geometria de superficies-Carlos Antonio Julio Arrieta.pdf

5/23/2018 geometria de superficies-Carlos Antonio Julio Arrieta.pdf

Carlos Antonio Julio Arrieta

Geometra de Superficies


Indice general

1. Curvas regulares elementales 1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Una nota sobre producto interno y norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.6. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.7. Teora local de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.8. Expresion de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.9. Vector normal, plano osculador y torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.10. Formula de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.11. Expresiones de la Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Superficies: Teora y ejemplos elementales 32.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2. Representacion parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. Parametrizaciones locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4. Superficies regulares y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.5. Superficie regular de dimension k oksuperficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.6. Cambio de parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.7. Superficies obtenidas por valores regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.8. Funciones diferenciables entre superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

A. Particiones de la unidad 5A.1. Particiones diferenciables de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Bibliografa 6

3


4 INDICE GENERAL

4 INDICE GENERAL


Captulo 1

Curvas regulares elementales

1.1. Introduccion

La geometra de curvas y superficies tiene dos aspectos: una, que se puede llamar Geometra Diferen

cial clasica y usa los principios del Calculo. Hablando a grosso modo, la Geometra Diferencial clasicestudia las propiedades locales de las curvas y superficies. Por propiedades locales de las curvas sentiende que son las propiedades que dependen del comportamiento de las curvas o superficies en unvecindad de un punto; por esto, las curvas y superficies que se consideran en Geometra Diferenciseran aquellas que se pueden derivar un cierto numero de veces.

El otro aspecto es la Geometra Diferencial global donde se estudia la influencia de las propiedadlocales sobre el comportamiento de la curva o superficie entera. Posiblemente, la parte m as interesanty representativa de la Geometra Diferencial clasica es el estudio de las superficies, por lo tanto algunapropiedades locales de las curvas aparecen naturalmente en el estudio de las superficies.

1.2. Curvas parametrizadas

Primero se dice que una funcion de una variable real es diferenciable (o suave) si tiene en todos supuntos, derivadas de todos los ordenes (que son automaticamente continuas). Una primera definiciode curva, no enteramente satisfactoria, pero suficiente para el proposito de este captulo es:

Definicion 1.2.1 Una curva diferenciable parametrizada es una funcion diferenciable : I Rde un abierto I= (a, b) deR enR3

La palabra diferenciableen esta definicion significa que es una correspondencia que envia a cadt Ien un punto

(t) = (x(t), y(t), z(t)) R3

en la que las funciones x(t), y(t), z(t) son diferenciables. La variablet se llamaparametro de la curvLa palabra intervalo se toma en sentido generalizado, esto es, puede suceder a = , b= +.Si se denota por x(t) la primera derivada de x en el punto t y si se usa una notacion similar parlas funcionesy, zel vector (x(t), y(t), z(t)) =(t) R3 recibe el nombre vector tangente o (vectovelocidad) de la curva ent.La imagen (I) R3 se llamatraza de .

5


6 CAPITULO 1. CURVAS REGULARES ELEMENTALES

Tambien se usa el termino infinitamente diferenciable para funciones que tiene derivadas en todolos ordenes que no sera el caso de estas notas.

Ejemplo 1.2.1 Sea: I= (2, 2) R3 dada por

(t) = (1, t , t2 + 1)

cuya grafica enR3 es la curva sobre el paraboloidez=x2 +y2 que se muestra en la Figura 1.1.

x y

z

Figura 1.1

Ejemplo 1.2.2 Una curva diferenciable dada por:

(t) = (a cos t, a sin t,bt), t Rtiene como traza enR3 una elice que tiene tiro de2b sobre el cilindro x2 +y2 = 1; ver Figura 1.2

x y

z

Figura 1.2

FAC. DE CIENCIAS Y EDU. - UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS


1.2. CURVAS PARAMETRIZADAS

Ejemplo 1.2.3 La funcion

: R R2

dada por (t) = (t3, t2), t R, una curva parametrizada que tiene la Figura 1.3 como su traz(0) = (0, 0)

1

2

11 2123

Figura 1.3

Ejemplo 1.2.4 La funcion: R R3 dada por

(t) = (t3 4t, t2 4), t R

es una curva parametrizada diferenciable Figura 1.4

Figura 1.4

Ejemplo 1.2.5 Las dos curvas parametrizadas de manera distinta

(t) = (cos t, sin t) y (t) = (cos 3t, sin3t)

dondet (, 2 + ), >0 tienen la misma traza, esto es, la circunferenciax2 + y2 = 1. Note quel vector velocidad de la segunda curva es el triple que el de la primera curva, ver Figura 1.5

CARLOS A. JULIO-ARRIETA - CARRERA DE MATEMATICAS



(t)

(t)

Figura 1.5

1.3. Una nota sobre producto interno y norma

Si x, y Rn x= (x1,...,xnh) y y = (y1,...,yn) el producto interno de x con y, notado porx, y, sdefine:

x, y =n

i=1

xiyi (1.

Propiedades:

x, y = y, x

x,y =x, y

x, y+z = x, y + x, z

x, x 0x Rn yx, x = 0 si y solo si x = 0.

Si se define x =x21+x

22+...+x

2n entonces se tiene:

x, y = x y cos ,

donde es el angulo formado entre x ey

Six, yson funciones vectoriales diferenciables de una variable real deI= (a, b) en Rn,entonce

d

dtx, y = x, y + x, y



1.4. PRODUCTO VECTORIAL

1.4. Producto vectorial

Definicion 1.4.1 (Producto vectorial de dos vectores) Dados los vectores a = (a1, a2, a3) b= (b1, b2, b3) en el espacio definimos su producto vectorial como el vector

a b= a2 a3b2 b3 , a1 a3b1 b3 , a1 a2b1 b2 .Una forma de recordar las componentes del vector producto vectorial de a y b es observar qucorresponden al resultado de eliminar la primera, la segunda y la tercera columna, respectivamentde la matriz

a1 a2 a3b1 b2 b3

teniendo siempre cuidado de que a la segunda componente es necesario cambiarle el signo.Otra forma de recordarlo es la siguiente: sean i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) los vectore

coordenados unitarios; entonces se puede escribir

a= a1 i+a2j+a3 k

y

b= b1 i+b2j+b3 k

y por lo tanto de la definicion de a bse tiene la ecuacion

a

b= i j k

a1 a2 a3b1 b2 b3

dearrolado por la primera fila. Esto indica, entonces que las propiedades de los determinantes strasladan naturalmente al producto vectorial entre vectores. As, por ejemplo a b =b a. Lsiguiente grafica muestra la posision de a ben el orden que muestra la Figura 1.6.

b

a

a b

0

0

b

a

b a

Figura 1.6




Ejemplo 1.4.1 Hallar el producto vctorial entre a = (1, 0, 1) yb = (2, 1, 1).En efecto,

a b=

0 11 1

, 1 12 1

,

1 02 1

= (1, 3, 1);

Proposicion 1.4.1 Propiedades del producto vectorial. Cualesquiera que sean los vectorea, by c en R3 se tiene:

(a) a b= b a.(b) Sia y bson no nulos, a b= 0 si y solo sia y bson paralelos(c) (a+b) c= a c+b c.(d) Para el producto mixto se tiene

a b, c = a1 a2 a3

b1 b2 b3c1 c2 c3

(e) a b, a = 0 ya b, b = 0.(f) a b, c = a, b c = b, c a.(g) a (b c) = a, cb a, bc(h) ||a b||2 = ||a||2||b||2 a, b2.

Demostracion.Las propiedades (a), (b), (c), (d), (e) y (f) se deducen inmediatamente de la defin

cion de producto vectorial y las propiedades ya conocidas de los determinantes. Las propiedades g)h) pueden demostrarse directamente utilizando la definicion de producto vectorial, por lo tanto, sose demuestra h) y g) se deja como ejercicio para le lector. En efecto, a= (a1, a2, a3), b= (b1, b2, byc = (c1, c2, c3)

||a b||2 =a2 a3b2 b3

2 + a1 a3b1 b32 + a1 a2b1 b2

2=(a2b3 a3b2)2 + (a1b3 a3b1)2 + (a1b2 a2b1)2=a22b

23+a

23b

22+a

21b

23+a

23b

21+a

21b

22+a

22b

21

2[a2b3a3b2+a1b3a3b1+a1b2a2b1]=(a21+a

22+a

23)(b

21+b

22+b

23) a21b21 a22b22 a23b23

2[a2b3a3b2+a1b3a3b1+a1b2a2b1]=(a21+a

22+a

23)(b

21+b

22+b

23) (a1b1+a2b2+a3b3)2

=||a||2||b||2 a, b2

Lo que termina la demostracion. Las propiedades del producto vectorial implican los siguientes resultados.



1.4. PRODUCTO VECTORIAL

Proposicion 1.4.2 Area de un paralelogramo en el espacio El area A de un parelelogramen el espacio determinado por dos vectores ayb esta dado por la siguiente formula:

A= ||a b|| (1.2

Demostracion.Sea el angulo formado entre los vectores a y b como en la Figura 1.7

b

a

h

a b

Figura 1.7

Luego,A= ah= ab sen . (1.3

Ademas por la identidad de Lagrange

a b2 =a2b2 a, b2=b2b2(1 cos2 )

=a2

b2

sen2

.

(1.4

Lo que demuestra la proposicion

Ejemplo 1.4.2 Encontrar el area del triangulo que tiene como vertices los puntos de intersecciodel plano 2x+y+ 3z= 6 con los ejes coordenados.

Solucion. Los puntos de corte del plano 2x + y+ 3z= 6 con los ejes coordenados son (ver, Figur1.8) A = (3, 0, 0, ) B= (0, 6, 0) y C= (0, 0, 2).

A= (3, 0, 0)B= (0, 6, 0)

C= (0, 0, 2)

Figura 1.8




Se toman los siguientes vectores

AB= (3, 6, 0) y AC= (3, 0, 2)con lo que

AB AC= (12, 6, 18)y por lo tanto

Area =1

2||AB AC|| =1

2[144 + 36 + 324]1/2 =

1

2

504= 3

14.

El problema que ha conducido a los resultados anteriores es el de encontrar una f ormula para deteminar el volumen de un paraleleppedo en R3.Este problema puede ser resuelto ahora de una formelegante.

Proposicion 1.4.3 Volumen de un paraleleppedo. El volumen de un paraleleppedo determnado por los vectores a, b y c en el espacio puede calcularse mediante la formula

V = |a b, c| = a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3 dondea= (a1, a2, a3), b= (b1, b2, b3) yc= (c1, c2, c3).

