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Reseña Histórica de Arquímides
Arquímides (– 287 a – 212). Fue un científico griego que perfeccionó y generalizó el
método de exhaustión para el cálculo de superficie y volúmenes. Estableció los principios
generales de la hidrostática y sentó las bases de la mecánica teórica. Se le atribuye
numerosas invenciones mecánicas, como las poleas compuestas, el tornillo sin fin y el
tornillo hidráulico.
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I. Ángulo :
Es el espacio comprendido entre dos rayos que tienen un mismo origen.
Elementos:
a) Lados
b) Vértice
Notación: se lee ángulo AOB
m se lee medida del ángulo AOB.
II. Magnitud de un ángulo: Es la medida del ángulo y se mide con el
TRANSPORTADOR. Su unidad de medida es el GRADO SEXAGESIMAL (1°).
GEOMETRÍA
OA, OB
O
AOB
AOB
B
A
O
1°= 60'
1'= 60''
1°= 3600''
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III. Bisectriz de un ángulo : Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes
(iguales).
IV. Clasificación de los ángulos:
1. Por su medida
Se clasifica en :
B
A
O
P
e)
m ide entre 180° y 360°
ÁNGULO CÓ NCAVO f)
ÁNGULO DE UNA
VUELTA
m ide 360°
d)
m ide 180°
ÁNGULO LLANO
B A
C
P Q R
Congruente s
s ímbolo
OP : Bisectriz del AOB
a)
m ide entre 0° y 90°
ÁNGULO AGUDO c)
m ide entre 90° y 180°
ÁNGULO OBTUSOb)
m ide 90°
ÁNGULO RECTO
B
A
CO
M
NF
E
G
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2. Por la posición de sus lados
Se clasifican en :
3. Por la suma de sus medidas
Se clasifica en :
a) ÁNGULO S ADYACENTES c)
m ide entre 90° y 180°
ÁNGULO OBTUSO
O
B
C
A
AOB y BOC
son ADYACENTES
O
P
R
N
Q
M
MON, NOP, POQ y QOR
son 4 ángulos CONS ECUTIVOS
I
HE
F G
EGF y HGI son
OPUES TOS POR EL VERTICE
O
A
C
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
COMPLEMENTO DE UN ÁNGULO
Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS
S I LA S UMA DE S US MEDIDAS ES 90°
a) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
B
m AOB + m BOC = 90°
Dos ángulos son S UPLEMENTARIOS
S I LA S UMA DE S US MEDIDAS ES 180°
m DFE + m EFG = 180°
D
E
F G
SUPLEMENTO DE UN ÁNGULO
Es lo que le falta a la m edida de un
ángulo para ser igual a 90°
Es lo que le falta a la m edida de un
ángulo para ser igual a 180°
C = 90° – S = 180° –
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MEDICIÓN DE UN ÁNGULO: Los ángulos se miden con un instrumento
llamado transportador.
Para medir un ángulo se hace coincidir el centro del transportador
con el origen del ángulo Oº y del transportador debe coincidir con
el lado del ángulo. El número por donde pasa el otro lado del
ángulo es su medida.
Ejm.: La notación equivale a la expresión:
“el ángulo AOB mide 50 grados sexagesimales”
V. TEOREMAS
1. “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados
alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es
180°”
A O B = 5 0 º
á n g u lo a g u d o
A O C = 9 0 º
á n g u lo re c to
A O D = 1 5 0 º
á n g u lo o b tu s o
O
A
B
O
A
C
A
O
D
180º + + =
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2. “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados
alrededor de un mismo vértice es 360°”
3. “Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE son congruentes...”
