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Geometria analitica: curve e superfici Superfici e curve nello spazio
QuadricheQuadriche in forma canonicaQuadriche in generale Coni e cilindri Curve nello spazioConiche nello spazioConi e cilindri in forma canonica e parametricaSuperfici di rotazione
Geometria analitica: curve e superfici Superfici e curve nello spazio
Una quadrica (algebrica) Q è una superficie di definita in forma cartesiana come luogo di zeri di un polinomio p (x, y, z ) di grado 2 in tre variabili a coefficienti reali. Quindi Q ha equazione del tipo
con i coefficienti ai, j non tutti nulli.
2 2 21,1 2,2 3,3
1,2 1,3 2,3
1 2 3
2 2 2
2 2 2 0
+ + +
+ + + +
+ + + + =
a x a y a za xy a xz a yzb x b y b z c
3
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dove la matrice simmetrica non nulla A ∈ M3, il vettore B ∈ e lo scalare c ∈ definiscono rispettivamente la parte quadratica, la parte lineare e il termine noto.
: 2 0,+ + =t tQ XAX BX c
3
6
Matrice associata
La matrice associata a Q è
1,1 1,2 1,3 1
1,2 2,2 2,3 2
1,3 2,3 3,3 3
1 2 3
.
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Q
a a a ba a a b
Ma a a bb b b c
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Si possono studiare le quadriche con le stesse tecniche di algebra lineare utilizzate per le coniche nel piano ottenendo sia superfici in forma cartesiana (compresi i piani) sia insiemi di altro tipo (il ∅, punti, rette, piani, coppie di rette o di piani). Non approfondiremo tale teoria, che risulta notevolmente più complessa di quella delle coniche, ma studieremo alcuni casi importanti.
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Gli ellissoidi e gli iperboloidi in forma canonica hanno l’origine come centro di simmetria e gli assi e i piani coordinati come assi e piani di simmetria.
I paraboloidi in forma canonica hanno l’asse delle z come asse di simmetria e i piani coordinati x = 0 e y = 0 come piani di simmetria.
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Se , allora f (Q’ ) = Q . Poiché Q’ è una quadrica traslata, possiamo studiarla con metodi di completamento dei quadrati e di raccoglimento dei coefficienti per determinare una opportuna traslazione che la riduca a una delle forme canoniche o a una superficie riconoscibile.
' : ' 2 0+ + =t tQ XA X NBX c
24
Esempio (1/3)
Sia Q la quadrica con
3 0 1 | 20 3 0 | 0
.1 0 3 | 2
2 0 2 | 1
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ −⎝ ⎠
QM
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è un cono di vertice O, in quanto p è omogeneo di grado 2.
La superficie
è un cono di vertice O, in quanto f è omogenea di grado 3.
( ) 2 2 2: , , 4 3 0= + − + − + =Q p x y z x y z xy xz yz
( ) 2 3: , , 0= − =S f x y z xy z
32
Cilindri in direzione canonica (1/2)
Sia S = Z (f ) una superficie in forma cartesiana. Se f non dipende da una delle variabili, per esempio dalla z, possiamo porre f (x, y, z ) = f (x, y ). Se P = (x0, y0, z0) ∈ S, si ha f (x0, y0, t + z0) = f (x0, y0) = 0 per ogni t ∈ , quindi la retta per P di direzione e3 è contenuta in S e S è un cilindro di direzione e3.
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Una curva γ ⊂ in forma cartesiana è il luogo di zeri di una applicazione Se f = (f1, f2), le equazioni di γ sono
Possiamo vedere γ come intersezione delle superfici S1 = Z (f1) e S2 = Z (f2). Per esempio le rette sono intersezioni di due piani e le circonferenze di un piano e di una sfera.