Demostracion.Sea el angulo formado por los vectores a by c,como en la Figura 1.9.

a

b

h c

a b

Figura 1.9

Por lo tanto, el volumen del paraleleppedoV es

V = (area de la base) h= ||a b||||c|| cos = |a b, c|.

Lo que demuestra la proposicion. Ejemplo 1.4.3 El volumen del paraleleppedo determinado por los vectores a = (1, 2, 3), b (0, 1, 2) yc = (1, 2, 1) es el valor absoluto de

V =

1 2 30 1 21 2 1

= 1 22 1

+ 2 31 2 = 1 + 4 + 4 + 3 = 10

Por lo tanto, V = 10u2



1.5. CURVAS REGULARES

Proposicion 1.4.4 Sean(t) = (1(t), 2(t), 3(t))

y(t) = (1(t), 2(t), 3(t))

curvas parametrizadas diferenciables en un intervalo abierto I. Entonces

d

dt

(t) (t) =(t) (t) +(t) (t). (1.5

para todo t I

Demostracion.Es un ejercicio simple.

1.5. Curvas regulares

Sea : I

R3 una curva parametrizada diferenciable. Para cada t

I donde (t)

= 0 existe un

recta bien definida, que contiene el punto (t) y el vector (t), esta recta recibe el nombre de recttangente de en t. Para el estudio de la geometra diferencial de una curva es importante que existtal recta tangente en cualquier punto de la curva. Si (t) = 0 entonces se dice que t es un punsingular de

Definicion 1.5.1 Una curva parametrizada diferenciable : I R3 se dice regular si (t)= para todo t I.

De ahora en adelante se consideran curvas parametrizadas diferenciables regulares y por simplicidase omite la palabra diferenciable.

1.6. Longitud de arco

Sea tI, la longitud de arco de una curva parametrizada regular : I R3 desde el punto t0 epor definicion:

s(t) =

tt0

(t) dt (1.6

donde (t) =

[x(t)]2 + [y(t)]2 + [z(t)]2.

Es la longitud de arco del vector (t). Como (t)

= 0, la longitud de arco s es una funcio

diferenciable y si tiene:

ds

dt = (t) (1.7

Puede suceder que el parametrot ya sea la medida de longitud de arco desde algun punto. En estcaso:

ds

dt = (t) = 1




Esto es, el vector velocidad tiene longitud de arco igual a 1. Reciprocamente, si :

(t) = 1,entonces:

s= t

t0

dt= t t0. (1.8

y t es entonces la medida de longitud de arco para medida desde algun punto t0. En resumen: parametrotes la medida de longitud de arco desde algun punto si y solo si (t) = 1.para simplificar la exposicion se restringe a curvas parametrizadas por la longitud de arco, esta e (t) = 1.Pero primero veamos:

Teorema 1.6.1 Sea : I R3 una curva regualar. Entonces existe una reparametrizacion polongitud de arco para definida por

(s) =(t(s))dondet(s) es la funcion inversa de la funcion longitud de arco asociada con.

Demostracion.Por el teorema fundamental del calculo, cualquier funcion de longitud de arco s de satisface:

ds

dt(t) =s(t) =

d

dt

tt0

(t) dt= (t) (1.9

Puesto que es una curva regular (t)= 0 para todo t y por lo tanto dsdt

es siempre positiva. E

teorema de la funcion inversa del calculo implica que t s(t) posee inversa s t(s) ydt

ds

s(t)

= 1dsdt

t(s)

Ahora, se define por (s) =(t(s)).Entonces por la regla de la cadena:

(s) =(t(s))dt

ds.

Por lo tanto

(s) = (t(s)) dtds

= dtds

(t(s)) = dtds

(s)ds

dt(t(s)) = 1

Ejemplo 1.6.1 Obtener una reparametrizacion por longitud de arco de la helice

x(t) = (a cos t, a sen t,bt).



1.6. LONGITUD DE ARCO

SolucionComo

s= s(t) =

t0

||x(t)||dt= t

0

(a2 +b2)1/2dt=

a2 +b2 t,

entonces la funcion inversa de s es

t= t(s) = sa2 +b2

y por el teorema anterior la reparametrizacion de x por longitud de arco es

x(t(s)) =

a cos sa2 +b2

, a sen sa2 +b2

, bsa2 +b2

.

Ejemplo 1.6.2 Dada la circunferencia

x(t) = (a cos , a sin ), .

Introducir a lo largo de ella el parametrot= tan 4

.

Solucion.

Por las identidades relativas al angulo medio se obtiene

cos = cos4

4+ sen4

4 6cos2

4 sen2

4

= 1

sec4 4+

1

csc4 4 6tan

2 4

sec2 4.

Usando las identidadestan2 t+ 1 = sec2 t y cot2 t+ 1 = csc2 t

se obtiene

cos = 1

(t2 + 1)2+

t4

(t2 + 1)2 6t

2

(t2 + 1)2 =

t4 6t2 + 1(t2 + 1)2

.

Analogamente

sen =4 sen

4cos3

4 sen3

4cos

4

= 4t

(t2 + 1)2 t

3

(t2 + 1)2

=4t(1 t2)(t2 + 1)2

.

Por lo tanto

x(t) =

at4 6t2 + 1

(t2 + 1)2 , b

4t(1 t2)(t2 + 1)2

.




1.7. Teora local de curvas parametrizadas por longitud de arco

Se presentan los resultados principales que se usaran posteriormente. Para tal efecto, sea : I(a, b) R3 una curva parametrizada por la longitud de arco, Esto es,

1 = ||

(s)||, (s I),entonces||(s)|| mide la razon de cambio en el angulo que hacen los vectores tangentes, en unvecindad, con la tangente en s.

(s)

(s)

Figura 1.10

por lo tanto,||(s)||proporciona una medida de rapidez con que la curva se aleja de la tangente es,en una vecindad de s.

Definicion 1.7.1 Sea :I = (a, b) R3 una curva parametrizada por la longitud de arco sIEl numero

||(s)

||= k(s) se llama curvatura de ens, y el vector k(s) = (s) = k(s)n(s) co

n = 1 se llama vector curvatura.Ejemplo 1.7.1 Si es una linea recta, entonces

(s) =us+v

dondeu yv son vectores constantes deR3.

Naturalmente,||u|| = 1 para que la recta este parametrizada por la longitud de arco y as(s) =

Recprocamente, si k = 0 =

(s), entonces por simple integracion(s) =us + vy la curva es unlnea recta.

Notese que por el cambio de orientacion el vector tangente cambia de direccion, esto es si (s) (s), entonces

d

d(s) = d(s)

d(s)= d(s)

d(s) ,

por lo tanto, (s) y la curvatura son invariantes bajo un cambio de orientacion.



1.8. EXPRESION DE LA CURVATURA

Ejemplo 1.7.2 Sea: I R2 la circunferencia de radio 1, esto es,

(s) = (cos s, sin s), s (, 2+),

entonces(s) = ( cos s, sen s), esto es,||(s)|| = 1 =k.

Ejemplo 1.7.3 Calcular la curvatura de la helice circular de ecuaciones

x= a coss

c, y= a sen

s

c, z=

bs

c

con < s < , c= a2 +b2.

Solucion.Como

(x,y,z)

= a2c2 +b2c21/2

= 1,

entonces la helice esta parametrizada por la longitud de arco, luego.

(x,y,z) = (ac

sens

c,

a

ccos

s

c,

b

c) = a

c2cos

s

c, a

c2sin

s

c, 0

luego

k=

a2

c4 =

a

c2 =

a

a2 +b2.

1.8. Expresion de la curvatura en funcion de un parametro cualquier

Teorema 1.8.1 Sea : I R3 una curva parametrizada regular (no necesariamente por longitude arco) y : J R3 una reparametrizacion de(I) por la longitud de arco medida desdet0 Seat= t(s) la funcion inversa de la funcion longitud de arco s.Si ddt =

, d2

dt2 =, etc. Entonc

(a) se tiene que dtds =

1||||

, d2t

ds2 = ,

||||4 .

(b) La curvatura

k(t) =

||||3 (1.10

Demostracion.

(a) Bajo hipotesis (y usando el Teorema de la funcion invesa)

dt

ds=

1dsdt

= 1

|||| .




Tambien

d2t

ds2 =

d

ds

1

||||

= d

ds

1

,

=

1

2 1, 1/22 , , 2 dtds= ||

|| , ||||4

1dsdt

= ,

||||4

(b) Como admite una reparametrizacion por la longitud de arco medida desde t0 I, t s(tcon inversa s t(s). Ver Figura 1.11

t

s

(t)

(s)

s= s(t)t= t(s)

Figura 1.11

entonces se escribir (t) =(t(s)) = (s), con lo que (t) =(s(t)),luego

=d

dt =

d

ds

ds

dt

y as

= d

dt ddt dsdt +dds d2sdt2 = d2ds2 dsdt 2 +dds d2sdt2 .Ahora,

=

d

ds ds

dt

d2

ds2

ds

dt

2+

d

ds

d2s

dt2

=

d

ds d

2

ds2

ds

dt

3,

(1.1



1.8. EXPRESION DE LA CURVATURA

comod2

ds2 =k n y ||n(s)|| = 1

se obtiene

=

d

dsn k

ds

dt3

, (1.12

luego

, =k2

ds

dt

6esto es,

k2 =|| ||2

||||6 .

Lo que muestra que

k(t) =||

||||||3

Ejemplo 1.8.1 Calcular la curvatura de la curva dada por

(t) = (t2, cos(t), sin(t)), 0< t < Solucion. Como

= (2t, sin t, cos t) y = (2, cos t, sin t),entonces

=

i j k2t sen(t) cos(t)2 cos(t) sen(t)

= (1,2t sin t+ 2 cos t, 2t cos t+ 2 sin t).

(1.13

Con lo que|||| =

4t2 + 1 y || || =

4t2 + 5.

Por lo tanto

k(t) =

4t2 + 5

(4t2 + 1)3/2 .

Ejemplo 1.8.2 Calcular la curvatura de la curva plana situada en el plano z = 0 dada por x x(t), y= y(t).

Solucion.

Sea(t) = (x(t), y(t), 0), entonces

= (x, y, 0), = (x, y, 0) y |||| =

x2 + y2,




por lo tanto

= i j kx y 0

x y 0

= (0, 0, xy yx),as que

|| || = |xy yx|,con lo que

k(t) =|xy yx|(x2 +y2)3/2

.

