GEOMETRI FANOA. SEJARAH GEOMETRI FANOGeometri Euclid dipandang
sebagai geometri yang sangat kompleks.Dalam geometri Euclid, ada
banyak titik, garis, dan banyak teorema. Sementara itu, ada
geometri lain yang memiliki aksioma hanya terbatas, teorema, dan
unsur-unsur seperti titik, dan garis. Itu jenis sistem geometri
disebut sebagai geometri finit. Dalam geometri ini, kita akan
mempelajari tentang struktur geometris sederhana daripada sistem
geometri lain yang mana memiliki aksioma terbatas, teorema, titik,
dan garis.Geometri finit pertama kali diperkenalkan sebagai
geometri tiga dimensi dengan masing-masing bidang terdiri dari
tujuh poin dan tujuh baris. Kemudian, geometri ini dikembangkan
dengan penekanan pada eksplorasi oleh Gino Fano pada tahun 1892.
Tidak berakhir di sana, pada tahun 1906 projective geometri finit
dipelajari oleh Veblen dan Bussey. Dalam geometri ini, titik dan
garis adalah istilah terdefinisi. Umumnya, hingga geometri memiliki
banyak aplikasi dalam statistik. Makalah ini akan menjelaskan
tentang geometri terbatas yang dikembangkan oleh Gino Fano. Fano
adalah pelopor pertama geometri finit dan matematika lain mencoba
untuk mengembangkan ini menjadi bidang yang lebih abstrak.
B. BIOGRAFI FANONama: Gino FanoLahir: Mantua - Italia, 5 Januari
1871Wafat: Verona - Italia, 8 November 1952 (pada usia 81
tahun)Ayah: Ugo FanoIbu: Angelica FanoIstri: Rosetta Cassin
(menikah pada tahun 1911)Anak: Ugo Fano dan Robert Fano Gino
FanoAyah Gino Fano, Ugo Fano berasal dari keluarga kaya dan dia
tidak membutuhkan pekerjaan. Ugo Fano adalah pengikut Giuseppe
Garibaldi dan sangat mendukung unifikasi Italia.Setelah mengikuti
sekolah militer di Milan selama 4 tahun, fano melanjutkan
sekolahnya di institute teknik mantua. Pada tahun 1888, fano pindah
di universitas turin kemudian dia menjadi mahasiswa teknik mesin.
Tetapi tidak lama kemudian, fano mempelajari tentang matematika
selama beberapa tahun di universitas turin, fano belajar dengan
arahan Corrado Segre dan Castelnuovo. Pertemuan dengan Segre sangat
menentukan untuk orientasi ilmiah Fano. Ketika ia masih mahasiswa
pada tahun 1890, fano menerjemahan Sejarah dari Matematika Erlangen
Program F. Klein, menerima undangan dari Master, yang pada waktu
itu terungkap dalam catatan pentingnya menyebarkan penelitian di
Italia Jerman (1890, hal. 307-308). Tanggal 22 Juni 1892 ia
memperoleh gelar di bidang matematika dengan nilai tertinggi dan
pujian, dengan tesis Geometri hyperspace, di bawah arahan Segre,
yang diterbitkan pada tahun yang sama dalam Jurnal Battaglini
Matematika. Studi ini diposisikan sebagai bagian dari penelitian
yang dilakukan oleh M. Pasch, G. Peano dan F. Amodeo, tapi pergi
pada saat yang sama kontribusi baru, dilanjutkan kemudian oleh Fano
yang sama, oleh D. Hilbert dan O. Veblen.Pada tahun 1892 Fano lulus
dari Turin kemudian pada tahun 1893 dia pergi ke Gttingen untuk
melakukan penelitian dan untuk belajar dengan Felix Klein. Pada
tahun 1894, atas undangan Peano, menulis sebuah artikel untuk
Jurnal Matematika, menetapkan karakteristik mengajar matematika di
universitas-universitas Jerman berkolaborasi.Kembali di Italia,
1894-1899 dia membantu Fano G. Castelnuovo di Universitas Roma.
Pada tahun 1899 Felix Klein menawarkan dia pekerjaan sebagai guru
di Jerman, yang mana ia menolak, Sementara itu, fano telah
memenangkan kursi kompetisi dari Aljabar dan Analytic Geometry di
Universitas Messina, di mana ia tetap bertahan sampai 1901.
