i GEOMETRI ANALITIK BIDANG DAN RUANG
i
GEOMETRI
ANALITIK
BIDANG DAN
RUANG
ii
UNDANG-UNDANG REPUBLIK INDONESIA
NOMOR 28 TAHUN 2014
TENTANG HAK CIPTA
PASAL 113
KETENTUAN PIDANA
(1) Setiap orang yang dengan tanpa hak melakukan pelanggaran hak ekonomi sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf i untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 1 (satu) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 100.000.000,00 (seratus juta rupiah).
(2) Setiap orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf c, huruf d, huruf f, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Komerial dipidana dengan pidana penjara paling lama 3 (tiga) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp.
500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
(3) Setiap orang yang dengan tanpa hak dan/atau tanpa izin Pencipta atau pemegang Hak Cipta melakukan pelanggaran hak ekonomi Pencipta sebagaimana dimaksud dalam Pasal 9 ayat (1) huruf a, huruf b, huruf e, dan/atau huruf g untuk Penggunaan Secara Komersial dipidana dengan pidana penjara paling lama 4 (empat) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp 1.000.000.000,00 (satu miliar rupiah).
(4) Setiap orang yang memenuhi unsur sebagaimana dimaksud pada ayat (3) yang dilakukan dalam bentuk pembajakan, dipidana dengan pidana penjara paling lama 10 (sepuluh) tahun dan/atau pidana denda paling banyak Rp. 4.000.000.000,00 (empat miliar rupiah)
iii
GEOMETRI
ANALITIK BIDANG
DAN RUANG
Oleh
Rio Fabrika Pasandaran, S.Pd, M.Pd.
Dr. Ma’rufi, M.Pd.
2018
Global Research and Consulting Institute (Global-RCI)
iv
Judul : Geometri Analitik Bidang dan Ruang
Penulis : Rio Fabrika Pasandaran, S.Pd, M.Pd. & Dr. Ma’rufi, M.Pd.
ISBN 978-602-51782-2-1
Penyunting
:
Prof. Dr. H. Hamzah Upu, M.Ed.
Perancang Sampul : Arfah Penata Letak : Muhammad Izzad Kaisar Isi
:
Sepenuhnya tanggung jawab penulis
Diterbitkan Oleh:
Global Research and Consulting Institute (Global-RCI) Jalan Poros Kompleks Perumahan BTN Samata Indah /SMA Negeri 10 Kabupaten Gowa, Sungguminasa, Sulawesi Selatan, Indonesia.. Telepon: 081355428007, Homepage: http://www.global-rci.com.
Cetakan Pertama, Maret 2018
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Hak Cipta 2018 pada penulis. Hak penerbitan pada Global RCI. Bagi mereka yang ingin memperbanyak sebagian isi buku ini dalam bentuk atau cara apapun harus mendapat izin tertulis dari penulis dan Penerbit Global RCI. All Rights Reserved
Perpustakan Nasional: Katalog dalam Terbitan (KDT)
Pasandaran, Rio Fabrika & Ma’rufi Geometri Analitik Bidang dan Ruang / Pasandaran, Rio Fabrika & Ma’rufi: -- cetakan I -- Makassar: Global RCI, 2018 x + 172 hal.; 14.8 x 21 cm
v
MOTTO
"Jika seseorang bertanya apakah lupa
itu memiliki obat sebagai penyembuh?"
Lalu kami katakan "Ya, lupa itu
memiliki obatnya, yaitu dengan
mencatat/menulis".
(Ibnu Utsmain)
vi
Halaman Persembahan “Seorang penuntut ilmu harus semangat dalam mengingat-ingat dan
menghafalkan apa yang telah ia pelajari, baik dengan hafalan di
dalam dada ataupun dengan menuliskannya. Sesungguhnya manusia
adalah tempatnya lupa, maka jika dia tidak bersemangat untuk
mengulang pelajaran yang telah didapatkan, maka ilmu yang telah
diraih bisa hilang sia-sia atau dia lupakan” (Kitaabul ‘Ilmi hal. 62).
Buku ini tercipta karena penulis sadar betapa pentingnya aktivitas
menulis. Setiap hal yang dibahas dalam buku ini merupakan hasil
pengembangan dari catatan kuliah penulis yang diarsipkan dan
didiskusikan melalui proses yang panjang sehingga terciptalah
sebuah buku dengan judul “Geometri Analitik Bidang dan Ruang”.
Penulis berharap bahwa buku ini dapat menginspirasi setiap
pembaca, khususnya bagi mahasiswa matematika yang mempelajari
tentang ilmu ukur analitis bidang dan ruang.
Memang perlu disadari bahwa perkembangan ilmu ukur analitis
telah mengalami perkembangan yang pesat. Sejak ditemukannya
dalil Pytagoras hingga kini, ilmu ukur analitis telah menjelma
menjadi sebuah kajian geometri yang tidak hanya membahas
gambar, namun lebih jauh mengaitkannya dengan bahasa aljabar
(Geometri Modern). Dinamika ini yang menyebabkan kebutuhan
belajar mahasiswa Matematika tentang Geometri Modern juga
meningkat. Oleh karena itu penulis terdorong untuk membuat sebuah
buku yang memuat penggabungan kajian geometri murni dan aljabar
secara praktis. Praktis karena dalam buku ini memuat materi dan
lembar kerja secara terpadu dengan harapan mahasiswa dapat
membaca sekaligus memecahkan masalah melalui tahapan-tahapan
berpikir yang sistematis.
Semoga karya sederhana ini dapat menjadi bingkisan ringan yang
unik bagi setiap pembacanya, dapat menjadi sumber pengetahuan
bagi mereka yang menekuninya, dapat menjadi inspirasi bagi mereka
yang mendalaminya, dan tentu saja dapat menjadi sumber
keberkahan ilmu dari sang pencipta buat kita semua. Amin ya rabbal
alamin.
vii
PRAKATA
Alhamdulillah, segala puji dan syukur senantiasa
penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas rahmat,
karunia dan ridho-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan
penyusunan dan penulisan buku ini. Shalawat dan salam
semoga tetap tercurahkan kepada Nabi tercinta, Muhammad
SAW yang telah menyinari dunia ini dengan cahaya Islam.
Teriring harapan semoga kita termasuk umat beliau yang akan
mendapatkan syafa’at di hari kemudian. Aamiin.
Buku ini berjudul “Geometri Analitik Bidang dan
Ruang”, ditulis untuk memenuhi kebutuhan belajar mahasiswa
pendidikan matematika dan Matematika dalam menekuni ilmu
ukur analitis bidang dan ruang. Penyajian materi buku ini
dideskripsikan secara hierarkis dan disusun berdasarkan teknik
scaffolding yang memudahkan mahasiswa untuk belajar
mandiri dan konstruktivis. Di bagian akhir pada setiap bab
juga dilengkapi dengan soal-soal untuk melatih penguasaan
konsep dan keterampilan proses matematis mahasiswa.
Proses penyelesaian buku ini sungguh merupakan suatu
perjuangan panjang bagi penulis. Penulis menyadari bahwa
dalam proses penelitian, hingga penulisan buku, penulis
viii
menemui banyak hambatan. Namun berkat bantuan, motivasi,
doa, dan pemikiran dari berbagai pihak, maka hambatan-
hambatan tersebut dapat teratasi dengan baik. Penulis juga
menyadari bahwa buku ini jauh dari kesempurnaan sehingga
penulis mengharapkan kritik dan saran dari pembaca demi
kesempurnaan buku ini. Penulis berharap dengan selesainya
buku ini, bukanlah akhir dari sebuah karya, melainkan awal
dari semuanya, awal dari sebuah perjuangan hidup.Kiranya
Allah SWT senantiasa melimpahkan Rahmat dan Hidayah-
Nya kepada kita semua. Aamiin.
PENULIS
ix
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ............................................ iii
MOTTO .............................................................. v
PERSEMBAHAN ................................................ vi
PRAKATA ......................................................... vii
DAFTAR ISI ....................................................... ix
BAB I VEKTOR ................................................. 1
A. Vektor Sebagai Sinar garis ..................... 1
B. Aljabar Vektor ......................................... 5
C. Vektor Bidang .......................................... 14
D. Vektor Ruang ........................................... 22
E. Hasil Kali Titik ....................................... 29
F. Hasil Kali Silang .................................... 34
G. Proyeksi Vektor .................................... 45
H. Ujian Akhir Bab .................................... 51
BAB II GARIS LURUS ......................................
A. Persamaan Garis Lurus ........................... 54
B. Garis-Garis Sejajar .................................... 69
C. Ketegaklurusan Dua Garis ...................... 78
D. Surat antara Dua Garis ............................ 82
E. Jarak Titik Ke Garis .................................. 85
F. Perpotongan Garis-Garis ......................... 91
G. Berkas Garis ............................................. 93
H. Ujian Akhir Bab ....................................... 99
BAB III PERSAMAAN LINGKARAN
x
A. Persamaan Lingkaran ............................. 101
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran .. 108
C. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran ............ 119
D. Garis Kuasa .............................................. 124
E. Berkas Lingkaran ..................................... 132
F. Persamaan Parameter Lingkaran ........... 137
G. Ujian Akhir Bab ....................................... 141
BAB IV PERSAMAAN GARIS DAN BIDANG
DALAM RUANG
A. Persamaan Garis dan Bidang dalam
Ruang ...................................................... 145
B. Jarak Titik ke Bidang ............................. 148
C. Persamaan Garis dalam Ruang ............... 153
D. Posisi Garis Lurus terhadap Bidang
Datar dalam Ruang ................................ 160
E. Ujian Akhir Bab ....................................... 163
DAFTAR PUSTAKA
RIWAYAT HIDUP PENULIS
BAB 1 VEKTOR PENGANTAR ANALISIS VEKTOR
1 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
A. VEKTOR SEBAGAI SINAR GARIS
Perhatikan gambar di bawah ini !
Berdasarkan gambar di atas, sebuah vektor memiliki
beberapa komponen. A disebut titik pangkal, B disebut
titik ujung. Sedangkan himpunan titik yang
menghubungkan A ke B mewakili ukuran panjang
vektor. Oleh karena itu, vektor memiliki komponen
besar/ukuran dan komponen arah, sehingga vektor
disebut sebagai sebuah besaran, atau dikenal dengan
istilah besaran vektor.
Dalam bab ini, kita akan mengkaji tentang vektor baik
secara geometris maupun analitis. Untuk menyatakan
sebuah vektor, kita dapat menotasikannya dengan AB =
Gambar 1.1 Vektor
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 2
v , yang berarti bahwa ruas garis berarah dari A ke B
disebut sebagai vektor v . Sedangkan untuk menyatakan
panjang AB , kita tuliskan sebagai |AB |. Istilah panjang
vektor juga disebu dengan magnitude.
Perhatikan gambar di bawah ini !
Kumpulan beberapa vektor memiliki istilah, bisa saja
kita sebut sebagai himpunan vektor. Namun harus diingat
bahwa setiap himpunan tentu memiliki
identitas/karakteristik yang berlaku bagi setiap
elemennya. Analogi ini dapat mengantarkan pemikiran
kita bahwa kumpulan vektor di atas tentu saja memiliki
identitas. Panjang dan arah yang yang sama menjadi
syarat kesamaan dua vektor atau lebih. Sehingga
Gambar 1.2 Kumpulan Vektor
3 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
kumpulan vektor akan membentuk himpunan vektor
yang ekuivalen jika memiliki panjang dan arah yang
sama. Berbeda halnya dengan sekumpulan vektor berikut
ini !
Berdasarkan gambar, kelima vektor memiliki panjang
dan arah yang berbeda-beda. Kelima vektor tersebut non
ekuivalen. Vektor v menjadi vektor dasar, sedangkan
vektor lainnya dibentuk dengan cara mengalikan panjang
vektor v dengan skala tertentu, baik positif maupun
negatif. Jika skalanya positif maka vektor v yang baru,
memiliki arah yang sama dengan vektor v semula.
Sebaliknya, jika skalanya negatif maka vektor v yang
baru, memiliki arah yang berlawanan dengan vektor v
Gambar 1.3 Vektor-vektor non ekuivalen
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 4
semula. Sedangkan untuk panjangnya akan
menyesuaikan dengan besaran skala yang diberikan.
Berdasarkan hal ini, untuk membuat kumpulan vektor
yang ekuivalen, maka kita harus memastikan bahwa
skala yang kita pilih dapat membentuk vektor baru
dengan panjang dan arah yang sama dengan vektor
semula. Dengan kata lain, skala yang kita pilih bersifat
konstan.
Bagaimana jika sebuah vektor panjangnya nol (0)???
Jawabannya, tentu saja bisa! Sebuah vektor dengan
kondisi demikian masih memiliki panjang sebesar nol (0)
dan juga memiliki arah. Arah vektor ini bebas, dapat
dibentuk ke segala arah yang dibuat dari titik
pangkalnya. Namun sekali lagi harus diingat bahwa
ukuran panjang vektor ini bernilai nol. Hal ini
menegaskan bahwa antara titik pangkal dan titik ujung
selalu berhimpit. Oleh karena itu vektor yang seperti ini
disebut sebagai vektor nol, disimbolkan
0 = 0 .
5 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
B. ALJABAR VEKTOR
Sub bab ini memuat beberapa operasi vektor seperti
penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan
skalar. Untuk menjumlahkan atau mengurangkan dua
buah vektor atau lebih, terdapat tiga aturan yang lazim
digunakan yaitu aturan segitiga, aturan jajargenjang, dan
aturan poligon. Perhatikan gambar di bawah ini!
Jika diberikan dua vektor yaitu A dan B , maka
penjumlahan keduanya dilakukan dengan cara
menempatkan titik pangkal B di titik ujung A , sehingga
hasilnya berupa vektor yang ditarik dari titik pangkal A
hingga ke titik ujung B . Dalam gambar 1.4 diperlihatkan
bahwa hasil penjumlahan kedua vektor yaitu vektor baru
Gambar 1.4 Aturan Segitiga pada penjumlahan dua vektor
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 6
yang berwarna biru. Aturan lainnya adalah aturan
jajargenjang. Aturan ini memiliki prinsip kerja yang
berbeda dengan aturan segitiga. Perhatikan gambar
berikut!
Berdasarkan gambar, diberikan dua vektor yaitu v dan w .
Penjumlahan kedua vektor dilakukan dengan
menempatkan/menghimpitkan titik pangkal kedua
vektor, lalu membuat bayangan masing-masing vektor
yang ditandai dengan garis putus-putus. Antar kedua
vektor dan bayangannya membentuk bangun
jajargenjang. Hasil penjumlahannya adalah diagonal
jajargenjang yang ditarik dari titik pangkal persekutuan
Gambar 1.5 Aturan Jajargenjang pada penjumlahan dua vektor
7 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
dua vektor hingga ke titik persekutuan ujung bayangan
dua vektor.
Aturan ketiga yakni aturan poligon. Aturan ini
merupakan spesifikasi/bentuk khusus dari aturan
segitiga. Penggunaan aturan poligon dikhususkan untuk
menjumlahkan vektor yang banyak jumlahnya. Aturan
ini relatif lebih mudah karena hanya dikerjakan dengan
menempatkan titik pangkal vektor ke titik ujung vektor
lainnya. Hal ini dilakukan sebanyak jumlah vektor yang
dijumlahkan. Hasil penjumlahannya ditentukan dengan
cara menarik vektor baru dari titik pangkal vektor
pertama hingga ke titik ujung vektor terakhir. Perhatikan
gambar berikut ini !
Gambar 1.6 Aturan poligon pada penjumlahan tiga vektor
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 8
Ketiga aturan diatas dapat digunakan berdasarkan
kondisi soal yang dihadapi. Pembaca dapat membuktikan
bahwa hasil yang diperoleh dengan aturan yang berbeda
ternyata selalu sama. Untuk itu, coba tentukan vektor
hasil penjumlahan berikut ini, dengan menggunakan 3
aturan secara berurutan !
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Pengurangan beberapa vektor juga dapat dikerjakan
menggunakan aturan-aturan di atas. Hanya saja yang
Tentukan hasil
penjumlahan keempat
vektor di samping !
9 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
perlu difahami adalah pengurangan dua buah vektor atau
lebih pada dasarnya merupakan penjumlahan sebuah
vektor dengan invers/kebalikan dari vektor lainnya.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Berdasarkan gambar diperoleh hubungan bahwa a − b =
a + (−b ).
Contoh 1.1
Gambar 1.7 Pengurangan dua vektor
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 10
A dan B dijumlahkan dengan menggunakan aturan
poligon. Namun saat menjumlahkan hasil dari A + B ,
kita membuat invers/kebalikan dari C yaitu − C , dengan
cara menempatkan titik ujung B di titik pangkal − C ,
dilanjutkan dengan cara menempatkan titik ujung − C di
titik pangkal − D sehingga hasil akhir yang diperoleh
didapatkan dengan cara membuat vektor baru yaitu R
yang ditarik dari titik pangkal A hingga ke titik ujung
− D . Istilah R (resultan) seringkali digunakan untuk
menyatakan hasil akhir operasi dari beberapa vektor.
Untuk menguji pemahamanmu, selesaikan masaalah
berikut ini!
Gambar 1.8 Operasi campuran pada vektor
11 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
(1) Tentukan resultan A + B − C − E + D , dari vektor-
vektor di bawah ini!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Tentukan resultan F3 − F2
+ F1 − F4
, dari vektor-
vektor di bawah ini!
.....................................................................................
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 12
.....................................................................................
.....................................................................................
(3) Tentukan resultan −a − c − b dari gambar di bawah
ini!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Selain operasi penjumlahan dan pengurangan, terdapat
juga operasi perkalian vektor dengan skalar. Skalar
dalam hal ini merupakan bilangan real yang jika
dikalikan dengan suatu vektor, maka hasilnya dapat
mempengaruhi panjang maupun arah vektor tersebut.
Untuk lebih memahami konsep ini, Perhatikan gambar
berikut!
13 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
Berdasarkan gambar 1.9, a diperpanjang tiga kali
sehingga menjadi 3a . Vektor 3a merupakan vektor baru
yang panjangnya tiga kali panjang a dan arahnya sama
dengan arah a . Bandingkan dengana gambar berikut ini!
Gambar 1.9 Perkalian vektor dengan skalar
Gambar 1.10 Perkalian vektor dengan skalar
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 14
Berdasarkan gambar, v dikalikan dengan berbagai skalar
sehinga bentuknya berbeda-beda. Misalkan −3v ,
merupakan sebuah vektor yang panjangnya tiga kali v ,
namun arahnya berlawanan dengan v . Dari kedua contoh
di atas, secara umum kita dapat mendefinisikan bahwa
hasil kali skalar k dengan a ditulis v = k a , dengan k
skalar real dan a sebuah vektor, ditentukan sebagai
berikut.