Ejemplo 1.8.3 calcular la curvatura de la curva dada en forma de coordenadas polaresr= r().

Solucion.

Derivando con respecto a las formulas de cambio de variables

x= r()cos , y= r()sen

implicandx

d =

dr

dcos r sen y dy

d =

dr

dsen rcos

y volviendo a derivard2x

d2

=d2r

d2

cos

2

dr

d

sen

r cos

d2y

d2 =

d2r

d2sen + 2

dr

dcos r sen .

Como

k(t) =|xy yx|(x2 +y2)3/2

,

entonces

|xy yx| =(r cos r sin )(r sin + 2r cos r sin )(r sin

r cos )(r cos + 2r sin

r cos )

=r2 + 2(r)2 rr

y

x2 + y2 = (r cos r sin )2 + (r sin r cos )2 = (r)2 +r2,luego

k=|r2 + 2(r)2 rr|

[r2 + (r)2]3/2 .



1.9. VECTOR NORMAL, PLANO OSCULADOR Y TORSION

1.9. Vector normal, plano osculador y torsion

Considerese de nuevo : I R una curva regular parametrizada por la longitud de arco. En lopuntos donde k(s)= 0 el vector unitario n(s) en direccion de (s) esta bien definida mediante ecuacion

(s) =k(s)n(s) (1.14

como(s), (s) = 1, entonces(s), (s) = 0.Lo que muestra que(s) es normal a(s).Polo tanto, n(s) es normal a (s) y recibe el nombre de vector normal en s. El plano determinadpor el vector tangente unitario y el vector normal, es decir por (s) y n(s), recibe el nombre dplano osculadoren s. Ver Figura 1.12

t(s) =(s)

n(s)

Figura 1.12

Un plano dondek(s) = 0 el vector normal (y por lo tanto el plano osculador) no esta definido. En que sigue, las curvas seran parametrizadas por la longitud de arco sin puntos singulares de orden (esto es, (s) = 0). Se denota con

t(s) =(s) (1.15

el vector tangente unitario de en s (Obseve que se esta utilizando a t de dos maneras diferenteuna como parametro y ahora como vector tangente unitario). As

t(s) = k(s)n(s). (1.16

El vector

b(s) =t(s) n(s) (1.17

tiene las siguientes propiedades:

(a) b(s) es normal a t(s) y a n(s), por lo tanto, al plano osculador y recibe el nombre de vectobinormalen s, ver figura 1.13




t(s)

n(s)

b(s)

Figura 1.13

(b) La identidad de Lagrange implica

||b(s)||2 =||t(s) n(s)||2=||t(s)||2||n(s)||2 t(s), n(s)=1

(1.18

(c) Como||b(s)||2 = 1, entoncesb(s), b(s) = 1 y asb(s), b(s) = 0,

con lo que b(s) b(s).(d) Puesto que

d

dsb(s) =t(s) n(s) +t(s) n(s) =t(s) n(s), (1.19

entonces b

(s) t(s),ver Figura 1.14.

t(s)

n(s)

b(s)

Figura 1.14

(e) Comon(s) t(s) yb(s) =t(s) n(s) se obtiene que{t(s), n(s), b(s)}

forman una base de R3 para cada s anclado en (s),por lo tanto, al expresar

b(s) =a1 n(s) +a2 t(s) +a3 b(s)



1.9. VECTOR NORMAL, PLANO OSCULADOR Y TORSION

resultaa1 = b(s), n(s)a2 = 0a3 = 0

con lo que b(s) es paralelo a n(s) y se puede escribir

b(s) = (s)n(s)

Como||b(s)|| = 1 para todo s, entonces la longitud||b(s)|| mide la razon de cambio del planosculador, en una vecindad de s, con respecto al plano osculador en s. As que||b(s)|| mide que tarapido la curva se aleja del plano osculador en s, en una vecindad de s.Esto proporciona la definiciosiguiente.

Definicion 1.9.1 Sea : I R3 una curva parametrizada por la longitud de arco, tal que(s) = s I. El numero (s) definida porb(s) = (s)n(s) se llamatorsion de ens.

Ejemplo 1.9.1 Por definicion, la torsion de una curva regular contenida enR2 es cero.

Ejemplo 1.9.2 Sea : I R3 una curva regular parametrizada por la longitud de arco. es uncurva plana si y solo si= 0 yk= 0.

Solucion. Si es una curva plana, es decir (I) esta contenida en un plano, entonces el plano dla curva coincide con el plano osculador y as= 0.

Reciprocamente se = 0 (k= 0) entonces

b(s) = n= 0n= 0

con lo que b(s) =b0 (constante en R3), por lo tanto

(s), b0 = (s), b0

como(s) b(s) =b0, entonces(s), b0 = 0. Por integracion

(s), b0 =c (constante).

Luego, para todo s1 ys2 se tiene

(s2) (s1), b0 =c c= 0.

Lo que demuestra que el vector con puntos externos (s1) y (s2) esta contenido en P (planortogonal a bo) para todo s1, s2 esto es (I) P, es decir es una curva plana.

Ejemplo 1.9.3 Calcular la torsion de la helice vertical circular de ecuacion

(s) =

a cos

s

c, a sin

s

c,b

cs

cons R.




Solucion.

Claramente esta parametrizada por longitud de arco.

(s) =

a

csen

s

c,a

ccos

s

c,b

c

, (s) =

a

c2cos

s

c, a

c2sen

s

c, 0

.

Tambienn= ( coss

c, sens

c, 0)

as que

b(s) =(s) n=

b

csen

s

c,b

ccos

s

c, a

c

,

con lo que

b(s) =

b

c2cos

s

c,

b

c2sen

s

c, 0

= b

c2n

por lo tanto

(s) = bc2

= ba2 +b2

En contraste con la curvatura, la torsion puede ser positiva o negativa. El signo de la torsion tienuna interpretacion geometrica que sera dada mas tarde.Notese que al cambiar la orientacion, el vector binormal cambia de signo ya que b = t r. Siguentonces que b(s) y por lo tanto, la torsion permanece invariante bajo cambio de orientacion.

1.10. Formula de Frenet

A cada valor de el parametro s,se le ha asociado tres vectores ortogonales unitarios:

t(s), n(s), b(s)

donde t(s) = (s), (s) = k(s)n(s) y b(s) = t(s) n(s). Estos tres vectores ortogonales unitaroas formandos se conocen como triedro de frenet en s. Ahora bien (omitiendo el parametro s)

t =kn, b = nAs que los vectores t y b quedan expresados en combinacion lineal de la base{t,n,b} de R3p Rque proporciona informacion geometrca (curvatura k y torsion ) sobre el comportamiento de euna vecidad de s. Otra informacion geometrica local la proporciona el calculo de n. Esto es, com

n= b t,entonces en el punto s se tienen =b t+b t = ( n) t+b (kn)

= (n t) +k(b n) = (b) +k(t n) n= b+k(t) = kt+ b

Como el producto vectorial satisface x (y z) = x, yy x, yz entonces

(t n) n= n (t n) = [n, nt+ n, tn] = t.



1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION

Por lo tanto,

t = knn = kt + bb = n

(1.20

o bien: tnb

= 0 k 0k 0 0 0

tnb

se llama Formula de Frenet (por conveniencia se ha omitido la letra s).

Se continua entonces con el estudio de la torsion para posteriormente poder estudiar de manerdirecta e inversa las formulas de frenet.

1.11. Expresiones de la Torsion

Teorema 1.11.1 (Torsion en funcion del parametro arco.) Sea

: I= (a) R3

una curva parametrizada por la longitud de arco. entonces:

=,

, Demostracion.Se calcula, .Como =kn,entonces (omitiendo la letra s)

=k n+kn =k n+k(kt+ b) =k n k2t+kb.Tambien

= (kn) kn k2t+k b= 0 k3(n t) +k2(n b)= k3(n t) +k2(n b).

Peron t= byn b= n (t n) = n, nt n, tn= t+ 0 =t,

asi que =k3b+k2 t,

con lo que

, = t, k3b+k2 t= 0 + t, k2 t=k2t, t.

Luego

=,

,




Teorema 1.11.2 (La torsion en funcion de cualquier parametro). Si = (t), entonces sverifica que

= ,

2 (1.2

Demostracion.Para simplificar las expresiones sean

=d

dt, =

d2

dt2, =

d3

dt3

al igual que

=d

ds, =

d2

ds2,

... =

d3

ds3.

Entonces:

= ds

dt, =

ds

dt

2+

d2s

dt2,

con lo que

= ( )

ds

dt

3Como = knentonces:

= ( n)k

ds

dt

3Calculando ,en efecto:

=

d dsdt

2+ d

2sdt2dt

=...

ds

dt

3+ 2

ds

dt d

2s

dt2 +

ds

dt d

2s

dt2 +

d3s

dt2

=...

ds

dt

3+ 3

ds

dt d

2s

dt2 +

d3s

dt2.

Como = kn,y n , entonces

, = t n, ...k

ds

dt6

(1.22

Ahora se calcula..., en efecto (en variable s)

... =

d

d2ds2

ds

=d(kn)

ds =kn+kn

Para clacular n,se observa en el triedo de frenet que

b t= (t n) t= t, tn t, nt



1.11. EXPRESIONES DE LA TORSION

as queb t= n

luego

n=d(n)

ds =b t+b t

Con lo que... = kn+k

b t+b t

.

Comob= n , n= b t; t= kn.Se tiene... =k [b (kn) + ( n) t] +kn

=k2(b n) k(n t) +kn=k2(b n) +k(t n) +kn

como

b n= (t n) n= n (t n)= [n, nt n, tn]= t

entonces... = k2t+k b+kn

Por lo tanto:

,

= t n, k2

t+k b+kn kdsdt

6

= b, b(k2)

ds

dt

6.

Esto muestra que

, =k2

ds

dt

6y como ds

dt = ,se obtiene

= ,

k2

6 .

Como

k2 = 2

6 ,

se obtiene

= ,

2




Ejemplo 1.11.1 Calcular la torsion de la helice dada en un parametro arbitario

(t) = (a cos t, a sen t,bt), < t < .Solucion:Como

(t) = (a cos t, a sen t,bt),

= (a sen t, a cos t, b) = (a cos t, a sen t, 0) = (a sen t, a cos t, 0),

entonces = (ab sen t, ab cos t, a2)

y por lo tanto 2 =a2b2 sen2 t+a2b2 cos2 t+a4 =a4(a2 +b2).

