2

intersecção: pontosistema: possível e determinado



• Sistema possível e determinado:

• 3 planos secantes (intersectam-se num ponto)

• nenhum vector colinear

• nenhuma equação equivalente

Ver resolução dum sistema em ficheiro Word

“Posição relativa de 3 planos.pdf”




Geometria no Espaço II (11º ano). Modos de definir um plano Um plano fica definido por: Um vector normal ao plano n (n 1, n 2, n 3 ) e Um ponto do plano.

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