1 ETH Zürich Geodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand Methoden der Netzverdichtung (Script Kap. 4) Methoden der Netzverdichtung (Script Kap. 4) - Der Polygonzug (Vieleckzug) Der Polygonzug (Vieleckzug) - Einzelpunkteinschaltung Einzelpunkteinschaltung (Freie Stationierung, R (Freie Stationierung, Rückw ckwärtsschnitt, rtsschnitt, ….) .) ETH Zürich Geodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand Der Der Polygonzug Polygonzug (Streckenzug Streckenzug) Zweck Polygonzugarten und Beispiele Messmethodik • 2D/3D • Zwangszentrierung Berechnung und Statistik • Abriss • Plolygonzug Einpassen des Polygonzuges • “traditionell” • Helmerttransformation ETH Zürich Geodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand Wof Wofür braucht man einen Polygonzug? r braucht man einen Polygonzug? Zweck: Übertragen von Koordinaten dorthin wo sie gebraucht werden. Verdichtung des Fixpunktfeldes Wo ?: Stadt, Waldgebiete, Tunnels ... Ueberall dort wo GPS nicht funktioniert Instrumentarium: Tachymeter, fallweise ergänzt mit Bussole, Kreisel Besonderes: Zwangzentrierung Vorteil: Einfach, relativ schnell Nachteil: ungünstige Varianzfortpflanzung bei freien Zügen ETH Zürich Geodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand Polygonierung Polygonierung Verfahren zur linienmäßigen Festlegung von Neupunkten. Bedeutung: πολυσ [polys = viel, mehr] γονυ [gony = Ecke, Winkel Knie] πολυγον [Polygon = Vieleck] ETH Zürich Geodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand Was Was ist ist ein ein Polygonzug Polygonzug (Streckenzug Streckenzug) ? ) ? A ETH Zürich Geodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand Einsatzbereiche Einsatzbereiche des des Polygonzuges Polygonzuges
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Geodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand ETH Zürichwebarchiv.ethz.ch/geometh-data/student/gmt2/2006... · 2006. 11. 17. · Als Pendel aufgehängter und von aussen angetriebenener
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ETH ZürichGeodätische Messtechnik - Prof. Dr. H. Ingensand
Methoden der Netzverdichtung (Script Kap. 4)Methoden der Netzverdichtung (Script Kap. 4)
-- Der Polygonzug (Vieleckzug)Der Polygonzug (Vieleckzug)-- Einzelpunkteinschaltung Einzelpunkteinschaltung
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Der Vermessungskreisel Der Vermessungskreisel
Als Pendel aufgehängter und von aussen angetriebenener Kreisel, dessen Figurenachse unter dem Einfluss der Schwerkraft und der Erddrehtung nach zur momentanen Rotationsachse der Erde (fast geographisch Nord) zeigt
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AzimutbestimmungAzimutbestimmung
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RingpolygonzugRingpolygonzug
+X
+Y
1: Anfang= Ende
2 3
4
5
67
8
oder auch Geschlossener Polygonzug genannt
Terrestrischen Photogrammetrie:
Koordinatenbestimmung der Kamerastandpunkte
Achtung: diese Zugart sollte eine Ausnahme sein. Drehungen des Gesamtrings sind nur über einen Abriss kontrolliert
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Netzplan fNetzplan füür beidseitig nach Koordinaten angeschlossenen Polygonzugr beidseitig nach Koordinaten angeschlossenen Polygonzug
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AE
αα1 2
Brechungswinkel
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Der beidseitig angeschlossene PolygonzugDer beidseitig angeschlossene Polygonzug
ABRISS
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PolygonzPolygonzüüge in Stauanlagenge in Stauanlagen
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Beispiel: Strassenabsteckung Berechnung des Tangentenschnittpunktes
101
102 202
201
Die Strassenabschnitte 101 - 102 und 201 - 202 sind erstellt.
Es soll die Verbindung zwischen diesen Abschnitten erstellt werden.
α1 α2
+x
γTS
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Linie abstecken trotz Sichtbehinderung
Beispiel: Die Linie von A nach E ist abzustecken. Mittels Polygonzug werden die Zwischenpunkte bei Z1 und Z2 abgesteckt.