Tambien , =a2b sen2 t+a2b cos2 t= a2b.

Con lo que

= a2ba4(a2 +b2)

= ba2 +b2

.

Teorema 1.11.3 Teorema fundamental de la teora local de curvas Dada las funciones dferenciablesk = k(s) y = (s), sI, existe una curva parametrizada : I R3 tal ques es longitud de arco, k es la curvatura yes la torsion de. Ademas cualquier curva, que satisfaclas mismas condiciones, difiere de por un movimiento rigido; esto es, existe una transformaciolineal ortogonal deR3 con determinante positivo y un vectorc tal que

= +cUna demostracion completa usa el Teorema de existencia y unicidad de soluciones de ecuacionediferenciales ordinarias, ademas que usa otros resultados de Geometra de superficies bi-dimensionaPor tal motivo la prueba no se presentara en este momento. Ver, por ejemplo Do Carmo, Geometrdiferencial de curvas y superficies, pagina 309.

1.12. Ejercicios

Curvas y producto vectorial

1. Encontrar una parametrizacion para cada una de las secciones conicas, las cuales son:

a) Parabolab) Circunferencia

c) Elipse

d) Hiperbola

2. La cicloide. Una cicloide es un lugar geometrico descrito por un punto fijo de una circunferencque rueda, sin resbalar, sobre el eje x del planoxy (en general sobre cualquier recta en el planx, y), como en la Figura 1.15



1.12. EJERCICIOS

a

O A B

DC

P

Figura 1.15

Observese queOB =arco PB

y que las coordenadas del puntoP son

x= OA= OB AB

y= AP =BC DC.Calcular una parametrizacion de la cicloide.

3. Hallar el area de la Figura 1.16, poligono de verticesABCDE, donde

A= (2, 0), B= (1, 2), C= (2, 1), D= (0, 1), E= (1, 3)

1

2

3

1

2

1 212A

B

CD

E

Figura 1.16

4. Demostrar que la distancia de un puntoA= (x0, y0, z0) al plano ax+by+cz+d= 0 es

d=|ax0+by0+cy0+d|

a2 +b2 +c2

5. Calcular el punto A del plano 5x 14y+ 2z+ 9 = 0 que este mas proximo al punto B (2, 15, 7).




6. Hallar la ecuacion del plano paralelo a 2x y+ 2z+ 4 = 0 si el punto (3,2,-1) equidista dambos.

7. Dada la piramide de base ABCD y vertice E, donde A = (2, 0, 0), B = (3, 1, 0), C(0, 1, 0), D= (1, 0, 0) yE= (1, 1, 3), hallar:

(a) El area de la cara AB E.

(b) El area de la base.

(c) El volumen del prisma.

(d) La distancia entre las rectasE B yDC.

(e) El valor de la altura.

8. Hallar el volumen del prisma determinado por los vectores

a= (1, 2,

1), b= (0, 1, 2) yc = (1, 2,

3)

9. Demostrar las siguientes propiedades del producto vectorial:

(a)a b, c = a, b c = b, c a(b) (a b) c= a, cb b, ca.

Curvatura, torsion y pano osculador

10. Calcuar curvatura y torsion de

a) (t) =(1

3(1 +t)3/2,

1

3(1 t)3/2, t

2)

b) (t) =(4

3cos t, 1 sen t, 3

5cos t)

b) (t) =(cos3 t, sen2 t, 0)

en donde el parametro tenga sentido.

11. Demostrar que la curva

(t) = (1 +t2

t

, t+ 1,

1 t

t

)

es planar.

12. Demostrar que en las ecuaciones de Frenet - Serret,t, ny b son ortogonales uno al otro.

13. Sea(t) = (a cos t, a sen t, t), t R.a) Reparametrizarpor longitud de arco

b) Calcular la curvatura, torsion y el plano osculador en cada punto de .



1.12. EJERCICIOS

c) Sea (t) una curva con velocidad unitaria en R3, y se asume que la curvatura k(t) eno-cero para todo t.Se define una nueva curva por

(t) =d (t)

dt .

Demostrar que es regular y que, si s es la longitud de arco parametro de ,entonces

ds

dt =k

Probar que la cuevatura de es 1 +

k21/2

14. Se considera la curva definida en forma implcita por F(x,y,z) = 0 G(x,y,z) = 0. Hallar

expresion de la recta tangente en el punto (x0, y0, z0).15. Hallar la recta tangente y el plano normal a la curva de ecuacionesx2 +y2 +z2 = 3, 9x2

4y2 13z2 = 0 en el punto (1, 1, 1).16. Hallar la ecuacion del plano osculador de la curva

x= senh t, y= cosh t, z= 4t

en un punto generico a ella.

17. Probar que si todas las rectas tangentes a una curva que pasan por un punto fijo la curva e

una recta.

18. Calcular la expresion de la curvatura de la curva plana, situada en el plano z= 0, cuando sexpresion viene dada en

a) forma explcita y = f(x),

b) forma polar r = 3 sen .

19. Probar que si todas las tangentes a una curva son paralelas a un plano, entonces la curva eplanar.

20. Sea la curvax = x(s), y= y(s), z= 0 donde s es la longitud de arco. Probar que la curvatur

k verificak2 = (xy yx)2

21. Dada la curva x4 2x2y2 xy3 x2 +y2 +xy = 0, z = 0, hallar la curvatura en x = 1 ordenada racional.



Captulo 2

Superficies: Teora y ejemplos elementales

2.1. Introduccion

Intuitivamente, se considera una superficie, como un conjunto de puntos del espacio que localment

es como una vecindad del plano. Esto ocurre cuando la superficie es localmente la im agen de unfuncion suficientemente suave o diferenciable, es decir, regular desde una vecindad de un punto dplano en puntos del espacio. Como lo que se necesita es extender y aplicar a superficies los metododel Calculo, se supone que la funcion es de claseC y ademas que la superficie tiene en cada puntun plano tangente y por lo tanto, el rango de la matriz jacobiana de la funcion es dos. Como ecurvas regulares, las superficies tambien admiten representacion parametrica.

2.2. Representacion parametrica

Definicion 2.2.1 Una representacion parametrica de claseC de un conjunto de puntosM deR

es una funcionx= x(u, v) de un conjunto abierto U deR2

sobreM,tal que

(a) x es de claseC enU,

(b) Si{e1, e2, e3} es una base deR3 yx(u, v) =x1(u, v)e1+x2(u, v)e2+x3(u, v)e3,

entonces para todo (u, v) U se tiene:

Rango

x1

u

x1

vx2u

x2v

x3u

x3v

= 2 (2.

Se recuerda que x es de clase c(U), si todas sus derivadas parciales existen y son continuas en y el rango de una matriz es el orden del menor, no-nulo, m as grande de la matriz. De esta forma, rango de la matriz anterior es 2, si y solo si uno de los siguientes determinantes:

33


34 CAPITULO 2. SUPERFICIES: TEORIA Y EJEMPLOS ELEMENTALES

x1u

x1v

x2u

x2v

,

x1u

x1v

x3u

x3v

,

x2u

x2v

x3u

x3v

(2.2

es no nulo.

A las variablesu y v se las denomina parametros. Ademas se denota una representacion parametricmediante x = x(u, v) y sus derivadas parciales con los simbolos:

xu =x

u, xv =

x

v, xuu =

2x

2u, xuv =

2x

vu, (2.3

Proposicion 2.2.1 SeaU un conjunto abierto deR2, entoncesx = x(u, v), es una representacioparametrica regular deU sobreMsi y solo si:

(a) x es de claseC enU

(b) xu xv= 0,(u, v) U

Demostracion.

xu xv =

e1 e2 e3

x1u

x2u

x3u

x1v

x2v

x3v

=

x1u

x1v

x2u

x2v

e3

x1u

x1v

x3u

x3v

e2+

x2u

x2v

x3u

x3v

e1Las componentes dexu xv difieren de los menores de orden 2 2 de la matriz jacobiana para x,lo sumo en un signo; por lo tanto el rango de la matriz jacobiana de x es dos si y solo sixu xv= Lo que demuestra la proposicion.

Ejemplo 2.2.1 La ecuacionx(u, v) = (u,v,u2 +v2)

es una funcion de R2 sobre el paraboloide z = x2 +y2. Se observa que x tiene derivadas parcialecontinuas de todos los ordenes. Tambien :

xu xv = det e1 e2 e31 0 2u

0 1 2v

= 4u2 + 4v2 + 1 = 0Con lo que xes una representacion parametrica regular de clase c para el paraboloide z= x2 + y



2.2. REPRESENTACION PARAMETRICA

Ejemplo 2.2.2 Cuando se estudia geometra, una de las reflexiones importantes, es ver que suceden la esfera. Para tal efecto, se define

S2 =

(x,y,z) :x2 +y2 +z2 = 1

(2.4

y por coordenadas esfericas se puede escribir (ver Figura 2.1):

x= (cos sin , sin sin , cos ) (2.5

sen

x

y

z

S2

Figura 2.1

define una funcion del plano R2 de coordenadas (, ) sobre la esfera: x2 + y2 + z2 = 1.Al igual quel ejemplo 1, x tiene derivadas parciales de todos los ordenes. Pero:

x x =

e1 e2 e3

sin sin cos sin 0cos cos sin cos sin

= ( cos sin2 , sin sin2 , sin cos )=

cos2 sin4 + sin2 sin4 + sin2 cos2

=

| sin4 + sin2 cos2 |= |sin |

que es cero en = n, n Z.Esto es, x no es regular a lo largo de las rectas = n, n Z.Por tanto, el dominio de x se debe restringir a la franja

< < , 0< <

para que sea una representacion parametrica regular de clase C deS2 {N, S},dondeNes el ponorte ySel polo sur. (Ver Figura 2.2.)




= 0

= 0

0

x

= 0

z

y= 0

Figura 2.2

La familia de curvas = 0, de parametro se obtiene claramente z= cos 0 = constante dandcomo resultado una circunferencia paralela al planoxy. Esta familia de curvas enS2 reciben el nombrde: paralelos de latitud. La familia de curvas = 0 de parametro se llaman : meridianode longitud.