3
3 2: .f →
( )( )
1
2
, , 0:
, , 0
⎧⎪ =⎪⎨⎪ =⎪⎩
f x y z
f x y zγ
36
Curve piane
Una curva γ nello spazio si dice piana se esiste un piano Π che contiene γ.Se γ non è un segmento di retta (o una retta), allora Π è unico: infatti se γ ⊂ Π e γ ⊂ Π’ con Π ≠ Π’, abbiamo che γ è contenuta nella retta Π ∩ Π’.
Rette e circonferenze sono curve piane.
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Osserviamo che la direttrice principale del cilindro nell’esempio precedente, cioè
si può identificare con la circonferenza unitaria nel piano.
In generale la direttrice principale di un cilindro Sdi direzione canonica può essere identificata con la curva nel piano definita dall’equazione del cilindro S.
2 2
01 0
:0
⎧⎪ + − =⎪⎨⎪ =⎪⎩
x yz
γ
46
Sezioni piane
Possiamo studiare e descrivere una superficie Sper mezzo delle curve piane ottenute intersecando S con un fascio di piani paralleli (sezioni piane).
Per esempio, le figure delle quadriche in forma canonica si possono ottenere con sezioni con i piani paralleli a uno dei piani coordinati.
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Consideriamo la famiglia di quadriche Qk : k (k – 1)x 2 + z 2 + 2xz + 2ky + 1 = 0.Se Π : z = 0, allora Ck = Qk ∩ Π si rappresenta in sezione cilindrica come
( ) 21 2 1 0:
0
⎧⎪ − + + =⎪⎨⎪ =⎪⎩k
k k x kyC
z
50
Esempio (2/2)
C0 = ∅ e C1 è la retta
Per k ≠ 0, 1, Ck è una parabola nel piano Πidentificato con il piano con sistema di riferimento Oxy.
12
0
⎧⎪⎪ =−⎪⎨⎪⎪ =⎪⎩
y
z
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Se Q è una quadrica e se Π è un piano non contenuto in Q, l’intersezione C = Q ∩ Π è una conica nello spazio. Infatti, se Oxyz è un sistema di riferimento in cui Π : z = 0 e se Q : p (x, y, z ) = 0 in Oxyz, posto p0(x, y ) = p (x, y, 0), abbiamo C come sezione cilindrica:
( )0 , 0:
0
⎧⎪ =⎪⎨⎪ =⎪⎩
p x yC
z
52
Coniche come sezioni cilindriche (2/3)
Il polinomio p0 è non nullo e ha grado ≤ 2 in x, y.Quindi nel piano Π : z = 0 identificato con il piano con sistema di riferimento Oxy, l’insieme C : p0(x, y ) = 0 è una conica, una retta o il vuoto a seconda che il grado di p0 sia 2, 1 o 0. Pertanto possiamo riconoscere C come conica nel piano.
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Sia Q : p (x, y, z ) = 0 una quadrica. Se Q è un cilindro di direzione A, allora per ogni piano Π non parallelo a A la conica Q ∩ Π è dello stesso tipo. In particolare diremo che Q è ellittico, iperbolico o parabolico se Q ∩ Π è una ellisse, iperbole o parabola rispettivamente.
Possiamo usare queste proprietà per studiare le coniche nello spazio.
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Cono circolare
La quadrica Q0 : x 2 + y 2 – z 2 = 0 si dice cono circolare retto. Per ogni k ≠ 0, Q ∩ {z = k } è una circonferenza di centro (0, 0, k ), raggio k nel piano z = k.
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Sia Π : x – y – 2z + 1 = 0. Allora la conica C = Q0 ∩ Π in sezione cilindrica si rappresenta come
La superficie Q : 3x 2 + 3y 2 + 2xy – 2x + 2y – 1 = 0 è un cilindro di direzione canonica e3 con direttrice principale un’ellisse, quindi C è una ellisse.
2 23 3 2 2 2 1 0:
2 1 0
⎧⎪ + + − + − =⎪⎨⎪ − − + =⎪⎩
x y xy x yCx y z
56
Esempi (2/2)
In modo analogo si verifica che:
Se Π1 : x + y + z – 1 = 0, Q0 ∩ Π1 è una iperbole;
Se Π2 : x – z – 1 = 0, Q0 ∩ Π2 è una parabola.