Kemudian pindah ke Turin, sebagai profesor geometri deskriptif dan
proyektif pada tahun 1904, yang diperoleh oleh kompetisi dalam
pengangkatan guru disiplin di University of Parma, ia menyerah dan
meminta untuk memiliki promosi ini di University of Turin, yang
diberikan pada tahun 1905. Fano menjadi profesor geometri proyektif
dan deskriptif di University of Turin sampai 1935. Perkuliahannya,
diberikan di Universitas dan Sekolah Teknik dari sekolah. A.
1908-1909, memberikan pelajaran berharga volume tentang geometri
deskriptif (Torino, Pearson 1910), yang mana beberapa edisi telah
diterbitkan dan di cetak ulang. Di Turin Fano juga bertanggung
jawab geometri yang lebih tinggi (1924-1925), analisis geometri
dengan unsur geometri proyektif dan deskriptif dengan gambar
(1935-1938), dia adalah Direktur Sekolah geometri proyektif dan
deskriptif (1911-1926), Direktur Matematika perpustakaan
(1924-1938), anggota Komite Tetap dari Perpustakaan Universitas
Nasional, sebagai wakil dari Fakultas Ilmu (1926-1938).Karya ilmiah
Fano dapat dibagi menjadi tiga tahap, masing-masing dipengaruhi
oleh guru-gurunya : C. Segre, F. Klein dan G. Castelnuovo. Untuk
periode pertama, milik studinya pada geometri garis yang
menyebabkan perumusan teori umum kongruensi dari ordo tiga. Fase
ini juga termasuk penelitian pada teori terus kelompok transformasi
cremoniane. Selanjutnya Fano berurusan dengan penentuan persamaan
diferensial linear homogen dengan kurva terpisahkan milik varietas
aljabar. Motif utama dari semua aktivitas ilmiah, bagaimanapun,
pembelajaran tentang varietas aljabar dalam tiga dimensi, bidang
yang ia mengabdikan dirinya selama empat puluh tahun Fano,
memainkan karya pelopor nyata. Penelitiannya memuncak dalam
demonstrasi, pada tahun 1942, irasionalitas bentuk kubik ruang
empat dimensi umum, pertanyaan tetap terbuka selama lima puluh
tahun. Di antara karyanya yang lain yang layak disebut, bahkan
untuk catatan sejarah berharga dalam mereka berisi artikel yang
ditulis pada tahun 1907 untuk Encyklopdie der mathematischen
Wissenshaften dan esai yang ditujukan untuk geometri non -
Euclidean dan non - Archimedes dari Encyclopaedia matematika dasar
L. Berzolari, G. Vivanti dan D. Gigli.Pada tahun 1894 dan 1895,
fano mempererat hubungan dengan Peano, di mana ia adalah seorang
mahasiswa dalam perjalanan kalkulus dan memberikan kontribusi
kepada Jurnal Matematika dan Matematika Form (1895).Kolaborasi
ilmiah antara Fano dan Peano merupakan fase terbatas kehidupan
matematikawan dan Mantua disela tahun 1895. Meskipun rekan-rekan
selama bertahun-tahun di Universitas Turin dan dengan kepentingan
bersama dalam masalah didaktik, yang mereka lihat bersama-sama,
kadang-kadang dengan posisi konvergen, kegiatan dan perdebatan dari
mathesis, posisi mereka berjauh, selama bertahun-tahun, kepentingan
penelitian, kemiripan budaya dan pengaturan pendidikan, seperti
muncul selama pertemuan Fakultas tanggal 17 Maret 1910, di mana
Fano adalah segretario.2 Namun pada tahun 1932, kematian logis,
menandatangani saham untuk Fundo Peano pro Interlingua dan pada
tahun 1934, memberikan penilaian ini sosok Peano (1934)[Grassmann],
Apakah dia memiliki kualitas yang sama dengan Peano kami : bakat
besar, fleksibilitas yang besar dalam berbagai masalah,
kecenderungan soliter untuk algoritma khusus, Peano, bagaimanapun,
adalah guru yang sangat baik, atau juga gagal dalam kehidupan
lebar, pengakuan dari jasanya. Penerima berbagai gelar kehormatan
(Officer Pesanan dari Mahkota Italia, Anggota nasional penduduk R.
Academy of Sciences Torino, R. Accademia dei Lincei, R. Seorang
anggota Lombard Institute of Sciences dan Surat, Anggota dari R.