Los meridianos de longitud son las intersecciones de la esfera con la familia de planos qucontienen el ejez.Para calcular la ecuacion de este plano, se calcula primero su vector normaesto es:

n =

e1 e2 e3

0 0 1

cos 0 sin 0sin cos

= (sin 0sin , cos 0sin , 0)

Como la ecuacion del plano buscado es

n, (x,y,z)

= 0, esto es,

x sin 0sin +y cos 0sin = 0,

es decir:

x sin 0+y cos 0 = 0

Los paralelos de latitud y los meridianos de longitud se cortan en angulos rectos ya que:

x x= ( sin sin , cos sin , 0), (cos cos , sin sin , sin )= sin sin cos cos + cos sin sin cos =0

2.3. Parametrizaciones locales

Es necesario observar que una representacion parametrica regular de claseC puede solamente cubruna parte de la superficie que se desea estudiar. Como resultara excesivo restringirnos a consideraunicamente representaciones parametricas que sean inyectivos. Por tal motivo se presenta la siguient



2.4. SUPERFICIES REGULARES Y EJEMPLOS

Definicion 2.3.1 Parametrizacion Local.SeaUun conjunto abierto enR2,yM R3,la funcio

: U M, o el par (U, )

se llama una parametrizacion local deM si

(a) es de claseC(U)

(b) es un homeomorfismo. Esto esx es inyectiva, continua con inversa continua.

(c) u v= 0, (u, v) U.

(U) recibe el nombre de vencidad coordenada.

La condicion (c), es equivalente a que d es 1 1 en cada punto p U.Ya que para = (x,y,z) dp es 1 1 si y solo si los vectores columnas de

x

u

x

vy

u

y

vz

u

z

v

(2.6

son linealmente independientes (imagen directa e inversa de una transformacion lineal 1 1), equvalentemente, a que el producto vectorial.

u

v= 0

Lo que proporciona el siguiente

Lema 2.3.1 Sean U un conjunto abierto en R2 y : U M una funcion. Entonces es unparametrizacion local deMsi y solo si

(a) es de claseC(U)

(b) es un homeomorfismo. Esto esx es inyectiva, continua con inversa continua.

(c) La diferencial de es uno a uno para todo (u, v) U.

2.4. Superficies regulares y ejemplos

Definicion 2.4.1 Se dice que un conjunto M R3 es una superficie regular si cada punto p Mexiste un conjunto abierto deV deR3 y una parametrizacion : U V Mde un conjunto abiertU deR2 sobreV M R3 tal que (ver Figura 2.3)

(a) es de claseC(U)

(b) es un homeomorfismo. Esto es es inyectiva, continua con inversa continua.




(c) Para cadaq, la diferencialdq : R2 R3 es uno a uno.

Es decir, un conjunto M R3 es una superficie regular si cada punto p M admite una parametrzacion local de claseC.

(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

U

v

(u, v)

u x

y

M

p

z

(u, v)

Figura 2.3

1. Seaf :U Runa funcion difernciable en un conjunto abiertoU de R2,entonces la grafica df, esto es, el subconjunto de R3 dado por

M= {(u,v,f(u, v)), (u, v) U}es una superficie regular.

En efecto, la funcionx: U R3 definida por

x(u, v) = (u,v,f(u, v))

es una parametrizacion de la grafica de f. Ademas su vencidad coordenada cubre cualquiepunto de M.

La condicion (a) se satisface inmediatamente.

La condicion (c) no es difcil ya que (x,y)(u,v)

= 1,es decir xu xv= 0Finalmentex claramente es 1 1 y continua. Como x1 :I m(f) R2 esta dada por

x1(u,v,f(u, v)) = (u, v)

es uno a uno. Tambien es la restriccion aMde la funcion continua : R3 R2 dada po(u,v,w) = (u, v), por lo tanto x

1

es continua y uno a uno.

2. SeaS2 =

(x,y,z) R3 :x2 +y2 +z2 = 1 .

Usar coordenadas rectangulares para verificar que S2 es una superficie regular.

Solucion.Primero, verifiquemos que x1: U R3 definida conx1(x, y) = (x,y,

1 x2 y2), (x, y) U




donde U ={(x, y) R2 :x2 +y2



4. Elhiperboloide de dos hojasx2 y2 +z2 = 1

es una superficie regular.

En efecto (ver Figura 2.5),

x

y

z

Figura 2.5

comoz=

1 +x2 +y2.

Entonces se toma U= R2 y as

x1(x, y) = (x,y,

1 +x2 +y2), (x, y) U

x2(x, y) = (x,y,

1 +x2 +y2), (x, y) U

Ahora se observa que es un par de parametrizaciones que cubren al hiperboloide de dos hojaya que en ambos casos es la imagen de funciones continuamente diferenciable.

Un Lema que en ocaciones es de gran utilidad es el siguiente

Lema 2.4.1 Sea p un punto de una superficie regular y sea : U R2 R3 una funcion cop (U) que satisface las condiciohnes (a) y (c) de la definicion de superficie regular. Si es1 entonces1 es continua.

Demostracion.Se escribe

(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) U

y sea q U, por la condicion (a) y (c), se puede admitir, intercambiando los ejes coordenados si enecesario, que

(x, y)

(u, v)= 0

Sea : R3 R2 la proyeccion(x,y,z) = (x, y). Entonces : R2 R2 y




J( ) = (x, y)(u, v)

= 0 (2.7

y por el teorema de la funcion inversa, se obtiene vecindades V1 deqenU yV2 de (q) en R2 tque

: V1

V2 es un difeomorfismo sobre V2

Se asume que es 1 1. Entonces restringido a (V1) y como:1 = ( )1 ,

entonces 1 es continua como composicion de funciones continuas. Como qes arbitrario, 1 econtinua en(U). Ejemplo 2.4.1 Considerese S2 = {(x,y,z) :x2 +y2 +z2 = 1}y

(, ) = (cos sin , sin sin , cos )

sus coordenaadas esfericas. Ya se sabe que (U) cubre a S2

{N, S

}si U=

{(, ) : 0< 0,representa un cilindro dbase circular con generatrices paralelas al eje 0z(ver Figura 2.6).

x

y

z

Figura 2.6

Se puede obtener un sistema de ecuaciones parametricas a partir de las coordenadas polares, ascomox2 +y2 =a2 entonces:

x= a cos , y= a sin

Con 0 2. por lo tanto,(, ) = (acos , asin , )

Con 0 <



x

y

z

uParalelo

Meridiano

Eje de rotacion(f(v), g(v))

Figura 2.7

se observa que si (x,y,z) M, entonces

z= g(v), a < v < b

y tambienx= f(v)cos u, y= f(v)sen u

Con 0< u < 2, v (a, b). Y si U= (u, v) R2 : 0< u



tanu

2 =

senu

2

cosu

2

=2sen

u

2cos

u

2

cos2u

2

= sen u

1 + cos u

=

yf(v)

1 + x

f(v)

= y

f(v) +x=

y

x+

x2 +y2

Con lo que

u= ztan1 y

x+

x2 +y2

Por lo tanto, si u =, ues una funcion continua de (x,y,z).Usando el procedimiento, inmediatamente anterior, pero con cotu2 y u en un intervalo pequenalrededor de , se obtiene

u= 2 cot1 y

x+

x2 +y2

as que, u es una funcion continua de (x,y,z). Esto muestra que 1 es continua y completa, verificacion del ejemplo.

2.5. Superficie regular de dimension k o ksuperficieEl concepto de superficie regular admite, sin ningun tipo de complicacion, una generalizacion dimensiones mas altas, pero aun manteniendo un espacio ambiente:

Definicion 2.5.1 Un subconjunto M Rn es una superficie regular de dimensionk o simplemenunaksuperficie regular si para cadap M, existe un conjunto abierto V depenRn y una funcio

x: U Rk V M,

de un abierto U deRk enV M tales que

(a) x es un homeomorfismo diferenciable;(b) la diferencial, (dx)q : R

k Rn, es inyectiva para todo q U.

El par (U, x) recibe el nombre de parametrizacion deMalrededorp; como tambien ax(U) se le dicuna vecindad coordenada de p.

Observaciones

SeaMes una ksuperficie yp M.



2.5. SUPERFICIE REGULAR DE DIMENSION K O KSUPERFICIE

(a) En la practica, se dice que (U, x) es una parametrzacion deM enp indicando las coordenadade U en Rk que se van a usar, por ejemplo, (U, x) es una parametrizacion de M en p cocoordenadas x1, , xk.

(b) Como cada punto de pM esta una vecindad coordenada de M, entonces existe una famil

de parametrizacionesF= {(Ui, i)}, tal quei

i(Ui) =M

y a la familiaFse le conoce con el nombre de Estructura diferenciable paraM.

Ejemplo 2.5.1 La imagen de una funcion diferenciable es una ksuperficie regular.Eefecto, sea un conjunto abierto de Rk yf : Rm una funcion diferenciable. Entonces la imagedefes el conjunto:

Im(f) = (x1, , xk, f1(x), , fm(x)) :x = (x1, , xk) ,y como se observa : Rk Im(f) dada por

(x1, , xk) = (x1, , xk, f1(x), , fm(x))es diferenciable con inversa diferenciable y(Rk) =I m(f).Esto esIm(f) es unaksuperficie regulacon una sola parametrizacion.

Ejemplo 2.5.2 La esfera de dimension n. SeaM=Sn, la esfera de radio 1,dada por

S

n

= {(x1, , xn, xn+1) :x2

1+ +x2

n+x

2

n+1= 1}y se construira una biyeccionfde la siguiente manera: Se proyectan los puntos de la esfera desde epolo norte sobre Rn Rn {0}, entonces a cada punto de la esfera le corresponde un punto sobrR

n,con excepcion del polo norte y a cada punto de Rn le corresponde un punto sobre la esfera y souno. Esta correspondencia se denomina proyeccion estereografica (ver, Figura 2.8, caso n = 2).

Y

N

P

Figura 2.8, caso n = 2




La proyeccion estereografica se puede expresar analticamente como sigue: seaN= (0, , 1) (ponorte); se conecta cualquier punto Y = (y1, , yn, 0) de Rn con Npor medio de una recta y sobserva que esta recta corta a la esfera Sn en un unico punto P = (x1, , xn, xn+1).La ecuacion de la esfera es

x21+

+x2n+x

2n+1= 1. (2.9

Como los puntos N, P y Y son colineales se debe tener

N P = t

NY para algun numero real t= de donde

x1= ty1, x2= ty2, , xn= tyn, xn+1= 1 t,y1=

x1t

, y2 =x2

t , , yn= xn

t , 1 xn+1= t,

comox21 + +x2n +x2n+1= 1 se obtiene quet = 2/(1+y21 + +y2n).Luego la proyeccion esterografices la funcion

f : Rn

Sn

N; f(y1, , yn) = (ty1, , tyn, 1 t),y su funcion inversa f1 es

f1 :Sn {N} Rndada por la formula

f1(x1, , xn+1) = 11 xn+1 (x1, , xn).