Jika k > 0, maka v searah dengan a
Jika k < 0, maka v berlawanan arah dengan a
C. VEKTOR BIDANG
Terdapat beberapa istilah yang harus difahami dalam
vektor bidang/vektor di dimensi dua antara lain, panjang
vektor, vektor posisi, dan vektor satuan. Istilah-istilah
tersebut saling terkait antara satu dan lainnya. Kita akan
memulainya dengan gambar berikut ini!
Gambar 1.11 Vektor dalam bidang Cartesius
15 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
Secara geometris, vektor disajikan sebagai ruas garis
berarah. Namun secara analitik, vektor dinyatakan
sebagai pasangan bilangan real berurutan (v1, v2).
Berdasarkan gambar 1.11, pasangan berurutan tersebut
mewakili sebuah vektor yang ditarik dari pusat (sebagai
titik pangkal vektor) O (0,0) hingga menuju titik ujung
(v1, v2), sebut saja sebagai v = (v1, v2). Kita dapat
menentukan posisi titik (v1, 0) pada sumbu x dan posisi
titik (0, v2) pada sumbu y, sedemikian hingga v memuat
dua komponen yaitu v1 menyatakan skalar sepanjang
sumbu x dan v2 menyatakan skalar sepanjang sumbu y.
Kedua komponen tersebut dinamakan komponen skalar
vektor dituliskan sebagai ∆x = v1 dan ∆y = v2.
Untuk menyatakan suatu vektor di bidang sebagai
pasangan terurut dua bilangan real, diperlukan
pemahaman konsep tentang vektor-vektor basis dalam
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 16
bidang. Misalkan i dan j merupakan vektor-vektor basis
dengan panjang satu satuan. Vektor i berimpit dengan
sumbu x positif, sedangkan vektor j berimpit dengan
sumbu y positif. Dengan demikian, setiap v yang terletak
pada bidang Cartesius dapat dinyatakan secara tunggal
sebagai kombinasi linear dari i dan j, sedemikian hingga
v = v1i + v2j. Terdapat beberapa hal yang perlu
diperhatikan, diantaranya adalah sebagai berikut.
(a) Bilangan-bilangan (v1, v2) disebut komponen-
komponen skalar yang berpadanan dengan koordinat
v .
(b) Vektor-vektor i dan j disebut vektor-vektor basis
dalam bidang yang panjangnya masing-masing satu
satuan. Vektor i disebut juga sebagai vektor satuan
dalam arah sumbu x, sedangkan j disebut juga
sebagai vektor satuan dalam arah sumbu y.
(c) Penulisan v = v1i + v2j disebut bentuk baku dari
vektor v , sedangkan penulisan lainnya dapat
disajikan dalam bentuk vektor baris v = (v1, v2) dan
vektor kolom v = (v1
v2).
17 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
Secara geometris, vektor-vektor basis disajikan dalam
gambar berikut ini!
Secara analitik, penentuan komponen-komponen skalar
sebuah vektor dapat juga ditentukan dengan
menggunakan aturan segitiga. Masalah ini dapat
diperluas melalui gambar 1.13 berikut!
Gambar 1.13 Vektor �� secara analitik
Gambar 1.12 Vektor-vektor basis dalam bidang
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 18
Berdasarkan gambar 1.13, terdapat tiga titik yaitu
O(O, O), P1(x1, y1) dan P2(x2, y2) yang membentuk
∆OP1P2 . Melalui ketiga titik tersebut akan dibentuk
sebuah vektor v yang memuat komponen–komponen
skalar vektor. Untuk menentukan bentuk komponen-
komponen tersebut, kita gunakan aturan segitiga sebagai
berikut.
OP1 + P1P2
= OP2
P1P2 = OP2
− OP1 = (x2, y2) − (x1, y1)
= (x2 − x1, y2 − y1) = (∆x, ∆y)
P1P2 = (x2 − x1, y2 − y1) = (∆x, ∆y)
Contoh 1.2
Tentukan komponen-komponen skalar vektor yang
dibentuk dari A(2,-1) ke titik B(1,2)! Selidiki, apakah
komponen vektor AB = BA ??
Penyelesaian:
AB = (xB − xA, yB − yA) = (1 − 2, 2 − (−1))
= (−1,3) = (∆x, ∆y)
19 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
BA = (xA − xB, yA − yB) = (2 − 1, (−1 − 2) = (1,−3)
= (∆x, ∆y)
Disimpulkan bahwa AB ≠ BA
Setelah menentukan komponen-komponen skalar pada
vektor di bidang, kita akan melanjutkan pembahasan
tentang panjang vektor/magnitude. Jika diberikan sebuah
v , maka panjang vektor ditulis sebagai |v |. Untuk
menentukan panjang sebuah vektor, kita dapat
memperhatikan ilustrasi berikut.
Berdasarkan gambar 1.14, kita dapat membuat hubungan
antara |v | dengan komponen-komponen skalarnya, yaitu:
|v |2 = (v1)2 + (v2)
2
Gambar 1.14 Panjang vektor v
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 20
Mengapa demkian??.....
Karena gambar 1.14 merupakan sebuah segitiga siku-
siku dengan |v | sebagai sisi miringnya, akibatnya dalil
phytagoras berlaku di dalamnya.
Sekarang perhatikan besaran e =1
|v |v
Jika |v |2 = (v1)2 + (v2)
2 dan v = (v1, v2) maka
e =1
√(v1)2 + (v2)2(v1, v2)
e =1
√(v1)2 + (v2)2(v
1, v2)
e =v1
√(v1)2 + (v2)2,
v2
√(v1)2 + (v2)2
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa |e| = 1!
|e| = √(v1
2
√v12 + v2
2)
2
+ (v2
2
√v12 + v2
2)
2
= √v1
2
v12 + v2
2+
v22
v12 + v2
2= √
v12 + v2
2
v12 + v2
2= √1 = 1
21 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
Disimpulkan bahwa |e| = 1, selanjutnya e disebut
sebagai vektor satuan.
Contoh 1.3
Jika AB = (−1,3), maka tunjukkan bahwa 1
|AB |AB = 1!
Penyelesaian:
1
|AB |AB =
(−1,3)
√(−1)2 + (3)2=
−1
√10,
3
√10
|e| =1
|AB |AB
= √((−1)2
√(−1)2 + (3)2)
2
+ ((3)2
√(−1)2 + (3)2)
2
= √1
10+
9
10= √
10
10= √1 = 1
Coba selesaikan masalah berikut ini!
(1) Diberikan A(1,7) dan B(4,1). Titik C terletak pada
ruas garis yang menghubungkan A ke B sehingga
AC = 2 AB ! Tentukanlah komponen-komponen
AC dan AB , serta tentukan pula koodinat titik C!
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 22
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
D. VEKTOR RUANG
Sama halnya dengan vektor-vektor dalam bidang, vektor-
vektor dalam ruang pun dapat dinyatakan sebagai
pasangan tiga bilangan real berurutan melalui sistem
koordinat segiempat. Untuk membangun sistem
koordinat segiempat, dapat dilakukan dengan beberapa
tahapan sebagi berikut.
(1) Pilih titik O yang selanjutnya disebut sebagai titik
asal.
(2) Pilih tiga garis yang saling tegak lurus, yang
selanjutnya disebut sebagi sumbu-sumbu koordinat
23 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
melalui titik asal, kemudian beri nama sumbu x,
sumbu y dan sumbu z.
(3) Pilih suatu arah postif untuk masing-masing sumbu
koordinat dan tentukan satu satuan panjang untuk
mengukur jarak.
(4) Setiap pasangan sumbu koordinat menentukan suatu
bidang yang selanjutnya disebut sebagai bidang
koordinat.
(5) Terdapat tiga bidang koordinat untuk sumbu positif
pada ketiga sumbu koordinat, antara lain bidang
koordinat xy, bidang koordinat xz, dan bidang
koordinat yz.
Untuk setiap vektor v dalam ruang, kita tuliskan sebagai
v (v1, v2, v3) seperti pada gambar di bawah ini!
Gambar 1.15 Vektor v dalam ruang
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 24
Untuk menggambar v , terlebih dahulu dibuat bidang
OQRS pada bidang koordinat xy. Tarik diagonal bidang
OQRS dari titik pusat koordinat hingga ke titik R. Dari
titik R kemudian ditarik garis setinggi P. Langkah
terakhir adalah menarik garis dari titik pusat koordinat
hingga ke titik P sehingga terbentuklah OP = v .
Komponen v1 berpadanan dengan arah sepanjang sumbu
x, yang diwakili oleh OQ , Komponen v2 berpadanan
dengan arah sepanjang sumbu y, yang diwakili oleh OS ,
dan komponen v3 berpadanan dengan arah sepanjang
sumbu z, yang diwakili oleh RP .
Untuk menyatakan suatu vektor dalam ruang sebagai
pasangan terurut tiga bilangan real, diperlukan
pemahaman konsep tentang vektor-vektor basis dalam
ruang. Misalkan i,j dan k merupakan vektor-vektor basis
dengan panjang satu satuan. Vektor i berimpit dengan
sumbu x positif, Vektor j berimpit dengan sumbu y
positif, sedangkan vektor k berimpit dengan sumbu z
positif. Dengan demikian, setiap v yang terletak pada
dalam ruang dapat dinyatakan secara tunggal sebagai
25 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
kombinasi linear dari i,j dan k, sedemikian hingga v =
v1i + v2j + v3k.
Selanjutnya, untuk menentukan |v |, terlebih dahulu
ditentukan |OR |2 = |OQ |2 + |QR |2. Setelah
mendapatkan |OR |, kita tentukan panjang |OP | = |v |
dengan cara |OP |2 = |QR |2 + |RP |2. Berdasarkan proses
ini, kita melakukan perhitungan dengan dalil phytagoras
sebanyak dua kali. Sedangkan jika dikaji secara analitik,
penentuan |OP | = |v | dapat dilakukan dengan cara yang
serupa dengan vektor-vektor di bidang, namun
ditambahkan dengan komponen sepanjang sumbu z,
sebagai berikut.
v (v1, v2, v3) = (∆x, ∆y, ∆z)
= (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1)
Gambar 1.16 Vektor-vektor basis dalam ruang
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 26
|v | = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
e =1
√(v1)2 + (v2)2 + (v3)2(v1, v2, v3)
e =v1
√(v1)2 + (v2)2,
v2
√(v1)2 + (v2)2,
v3
√(v1)2 + (v2)2
Sebagai vektor satuan. Selanjutnya akan ditunjukkan
bahwa |e| = 1!
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Contoh 1.4
(1) Tentukan komponen v = P1P2 dari titik pangkal
P1(2,0, −1) dan titik ujung P2(−2,1,0) !
Penyelesaian:
v = P1P2 = (−2 − 2, 1 − 0, 0 − (−1)) = (−4,1,1)
Jadi v = P1P2 = (−4,1,1)
27 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
(2) Tentukan salah satu vektor tak nol u yang
berpangkal di titik A (1,0,1) sehingga u memiliki
arah yang sama dengan v (2, −1,3)!
Penyelesaian:
Dua buah vektor memiliki arah yang sama jika dan
hanya jika setiap komponen-komponen skalarnya
berpadanan atau memiliki perbandingan yang
konstan/sama, yang dinyatakan sebagai ku = v .
Misalkan k = 2, diperoleh; 2u = 2AB =
(2(xB − xA),2(yB − yA), 2(zB − zA))
(2xB − 2, 2yB − 0, 2zB − 2) = (2, −1,3) = v
2xB − 2 = 2 → 2xB = 4 → xB = 2
2yB − 0 = −1 → 2yB = −1 + 0 = −1 → yB = −1
2
2zB − 2 = 3 → 2zB = 3 + 2 = 5 → zB =5
2
Diperoleh B (2, −1
2,5
2)
u = AB = ((xB − xA), (yB − yA), (zB − zA))
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 28
= ((2 − 1), ( −1
2− 0) , (
5
2− 1))
Jadi u = AB = (1,−1
2 ,
3
2)
Untuk menguji pemahamnmu, selesaikan masalah-
masalah berikut ini!
(1) Jika u = (3, −1,2) dan v = (0,1,2). Tentukan hasil
dari |v | +|u | dan |u + v |!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Tentukan salah satu vektor tak nol u dengan titik
ujung Q(3,0, −5) sedemikian hingga u berlawanan
arah dengan v = (4,−2,−1)!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
29 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
(3) Tentukan salah satu vektor tak nol u yang
berpangkal di titik A (−1,2,1) sehingga u memiliki
arah yang sama dengan v = (3,−1,2)!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(4) Buktikan secara geometris bahwa jika u dan v
merupakan vektor-vektor dalam bidang atau ruang,
maka |u | + |v | ≥ |u + v |!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
E. HASIL KALI TITIK/ HASIL KALI
SKALAR/DOT PRODUCT
Diberikan dua buah vektor |0P1 | dan |0P2
| tak nol dalam
dimensi dua sedemikian hingga kedua vektor membentuk
sudut θ. Hubungan antara kedua vektor dinyatakan
melalui definisi berikut.
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 30
|0P1 ||0P2
| cos θ = 0P1 ◦ 0P2
Notasi “ ◦ “ dibaca (dot) merupakan notasi dari hasil kali
titik antara dua buah vektor. Secara analitik, hasil kali
titik dapat ditentukan dengan menggunakan aturan
cosinus pada gambar segitiga di bawah ini!
Berdasarkan gambar 1.17, pembaca tentu dapat
menentukan posisi sudut θ antara OP1 dan OP2
sehingga
diperoleh hubungan;
|P1P2 |
2= |0P1 |
2+ |0P2
|2− 2|0P1 ||0P2
| cos θ
√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)
22=
= √(x1)2 + (x2)
22+ √(y1)
2 + (y2)22− 2|0P1 ||0P2
| cos θ
Gambar 1.17 Vektor v pada bidang
31 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2 =
= (x1)2 + (y1)
2 + (x2)2 + (y2)
2 − 2|0P1 ||0P2 | cos θ
= x22 + x1
2 − 2x1x2 + y22 + y1
2 − 2y1y2
= x12 + x2
2 + y12 + y2
2 − 2|0P1 ||0P2 | cos θ
−2x1x2 − 2y1y2 = −2|0P1 ||0P2 | cos θ
2x1x2 + 2y1y2 = 2|0P1 ||0P2 | cos θ
x1x2 + y1y2 = |0P1 ||0P2 | cos θ
Dapat disimpulkan bahwa 0P1 ◦ 0P2 = |0P1 ||0P2
| cos θ =
x1x2 + y1y2.
Berdasarkan hasil ini, kita dapat menduga bahwa
besarnya hasil kali titik memiliki beberapa kemungkinan,
diantaranya adalah:
(1) Jika 0P1 ◦ 0P2
> 0, maka cos θ > 0 atau 00 < θ <
900. Dalam hal ini kedua vektor membentuk sudut
lancip.
(2) Jika 0P1 ◦ 0P2
= 0, maka cos θ = 0 atau θ = 900.
Dalam hal ini kedua vektor membentuk sudut siku-
siku.
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 32
(3) Jika 0P1 ◦ 0P2
< 0, maka cos θ < 0 atau 900 < θ <
1800. Dalam hal ini kedua vektor membentuk sudut
tumpul.
(4) Jika 0P1 ◦ 0P2
= |0P1 ||0P1
| < 0, maka cos θ = 1
atau θ = 00. Dalam hal ini kedua vektor berhimpit
atau searah.
(5) Jika 0P1 ◦ 0P2
= −|0P1 ||0P1 | < 0, maka cos θ = −1
atau θ = 1800. Dalam hal ini kedua vektor
berlawanan arah.
Contoh 1.5
(1) Tentukan hasil kali titik dan besar sudut antara u =
2i − 3j dan v = 3i + 2j !
Penyelesaian:
u ◦ v = (2)(3) + (−3)(2) = 6 + (−6) = 0
Karena u ◦ v = 0, maka kedua vektor membentuk
sudut siku-siku.
(2) Buatlah dua buah vektor sedemikian hingga hasil
kali skalar keduanya bernilai negatif!
33 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
Penyelesaian:
Agar hasil kali skalar dua vektor bernilai negatif,
ambil dua vektor yang saling invers/berkebalikan
sedemikian hingga keduanya membentuk sudut 1800
Misalkan u = 2i − 3j dan v = −2i + 3j
u ◦ v = (2)(−2) + (−3)(3) = (−4) + (−9) = −13
Karena u ◦ v = −13 < 0, maka kedua vektor
membentuk sudut 1800.
(3) Selanjutnya, buktikan bahwa hasil kali titik untuk
u (u1, u2,u3) dan v (v1, v2,v3) adalah u ◦ v = u1v1 +
u2 v2 + v3u3 !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 34
F. HASIL KALI SILANG/CROSS PRODUCT
Diberikan tiga buah vektor dalam ruang, misalnya u ,
v dan w . Akan dibuat aturan bahwa w tegak lurus
terhadap dua vektor lainnya, jika u (u1, u2, u3),
v (v1, v2, v3), dan w (l, m, n) maka w didefinisikan
sebagai hasil kali silang antara u dan v sehingga ditulis
w = u × v . Karena w tegak lurus u , akibatnya berlaku
lu1 + mu2 + nu3 = 0 dan w juga tegak lurus v ,
akibatnya juga berlaku lv1 + mv2 + nv3 = 0.
Selanjutnya kita akan menentukan komponen-komponen
w dengan aturan Cramer berikut ini!
{lu1 + mu2 + nu3 = 0 lv1 + mv2 + nv3 = 0
atau {lu1 + mu2 = −nu3 lv1 + mv2 = −nv3
(1) Menentukan l
l =|−nu3 u2
−nv3 v2|
|u1 u2
v1 v2|
=−nu3v2 + nv3u2
u1v2 − v1u2
=n(v3u2 − u3v2)
u1v2 − v1u2=
n |u2 u3
v2 v3|
|u1 u2
v1 v2|
35 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
(2) Menentukan m
m =|u1 −nu3
v1 −nv3|
|u1 u2
v1 v2|
=−nv3u1 + nu3v1
u1v2 − v1u2
=n(u3v1 − v3u1)
u1v2 − v1u2=
n |u3 u1
v3 v1|
|u1 u2
v1 v2|
Untuk menentukan bentuk n, terlebih dahulu kita
perhatika bentuk baku dari w berikut ini!
w (l, m, n) = li + mj + nk
w (l, m, n) =n |
u2 u3
v2 v3|
|u1 u2
v1 v2|i +
n |u3 u1
v3 v1|
|u1 u2
v1 v2|j + nk
Untuk menentukan n, kita tidak perlu menggunakan
metode Cramer seperti di atas, sebab n dapat ditentukan
secara langsung berdasarkan bentuk baku dari w . Kita
dapat menduga bahwa n akan membuat bentuk baku di
atas menjadi lebih sederhana. Untuk itu, kita ambil
sebarang n yang dapat menghilangkan penyebut dari
bentuk baku w .