A
E
Z1
Z2
1
2α1
2α
Sichtbehinderungen
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MessenMessen und und BerechnenBerechnen des des PolygonzugesPolygonzuges
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BeobachtungsreihenfolgeBeobachtungsreihenfolge
Temperatur + Luftdruckmessen
1015 Hpascal
Polygonzug geht auch 3D
!
Instrumenten- und Reflektorhöhemessen
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Messen mit ZwangszentrierungMessen mit ZwangszentrierungZweck :
weitgehende Ausschaltung von Zentrierabweichungen mechanische Einrichtungen zum Austauschen von Messinstrumenten, Zieltafeln und ReflektorenZentrierung bleibt nach Gerätetausch im Bereich von 0.2 mm erhalten
Besonderheit:
Zentrierter Dreifuss bleibt während der ganzen Messungen mit dem Stativ fest verbunden.Austausch Zieltafel /Prisma/ MessgerätNachhorizontieren (Stehachsen der Geräte mit den Fussschraubendes Untersatzes in die Vertikale bringen)
Bauweisen:
Ausführung mit integriertem optischen Lot (System Wild)Ausführung ohne optisches Lot (Zentrierung durch Einsetzen eines Gerätes mit optischem Lot oder Laserlot, Dreifuss hat eine entsprechende Aussparung in der Bodenplatte); Vorteil: Durch Drehung des eingesetzen Gerätes um 200 gon kann Justierung des Lotes überprüft werden.
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Trigonometrischen HTrigonometrischen Hööhenbestimmung henbestimmung (ohne Refraktion und Erdkr(ohne Refraktion und Erdkrüümmung)mmung)
z
I∆hAB
S
dhor
HA
HBB
A
ds
Horizont
H H I SB A= + + −
d zhor⋅cot
H H d z I SB A m= + ⋅ + −cos
d zs ⋅ cos
d zhor ⋅cot
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- Geländeverschiebungen, die Lage der Punktversicherung ist verändert- Beschädigung der Punktversicherung- Verlegung der Punktversicherung- Punktverwechslung
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Berechnung der Koordinaten eines Polygonpunktes:Berechnung der Koordinaten eines Polygonpunktes:
y y D Az i j
j
i j = + ⋅ ∑
= 0 1
sin
x x D Azi j jj
i= + ⋅∑
=0
1cos
Azj = Azimut von Pkt j-1 zu Pkt j = Az0 + ak - 200 gon
Dj : Seitenlänge Pkt j-1 zu Pkt j
x0, y0 : Koordinaten des ersten Punktes
ak : Brechungswinkel (k = 1 ... j)
Azimutübertragung
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Polygonzug (Summenprobe)Polygonzug (Summenprobe)
A
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E
X1,A∆Y1,A∆ Y1,2∆
X1,2∆
Yn,E∆
Xn,E∆n
X2,n∆
Y2,n∆
∆YA,E = Σ∆Yi
∆XA,E = Σ∆Xi
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Die Varianzfortpflanzung Die Varianzfortpflanzung
∂∂
σ σyD
Azi
jD D j= ⋅sin
∂∂
σ σxD
Azi
jD D j= ⋅cos
∂∂α
σρ
σρ
α αyD Azi
jk k
k j
i= ⋅ ⋅∑
=cos
∂∂α
σρ
σρ
α αxD Azi
jk k
k j
i= ⋅ ⋅∑
=sin
σ∂∂
σ∂∂α
σρ
αx
m
jD
j
mm
jj
mxD
x2
2
1
2
1= ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∑ + ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∑
= =
σ∂∂
σ∂∂α
σρ
αy
m
jD
j
mm
jj
myD
y2
2
1
2
1= ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∑ + ⋅
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟∑
= =
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NNääherungsformelnherungsformeln ffüürr den den gestrecktengestreckten PolygonzugPolygonzug
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LLäängsngs-- und und QuerabweichungQuerabweichung ((gestrecktergestreckter PolygonzugPolygonzug))Bei Absteckungsaufgaben mit einseitg angeschlossenem Polygonzug, z.B. Tunnelabsteckungen, will man die die Längs- und Querabweichung wissen
Dabei ist besonders die Querabweichung von Interesse, da sie für die Genauigkeitdes Tunneldurchschlags wichtig ist.