Para cubrir el polo norte, se hace necesario proyectar desde otro punto de la esfera, por ejempldesde el polo sur, esto es, si S= (0, , 0, 1) y P = (x1, , xn+1)Sn, con P=S, entonces proyeccion desde el polo sur esta dada por

g:R

n

Sn

S; g(y1, , yn) = (ty1, , tyn, t 1).cont = 2/(1 +y21+ +y2n).Ademas

g1 :Sn S Rn; g1(x1, , xn+1) = 11 +xn+1

(x1, , xn).

TomandoV1= Rn =V2, entonces la coleccion

(V1, f), (V2, g)

satisface

(b) S2 =f(V1) g(V2),(a) f yg son homeomorfismos (y ademas diferenciables)

(c) Inmediatamente se tiene qued f|q yd g|q son 1-1 para todo q Rn.Ademas, se oserva que si f(V1) g(V2) =Sn

N, S

=W es no vaco y es un conjunto abierto ela Topologa de subespacio sobre Sn, tambienf1 g esta dada por

f1 g(y1, , yn) = 1y21+ +y2n

(y1, , yn)

que es una funcion diferenciable de Rn (0, , 0) sobre Rn (0, , 0). Esta propiedad strata en la siguiente seccion.



2.6. CAMBIO DE PARAMETRO

2.6. Cambio de parametro

En la mayora de los casos los puntos de una superficie regular estan en varias parametrizacionesvecindades coordenadas, por ejemplo, esto sucede en el caso de la esfera S2.Cada punto del interior dprimer octante pertenece, por lo menos, a dos vecindades coordenadas. Por lo tanto, se hace necesar

que los puntos de una superficie no dependan de la escogencia de una parametrizacion. Esto es, si upunto p de una superficie esta en dos vecindades coordenadas se debe tener un procedimiento parpasar de una parametrizacion a la otra. Esto es asegurado por la siguiente proposicion.

Teorema 2.6.1 (Cambio de parametro) Seap un punto de unaksuperficie regularM, y seax: U Rk M, y: V Rk Mdos parametrizaciones deM enp tal quep x(U)y(V) =WEntonces el cambio de coordenadas

h= y1 x: x1(W) y1(W)

es un difeomorfismo (ver Figura 2.9). Esto esh es diferenciable y tiene funcion inversah1 difere

ciable.

x y

h= y1 x

W

x1(W) y1(W)

U V

x(U) y(V)

M

R

Rk1

R

Rk1

Figura 2.9

De esta forma x = y h e y= x h1.

Demostracion. Es una aplicacion del Teorema de la Funcion Inversa. En efecto,h = y1 xes uhomeomorfismo, ya que es compuesta de dos homeomorfismos. Situacion que no se puede concluipor argumento analogo, que h sea diferenciable, ya que y1 no necesariamente esta definida en usubconjunto abierto de algun RN y aun no se conoce cual es el significado de una funcion diferenciabsobreM.

El procedimiento es como se muestra a continuacion. Sean r x1(W) yq= h(r).Si

(u1, , uk) V Rk, (v1, , vn) Rn




y sea

y(u1, , uk) = (v1(u1, , uk), vn(u1, , uk))una parametrizacion deM,entonces la diferencial de y en cualquier punto de su dominio tiene rangk y por lo tanto, se puede asumir, renombrando los ejes si es necesario, que

(v1, , vk)(u1, , uk) (q) = 0.

Se extiende y a la funcion F : V Rnk Rn definida por (por comodidad se escribe u (u1, , uk)):

F(u1, , uk, tk+1, , tn) = (v1(u), , vk(u), vk+1(u) +tk+1, , vn(u) +tn),

donde (u1, , uk)V , ti R. Es claro que Fes diferenciable y que la restriccion F|V{0} =y, por un calculo simple, se obtiene

det dFq =

v1u1

v1uk

0 0...

... ...

...vku1

vkuk

0 0vk+1

u1 vk+1

uk1 0

... ...

... ...

vnu1

vnuk

0 1

q

= (v1, , vk)(u1, , uk) (q) = 0.

En estas condiciones es posible entonces aplicar el Teorema de la Funcion Inversa, que garantiza existencia de un par de conjuntos abiertos V1 de y(q) en R

n y V2 de q 0 en Rn tal que F es udifeomorfismo.

Por la continuidad de x, existe un conjunto abierto U1 de r V tal que x(U1) V1. Notese qusobreU1, h|U1 =F1 x|U1 es una composicion de funciones diferenciables. De esta manera, se puedaplicar la regla de la cadena para concluir que h es una funcion diferenciable en r : Como r earbitrario, entonces h es diferenciable sobre x1(W).

El mismo argumento se le puede aplicar para demostrar que h1 es una funcion diferenciable y ases un difeomorfismo.

Observaciones

SeaM una ksuperficie contenida en Rn yF= {(Ui, i)} una estructura diferenciable sobre M.

(a) Si (Ui, i) y (Uj, j) son elementos deF conp i(Ui) j(Uj) =W,entonces el teorema dcambio de parametro dice que

h= 1i j :1i (W) 1j (W)



2.7. SUPERFICIES OBTENIDAS POR VALORES REGULARES

es un difeomorfismo. Es decir, si las coordenadas de (Ui, i) y (Uj , j) sonx1, , xkyy1, , yrespectivamente, entoncesh se representa por las funciones

y1 =y1(x1, , xk)...

yk =yk(x1, , xk)(2.10

y para cada qen el dominio de h,

(y1, , yk)(x1, , xk)= 0.

(b) La prueba del teorema de cambio de parametro, garantiza que para cada una de las parametrizaciones (Ui, i),existe un subconjuntos abiertos de la forma Ui Rnk del espacio euclideR

n y una funcionFi: Ui Rnk Rn tal que Fi es un difeomorfismo de una vecindad abiertde 1i (p) Ui Rnk sobre una vecindad abierta de p M Rn, con FiUi

= i. Lo qu

indica que cada 1

i es diferenciable.

(c) A la familia{(Vi, i)}, donde Vi = i(Ui) y i = 1i , se conoce un atlas para M y al pa(Vi, i) unacarta.

(d) En general se puede trabajar con atlas o estructura diferenciable, o bien, con parametrizacioneo cartas, siempre que exista la suficiente claridad de la forma como se desea trabajar.

2.7. Superficies obtenidas por valores regulares

Definicion 2.7.1 Una funcion diferenciable

F :A Rn Rm

definida en un conjunto abierto A deRn se dice que tiene enp Aun punto critico sidFp : Rn Rno es sobreyectiva. La imagenF(p) Rm de un punto critico se llama valor critico. Un punto dR

m se dice valor regular si no es un valor critico.

La teminologa se motiva desde el caso particular en que f : A R R es una funcion de valoreal en una variable real. Un punto p A es critico si f(p) = 0, esto es, la diferencial dfp envtodo vector de Ren cero, lo que implica que la dfp no es sobreyectiva. Tambien notese que cualquiea f(A) es trivialmente un valor regular.Si f : A Rn R es una funcion diferenciable y p = (p1, , pn), entonces la diferencial dfaplicado al vector ei = (0, , 0, xi, 0, , 0) se obtiene calculando el vector tangente en f(p) a lcurva

xi f(p1, , pi1, xi, pi+1, , pn)




y entonces

dfp(ei) = f

xi(p),

Se concluye que la matriz asociada con dfp relativo a la base

e1 = (1, 0, , 0), , en= (0, , 0, 1)es dada por

dfp= f

x1, , f

xn

p

Notese, por lo menos en este caso, que la dfp no es sobreyectiva es equivalente a que

f

x1(p) = = f

xn(p) = 0

Por lo tanto, a f(A) es un valor regular de f :A R3 R si y solo si

fxi

= 0, para algun i= 1, , n

en cada uno de los puntos de la imagen inversa

f1(a) = {(x1, , xn) A: f(x1, , xn) =a}.De igual manera, si f = (f1, , fm) :A Rn Rm y aA es un valor regular de f (con lo qun m),p f1(a) e indicando con

q= (x1, , xk, y1, , ym) Rn=m+k,

entonces siaes un valor regular def implicadfpes sobreyectia, con lo que se puede suponer (hacienduna reordenacion de las variables si es necesario) que

(f1, , fm)(y1, , ym) (p) = 0,

ya que el rango de de la diferencial de f enp es m.

Teorema 2.7.1 Sif : A Rn Rm es una funcion diferenciable ya f(A) es un valor reguladef, entoncesf1(a) es una superficie regular de dimensionk= n m.Demostracion.Sea p

f1(A).Se hace la siguiente notacion

x= (x1, , xk), y= (y1, , ym), a= (a1, , am)(x, y) = (x1, , xk, y1 , ym)

yf(x, y) = (f1(x, y), , fm(x, y)) denota a la funcion f .Comoa es un valor regular de f . se asume, reordenando los ejes si es necesario, que

(f1, , fm)(y1, , ym) (p) = 0




enp.Se define la funcion F :A Rn Rn porF(x, y) =

x1, , xk, f1(x, y), , fm(x, y)

,

entonces

det(dFp) =

1 0 0 0...

...

...

...

0 1 0 0f1x1

f1xk

f1y1

f1ym

... ...

... ...

fmx1

fmxk

fmy1

fmym

=

(f1, , fm)(y1, , ym) (p) = 0

El teorema de la funcion inversa garantiza la existencia de conjuntos abiertos U de p y V de F(ptal que F :U Ves un difeomorfismo. Y sigue que F1 : V Utambien es un difeomorfismo tiene la forma

F1(x1, , xk, t1, , tm) = (x1, , xk, g(x1, , xk, t1, , tm)),donde (x, t) = (x1, , xk, t1, , tm) V y

g(x1, , xk, t1, , tm) = (g1(x, t), , gm(x, t))Se denota la funcion proyecion de Rn sobre Rk por ,esto es(x, y) =x.