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 36
n yang dimaksud adalah n = |u1 u2
v1 v2| sedemikian
hingga;
w (l, m, n) = |u2 u3
v2 v3| i + |
u3 u1
v3 v1| j + |
u1 u2
v1 v2| k
w (l, m, n) = |u2 u3
v2 v3| i + |
u3 u1
v3 v1| j + |
u1 u2
v1 v2| k
w (l, m, n) = |u2 u3
v2 v3| i − |
u1 u3
v1 v3| j + |
u1 u2
v1 v2| k
w (l, m, n) = |i j ku1 u2 u3
v1 v2 v3
|
Berikut ini disajikan hubungan antara u , v , dan w !
Gambar 1.18 Hasil kali silang
37 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
Berdasarkan gambar 1.18, w tegak lurus terhadap u dan
v . Oleh karena itu, w dapat ditentukan dengan kaidah
tangan kanan. u mewakili jari telunjuk, v mewakili jari
tengah dan w sebagai hasil kali silang antara u dan v ,
diwakili oleh ibu jari.
Contoh 1.5
Perhatikan gambar berikut ini !
Gambar 1.19 Aturan tangan kanan
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 38
Perhatikan vektor-vektor satuan standar pada gambar
1.20 di atas!
i = (1,0,0) j = (0,1,0) k = (0,0,1)
Vektor-vektor tersebut memiliki panjang satu satuan dan
terletak pada sumbu-sumbu koordinat. Vektor-vektor ini
disebut sabagai vektor satuan standar dalam ruang
berdimensi 3. Setiap vektor dalam ruang berdimensi 3
dapat dinyatakan dalam bentuk baku seperti;
v = (v1, v2, v3) = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) + v3(0,0,1)
= v1i + v2j + v3k
i x j = (|0 01 0
| , − |1 00 0
| , |1 00 1
|) = (0,0,1) = k
Gambar 1.20 Vektor-vektor satuan standar
39 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k j x k = i k x i = j
j x i = −k k x j = −i i x k = −j
Gambar berikut ini dapat membantu kita untuk
mengingat hasil-hasil di atas!
Berdasarkan gambar 1.21, hasil kali silang dari dua
vektor berturut-turut searah dengan jarum jam adalah
vektor berikutnya, dan hasil kali silang dua vektor
berturut-turut berlawanan arah dengan jarum jam adalah
negatif adalah negatif dari vektor berikutnya.
Gambar 1.21 Hasil kali silang vektor-vektor satuan standar
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 40
Selanjutnya, untuk menyatakan bentuk geometris dari
hasil kali silang kita dapat mengambil dua vektor
sebarang dalam ruang berdimensi tiga, misalkan u dan v .
Dalam hal ini kita menggunakan Identitas Lagrange
sebagai berikut.
|u × v |2 = |u |2|v |2 − (u ◦ v )2
Jika θ menyatakan sudut antara kedua vektor maka u ◦
v = |u | |v | cos θ, sedemikian hingga Identitas Lagrange
dapat ditulis menjadi:
|u × v |2 = |u |2|v |2 − (|u | |v | cos θ)2
|u × v |2 = |u |2|v |2 − |u |2|v |2cos2 θ
|u × v |2 = |u |2|v |2(1 − cos2 θ)
|u × v |2 = |u |2|v |2cos2 θ
Karena 0 ≤ θ ≤ π, maka θ ≥ 0, sehingga hal ini dapat
dituliskan sebagai:
|u × v | = |u ||v | sin θ
Jika kita mengasumsikan bentuk di atas sebagai sebuah
rumus, maka akan diperoleh rumus luasan sebuah
41 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
bangun datar dalam bentuk L = a × t. Sekarang akan kita
buat padanan dari kedua rumus diatas.
|u × v | = |u ||v | sin θ = a × t = L
Dengan |u | = a dan |v | sin θ = t. Berdasarkan hal ini,
kita dapat menduga bentuk bangun datar yang memenuhi
ketentuan di atas. Perhatikan gambar di bawah ini!
Berdasarkan gambar 1.22, bentuk geometris hasil kali
silang adalah jajargenjang. Hal ini benar, bahkan jika
kedua vektor kolinear (segaris), akibatnya jajargenjang
yang terbentuk mempunyai luas nol. Hal ini disebabakan
karena sudut antara kedua vektor juga nol. Dengan
demikian kita dapat menyatakan hubungan diatas secara
umum sebagai sebuah teorema yaitu:
Gambar 1.22 Bentuk geometris hasil kali silang
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 42
Jika �� 𝐝𝐚𝐧 �� merupakan vektor-vektor dalam ruang
berdimensi tiga, maka |�� × �� | sama dengan luasan
sebuah jajargenjang yang ditentukan oleh �� 𝐝𝐚𝐧 �� .
Contoh 1.6
(1) Tentukan luasan jajargenjang yang dibentuk oleh
u = (2,0, −1) dan v = (3,1,0)!
Penyelesaian:
|u × v | = a × t = L
u × v = |i j k2 0 −13 1 0
| = i + 3i + 2k
L = |u × v | = √12 + 32 + 22 = √1 + 9 + 4 = √14
Luas jajargenjang yang dibentuk oleh u =
(2,0,−1) dan v = (3,1,0) adalah √14 satuan luas.
(2) Tentukan luasan segitiga yang dibentuk oleh titik A
(2,2,0) , B (3,2,1) dan C(0, −2,1)!
Penyelesaian:
AB = (1,0,1) dan BC = (−3,−4,0)
43 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
AB × BC = |i j k1 0 1
−3 −4 0
| = 4i + 3i − 4k
Luas jajargenjang = |AB × BC |
= √42 + 32 + (−4)2
= √16 + 9 + 16 = √41
Luas segitiga = 1
2 Luas jajargenjang =
1
2√41
Jadi luas segitiga yang dibentuk oleh A (2,2,0) , B
(3,2,1) dan C(0, −2,1) adalah 1
2√41 satuan luas.
Coba selesaikan masalah-masalah berikut ini!
(1) Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik-titik
sudut P, Q, dan R sebagai berikut!
(a) P(2,6,1), Q(1,2,0) dan R(3,0, −2)
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
(b) P(0,3,1), Q(1-2,1) dan R(0,2, 3)
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 44
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
(c) P(2,0,1), Q(1,1,0) dan R(1,0, −2)
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
(2) Tentukan luas jajargenjang yang dibentuk oleh u dan
v berikut!
(a) u = (1,−1,2) dan v = (0,3,1)
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
45 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
(b) u = (0,1, −2) dan v = (−1,3,1)
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
(c) u = (2,1,2) dan v = (0,2, −1)
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
G. PROYEKSI VEKTOR
Perhatikan gambar di bawah ini!
Gambar 1.23 Proyeksi vektor �� pada ��
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 46
Diberikan dua buah vektor yaitu u pada v dalam bidang
atau ruang sedemikian hingga keduanya membentuk
sudut θ. Berdasarkan gambar 1.23, proyeksi u pada
vektor v adalah |w1 | yang ditentukan oleh:
cos θ =|w1 |
|u |→ |w1 | = |u | cos θ
Besarnya |w1 | disebut sebagai proyeksi skalar
ortogonal dari u pada v . Proyeksi skalar ortogonal
disebut juga sebagai panjang proyeksi dari u pada v .
Proyeksi skalar ortogonal memiliki beberapa
kemungkinan nilai yang bergantung pada besarnya sudut
θ. Kemungkinan-kemungkinan tersebut antara lain:
(1) Jika θ lancip, maka |w1 | = |u | cos θ bernilai positif.
(2) Jika θ siku-siku, maka |w1 | = |u | cos θ bernilai 0
(nol).
(3) Jika θ tumpul, maka |w1 | = |u | cos θ bernilai
negatif.
Dengan mengingat bentuk cos θ =u ∘ v
|u ||v |, kita
substitusikan ke |w1 | = |u | cos θ, sedemikian hingga
diperoleh bentuk berikut ini.
47 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
|w1 | = |u | (u ∘ v
|u ||v |) → |w1 | =
u ∘ v
|v |
Selanjutnya, pada gambar terdapat vektor satuan e1 yang
memenuhi w1 = |w1 |e1
Dalam hal ini, e1 merupakan vektor satuan dari v .
Karena v searah dengan w1 , maka vektor satuan dari w1
sama dengan vektor satuan dari v . Vektor satuan dari
v ditentukan oleh:
e1 =v
|v |
Substitusikan |w1 | =u ∘ v
|v | dan e1 =
v
|v | ke persamaan
w1 = |w1 |e1, diperoleh:
w1 = (u ∘ v
|v |) (
v
|v |) = (
u ∘ v
|v |2) v
w1 = (u ∘ v
|v |2) v
Besaran ini selanjutnya disebut sebagai proyeksi vektor
ortogonal dari u ke v .
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 48
Contoh 1.6
Diketahui A(1, 3,1), B(−2,1,1) dan p = (2,0,1)
(a) Tentukan proyeksi skalar p pada arah AB !
Misalkan w sebagai proyeksi skalar p pada arah AB
dan AB = (−3,−2,0), maka:
|w | =p ∘ AB
|AB |=
(2(−3) + 0(−2) + 1(0))
√(−3)2 + (−2)2 + 02
=(−6) + 0 + 0
√9 + 4=
−6
√13
Jadi proyeksi skalar p pada arah AB adalah |w | =−6
√13
(b) Tentukan proyeksi vektor p pada arah AB !
w = (p ∘ AB
|AB |2 )AB = (
−6
(√13)2) (
−3−20
)
w =−6
13 (
−3−20
) =1
13(18120
)
Jadi proyeksi vektor p pada arah AB adalah w =
1
13(18120
)
49 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
Selesaikan masalah-masalah berikut ini!
(1) Bagaimana jika v diproyeksikan ke u ???
..............................................................................
(2) Bagaimanakah gambar kedua vektor tersebut???
.....................................................................................
Hal ini diserahkan kepada pembaca sebagai latihan untuk
membuktikan bahwa ;
|w1 | =u o v
|u | disebut sebagai proyeksi skalar ortogonal
dari v ke u .
Sedangkan
w1 = (u o v
|u |2) u , disebut sebagai proyeksi vektor
ortogonal dari v ke u .
...................................................................................................
...................................................................................................
...................................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 50
...................................................................................................
...................................................................................................
(3) Diketahui A(2,3, −1), B(−2,−4,3) dan p = 4i −
3j + k
(a) Tentukan proyeksi skalar p pada arah AB !
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
(b) Tentukan proyeksi ortogonal p pada arah AB !
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
(4) Diketahui a = 3i + 5j − 2k , b = −i − 2j + 3k, dan
c = 2i − j + 4k
(a) Tentukan proyeksi skalar ortogonal dari b ke
(2a − c )!
...............................................................................
...............................................................................
51 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
(b) Tentukan proyeksi vektor ortogonal dari b ke
(2a − c )!
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
H. UJIAN AKHIR BAB
(1) Buktikan bahwa r = ai + bj + ck merupakan vektor
posisi yang menghubungkan titi pusat koordinat
dengan sebarang titik di ruang dengan koordinat
(a,b,c)!
(2) Vektor i dan j masing-masing merupakan vektor
satuan yang searah dengan sumbu x positif dan
sumbu y positif. Jelaskan mengapa i + j bukan
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor 52
merupakan vektor satuan? Tentukan vektor satuan
dari vektor i + j !
(3) Tunjukkan bahwa titik-titik P(4,2,6), Q(10, −2,4)
dan R(−2,0,2) merupakan titik-titik sudut segitiga
sama kaki! Tentukan luas segitiga tersebut!
(4) Tunjukkan bahwa titik-titik A(4,2,4), B(10,2, −2)
dan C(2,0, −4) merupakan titik-titik sudut segitiga
sama sisi! Tentukan luas segitiga tersebut!
(5) Tunjukkan bahwa titik-titik D(6,-10,0), E(1,0, −5)
dan F(6,10,10) merupakan titik-titik sudut segitiga
siku-siku! Tentukan luas segitiga tersebut!
(6) Diketahui empat buah titik teletak di ruang
berdimensi tiga dengan koordinat masing-masing
A(2, −1,0), B(0, −1,−1), C(1,1−3), dan
D(3,1, −2). Dengan menggunakan hasil kali titik,
tunjukkan bahwa ABCD membentuk sebuah persegi
panjang!
(7) Sudut α, β, dan γ masing-masing merupakan sudut
yang dibentuk oleh a = i + 2j − 2k terhadap sumbu
x, sumbu y dan sumbu z.
53 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Vektor
(a) Dengan menggunakan hasil kali titik,
tentukanlah cos α, cos β, dan cos γ!
(b) Kemudian tunjukkan bahwa cos2 α + cos2 β +
cos2 γ = 1
(8) Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut
A(4, −,2), B(2, −2,6) dan C(3,4,5).
(a) Tunjukkan dengan gambar bahwa proyeksi
vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh
vektor 2i − j − 4k !
(b) Tunjukkan dengan gambar bahwa proyeksi
vektor ortogonal AC pada arah BC diwakili oleh
vektor i + 6j − k!
BAB II GARIS LURUS MODEL ANALITIK GARIS LURUS
54 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
A. Persamaan Garis Lurus
Garis lurus merupakan bentuk geometris yang dihasilkan
dari korespondensi dari tak hingga titik dalam bidang.
Terbentuknya garis lurus dapat dianalisis berdasarkan
kompen-komponen di dalamnya seperti titik, vektor, dan
parameter lainnya. Untuk itu penting bagi kita mengetahui
proses-proses analitik pada sebuah garis lurus dalam
bidang. Selain itu, ada istilah lain dalam bidang aljabar
yang sudah lama kita kenali yaitu linear. Bagaimanakah
kaitan antara garis lurus dengan linear?? Ya...linear
merupakan istilah yang menyatakan bentuk geometris dari
persamaan aljabar dengan pangkat tertinggi variabelnya
adalah satu. Oleh karena itu, jika persamaan linear ini
digambar, maka bentuknya menjadi garis lurus. Jadi, jika
kita membahas persamaan garis lurus, maka sudah pasti
kita akan menemui persamaan linear di dalamnya.
Setiap garis lurus selalu memuat komponen-komponen
skalar seperti halnya pada gambar garis k berikut ini.
Dapat kita lihat bahwa melalui titik A, B, dan C dapat
ditentukan besaran ∆x dan ∆y. Kedua besaran ini masing-
masing menyatakan komponen skalar garis secara
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 55
horizontal dan vertikal. Jika pada garis k memuat AB ,
maka komponen-komponen vektor tersebut ditentukan
oleh [∆x = (xb − xa), ∆y = (yb − ya)] dan pasangan ini
dinamakan pasangan bilangan arah dari suatu garis lurus.
Untuk memahami posisi bilangan arah pada garis,
perhatikan gambar di bawah ini!
Jika dikaitkan dengan trigonometri, maka perbandingan
antara ∆y terhadap ∆x pada gambar (1) dapat dinyatakan
dalam bentuk tan θ = ∆y
∆x dengan θ merupakan sudut yang
dibentuk oleh garis k terhadap AC = ∆x. Namun jika
besaran ini diinterpretasikan ke dalam konsep garis lurus,
Gambar 2.1. Pasangan Bilangan Arah
56 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
maka nilai tan θ dipandang sebagai kemiringan dari garis
k. Untuk itu perhatikan gambar (2) berikut ini !
Kemiringan garis atau gradien garis atau kecondongan
garis adalah konstanta atau bilangan yang menentukan
kedudukan/posisi garis tertentu. Kemiringan garis atau
gradien garis atau kecondongan garis dikelompokan ke
dalam tiga kategori yaitu: 1) kemiringan garis positif, 2)
kemiringan garis nol, dan 3) kemiringan garis negatif.
Sebuah garis memiliki kemiringan/gradien positif apabila
posisi garis itu miring ke kanan (jatuh ke arah kanan),
kemiringan/gradien garis nol apabila garis tersebut sejajar
sumbu x, dan kemiringan/gradien garis negatif apabila
Gambar 2.2. Kemiringan Pada Garis Lurus
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 57
posisi garis itu miring ke kiri (jatuh ke arah kiri). Sebuah
garis tegak lurus sumbu x atau sejajar sumbu y
didefinisikan tidak memiliki kemiringan/gradien.
Berdasarkan gambar 2.2, nilai θ disebut sebagai inklinasi
dari garis lurus. Sedangkan nilai tangen dari inklinasi
sebuah garis lurus disebut koefisien
arah/kemiringan/gradient (disimbolkan m). Nilai m
ditentukan oleh besarnya θ. Oleh karena itu, ada beberapa
kasus (akibat) yaitu :
Akibat 1 :
Jika garis membentuk sudut lancip terhadap sumbu x
maka m bernilai positif, dan jika membentuk sudut
tumpul, maka m negatif. Hal ini disebabkan karena nilai
tangen di kuadran I bernilai positif, sedangkan di kuadran
II (sudut tumpul) nilai tangen bernilai negatif.
Coba gambarlah garis lurus sehingga gradiennya bernilai
positif !
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
58 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Akibat II :
Jika garis tegak lurus terhadap sumbu x, atau θ = 900,
maka m tidak didefinisikan. Mengapa??
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Gambarlah garis tersebut dan tunjukkan
ketegaklurusannya terhadap sumbu x!
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Akibat III :
Jika garis sejajar sumbu x atau θ = 00, maka m = 0
Coba analisa akibat tersebut, nyatakan dalam gambar !
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 59
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Setelah mempelajari kemungkinan-kemungkinan gradien
garis, sekarang kita akan menganalisa garis lurus
berdasarkan vektor-vektor yang termuat di dalamnya.
Perhatikan gambar di bawah ini !