Intersecando Q0 con un piano Π per O otteniamo coniche degeneri: un punto (Π : z = 0), una retta (Π : x = z ) o una coppia di rette incidenti (Π : y = 0).
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Sia γ una curva piana contenuta nel piano Π. Se P ∉ Π e A ≠ O non è parallelo a Π, allora esistono un unico cono K (γ, P ) di vertice Pe un unico cilindro H (γ, A ) di direzione Acon direttrice γ.
Illustriamo con un esempio come ottenere coni e cilindri in forma canonica e parametrica con vertice e direttrice assegnati.
64
Direttrice assegnata
Se γ è una curva piana, in generale conviene rappresentare γ in sezione cilindrica.Sia
2 22 1 0:
0
⎧⎪ − − =⎪⎨⎪ + − =⎪⎩
x yx y z
γ
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Se P = (1, 0, 0) e se K = K (γ, P ), X = (x, y, z )∈Kse e solo se X giace in una retta per P e un punto di γ, cioè se e solo se esistono X’ = (x’, y’, z’ )∈ γ e t ∈ tali che X = t (X’ – P ) + P.
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Cono in forma cartesiana (2/3)
Abbiamo il sistema
Dalle prime 3 equazioni ricaviamo (per t ≠ 0):
( )
2 2
' 1 1
''
' 2 ' 1 0' ' ' 0
⎧⎪ = − +⎪⎪⎪ =⎪⎪⎪⎪ =⎨⎪⎪⎪ − − =⎪⎪⎪ + − =⎪⎪⎩
x t x
y tyz tz
x yx y z
( )1' , ' e ' .
− += = =
x t y zx y zt t t
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Ricavando t dalla seconda e sostituendo nella prima otteniamo:
( )2 2 21 2 0
1 0
⎧⎪ − + − − =⎪⎨⎪ + − + − =⎪⎩
x t y t
x y z t
2 2: 2 2 2 2 2 2 1 0.+ + − − − + − =K x y xy xz x y z
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Cilindro in forma cartesiana (1/3)
Se A = (1, 0, -1) e se H = H (γ, A ), X = (x, y, z ) ∈ H se e solo X giace in una retta di direzione A per un punto di γ, cioè se e solo se esistono X’ = (x’, y’, z’ ) ∈ γ e t ∈ tali che X = tA + X’.
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Siano r una retta e γ una curva nello spazio. Se P ∈ γ, sia ΠP il piano per P ortogonale a r e sia CP la circonferenza di centro r ∩ Πp e raggio d (P, r ) in ΠP (se P ∈ r , sia CP = P ).
Allora l’unione delle CP per P ∈ γ è una superficie S detta superficie di rotazione di asse r generata da γ.
78
Meridiani e paralleli
Una superficie S di rotazione di asse r ètrasformata in sè da tutte le rotazioni di asse r. Se e se γθ è l’immagine di γtramite la rotazione di asse r e angolo θ, allora Sè unione delle curve γθ per 0 ≤ θ < 2π.
Le circonferenze CP si dicono paralleli, mentre le curve γθ si dicono i meridiani di S. Osserviamo che i meridiani sono le intersezioni di S con i piani del fascio per r.
)0 2⎡∈ ⎣θ π
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Studiamo le superfici di rotazione nel caso in cui l’asse r è l’asse z e γ è una curva piana in y = 0. Indicheremo con Sγ la superficie di rotazione attorno all’asse z generata da tale γ.
Se γ è piana possiamo sempre ricondurci a questo caso con un cambiamento di riferimento.
80
Esempio (1/2)
Consideriamo la circonferenza
Se P0 ∈ (x0, 0, z0) ∈ γ, (x, y, z ) ∈ se e solo se
z = z0 e
( )2 22 1 0:
0
⎧⎪ − + − =⎪⎨⎪ =⎪⎩
x z
yγ
0PC2 2
0 .+ =x y x
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