Die Genauigkeit der beiden Polygonzüge ist in Relation zur Durschlagstoleranz zusetzen, die heute noch oftmals als “Durchschlagsfehler” bezeichnet wird.
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Standardabweichungen in Querrichtung Standardabweichungen in Querrichtung ssqq
Winkelabweichungen wirken sich als Abweichungen q quer zur Zugrichtung aus.
Tritt bei der Messung in 1 eine Winkelabweichung dα1 auf, so kommt 2 nach 2’.
Misst man von hier aus „fehlerlos“, so erhält der Endpunkt N die Querabweichung NN’.
Hat man hingegen in 2 die Abweichung dα2, so kommt N’ nach N’’.
D
NN n D dN N n D dNN n D d n D d
D n d n d
′ = ⋅ ⋅′ ′′ = − ⋅ ⋅
′′ = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + − ⋅
αα
α αα α
1
2
1 2
1 2
111
( )( )
( ( ) )
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QuerabweichungQuerabweichung
Wäre z.B. der erste Winkel um 1 mgon verschwenkt und alle folgenden perfekt gemessen, so hätte man nach 640 m Polygonzug schon dadurch eine Querabweichung von etwa 1 cm.Da nun jede folgende Winkelbestimmung auch mit einer gewissen Standardabweichung behaftet ist, wirkt sich dies für einen beliebigen offenen Polygonzug folgendermassen aus:
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Da die Standardabweichungen der Polygonwinkel alle gleich sα sind, wird
( )s s D n s D iq
n= ⋅ ⋅ + + + = ⋅ ⋅∑α α
2 2 2 2 2 2 2 2
11 2 .... + (n -1)2
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QuerabweichungQuerabweichungZur Beurteilung der Varianzfortpflanzung im Allgemeinen ersetzen wir den Klammerausdruck nach der Theorie der arithmetischen Reihen durch
Gl. 6.13-60
Gl. 6.13-61
Berücksichtigt man nur das Hauptglied, so wird mit
Gl. 6.13-62
und mit
folgt
i
n n n
n n n
n n n
n 2
1 2 2
3 2
2
1 2 3 2 6
6 2 3 1
2 1 1
6
∑ = + + = + +
= + + = + +
. . . . + n
2
( ) ( )( )
s s Dn
s D nq ≅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅α α
31 5
313
.
nLD
=
ss L
Ds L L
Ds L
nq ≅ ≅ ≅α α
α3 3 3
3
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Beispiel: Varianzfortpflanzung beim gestreckten Polygonzug
Wie pflanzen sich zufällige Richtungsabweichungen beim gestreckten Polygonzug fort (Herleitung Skript 6.13.15)?
SL
q
3
3ασ
σ =
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0 500 1000 1500 2000
Que
rfehl
er [m
]
Laenge [m]
Varianzfortpflanzung beim Polygonzug (S = 200 m, sigmaAlpha = 1 mgon)
Que
rabw
eich
ung
[m]
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StandardabweichungStandardabweichung derder QuerabweichungQuerabweichung MitteMitte und und EndeEnde
es gilt: Anzahl Seiten n, gleiche Seitenlänge D, Gesamtlänge L = n ∙ D,
alle Winkel gleich genau gemessen mit Standardabweichung sα
24ns
LsqM ⋅⋅=ρα
3ns
LsqE ⋅⋅=ρα
192ns
LsqM ⋅⋅=ρα 0=qEs
Herleitungen s. Jordan, Eggert, Kneissl Band II
einseitiger, freier Polygonzug, StdAbw. in Querrichtung, Zugmitte
einseitiger, freier Polygonzug, StdAbw. in Querrichtung, Zugende
eingezwängter Polygonzug, zweiseitiger Koordinaten- und Richtungsanschluss, Zugmitte
eingezwängter Polygonzug, zweiseitiger Koordinaten- und Richtungsanschluss, Zugende
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Standardabweichungen in LStandardabweichungen in LäängsrichtungngsrichtungIst sD die Standardabweichung einer beliebigen Polygonseite der Länge D, so wird die Standardabweichung des Zuges
Anzahl der Wiederholungen des Vorgangs
L D DdL dD dDs s s
n s
s s n
L D D
D
L D
= + += ⋅ + ⋅ +
= + +
= ⋅
= ⋅
1 2
1 22
12
22
2
1 1 ....