Diberikan sebuah garis g yang memuat titik-titik A (x1,y1),
B (x2,y2) dan P (x,y). Nampak bahwa garis g dapat
dinyatakan ke dalam bentuk perbandingan vektor yaitu AP
dan AB . Jika P adalah suatu titik yang berubah-ubah
g
Gambar 2.3 Garis g
60 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
posisinya pada garis g dan t adalah suatu parameter
(ukuran yang nilainya berubah-ubah), maka kita peroleh
AP = t AB , dengan t bilangan real. Berdasarkan hal ini,
kita bisa mengambil beberapa contoh t untuk nilai tertentu
dan akibatnya. Jika t = 0, maka A berhimpit dengan P. Jika
t =1 maka P berhimpit dengan B. Bagaimana jika 0 < t <
1, Bagaimana jika t > 1, dan bagaimana jika t < 0 ?
Dimanakah posisi P untuk ketiga kasus di atas?
(Pembaca dipersilahkan untuk menjawab permasalahan
ini) !
Berdasarkan AP = t AB dengan AP = [x − x1, y − y1]
dan AB = [x2 − x1, y2 − y1], kita peroleh bentuk sebagai
berikut !
[x − x1, y − y1] =t[x2 − x1, y2 − y1] ↔ (x − x1) =
t(x2 − x1) dan (y − y1) = t(y2 − y1)
Persamaan di atas menunjukkan bahwa setiap titik (x,y)
merupakan koordinat titik yang terletak pada g dan juga
memuat AB . Untuk selanjutnya :
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 61
{(x − x1) = t(x2 − x1)(y − y1) = t(y2 − y1)
atau (x − x1) = t ∆x(y − y1) = t ∆y
dengan t
sebagai parameter.
(Persamaan 1)
Persamaan (1) selanjutnya disebut sebagai persamaan
parameter garis lurus.
Berdasarkan proses di atas, kita ubah bentuk persamaan
parameter sedemikian hingga menjadi:
t = (x−x1)
∆x dan t =
(y−y1)
∆y
karena t = t, maka berlaku (x−x1)
∆x=(y−y1)
∆y (Persamaan 2)
Karena persamaan (2) berbentuk simetris untuk kedua
ruasnya, maka persamaan ini disebut sebagai persamaan
simetris garis g. Penting untuk diketahui juga bahwa ∆x
dan ∆y merupakan sepasang bilangan arah garis g. ∆x
mewakili arah sepanjang sumbu x (horizontal) dan ∆y
mewakili arah sepanjang sumbu y (vertikal). Karena
persamaan (2) memuat sepasang bilangan arah [∆x, ∆y],
maka persamaan (2) juga disebut sebagai persamaan
bilangan arah.
62 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Untuk mengkonstruksi persamaan umum suatu garis
lurus, mari kita tinjau ulang bentuk persamaan (2) di atas
!
(x − x1)
∆x=(y − y1)
∆y
∆y(x − x1) = ∆x(y − y1)
∆yx − ∆yx1 = ∆xy − ∆xy1
Untuk menyelesaikan bentuk persamaan ini, sekarang kita
tinjau gambar berikut ini !
Misalkan n = [a, b] merupakan vektor yang tegak lurus
terhadap garis yang melalui PQ dengan P (x1, y1) dan Q
Gambar 2.4. Vektor Normal n terhadap garis dalam bidang
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 63
(x,y) sehingga PQ = [ x − x1, y − y1] maka n disebut
vektor normal terhadap PQ . Berdasarkan teorema
ortogonalitas vektor (dot product theorem), jika n dan PQ
tegak lurus maka n o PQ = 0. Teorema ini berakibat pada
[a,b] o [ x − x1, y − y1] = 0.
a (x − x1) + b (y − y1)= 0
ax−ax1+ by − by1= 0
ax + by − ax1 − by1= 0
ax + by + C= 0 ; dengan −ax1 − by1= C
Untuk selanjutnya ax + by + C= 0 ; a,b,c bilangan real
disebut persamaan umum garis lurus. Persamaan garis ini
berpangkat satu untuk x dan y sehingga disebut juga
sebagai persamaan linear. Penting untuk diketahui bahwa:
n = [a, b] disebut vektor koefisien atau vektor normal
garis dengan a dan b, tidak boleh keduanya 0.
Sebuah vektor [b, −a] pasti terletak pada garis, karena
[a, b] o [b, −a] = 0. Jadi koefisien arah dari garis dengan
64 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
persamaan umum ax + by + C= 0 ditentukan oleh by =
−ax − C atau y = −ax−C
b
y = −a
bx −
C
b sehingga m =−
a
b
Contoh 2.1
(1) Tentukan persamaan parameter dari g; 2x – 4y = 8 dan
kemiringannya!
Penyelesaian:
Ambil dua titik sebarang pada g, paling mudah kita
tentukan titik potongnya terhadap sumbu x dan
sumbu y yaitu, (0, –2) dan (4,0). Dari kedua titik ini,
kita tentukan ∆x = 4 dan ∆y = 2. Dengan mengambil
salah satu dari dua titik potong, misalkan kita ambil
(x1, y1) = (4,0), dapat dibentuk persamaan parameter
g yaitu;
(x − x1) = ∆x t(y − y1) = ∆y t
} → (x − 4) = 4 t(y − 0) = 2 t
} →x = 4 t + 4y = 2 t
}
Gradien/kemiringan garis g adalah ∆y
∆x=2
4=1
2 ,
dengan
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 65
Persamaan parameter g adalah x = 4 t + 4y = 2 t
}
(2) Jika (x − 2) = 4t − 1(y + 3) = t − 2
, maka tentukan persamaan
garis tersebut dalam bentuk umum !
Penyelesaian:
Tentukan terlebih dahulu komponen-komponen
vektor arah pada persamaan parameter diatas!
(x − 2) = 4t − 1(y + 3) = t − 2
} → x = 4t + 1y = t − 5
} → ∆x = 4, ∆y =
1, melalui (1, –5)
Jadi vektor arahnya adalah [4,1] melalui titik (x1, y1)
= (1, –5), sedangkan vektor normalnya [–1,4].
Persamaan umumnya berbentuk; −1 (x − 1) +
4(y + 5) = 0
−1 (x − 1) + 4(y + 5) = 0 → −x + 1 + 4y + 20
= 0 → −x + 4y + 21 = 0
Jadi persamaan garis dalam bentuk umumnya adalah
−x + 4y + 21 = 0
66 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Untuk menguji pemahamanmu, coba selesaikan
masalah-masalah berikut ini!
(1) Diberikan garis g dengan vektor arah v = mi + nj
dan suatu titik A(x1, y1) yang terletak pada garis g.
Tunjukkan bahwa garis g dapat dinyatakan ke dalam
bentuk persamaan y − y1 =n
m(x − x1) !
Ambil sebarang P (x,y) ∈ g sedemikian hingga AP = tv
untuk suatu parameter t. Karena v vektor arah dari garis g
akibatnya berlaku :
AP = tv → [(x − x1)⏟ ∆x
, (y − y1)⏟ ∆y
] = tm⏟∆x
i + tn⏟∆y
j
Gambar 2.5. Vektor arah pada garis g
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 67
Kita ambil komponen-komponen yang bersesuaian
dengan ∆x dan ∆y yaitu :
(x − x1) = tm dan (y − y1) = tn, sehingga diperoleh
bentuk parameter sebagai berikut !
x = ⋯y = ⋯}
tm = x − x1 dan tn = y − y1
t =…
…t =
…
…
}
Diperoleh …
…=…
…→ n(… ) = m(… ) → (… ) =
𝐧
𝐦(… )
Diketahui persamaan parameter garis h berbentuk x =
−2 − 2 t dan y = 5t + 5. Tentukan persamaan umum dan
vektor normalnya !
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
68 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
(2) Garis g melalui titik P(–1,2) dan mempunyai
pasangan bilangan arah [2,3]. Tentukan :
(a) Koefiseien arahnya
................................................................................
................................................................................
................................................................................
(b) Persamaan parameter garis
................................................................................
................................................................................
................................................................................
(c) Persamaan garis dalam bentuk bilangan arah
................................................................................
................................................................................
................................................................................
(d) Persamaan umum garis
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 69
Gambar 2.6 Dua garis sejajar
B. Garis-garis Sejajar
Secara geometris garis-garis sejajar merupakan garis-garis
lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak
berpotongan satu sama lain sejauh apapun garis-garis
tersebut diperpanjang. Dua garis lurus saling sejajar
dinyatakan dengan simbol AB // CD . Bentuk dua garis
sejajar diperlihatkan pada gambar di bawah ini !
Berdasarkan gambar 2.6 di atas, dapat dibentuk beberapa
prinsip tentang kesejajaran garis lurus. Sebagai pembaca,
anda diharapkan dapat mengidentifikasi setiap prinsip
melalui gambar. Berikut ini disajikan prinsip-prinsip
kesejajaran yang meliputi;
70 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
(1) Melalui suatu titik tertentu yang tidak berada pada
garis tertentu, dapat dibuat satu dan hanya satu garis
yang sejajar dengan garis pertama.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Dua garis dikatakan sejajar, jika sepasang sudut yang
bersesuaian kongruen.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(3) Dua garis dikatakan sejajar, jika sepasang sudut
dalam bersebrangan kongruen.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 71
(4) Dua garis dikatakan sejajar jika sepasang sudut dalam
pada sisi transversal yang sama adalah sudut-sudut
suplementer.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(5) Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut
tegak lurus terhadap satu garis yang sama.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(6) Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut
sejajar terhadap satu garis yang sama.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
72 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Setelah mempelajari prinsip-prinsip geometris garis-garis
sejajar, sekarang kita akan mengkaji tentang bentuk
analitik dari dua garis sejajar. Kita akan memulai
pembahasan ini dengan memberikan dua garis dengan
persamaan masing-masing yaitu g1 ; a1x + b1y + c1 = 0 dan
g2 ; a2x + b2y + c2 = 0. Berdasarkan pembahasan
sebelumnya, kita dapat membuat vektor-vektor arah pada
kedua garis tersebut. Untuk g1, kita ambil sebarang vektor
arah u = [–b1,a1] dan untuk g2 kita ambil vektor arah u =
[–b2,a2]. Berdasarkan prinsip kesejajaran, jika kedua garis
sejajar, maka semua vektor arah dari kedua garis tersebut
juga sejajar. Hal ini berarti u //v , sedemikian hingga kita
dapat menyatakan hubungan kedua vektor dalam bentuk
perbandingan seperti u = k v , untuk suatu k parameter
tertentu.
u = k v →[–b1,a1] = k[–b2,a2]
[–b1,a1] = [–k b2, k a2] → –b1 = –k b2 dan a1 = k a2
Dari kedua persamaan tersebut, k = −b1
−b2=a1
a2 → −b1a2 =
−b2a1
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 73
−b1a2 = −b2a1 →−a2
b2=−a1
b1 → m1 = m2
Ini membuktikan bahwa dua garis sejajar terjadi jika
gradien (m) keduanya bernilai sama. Sekarang kita akan
mempersempit kajian kita mengenai konsep lain dari
kesejajaran yaitu dua garis berhimpit. Bagaimana syarat
dua garis berhimpit? Bagaimana ciri-ciri persamaannya?
Untuk menjawab masalah ini, kita harus memahamai
perbedaan dua garis sejajar dan dua garis berhimpit. Jika
kedua garis sejajar, maka kedua garis tidak memiliki titik
potong/penyelesaian, sehingga sudut inklinasi diantara
keduanya tidak ada. Sedangkan dua garis berhimpit
memiliki tak hingga titik potong/penyelesaian atau dengan
kata lain, kedua garis membentuk sudut inklinasi yang
besarnya 00. Selain itu, kita juga bisa mengamati bahwa
dua garis sejajar atau berhimpit tidak terbatas pada
ukurannya. Bisa saja satu garis menjadi kelipatan dari
garis lainnya. Inilah yang menyebabkan koefisien-
koefisien pada persamaan garisnya membentuk
perbandingan tertentu, bisa sama untuk setiap koefisien
dan konstantanya, namun bisa juga tidak khususnya pada
konstantanya saja.
74 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Jika diberikan g1 ; a1x + b1y + c1 = 0 dan g2 ; a2x + b2y +
c2 = 0 , dalam hal ini kita buat sehingga c1 = k c2 atau k =
c1
c2. Jika digabungkan dengan kesamaan sebelumnya
diperoleh bentuk k = b1
b2=a1
a2=
c1
c2. Kesamaan ini berarti
semua koefisien dan konstanta memiliki nilai
perbandingan yang sama/tetap. Hal ini memungkinkan
dugaan kita bahwa, sangat mungkin terjadi jika satu garis
menjadi kelipatan dari garis lainnya. Dalam hal ini,
kelipatan yang dimaksud dinyatakan dengan besaran k.
Jadi kesimpulannya jika k = b1
b2=a1
a2=
c1
c2, maka g1 = g2
atau dengan kata lain, kedua garis berhimpit.
Contoh 2.2
(1) Diberikan g1 = 3x – 2y + 1 = 0 dan g2 = x – 2
3y +
1
3=
0, tentukan kedudukan kedua garis tersebut!
Penyelesaian:
Selidiki perbandingan b1
b2=a1
a2= c1
c2 pada kedua garis !
b1b2=a1a2=c1c2→3
1=−2
−23
=1
13
= 3
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 75
nilai perbandingannya sama, akibatnya kedua garis
berhimpit.
(2) Jika k; x = 4t − 1y = 2t − 5
} dan l; x = 2t + 4y = t − 3
}, tentukan
kedudukan kedua garis tersebut!
Penyelesaian:
Selidiki gradiennya dengan cara menentukan vektor
arah dari masing-masing persamaan!
[∆xk, ∆yk] = [4,2] → mk =∆yk∆xk
=2
4=1
2
[∆xl, ∆yl] = [2,1] → ml =∆yl∆xl
=1
2
mk = ml =1
2 , akibatnya k//l, namun masih ada
kemungkinan yang belum diselidiki yaitu konstanta
kedua garis dengan cara membentuk persamaan
umumnya.
Gunakan vektor normal kedua garis yaitu nk = [–2,4]
dan nl = [–1,2] melalui (xk,yk) = (–1, –5) dan (xl,yl) =
(4, –3)!
76 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
k; −2(x + 1) + 4(y + 5) = 0 → −2x − 2 + 4y + 20 =
0 → −2x + 4y + 18 = 0 → ck = 18
l; − (x − 4) + 2(y + 3) = 0 → −x + 2 + 2y + 6 =
0 → −x + 2y + 8 = 0 → cl = 8
18 ≠ 8 → ck ≠ cl akibatnya garis k tidak berhimpit
dengan garis l,
Jadi kedua garis hanya sejajar.
Untuk menambah pemahamnmu, coba selesaikan
masalah berikut ini!
(1) Dari pasangan-pasangan garis berikut, manakah
pasangan yang sejajar atau berhimpit??? Berikan
alasan disertai gambar !!
(a) 2x – y + 2 = 0 dan y + 2x – 2 = 0
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(b) y = x – 8 dan 2y = x – 1
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 77
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(c) y = 2 dan x = 2
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(d) {x = 2 + 2ty = t
dan x = 2 − 6ty = 1 − 3t
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(e) 2x + y – 3 = 0 dan 6x + 3y – 9 = 0
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
78 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Gambar 2.7 Dua garis tegak lurus
C. Ketegaklurusan Dua Garis
Perhataikan gambar di bawah ini!
Berbicara ketegaklurusan antara dua garis, maka kita juga
akan bicara ketegaklurusan antara dua vektor arah dari dua
garis yang berbeda. Jika diberikan g1 ; a1x + b1y + c1 = 0
dan g2 ; a2x + b2y + c2 = 0, dengan vektor arah untuk g1
adalah u = [–b1,a1] dan untuk g2 kita ambil vektor arah
v = [–b2,a2]. Berdasarkan definisi dot product, kita
dapatkan hubungan sebagai berikut.
u ◦ v = |u ||v |cos θ, karena g1 tegak lurus g2, akibatnya θ =
900.
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 79
(-b1)(-b2) + a1 a2 = 0, sebab cos 900 = 0
b1b2 + a1a2 = 0 → b1b2 = – a1a2
b1b2 = – a1a2 → a1
b1=
b2
−a2=
1−a2b2
→ m1 = 1
−m2→ m1m2 =
−1
Dapat disimpulkan bahwa dua garais tegak lurus jika hasil
kali kedua gradiennya adalah (–1).
Contoh 2.3
(1) Diberikan g1 = x – 2y + 1 = 0 dan g2 = 2x + y +1
3=
0, tentukan kedudukan kedua garis tersebut!
Penyelesaian :
Selidiki gradien kedua garis !
mg1 = −1
−2=1
2 dan mg2 =
−2
1= −2
mg1 x mg2 = 1
2 x (−2 ) = −1
Karena mg1 x mg2 = −1 akibatnya kedua garis tegak
lurus
80 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
(2) Jika k; x = 4t − 1y = t + 5
} dan l; x = 2t + 4y = t − 3
}, tentukan
kedudukan kedua garis tersebut!
Penyelesaian :
Selidiki gradiennya dengan cara menentukan vektor
arah dari masing-masing persamaan!
[∆xk, ∆yk] = [4,1] → mk =∆yk∆xk
=1
4
[∆xl, ∆yl] = [2,1] → ml =∆yl∆xl
=1
2
mk x ml = 1
4 x 1
2=
1
8≠ −1
Kedua garis tidak tegak lurus.
Untuk menambah pemahamnmu, coba selesaikan
masalah berikut ini!
(1) Dari pasangan garis berikut, manakah yang saling
tegak lurus?? Berikan alasan disertai dengan gambar
!!!
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 81
(a) 2x – y + 5 = 0 dan y + 2x = 0
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
(b) y = x – 1 dan 2y = x + 2
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
(c) x = 3 dan x = -3
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
................................................................................
82 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Gambar 2.8 Sudut di antara dua garis
D. Sudut antara Dua Garis
Perhatikan gambar di bawah ini !
Untuk menentukan sudut di antara dua garis, terlebih
dahulu kita perhatikan segitiga besar dari gambar di atas!
Jika γ merupakan sudut antara g1 dan g2, maka m ∠ γ +m
∠(180 − α) + m ∠β = 1800, sebab jumlah tiga sudut
dalam pada segitiga adalah 1800.
m ∠ γ +m ∠(180 − α) + m ∠β = 1800
m ∠ γ − m ∠α + m ∠β =0
m ∠ γ = m ∠α − m ∠β
Jika dikaitkan dengan tan γ = tan (α − β)
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 83
tan (α − β) = tanα−tanβ
1+tan α.tanβ =
m1−m2
1+m1.m2
Dengan m1 adalah gradien g1 dan m2 adalah gradien g2.