Ahora, cualquier punto (x, y) f1(a) Utiene la forma(x, y) =F1 F(x, y) =F1(x1, , xk, f(x, y))

=F1(x, a) = (x, g(x, a)) (2.1

conx en el abierto (U) de Rk. Sea h(x) =g(x, a), entonces

f1(a) U= {(x, h(x)) :x (U)} = grafh U (2.12Lo que muestra quef1(a) Ues una carta local de p, por ser la grafica de una funcion diferenciaby po lo tanto cualquier punto p f1(a) se puede cubrir con una carta local; as f1(a) es unsuperficie regular. Ejemplo 2.7.1 El elipsoide

x2

a2+

y 2

b2 +

z2

c2 = 1

es una superficie regular ya que es el conjunto f1(0) donde

f(x,y,z) =x2

a2+

y 2

b2 +

z2

c2 1

es una funcion diferenciable y 0 es un valor regular de f . puesto que las derivadas parciales

fx=2x

a2, fy =

2y

b2, fz =

2z

c2

que se anulan simultaneamente en el punto (0, 0, 0), que no esta en f1(0). Este ejemplo incluye esfera como un caso particular cuando a = b = c = 1.




Ejemplo 2.7.2 (El Toro)

(a) El toro se puede realizar especificando las orientaciones de pegamiento de los lados opuestode un rectangulo, como se muestra en la Figura 2.10.

Figura 2.10

(b) El toro de revolucionT2.SeaS1 la circunferencia en el planoyzcon centro (0, a, 0).EntonceS1 tiene por ecuacion cartesiana

(y a)2 +x2 +z2 =r2, (r < |a|).

Los puntos de la figura obtenida al rotar este circulo alrededor del eje z recibe el nombre dtoro de revolucion y se denota con T2. Como en la Figura 2.11 y observese AB =

r2 z2;

x

y

z

P = (x,y,z)

O

AB

r

r

Figura 2.11

O

x

y

A

B

OA= a, AB =

r2 z2

con lo que se deduce

OB =OA+AB=a+

r2 x2por lo tanto,

x2 +y2 = (a+

r2 z2)2

y despejandor2 se tiene

r2 =z2 + (

x2 +y2 a)2. (2.13




Por lo tanto,T2 es la imagen inversa de de r2 bajo la funcion

f(x,y,z) =z2 + (

x2 +y2 a)2 (2.14

Esta funcion es diferenciable para (x, y) = (0, 0), y como

fx =2x(x2 +y2 a)

x2 +y2, fy =

2y(x2 +y2 a)x2 +y2

, fz = 2z,

r2 es un valor regular de f. Y queda demostrado que el toroT2 es una superficie regular.

(c) Un sistema de parametrzaciones. El Toro de revolucion T2 se puede pensar como unsuperficie generada al rotar una cirunferencia de radio r >0 alrededor de una lnea recta questa en el plano que contiene la circunferencia y la recta esta a una distancia a > r del centrde la circunferencia (ver Figura 2.12).

Sr

u0 x

y

z

C

C

a

v

Figura 2.12

A continuacion se procede a calcular un sistema de parametrizaciones del toro T2. En efectsupongase que la circunferencia S ha rotado un angulo u manteniendo su centro sobre circunferenciaC, como muestra la Figura 2.13

S

r

u0x

y

z

C

av

(x,y,z)

r cos vFigura 2.13




primero, se observa quez= r sen v (2.15

y en segundo lugar, cuando S se ha rotado con centro en C un angulo u, en el plano x0y, sforma un triangulo como el que se presenta en la Figura 2.14

x

yu

a+r cos v

Ejex

Ejey

Figura 2.14

y por lo tanto:x= (a+r cos v)cos u, y= (a+r cos v)sen u

donde 0< u < 2, 0< v


2.8. FUNCIONES DIFERENCIABLES ENTRE SUPERFICIES

Ahora se puede observar inmediatamente que el toro T2 se puede cubrir por 3 parametrizacionesimilares.

Ejemplo 2.7.3 Una prueba relativamente simple de que

S

n

= {(x1, , xn) :x2

1+ +x2

n= 1} R

n+1

es una superficie regular es como sigue: sea f : Rn+1 R definida con

f(x1, , xn) =x21+ +x2n.

Comof1(1) =Sn y comox = (x1, , xn+1) Sn,entoncesx = 0 y para algun i = 1, , n+ 1f

xi= 2xi= 0

con lo que 1 es valor regular de f ,por lo tanto Sn es una superficie regular.

2.8. Funciones diferenciables entre superficies

En esta seccion se extiende la nocion de funciones diferenciables a superficies regulares.

Definicion 2.8.1 SeanMm yNn superficies regulares. Entonces una funcionf : M N se dicdiferenciable en p M si dada una parametrizacion (Uj , j) en f(p), existe una parametrizacio(Ui, i) enp tal quef(i(Ui)) j(Uj) y la funcion

1j f i : Ui Uj (2.16

es una funcion diferenciable (ver, Figura 2.15).

La funcion1j f i recibe el nombre de expresion defen coordenadas respecto a las parametrzaciones (Ui, i) y (Uj , j); su dominio es el conjunto Ui.

i

1j f iUi

f

i(p) j(f(p))

Mi(Ui)

p

Uj

j

j(Uj)N

Rm

Rn

Figura 2.15




Esta definicion esta bien hecha ya que es independiente del sistema de coordenadas escogidas parapf(p).En efecto, sean (Ui ,

i) y (U

j,

j); otras parametrzaciones conp i(Ui) y f(i(Ui)) j(Uj

Entonces

1

j f i= (1

j j) (1j f i) (1i i)es compuesta de funciones diferenciables. Por lo tanto,j

f

1i es diferenciable.

SeanMyNsuperficies regulares de la misma dimension. Entonces una funcion biyectivaf :M Ntal que f y f1 son funciones diferenciables se llama un difeomorfismo y las dos superficies sdicen difeomorfas si existe un difeomorfismo de una a la otra; las superficies son necesariamentde la misma dimension.

2.9. Ejercicios

1. Tomaru=

x

3 y

4, v=

x

3+

y

4

para encontrar una parametrizacion que cubra el paraboloide hperbolico

x2

9 y

2

16=z

2. Cuales de las siguientes superficies cuadricas son regulares?

a) z=x2

a2+

y 2

b2, (a, b >0). ( Praboloide)

b) x2

a2+

y 2

b2 z

2

c2 = 1, (a, b, c >0). ( Hiperboloide de una hoja )

c) z2

c2 x2

a2 y 2

b2 = 1, (a, b, c >0). ( Hiperboloide de dos hojas )

d) x2 +y2 =a2z2, (a >0). ( Cono circular )

3. A cada una de las superficies cuadricas regulares del punto 2 encontrarles dos estructuradiferenciables.

4. Probar que cada conjunto abierto de unaksuperficie es una ksuperficie.5. Hallar la superficie de revolucion que se obtiene al girar alrededor de la recta x = y = z

curva de ecuaciones y = x2, x+y = 0. Encontrar un sistema de parametrizaciones.

6. Sea T : R3 R3 invertible, probar entonces que Tenvia superficies regulares en superficieregulares.

7. Probar que siMm yNn son superficies regulares, entonces M Nes una (n + m)superfici8. Probar que todo espacio vectorial de dimension finita n, es una nsuperficie.9. Probar que Tn =S1 S1 S1, llamado toro plano ndimensional es una nsuperfic

regular.



2.9. EJERCICIOS

10. Probar queS2 S3 es una 5superficie regular. Encontrar una estructura diferenciable paresta superficie.

11. Demostrar que el espacio de todas las matrices de tamano n nes unan2superficie.12. Sea Gl(n), el conjunto de todas las matrices invertibles con entradas reales. Demostrar qu

Gl(n) es una n2superficie.13. Sea 0(n),el conjunto de todas las matrices ortogonales, esto es, el conjunto de las matrices d

tamano n nque satisfacen la ecuacion A At =I , donde Ies la matriz identidad. Probar

a) 0(n) es una n(n 1)

2 superficie regular.

b) 0(n) Sn Sn,(nfactores de Sn).14. Son las matrices simetricas de tamano n nuna superficie regular?. Justificar la respuesta15. Son las matrices anti-simetricas de tamanon

nuna superficie regular?. Justificar la respuest

16. Sea T : Sn Sn definida por T(x) =x (funcion antipodal). Demostrar que T es un difeomorfismo deSn sobre Sn.

17. SeaA una transformacion lineal de Rn yb Rn.Demostrar que la funcionT : Rn Rn dadpor T(x) =Ax+b es un difeomorfismo de Rn si y solo siAes no- singular.

18. Banda de Mobius. Una forma de definir esta superficie es como sigue: se considera uncircunferenciaS1 dada por x2 +y2 = 9 y un segmento abierto AB dado en el plano yz poy= 3,|z|



(a) Bajo estas condiciones, calcular una estructura diferenciable para la Banda de Mobiu

(b) Como la banda de Mobius se cubre con la imagen de dos parametrizaciones, calcular entonces, dominio, imagen y el determinante Jacobiano de la funcion de cambio de parametr

19. El espacio proyectivo real RP2. Se indica con RP2 al conjunto de todas las rectas de R

que pasan por el origen 0 = (0, 0, 0); esto es, RP2

es el conjunto de todas las direcciones de RIntroducir una estructura diferenciable para RP2.

Sugerencia.Considerar (x1, x2, x3) R3 y observar que RP2 es el espacio cocienteR

3 {0}/ ,dondeesta definida por

(x1, x2, x3) (x1, x2, x3), R, = 0;

indicar los puntos de RP2 por [(x1, x2, x3)] y si xi= 0,

[x1, x2, x3] =

1,x2x1

,x3x1

, x1= 0

[x1, x2, x3] =x1

x2, 1,

x3x2

, x2= 0

[x1, x2, x3] =x1

x3,x2x3

, 1

, x3= 0

y definir en RP2 los subconjuntos V1, V2V3 por

Vi= [x1, x2, x3] : xi= 0

, i= 1, 2, 3.

Usar estos conjuntos para proporcionar una estructura diferenciable a RP2 y encontrar lafunciones de cambio de parametro.

20. Generalizar el problema anterior a RPn, es decir, proporcionar una estructura diferenciaciabal espacio de todas las rectas que pasan por el origen de Rn+1



Apendice A

Particiones de la unidad

A.1. Particiones diferenciables de la unidad

En el estudio de diversos temas del analisis global y la geometra, es de particular utilidad

tacnica de las particiones de la unidad, ya que reduce tal estudio a uno local.

Antes de entrar en materia se recuerda

(a) Si A y B son subconjuntos no vacos de Rn entonces la distancia entre Ay B esta dada por

d(A, B) = nf{|x y| : x A, y B}.