.... ....
sL2
s s s s n s
s s n s L
D
L D D D D
L D D
2 2 2 2 2= + + = ⋅
= =
. . . +
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LLäängsngs-- und und QuerabweichungQuerabweichung
Abb. 6.25 Verhalten in Quer- (links) und Längsrichtung (rechts) eines offenen (gestrichelt) und eines eingezwängten Polygonzuges (ausgezogen), siehe Kap. 4.3.1.4, mit 10 Punkten inkl. Anfangs- und Endpunkt
Eins
eitig
ange
schl
osse
n
LängsabweichungQuerabweichung
Einseitig angeschlossen
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Varianzfortpflanzung beim kreiselgestVarianzfortpflanzung beim kreiselgestüützten Polygonzugtzten Polygonzug
0
1
2
3
4
5
6
0 500 1000 1500 2000
Que
rfehl
er [c
m]
Laenge [m]
Polygonzug s=200, sA = 1 mgon
q(x)r(x)
Varianzfortpflanzung beim gestreckten Polygonzug: Längsabweichung:
SL
Dl σσ =
Querabweichungr: SL
q
3
3ασ
σ = Varianzfortpflanzung beim gestreckten Kreiselzug: Längsabweichung:
SL
Dl σσ = Querabweichung: Lsq ασσ =
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A PrioriA Priori--Analyse TI8Analyse TI8
Zwei Varianten1 Azimut / 500 m1 Azimut / 250 m
σLotung: 1 mmσRichtung: 0.7 mgonσAzimut: 1.5 mgonσDistanz: 1 mm + 1 ppmσSetup: 0.5 mmPolygonseitenlänge: 120 m
Vertrauensintervall 95%
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Methoden der PolygonzugeinpassungMethoden der Polygonzugeinpassung
Einpassung durch Verteilung der Winkel und Streckendifferenzen (klassisch)
Drehstreckung durch Helmerttransformation (modern)
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Aufteilung des Winkelwiderspruchs (klassisch)Aufteilung des Winkelwiderspruchs (klassisch)
+/- 200 gon
Winkelwiderspruch
gon200)n,E(AzWgon200n)1,A(Azn
1ii +=−⋅−α+ α
=∑
[ ]mgonnW ⋅≤ 15α
( )gon200)n,E(Azgon200n)1,A(AzWn
1ii +−⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅−α+= ∑
=α
Wα gleichmässig auf alle Brechungswinkel verteilt
v Wniα
α=−
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Aufteilung des Koordinatenwiderspruchs (klassisch)Aufteilung des Koordinatenwiderspruchs (klassisch)
+/- 200 gon
Koordinatenwiderspruch
Gl. 4.8-18
v W DDY
Y i
ii∆ =
− ⋅
∑v W D
DXX i
ii∆ =
− ⋅
∑
Liegen die Widersprüche innerhalb der vorgegebenen Toleranz, so werden die Widersprüche proportional zur Distanz auf die ∆Yi, ∆Xi verteilt.
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21
AE
αα1 2
2
1
Eα
α1
2
Y
X
Berechnung als einseitig nach Koordinaten angeschlossener Polygonzug ausgehend vom Anfangspunkt A im lokalen System mitAzimut 0
Polygonzugeinpassung durch Polygonzugeinpassung durch HelmerttransformationHelmerttransformation (Drehstreckung)(Drehstreckung)
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Achtung im Script ist Achtung im Script ist φ φ doppeldeutigdoppeldeutig
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Polygonzugeinpassung durch Polygonzugeinpassung durch HelmerttransformationHelmerttransformation (Drehstreckung)(Drehstreckung)
21
AE
αα1 2
2
1
Eα
α1
2
Y
X
Berechnung des Verdrehungswinkels φ
Aus Az( AE)-Az(AE)
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Polygonzugeinpassung durch Polygonzugeinpassung durch HelmerttransformationHelmerttransformation (Drehstreckung)(Drehstreckung)
21
AE
αα1 2
2
1
Eα
α1
2
Y
X
Berechnung des Massstabes
Aus dem Streckenverhältnis
M= AE:AE
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Die Drehstreckung durch HelmertransformationDie Drehstreckung durch Helmertransformation
Die Geometrie des Zuges wird hierbei nicht verändert. Wirksam sind nur die Brechungswinkel und die Distanzen
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