Kesimpulannya bahwa besarnya sudut antara dua garis
dapat ditentukan dengan rumus selisih tangen dua sudut di
atas.
Terdapat cara lain yang tentunya menggunakan
pendekatan yang berbeda. Misalkan g1 ; a1x + b1y + c1 = 0
dan g2 ; a2x + b2y + c2 = 0, dengan vektor arah untuk g1
adalah u = [–b1,a1] dan untuk g2 kita ambil vektor arah
v = [–b2,a2]. Dengan menggunakan operasi dot product
kita peroleh ;
cos γ =�� 0 ��
|�� ||�� | =
b1b2+a1a2
√(b1)2+(b2)2√(a1)2+(a2)2
Kedua cara dapat digunakan sesuai dengan syarat yang
ada pada soal.
Contoh 2.4
(1) Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis k; 2x
– y = 6 dan n; x + 2y = 5 !
Penyelesaian:
84 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Kita tentukan gradien masing-masing garis terlebih
dahulu.
mk = 2 dan mn = −1
2
tan θ =tanα−tanβ
1+tan α.tanβ =
mk−mn
1+mk.mn=
2+ 1
2
1+(−1)=
5
2
0
tan θ =
5
2
0↔ θ = 900
Jadi besar sudut yang dibentuk oleh kedua garis
adalah 900
(2) Tentukan nilai cos θ dari sudut yang dibentuk antara
vektor q[1, –2] terhadap garis p; x + 2y – 3 = 0 !
Penyelesaian:
Ambil sebarang vektor arah dari garis p, misalkan
p = [2,1], lalu operasikan dengan vektor q = [1,-2]
melalui dot product.
cos θ =�� 𝟎 ��
|�� ||�� | =
1(2)+(−2)1
√(1)2+(−2)2√(2)2+(1)2=0
5= 0
cos θ = 0 ↔ θ = 900
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 85
Gambar 2.9 Jarak titik P ke garis g
(3) Cobalah pikirkan bagaimana cara menentukan sudut
antara g1; 2x – 3y + 12 = 0 dan g2 ; x + 2y – 4 = 0???
Gunakan dua cara disertai gambarnya !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
E. Jarak Titik ke Garis
Jarak titik ke garis didefinisikan melalui gambar berikut !
86 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Berdasarkan gambar, jarak titik P(x,y) ke garis g diwakili
d. Jarak dalam hal ini merupakan lintasan terpendek yang
menghubungkan titik dan garis sedemikian hingga antara
garis dan ruas garis yang mewakili jarak membentuk sudut
siku-siku/ortogonal. Nah, untuk menentukan panjang d,
kita dapat menggunakan beberapa pendekatan analitik,
antara lain dengan prinsip hasil kali silang vektor dan
vektor normal.
Dengan prinsip hasil kali silang vektor (cross product),
diberikan persamaan garis g; ax + by + c = 0, dengan titik
potong pada sumbu x adalah (−c
a, 0),
mengapa????......................................................................
Ambil sebarang vektor arah pada g, yaitu u = [b,-a] dan
QP = [x + 𝐜
𝐚, 0]
maka berdasarkan hasil kali silang dua vektror, diperoleh;
|u x QP | = |u | |QP | sin γ = |u | d, dengan d = |QP | sin γ
mengapa??????
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 87
............................................................................................
............................................................................................
|u x QP | = |i j kb ……… 0…… y 0
| = (by +........) k
= (ax + by + .....) k,
d = |u x QP |
|�� |=(ax + by + .....)
√b2+a2
Untuk pendekatan yang kedua, kita gunakan analisa
vektor. Namun pembaca diminta untuk membuat
gambarnya berdasarkan uraian berikut !
Diberikan titik P1(x1,y1), garis g; ax + by + c = 0, dan u =
[a,b] vektor normal pada garis g. Titik P2 (x2,y2)
merupakan proyeksi titik P1(x1,y1) pada garis g
sedemikian hingga ruas garis P1P2 tegak lurus garis g.
Selanjutnya ruas garis P1P2 diubah menjadi P2P1 , inilah
yang disebut dengan jarak (d). Tujuan kita adalah mencari
jarak P ke garis g. Coba gambarkan ilustrasi tersebut !
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
88 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Berdasarkan keterangan di atas, jelas bahwa u = [a,b]
sejajar dengan P2P1 , akibatnya sudut antara keduanya
adalah θ = 00. Dengan menggunakan rumus cosinus sudut
antara dua vektor, yaitu:
cos θ =u 𝐨 P2P1
|u || P2P1 |
d = | P2P1 | = u o P2P1
|u |= [a, b] o [x1 − x2, y1 − y2]
√a2 + b2
=a(x1 − x2) + b( y1 − y2)
√a2 + b2
d = | P2P1 | =ax1 + by1 + (−ax2 − by2)
√a2 + b2
=ax1 + by1 + C
√a2 + b2
d = |ax1 + by1 + C
√a2 + b2|
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 89
Contoh 2.5
(1) Tentukan jarak antara titik P(2, –1) terhadap garis 2x
+ y – 6 = 0 !
Penyelesaian :
Misalkan P (x1,y1) = (2, –1) , a = 2 dan b = 1. Gunakan
rumus d, sedemikian hingga d = |ax1+by1+C
√a2+b2| = d =
|2(2)+(−1)+(−6)
√22+12| = |
−3
√5| =
3
√5
Jarak antara titik P ke garis 2x + y – 6 = 0 adalah 3
√5
satuan
(2) Tentukan jarak antara garis p; x + y = 3 dan q; x + y
– 4 = 0 !
Penyelesaian:
Ambil sebarang titik pada salah satu garis, misalkan
kita ambil titik dari garis p; x + y = 3, diperoleh A(0,3)
dengan a = 1, b = 1, c = –4 diambil dari garis q. Lalu
gunakan rumus d sedemikian hingga;
d = |ax1+by1+C
√a2+b2| = d = |
1(0)+1(3)+(−4)
√12+12| = |
−1
√2| =
1
√2
90 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Jarak antara kedua garis adalah 1
√2 satuan
Sekarang kita gunakan rumus di atas untuk
menyelesaikan masalah berikut ini !
(1) Bagaimana jarak titik A(–3,5) dan titik (0, –3)
terhadap garis g dengan persamaan g; 3x – 4y + 12 =
0 ??? buatlah gambarnya !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Buktikan bahwa jarak antara dua garis sejajar g1; Ax
+ By + C = 0 dan g2; Ax + By + C’ = 0 adalah |C−C′|
√a2+b2
!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 91
(3) Tentukan jarak antara g1 ; x = –3 dan g2 ; y = 2x !
Nyatakan dalam gambar!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
....................................................................................
F. Perpotongan Garis-garis
Ada beberapa kemungkinan kedudukan dua garis lurus,
berpotongan, sejajar atau berhimpit. Dua garis
berpotongan tepat pada satu titik. Titik ini kemudian
disebut sebagai penyelesaian. Dua garis sejajar dikatakan
tidak memiliki penyelesaian, sebab keduanya tidak
berpotongan, sedangkaan dua garis berhimpit memiliki
tak hingga banyaknya penyelesaian. Mengapa demikian??
............................................................................................
............................................................................................
Khusus untuk garis-garis yang berpotongan, terdapat
beberapa cara standar/baku dalam menentukan koordinat
92 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
titik potong/penyelesaiannya. Metode substitusi, eliminasi
atau gabungan keduanya merupakan metode lazim yang
telah kita pelajari sejak SMP. Sekarang kita akan
mengubah ilustrasi tentang metode-metode tersebut
menjadi sebuah ilustrasi baru sedemikian hingga setiap
sistem persamaan garis lurus akan dinyatakan ke dalam
bentuk determinan koefisien-koefisien dari variabel yang
dimuat dalam sistem persamaan.
Misalkan diberikan g1; a1x + b1y + c1 = 0 dan g1; a2x +
b2y + c2 = 0, membentuk sebuah sistem sedemikian hingga
kita akan menentukan ada tidaknya solusi dari kedua
persamaan tersebut. Ada 3 kemungkinan, yaitu;
(1) Jika |a1 b1a2 b2
| = a1b2 − a2b1 ≠ 0,atau a1
a2≠b1
b2, maka
dua garis tersebut berpotongan di satu titik.
(2) Jika |a1 b1a2 b2
| = a1b2 − a2b1 = 0,atau a1
a2=b1
b2 dan
a1
a2=b1
b2 ≠
c1
c2, maka dua garis tersebut sejajar (tidak
berpotongan).
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 93
(3) Jika |a1 b1a2 b2
| = |a1 c1a2 c2
| = |c1 b1c2 b2
| atau a1
a2=b1
b2 =
c1
c2, maka kedua garis tersebut berhimpit.
Berdasarkan ketiga kemungkinan di atas, buatlah
beberapa contoh sistem persamaan yang memenuhi setiap
kemungkinan dan tunjukkan melalui determinan !
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
G. Berkas Garis
Sebuah titik dilalui oleh beberapa garis yang banyaknya
tak hingga. Garis-garis tersebut membentuk suatu
himpunan yang disebut sebagai berkas garis. Jika
diberikan g1; a1x + b1y + c1 = 0 dan g1; a2x + b2y + c2 = 0,
yang tidak sejajar, maka secara simbolis dapat dituliskan
sebagai g1 = 0 dan g2 = 0. Untuk menyatakan suatu berkas
94 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Gambar 2.10 Berkas garis
garis, kita buat persamaan g1 + ⋋ g2 = 0, dengan ⋋
parameter real. Berikut ini diberikan gambar berkas garis!
g1 + ⋋ g2 = 0
a1x + b1y + c1 + ⋋ (a2x + b2y + c2) = 0
(a1 + ⋋ a2)x + (b1 + ⋋ b2) y + c1 + ⋋ c2) = 0
Karena kedua garis berpotongan, maka titik potongnya
juga akan dilalui oleh garis garis lain yang bentuknya
bergantung pada nilai parameter ⋋. Jadi persamaan g1 + ⋋
g2 = 0 disebut sebagai persamaan berkas garis, dengan g1
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 95
dan g2 merupakan garis-garis dasar dari berkas garis yang
terbentuk.
Contoh 2.6
(1) Tentukan persamaan berkas garis yang dibentuk oleh
p; x + 2y – 4 = 0 dan q; 2x – y + 2 = 0 !
Penyelesaian:
Persamaan berkas dapat ditentukan dengan aturan
berikut.
g1 + ⋋ g2 = 0
a1x + b1y + c1 + ⋋ (a2x + b2y + c2) = 0
(a1 + ⋋ a2)x + (b1 + ⋋ b2) y + c1 + ⋋ c2 = 0
(1 + 2 ⋋ )x + (2 – ⋋ ) y – 4 + 2 ⋋ = 0
Jadi persamaan berkas garisnya adalah (1 + 2 ⋋ )x +
(2 – ⋋ ) y – 4 + 2 ⋋ = 0
(2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong
antara g1 ; 2x + y = 6 dan g2 ; 3x – 2y – 1 = 0, dengan
gradien 1 !
96 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Penyelesaian:
Garis-garis tersebut membentuk berkas dengan
persamaan;
(2 + 3 ⋋ ) x + (1 – 2 ⋋ ) y – 6 – ⋋ = 0
Gradien dari persamaan ini adalah m = −(2 + 3 ⋋ )
(1 – 2⋋ ) = 1
m = −(2 + 3 ⋋ )
(1 – 2⋋ ) = 1 → −(2 + 3 ⋋ ) = (1 – 2 ⋋ ) →
⋋ = (−3)
substitusikan nilai ⋋ = (−3) ke persamaan berkas,
sedemikian hingga diperoleh persamaan garis berkas
yaitu;
(2 + 3 ⋋ ) x + (1 – 2 ⋋ ) y – 6 – ⋋ = 0 → [2 + 3 (−3)]
x + [1 – 2(−3)] y – 6 – (−3) = 0
(2 - 9 ) x + (1 + 6) y – 6 + 3 = 0
– 7x + 7y – 3 = 0
Jadi persamaan garis yang dimaksud adalah – 7x + 7y
– 3 = 0
(3) Tentukan garis-garis dasar dari persamaan berkas ;
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 97
(2 + ⋋ )x + (–1 + ⋋) y – 2 + 3 ⋋ = 0
Penyelesaian:
(2 + ⋋ )x + (–1 + ⋋ ) y – 2 + 3 ⋋ = 0
Identifikasi semua koefisien dan konstanta pada
persamaan di atas !
(2 + ⋋ )x + (–1 + ⋋ ) y – 2 + 3 ⋋ = 0 berpadanan
dengan (a1 + ⋋ a2)x + (b1 + ⋋ b2) y + c1 + ⋋ c2 = 0,
sehingga diperoleh hubungan berikut ini.
(2 + ⋋ ) = (a1 + ⋋ a2), untuk variabel x
(–1 + ⋋ ) = (b1 + ⋋ b2), untuk variabel y
– 2 + 3 ⋋ = c1 + ⋋ c2, untuk konstanta
Diperoleh a1 = 2, b1 = –1, dan c1 = –2 dan a2 = 1, b2 =
1, dan c1 = 3
Jadi garis-garis dasar yang membentuk berkas garis
adalah
p; a1x + b1y + c1 = 0 → 2x − y − 2 = 0 dan
q; a2x + b2y + c2 = 0 → x + y + 2 = 0
98 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
Untuk menguji pemahamanmu, selesaikanlah
masalah-masalah berikut!
(1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong
antara g1 ; x + 2y = 4 dan g2 ; x – 2y + 2 = 0, dengan
gradien 2 ! Gambarkan berkas garisnya !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Tentukan garis-garis dasar dari persamaan (1 + ⋋ )x
+ (−2 + ⋋ ) y − ⋋ = 0!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus 99
H. UJIAN AKHIR BAB
(1) Persamaan parameter dari garis x = y adalah....
(2) Jika ABCD merupakan sebuah jajargenjang,
tentukanlah persamaan sisi BD dan sisi CD!
(3) Vektor [–2,3] terletak pada garis g, dan vektor [–3,2]
terletak pada garis k. Jika γ merupakan sudut yang
dibentuk kedua garis, maka nilai cos γ adalah..
(4) Persamaan garis yang melalui titik (3,0) dan sejajar
dengan garais y = 3x – 1 adalah...???? Gambarkan
garis yang dimaksud!
(5) Jarak antara garis 2x – y = 3 dan 6x – 3y – 7 = 0
adalah....
(6) Perpotongan antara 2x – 3y + 1 = 0 dan px – 6y + 2 =
0 berupa sebuah garis, tentukanlah nilai p dan gambar
garis perpotongan di antara keduanya!
(7) Persamaan berkas garis yang melalui titik potong
antara 2x = 1 dan y = 3x – 2 adalah....
(8) Persamaan sebuah garis yang melalui titik potong
antara 3x + 7y – 1 = 0 dengan x – 9y = 7 = 0, dan
memotong sumbu y pada titik (0,3) adalah...
(9) Persamaan garis 2x + 3y = 12 memotong sumbu x di
A dan memotong sumbu y di B. jika T adalah titik
100 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Garis Lurus
tengah ruas garis AB, maka tentukan persamaan garis
yang melalui T dan tegak lurus garis tersebut !
(10) Diberikan tiga garis lurus a, b, dan c dengan gradient
berturut-turut adalah 3, 4, dan 5. Ketiga garis itu
memotong sumbu Y di titik yang sama. Jika jumlah
absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu
x adalah 47
60 , maka persamaan garis a adalah…
BAB III LINGKARAN MODEL ANALITIK LINGKARAN
101 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
A. Persamaan Lingkaran
Perhatikan gambar di bawah ini !
Secara geometrik, lingkaran terbentuk dari hasil rotasi
(perputaran) sisi miring segitiga siku-siku yang
mengelilingi pusat koordinat O (0,0). Jika dimisalkan jari-
jari (r) lingkaran membentuk vektor, maka titik ujungnya
akan membentuk lintasan (orbit) sirkular, sedemikian
hingga titik-titik yang berada pada lintasan tersebut
memiliki jarak yang sama terhadap titik pusat koordinat.
Secara analitik, pada gambar 3.1 berlaku hubungan r2 = x2
+ y2. Mengapa?? Karena A (x,y) merupakan sebarang titik
pada lingkaran, maka persamaan r2 = x2 + y2 berlaku
umum untuk setiap titik pada lingkaran. Berdasarkan hal
Gambar 3.1 Lingkaran dengan pusat O (0,0)
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 102
ini, kita simpulkan bahwa persamaan tersebut merupakan
persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0).
Coba pikirkan, bagaimana cara mencari banyaknya
pasangan titik yang mungkin memenuhi persamaan 252 =
x2 + y2???
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Sekarang kita akan mengkaji, bagaimana bentuk
persamaan lingkaran jika pusatnya digeser sejauh arah
vertikal dan horizontal pada bidang Cartesius. Perhatikan
gambar di bawah ini !
Gambar 3.3 Lingkaran berpusat di (a,b) Gambar 3.2 Pergeseran lingkaran
103 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Berdasarkan gambar 3.2, nampak bahwa lingkaran yang
berpusat di titik O digeser sejauh a arah horizontal dan
sejauh b pada arah vertikal. Pergeseran tersebut
menyebabkan pusat lingkaran juga berubah, namun tidak
berlaku pada ukuran jari-jarinya. Jika kita memperhatikan
proses tersebut secara analitik, kita dapat mengamati
bahwa pada gambar 3.3 ada sebuah segitiga siku-siku
yang terbentuk. Segitiga tersebut beralaskan sisi
sepanjang (x−a) dan tinggi (y−b). Mengapa???
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Jika diterapkan dalil Phytagoras, maka diperoleh bentuk
berikut!
(x−a)2 + (y−b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
... + y2...... – 2by + a2 + b2 = r2
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 104
... + .....– 2ax – ...... + ..... + ...... – r2 = 0 (*)
persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi;
x 2 + y2 + Ax + By+ C = 0 (**)
dengan syarat A = ...................... , B = ....................... , dan
C = ...................... ,
Lebih lanjut persamaan (**) disebut sebagai persamaan
lingkaran dengan pusat (a,b) atau persamaan umum
lingkaran.
Contoh 3.1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di
P(2, −1) dan berjari-jari 3!