Virgilian Academy of Sciences, huruf dan seni dan Akademi Mantua
Peloritana Messina dan medali emas layak Pendidikan pada tahun
1928), Fano meninggal di Verona pada tanggal 8 November 1952. Karir
Fano1. Asisten Castelnuovo di Roma pada tahun 1894, selama empat
tahun.2. Bekerja di Messina, timur laut Sisilia pada tahun
1899-1901.3. Dosen di Universitas Turin pada tahun 1901-1938.4.
Mengajar mahasiswa Italia di sebuah camp dekat Lausanne
Internasional, Swiss.5. Pada usia 74 tahun, Fano melanjutkan kuliah
Matematika dan mengajar di Amerika Serikat dan juga mengajar di tim
Italia asli selama sisa hidupnya. Karya FanoKarya Fano dalam bidang
geometri terutamapada geometri proyektif dan aljabar: Fano plane,
Fano fibration, Fano surface, danFano varieties. Fano merupakan
pelopor geometri berhingga (finite geometry) dan satu di antara
orang pertama yang mencoba untuk mengatur geometri pada dasar yang
abstrak. Fano menulis banyak buku di antaranya teks geometri yang
terkenal,Lezionidi geometria descrittiva (1914) dan Lezioni di
geometria analitica e proiettiva (1930).
B. GEOMETRI FANOPada tahun 1892, Gino Fano menemukan gometri
tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35 garis dan 15 bidang. Satu
dari bidang-bidang tersebut adalah Geometri Fano.1.
AksiomaAksioma1: Terdapat paling sedikit satu garis.
Aksioma2: Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis.
Aksioma 3: Tidak semua titik segaris.
Aksioma 4: Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik
berbeda.
Aksioma 5: Terdapat paling sedikit satu titik sekutu pada
sebarang dua garis berbeda.
Garis k : Garis l :Garis m :Garis n :Garis t :Garis u :Garis v
:Berikut model Geometri Fano.
2. Teorema Teorema 1: Dua garis berbeda mempunyai tepat satu
titik sekutu Bukti:
NoPernyataanAlasan
1Dua garis berbeda, misal garis k dan lPremis
2Terdapat satu titik sekutu dari garis k dan l, misal titik
PAksioma 5
3Andaikan terdapat titik sekutu yang lain dari garis k dan l,
misal titik QPengandaian
4Titik P dan Q pada garis kAkibat 2 dan 3
5Titik P dan Q pada garis lAkibat 2 dan 3
6Terdapat dua garis yaitu garis k dan l melalui dua titik yaitu
titik P dan QAkibat 6 dan 7 (kontradiksi aksioma 4)
Jadi, pengandaian salah sehingga pernyataan dua garis berbeda
mempunyai tepat satu titik sekutu adalah benar (Teorema 1
terbukti).Teorema 2: Geometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan 7
garis.
Garis k : Garis l :Garis m :Garis n :Garis t :Garis u :Garis v
:Bukti:
NoPernyataanAlasan
1Terdapat sebuah garis kDikonstruksi, aksioma 1
2Garis k memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik A, B dan
CAksioma 2
3Terdapat minimal satu titik tidak pada garis k, misal titik
PAksioma 3
4Terdapat garis-garis yang berbeda dari titik P ke setiap titik
pada garis k, misal garis l, m, dan nAksioma 4
5Garis l memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, Q, dan
AAksioma 2
6Garis m memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, R, dan
BAksioma 2
7Garis n memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, S, dan
CAksioma 2
8Terdapat minimal 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S5, 6, dan 7
9Terdapatgaris t melalui titik Q, R, dan CDikonstruksi, aksioma
4, dan aksioma 5
10Terdapat garis u melalui titik S, R dan ADikonstruksi, aksioma
4, dan aksioma 5
11Terdapat garis v melalui titik Q, B, dan S Dikonstruksi,
aksioma 4, dan aksioma 5
12Terdapat minimal 7 garis k, l, m, n, t, u, dan v1, 4, 9, 10,
dan 11
13Andaikan terdapat titik ke-8, misalkan titik TPengandaian
14Titik P dan T dihubungkan olehsebuah garis, misal garis r
(garis ke-8)Aksioma 4
15Garis r dan k berpotongan, misal titik potong garis r dan k
adalah titik AAksioma 5
16Titik P danA terdapat pada garis l dan r5, 14, dan 15
17Garis l dan r merupakan garis yang sama 16, Aksioma 4
(kontradiksi 14)
18Titik potong garis r dan k bukan pada titik A, misal titik
potong garis r dan k adalah titik B15dan17