En particular, si x Rn,entonces la distancia de x a B esta dada por

d(x, B) = nf{|x y| : y B}.

(b) Sea r >0 y x Rn. Si la bola abierta de centro x y radio r, B(x, r), es tal que B(r, x) para algun abierto U de Rn,entoncesd(x, Uc)> r.

En efecto, claramenta d(x, Uc) r.Si d(x, Uc) = r,la definicion nf muestra que exsiste unsucesion{yn} Uc tal que|x yn| r, entonces{yn} esta acotada. Por lo tanto, existe unsubsucesion{ynk} de{yn} que converge y Rn; como Uc es cerrado y Uc, y entonces pohipotesisy B(x, r).Por otro lado,

|x y| |x ynk | + |ynk y|, k

y tomando lmite cuando k , se tiene que|x y| r.Esto demuestra que y B(x, rque es una contradiccion.

Lema A.1.1 Dadosr, q Rtal que0 < r < q,entonces existe una funcion diferenciable : Rn con las siguientes propiedades: para cadax0 Rn,

(a) (x) = 1, six B(x0, r)(b) 0< (x) 1, six B(x0, q)

59


60 APENDICE A. PARTICIONES DE LA UNIDAD

(c) (x) = 0, six B(x0, q) (y por lo tanto, (x) = 0 en el exterior deB(x0, q) )Demostracion. Se desea construir en Rn una funcion real que, para el caso de R2, se comportcomo la Figura A.1.

1

qr

Figura A.1

para empezar, sean r, q R con 0 < r < qy se considera la funcion : R R, (ver, Figura A.2dada por

(t) =

e

1(t+r)(t+q) , sit (q, r)

0 , sit / (q, r)

q

r 0

Figura A.2

La funcion es una simple modificacion de la funcion bien conocida e1/x2

y el hecho importantes que es C en todos sus puntos (en los puntosqyr las derivadas de todos los ordenes sonulas).

Si se toma ahora la integral (ver, Figura A.3), t

(s)ds= (t)

1

q r 0

Figura A.3



A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD

se observa que la funcion es diferenciable cuyo valor maximo (en el puntor) esta dado por rq

(s)ds= A

Por lo tanto, haciendo

(t) =(t)

A ,

Se obtiene una funcion diferenciable : R R tal que:(t) = 0, sit q,0 (t) 1, sit [q, r],(t) = 1, sit r

La funcion pedida : Rn

R sera finalmente obtenida, haciendo (x) =(

|x

x0

|),x

R

n.

Teorema A.1.1 Sea X un subconjunto de Rn y{A} un recubrimiento abierto de X. Entoncexiste una coleccion de funciones reales de clase C definidas sobre un conjunto abierto qucontiene aX, con las siguientes propiedades:

(a) Para cadax X, se tiene0 (x) 1.(b) Para cadax Xexiste un conjunto abierto V deRn, conx V tal que todas las funciones d

, excepto un numero finito, se anulan enV.

(c) Para cadax

X,

(x) = 1

(d) Para cada existe tal que sop A. Donde

sop = {x Rn :(x) = 0}

En virtud de (b) para cada x, la suma en (c) es finita en un conjunto abierto que contiene a x.

(Una coleccion P hi que satisfaga las condiciones (a), (b) y (c) se denomina una bf particion de unidad para X por funciones de clase C. Si satisface tambien (d) se dice que la coleccion d

funciones es una particion de la unidad para X subordinadaal cubrimiento abierto{A}de XDemostracion.Sean

A=

A

y{x1, , xm, , xm, } una ordenacion de los puntos de A con coordenadas racionales. Parcadaxi existe tal quexi A y por lo tanto, exsite xi =i conB (xi, i) B(xi, 2i) A.Seai, i= 1, 2, , m, ,la funcion dada por el Lema A.1.1 y asociada con B (xi, 2i), esto es,

(a) i(x) = 1, si x B(xi, i)




(b) 0< i(x) 1, six B(xi, 2i)(c) i(x) = 0, si x B(xi, 2i),

se define entonces

1= 1

2= (1 1)2...

i+1= (1 1)(1 2) (1 i)i+1...

(A.

Por otro lado,

1= 1= 1 (1 1)1+2= 1 (1 1) + (1 1)2 = 1 (1 1)(1 2)

...

1+ +i+1= 1 (1 1)(1 2) (1 i)(1 i+1)...

(A.2

La familia{1, , m, } cumple con las condiciones pedidas. En efecto, (a) es evidente por lconstruccion de i y la definicion dei.

Ahora se supone que x X,entonces existej, tal quex B(xj, j) y para este ndice i(y) = 1 partodoy

B (xj, j). Luego, si m > j, las ecuaciones proporcionadas en A.1 implican que m(y) =

lo que muestra (b). Tambien, por las ecuaciones dadas en A.2, se tiene entonces que

i=1

i(y) =

ji=1

i(y) = 1.

Lo que demuestra (c). Para ver (d) basta tener en cuenta que

sop i B(xi, i) Apara algun .

Otra demostracion del Teorema A.1.1

Demostracion.Cada A se puede escribir como X W par algun conjunto abierto W en RSea W =

W y sea Kj cualquier sucesion encajada de subconjuntos compactos que agoten

conjunto abiertoW,esto es, Kj =W y Kj int (Kj+1)



A.1. PARTICIONES DIFERENCIABLES DE LA UNIDAD

La coleccion de todas las bolas abiertas de Rn cuya clausura esta en al menos unAes un cubrimientabierto de W.Se selecciona un numero finito de tales bolas que cubren a K2. Por el Lema A.1.1,cada bola seleccionada se le puede encontrar una funcion diferenciable no negativa sobre Rn que eidenticamente uno sobre esa bola y cero en el exterior de un conjunto cerrado contenido en uno dlosW.Se denotan estas funciones con 1, 2 , r (ver, Figura A.4).

Kj2

Kj int (Kj1)

W

Figura A.4

Se continua construyendo una sucesion de funciones inductivamente. Para j 3, el conjunto compactoKj int (Kj1) esta contenido en el conjunto abierto W Kj2.La coleccion de todas las bolas abiertas suficientemente pequenas que tienen su clausura contenidenW Kj2 y en algunW forman un cubrimiento abierto de Kj int (Kj1).Por la compacidadse extrae un subcubrimiento finito y entonces se adiciona a la sucesi on{i} una funcion por cadbola; la funcion es igual a uno sobre la bola y cero en el exterior de un conjunto cerrado contenid

enW Kj2 y en algun W.Por construccion, para cadaj solo un numero finito de funciones i son diferentes de cero sobre KPor lo tanto, cualquier punto de W esta en el interior de algunKj y entonces la suma

j+1

j

es realmente finita en un conjunto abierto de cualquier punto deW. Ademas, almenos un termino ediferente de cero en cualquier punto deWy por lo tanto,

ij=1 j

es una funcion diferenciable bien definida. Si i es la restrccion de esta funcion a X, entonces familia de funciones{i}es la buscada y el Teorema queda demostrado.



Bibliografa

[1] Do Carmo, M., Differential Geometry of Curves and Superfaces. Printece - Hall, New Jersy1976. Es un libro practicamente clasico, basico y presenta de manera adecuada los temas dgeometra diferencial en superficies inmersas en R3, hace un buen aprovechamiento de la geometra intrinsica de las superficies bi-dimensional, ademas deja claro el problema local y globde las superficies; como temas importantes para entrar a estudiar, con bases solidas, el area dla Geometra Diferencial. Este libro esta escrito en 503 paginas y consta de 5 captulobasicos que, naturalmente, deberian ser estudiados en un primer curso introductorio.

[2] Do Carmo, M.,Geometra Riemanniana. 2a Edicao.Rio de Janeiro. Brasil. 1988.Este libro, d299 paginas relativamente casico, presenta los temas introductorios y basicos de la GeometrRiemanniana, es muy ameno en su lectura, pero de cuidado. La Geometra Riemanniana buena parte del nucleo basico para estudio de la Geometra diferencial, es comparable con Analisis Funcional en el estudio del Analisis Matematico Teorico y Aplicado.

[3] Fomenko, A. T.,Symplectic Geometry. Moscuw. 1998. Es un libro de 387 paginas empieza estudio de la Geometra Simplectica desde los espacios vectoriales reales de dimension par coproductos interiores simplecticos y entra suavemente en el estudio de la Geometra Simplecticde Variedades Diferenciables tocando posteriormente los sistemas Hamiltonianos y los metdos efectivos de construccion de sistemas completamente integrables entre otros. El autor hacagradable el estudio de la Geometra Simplectica y la muestra como una area importante de Matematica.

[4] Frankel, T.,The Geometry of Physics. Cambrige University. 2001. Este libro de 666 paginamuy interesante para profesionales que desean usar los Metodos de la Geometra Diferenci

como herramienta para modelar los problemas de la Fsica Teorica, en particular, hace un graefuerzo para presentar, de manera adecuada, la combinacion entre el Analisis Matematico, Geometra y la Fsica. Una lectura de este libro sera muy provechosa si de antemano se estud[1].

[5] Gallot-Hullin-Lafontaine,Riemannian Geometry. 2a ed., Springer. 1990.Este libro de 28pagina de un buen nivel introductorio basico de la Geometra Riemanniana y Analisis Geometrco, tiene como base previa el estudio de los Fundamentos de Variedades Diferenciables y Grupode Lie, por ejemplo [8].

65


66 BIBLIOGRAFIA

[6] ONeill, B.,Semi-Riemannianan Geometry: Aplication to Relativity. University of CaliforniLos Angeles California. Academic Press. 1983. 468 paginas.Excelente libro de Geometra SemRiemanniana con aplicaciones especiales a la Teora de la Relatividad y a la Cosmologa.

[7] Spivak, M., A comprehensive Introduction to Differential Geometry. Publish or Perish

1990.Es una interesante recopilacion, 2.785 paginas en 5 volumenes, de estudios en GeometrDiferencial. Todo estudiante de Geometra Diferencial ha consultado muchas veces estos cincvolumenes.

[8] Warner F. W., Fundations of Differentiable Manifolds and Lie Grupos. Springer. 1983. Uexcelente libro de 274 paginas, muy

geometria de superficies-Carlos Antonio Julio Arrieta.pdf

Documents

superficies regulares

superficies obtenidas

curvas parametrizadasprimero

curvas regulares11

curvas regulares elementales1

geometra diferencial

geometra diferencial

pdfcarlos antonio