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan persamaan lingkaran yang
dimaksud, kita gunakan rumus;
(x−a)2 + (y−b)2 = r2 → (x−2)2 + (y + 1)2 = 32
(x−2)2 + (y + 1)2 = 32 → x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1=0
x2 + y2 – 4x + 2y + 5 = 0
105 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah:
x2 + y2 – 4x + 2y + 5 = 0
Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran O; x2 + y2 +4x
– 6y + 3 = 0
Penyelesaian:
x2 + y2 +4x – 6y + 3 = 0
4x = –2ax → a = –2
–6y = –2by → b = 3
Diperoleh pusat lingkaran O adalah (–2,3)
Untuk menentukan jari-jarinya, kita gunakan rumus
r2 = a2 + b2 – c
r2 = (–2)2 + (3)2 – 3 → r2 = 4 + 9 – 3 = 10
r = √10 satuan
Untuk menambah pemahamanmu, selesaikan
masalah-masalah berikut ini!
(1) Mengapa r2 = x2 + y2 tidak disebut sebagai persamaan
umum lingkaran??
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 106
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Sekarang, kita akan menganalisa setiap permasalahan
yang mungkin terjadi. Misalkan saja diberikan
persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 1 = 0.
Bagaimana cara anda menentukan panjang jari-
jarinya??
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(3) Tentu saja, kita dapat memanfaatkan C =
.................pada persamaan umum lingkaran !
Tunjukkan gambar dari persamaan x2 + y2 + 2x – 6y
+ 1 = 0 ??!!
.....................................................................................
107 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(4) Lantas bagaimana gambar lingkaran dengan
persamaan x2 + y2 + x = 0 !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(5) Bandingkan gambarnya dengan persamaan x2 + y2 +
6x – 4y + 14 = 0 !!!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 108
Berdasarkan ketiga masalah di atas, kalian dapat
membedakan antara lingkaran nyata, lingkaran titik, dan
lingkaran khayal (imaginer) berdasarkan panjang jari-
jarinya!
B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Sekarang kita akan memperluas kajian kita dengan
menghubungkan konsep lingkaran dan garis lurus. Tentu
kalian masih ingat bahwa persamaan garis lurus dapat
dituliskan sebagai y = mx + c. Kedudukan garis terhadap
lingkaran ditentukan dengan;
Untuk persamaan garis linear, nyatakan x ke dalam y atau
x ke dalam y !
Substitusikan x atau y yang diperoleh ke dalam persamaan
lingkaran sehingga didapatkan persamaan kuadrat
gabungan. Kemudian tentukan nilai diskriminan (D) dari
persamaan kuadrat tersebut !
Nilai Diskriminan (D) = b2 – 4ac, menentukan
posisi/kedudukan garis terhadap lingkaran, sebagai
berikut !
109 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Jika D > 0, maka garis memotong lingkaran di dua titik
berbeda.
Jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran di satu
titik.
Jika D < 0, maka garis tidak menyinggung dan tidak
memotong lingkaran.
Sekarang, coba buatlah masing-masing satu contoh yang
mewakili ketiga kondisi di atas !
Kondisi 1
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Kondisi 2
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 110
Kondisi 3
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Ketiga kondisi di atas akan membuatmu lebih faham
mengenai syarat terjadinya garis singgung pada lingkaran.
Suatu garis lurus y = mx + c akan menyinggung lingkaran
pada satu titik singgung jika dan hanya jika nilai
diskriminan (D) dari persamaan gabungannya adalah 0
(nol). Sekarang, coba substitusikan y = mx + c ke
persamaan x2 + y2 = r2 !
x2 + (mx+c)2 = r2
x2 + (mx)2 + 2mxc + c2 − r2 = 0
(...........)x2 + 2mcx + c2 − r2 = 0 (*)
Coba identifikasi bentuk a, b, dan c dari (*), sehingga nilai
D dapat ditentukan dengan;
D = 0 = b2 – 4ac, dengan b = ................, a = .....................,
dan c = ...................
111 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
D = ............................................................
0 = ............................................................
0 = − c2 + r2 + m2 r2
c2 = r2 + m2 r2 atau c2 = r2 (.......+ ........)
jadi c = ∓ r √m2 + 1
Ingat!!! Tujuan kita adalah menentukan persamaan garis
singgung pada lingkaran. Hal ini terbukti jika kita
mensubstitusikan c ke dalam y = mx + c, sehingga
diperoleh persamaan y = mx + ....................
Persamaan ini memuat m sebagai gradien, jadi hanya
dapat digunakan jika lingkaran berpusat di O (0,0), serta
gradien garis dan jari-jari lingkaran telah diketahui!
Bagaimana jika lingkaran yang disinggung berpusat di A
(a,b)???? Bagaimanakah persamaan garis singgungnya???
Gambar 3.4 berikut ini dapat membantumu menemukan
persamaan garis singgung tersebut !
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 112
Cara termudah untuk menemukan persamaan garis
singgung pada gambar 3.4 adalah dengan mengasumsikan
bahwa persamaan lingkaran berbentuk;
x’2 + y’2 = r2, dengan x1 – a = x’ dan y1 – b = b’ atau x1 =
a + x’ dan y1 = b + y’.
Telah diketahui bahwa y = mx ∓ r √m2 + 1 merupakan
persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O (0,0).
Gunakan asumsi di atas untuk menunjukkan bahwa ;
y’ = mx’ ∓ r √m2 + 1 → y1 – b = m (x1 – a) ∓ r
√m2 + 1...........∇(terbukti)
Gambar 3.4 Garis singgung lingkaran dengan pusat A (a,b)
113 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
bentuk ini dapat diperumum untuk setiap (x,y) pada
lingkaran, yaitu:
y – b = m (x – a) ∓ r √m2 + 1
Contoh 3.2
(1) Jika diberikan persamaan lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2
= 4 dan gradien garis singgung 2, tentukanlah
persamaan garis singgungnya !
Penyelesaian :
Gunakan rumus y – b = m (x – a) ∓ r √m2 + 1 dengan
pusat (1,2) dan jari-jari 2.
y – 2 = 2 (x – 1) ∓ 2 √22 + 1
y – 2 = 2x – 2 ∓ 2 √5
y = 2x – 2 ∓ 2 √5 + 2
y1 = 2x – 2+ 2 √5 + 2 dan y2 = 2x – 2− 2 √5 + 2
y1 = 2x + 2 √5 dan y2 = 2x − 2 √5
Jadi persamaan garus singgung lingkaran yang
dimaksud adalah;
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 114
y1 = 2x + 2 √5 dan y2 = 2x − 2 √5
Sekarang coba selesaikan soal berikut ini !
(1) Jika diberikan persamaan lingkaran (x – 2)2 + (y + 3)2
= 16, dan gradien garis adalah 2, maka tentukanlah
persamaan garis singgungnya!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Sekarang yang menjadi pusat perhatian kita adalah
titik singgung (x1,y1), sebut saja titik T (x1,y1). Titik
tersebut merupakan irisan antara garis dan lingkaran.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar 3.5 berikut!
Gambar 3.5 Garis singgung lingkaran melalui titik T dengan pusat O
(0,0)
115 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Perhatikan bahwa jari-jari lingkaran berpotongan di titik
T dan membentuk sudut 900. Jika jari-jari dimisalkan
sebagai sebuah vektor r = [x1,y1], maka kita dapat
menentukan besarnya gradien garis singgung lingkaran
dengan cara; Karena r = [x1,y1] tegak lurus garis
singgung, akibatnya hasil kali gradien kedua garis adalah
-1 atau mrmg = −1. Kita tahu bahwa mr =y1
x1, ini
berakibat mg =−x1
y1
Karena T melalui garis singgung, akibatnya berlaku y – y1
= mg (x – x1). Dari persamaan ini, kemudian substitusikan
mg sehingga diperoleh;
y – y1 = mg (x – x1)
y – y1 = −x1
y1 (x – x1)
Buktikan penjabaran di atas hingga diperoleh xx1 + yy1 =
r2 !
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 116
Persamaan tersebut dapat digunakan jika gradien garis dan
koordinat titik singgung telah diketahui sebelumnya.
Contoh 3.3
(1) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2
= 16, melalui titik (0, –4) !
Penyelesaian :
Titik (0, –4) jelas berada pada lingkaran sebab (0)2 +
(–4)2 = (4)2. Selanjutnya, gunakan rumus xx1 + yy1 =
r2 dengan (x1,y1) = (0, –4);
xx1 + yy1 = r2→ x (0) + y (-4) = (4)2 → 0 – 4y = 16
– 4y = 16 → y = – 4
Jadi persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
y = – 4
(2) Sekarang, gambarkan garis singgung lingkaran x2 +
y2 = 25, melalui titik (–4,3) ! Tuliskan bentuk
persamaan garis singgungnya !
.....................................................................................
117 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
.....................................................................................
.....................................................................................
(3) Dengan cara yang serupa, tunjukkan pula bahwa
persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat A
(a,b) yang melalui titik T adalah ;
(x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2.
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Contoh 3.4
(1) Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2
+4x – 2y – 20 = 0, dengan titik singgung (1,5) !
Penyelesaian:
Berdasarkan persamaan lingkaran di atas, diperoleh
pusat lingkaran (–2,1) dan jari-jari 5,
mengapa????...............................................................
Substitusikan ke persamaan (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1
– b) = r2.
(x + 2)(1 + 2) + (y – 1)(5 – 1) = (5)2
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 118
3(x + 2) + 4(y – 1)= 25
3x + 6 + 4y – 4 – 25 = 0
3x + 4y – 23 = 0
Jadi persaman garis singgung yang dimaksud adalah
3x + 4y – 23 = 0
(2) Sekarang kita akan mengkaji kemungkinan lain dari
persamaan garis singgung lingkaran. Coba analisa
masalah di bawah ini !
Coba analisa masalah tersebut dengan cara mengurutkan
langkah-langkah kerja, mengurutkan konsep-konsep yang
digunakan, kemudian buatlah contoh serupa dan
selesaikan !
Gambar 3.6 Masalah garis singgung dari titik di luar lingkaran
119 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
............................................................................................
C. Kuasa Titik Terhadap Lingkaran
Perhatikan gambar 3.7 di bawah ini !
Berdasarkan gambar di atas nampak terdapat banyak garis
yang memotong lingkaran. Keadaan khusus terjadi ketika
ada dua garis yang menyinggung lingkaran di dua titik
yang berbeda. Dengan menggunakan dalil Phytagoras,
Gambar 3.7 Titik Kuasa P terhadap lingkaran
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 120
kita dapatkan bahwa PM 2 – AM 2 = PA2 , dengan
mengingat bahwa M(a,b) adalah pusat lingkaran dan garis
singgung selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran.
Hasil ini disebut sebagai kuasa titik P terhadap lingkaran.
Dengan memisalkan P(x1,y1), kita peroleh bahwa:
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 = PA2 = K
Kuadrat dari panjang garis singgung dari titik P pada
lingkaran ternyata sama dengan nilai dari bentuk
persamaan lingkaran setelah r2 dipindahkan ke ruas kiri.
Jadi, jika titik P(x1,y1) dan lingkaran L; (x – a)2 + (y – b)2
= r2, maka kuasa P terhadap Lingkaran L adalah (x1 – a)2
+ (y1 – b)2 – r2 = PA2 = K. Namun jika lingkarannya
berbentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0, maka kuasanya
adalah K = x12 + y1
2 + Ax1 + By1 + C,
Mengapa???........................................................................
............................................................................................
Jadi panjang PA = √K, atau jika persamaan lingkarannya
berbentuk x2 + y2 +Ax + By + C = 0, maka titik kuasa
P(x1,y1) terhadap lingkaran, merupakan hasil yang
121 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
konstan yaitu; |PA|2 =|PC1|.|PC2|= [|PM|– r] [|PM|+ r] =
|PM|2 – r2
|PM|2 – r2 = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2
Penting bagi kita untuk menganalisa semua kemungkinan
posisi P terhadap lingkaran. Ada 3 kemungkinan letak titik
P, yaitu:
(1) Jika P terletak di luar lingkaran, maka kuasa P bernilai
positif dan merupakan kuadrat dari panjang garis
singgungnya.
(2) Jika P pada lingkaran, maka kuasa P bernilai 0.
(3) Jika P berada dalam lingkaran, maka kuasanya
bernilai negatif.
Contoh 3.5
(1) Tentukan kuasa panjangnya dari titik B(1,−3) pada
lingkaran yang berpusat di M(1, −1) dan berjari-jari
1 !
Penyelesaian:
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 122
Bentuklah persamaan lingkaran dalam bentuk standar
terlebih dahulu, yaitu; (x – a)2 + (y – b)2 = r2 → (x –
1)2 + (y +1)2 = 1
Substitusikan B(1,-2) ke persamaan kuasa (x1 – a)2 +
(y1 – b)2 – r2 = PA2 = K, sehingga diperoleh hubungan
(1 – 1)2 + (–3 +1)2 –1 = PA2 = K
K = PA2 = 0 + (–2)2 – 1
K = PA2 = 3
|PA| = √K = √3
Jadi kuasa titik yang dimaksud adalah 3 dan panjang
garis singgungnya adalah √3.
(2) Tentukan kuasa T (−2,2) terhadap lingakaran (x – 1)2
+ (y + 2)2 = 8 dan x2 + y2 – 2x + 2y +1 = 0 !
Penyelesaian:
Kuasa untuk lingkaran pertama L1 ; (−2 −1)2 + (2 +
2)2 – 25 = 9 + 16 – 8 = 17
123 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Ubah dahulu persamaan lingkaran kedua L2; x2 + y2 –
2x + 2y – 14 = 0 menjadi (x – 1)2 + (y + 1)2 = 1,
sehingga kuasa untuk lingkaran kedua L2 ;
(–2 –1)2 + (2 – 2)2 – 1 = 9 – 1 = 8
Jadi kuasa T terhadap L1 adalah 17 dan terhadap L2
adalah 8
Lantas bagaimana cara menyelesaikan masalah
berikut ini???
(1) Tentukan kuasa dan panjangnya dari titik A(−1,4)
pada lingkaran yang berpusat di m (2, −1) dan
berjari-jari 5 !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 124
(2) Tentukan kuasa T (–4,2) terhadap lingakaran (x – 3)2
+ (y + 2)2 = 25 dan 2x2 + 2y2 + 3x – y – 5 = 0
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
D. Garis Kuasa
Diberikan dua buah lingkaran dengan persamaan L1 : x2 +
y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 : x2 + y2 + A2x + B2y + C2
= 0 dan titik P(x1, y1). Dari kedua persamaan tersebut, kita
akan menentukan posisi/tempat kedudukan titik P
sedemikian hingga titik tersebut memiliki kuasa yang
sama terhadap L1 dan L2 .
Berdasarkan prinsip kuasa titik, kuasa P terhadap L1
adalah x12 + y1
2 + A1x1 + B1y1 + C1 . Sedangkan kuasa titik
P terhadap L2 ditentukan oleh x22 + y2
2 + A2x2 + B2y2 + C2.
Karena nilai kuasa titik selalu tetap, maka diperoleh
125 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
hubungan k (T,L1) = k (T,L2). Berdasarkan hal ini
diperoleh hubungan sebagai berikut.
k (T,L1) = k (T,L2)
x12 + y1
2 + A1x1 + B1y1 + C1 = x22 + y2
2 + A2x2 + B2y2 +
C2.
(A1 – A2) x1 + (B1 – B2) y1 + (C1 – C2) = 0
Dalam hal ini kita bisa mengganti P(x1, y1) dengan
sebarang P(x,y), sedemikian hingga hubungan di atas
menjadi (A1 – A2) x + (B1 – B2) y + (C1 – C2) = 0
Persamaan ini berbentuk linear/garis lurus yang memuat
titik P. Oleh karena itu, persamaan ini disebut juga sebagai
persamaan garis kuasa. Berdasarkan proses analitik ini,
kita bisa mendefinisikan garis kuasa sebagai tempat
kedudukan titik-titik yang memiliki kuasa sama terhadap
dua lingkaran.
Sekarang kita bisa membuat semua kemungkinan garis
kuasa dari dua buah lingkaran. Ada dua kemungkinan
sebagai berikut.
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 126
Jika kedua lingkaran berpotongan, maka garis kuasanya
adalah garis yang melalui titik potong kedua lingkaran
tersebut.
Perhatikan gambar di bawah ini !
Garis MN disebut sebagai garis sentral, sedangkan k
adalah garis kuasa kedua lingkaran. Kedua garis
berpotongan tegak lurus.
Selanjutnya, kita bisa memikirkan kondisi khusus dari
kemungkinan pertama ini, yaitu sebagai berikut.
Jika sudut antara dua lingkaran yang diapit oleh garis-
garis pada lingkaran besarnya 900, maka berlaku segitiga
MNA siku-siku di A sehingga berlaku |MN|2 = (rm)2 + (rn)2
Gambar 3.8 Garis kuasa dua lingkaran yang berpotongan
127 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Jika sebuah lingkaran memotong lingkaran lainnya
sedemikian hingga menjadi dua busur yang sama besar,
maka segitiga MNA siku-siku di N, sehingga berlaku
|MN|2 = (rm)2 − (rn)2. Seperti diperlihatkan pada gambar
berikut.
Jika kedua lingkaran bersinggungan, maka garis kuasanya
adalah garis singgung persekutuan luar antara dua
lingkaran. Untuk kemungkinan ini, kita bisa membuat dua
kondisi sebagai berikut.
Perhatikan gambar di bawah ini !
Gambar 3.9 Kedua lingkaran saling
beririsan
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 128
Berdasarkan gambar 3.10, diperoleh hubungan sebagai
berikut.
|MN| = rm + rn, dengan MN sebagai garis sentral.
Garis kuasa pada lingkaran M dan lingkaran N merupakan
garis singgung persekutuan dua lingkaran. Perhatikan
gambar di bawah ini !
Gambar 3.10 Kedua lingkaran saling bersinggungan
Gambar 3.11 Kedua lingkaran saling bersinggungan dalam
129 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Berdasarkan gambar 3.11, diperoleh hubungan sebagai
berikut.
|MN| = Rm − rn, dengan MN sebagai garis sentral.
Contoh 3.6
(1) Tentukan garis kuasa L1; x2 + y2 = 16 dan L2; x
2 + y2
– 2x – 4y = 0!
Penyelesaian:
Gunakan prinsip (A1 – A2) x + (B1 – B2) y + (C1 – C2)
= 0
x2 + y2 – 16 = x2 + y2 – 2x – 4y
– 16 = – 2x – 4y
– 16 = – 2x – 4y → x + 2y = 8
Jadi garis kuasa pada kedua lingkaran adalah x + 2y
= 8
(2) Tentukanlah nilai k agar L1; x2 + y2 – 4x + 2y + k = 0
saling tegak lurus dengan L2; (x + 1)2 + y2 = 4,
tentukan pula persamaan garis dari kedua lingkaran
tersebut!