19Titik P dan B terdapat pada garis m dan r6, 14, dan 18
20Garis m dan r merupakan garis yang sama 19, Aksioma 4
(kontradiksi 14)
21Titik potong garis r dan k bukan pada titik B, misal titik
potong garis r dan k adalah titik C18dan 20
22Titik P dan C terdapat pada garis n dan r7, 14, dan 21
23Garis n dan r merupakan garis yang sama 22, Aksioma 4
(kontradiksi 14)
24Titik potong garis r dan k bukan pada titik C18, 21dan 23
25Titik potong garis r dan k bukan pada titik A, B, dan C, misal
pada titik D18, 21, 24, danAksioma 5
26Terdapat 4 titik berbeda pada garis k yaitu titik A, B, C, dan
D2dan25(kontradiksi aksioma 2)
27 Terdapat tepat 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S Terdapat7
garis k, l, m, n, t, u, dan v8, 13, 14, 17, 20, 23, dan 29
Jadi, pernyataan Geometri Fano mempunyai tepat 7 titik dan7
garis adalah benar (Teorema 2 terbukti).Teorema 3: Garis yang
melalui sebarang titik memuat semua titik.Bukti 1:
Jika diambil sebarang titik A, maka semua titik berada dalam
garis yang melalui titik A.NoPernyataanAlasan
1Ambil sebarang titik APremis
2Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik
AAksioma 4
3Semua titik berada dalam garis yang melalui titik A2
Bukti 2:NoPernyataanAlasan
1Terdapat sebuah garis kDikonstruksi, aksioma 1
2Garis k memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik A, B dan
CAksioma 2
3Terdapat minimal satu titik tidak pada garis k, misal titik
PAksioma 3
4Terdapat garis-garis yang berbeda dari titik P ke setiap titik
pada garis k, misal garis l, m, dan nAksioma 4
5Garis l memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, Q, dan
AAksioma 2
6Garis m memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, R, dan
BAksioma 2
7Garis n memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, S, dan
CAksioma 2
8Terdapat minimal 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S5, 6, dan 7
9Terdapat garis t melalui titik Q, R, dan CDikonstruksi, aksioma
4, dan aksioma 5
10Terdapat garis u melalui titik S, R dan ADikonstruksi, aksioma
4, dan aksioma 5
11Terdapat garis v melalui titik Q, B, dan S Dikonstruksi,
aksioma 4, dan aksioma 5
12Terdapat minimal 7 garis k, l, m, n, t, u, dan v1, 4, 9, 10,
dan 11
13Ambil sebarang titik APremis
14Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik
AAksioma 4
15Semua titik berada dalam garis yang melalui titik A14
Jadi, untuk pernyataan garis pada geometri Fano yang melalui
sebarang titik memuat semua titik adalah benar (Teorema 3
terbukti).
Teorema 4: Setiap titik dilalui tepat tiga garis.Bukti 1:
NoPernyataanAlasan
1Ambil sebarang titik APremis
2Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik
AAksioma 4
3Andaikan terdapat kurang dari 3 garis melalui APengandaian
4Terdapat 1 atau 2 garis yang melaui titik A2, 3
5Terdapat 1 garis yang melalui titik A4
6Garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3 titik5
7Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3
8Terdapat tepat 2 garis yang melalui titik ATeorema 1, 3, 4
9Salah satu garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3
titikTeorema 3, 8
10Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3, Aksioma
2
11Terdapat paling sedikit 3 garis yang melalui titik A10
12Andaikan terdapat lebih dari 3 garis yang melalui titik
APengandian
13Terdapat paling sedikit 4 garis yang melaui titik A12
14Terdapat paling sedikit 9 titik13, Teorema 1, Aksioma 2
15Pengandaian no. 12 salahKontradiksi dengan 11, Teorema 2
16Terdapat paling banyak 3 garis yang melaui titik A15
17Terdapat tepat 3 garis yang melaui titik A11, 15
Jadi,pengandaian salah sehingga pernyataan setiap titik dilalui
tiga garis adalah benar (teorema 4 terbukti).Bukti 2:
NoPernyataanAlasan
1Terdapat sebuah garis kDikonstruksi, aksioma 1
2Garis k memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik A, B dan
CAksioma 2
3Terdapat minimal satu titik tidak pada garis k, misal titik
PAksioma 3
4Terdapat garis-garis yang berbeda dari titik P ke setiap titik