EJEMPLOS:
1. Del gráfico hallar “x”.
Solución:
360º + + + + =
=
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2. Hallar
Solución:
x+ 124x
4x = x + 12°
4x – x = 12°
3x = 12°
12°x =
3
x = 4°
40°
+ + 90°+ 40°= 180°
2 + 130°= 180°
2 = 180° – 130°
2 = 50°
50°=
2
= 25°
" "
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3. Hallar en:
Solución:
1. De la figura, calcular 2. En la figura, calcular
2
" "
+ + + 2 + 90°= 360°
5 + 90°= 360°
5 = 360°– 90°
5 = 270°
270°=
5
= 54°
y
20°
0
120°
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3. En la figura, calcular 4. En la figura, calcular
5. En la figura, calcular 6. En la figura, calcular
7. Del gráfico, hallar 8. De la figura, calcular
9
40º
50º
56°
+ " "
" " +
" " " "
27°46°
74°
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. En la figura, calcular 10. Del gráfico, hallar
11. Del gráfico, calcular 12. Del gráfico, hallar
" " " "
" " " "
4
7
5
2
64°
30°
30°
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13. Calcular los complementos de : 14. Calcular los suplementos de :
15. Calcular el suplemento del 16. Hallar el suplemento del
complemento
complemento de: del suplemento de 120°
( )
( )
( )
( )
( )
15°
26°
48°
54°
64°
C = 90° – 15°= 75°
C = ________________
C = ________________
C = ________________
C = ________________
( )
( )
( )
( )
( )
118°
125°
131°
142°
159°
S = 180° – 118°= 62°
S = ________________
S = ________________
S = ________________
S = ________________
( )
( )
( )
( )
( )
25°
33°
47°
52°
36°
SC = 180° – (90° – 25°)= 180° – 65°= 115°
S C = ________________
SC = ________________
SC = ________________
SC = ________________
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1. Del gráfico, hallar 2. En la figura, calcular
3. Del gráfico, calcular 6. Del gráfico, calcular
4. De la figura, calcular 7. Del gráfico, calcular
5. Del gráfico, hallar “x” 8. De la figura, calcular
140°50° 110°
" " " "
" " " "
" "
125° 15°
92°78°
2
2
32
2
64°
50°
75°
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RECTAS PARALELAS CORTADAS POR LA SECANTE
I. POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO
1. RECTAS PARALELAS: Dos rectas son paralelas (//), si su
INTERSECCIÓN es NULA.
2. RECTAS SECANTES: Dos rectas son secantes, si su INTERSECCION
es un PUNTO.
m
n
20°
2x+ 2
47°
S i m n= m//n
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3. RECTAS PERPENDICULARES: Dos rectas son perpendiculares (),
si su INTERSECCIÓN es un ÁNGULO RECTO (90°).
II. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
Si las rectas L1 y L
2 son paralelas y están cortadas por una SECANTE M, se cumplen
las siguientes propiedades.
1. Los ángulos correspondientes son congruentes :
2.Los ángulos alternos internos son congruentes :
3. Los ángulos alternos externos son congruentes :
4. Los ángulos conjugados externos son suplementarios :
m
n
P S i m n = P Las rectas m y n son
SECANTES
m
n
⊥Si m n = 90° m n
1 2
3 4
5 6
7 8
L1
L2
M
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5. Los ángulos conjugados internos son suplementarios :
LEY DEL SERRUCHO
Si entre dos rectas paralelas se trazan varios ángulos como muestra la figura 1, se cumple
que:
Ejemplos:
1. En la figura , hallar
Solución :
1 2L // L
L2
L1x
a
y
b
z
c
wd
SUMA DE ÁNGULOS SUMA DE ÁNGULOS
DIRIGIDOS A LA = DIRIGIDOS A LA
IZQUIERDA DERECHA
x+ y+ z+ w = a+ b+ c+ d
1 2L //L " "
L1
L2
20°
45°
60°
58°
Aplicando la ley del serrucho
+ 20°+ 45°= 58°+ 60°
+ 65°= 118°
= 118° – 65°
= 53°
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2. Hallar “x”, si
Solución:
1 2//L L
3x
2x+ 40°
L1
L2
3x + 2x + 40°= 180°
5x = 180° – 40°
140x =
5
x = 28°