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 130
Penyelesaian:
Tentukan jari-jari dan pusat dari kedua lingkaran!
L1 berpusat di (2, –1) dan r = √5 − k
L2 berpusat di (-1,0) dan r = 2
Agar kedua lingkaran tegak lurus, gunakan prinsip
|MN|2 = (rm)2 + (rn)2 Kemudian tentukan jarak antara
pusat kedua lingkaran!
(2 + 1)2 + (–1 – 0)2 = (√5 − k)2
+ (2)2
9 + 1 = 5 − k + 4
10 = 9 − k
k = (−1)
(3) Tentukanlah nilai k agar L1; x2 + y2 – 4x + 6y – k = 0
membagi dua sama besar L2; x2 + (y – 2)2 = 4!
Penyelesaian:
Tentukan jari-jari dan pusat dari kedua lingkaran!
L1 berpusat di (2,-3) dan r = √13 + k
131 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
L2 berpusat di (0,2) dan r = 2
Agar L1 membagi L2 menjadi dua sama besar,
gunakan prinsip berikut!
|MN|2 = (rm)2 – (rn)2, kemudian tentukan jarak antara
pusat kedua lingkaran!
(2 – 0)2 + (–3 – 2)2 = (√13 + k)2
− (2)2
4 + 25 = 13 + k – 4
29 = 9 + k
k = 20
Untuk menambah pemahamanmu, coba selesaikan
masalah-masalah berikut ini!
(1) Tentukan garis kuasa lingkaran x2 + y2 = 25 dan
lingkaran x2 + y2 – 2x – 4y = 0!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 132
(2) Tentukanlah nilai k agar lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y
– k = 0 saling tegak lurus dengan lingkaran (x – 4)2 +
y2 = 9, tentukan pula persamaan garis dari kedua
lingkaran tersebut!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(3) Tentukanlah nilai k agar lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y
– k = 0 membagi dua sama besar lingkaran x2 + (y –
1)2 = 4!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
E. Berkas Lingkaran
Seperti halnya pada garis lurus, dalam lingkaran juga
dikenali istilah berkas lingkaran yang dinyatakan dalam
bentuk L1 + ⋋L2 = 0. Jika diberikan L1 dan L2, maka
133 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
keduanya disebut sebagai lingkaran dasar, dan dua titik
potongnya disebut sebagai titik-titik dasar, dan ⋋
merupakan parameter yang bernilai real.
Jika diberikan L1 : x2 + y2 + A1x + B1y + C1 = 0 dan L2 :
x2 + y2 + A2x + B2y + C2 = 0, untuk sebarang nilai ⋋ ,
berlaku; L1 + ⋋ L2 = 0.
L1 + ⋋ L2 = 0
x2 + y2 + A1x + B1y + C1 + ⋋ (x2 + y2 + A2x + B2y + C2) = 0
(1 + ⋋) x2 + (A1 + A2) x + (B1 + B2) y + C1 + C2 = 0 (kedua
ruas dibagi dengan (1 + ⋋)
x2 + y2 + (A1+A2
1+⋋) x + (
B1+B2
1+⋋) y + (
C1+C2
1+⋋) = 0
Misalkan (A1+A2
1+⋋) = A3, (
B1+B2
1+⋋) = B3 , dan (
C1+C2
1+⋋) = C3
Sehingga diperoleh persamaan:
L3 : x2 + y2 + A3x + B3y + C3 = 0.
Berdasarkan proses di atas, dapat ditentukan sifat dari
berkas lingkaran yaitu:
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 134
“Semua anggota berkas, selalu melalui titik-titik dasar
berkas dan pusat dari anggota-anggota berkas terletak
pada garis sentral”.
Contoh 3.7
Bentuklah persamaan sebuah berkas lingkaran
dengan L1 ; x2 + y2 – 2x – 4y – 2 = 0 dan L2 ; x
2 + y2
– 8 = 0 ! Kemudian tentukan persamaan sebuah
anggota berkas yang melalui titik (2,0) !
Penyelesaian:
Persamaan berkas dengan lingkaran dasar L1 dan L2
adalah;
x2 + y2 – 2x – 4y – 2 + ⋋ (x2 + y2 – 8) = 0
melalui titik (2,0) akibatnya L; (2)2 + (0)2 – 2(2) – 4(0)
– 2 + ⋋ (22 + 02 – 8) = 0
– 2 – 4 ⋋ = 0
⋋= −1
2
Jadi persamaan anggota berkasnya adalah;
135 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
L; x2 + y2 – 2x – 4y – 2 – 1
2 (x2 + y2 – 8) = 0
(2) Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (–
2,2) dan menyinggung lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y +
3 = 0, di titik (–1,1) !
Penyelesaian:
Lingkaran yang dicari menyinggung lingkaran x2 + y2
+ 2x – 4y + 3 = 0, di titik (-1,1), artinya bahwa
lingkaran yang akan dicari merupakan anggota berkas
sedemikian hingga;
L; x2 + y2 + 2x – 4y + 3 + ⋋ [(x + 1)2 + (y − 1)2] = 0
L; x2 + y2 + 2x – 4y + 3 + ⋋ (x2 + y2 + 2x – 2y + 2) = 0
Melalui titik (−2,2), diperoleh;
(–2)2 + (2)2 + 2(–2) – 4(2) + 3 + ⋋ ((–2)2 + (2)2 + 2(–2) –
2(2) + 2) = 0
4 + 4 – 4 – 8 + 3 + ⋋ (4 + 4 – 4 – 4 + 2) = 0
– 1 + 2 ⋋ = 0 → ⋋ = 1
2
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 136
Substitusikan nilai ⋋ = 1
2 ke persamaan berkas
lingkaran sedemikian hingga diperoleh;
L; x2 + y2 + 2x – 4y + 3 + 1
2 [(x + 1)2 + (y − 1)2] = 0
Untuk menguji pemahamanmu, coba selesaikan
masalah berikut ini!
(1) Bentuklah persamaan sebuah berkas lingkaran
dengan L1 ; x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan L2 ; x
2 + y2
– 16 = 0 ! Kemudian tentukan persamaan sebuah
anggota berkas yang melalui titik (3,1) !
Gunakan persamaan berkas lingkaran L1 + ⋋ L2 = 0
Substitusikan nilai titik (3,1) ke dalam persamaan
berkas, sehingga diperoleh nilai ⋋.
Sederhanakan persamaan berkas sehingga diperoleh
L ; 5x2 + 5y2 – 6x + 12y – 44 = 0
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
137 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
(2) Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik (–
2,5) dan menyinggung lingkaran x2 + y2 – 6x – 4y + 9
= 0, di titik (1,2) !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
F. Persamaan Parameter Lingkaran
Sebuah lingkaran tidak hanya dapat dinyatakan ke dalam
persamaan umum saja, namun dapat juga dinyatakan ke
dalam persamaan yang memuat parameter tertentu.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 138
Lingkaran berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r. Jika P
(−x,y) merupakan sebarang titik pada lingkaran, dan θ
merupakan sudut yang dibentuk oleh sumbu x terhadap
jari-jari lingkaran OP, maka berlaku;
cos θ = x
r↔ x = r cos θ
sin θ = y
r↔ y = r sin θ
kedua persamaan tersebut merupakan persamaan
parameter lingkaran dengan pusat O, dengan θ sebagai
parameter.
Gambar 3.12 Bentuk parameter lingkaran
139 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
Sekarang bagaimana jika pusat lingkaran menjadi
P(a,b)??? Bagaimanakah persamaan parameter
lingkarannya??
Untuk menjawab pertanyaan di atas, perhatikan gambar di
bawah ini !
Berdasarkan gambar, perhatikan pergeseran pusat dari O
sejauh P (a,b)!
cos θ = ………………
r↔ (… … … ) = r cos θ
sin θ = ………………
r↔ (… … … ) = r sin θ
disimpulkan bahwa :
x = ...................
Gambar 3.13 Bentuk parameter lingkaran dengan pusat P(a,b)
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 140
y = ...................
Sebagai persamaan parameter lingkaran dengan pusat
P(a,b).
Untuk menguji pemahamanmu, selesaikanlah
masalah-masalah berikut ini!
(1) Sekarang, coba gambarlah lingkaran dengan
persamaan x = 5 cos θ dan y = 5 sin θ !
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
(2) Gambarlah L1 ; x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dan L2 ; x
2 +
y2 – 16 = 0, serta tunjukkan persamaan parameternya!
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
.....................................................................................
141 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
G. UJIAN AKHIR BAB
(1) Tentukan persamaan-persamaan lingkaran dengan
syarat-syarat berikut ini!
(a) Melalui titik (2,-3), (4,2) dan (0,0)
(b) Pusat lingkaran terletak pada garis x – 3y – 1 = 0,
melalui (3,1) dan menyinggung sumbu x.
(c) Berdiameter AB, dengan A (2,-3) dan B (-2,2).
(2) Diberikan lingkaran dengan persamaan L: x2 + y2 –
4x + 6y – 2 = 0, tentukan:
(a) Pusat dan jari-jarinya
(b) Buatlah gambarnya
(c) Ubahlah persamaan L menjadi persamaan standar
dan parameter.
(3) Jika ruas garis AB dengan A(2,-3) dan B(6,3)
merupakaan diameter suatu lingkaran, maka tentukan
persamaan lingkaran tersebut !
(4) Persamaan umum lingkaran yang berpusat pada garis
2x – y = 0 dan melalui titik (2,2), serta menyinggung
sumbu y adalah....
(5) Diberikan persamaan lingkaran L: x2 + y2 + 4x – 6y –
19 = 0 dan titik T (6,4). Tentukan persamaan garis
singgung lingkaran ! Gambarlah lingkaran tersebut !
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 142
(6) Tentukan persamaan garis singgung pada titik (2,-1)
terhadap lingkaran (x – 1)2 + (y + 3)2 = 5!
(7) Tunjukkan bahwa setiap lingkaran titik berjari-jari 0!
(8) Persamaan lingkaran yang melalui titik (4,0), (2,3)
dan (1,-2) !
(9) Koordinat titik singgung antara GS1 dan terhadap
lingkaran adalah...
(10) Dari titik P(4,2) ditarik garis-garis singgung pada
lingkaran x2 + y2 = 10. Carilah persamaan-
persamaan garis singgung itu !
(11) Gambarlah persamaan garis singgung lingkaran (x +
6)2 + (y – 2)2 = 36 melalui titik A (16,8)!
143 Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran
(12) Perhatikan gambar di bawah ini!
(13) Kuasa titik (3,4) terhadap lingkaran 2x2 + 2y2 + 3x
+ 2 = 0, adalah...
(14) Dari titik T (0,2) dibuat garis singgung terhadap
lingkaran (x + 4)2 + (y + 1)2 = 9, jarak dri titik T ke
titik singgungnya adalah...
(15) Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3,2) dan
menyinggung garis 3x – 4y + 14 = 0 adalah...
(16) Buatlah sebuah persamaan lingkaran dan persamaan
garis lurus! Kemudian gambarlah lingkaran dan
garis tersebut sedemikian hingga garis memotong
lingkaran pada dua buah titik yang berbeda!
(17) Gambarlah sebuah lingkaran, dan tunjukkan bahwa
hanya terdapat dua titik singgung dari kuasa titik di
luar lingkaran !
Tentukanlah persamaan garis
singgung kedua GS2 dari
gambar di samping!
Geometri Analitik Bidang & Ruang | Lingkaran 144
(18) Persamaan parameter dari L; x2 + y2 – 2x – 3 = 0,
adalah....
(19) Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik
(3,2) dan menyinggung garis 3x – 4y + 14 = 0 !
(20) Tentukan koordinat titik-titik singgung dari gambar
di bawah ini!
145
BAB IV PERSAMAAN GARIS DAN BIDANG
DALAM RUANG
A. Persamaan Bidang dalam Ruang
Perhatikan gambar di bawah ini!
Untuk menentukan persamaan bidang dalam ruang
(sebut bidang 𝛼), kita gunakan prinsip dot product
antara vektor normal �� = ⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ dan sebarang
vektor pada bidang, yaitu 𝑃𝑄 . Jika P = (x0, y0, z0) dan
Q = (x,y,z), maka 𝑃𝑄 = (𝑥 − 𝑥0, 𝑦 − 𝑦0, 𝑧 − 𝑧0),
sedemikian hingga;
�� o 𝑃𝑄 = 𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B(𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0
Gambar 4.1 Vektor Normal pada Bidang
146
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 − 𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0 = 0
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪𝒛 + 𝑫 = 𝟎
dengan konstanta D = (−𝐴𝑥0 − 𝐵𝑦0 − 𝐶𝑧0)
Persamaan 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 disebut sebagai
persamaan bidang dalam ruang.
Contoh 4.1
Tentukan persamaan bidang 𝛼 melalui titik K(2,1,4)
dengan �� = 3𝑖 − 2𝑖 + �� !
Penyelesaian:
Tinjau persamaan berikut ini!
𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B (𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0
3(𝑥 − 2) − 2(𝑦 − 1) + (𝑧 − 4) = 0
3𝑥 − 6 − 2𝑦 + 2 + 𝑧 − 4 = 0
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 8 = 0
Contoh 4.2
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik A
(2,1,-1), B (3,2,0) dan C (2,-1,3) !
Penyelesaian :
147
Untuk menentukan persamaan bidang dari tiga
titik, terlebih dahulu kita tentukan dua vektor yaitu
𝐴𝐵 dan 𝐴𝐶 .
𝐴𝐵 = ⟨1,1,1⟩ dan 𝐴𝐶 = ⟨0, −2,4⟩
Untuk menentukan vektor normal �� , kita gunakan
operasi cross product sebagai berikut.
𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 𝑗 ��
1 1 10 −2 4
| = 6𝑖 − 4𝑗 − 2�� = ��
Vektor normal �� tegak lurus terhadap setiap
vektor pada bidang sehingga untuk menentukan
persamaan bidang kita gunakan salah satu titik
yaitu A sehingga berlaku;
𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B (𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0
6(𝑥 − 2) − 4(𝑦 − 1) −2 (𝑧 + 1) = 0
6𝑥 − 12 − 4𝑦 + 4 − 2𝑧 − 2 = 0
𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐𝒛 − 𝟏𝟎 = 𝟎
148
B. Jarak Titik ke Bidang
Perhatikan gambar di bawah ini!
Diberikan sebuah bidang 𝛼 dengan
persamaan 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 dan titik
T(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) terletak di luar bidang 𝛼. Vektor
normal �� = ⟨𝐴, 𝐵, 𝐶⟩ tegak lurus bidang dan 𝑄𝑇
merupakan vektor yang dibentuk oleh titik Q dan
titik T, dengan titik Q pada bidang 𝛼. Kita akan
menentukan koordinat titik Q dengan
mengasumsikan nilai A ≠ 0, sehingga kita peroleh
Q (−𝐷
𝐴, 0,0) . Dengan ini kita dapatkan 𝑄𝑇 =
Gambar 4.2 Jarak titik ke Bidang
149
(𝑥1 +𝐷
𝐴) 𝑖 + 𝑦1𝑗 + 𝑧1�� dan sudut antara �� dan 𝑄𝑇
disebut 𝜃 dengan interval 0 < 𝜃 <𝜋
2 atau
𝜋
2< 𝜃 <
𝜋 bergantung pada arah vektor normal.
Berdasarkan hubungan di atas, diperoleh 𝑑 = |𝑄𝑇 |
cos 𝜃 untuk 0 < 𝜃 <𝜋
2 dan ;
𝑑 = |𝑄𝑇 | cos (𝜋 − 𝜃) untuk 𝜋
2< 𝜃 < 𝜋
Dengan operasi dot product diperoleh hubungan
berikut.
�� o 𝑄𝑇 = 𝐴 (𝑥1 +𝐷
𝐴) + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1
�� o 𝑄𝑇 = |�� || 𝑄𝑇 |𝑐𝑜𝑠 𝜃 = |�� |𝑑
𝑑 = |(𝐴 (𝑥1 +
𝐷𝐴) + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1)
|�� ||
𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷|
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
Kasus ini dapat diperluas untuk kondisi B ≠ 0
dan C ≠ 0. Jadi jarak titik T ke bidang 𝛼
dinyatakan dengan ;
𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷|
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
150
Contoh 4.3
Tentukan jarak antara titik P (4,-1,2) ke bidang
yang melalui titik-titk A(2,3,1), B(4,2,5) dan
C(5,2,-1)!
Penyelesaian :
Tentukan terlebih dahulu persamaan bidang yang
melalui titik-titk A(2,3,1), B(4,2,5) dan C(5,2,-1)!
𝐴𝐵 = ⟨2, −1,4⟩
𝐴𝐶 = ⟨3, −1,−2⟩
Selanjutnya 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = |𝑖 𝑗 ��
2 −1 43 −1 −2
| = 6𝑖 +
16𝑗 + �� = ��
Vektor normal �� tegak lurus terhadap setiap
vektor pada bidang sehingga untuk menentukan
persamaan bidang kita gunakan salah satu titik
yaitu A sehingga berlaku;
𝐴(𝑥 − 𝑥0) + B (𝑦 − 𝑦0) + C (𝑧 − 𝑧0) = 0
6(𝑥 − 2) +16(𝑦 − 3) + (𝑧 − 1) = 0
6𝑥 − 12 + 16𝑦 − 48 + 𝑧 − 1 = 0
151
6𝑥 + 16𝑦 + 𝑧 − 61 = 0
Selanjutnya, akan ditentukan jarak titik P (4,-1,2)
ke bidang.
𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷|
√𝐴2 + 𝐵2 + 𝐶2
𝑑 =|6(4) + 16(−1) + (2) − 61|
√(6)2 + (16)2 + (1)2
𝑑 =|24 − 16 − 59|
√36 + 256 + 1=
|−51|
√291=
51
√293
Contoh 4.4
Diberikan bidang-bidang berikut ini!
𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 − 3 = 0 dan 2𝑥 + 4𝑦 − 4𝑧 − 7 = 0
Tentukan jarak antara kedua bidang tersebut!
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa 𝑛1 = ⟨1,2, −2⟩ dan 𝑛2 =
⟨2,4, −4⟩, ternyata 𝑛2 = 2𝑛1 atau dengan kata lain
kedua vektor normal tersebut paralel, akibatnya
kedua bidang sejajar.
Selanjutnya, untuk menentukan jarak antara kedua
bidang tersebut, kita dapat mengambil sebarang
152
titik pada salah satu bidang, kemudian menghitung
jaraknya terhadap bidang lainnya.