pada garis k, misal garis l, m, dan nAksioma 4
5Garis l memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, Q, dan
AAksioma 2
6Garis m memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, R, dan
BAksioma 2
7Garis n memuat tepat tiga titik berbeda, misal titik P, S, dan
CAksioma 2
8Terdapat minimal 7 titik A, B, C, P, Q, R, dan S5, 6, dan 7
9Terdapatgaris t melalui titik Q, R, dan CDikonstruksi, aksioma
4, dan aksioma 5
10Terdapat garis u melalui titik S, R dan ADikonstruksi, aksioma
4, dan aksioma 5
11Terdapat garis v melalui titik Q, B, dan S Dikonstruksi,
aksioma 4, dan aksioma 5
12Terdapat minimal 7 garis k, l, m, n, t, u, dan v1, 4, 9, 10,
dan 11
13Ambil sebarang titik APremis
14Setiap titik yang lain dihubungkan oleh sebuah garis ke titik
AAksioma 4
15Andaikan terdapat kurang dari 3 garis melalui APengandaian
16Terdapat 1 atau 2 garis yang melaui titik A13, 14
17Terdapat 1 garis yang melalui titik A16
18Garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3 titik17
19Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3
20Terdapat tepat 2 garis yang melalui titik ATeorema 1, 15,
16
21Salah satu garis yang melalui titik A memuat lebih dari 3
titikTeorema 3, 20
22Pengandaian no. 3 salahKontradiksi dengan Teorema 3, Aksioma
2
23Terdapat paling sedikit 3 garis yang melalui titik A22
24Andaikan terdapat lebih dari 3 garis yang melalui titik
APengandian
25Terdapat paling sedikit 4 garis yang melaui titik A24
26Terdapat paling sedikit 9 titik13, Teorema 1, Aksioma 2
27Pengandaian no. 12 salahKontradiksi dengan 11, Teorema 2
28Terdapat paling banyak 3 garis yang melaui titik A27
29Terdapat tepat 3 garis yang melaui titik A24, 27
Jadi,pengandaian salah sehingga pernyataan setiap titik dilalui
tiga garis adalah benar (teorema 4 terbukti).Teorema 5: Untuk
setiap dua titik berbeda, terdapat tepat dua garis yang tidak
melalui dua titik tersebut.Bukti:
NoPernyataanAlasan
1Ambil sebarang dua titik berbeda, misal titik A dan BPremis
2Terdapat sebuah garis yang menghubungkan titik A dan B, misal
garis gAksioma 4
3Titik A tepat dilalui 3 garis berbeda yaitu garis g, h, dan
iTeorema 4
4Titik B tepat dilalui 3 garis berbeda yaitu garis g, j, dan
kTeorema 4
5Terdapat tepat 5 garis yang melalui titik A atau B yaitu
garisg, h, i, j, dan k3 dan 4
6Terdapat tepat 7 garisTeorema 2
7Terdapat tepat 2 garis yang tidak melalui titik A dan B 5 dan
6
Jadi, pernyataan untuk setiap dua titik berbeda, terdapat tepat
dua garis yang tidak melalui dua titik tersebut adalah benar
(teorema 5 terbukti).
Teorema 6: Jika diketahui tiga garis yang tidak memuat titik
yang sama, maka terdapat tepat satu titik yang tidak termuat pada
ketiga garis tersebut.
BCOPQklmRKontradiksi dengan Aksioma 2: Setiap garismempunyai
tepat tiga titikBukti:
AQO
m
k
ClP
B
NoPernyataanAlasan
1Tiga garis yang tidak memuat titik yang sama, misal garis yang
menghubungkan titik A dan B adalah k, garis yang menghubungkan
titik B dan C adalah l, dan garis yang menghubungkan titik A dan C
adalah mPremis
2Setiap dua garis berpotongan pada satu titik, misal garis k
& m berpotongan pada titik A, garis k & l berpotongan pada
titik B, dan garis l & m berpotongan pada titik CTeorema 1
3Setiap garis memuat 3 titik, misal titik O pada garis k, titik
P pada garis l, dan titik Q pada garis mAksioma 2
4Ada minimal 6 titik termuat pada ketiga garisAkibat 2 dan 3
5Ada maksimal 1 titik tidak termuat pada ketiga garis Akibat 4
dan teorema 2
6Andaikan tidak ada titik yang tidak termuat pada ketiga garis
tersebutPengandaian
7Ketujuh titik termuat pada garis k, l, dan m, misal ada titik R
pada garis mAkibat 6
8Ada garis yang memuat 4 titik, yaitu garis mAkibat 7
(Kontradiksi aksioma 2)
Karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian pernyataan nomor 6
salah sehingga tidak mungkin tidak ada titik yang tidak termuat
pada ketiga garis.Jadi, ada tepat satu titik yang tidak termuat
pada ketiga garis tersebut (teorema 6 terbukti).