Misalkan 𝑥 = 𝑦 = 0 pada bidang 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 −
3 = 0, sehingga diperoleh 𝑧 = −3
2 . jadi titik yang
dimaksud adalah A (0,0, −3
2). Substitusikan ke
𝑑 =|𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶𝑧1+𝐷|
√𝐴2+𝐵2+𝐶2, sehingga diperoleh bentuk
berikut!
𝑑 =|2(0) + 4(0) − 4 (−
32) − 7|
√(2)2 + (4)2 + (−4)2
𝑑 =|6 − 7|
√4 + 16 + 16
𝑑 =|−1|
√36
𝒅 =𝟏
𝟔
153
C. Persamaan Garis dalam Ruang
Perhatikan gambar di bawah ini!
Pada gambar di atas, terdapat sebuah garis yang
melalui titik P (x,y,z) dan P0 (x0, y0, z0) (sebut garis
k). Tujuan kita adalah menentukan persamaan
garis k dengan menggunakan vektor posisi 𝑟0 =
⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑧0⟩ , 𝑟 = ⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ dan vektor 𝑣 = ⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩
yang sejajar dengan garis k. Jika 𝑣 sejajar dengan
garis k, maka diperoleh hubungan 𝑃0𝑃 = 𝑡𝑣
dengan t konstanta real serta vektor-vektor posisi
dan 𝑃0𝑃 = 𝑡𝑣.
𝑟 − 𝑟0 = 𝑡𝑣
Gambar 4.3 Garis Lurus dalam Ruang
154
𝑟 = 𝑟0 + 𝑡𝑣
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥0, 𝑦0, 𝑧0⟩ + 𝑡⟨𝑎, 𝑏, 𝑐⟩
⟨𝑥, 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏, 𝑧0 + 𝑡𝑐⟩
Berdasarkan persamaan ini diperoleh hubungan
sebagai berikut.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎; 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏; 𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑐
Jika ketiga persamaan di atas dimanipulasi,
dengan memperhatikan kesamaan parameter t,
maka diperoleh hubungan berikut.
𝒙−𝒙𝟎
𝒂=
𝒚−𝒚𝟎
𝒃=
𝒛−𝒛𝟎
𝒄
Persamaan ini disebut sebagai persamaan garis
lurus dalam bentuk parametrik dengan bilangan
arah (𝑎, 𝑏, 𝑐) yang melalui titik (x0, y0, z0).
Perhatikan gambar di bawah ini!
155
Berdasarkan gambar 4.4, bidang 𝛽1 = 𝑥1 +
𝐵𝑦1 + 𝐶𝑧1 + 𝐷1dan 𝛽2 = 𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷2,
keduanya merupakan dua bidang yang tak
sejajar/berpotongan. Perpotongan antara dua
bidang tersebut merupakan sebuah garis lurus
yang selanjutnya disebut garis g. Untuk
menentukan persamaan garis g, kita dapat
menggunakan vektor normal dari masing-masing
bidang. Vektor normal untuk bidang 𝛽1 disebut �� 1
dan vektor normal untuk bidang 𝛽2 disebut �� 2.
Jika kita mengoperasikan �� 1 × �� 2, maka akan
diperoleh sebuah 𝑣 sebagai vektor arah garis g
Gambar 4.4 Garis Lurus sebagai perpotongan dua bidang tak sejajar
156
yang tegak lurus dengan �� 1dan �� 2. Jadi garis g
dapat dinyatakan sebagai;
{𝐴1𝑥 + 𝐵1𝑦 + 𝐶1𝑧 + 𝐷1 = 0𝐴2𝑥 + 𝐵2𝑦 + 𝐶2𝑧 + 𝐷2 = 0
𝑣 = �� 1 × �� 2 sebagai vektor arahnya.
Contoh 4.5
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik P
(−1,−2,3) dan sejajar dengan garis g dengan
persamaan: 𝑥−1
3=
𝑦+2
2=
4−𝑧
4 !
Penyelesaian :
Garis g sejajar dengan bidang, akibatnya vektor
arah garis g adalah 𝑣 = ⟨3,2,4⟩.
Ambil satu titik Q (4,0,0) pada garis g sedemikian
hingga 𝑃𝑄 = ⟨5,2 − 3⟩. Untuk menentukan vektor
normal �� dari garis g, gunakan cross product
sebagai berikut.
�� = 𝑣 o 𝑃𝑄 = |𝑖 𝑗 ��
3 2 45 2 −3
| = −14𝑖 + 29𝑗 − 4��
157
Persamaan bidang melalui titik Q (4,0,0)
ditentukan oleh:
−14(𝑥 − 4) + 29(𝑦 − 0) − 4(𝑧 − 0) = 0
−14𝑥 + 56 + 29𝑦 − 4𝑧 = 0
−𝟏𝟒𝒙 + 𝟐𝟗𝒚 − 𝟒𝒛 + 𝟓𝟔 = 𝟎
Contoh 4.6
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik R
(1,−4,3) dan memuat garis k berikut!
{𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1
Penyelesaian :
Misalkan �� 1 = ⟨1,2, −1⟩ dan �� 2 = ⟨−1,3,2⟩
merupakan vektor-vektor normal dari
{𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4
−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 1
Akibatnya �� 1 × �� 2 = 𝑣 = |𝑖 𝑗 ��
1 2 −1−1 3 2
|
𝑣 = 7𝑖 − 𝑗 + 5��
158
Selanjutnya ambil titik S (9,0,5) pada garis k,
kemudian didapatkan vektor 𝑅𝑆 = ⟨8,4,2⟩. Untuk
menentukan vektor normal bidang, gunakan
operasi cross product sebagai berikut.
𝑣 × 𝑅𝑆 = |𝑖 𝑗 ��
7 −1 58 4 2
| = −22𝑖 + 26𝑗 + 36��
Kemudian persamaan bidang melalui titik R
ditentukan oleh:
−22(𝑥 − 1) + 26(𝑦 + 4) + 36(𝑧 − 3) = 0
−22𝑥 + 22 + 26𝑦 + 104 + 36𝑧 − 108 = 0
−𝟐𝟐𝒙 + 𝟐𝟔𝒚 + 𝟑𝟔𝒛 + 𝟏𝟖 = 𝟎
Contoh 4.7
Tentukan persamaan simetrik garis g dari
perpotongan bidang-bidang berikut ini!
2𝑥 − 𝑦 − 5𝑧 = −14 dan 4𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = 28
Penyelesaian :
Misalkan �� 1 = ⟨2,−1,−5⟩ dan �� 2 = ⟨4,5,4⟩
merupakan vektor-vektor normal dari masing-
masing bidang yang berpotongan sedemikian
159
hingga vektor arah garis (𝑣 ) yang akan dicari dapat
ditentukan dengan;
�� 1 × �� 2 = 𝑣 = |𝑖 𝑗 ��
2 −1 −54 5 4
|
𝑣 = 21𝑖 − 28𝑗 + 14��
Atau 𝑣 = ⟨21,−28,14⟩
Selanjutnya kita ambil satu titik pada garis g
dengan mengeliminasi kedua persamaan bidang di
atas sehingga diperoleh titik P(3,0,4).
Jika 𝑣 = ⟨21, −28,14⟩ sebagai vektor arah garis g
dan P(3,0,4) pada garis g, maka persamaan
simetrik garis g ditentukan oleh:
𝑥 − 𝑥0
𝑎=
𝑦 − 𝑦0
𝑏=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
𝑥 − 3
21=
𝑦 − 0
−28=
𝑧 − 4
14= 𝑡
t sebagai parameter, atau dapat juga dituliskan
dalam bentuk berikut.
𝒙 − 𝟑 = 𝟐𝟏𝒕 ; 𝒚 = −𝟐𝟖𝒕 ; 𝒛 − 𝟒 = 𝟏𝟒𝒕
160
D. Posisi Garis Lurus terhadap Bidang Datar
dalam Ruang
Diberikan bidang 𝛼: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0 dan
garis k dengan persamaan:
𝑥 − 𝑥0
𝑎=
𝑦 − 𝑦0
𝑏=
𝑧 − 𝑧0
𝑐
Hubungan antara garis lurus terhadap bidang
datar dalam ruang dapat dinyatakan ke dalam 3
kondisi yaitu;
1. Garis memotong bidang
2. Garis sejajar bidang
3. Garis terletak pada bidang
4. Garis tegak lurus bidang
Jika sebuah garis memotong bidang, maka kita
dapat menentukan koordinat titik potongnya
dengan cara menentukan solusi dari persamaan
garis dalam bentuk parameter berikut;
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎; 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏; 𝑧 = 𝑧0 + 𝑡𝑐
161
Substitusikan persamaan parameter tersebut ke
persamaan bidang, sehingga diperoleh bentuk
berikut ini!
𝐴(𝑥0 + 𝑡𝑎) + 𝐵(𝑦0 + 𝑡𝑏) + 𝐶(𝑧0 + 𝑡𝑐) + 𝐷 = 0
𝐴𝑥0 + 𝐴𝑡𝑎 + 𝐵𝑦0 + 𝐵𝑡𝑏 + 𝐶𝑧0 + 𝐶𝑡𝑐 + 𝐷 = 0
𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐴𝑡𝑎 + 𝐵𝑡𝑏 + 𝐶𝑡𝑐 + 𝐷 = 0
𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + (𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐)𝑡 + 𝐷 = 0
Berdasarkan persamaan akhir di atas, dapat
dikembangkan beberapa kemungkinan sebagai
berikut.
1. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 ≠ 0, maka koordinat titik
potong antara bidang dan garis dapat
ditentukan dengan cara mensubstitusikan nilai
t ke persamaan parameter garis.
2. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 ≠ 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 +
𝐶𝑧0 + 𝐷 = 0 , maka koordinat titik potong
antara bidang dan garis adalah (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜).
3. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 = 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 +
𝐶𝑧0 + 𝐷 ≠ 0, maka garis dan bidang sejajar.
162
4. Jika 𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 = 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 +
𝐶𝑧0 + 𝐷 = 0, maka garis terletak pada bidang.
5. Untuk kondisi garis tegak lurus bidang hanya
akan terpenuhi jika dot product antara vektor
arah bidang dan vektor arah garis
menghasilkan 0 atau jika vektor normal bidang
sejajar dengan vektor arah garis.
Contoh 4.8
Tentukan posisi antara garis dan bidang berikut!
a. 𝑥 = −5 − 4𝑡 ; 𝑦 = 1 − 𝑡; 𝑧 = 3 + 2𝑡 ;
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 9
b. 𝑥 = 3𝑡 ; 𝑦 = 1 + 2𝑡 ; 𝑧 = 2 − 𝑡;
4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1
Penyelesaian :
1) Substitusikan 𝑥 = −5 − 4𝑡; 𝑦 = 1 − 𝑡; 𝑧 =
3 + 2𝑡 ke persamaan bidang 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 =
9, sehingga diperoleh bentuk berikut ini!
−5 − 4𝑡 + 2(1 − 𝑡) + 3(3 + 2𝑡) − 9 = 0
−5 − 4𝑡 + 2 − 2𝑡 + 9 + 6𝑡 − 9 = 0
−5 + 2 + 9 − 9 − 4𝑡 − 2𝑡 + 6𝑡 = 0
163
−3 − 𝑡(4 + 2 − 6) = 0
−3 − 𝑡(0) = 0
𝐴𝑎 + 𝐵𝑏 + 𝐶𝑐 = 0 dan 𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 +
𝐷 ≠ 0, maka garis dan bidang sejajar.
2) Substitusikan 𝑥 = 3𝑡; 𝑦 = 1 + 2𝑡; 𝑧 = 2 − 𝑡
ke persamaan bidang 4𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 1,
sehingga diperoleh bentuk berikut ini!
4(3𝑡) − (1 + 2𝑡) + 2(2 − 𝑡 ) − 1 = 0
12𝑡 − 1 − 2𝑡 + 4 − 2𝑡 − 1 = 0
12𝑡 − 2𝑡 − 2𝑡 − 1 + 4 − 1 = 0
𝑡(12 − 2 − 2) + 2 = 0
8𝑡 + 2 = 0
8𝑡 = −2 atau 𝑡 = 1
4
Jika nilai t dapat ditentukan, maka garis dan
bidang berpotongan.
E. Ujian Akhir Bab
1. Tentukan persamaan bidang yang memotong
sumbu-sumbu koordinat (𝑎, 0,0), (0, 𝑏, 0) dan
(0,0, 𝑐)!
164
2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-
titik 𝑃(−4,−1, −1); 𝑄(−2,0,1); 𝑅(−1, −2,−3)!
3. Tentukan persamaan parametrik untuk garis
yang melalui 𝑃(3, −1,2) dan �� = ⟨2,1,3⟩!
4. Tentukan sebuah persamaan untuk bidang yang
melalui R (−2,1,7) dan tegak lurus dengan
garis 𝑥 − 4 = 2𝑡; 𝑦 + 2 = 3𝑡; 𝑧 = −5𝑡!
5. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik
asal dan sejajar dengan bidang 7𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 +
3 = 0!
6. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik
S(3, −6,7) dan sejajar dengan bidang 5𝑥 −
2𝑦 + 𝑧 − 5 = 0!
7. Tentukan titik potong garis;
𝑥 − 9 = −5𝑡; 𝑦 + 1 = −𝑡, 𝑧 − 3 = 𝑡
dengan bidang 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 + 7 = 0!
8. Tentukan jarak titik (3, −2,4) terhadap garis
berikut {3𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 22𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 10
!
9. Tunjukkan bahwa garis-garis ;
𝑥 = 3 − 2𝑡; 𝑦 = 4 + 𝑡; 𝑧 = 1 − 𝑡
𝑥 = 5 + 2𝑡; 𝑦 = 1 − 𝑡; 𝑧 = 7 + 𝑡
165
Sejajar dan tuntukan sebuah persamaan bidang
yang dibentuk oleh garis-garis tersebut!
10. Tunjukkan bahwa garis-garis;
𝑥 = 4𝑡 + 3; 𝑦 = 4 + 𝑡; 𝑧 = 1
𝑥 = 12𝑡 − 1; 𝑦 = 6𝑡 + 7; 𝑧 = 3𝑡 + 5
Saling berpotongan dan tentukan titik
potongnya!
166
167
DAFTAR PUSTAKA
C.C. Carico and I. Drooyan, 1980, Analytic Geometry,
John Wiley and Son.
C. Wexler, 1962, Analytic Geometry : A vector
approach, Addison-Wesley Publishing Company.
Inc.,
G. L Bradley and K.J Smith, 1995, Calculus, Prentice-
Hall. Inc.
Moeharti Hadiwidjojo, Ilmu Ukur Analitik Bidang,
Yogyakarta: FPMIPA-IKIP
Yogyakarta, 1974.
Purcell, Edwin J (Penterjemah: Rawuh, Bana
Kartasasmita), Kalkulus Dan Geometri
Analitis Jilid I, Jakarta: Erlangga, 1984.
Thomas, George B., JR., Calculus and Analytic
Geometry, Japan Publications
Trading Company, Ltd, 1963.
168
169
Riwayat Hidup
Rio Fabrika Pasandaran
dilahirkan di Banyuwangi pada
tanggal 16 Juli 1989. Penulis
menempuh pendidikan Sekolah Dasar
di SD Inpres 2 Lalundu dan lulus pada
tahun 2001, pendidikan Sekolah Menengah Pertama di
SMPN 19 Palu dan lulus pada tahun 2004, pendidikan
Sekolah Menengah Atas di SMAN 5 Palu dan lulus pada
tahun 2007. Melanjutkan pendidikan tinggi Strata-I di
Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UNTAD
dan lulus pada tahun 2011, hingga melanjutkan ke
Program S2 Pascasarjana Jurusan Matematika di
Universitas Negeri Makassar dan lulus pada tahun 2014.
Penulis pernah menjadi Instruktur Olimpiade
Matematika tingkat SMP Provinisi Sulawesi Tengah
tahun 2015 dan saat ini aktif mengajar di Program Studi
Pendidikan Matematika Universitas Cokroaminoto
Palopo. Penulis dapat dihubungi melalui surat elektronik
(e-mail) di [email protected]
170
171
Riwayat Hidup
Ma’rufi dilahirkan di Kabupaten
Soppeng, Sulawesi Selatan pada
tanggal 3 Agustus 1968. Dia
menikah dengan Muhammad Ilyas
pada tahun 1994 dan dikarunia
Allah SWT. seorang putri Nita
Magfirah Ilyas dan seorang putra
Irsyad Khalid Ilyas. Penulis
menempuh pendidikan SD sampai
SMA di Kabupaten Soppeng, lulus Sarjana Pendidikan
Matematika IKIP Ujung Pandang pada tahun 1991, lulus
Magister Pendidikan pada Program Studi PKLH pada
tahun 2006 dan pada tahun 2008 lulus Magister
Pendidikan Matematika Universitas Negeri Makassar.
Pada tahun 2017 lulus program S3 Pendidikan
Matematika di Universitas Negeri Surabaya.
Penulis aktif mengajar di SMA sejak tahun 1992
sampai 2007, sebagai pengawas sekolah menengah pada
tahun 2007 sampai akhir 2010. Sejak tahun 1996 sampai
2005 mengajar di program studi pendidikan matematika
STKIP Cokroaminoto Palopo dan tahun 2005 sampai
sekarang sebagai dosen tetap Universitas Cokroaminoto
Palopo. Penulis aktif melakukan penelitian di bidang
pendidikan matematika, baik melalui hibah Penelitian
172
Dosen Pemula, Hibah Pengembangan Inovasi
Pembelajaran di Sekolah, Hibah Bersaing, dan Hibah
Penelitian Unggulan Perguruan Tinggi. Tahun 2018
penulis mendapatkan hibah pengabdian pada masyarakat
melalui Program Pengembangan Kewirausahaan FKIP
UNCP. Diseminasi hasil penelitian dilakukan melalui
seminar dan publikasi nasional maupun internasional.
Tahun 2017 penulis melakukan diseminasi hasil
penelitian pada International Conference on Science and
Mathematics Education, SEAMEO RECSAM Penang,
Malaysia dan WALS International Conference di
Nagoya University Jepang. Penghargaan yang pernah
diperoleh antara lain peneliti penyaji poster terbaik
bidang pendidikan wilayah Indonesia Timur pada tahun
2007 dan pada tahun 2016 juga sebagai peneliti penyaji
poster terbaik pada seminar hasil penelitian disertasi
Doktor. Tahun 2009 dan 2014 memperoleh Satya
Lencana Karya Satya dari Presiden Republik Indonesia.