C. APLIKASI GEOMETRI FANO1. Pembentukan suatu kepanitiaanSalah
satu model yang menarik pada aplikasi dalam geometri Fano adalah
suatu model untuk membentuk kepanitiaan, di mana setiap garis
mewakili kepanitiaan dan setiap titik mewakili seseorang dalam
kepanitiaan. Pada model ini cukup terdiri dari 7 orang dalam
kepanitiaan sedemikian hingga setiap orang tidak bertemu lagi dalam
susunan kepanitiaan dan setiap panitia terdiri 3 orang.
Kepanitiaan 3AnaFranGeorgeKepanitiaan 1AnaBobiCarliMisalkan ada
7 orang yaitu Ana, Bobi, Carli, Dara, Eli, Fran, danGeorge. Susunan
anggota kepanitiaan yang dapat dibentuk adalah
Kepanitiaan 2AnaDaraEliCommittee 1AnaBobiCarliCommittee
2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee
5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee
7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee
2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee
5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee
7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee
2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee
5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee
7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee
2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee
5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee
7CarliDaraGeorgeCommittee 1AnaBobiCarliCommittee
2AnaDaraEliCommittee 3AnaFranGeorgeCommittee 4BobiDaraFranCommittee
5CarliEliFranCommittee 6BobiEliGeorgeCommittee 7CarliDaraGeorge
Kepanitiaan 5CarliEliFranKepanitiaan 6BobiEliGeorgeKepanitiaan
4BobiDaraFran
Kepanitiaan 7CarliDaraGeorge
Selanjutnya, model tersebut dapat dikembangkan lebih lanjut
dalam masalah permainan membentuk komposisi yang terdiri dari
pemain golf yang terdiri dari 20 peserta sehingga mereka bermain
selama 5 hari dan tidak bermain lebih dari sekali dengan pemain
golf lainnya.
1. Perpindahan Jaringan
Gambar 1. The Fano Plane dan 3 Switching network
Salah satu aplikasi perpindahan jaringan ini adalah perangkat
yang dapat menghubungkan setiap ponsel ke ponsel yang lain Misalkan
sebuah tombol hanya dapat menghubungkan hingga tiga nomor, dan ada
tujuh angka yang harus terhubung.Berapa banyak tombol yang
diperlukan agar setiap nomor dapat memanggil nomor lain?Dengan
memperhatikan garis pada pesawat Fano, penyelesaian ini adalah
{1,2,4} 3 switching networks. Semua tombol yang ditemukan dengan
menambahkan 0 sampai 6, modulo 7 seperti {{1, 2, 4}, {1, 5, 6}, {1,
3, 7}, {2, 6, 7}, {2, 3, 5}, {3, 4, 6}, {4, 5, 7}}.
1. Teori GraphDengan melihat bagaimana garis dan titik
berhubungan, sebuah graph biasa dapat digambar dalam bidang Fano,
graph yang terkandung didalamnya, titik dan garis adalah ujung dari
graph. Graph / titik sudut menghubungkan setiap garis pada satu
titik, atau titik pada satu garis (Graph biasa ditunjukkan dalam
kolom Graph Domino) graph ini adalah graph Heawood, yang merupakan
graph sangkarGeoff Exoo adalah seorang ahli graph sangkar,salah
satu penemuannya adalah graph Heawood dapat direpresentasikan
sebagai ratu di papan catur.
DAFTAR PUSTAKASmart, James. 1973. Modern Geometry. California:
Brookscole Publishing
Company.http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.../Makalah-IF2091-2011-025.pdf.
Diakses 23 September
2013.http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_05_30_06.html.
Math Games. Mathematical Association of America. Diakses 23
September 2013.http://en.wikipedia.org/wiki/Fano_plane. Diakses 25
September
2013.http://math.ucdenver.edu/~wcherowi/courses/m3210/lecture2.pdf.
A Communication Network. Diakses 25 September
2013.http://www.gap-system.org/~history/Biographies/Fano.html. Gino
Fano Biographies. Diakses 25 September 2013.Alvita. 2013. Anything
for Me, (online), (http://en.wikipedia.org/wiki/Fano_plane, diakses
25 September 2013).
19